Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 1

Βασική θεωρία & μεθοδολογία

Οριζόντια βολή

Αν από κάποιο ύψος h εκτοξεύσουμε ένα σώμα με οριζόντια ταχύτητα υ0 και κατά

τη διάρκεια της κίνησής του δέχεται μόνο το βάρος του, τότε το σώμα αυτό θα

εκτελέσει μια σύνθετη κίνηση η οποία αποτελείται από δύο απλές κινήσεις:

μια κατακόρυφη κίνηση που είναι ελεύθερη πτώση

μια οριζόντια κίνηση που είναι ευθύγραμμη ομαλή.

Η σύνθετη αυτή κίνηση ονομάζεται οριζόντια βολή.

𝝊𝟎⃗⃗⃗⃗

h

Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, καθεμία από

αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία

φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται

ταυτόχρονα είτε εκτελούνται διαδοχικά σε χρόνο t η καθεμία. Αυτό αποτελεί τη

διατύπωση της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων ή αρχής της επαλληλίας.

𝜐0⃗⃗ ⃗ θ

y

𝜐𝑥⃗⃗ ⃗

h 𝜐𝑦⃗⃗⃗⃗ 𝜐

x

Ευθύγραμμη ομαλή

κίνηση

Ελεύθ

ερη

πτώ

ση

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 2

Στον οριζόντιο άξονα το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή

ταχύτητα υ0. Συνεπώς ισχύουν οι τύποι:

𝒙 = 𝝊𝟎𝒕 𝜿𝜶𝜾 𝝊𝒙 = 𝝊𝟎 (𝝈𝝊𝝂𝜺𝝌ώ𝝇)

Η οριζόντια απόσταση x που διανύει το σώμα λέγεται και βεληνεκές της οριζόντιας

βολής.

Στον κατακόρυφο άξονα το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Συνεπώς ισχύουν οι

τύποι:

𝒚 =𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐 𝜿𝜶𝜾 𝝊𝒚 = 𝒈𝒕

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα υ ενός σώματος κάποια χρονική στιγμή

(και όχι μόνο τις συνιστώσες υx και υy), εφαρμόζουμε τον κανόνα του

παραλληλογράμμου όπως φαίνεται στο σχήμα και πυθαγόρειο θεώρημα για τον

υπολογισμό της τιμής της:

𝝊 = √𝝊𝒙𝟐 + 𝝊𝒚

𝟐

Και επειδή κάθε διάνυσμα χρειάζεται και τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης, αυτή

καθορίζεται από τη γωνία θ:

𝜀𝜑𝜃 =𝜐𝑦

𝜐0

ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν πρέπει να συγχέουμε το ύψος h με την κατακόρυφη

απόσταση y. To ύψος h είναι η απόσταση του σώματος από το έδαφος

τη χρονική στιγμή t=0, ενώ η κατακόρυφη απόσταση y είναι το διάστημα

που έχει διανύσει το σώμα σε κάποιο χρονικό διάστημα.

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 3

Εάν θέλουμε να υπολογίσουμε το χρόνο που χρειάζεται το σώμα που εκτελεί

οριζόντια βολή για να φτάσει στο έδαφος, κάνουμε τα εξής:

𝑦 =1

2𝑔𝑡2 (ό𝜋𝜊𝜐 𝑦 = ℎ)

ℎ =1

2𝑔𝑡2

2ℎ = 𝑔𝑡2

𝑡2 =2ℎ

𝑔

𝑡 = √2ℎ

𝑔

Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι ο χρόνος κίνησης για να

φτάσει το σώμα στο έδαφος εξαρτάται μόνο από το αρχικό ύψος από το

οποίο εκτοξεύουμε το σώμα.

Στην οριζόντια βολή συχνά μας ζητείται να γράψουμε την εξίσωση τροχιάς του

σώματος. Η εξίσωση τροχιάς είναι η εξίσωση που συνδυάζει τις συντεταγμένες x,y

της θέσης όπου βρίσκεται το σώμα κάθε χρονική στιγμή. Για να βρούμε την εξίσωση

της τροχιάς, γράφουμε τις εξισώσεις x=f(t) και y=f(t) και από τις αυτές εξισώσεις

απαλείφουμε το χρόνο έτσι ώστε να προκύψει μια εξίσωση της μορφής y=αx.

Δηλαδή:

𝑦 =1

2𝑔𝑡2 (Με αντικατάσταση στην πάνω σχέση, προκύπτει:)

𝑦 =1

2𝑔(

𝑥

𝜐0)2

𝑥 = 𝜐0𝑡 ή 𝑡 =𝑥

𝜐0 𝑦 =

1

2𝑔

𝑥2

𝜐02

𝑦 =𝑔

2𝜐02𝑥2

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 4

Ομαλή κυκλική κίνηση

Μια κυκλική κίνηση ονομάζεται ομαλή, όταν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος

που εκτελεί την κίνηση παραμένει σταθερό. (Η κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει

συνεχώς αφού η τροχιά είναι καμπυλόγραμμη).

Περίοδος Τ ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό ώστε να εκτελέσει μία

πλήρη περιφορά. Μονάδα μέτρησης το 1 s.

Συχνότητα f ονομάζεται ο αριθμός περιφορών που εκτελεί το σώμα στη μονάδα του

χρόνου. Η συχνότητα υπολογίζεται από τη σχέση:

Ν ο αριθμός των περιφορών

𝑓 =𝑁

𝛥𝑡

Δt η χρονική διάρκεια στην

οποία πραγματοποιήθηκαν οι

περιφορές αυτές

Τι σημαίνει η έκφραση «σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση με συχνότητα 5 Hz»;

Σημαίνει ότι το σώμα εκτελεί 5 κύκλους κάθε ένα δευτερόλεπτο.

Θέτοντας στον τύπο 𝑓 =𝑁

𝛥𝑡 όπου Ν=1 περιφορά, τότε η χρονική διάρκεια Δt ισούται

με την περίοδο Τ, συνεπώς ισχύει και:

𝑓 =1

𝑇

Μονάδα μέτρησης της συχνότητας

είναι το 1 Hz (1 κύκλος το

δευτερόλεπτο).

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 5

H γραμμική ταχύτητα �⃗⃗� για ένα σώμα το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση είναι ένα

διάνυσμα εφαπτόμενο στην κυκλική τροχιά στο σημείο όπου βρίσκεται κάθε

χρονική στιγμή το κινητό, το οποίο έχει τη φορά της κίνησης και σταθερό μέτρο που

υπολογίζεται από τη σχέση:

Μήκος τόξου που διανύει

𝜐 =𝑠

𝛥𝑡

Χρονική διάρκεια κίνησης

υ

υ υ

υ

υ

υ

ΠΡΟΣΟΧΗ: Είπαμε ότι στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της

ταχύτητας παραμένει σταθερό. Επομένως η έκφραση «η ταχύτητα στην

ομαλή κυκλική κίνηση παραμένει σταθερή», ενώ φαίνεται σωστή, στην

ουσία είναι λανθασμένη!!

Λανθασμένη διότι στην ομαλή κυκλική κίνηση, μπορεί το μέτρο της

ταχύτητας να μη μεταβάλλεται, η κατεύθυνση του διανύσματος της

ταχύτητας όμως μεταβάλλεται συνεχώς.

Σωστή είναι η έκφραση «το μέτρο της ταχύτητας στην ομαλή κυκλική

κίνηση παραμένει σταθερό». Άρα η ομαλή κυκλική κίνηση είναι μια

μεταβαλλόμενη κίνηση.

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 6

Αν στη σχέση 𝜐 =𝑠

𝛥𝑡 βάλουμε όπου 𝑠 = 2𝜋𝑅 δηλαδή το μήκος του κύκλου

για μια πλήρη περιστροφή και 𝛥𝑡 = 𝑇 (μιας και το σώμα χρειάζεται μια περίοδο

για να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή), τότε προκύπτει η σχέση:

𝜐 =2𝜋𝑅

𝑇 ή 𝜐 = 2𝜋𝑅𝑓 αν θέσουμε

1

𝛵= 𝑓

Η γραμμική ταχύτητα είναι η «κανονική» ταχύτητα ενός κινητού

που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, δηλαδή η ταχύτητα που

δείχνει το ταχύμετρο ενός αυτοκινήτου που κινείται ομαλά σε μια

κυκλική πλατεία.

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 7

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διάνυσμα που έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της

κυκλικής τροχιάς, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς αυτής, φορά που

υπολογίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρο που υπολογίζεται από τον

τύπο:

H επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε rad.

𝜔 =𝜃

𝛥𝑡

Η χρονική διάρκεια για να διαγραφεί η γωνία θ.

Μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας στο S.I. είναι το 1 rad/s.

�⃗⃗�

υ

υ

Η γωνιακή ταχύτητα (μέτρο & κατεύθυνση) παραμένει σταθερή στην ομαλή

κυκλική κίνηση, διότι η επιβατική ακτίνα διαγράφει ίσες γωνίες σε ίδιες χρονικές

διάρκειες, το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι πάντοτε κάθετο στο επίπεδο

της κυκλικής τροχιάς και η φορά της πάντα ίδια αφού δεν αλλάζει η φορά κίνησης

του σώματος.

Ο κανόνας του δεξιού χεριού αναφέρει ότι το διάνυσμα �⃗⃗� έχει τη φορά του

αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν τα υπόλοιπα δάκτυλα ακολουθούν τη φορά

περιστροφής του κινητού.

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 8

Επίσης, επιβατική ακτίνα είναι η ακτίνα που γυρίζει μαζί με το σώμα, μια νοητή

ακτίνα δηλαδή που περιστρέφεται μαζί με το σώμα.

Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας μετρά το πόσο γρήγορα το σώμα

που εκτελεί την κυκλική κίνηση διαγράφει τόξα, ένω το μέτρο της

γωνιακής ταχύτητας μετρά τα πόσο γρήγορα η επιβατική ακτίνα

διαγράφει επίκεντρες γωνίες.

Η σχέση που συνδέει το μήκος ενός τόξου με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία

που βαίνει στο τόξο αυτό είναι:

𝑠 = 𝑟 ∙ 𝜃

Η σχέση που συνδέει τα μέτρα της γωνιακής και της γραμμικής ταχύτητας σε

μια κυκλική κίνηση είναι:

𝜐 = 𝜔 ∙ 𝑟

Απόδειξη: Στη σχέση 𝜐 =𝑠

𝛥𝑡 αντικαθιστούμε με 𝑠 = 𝑟𝜃, οπότε προκύπτει

𝜐 =𝑟𝜃

𝛥𝑡 ή 𝜐 =

𝜃

𝛥𝑡𝑟

και επειδή ισχύει ότι 𝜔 =𝜃

𝛥𝑡 , προκύπτει η σχέση: 𝜐 = 𝜔𝑟

Για τον υπολογισμό της γωνιακής ταχύτητας συνήθως δε χρησιμοποιούμε τη

σχέση του ορισμού της, αλλά δύο τύπους που τη συνδέουν με την περίοδο

και τη συχνότητα αντίστοιχα:

𝜔 =2𝜋

𝛵 𝜅𝛼𝜄 𝜔 = 2𝜋𝑓

H πρώτη σχέση προκύπτει αν στον τύπο 𝜔 =𝜃

𝛥𝑡 θέσουμε όπου Δt=T, όπου η

επιβατική ακτίνα διαγράφει ένα πλήρη κύκλο, δηλαδή θ=2π rad (360°).

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 9

Η επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι η κεντρομόλος

επιτάχυνση ακ. Έχει σημείο εφαρμογής το σώμα που εκτελεί την κίνηση, διεύθυνση

που ταυτίζεται με τη διεύθυνση της επιβατικής ακτίνας, φορά προς το κέντρο της

κυκλικής τροχιάς και μέτρο που υπολογίζεται από τη σχέση:

𝛼𝜅 =𝜐2

𝑟

Η επιτάχυνση αυτή δεν οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας, αλλά

στην αλλαγή της κατεύθυνσης του διανύσματος της ταχύτητας, δηλαδή μετράει το

πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας του

σώματος.

H κεντρομόλος επιτάχυνση προκαλείται από μια δύναμη, η οποία είναι η

συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στη διεύθυνση της

επιβατικής ακτίνας και ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη Fκ. Έχει την ίδια

κατεύθυνση με την κεντρομόλο επιτάχυνση, δηλαδή προς το κέντρο της κυκλικής

τροχιάς.

Σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα ισχύει:

𝐹𝜅 = 𝑚𝑎𝜅 ή 𝐹𝜅 = 𝑚𝜐2

𝑟 ή 𝐹𝜅 =

𝑚𝜐2

𝑟

Σημειώσεις Φυσικής Β’ Λυκείου

Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 10

Παρατηρήσεις

Ένα σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από ένα καθορισμένο

κέντρο, έχει συνεχώς το ίδιο μέτρο γραμμικής ταχύτητας, γωνιακής

ταχύτητας, κεντρομόλου επιτάχυνσης και δύναμης κτλ. Διαφορετικά σημεία

όμως τα οποία ανήκουν σε έναν κυκλικό δίσκο (πχ δίσκος cd), μπορεί να

έχουν διαφορετικές τιμές των προηγούμενων μεγεθών, αφού

καθοριστικός παράγοντας είναι η ακτίνα r που απέχουν από το κέντρο της

κυκλικής τροχιάς. Τα μεγέθη που δε μεταβάλλονται είναι η γωνιακή

ταχύτητα, η περίοδος και η συχνότητα, τα οποία δεν εξαρτώνται από την

ακτίνα r.

Όταν θέλουμε να βρούμε τη σχέση που συνδέει δύο μεγέθη (πχ τη σχέση

των γραμμικών ταχυτήτων δύο σημείων), συνήθως κάνουμε διαίρεση κατά

μέλη.

Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι απαραίτητα μία δύναμη, αλλά η

συνισταμένη δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό.

𝐹1⃗⃗ ⃗

𝐹2⃗⃗ ⃗

Στο παραπάνω σχήμα η κεντρομόλος δύναμη είναι: 𝐹𝜅 = 𝛴𝐹 = 𝐹1 − 𝐹2

Για τον υπολογισμό των περιστροφών Ν που εκτελεί το σώμα

χρησιμοποιούμε δύο τύπους της λογικής:

𝛮 =𝜃

2𝜋 𝜅𝛼𝜄 𝛮 =

𝑠

2𝜋𝑟