ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

8
20 2: 2.1: ! !" # $%&$ ’$%%( !" ’$%%( !" ) ## !" *# !"$ ! $+# ) ,$ !" ) -$$ ’. + -$## / ) /+& . " # $% &’( ) # !! *$# + # $% , (-) (-) $% (-) B. -$. & ! & $! $ ! !$’#! $ : !(! &’(, #!" . " $ ! #!%#*#$ $)$ $/!# ! $0&#$ #$. $/!# ! $$#)$ #" (%’) "), $#*! $ % &’($ # ! ! !$’#! ’/! $’$ %/ #$’&, ’’ $&+ # "#: ’( ( 0 -’( , 0) $! ’ ’& # !$’$ $ # $! (’$) ($#%/). ’( & & ( 1 -’( , 1) $! )./! ’& # $ ! !$’$ $’$ $ .! (!. …. ’’/ " # $! $" ’….

Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

Page 1: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

���20

������� 2: �������� �� ���

������ 2.1:

����������� ���������������� �����

�������� ��!��

����������

������������� ��� �

�������

�� ��� �� ���������

�� ��� �� ��������

� ��� �� ����!"���

�� ����� ��# ���$%&���$

� '�$%��%�(�� �� �!"���

����������� �����������������������������������

� '�$%��%�(�� �� �!"���

)� �����#�#�!"���

� * � �#������!"��$

�� ! ������

� �$�+ �#

)� ,� $����������!"��

)� - $�$����'� .����������+�

���������

�� ��������- $�#�#

� /������

)� /+ ����&

�. ���"� ��# ���������

����$%� �

� � ���������� &'(���

� ����������� ����� ��� )������������ ��#�

� ��!�!��� ���*$#����� ���+� ����#

����$%� ,

� (-)

���������� �����������������������������������

� (-)

����$%�

� (-)

B. -$.������������� ��&���

!���������� �����������������������������������

� � ���������� ��&��� $�!�� � �������$�� !� ��!�$'�������#! �$

����������:

� � �!��(��!� &'(���, ��� �� �#!������" ���.

� � ��"��� �$ ��! ����� �#!%#�*�#�$ $��)$������� ����$��/!�# !�

$0�&�#�$ �#��$�������.

� ����$��/!�# !� $���$#)�$� �#�"� � (%����'��) ��")��, ������$#�*�!��� �$

���%�� &'(��$� ��# ������! !� ��!�$'�������#! �'�/!� ��� ���

�$���'��$� %��/� ��� �#��$�������'�&���, �''� ��� ��� �$��&��+�� ��#

�"���#:

� � ���������� '(��� ( 0- '(��� ,����� 0) $�!�� ��'� '�&��� ��#

��!�$'����$� ������$�� ��# $�!�� �('��$��) � ($#%/��).

� � '(��� ��� ����&���������� ��&���� ( 1- '(��� ,����� 1) $�!��

���).���/!� '�&��� ��# ����$� !� ��!�$'������$� �$���'��$�

������$�� �.! ���������(!.

� ….��� ��''/� ��"�� ��# $�!�� $��"� �'��….

Page 2: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. -$.���1. ���������� ��&���1. ���������� '(���

"���������� �����������������������������������

B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� �����

#���������� �����������������������������������

)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬

B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� ����� (1.����$���"���� �#!%/��.!)

$���������� �����������������������������������

� ������*$��� ����$���"���� �.! '�&��(! �$'$��(!, (��$ !� ��! $�!��

�!�&���� � �'���� ���$!�$�������� �.! ���������(! ���.!:

� ����%$�&����:

1. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$����:

2. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$����:

3. � ����� �$ 1��� ��! ����$���"���� �.! �#!%/��.! ���$!�$�����$���� .�

$0��:

qp ∧¬ ))(( qp ∧¬

rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→

rqqp ¬∨↔¬∧

( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧

B. -$.���1. ���������� ��&���2. ����������� ����� (2.�$!%��%��&����� �#��#)

%���������� �����������������������������������

� � ����$���"���� �.! '�&��(! �#!%/��.! #��%$��!�$��� ��� �$ ��

%$!%��%��&����� ��# ����# ��# #��%$��!�$� ��! ����$���"���� �.!

'"&��(! ���0$.!.

������ ��: �� ������$#���$� �� %$!%��%��&����� ��# ����#: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧

( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧

� �������� ��� %$!%��%��&����� �$ ���$ �$��1��� «%�()!�#�$» ��!

'�&��" ��!%$��� �$ ��! )���'"�$�� ����$���"����.

( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧

qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→

p q¬ rp→ q¬

qq p r

Page 3: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#

&���������� �����������������������������������

��������� �.! �$��1'��(! $�!�� !� �!��/��#�$ ���/� � (=�'��$��) � (= /��)

���� ���������/� �$��1'��/� $!"� ����#. ��!�� %�'�%� ��� �#!������ � ��#

%�!$� ���/� ���� ���������/� �$��1'��/�:

� ��������� $!"� ����# $�!�� � %��%������ ��# $+���"*�#�$ ����$��/!�# !�

����'�0�#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �'���� � $#%�� �!�'�&� �$ ��! ���������

},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa

� �$ ��� ��������� �.! �$��1'��(!, �������$ !� ���������#�$ /!�!

���������" ����, �$ 1��� ��! �'�����!��� �.! ���������(! �#!%/��.!:

����'�0�#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �'���� � $#%�� �!�'�&� �$ ��! ���������

�.! ���������(! �$��1'��(!.

' ' ' ' ' '

' '

' ' ' '

' ' '

φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#

������������ �����������������������������������

� 2�����$� ���������$�� &�� ��! �'�����!��� �.! �#!%/��.!:

' ' ' ' ' '

' '

' ' ' '

' ' '

φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

� 2�����$� ���������$�� &�� ��! �'�����!��� �.! �#!%/��.!:

� � ����� /)$� ��! �!���$�� ���� ��" ��! ����

� � ����� $�!�� �"!� "��!

$�!�� � �! /��. /!� ��" �� $�!�� �

� � ����� $�!�� � �"!� "��!

$�!�� �! /��. /!� ��" �� $�!��

� � ����� $�!�� �"!� "��! (%�'�%� )

$�!�� � �$ ���$ �''� �$����.�� ��� ��)��#!:

���

� � ����� $�!�� � "��! (/)�#! ��! �%�� ����)

$�!�� "��! (/)�#! %��+��$���� ����)

φ¬ φ

ψφ ∧ Α==ψφψφ,

ψφ ∨ Ψ==ψφψφ,

ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α

Α=→Ψ ... Α=Α→...

ψφ ↔ ψφ =

ψφ ≠

B. -$.���1. ���������� ��&���3. ��������� ����#

������������ �����������������������������������

� �$ )���� ��# ��!��� �'��$��� �.! ���������(! �#!%/��.! �������$ !�

���������#�$ �����!%����$ ���������" ����, "��! /)�#�$ &!(�� ���

���������� �.! ���������(! �$��1'��(!:

� 2������ �� +�!$� � ����$���"���� �.! �$'$��(! /��� (��$ !� ��!�#�$

�.��� ��! �$��� �.! '�&��(! ���0$.!:

������ �� 1: �� ��������$� � �����: #�" ��! ��������� �.!

�$��1'��(!:

����:

������ �� 2: �� ��������$� � �����: #�" ��! ��������� �.!

�$��1'��(!:

����:

rqqp ¬∨→¬∧

Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp

rqqp ¬∨→¬∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp

Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa

B. -$.���2. 2����������"� ���.!

������������ �����������������������������������

� 3!�� ���������"� ����� �� )��������*$���:

� ��#��'�&��: �! $�!�� �'���� &�� ���$ ���������

� �!��+���: �! $�!�� $#%�� &�� ���$ ���������

� ���!����������: �! #���)$� ��������� &�� ��! ����� $�!�� �'����.

Page 4: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. -$.���2. 2����������"� ���.!1. ��#��'�&��

� ���������� �����������������������������������

� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� ��#��'�&��, ��/�$�:

� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.

� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: �('����)

�����"�:

3!�� ���������"� ����� $�!�� ��#��'�&�� �! $�!�� �'���� &�� "'$� ���

��������$�� �.! �$��1'��(!.

� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: �('����)

� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#

������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� ��#��'�&��

�’ ��"���:

������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:

#!$�(� $�!�� ��#��'�&��

,’ ��"���: ����������$ "�� $�!�� ��!�� , ��� � ����� $�!�� ��� $�!��

��!�� �'����

( ) qpp →¬∧

' '

'

'

( ) qpp →¬∧qp

( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧

( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧

( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ

( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ

( )pp ¬∧ ...→Ψ

B. -$.���2. 2����������"� ���.!2. �!��+���

�!���������� �����������������������������������

� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� �!��+���, ��/�$�:

� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.

� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: ($#%��)

�����"�:

3!�� ���������"� ����� $�!�� �!��+��� �! $�!�� 4$#%�� &�� "'$� ���

��������$�� �.! �$��1'��(!.

� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ���$ &�����: ($#%��)

� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� �!��+���

�’ ��"���:

������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:

#!$�(� $�!�� �!��+���

,’ ��"���:

�! p= , �"�$ � ����� $�!��

�! p=A, �"�$ � ����� $�!�� . ‘��� $�!�� �!��+���.

( )pqp →¬∧

' '

'

'

qp ( )pqp →¬∧

( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α

( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α

( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ

( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ

Ψ=∧Ψ ...

( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q

B. -$.���2. 2����������"� ���.!3. ���!���������� �����

�"���������� �����������������������������������

� �� !� $0����1(��#�$ "�� /!�� ����� $�!�� ���!����������, ��/�$�:

� ���$ !� ������$#���#�$ ��! ��!��� �'��$���.

� -� ��/�$� � ����� !� $�!�� �$ ��#'�)����! ��� &�����: �('����)

� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#

�����"�: 3!�� ���������"� ����� $�!�� ���!���������� �! $�!�� �'���� &��

��#'�)����! ��� ��������� �.! ���������(! �$��1'��(!.

� ���$ !� ��)�$� ������ ���������� &�� ��! %��� ��# ����#������ ��: �� �$'$���$� �! � ����� $�!�� ���!����������

����:

������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:

5�� $�!�� /!�� ���!���������� ����� (&���� �.). ���!����$���� �$ ��! ��������� p=A, q=A)

( )qpp →→

' '

'

'

qp ( )qpp →→

( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp

���!���"! ���$ ��#��'�&�� $�!�� ���!���������� �����!

B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�

�#���������� �����������������������������������

�����"�:

3!�� ����� $�!�� �$ ��!�!��� %��*$#����� ���+� (���), �! $�!�� ��� ���+��:

"��# ���$ 4i $�!�� ��� ���+��:

��� �� xij $�!�� �$��1'��/� � ��!��$�� ���������(! �$��1'��(!

nψψψ ∨∨∨ ...21

1 2...

mi i ix x x∧ ∧ ∧

� ���$ ����� &��+$��� �$ ��!�!��� %��*$#����� ���+� �$ ��! $0�� %��%������:

��� �� xij $�!�� �$��1'��/� � ��!��$�� ���������(! �$��1'��(!

Page 5: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�,��� 1: ������$#� �'�����!���

�$���������� �����������������������������������

������ ��: �� 1�$�$� � �.�.�. ��# ����#:

����:

������$#�*�#�$ ��! ��!��� �'��$��� ��# ����#:

( )rqp →¬→

' ' '

' '

qp ( )rqp →¬→r

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp

� ��!���� �'��$�$� ���! 2�, ��! 5�, ��! 6�, ��! 7� ��� ��! 8� &�����.

' '

' '

'

' '

'

'

( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

B. -$.���3. ��!�!��� ���*$#����� ���+�,����� 2-3: �0�&.&� ��!�!���� ���*$#������ ���+��

�%���������� �����������������������������������

(…�#!/)$��…)

��+�#�$ ���$ &����� ��# �'��$�$� � ����� ��! ��*$#0�:

• � 2� &�����:

• � 5� &�����:

• � 6� &�����:

rqp ¬∧∧

rqp ¬∧∧¬

rqp ∧∧¬

• � 6 &�����:

• � 7� &�����:

• � 8� &�����:

#!$�(� � ��!�!��� %��*$#����� ���+� ��# ����# $�!��:

rqp ¬∧∧¬

rqp ∧¬∧¬

rqp ¬∧¬∧¬

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧

( )rqp →¬→

. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!

�&���������� �������������������() *)�����

. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!

������������ �������������������() *)�����

Page 6: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

. �$��%�'�&��1. !.��/� ���+/� ���.!

������������ �������������������() *)�����

�. �����$��5����� ����!"���� 1

������������ �����������������������������������

1. �� ��������$� � �����:

�$%��/!�� ��� ���������� �(p)=A, �(q)= , �(r)=

2. �� ��������$� � �����:

)( qrpp ¬→↔¬∧

2. �� ��������$� � �����:

�$%��/!�� ��� ���������� �(p)= , �(q)= , �(r)=

)()( rqqp ∧¬∨∧¬

�. �����$��5����� ����!"���� 2

� ���������� �����������������������������������

�� ������$#��$�$ ��! ��!��� �'��$��� �.! ���.!:

�)

,)

)()(1 qpqp ∨↔∧=φ

))(()(2 ppqpp →→→→=φ

)

��� �$ 1��� ��! ��!��� �'��$��� !� $0$���$�$ &�� ���$ ����, �! $�!��

��#��'�&��, �!��+��� � ���!����������.

)()(3 qrrp →∨¬∧=φ

�. �����$��5����� ����!"���� 3

�!���������� �����������������������������������

�� $0$���$�$ �! � ��"'�#��� ����� $�!�� ��#��'�&��, �!��+��� �

���!���������� ������$#�*�!��� ��! ��!��� �'��$��� ��#:

( )rqp →→=1φ

Page 7: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �����$��5����� ����!"���� 4

�"���������� �����������������������������������

�� 1�$��$ ��! ��!�!��� %��*$#����� ���+� ��# ����#:

qpqp ∧→∨=1φ

�. �����$����.���$�� 1

�#���������� �����������������������������������

�� �������. ����� $�!�� ��#��'�&�$�.

1.1 2 1( )p p p∨ →

2.

3.

4.

1 1 2( )p p p→ ∨

1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧

1 1 2( )p p p→ →

�. �����$����.���$�� 2

�$���������� �����������������������������������

��#� �������. ����#� �� p1, p2 $�!�� ���������/� �$��1'��/�

1.1. � ������ ����� $�!�� ��#��'�&��$�!�� ��#��'�&��

2.2. �� ���������� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��

1 2 1( )p p p∨ →

1 2 1( )p p p∧ →2.2. �� ���������� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��

3.3. � ����� � ����� $�!��$�!�� ��#��'�&����#��'�&��

4.4. �� ����� ����� $�!�� ��#��'�&��$�!�� ��#��'�&��

1 2 1( )p p p∧ →

1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨

( )212 ppp →→

�. �����$���+����&� 1

�%���������� �����������������������������������

(�) ���$� ��" ��� �������. $�+���$�� $�!�� ����� ��� ��:

i) (p → ¬q) → (p¬q)

ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q

iii) p → (¬q → r ∨ q)

iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q)) iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))

v) p → q → r

vi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)

(,) ���/� ��" ��� $�+���$�� ��# $�.������� 1 ��# $�!�� �����, $�!�� ���

���+��: i) � → �, ii) � → (� → �). $ ���$ ��� ��" ��� �$����(�$��, $0�&$���$

����� $�!�� �� �!������)�� �������� �, �, 4.

Page 8: ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)

�. �����$���+����&� 2

�&���������� �����������������������������������

,�$��$ ��� ��������� ��# !� ���!����$� ��! ��"����

�����'�&���$�����'�&���$ ��! ���!���� ���.��! ���!���� ���.

3 3 1 1 1 2 1 2 3 4

1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5

(( ) ) (( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p

∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →

∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬

�����'�&���$�����'�&���$ ��! ���!���� ���.��! ���!���� ���.