Plh20 Oss2(Color)

52
ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

description

Logic Propositional(in Greek)

Transcript of Plh20 Oss2(Color)

Page 1: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική)

Δημήτρης Φωτάκης

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική ΛογικήΠληροφορική

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Page 2: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 2

1η Εργασία: Γενική ΕικόναΠολύ καλή απόδοση (μ.ο.: 7.72). Πολλά θετικά στοιχεία:

10 άριστες [8.6, 10], 12 πολύ καλές [7.0, 8.2], 8 καλές [5.0, 6.4]. 30 εργασίες σε σύνολο 30 φοιτητών με υποχρέωση εργασιών!Διάθεση για κατανόηση, και προσπάθεια για πλήρη αιτιολόγηση.

Βοηθά να αποφύγετε τα λάθη!Αρκετές εργασίες απέπνεαν μεγάλη προσπάθεια και επένδυση χρόνου.

Τι μπορεί να βελτιωθεί:Όχι αναπάντητα ερωτήματα (π.χ. 2.γ και 4.β)!(Ακόμη) λιγότερες cut-and-paste απαντήσεις.

Μην μείνετε στην βαθμολογία!Τα περισσότερα ερωτήματα ήταν σχετικά εύκολα!Η βαθμολόγηση ήταν αρκετά επιεικής.«Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια.

Page 3: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 3

Ερώτημα 5.αΠλήθος θετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης:

Διανομή n ίδιων σφαιριδίων σε m διακεκριμένες υποδοχές, ώστεκάθε υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 1 σφαιρίδιο:

C(m+n–m–1, n–m) = C(n–1, n–m) = C(n–1, m–1). Διανομή n–m ίδιων σφαιριδίων σε m διακεκριμένες υποδοχές.Συνδυασμοί n–m αντικειμένων από n–1: C(n–1, n–m).Συνδυασμοί m–1 αντικειμένων από n–1: C(n–1, m–1).Συντελεστής του xn–m (ή του xm–1) στην παράσταση (1+x)n–1.Αλλά διαφορετικό από συνδυασμούς n–m αντικειμένων από nμε επανάληψη: C(n+n–m–1, n–m) = C(2n–m–1, n–m).

Page 4: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 4

Ερωτήματα 2.α, 2.β, και 2.δΚάθε άνθρωπος ανήκει σε ένα από 12 ζώδια με πιθ. 1/12.Υπολογισμός Π(2, n): πιθανότητα τουλάχιστον 2 άτομα από μιαομάδα n ατόμων να ανήκουν στο ίδιο ζώδιο.

1 – Πιθ(όλα τα n άτομα σε διαφορετικό ζώδιο) = 1 – Π(≤ 1, n)Π(≤ 1, n) = 12·11·…·(12-n+1)/12n = P(12, n)/12n

Π(2, 2) = 1/12, Π(2, 3) = 17/72, P(2, 4) = 41/96, P(2, 5) = 89/144Π(2, 12) = 1 – 12!/1212 = 99.995%, Π(2, 13) = 1 (περιστερώνας)!Διαφορετικοί τρόποι υπολογισμού, αλλά πιο δύσκολοι!

Όλοι στο ίδιο ζώδιο: 12/12n (απάντηση για n = 2). Ακριβώς ένα ζώδιο με ακριβώς 2 άτομα και υπόλοιπα ζώδια με≤ 1 άτομο: C(n,2)·P(12, n–1)/12n

Ακριβώς δύο ζώδια με ακριβώς 2 άτομα και υπόλοιπα ζώδια με≤ 1 άτομο: C(n,2)·C(n–2,2)·P(12, n–2)/(2·12n)Ακριβώς ένα ζώδιο με ακριβώς 3 άτομα: C(n,3)·P(12, n–2)/12n

Page 5: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 5

Ερώτημα 2.γΚάθε άνθρωπος ανήκει σε ένα από 12 ζώδια με πιθ. 1/12.Υπολογισμός Π(3, n): πιθανότητα τουλάχιστον 3 άτομα από μιαομάδα n ατόμων να ανήκουν στο ίδιο ζώδιο.

Όλοι οι n ≥ 3 στο ίδιο ζώδιο: 12/12n.Π(3, 3) = 1/144.

n – 1 ≥ 3 στο ίδιο ζώδιο, 1 οπουδήποτε αλλού: C(n,n–1)·12·11/12n

Π(3, 4) = (12+C(4,3)·12·11)/124 = 5/192n – 2 ≥ 3 στο ίδιο ζώδιο, 2 οπουδήποτε αλλού: C(n,n–2)·12·112/12n

Π(3, 5) = (12+C(5,4)·12·11+C(5,3)·12·112)/125 = 211/3456n = 6: 3 στο ίδιο ζώδιο, 3 οπουδήποτε αλλού:

(C(6,3)·12·113 –C(6,3)·C(3,3)·12·11/2) / 12n

Page 6: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 6

Ερωτήματα 3.α, 3.β, και 3.γn θεατές σε 7 διακεκριμένες σειρές, 2 ≤ θεατές ≤ 15 σε 6 πρώτεςσειρές, και 2 ≤ θεατές ≤ 10 στην 7η σειρά. Γεννήτρια συνάρτηση ανθεατές δεν είναι διακεκριμένοι.

Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή του xn.

ΕΓΣ αν θεατές διακεκριμένοικαι δεν έχει σημασία η σειρά.

Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή του xn/n!

Εκθ. ΓΣ αν θεατές είναι διακεκριμένοι και έχει σημασία η σειρά.

Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή του xn/n!

Page 7: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 7

Ερώτημα 3.δ: ΥπολογισμόςΣυντελεστών

n = 100 θεατές σε 7 διακεκριμένες σειρές, 2 ≤ θεατές ≤ 15 σε 6 πρώτες σειρές, και 2 ≤ θεατές ≤ 10 στην 7η σειρά.

6·15+10 = 100 θέσεις συνολικά: μεταθέσεις 100 αντικειμένων.

Συντελεστής x100 στη ΓΣ του 3.α = 1.Μεταθέσεις 100 μη διακεκριμένων αντικειμένων.

Συντελεστής x100/100! στην ΕΓΣ του 3.β = 100!/[(15!)6 10!]Μεταθέσεις 100 αντικειμένων που χωρίζονται σε ομάδες ομοίων,6 ομάδες με 15 αντικείμενα η καθεμία και 1 ομάδα με 10 αντικείμενα.

Συντελεστής x100/100! στην ΕΓΣ του 3.γ = 100!Μεταθέσεις 100 διαφορετικών αντικειμένων.

Page 8: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 8

Ερώτημα 4.β.ii: ΕπίλυσηΑναδρομικής Σχέσης

Αναδρομική σχέση για ποσότητα νερού στη δεξαμενή:α0 = 1, α1 = 9, αn = 6αn–1 – 9αn–2

Για κάθε n ≥ 2 πολλαπλασιάζουμεμε xn και αθροίζουμε:Αν συμβολίσ. με Α(x) τη ΓΣ της αn

έχουμε τώρα μια σχέση για Α(x):

Αντικαθιστώντας α0 = 1, α1 = 9, και λύνοντας ως προς A(x):

Κλασματική ανάλυση:

«Λύση»:

Page 9: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 9

Μαθηματική ΛογικήΠροτασιακή Λογική: 2η ΟΣΣ, 2η Εργασία (25.11 – 17.12)Κατηγορηματική Λογική: 3η ΟΣΣ, 3η Εργασία (7.1 – 28.1)

30% – 35% στις εξετάσεις – «βαρόμετρο» επιτυχίας!

Αντικείμενο: θεμελίωση των μαθηματικών.Πότε μια πρόταση ισχύει / μια απόδειξη είναι σωστή;Σημασιολογικά: συμπέρασμα έπεται αναγκαία από υποθέσεις.

Ενδιαφέρει, δεν ελέγχεται αποδοτικά με μηχανιστικό τρόπο.Συντακτικά: όταν στην αποδεικτική διαδικασία εφαρμόζουμε σωστάσυγκεκριμένους κανόνες (συντακτικής φύσης).

Διατύπωση με νοημοσύνη – «μηχανιστικός» έλεγχος. Ζητούμενο ισοδυναμία: σωστές «συντακτικά» αποδείξεις θεμελιώνουν(όλες και μόνο αυτές) «σημασιολογικά» σωστές προτάσεις.

Εγκυρότητα – Πληρότητα.

Page 10: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 10

Μαθηματική ΛογικήΜερικά ενδιαφέροντα βιβλία:

Δοξιάδης, Παπαδημητρίου. Logicomix. Δοξιάδης. Θείος Πέτρος και Εικασία του Γκόλντμπαχ.Davis, Μηχανές της Λογικής: Οι Μαθηματικοί και οι Απαρχές τουΥπολογιστή.

Δομή κεφαλαίου – ατζέντα:Γλώσσα Προτασιακής Λογικής: πλαίσιο διατύπωσης επιχειρημάτων.Σημασιολογική προσέγγιση: πίνακες αλήθειας, ιδιότητες λογικώνσυνδέσμων, ταυτολογία, ταυτολογική συνεπαγωγή.Συντακτική προσέγγιση: αξιώματα, modus ponens, συντακτικήαντικατάσταση ⇒ (τυπικά) θεωρήματα. Ισοδυναμία προσεγγίσεων: εγκυρότητα – πληρότητα.

Εγκυρότητα: τυπικά αποδείξιμο ⇒ σημασιολογικά σωστό. Πληρότητα: σημασιολογικά σωστό ⇒ αποδείξιμο.

Page 11: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 11

Μαθηματικές Προτάσεις(Μαθηματική) πρόταση: δήλωση που μπορεί να είναιαληθής ή ψευδής (όχι και τα δύο).

Το όνομά μου είναι Δημήτρης.Χθες είχε λιακάδα στην Αθήνα. Ο Σεφέρης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας.Σήμερα είναι η τελευταία μέρα του Νοέμβρη.

Άλλα όχι:Τι ώρα είναι;Κάνετε ησυχία παρακαλώ.Σχεδόν κάθε μέρα βρέχει (χωρίς το σχεδόν;)

Page 12: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 12

Μαθηματικές ΠροτάσειςΠροτάσεις συνδυάζονται λογικά:

Αν χιονίσει, θα πάω για σκι ή θα παίξω χιονοπόλεμο.Ο Δ είναι καλός ή ο Δ δεν είναι καλός. Θα κάνω μάθημα στις 14:00 και θα παίζω μπάσκετστις 14:00.

Page 13: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 13

Γλώσσα Προτασιακής ΛογικήςΣτοιχειώδεις προτάσεις: προτασιακές μεταβλητές p, q, r.

Βασικά δομικά στοιχεία. Διακριτές τιμές Α ή Ψ (1 ή 0).

Συνδυασμός προτάσεων με (λογικούς) συνδέσμους:¬ , ∧ , ∨ , → , ↔, ⊕ .Προτασιακός τύπος:

(Βάση:) Είτε προτασιακή μεταβλητή p, q, r, …(Βήμα:) Είτε (¬φ), (φ ∧ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ), όπου φ, ψ ήδη σχηματισμένοι προτασιακοί τύποι.

Επαγωγικός (ή αναδρομικός) ορισμός:Δομή αναπαρίσταται με (μοναδικό) δενδροδιάγραμμα που εξηγεί πωςπ.τ. προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού (Θ2.3 – μοναδική αναγν.). Ιδιότητες με μαθηματική επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.

Page 14: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 14

Μαθηματική ΕπαγωγήΑποδεικνύουμε ότι «Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n ≥ n0».

Δομική επαγωγή: όλα τα στοιχεία (αριθμήσιμα) άπειρου συνόλουπου ορίζεται επαγωγικά (αναδρομικά) έχουν ιδιότητα Ρ.

Αρχή Μαθηματικής ΕπαγωγήςΈστω P(n) μια πρόταση που εξαρτάται από φυσικό αριθμό n.Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n ≥ n0, αρκεί νδο:

Βάση: το Ρ(n0) αληθεύει.Βήμα: για κάθε n ≥ n0, αν Ρ(n) αληθεύει, τότε P(n+1) αληθεύει.

Αρχή Ισχυρής Μαθηματικής ΕπαγωγήςΓια νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε n ≥ n0, αρκεί νδο:

Βάση: το Ρ(n0) αληθεύει.Βήμα: για κάθε n ≥ n0, αν P(k) αληθεύει για κάθε k ∈ {n0, …, n},τότε P(n+1) αληθεύει.

Page 15: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 15

Παράδειγμα: ΔιαιρετότηταΝα δείξετε ότι για κάθε n ≥ 1, το n3+2n διαιρείται από το 3.

Βάση: Αληθεύει για n = 1: Το 3 διαιρείται από το 3. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετα επιλεγμένο) n ≥ 1,το n3 + 2n διαιρείται από το 3.Επαγωγικό βήμα: Θδο το (n+1)3 + 2(n+1) διαιρείται από το 3.Πράγματι,

όπου και οι δύο όροι διαιρούνται από το 3 (ο 1ος λόγω τηςεπαγωγικής υπόθεσης).

Page 16: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 16

Παράδειγμα (i)Έστω Τ∧ σύνολο π.τ. που είναι:

(Βάση:) είτε προτασιακές μεταβλητές, (Βήμα:) είτε της μορφής φ ∧ ψ, όπου φ, ψ π.τ. του Τ∧.

Νδ (με μαθ. επαγωγή) ότι το Τ∧ δεν περιέχει ταυτολογίες.Βάση: προτασιακή μεταβλητή p δεν είναι ταυτολογία. Επαγ. υπόθεση: έστω φ, ψ ∈ Τ∧ που δεν είναι ταυτολογίες. Επαγ. βήμα: θεωρούμε χ ≡ φ ∧ ψ. Θδο χ δεν είναι ταυτολογία.

φ όχι ταυτολογία: υπάρχει αποτίμηση α που δεν ικανοποιεί φ.Αποτίμηση α δεν ικανοποιεί χ ≡ φ ∧ ψ.Άρα ο χ δεν είναι ταυτολογία.

Page 17: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 17

Παράδειγμα (ii)Νδο {↑} πλήρες με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.

{↑} πλήρες αν για κάθε φ, υπάρχει φ*: (α) φ ≡ φ* και(β) φ* χρησιμοποιεί μόνο τον σύνδεσμο ↑.Βάση: προτασιακή μεταβλητή p. (α) και (β) ισχύουν τετριμμένα. Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετα επιλεγμένους π.τ. ψ και χ,υπάρχουν ψ* και χ*: (α) ψ ≡ ψ* και χ ≡ χ*, και (β) ψ* και χ*

χρησιμοποιούν μόνο τον σύνδεσμό ↑.Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ζητούμενο ισχύει όταν φ ≡ ¬ψ, φ ≡ ψ ∧ χ, φ ≡ ψ ∨ χ, φ ≡ ψ → χ, φ ≡ ψ ↔ χ.

Π.χ. όταν φ ≡ ψ ∧ χ, θέτουμε:φ* ≡ (ψ* ↑ χ*) ↑ (ψ* ↑ χ*) (επαγ. υπόθεση)

≡ (ψ ↑ χ) ↑ (ψ ↑ χ) (αντικατάσταση ↑).≡ ψ ∧ χ ≡ φ

Πράγματι, (α) φ ≡ φ* και (β) φ* χρησιμοποιεί μόνο ↑, αφούλόγω (β) επαγ. υπόθεσης, ψ* και χ* χρησιμοποιούν μόνο ↑.

Page 18: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 18

Ερώτημα 4.α, 1η Εργ. 2012-2013Νδο σε κάθε σύνολο S = {α1, …, αn} με n ≥ 1 αριθμούς τ.ω.0 < α1 < … < αn και 2αi ≤ αi+1, για κάθε i, ισχύει ότι:

(Ιδ1) ∀Α, Β ⊆ S, με A ≠ B, άθρ(Α) ≠ άθρ(B).

Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α1}.Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n ≥ 1,κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ1.Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S με n+1 στοιχεία έχει Ιδ1.

Έστω S = {α1, …, αn, αn+1}, και A, Β ⊆ S, με A ≠ B. Αν Α και Β δεν περιέχουν αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B), από επαγ. υπόθ.Αν Α και Β περιέχουν αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B), από επαγ. υπόθ., γιατί άθρ(Α – {αn+1})≠ άθρ(B – {αn+1}). Αν Α περιέχει αn+1, και Β δεν περιέχει αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B)γιατί άθρ(Α) ≥ αn+1 ≥ 2αn >(;) α1 + … +αn ≥ άθρ(B).

Page 19: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 19

Ερώτημα 4.α, 1η Εργ. 2012-2013Νδο σε κάθε σύνολο S = {α1, …, αn} με n ≥ 1 αριθμούς τ.ω.0 < α1 < … < αn και 2αi ≤ αi+1, για κάθε i, ισχύει ότι:

(Ιδ1) ∀Α, Β ⊆ S, με A ≠ B, άθρ(Α) ≠ άθρ(B).(Ιδ2) άθρ(S) < 2αn.

Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α1} και 0 < α1 < 2α1.Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n ≥ 1,κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ2.Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S, |S| = n+1 έχει Ιδ2.

Έστω S = {α1, …, αn, αn+1}. Απόδειξη Ιδ2:

Page 20: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 20

Δείτε ΑκόμηΠαραδείγματα Δημητρακόπουλου:

Παράδ. 2.1, Ασκ.Αυτοαξ. 2.1, Λήμμα 2.1.

Σημειώσεις για Μαθηματική Επαγωγή (Δομική Επαγωγή). Άλλα παραδείγματα:

Ερ. 5, 2η εργ. 05-06, Ερ. 3, 2η εργ. 06-07, Ερ. 3, 2η εργ. 07-08, Ερ. 3, 2η εργ. 08-09, Ερ. 3 και Ερ 4.β, 2η εργ. 09-10, Ερ. 3.β, 2η εργ. 10-11, Ερ. 2.α, επαναλ. εξ. 11, Ερ. 2.α και 3.β, 2η εργ. 11-12, Ερ. 2.α και 4.γ, 2η εργ. 12-13.

Ασκήσεις επαγωγής πολύ συχνά θέμα εξετάσεωνείτε στην Λογική είτε στα Γραφήματα. Δεν προλαβαίνουμε να μιλήσουμε γιαΣυζευκτική / Διαζευκτική Κανονική Μορφή καιΠλήρη Σύνολα Συνδέσμων.

Page 21: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 21

Σημασιολογική ΠροσέγγισηΑποτίμηση: ανάθεση τιμών αλήθειας στις μεταβλητές ενός π.τ.

Από τιμές αλήθειας μεταβλητών, δενδροδιάγραμμα, και πίνακεςαλήθειας λογικών συνδέσμων, υπολογίζουμε τιμή αλήθειας π.τ. Λογικοί σύνδεσμοι ορίζονται με πίνακες αλήθειας.

p q ¬ p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p → q p ↔ q

Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α

Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α

Page 22: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 22

Λογική ΣυνεπαγωγήΑν αληθεύει το p, τότε αληθεύει το q :p → q .Όσοι εδώ μέσα δεν έχουν σχέση μετην ΠΛΗ 20, φοράνε μαγιό. Αν είμαι ο Πρόεδρος των ΗΠΑ, τότε όλοι βαθμολογείστε με 10.Αν ήμουν πρωθυπουργός, θα είχα καταργήσει το μνημόνιο.

p q p → q

(≡ ¬ p ∨ q)

Α Α Α

Α Ψ Ψ

Ψ Α Α

Ψ Ψ Α

Page 23: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 23

Σημασιολογική ΠροσέγγισηΤαυτολογική ισοδυναμία φ ≡ ψ

Για κάθε αποτίμηση, φ και ψ έχουν ίδια τιμή αλήθειας.Απόδειξη είτε με πίνακα αλήθειας είτε με ιδιότητεςλογικών συνδέσμων. Π.χ.

Ταυτολογία φ: φ πάντα Α (για κάθε αποτίμηση). φ αντίφαση ανν ¬φ ταυτολογία.

Ικανοποιήσιμος φ: φ δεν είναι αντίφαση. Τ = {φ1, ..., φk} ικανοποιήσιμο: φ1 ∧ ... ∧φk ικανοποιήσιμος.

Υπάρχει αποτίμηση που ικανοποιεί (ταυτόχρονα) όλους τουςτύπους του Τ.

Page 24: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 24

ΠαραδείγματαΝδο ταυτολογία.

Αν p = Α, τότε Α(αληθές συμπέρασμα).Αν p = Ψ, τότε Α(ψευδής υπόθεση).

Νδο ταυτολογία. Κάθε π.τ. με ίδια συντακτική μορφή φ ∧ (φ → ψ) → ψ(για κάθε φ, ψ) είναι ταυτολογία!

p q p → q (p → q) → p ((p → q) → p) → p

Α Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Α Α

Ψ Α A Ψ Α

Ψ Ψ A Ψ Α

Page 25: Plh20 Oss2(Color)

25

ΠαραδείγματαΝδοικανοποιήσιμος, όχι ταυτολογία.

Ικανοποιήσιμος φ: π.χ. p = q = r = Α ή p = q = Α και r = Ψ.Όχι ταυτολογία φ: r = Ψ και είτε p = A, q = Ψ είτε p = ψ, q = Α.

p q r p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → r (p ∨ q) → r φ

Α Α Α Α Α Α Α Α

Α A Ψ Α Α Ψ Ψ Α

Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α

Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α

Page 26: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 26

Ταυτολόγιες και ΑντιφάσειςΠοιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες και ποιοιαντιφάσεις;

Page 27: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 27

Ταυτολογική ΣυνεπαγωγήΣύνολο π.τ. Τ συνεπάγεται ταυτολογικά π.τ. φ, Τ |= φ :

Κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και τον φ.(φ έπεται αναγκαία από υποθέσεις στο Τ).

∅ |= φ (ή απλά |= φ ) δηλώνει ότι φ ταυτολογία.Αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ |= φ για κάθε π.τ. φ!

Θ2.5: Τ |= φ ανν Τ ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο.

Page 28: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 28

Σημασιολογική ΠροσέγγισηΈστω σύνολο π.τ.Ποιές από τις παρακάτω αληθεύουν;

Δείτε Ερ. 4, 2η εργ. 07-08 (και μαζί Θεώρ. 2.5 ). Θεώρημα Συμπάγειας (2.6):

Τ άπειρο σύνολο π.τ. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο τουείναι Τ ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο.

Page 29: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 29

Σημασιολογική ΠροσέγγισηΠοιές ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν:

Παρατηρήσεις για ταυτολογικές συνεπαγωγές:μη ικανοποιήσιμο |= οτιδήποτεοτιδήποτε |= ταυτολογίαταυτολογία |= μόνο ταυτολογίαμόνο μη ικανοποιήσιμο |= αντίφαση

Page 30: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 30

Σημασιολογική ΠροσέγγισηΠοιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν;

Page 31: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 31

Ικανοποιήσιμα ΣύνολαΕίναι ικανοποιήσιμα τα σύνολα Τ1 και T2;

Μοναδική αποτίμηση που ικανοποιεί Τ1: q και r Α, p Ψ.

Τ2 δεν είναι ικανοποιήσιμο: Πρέπει p και q A. Τότε όμως πρέπει r A γιανα ικανοποιείται ο 1ος τύπος, και r Ψ για να ικανοποιείται ο 2ος τύπος.

Ποιος τύπος του Τ2 αποτελεί ταυτολογική συνέπεια του Τ1;Όποιος τύπος του Τ2 ικανοποιείτα από την μοναδική αποτίμησηπου ικανοποιεί Τ1: q και r Α, p Ψ.Αφού p Ψ, δεν ικανοποιείται 3ος. Αφού p Ψ, και ¬r Ψ, 2ος γίνεται Α → Ψ, και δεν ικανοποιείται. Αφού p Ψ, ικανοποιείται 1ος.

Page 32: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 32

Ερώτημα 2.β, 2η Εργ. 2011-2012Νδο Τ |= φ → ¬ψ ανν Τ ∪ {φ, ψ} μη ικανοποιήσιμο.

Τ |= φ → ¬ψ ανν [φ → ¬ψ ≡ ¬(φ ∧ ψ)]Τ |= ¬(φ ∧ ψ) ανν [Θεώρημα 2.5]Τ ∪ {φ ∧ ψ} μη ικανοποιήσιμο αννΤ ∪ {φ, ψ} μη ικανοποιήσιμο

Page 33: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 33

Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (I)

Αντιμεταθετική p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p

Προσεταιριστική p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Επιμεριστική p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Διπλή άρνηση ¬ ¬ p ≡ p

Αντικατάσταση συνεπαγωγής

p → q ≡ ¬p ∨ q

Page 34: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 34

Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (II)

Αποκλεισμός τρίτου p ∨ ¬p ≡ Α

Αντιθετοαναστροφή p → q ≡ ¬q → ¬p

Εξαγωγή p ∧ q → r ≡ p → (q → r)

De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Άρνηση συνεπαγωγής ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬ q

Page 35: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 35

ΠαράδειγμαΑπλοποίηση προτασιακού τύπου:

Page 36: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 36

Παράδειγμα (ερ. 2.2, 2η εργ. 07-08)

Ύποπτος δηλώνει: «Λέω την αλήθεια ανν είμαι ένοχος».Γνωρίζουμε ότι είτε λέει πάντα αλήθεια είτε πάντα ψέματα.Μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι ένοχος;

p ≡ «λέει αλήθεια»q ≡ «είναι ένοχος»

Δήλωση: p ↔ q.

Πρέπει να αληθεύει ότι: p ↔ (p ↔ q)

p q p ↔ q p ↔ (p ↔ q)

Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Ψ Α

Ψ Ψ Α Ψ

Page 37: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 37

Παράδειγμα (ερ. 5, 2η εργ. 06-07)

Ο κόσμος χωρίζεται σε ευγενείς και απατεώνες.Ευγενείς: πάντα αλήθεια. Απατεώνες: πάντα ψέματα.

Κάποιος δηλώνει: «Αν είμαι ευγενής, τότε η σύζυγός μου είναι ευγενής».

Είναι ευγενής; Η σύζυγός του;

p ≡ «άνδρας ευγενής»≡ «άνδρας λέει αλήθεια»

q ≡ «σύζυγος ευγενής»Δήλωση: p → q.

Πρέπει να αληθεύει ότι: p ↔ (p → q)

p q p → q p ↔ (p → q)

Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Α Ψ

Ψ Ψ Α Ψ

Page 38: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 38

Συντακτική Προσέγγιση –Προτασιακός Λογισμός

Αξιωματικό Σύστημα (όχι μοναδικό):ΑΣ1:ΑΣ2:ΑΣ3:

Αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens:Ξεκινώντας από αξιώματα (ή υποθέσεις), και μόνο με συντακτική αντικατάσταση και MP,αποδεικνύουμε τυπικά θεωρήματα.

|– φ : φ είναι τυπικό θεώρημα.Τ |– φ : φ αποδεικνύεται τυπικά από υποθέσεις Τ.

Page 39: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 39

Τυπικές ΑποδείξειςΤυπική απόδειξη για |– φ → φ1. φ → ((φ → φ) → φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ → φ)2. (φ → ((φ → φ) → φ)) → ((φ → (φ → φ)) → (φ → φ))

ΑΣ2 με (φ, φ), (ψ, φ → φ), και (χ, φ)

3. (φ → (φ → φ)) → (φ → φ) 2, 1, ΜΡ4. φ → (φ → φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ)5. φ → φ 3, 4, ΜΡ

Page 40: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 40

Συντακτική vsΣημασιολογική Προσέγγιση

Εγκυρότητα: Πληρότητα:

Σημασιολογική Προσέγγιση– ταυτολογία: |= φ

– ταυτολ. συνεπαγωγή Τ |= φ

– ικανοποιήσιμο Τ

– μη ικανοποιήσιμο Τ

– αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ |= φ, για κάθε φ.

Συντακτική Προσέγγιση– τυπικό θεώρημα: |– φ

– απόδειξη με υποθέσεις Τ |– φ

– συνεπές Τ:

– αντιφατικό Τ:

– αν Τ αντιφατικό, τότε Τ |– φ, για κάθε φ.

Page 41: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 41

Τυπικές ΑποδείξειςΤυπική απόδειξη για ¬φ |– (¬ψ → φ) → ψ1. (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ) ΑΣ3 με (φ, ψ) και (ψ, φ)2. ¬φ → (¬ψ → ¬φ) ΑΣ1 με (φ, ¬φ) και (ψ, ¬ψ)3. ¬φ Υπόθεση4. ¬ψ → ¬φ 2, 3, ΜΡ5. (¬ψ → φ) → ψ 1, 4, ΜΡ

Ποιά από τα παρακάτω προκύπτουν άμεσα από αξιώματα;φ → φχ → (χ → χ)φ → (ψ → χ)(φ → ¬ψ) → ((φ → ψ) → ¬φ)

Page 42: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 42

Τυπικές ΑποδείξειςΕίναι σωστή τυπική απόδειξη για ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ1. ψ Υπόθεση2. ψ → (¬φ → ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, ¬φ)3. ¬φ → ψ 2, 1, ΜΡ4. (¬φ → ψ) → ((¬φ → ¬ψ) → φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ¬ψ)5. (¬φ → ¬ψ) → φ 4, 3, ΜΡ

Το βήμα 4 είναι λάθος!!!

Page 43: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 43

Τυπικές ΑποδείξειςΣωστή τυπική απόδειξη για ¬¬ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ1. ¬¬ψ Υπόθεση2. ¬¬ψ → (¬φ → ¬¬ψ) ΑΣ1 με (φ, ¬¬ψ) και (ψ, ¬φ)3. ¬φ → ¬¬ψ 2, 1, ΜΡ4. (¬φ → ¬¬ψ) → ((¬φ → ¬ψ) → φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ¬ψ)5. (¬φ → ¬ψ) → φ 4, 3, ΜΡ

Με χρήση του |– ψ → ¬¬ψ μπορούμε να αποδείξουμεκαι ότι ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ

Page 44: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 44

ΜεταθεωρήματαΘεώρημα Απαγωγής:Θ. Αντιθετοαναστροφής:

Τυπική απόδειξη για |– φ → ¬¬φ

Θ. Απαγωγής σε Άτοπο: Αν Τ ∪ {φ} αντιφατικό, Τ |– ¬φΓια νδο |– (φ → χ) → ((φ → (χ → ψ)) → (φ → ψ)) ...

... αρκεί νδο { φ → χ, φ → (χ → ψ), φ } |– ψ.1. φ Υπόθεση2. φ → (χ → ψ) Υπόθεση3. χ → ψ 2, 1, ΜΡ4. φ → χ Υπόθεση5. χ 4, 1 ΜΡ6. ψ 3, 5, ΜΡ

Ισχύει και ότι αν Τ |– φ → ψ, τότε Τ ∪ {φ} |– ψ(αλλά χρειάζεται απόδειξη, όχι δύσκολη!).

Page 45: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 45

ΠαραδείγματαΝδο (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) |– (φ → ψ) → ((¬ψ → φ) → ψ)

Λόγω Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο{ (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ), φ → ψ } |– (¬ψ → φ) → ψ

1. φ → ψ Υπόθεση2. (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) Υπόθεση3. ¬ψ → ¬φ 3, 2, ΜΡ

4. (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ) ΑΣ3 με (φ, ψ) και (ψ, φ)5. (¬ψ → φ) → ψ 1, 4, ΜΡ

Χωρίς απαγωγή;

Για τυπικές αποδείξεις και προτασιακό λογισμό, δείτε ακόμη:Ερ. 6, 7, και 8, 2η Εργ. 05-06, ερ. 4 και 9, 2η Εργ. 06-07, Ερ. 2 και4(*), 2η Εργ. 07-08, ερ. 4, 2η Εργ. 08-09, ερ. 4.1, 2η Εργ. 09-10, ερ. 4, 2η Εργ. 10-11, ερ. 4, 2η Εργ. 11-12, ερ. 4, 2η Εργ. 12-13.

Page 46: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 46

Ερωτ. 4.β και 4.γ, 2η Εργ. 11-12Ερ. 4.γ: νδο αν Τ ∪ {¬φ} αντιφατικό, τότε Τ |– φ.

Αν Τ ∪ {¬φ} αντιφατικό, τότε [Θ. Απαγωγής σε Άτοπο] Τ |– ¬¬φ.Αν Τ |– ¬¬φ, τότε [|– ¬¬φ → φ] Τ |– φ.

Ερ. 4.β: νδο {χ → ¬ψ, φ} |– χ → ¬(φ → ψ)Από Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο {χ → ¬ψ, φ, χ} |– ¬(φ → ψ)Από Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδοτο {χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό. Το {χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό, γιατί:

{χ, χ → ¬ψ, φ, φ → ψ} |– ψ, και{χ, χ → ¬ψ, φ, φ → ψ} |– ¬ψ.

Νδο {φ, ¬(ψ → φ)} είναι αντιφατικό. Υπόθεση φ, ΑΣ1 και MP αποδεικνύουν ψ → φ.

Page 47: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 47

Τυπικές ΑποδείξειςΜε χρήση Θ. Απαγωγής, νδο{φ → (ψ → χ), (φ → ψ) → φ} |– (φ → ψ) → χΑπό Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο:{φ → (ψ → χ), (φ → ψ) → φ, φ → ψ} |– χ1. φ → ψ Υπόθεση2. (φ → ψ) → φ Υπόθεση3. φ 1, 2, ΜΡ4. ψ 3, 1, ΜΡ5. φ → (ψ → χ) Υπόθεση6. ψ → χ 3, 5, ΜΡ7. Χ 4, 6, ΜΡ

Page 48: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 48

Παράδειγμα Επαγωγήςμε Τυπική Απόδειξη

Ακολουθία π.τ. ψn : ψ0 ≡ φ → φ, και ψn ≡ φ → ψn–1Νδο για κάθε φυσικό n, |– ψn .

Βάση: Για n = 0, πράγματι |– φ → φ (γνωστό τυπικό θεώρημα).Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετο n, |– ψn .Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο |– ψn+1 .

Εξ’ ορισμού: ψn+1 ≡ φ → ψn

Προκύπτει ευθέως από επαγ. υπόθεση και Θ. Απαγωγής.Εναλλακτικά:

1. ψn Τυπικό Θεώρημα (επαγ. υπόθεση)2. ψn → (φ → ψn) ΑΣ13. φ → ψn 1,2, ΜΡ

Page 49: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 49

Άσκηση«Αντιφατικό» και «μη ικανοποιήσιμο» ισοδύναμες αλλάόχι ταυτόσημες έννοιες: ισοδυναμία χρειάζεται απόδειξη. Νδο σύνολο π.τ. Τ είναι αντιφατικό ανν είναι μη ικανοποιήσιμο.

Τ αντιφατικό ⇒⇒ T |– φ για κάποια αντίφαση φ (άμεση συνέπεια ορισμού)⇒ Τ |= φ για κάποια αντίφαση φ (Θ. Εγκυρότητας)⇒ Τ ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο (Θ. 2.5)⇒ Τ μη ικανοποιήσιμο (¬φ ταυτολογία)Τ μη ικανοποιήσιμο ⇒⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ ∪ {¬φ} και Τ ∪ {¬¬φ} μη ικανοποιήσιμα⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ |= φ και Τ |= ¬φ (Θ. 2.5)⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ |– φ και Τ |– ¬φ (Θ. Πληρότητας)⇒ Τ αντιφατικό (εξ’ ορισμού)

Page 50: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 50

Άσκηση (ερ. 2.1, 2η Εργ. 09-10)

Έστω Τ ένα άπειρο σύνολο π.τ. Νδο αν Τ αντιφατικό,υπάρχει πεπερασμένο Τ0 ⊆ Τ: Τ0 |– φ για κάθε φ.

Τ αντιφατικό ⇒

⇒ Τ μη ικανοποιήσιμο⇒ ∃πεπερασμένο Τ0 ⊆ Τ: Τ0 μη ικανοποιήσιμο (Θ. Συμπάγειας)⇒ ∃πεπερασμένο Τ0 ⊆ Τ: Τ0 |= φ για κάθε φ (Παρ. 3, σελ. 33)⇒ ∃πεπερασμένο Τ0 ⊆ Τ: Τ0 |– φ για κάθε φ (Θ. Πληρότητας)

Page 51: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 51

Άσκηση (ερ. 8, 2η Εργ. 05-06)

Έστω Τ άπειρο σύνολο π.τ. και φ π.τ.Νδο αν Τ |= φ, τότε υπάρχει πεπερασμένο Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 |= φ.

Τ |= φ(Πληρότητα) ⇒ Τ |– φ

(πεπερασμένο τυπ. αποδ.) ∃ πεπερ. Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 |– φ

(Εγκυρότητα) ⇒ ∃ πεπερ. Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 |= φ

Δείτε ακόμη ερ. 2.1, 2η Εργ. 09-10.

Page 52: Plh20 Oss2(Color)

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2013 - 2014) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 52

Άσκηση (ερ. 8, 2η Εργ. 05-06)

Έστω Τ άπειρο σύνολο π.τ. και φ π.τ.Αν Τ |= φ, τότε υπάρχει πεπερασμένο Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 |= φ.Να αποδείξετε το Θ. Συμπάγειας:

Έστω Τ άπειρο σύνολο π.τ. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολοτου Τ είναι ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο. Απαγωγή σε άτοπο: έστω ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Τείναι ικανοποιήσιμο αλλά το Τ δεν είναι ικανοποιήσιμο. Θεωρούμε αντίφαση φ , άρα ¬φ ταυτολογία.Τ ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο (Θ2.5) ⇒ Τ |= φ

(προηγούμενο) ⇒ ∃ πεπερ. Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 |= φ

(Θ2.5) ⇒ ∃ πεπερ. Τ0 ⊆ T ώστε Τ0 ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο(¬φ ταυτολογία) ⇒ Τ0 μη ικανοποιήσιμο, άτοπο!