Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeine Wellenlehre Wellenfunktion Unter einer Welle...
-
Upload
dachs-lehnhardt -
Category
Documents
-
view
138 -
download
1
Transcript of Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeine Wellenlehre Wellenfunktion Unter einer Welle...
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeine WellenlehreWellenfunktion
Unter einer Welle versteht man eine Störung, die sich mit der Zeit im Raume ausbreitet. Mit dem Transport des Bewegungs-zustandes ist ein Transport von Energie verknüpft. Sei x die Ausbreitungsrichtung, und c die Ausbreitungsgeschwin-digkeit.
x
)( 0xx )( 1xx
x0 x1
± v∙t
Dann befindet sich die Störung ψ(x0), welche sich zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x0 befunden hat, nach Ablauf der Zeit t an der Stelle x1 = x0 ± c∙t. Die Form der Auslenkung bleibt erhalten. )(')( 10 xxxx
)v(),( txftx
(fortschreitende Welle)
)v(),( txftx
(fortschreitende Welle)
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeine WellenlehreEigenschaften der
Wellenfunktionψ(x,t) hängt nicht in unabhängiger Weise von x und t ab, sondern nur in der Kombination utx v
2
22
2
2
v
v
)(
xt
dud
tu
ut
dud
tx
ux
uf
Tt
Tt
Tt
t
43
2
4
0
Jede Welle, unabhängig von ihrer Form, muß diese Gleichung erfüllen
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenHarmonische
Wellen Sie lassen sich als harmonische Schwingungen auffassen, die sich mit der Geschwindigkeit ausbreitenTv
Rückschreitende harmonische Welle: )(cos0 xkt
Fortschreitende harmonische Welle:
)(cos0 xkt
t x
Bewegung des Punktes x Momentanaufnahme zur Zeit t
t x
Periode T Wellenlänge λ
T2
Kreisfrequenz: Wellenzahl:
k2
Auslenkung erfolgt in Ausbreitungsgeschwindigkeit
Longitudinalwellen
Transversalwellen
Auslenkung erfolgt senbkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenBeispiele für Wellen
1. Harmonische Oszillatorkette
2
22
2
2
xmak
t
Die Wellengleichung lautet:Die Störung ψ breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v aus:
mak 2
v
k = Federkonstante
m = Masse des Oszillators
a = OszillatorabstandIst die Störung harmonisch, lautet die Welle: kxt cos0
(x = Ausbreitungsrichtung)
Phase:
constxkt
Phasengeschwindigkeit:
Tkdtdx
phph vv
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenBeispiele für
WellenPeriodische Druckschwankungen breiten sich in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern als Schallwellen aus.
tp cos0 p p + d p
xd x
K o l b e n
tp cos0 p p + d p
xd x
K o l b e n
xp
dtd
dxxp
Adtd
Adx
2
2
2
2
dxxp
pdpxpdxxp
)()(
Der Druck an der Stelle x sei p(x), an der Stelle x+dx p(x+dx):
x
x
Betrachten wir die Bewegung des Volumen-elementes dV =A dx an der Stelle x. Die Druckdifferenz führt einerseits zu einer Verschiebung ξ von dV aus seiner Ruhelage gemäß der Gleichung
andererseits nach dem Hook‘ schen Gesetz zu einer Kompression:
2
2
2
2 111xdt
dxV
Vp
• Longitudinale Wellen: z.B. Schallwellen
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenSchallwellen
Wellengleichung : 2
2
2
2 1xt
v
pst c
cP
1
V
P
ccP
v phadiabatische
Zustandsänderung
ist die Kompressibilität bestimmt durch den statischen Druck Pst:
In Gasen: Longitudunalwellen
Isotherme ZustandsänderungstP1
stP
v ph
MetallstabE1
E
v ph
Saite der Spannung T
T
v ph
Beispiel: Luft
][34010013.1][3.14.1 1ph
53 smvPaPmkgcc VP
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenBeispiele für Wellen
• Transversale Wellen: z. elektromagnetische Wellen
Ein einfacher Schwingkreis bestehe aus einem Kondensator C, dessen Platten über einen kreisförmigen Leiter miteinander verbunden seinen. Der Leiter besitzt auf diese Weise eine Induktivität L. Die Eigenfre-quenz beträgt auf diese Weise .
Man kann den Draht so verbiegen, dass die Eigenfrequenz erhalten bleibt. Im Grenzfall erhält man einen linearen Oszillator, den soge-nannten Hertz´schen Dipol. Legt man an ihm eine Wechselspannung mit der Frequenz ω0, werden die elektrischen Ladungen zu Schwingungen angeregt. Dabei strahlen sie elektromagnetische Wellen ab.
CL 10
AqntI
dtdv
aAqntI
v
cossin 00
(A = Leiterquerschnitt n = Elektronendichte q = Ladung)
sdEadBdtd
A
sdBadE
dtd
A
00
1mit:
2
2
002
2
2
2
002
2 11zB
tB
undzE
tE
findet man:
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDer Hertz‘ sche Dipol
L
C
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDie Hertz‘sche Dipolstrahlung
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenStrahlung eines schwingenden Dipols
tDipolmomenp
tpp
.max
sin
0
0
20
4 pconstEStrahlung
2
2cosr
const
+
-
Phasengeschwindigkeit im Vakuum: 18
00ph 103
1v smc
Phasengeschwindigkeit im Medium:
rrrr
c
111
v00
ph
Berechungsindex n: rr
cn
phv
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenBeispiele für WellenMateriewellen
Nach Louis de Broglie läßt sich jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Welle der Wellenlänge λ ( de Broglie Wellenlänge) zuschreiben:
Wellenzahl2
antumWirkungsquePlanck´sch2
kph
hhp
k
Uempmp
vm
Ue 222
22
Sei U das von den Teilchen durchlaufene Beschleunigungspotential. Dann gilt wegen der Energieerhaltung:
V
A
UUem
h0
3,12
2Elektronen:
thermische Neutronen:
K
m
TTkm
h 71008,1
3
mTkvtherm 3
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenReflexion und Transmission
Trifft eine Welle auf die Grenzfläche zweier Medien, mit unterschied-licher Ausbreitungsgeschwindigkeit, wird ein Teil der Welle reflektiert (Reflexion), ein Teil der Welle wird durchgelassen (Transmission).
an der Grenzfläche gelten folgende Bedingungen:
1. gleiche Kräfte auf beiden Seiten: 0,0,, refinotrans
2. Energieerhaltung :2
0,2
0,2
0, transrefin Mmm
mMMm
roderMmMm
mMm
todermM
m
in
refinref
in
transintrans
0,
0,0,0,
0,
0,0,0,
22
1. Harmonische Oszillatorkette
ref
x = 0
in trans
11
2
k2
2
2
k
Mm
xktinin 10, sin xktrefref 10, sin xkttranstrans 20, sin
Amplitudentransmis-sionskoeffizient
Amplitudenreflexions-koeffizient
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenReflexion und Transmission
Im allgemeinen wird von einer Welle Energie transportiert. Diese ist stets proportional zum Quadrat der Amplitude. Der relative Energie-anteil der reflektierten Welle wird durch den Reflexionsgrad R, der der transmittierten Welle durch den Transmissionsgrad T beschrie-ben:
22
22 4
1MmMm
TTRwegenMmMm
rR
Spezialfälle:
m<M 0 < t < 1 -1 < r < 0
m=M t = 1 r = 0
m>M 1 < t < 2 0 < r < 1
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDer Wellenwiderstand
Analog zum Ladungstransport im Leiter, der durch den Widerstand bestimmt ist, läßt sich die Ausbreitung von Wellen beschreiben durch den Wellenwiderstand Z des Mediums. Dann gilt an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Wellenwiderstand:
21
12
ZZZZ
r
21
22ZZ
Zt
Beispiel: Schallwelle
phvZ
21
2
21
12
vvv2
vvvv
tr
21
1
21
21 2nnn
tnnnn
r
Beispiel: elektromagnetische Welle
nZ
cnHE
Z 0
0
1
3770Z
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenInterferenz von Wellen 101 sin kzt
t
kztkzt
sin
sinsin
0
202101 202 sin kzt
Zwei Wellen treffen sich zur Zeit t im Punkte P. Sie sollen bis dahin verschie-dene Wege zurückgelegt haben
1202012
022
010 cos2 zzk Amplitude:
Phase: 202101
202101
coscos
sinsintan
kzkz
kzkz
konstruktive Interferenz:
1
02010
12 ,...3,2,1,0
kz
nnzz
destruktive Interferenz:
1
02010
12 ,...3,2,1,02
12
kz
nn
zz
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenWellengruppe
Wir haben bisher nur Wellenzüge unendlicher Länge behandelt. Im allgemeinen hat man es aber nur mit endlichen Wellenzügen zu tun.Beispiel: Ein angeregtes Atom sendet Strahlung aus. Dauer
Länge des Wellenzuges: s810
mssmtph 310103v 818
Man kann einen endlichen Wellenzug sich vorstellen als Überlagerung zweier oder mehrerer unendlicher Wellenzüge benachbarter Frequen-zen.
tkt 2202 cos tkt 1101 cos
xktxkt coscos2 021
22
22
peWellengrupderAmplitudecos2
2121
2121
0
kkk
kkk
xkt
x(t) Gruppe
Schwingung
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDispersionx(t) Gruppengeschwindigkeit
vgr
Phasengeschwindigkeit vph
k
v
gr 2121wenn kkund
Gruppengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
kph
v
dkd
v
gr
kph
v
Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig, spricht man von Dispersion.
kfc
kfph v
dk
dkv
dkd
v phphgr
v
in dispersiven Medien ist
phgr vv
Im allgemeinen ist 0v
dk
d ph
0vph dk
d Es liegt anormale Dispersion vor.
Es liegt normale Dispersion vor.
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenStehende Wellen
Sie entstehen bei der Überlagerung von fortschreitenden und rücklau-fenden Wellen.
• Reflexion am festen Ende (M>>m) kxtir cos,0
tkxiri coscos2 ,0
• Reflexion am losen Ende (m>>M)
kxtir cos,0
tkxiri sinsin2 ,0
Es entsteht eine Entkopplung der zeitlichen u. räumlicher Variablen. Ergebnis: Die einzelnen Massenpunkte schwingen mit konstanter Amplitude, die allerdings vom Ort abhängt. Es findet somit auch kein Transport der Energie statt!Ist der Reflexionskoeffizient r<1 erhält man stattdessen:
kxtiin cos,0
txkrr i sin2cos21 ,02
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenStehende Wellen auf einer schwingenden Saite
Bei einer Saite sind die beiden Enden fest eingespannt. Wird eine Schwingung erzeugt, breitet sie sich wellenartig aus. Am Ende wird die Welle reflektiert. Die reflektierte Welle läuft zurück und wird am anderen Ende ihrerseits reflektiert. Es kommt dabei zur Überlage-rung der fortschreitenden und der rücklaufenden Welle. Es entstehen stehende Wellen, wenn die Randbedingungen erfüllt sind:
Knoten: bezeichnet einen Punkt mit der Schwingungsamplitude NullBauch: bezeichnet einen Punkt mit maximaler SchwingungsamplitudeGrundschwingung: n=1 wird festgelegt durch die Länge der Saite 2L=λ
T
Ln
L
n
22
vv phph
nL2
nkLLxx 0)(0)0( n= 1,2,3,4…∞
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenStehende Welle in einem RohrEine Druckschwankung breitet sich in einem Rohr, wo das Gas nicht ausweichen kann, anders aus als im freien Raum. Dies führt dazu, daß die Schallwelle an einem offenen Ende frei schwingen kann. Sie wird dort so reflektiert, als sei M = 0. Der Reflexionskoeffizient ist positiv. Man beobachtet dann stehende Wellen, wenn gilt: nkLxLxxx 00 )()0( n= 1,2,3,4…
∞
nL2
0phph
22
vv PLn
L
n
124
nL
0ph
412
4
v12v PL
nL
n ph
212
0)()0( 0
nkLLxxx n=
0,1,2,3,4…∞
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDopplereffekt
Tritt eine relative Bewegung zwischen dem Erreger der Welle und dem Beobachter auf, mißt man eine Frequenzverschiebungt, die mit zunehmender Geschwindigkeit wächst. Man bezeichnet dieses Phäno-men als den Doppler Effekt (siehe Christian Doppler(1803-1853)).
Bisher sind wir stillschweigend davon ausgegangen, daß der Erreger der Störung (Sender) und der Beobachter (Detektor) in Ruhe sind.
• Bewegte Quelle Sei 0 Ausgestrahlte Frequenz, v die Geschwindigkeit. Dann mißt der ruhende Beobachter die Frequenz
phvv
1
0 BeobachterQ
Flächen gleicher Phase
v
• Bewegter Beobachter
Q BeobachterQ
v
Der bewegte Beobachter misst ‘
ph0 v
1v
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Allgemeines über WellenDer Mach‘ sche Kegel
• Bewegte Quelle mit v > vph
vxR phv
sin
tvph R
tvx
Mach‘ scher Kegel
2R
v
Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03
Leitbilder der PhysikChristian Doppler (1803-1853)
1803 Geboren am 29.11. in Salzburg
Studium der Mathematik und Physik
1835 Physikprofessor in Prag
1848 Professor Polytechnik Wien
1853 Gestorben in Venedig an Lungenerkrankung
Ausbreitung akustischer und optischer Wellen,
Entdeckung des Doppler-Effektes.
25.5.1842: Veröffentlichung des Buches
"Über das farbige Licht der Doppelsterne"
Experimentalphysik II, M. Hein, SS 02
Die lohnendsten Forschungen sind diejenigen, welche, indem sie den Denker erfreu'n, zugleich der Menschheit nützen.