ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
-
Upload
dimitris-psounis -
Category
Education
-
view
3.265 -
download
0
Embed Size (px)
Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20
������� 2: �������� �� ���
������ 2.1:
����������� ���������������� �����
�������� ��!��
����������
������������� ��� �
�������
�� ��� �� ���������
�� ��� �� ��������
� ��� �� ����!"���
�� ����� ��# ���$%&���$
� '�$%��%�(�� �� �!"���
����������� �����������������������������������
� '�$%��%�(�� �� �!"���
)� �����#�#�!"���
� * � �#������!"��$
�� ! ������
� �$�+ �#
)� ,� $����������!"��
)� - $�$����'� .����������+�
���������
�� ��������- $�#�#
� /������
)� /+ ����&
�. ���"� ��# ���������
����$%� �
� � ���������� &'(���
� ����������� ����� ��� )������������ ��#�
� ��!�!��� ���*$#����� ���+� ����#
����$%� ,
� (-)
���������� �����������������������������������
� (-)
����$%�
� (-)
B. -$.������������� ��&���
!���������� �����������������������������������
� � ���������� ��&��� $�!�� � �������$�� !� ��!�$'�������#! �$
����������:
� � �!��(��!� &'(���, ��� �� �#!������" ���.
� � ��"��� �$ ��! ����� �#!%#�*�#�$ $��)$������� ����$��/!�# !�
$0�&�#�$ �#��$�������.
� ����$��/!�# !� $���$#)�$� �#�"� � (%����'��) ��")��, ������$#�*�!��� �$
���%�� &'(��$� ��# ������! !� ��!�$'�������#! �'�/!� ��� ���
�$���'��$� %��/� ��� �#��$�������'�&���, �''� ��� ��� �$��&��+�� ��#
�"���#:
� � ���������� '(��� ( 0- '(��� ,����� 0) $�!�� ��'� '�&��� ��#
��!�$'����$� ������$�� ��# $�!�� �('��$��) � ($#%/��).
� � '(��� ��� ����&���������� ��&���� ( 1- '(��� ,����� 1) $�!��
���).���/!� '�&��� ��# ����$� !� ��!�$'������$� �$���'��$�
������$�� �.! ���������(!.
� ….��� ��''/� ��"�� ��# $�!�� $��"� �'��….

B. -$.���1. ���������� ��&���1. ���������� '(���
"���������� �����������������������������������
B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� �����
#���������� �����������������������������������
)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬
B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� ����� (1.����$���"���� �#!%/��.!)
$���������� �����������������������������������
� ������*$��� ����$���"���� �.! '�&��(! �$'$��(!, (��$ !� ��! $�!��
�!�&���� � �'���� ���$!�$�������� �.! ���������(! ���.!:
� ����%$�&����:
1. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$����:
2. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$����:
3. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$���� .�
$0��:
qp ∧¬ ))(( qp ∧¬
rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→
rqqp ¬∨↔¬∧
( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧
B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� ����� (2.�$!%��%��&����� �#��#)
%���������� �����������������������������������
� � ����$���"���� �.! '�&��(! �#!%/��.! #��%$��!�$��� ��� �$ ��
%$!%��%��&����� ��# ����# ��# #��%$��!�$� ��! ����$���"���� �.!
'"&��(! ���0$.!.
������ ��: �� ������$#���$� �� %$!%��%��&����� ��# ����#: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
� �������� ��� %$!%��%��&����� �$ ���$ �$��1��� «%�()!�#�$» ��!
'�&��" ��!%$��� �$ ��! )���'"�$�� ����$���"����.
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→
p q¬ rp→ q¬
qq p r

B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#
&���������� �����������������������������������
��������� �.! �$��1'��(! $�!�� !� �!��/��#�$ ���/� � (=�'��$��) � (= /��)
���� ���������/� �$��1'��/� $!"� ����#. ��!�� %�'�%� ��� �#!������ � ��#
%�!$� ���/� ���� ���������/� �$��1'��/�:
� ��������� $!"� ����# $�!�� � %��%������ ��# $+���"*�#�$ ����$��/!�# !�
����'�0�#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �'���� � $#%�� �!�'�&� �$ ��! ���������
},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa
� �$ ��� ��������� �.! �$��1'��(!, �������$ !� ���������#�$ /!�!
���������" ����, �$ 1��� ��! �'�����!��� �.! ���������(! �#!%/��.!:
����'�0�#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �'���� � $#%�� �!�'�&� �$ ��! ���������
�.! ���������(! �$��1'��(!.
' ' ' ' ' '
' '
' ' ' '
' ' '
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#
������������ �����������������������������������
� 2�����$� ���������$�� &�� ��! �'�����!��� �.! �#!%/��.!:
' ' ' ' ' '
' '
' ' ' '
' ' '
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
� 2�����$� ���������$�� &�� ��! �'�����!��� �.! �#!%/��.!:
� � ����� /)$� ��! �!���$�� ���� ��" ��! ����
� � ����� $�!�� �"!� "��!
$�!�� � �! /��. /!� ��" �� $�!�� �
� � ����� $�!�� � �"!� "��!
$�!�� �! /��. /!� ��" �� $�!��
� � ����� $�!�� �"!� "��! (%�'�%� )
$�!�� � �$ ���$ �''� �$����.�� ��� ��)��#!:
���
� � ����� $�!�� � "��! (/)�#! ��! �%�� ����)
$�!�� "��! (/)�#! %��+��$���� ����)
φ¬ φ
ψφ ∧ Α==ψφψφ,
ψφ ∨ Ψ==ψφψφ,
ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α
Α=→Ψ ... Α=Α→...
ψφ ↔ ψφ =
ψφ ≠
B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#
������������ �����������������������������������
� �$ )���� ��# ��!��� �'��$��� �.! ���������(! �#!%/��.! �������$ !�
���������#�$ �����!%����$ ���������" ����, "��! /)�#�$ &!(�� ���
���������� �.! ���������(! �$��1'��(!:
� 2������ �� +�!$� � ����$���"���� �.! �$'$��(! /��� (��$ !� ��!�#�$
�.��� ��! �$��� �.! '�&��(! ���0$.!:
������ �� 1: �� ��������$� � �����: #�" ��! ��������� �.!
�$��1'��(!:
����:
������ �� 2: �� ��������$� � �����: #�" ��! ��������� �.!
�$��1'��(!:
����:
rqqp ¬∨→¬∧
Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp
rqqp ¬∨→¬∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp
Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa
B. -$.���2. 2����������"� ���.!
������������ �����������������������������������
� 3!�� ���������"� ����� �� )��������*$���:
� ��#��'�&��: �! $�!�� �'���� &�� ���$ ���������
� �!��+���: �! $�!�� $#%�� &�� ���$ ���������
� ���!����������: �! #���)$� ��������� &�� ��! ����� $�!�� �'����.

B. -$.���2. 2����������"� ���.!1. ��#��'�&��
� ���������� �����������������������������������
� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� ��#��'�&��, ��/�$�:
� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.
� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: �('����)
�����"�:
3!�� ���������"� ����� $�!�� ��#��'�&�� �! $�!�� �'���� &�� "'$� ���
��������$�� �.! �$��1'��(!.
� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: �('����)
� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#
������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� ��#��'�&��
�’ ��"���:
������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:
#!$�(� $�!�� ��#��'�&��
,’ ��"���: ����������$ "�� $�!�� ��!�� , ��� � ����� $�!�� ��� $�!��
��!�� �'����
( ) qpp →¬∧
' '
'
'
( ) qpp →¬∧qp
( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧
( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧
( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ
( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
( )pp ¬∧ ...→Ψ
B. -$.���2. 2����������"� ���.!2. �!��+���
�!���������� �����������������������������������
� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �!��+���, ��/�$�:
� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.
� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: ($#%��)
�����"�:
3!�� ���������"� ����� $�!�� �!��+��� �! $�!�� 4$#%�� &�� "'$� ���
��������$�� �.! �$��1'��(!.
� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: ($#%��)
� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� �!��+���
�’ ��"���:
������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:
#!$�(� $�!�� �!��+���
,’ ��"���:
�! p= , �"�$ � ����� $�!��
�! p=A, �"�$ � ����� $�!�� . ‘��� $�!�� �!��+���.
( )pqp →¬∧
' '
'
'
qp ( )pqp →¬∧
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α
( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ
( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
Ψ=∧Ψ ...
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q
B. -$.���2. 2����������"� ���.!3. ���!���������� �����
�"���������� �����������������������������������
� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� ���!����������, ��/�$�:
� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.
� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ��#'�)����! ��� &�����: �('����)
� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#
�����"�: 3!�� ���������"� ����� $�!�� ���!���������� �! $�!�� �'���� &��
��#'�)����! ��� ��������� �.! ���������(! �$��1'��(!.
� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� ���!����������
����:
������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:
5�� $�!�� /!�� ���!���������� ����� (&���� �.). ���!����$���� �$ ��! ��������� p=A, q=A)
( )qpp →→
' '
'
'
qp ( )qpp →→
( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp
���!���"! ���$ ��#��'�&�� $�!�� ���!���������� �����!
B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�
�#���������� �����������������������������������
�����"�:
3!�� ����� $�!�� �$ ��!�!��� %��*$#����� ���+� (���), �! $�!�� ��� ���+��:
"��# ���$ 4i $�!�� ��� ���+��:
��� �� xij $�!�� �$��1'��/� � ��!��$�� ���������(! �$��1'��(!
nψψψ ∨∨∨ ...21
1 2...
mi i ix x x∧ ∧ ∧
� ���$ ����� &��+$��� �$ ��!�!��� %��*$#����� ���+� �$ ��! $0�� %��%������:
��� �� xij $�!�� �$��1'��/� � ��!��$�� ���������(! �$��1'��(!

B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�,��� 1: ������$#� �'�����!���
�$���������� �����������������������������������
������ ��: �� 1�$�$� � �.�.�. ��# ����#:
����:
������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:
( )rqp →¬→
' ' '
' '
qp ( )rqp →¬→r
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
� ��!���� �'��$�$� ���! 2�, ��! 5�, ��! 6�, ��! 7� ��� ��! 8� &�����.
' '
' '
'
' '
'
'
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�,����� 2-3: �0�&.&� ��!�!���� ���*$#������ ���+��
�%���������� �����������������������������������
(…�#!/)$��…)
��+�#�$ ���$ &����� ��# �'��$�$� � ����� ��! ��*$#0�:
• � 2� &�����:
• � 5� &�����:
• � 6� &�����:
rqp ¬∧∧
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧∧¬
• � 6 &�����:
• � 7� &�����:
• � 8� &�����:
#!$�(� � ��!�!��� %��*$#����� ���+� ��# ����# $�!��:
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧¬∧¬
rqp ¬∧¬∧¬
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧
( )rqp →¬→
. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!
�&���������� �������������������() *)�����
. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!
������������ �������������������() *)�����

. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!
������������ �������������������() *)�����
�. �����$��5����� ����!"���� 1
������������ �����������������������������������
1. �� ��������$� � �����:
�$%��/!�� ��� ���������� �(p)=A, �(q)= , �(r)=
2. �� ��������$� � �����:
)( qrpp ¬→↔¬∧
2. �� ��������$� � �����:
�$%��/!�� ��� ���������� �(p)= , �(q)= , �(r)=
)()( rqqp ∧¬∨∧¬
�. �����$��5����� ����!"���� 2
� ���������� �����������������������������������
�� ������$#��$�$ ��! ��!��� �'��$��� �.! ���.!:
�)
,)
)()(1 qpqp ∨↔∧=φ
))(()(2 ppqpp →→→→=φ
)
��� �$ 1��� ��! ��!��� �'��$��� !� $0$���$�$ &�� ���$ ����, �! $�!��
��#��'�&��, �!��+��� � ���!����������.
)()(3 qrrp →∨¬∧=φ
�. �����$��5����� ����!"���� 3
�!���������� �����������������������������������
�� $0$���$�$ �! � ��"'�#��� ����� $�!�� ��#��'�&��, �!��+��� �
���!���������� ������$#�*�!��� ��! ��!��� �'��$��� ��#:
( )rqp →→=1φ

�. �����$��5����� ����!"���� 4
�"���������� �����������������������������������
�� 1�$��$ ��! ��!�!��� %��*$#����� ���+� ��# ����#:
qpqp ∧→∨=1φ
�. �����$����.���$�� 1
�#���������� �����������������������������������
�� �������. ����� $�!�� ��#��'�&�$�.
1.1 2 1( )p p p∨ →
2.
3.
4.
1 1 2( )p p p→ ∨
1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧
1 1 2( )p p p→ →
�. �����$����.���$�� 2
�$���������� �����������������������������������
��#� �������. ����#� �� p1, p2 $�!�� ���������/� �$��1'��/�
1.1. � ������ ����� $�!�� ��#��'�&��$�!�� ��#��'�&��
2.2. �� ���������� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��
1 2 1( )p p p∨ →
1 2 1( )p p p∧ →2.2. �� ���������� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��
3.3. � ����� � ����� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��
4.4. �� ����� ����� $�!�� ��#��'�&��$�!�� ��#��'�&��
1 2 1( )p p p∧ →
1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨
( )212 ppp →→
�. �����$���+����&� 1
�%���������� �����������������������������������
(�) ���$� ��" ��� �������. $�+���$�� $�!�� ����� ��� ��:
i) (p → ¬q) → (p¬q)
ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q
iii) p → (¬q → r ∨ q)
iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q)) iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))
v) p → q → r
vi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)
(,) ���/� ��" ��� $�+���$�� ��# $�.������� 1 ��# $�!�� �����, $�!�� ���
���+��: i) � → �, ii) � → (� → �). $ ���$ ��� ��" ��� �$����(�$��, $0�&$���$
����� $�!�� �� �!������)�� �������� �, �, 4.

�. �����$���+����&� 2
�&���������� �����������������������������������
,�$��$ ��� ��������� ��# !� ���!����$� ��! ��"����
�����'�&���$�����'�&���$ ��! ���!���� ���.��! ���!���� ���.
3 3 1 1 1 2 1 2 3 4
1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5
(( ) ) (( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p
∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →
∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬
�����'�&���$�����'�&���$ ��! ���!���� ���.��! ���!���� ���.