Experimentalphysik IV - uni-freiburg.de · benutzt werden (Elektron und Proton kreisen um...

Experimentalphysik IV

Bernd von Issendor�

12. Juli 2010

1 Atomphysik

1.1 Bemerkungen zur Quantenmechanik

Postulat:Materie hat Welleneigenschaften. Der Zustand eines Systems wird durch eine komplexwertige

Wellenfunktion Ψ beschrieben:

Ψ = Ψ( t︸︷︷︸Zeit

, ~r1, ~r2, ~r3, . . .︸︷︷︸Systemvariablen

)

Für ein einzelnes Teilchen (ohne Spin) ist die Wellenfunktion in Ortsdarstellung:

Ψ = Ψ( ~r︸︷︷︸Ort

, t︸︷︷︸Zeit

)

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r anzutre�en:

P~r = |Ψ(~r, t)|2 = Ψ∗(~r, t) ·Ψ(~r, t)

(genauer: |Ψ(~r, t)|2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte).Daher sollte Ψ 'quadratintegrabel' sein:ˆ

V

|Ψ(~r, t)|2d~r = 1 (V : gesamter Raum)

Die Wellenfunktion enthält nicht nur Informationen über die räumliche Verteilung, sondern auchüber andere physikalische Eigenschaften. �Extraktion� der Informationen erfolgt über Operatoren.Einer physikalischen Gröÿe O (Observable) ist ein hermitescher Operator O zugeordnet. Zu jedemdieser Operatoren gibt es Wellenfunktionen, für die gilt:

OΨ = αΨ

Diese Wellenfunktionen heiÿen Eigenfunktionen des Operators, der reelle Wert α heiÿt Eigenwert(für hermitesche Operatoren sind die Eigenwerte immer reell!).

Die Eigenwerte geben den Wert der physikalischen Gröÿe im System an.Beispiele:

Impulsoperator pΨ = pΨOrtsoperator pΨ = pΨ

gilt ebenso für Ortsfunktionen f(x)Ψ(x, t) = f(x)Ψ(x, t)

Die Operatoren lassen sich als mathematische Operatoren in den Variablen der Wellenfunktionausdrücken.

Beispiel: Impulsoperator für ein einzelnes Teilchen

1D: pΨ(x, t) =~i

∂

∂xΨ(x, t)

3D: ~pΨ(~r, t) =~i~∇Ψ(~r, t) =

~i

∂/∂x∂/∂y∂/∂z

Ψ(~r, t)

1

Beispiel: einfachste Wellenfunktion für einzelnes Teilchen

Ebene WelleΨ(~r) = ei

~k~r = ei(kxx+kyy+kzz)

mit Wellenvektor ~k, |~k| = k = 2πλ

Impulsoperator:

~pΨ =~i~∇Ψ(~r) =

~ii

kxkykz

ei~k~r = ~~k︸︷︷︸

Eigenwert

Ψ(~r)

Der Eigenwert gibt den Impuls des Teilchens an:

~p = ~~k

(|~p| = ~|~k| = ~2πλ

=h

λDies ist die de Broglie-Beziehung.

Hieraus folgt direkt: je stärker sich eine Wellenfunktion mit dem Ort ändert, desto gröÿer istder Impuls.

1.1.1 Hamilton-Operator

Der wichtigste Operator: verbunden mit Gesamtenergie eines Systems. Zugehörige Funktionen inder klassischen Mechanik: die Hamilton-Funktion H = T + V . Für ein einzelnes Teilchen lautetsie:

H = T + V =~p2

2m+ V (~r)

In der QM wird daraus der Hamilton-Operator

H = T + V

Für Eigenfunktionen von ~H gilt:

~HΨ = EΨ

wobei E die Gesamtenergie ist.

Damit lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

HΨ = (~T + ~V )Ψ = EΨ

�Lösen� der Schrödingergleichung bedeutet, dass man für ein gegebenes H die Funktionen sucht,die die Gleichung erfüllen.

1.1.2 Eigenschaften der Eigenfunktionen

Für jeden zu einer Observablen gehörenden Operator gilt: die normierten Eigenfunktionen bildeneinen orthonormalen, vollständigen Satz von Basisfunktionen.

Beispiel: Hamilton-OperatorSei

HΨn = EnΨn

für einen Satz von Ψn mit n = 0, 1, 2, . . .Dann gilt: ˆ

V

Ψ∗m(~r)Ψn(~r)︸︷︷︸Skalarprodukt

d~r = 0 für m 6= n (orthogonal)

ˆ

V

Ψ∗mΨmd~r = 1 (normiert)

2

Auÿerdem gilt für eine beliebige mögliche Funktion Ψ:

Ψ =∞∑n=0

cnΨnmit cn =ˆ

Ψ∗nΨd~r (vollständig)

1.1.3 Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion

Bei zeitunabhängigen H ist die Zeitabhängigkeit einer Eigenfunktion von H gegeben durch:

Ψn(~r, t) = Ψn(~r)e−iωnt

= Ψn(~r)e−iE~ t (mit E = ~ω)

Der Index n heiÿt Quantenzahl und indiziert die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingerglei-chung (kann diskret sein oder auch kontinuierlich).Bei kontinuierlichen Quantenzahlen läÿt sich Ψ nicht mehr als Summe schreiben, sondern es gilt

Ψ =

∞

−∞

c(k)Ψkdk

Als Folge aus der zeitabhängige Schreibweise gilt:

HΨn(~r, t) = EnΨn(~r, t) = −~i

∂

∂tΨn(~r, t)

Für eine beliebige Wellenfunktion gilt damit:

HΨ = H

∞∑n=0

cnΨn =∞∑n=0

cnHΨn =∞∑n=0

cnEnΨn

=∞∑n=0

cn(−~i

)∂

∂tΨn = −~

i

∂

∂t

∞∑n=0

cnΨn

= −~i

∂

∂tΨ

Also

HΨ = −~i

∂

∂tΨ

Dies ist die zeitabhängige Schrödingergleichung!

1.1.4 Einzelnes Teilchen im Potential V (~r)

Wellenfunktion:Φ(~r, t)

Hamiltonoperator:

H = T + V =~p2

2m+ V (~r) =

12m

(p2x + p2

y + p2z) + V (~r)

= − ~2

2m(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2) + V (~r) = − ~2

2m∆ + V (~r)

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

−~i

∂

∂tΦ(~r, t) = (− ~2

2m∆ + V (~r))Φ(~r, t)

Zeitunabhängig:

EnΦn(~r) = (− ~2

2m∆ + V (~r))Φn(~r)

Beispiel:

3

eindimensional, Potential konstant (V (x) = 0)zeitunabhängige Schrödingergleichung:

EkΦk(x) = − ~2

2m∂2

∂x2Φk(x)

Die Lösung lautet:Φk(x) = eikx

mit

Ek =~2k2

2m

Überprüfen: es ist∂2

∂x2eikx = −k2eikx

Einsetzen:

− ~2

2m∂2

∂x2Φk(x) =

~2k2

2mΦk(x) = EkΦk(x)

Man beachte:

� Ek = ~2k2

2m

~k=p= p2

2m (die klassische kinetische Energie eines Teilchens)

� Quantenzahl k: �Wellenzahl� (= Impuls) des freien Teilchens; kontinuierlicher Parameter (!)

Achtung: für Licht gilt eine andere Beziehung:

E = ~ω = hν = hc

λ= ~kc

k, ν wird synonym mit E verwendetZahlenwerte für Licht:

E k ν λ

1eV (1.6 · 10−19J) 8065cm−1 2.4 · 1014s−1 1240nm IR13.6eV 109684cm−1 3.3 · 1015s−1 91.1nm UV

1.2 Wassersto�atom

Experiment:H2 in Glasbehälter unter geringem Druck, daran Spannung von ∼ kV angelegt ⇒LichtemissionDas Lichtspektrum wird gemessen.Der Grund für die Emission ist die statt�ndende Gasentladung: Stöÿe mit Elektronen führen hierzu Dissoziation, Ionisation und Anregung:

e− +H2 → 2H + e− DissoziationH + e− → H∗ + e− StoÿanregungH + e− → H+ + 2e− IonisationH+ + e− → H∗ + hν Radiative Rekombination

H∗ → H + hν Emission

Emittiertes Licht zeigt diskrete Linien mit Energien

E = Ry(1n2− 1m2

), Ry = 13.6eV, n,m = 1, 2, 3, . . .

(Rydberg-Ritz-Formel)

Erklärung: Elektron im H-Atom besetzt Zustände mit Energien

En = −Ry 1n2, n,m = 1, 2, 3, . . . ,∞

Beim Wechsel zwischen Zuständen wird die Di�erenzenergie abgestrahlt (bzw. absorbiert).Bemerkung: Ionisationsenergie (-potential) ist die Energie, um ein Elektron freizusetzen:

Für n = 1⇒ IP = 13.6 eV = 1Ry.

4

1.2.1 Bohrsches Atommodell (1913)

Annahme: Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (Proton).Die beiden Teilchen haben folgende Eigenschaften:

Elektron (me = 9.11 · 10−31kg, qe = −e = −1.602 · 10−19C)Proton (mp = 1.67 · 10−27kg, qp = +e = 1.602 · 10−19C)

(Experimtenteller Befund: die Ladungen qe und −qp unterscheiden sich höchstens um 3 · 10−40C.)

Kreisbewegung: Kräftegleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und Coulomb-Kraft:

mev2

r=

e2

4πε0r2

⇒ p2

2me=

e2

8πε0r

Potentielle Energie (Coulomb-Potential):

Epot = − e2

4πε0r

Kinetische Energie:

Ekin =p2

2me=

e2

8πε0r

⇒ Ekin = −12Epot

(Virialsatz!)

Annahme: Elektron bildet eine stehende Welle auf der Kreisbahn (Elektronenwelle mit Wellen-länge λ), also:

nλ = 2πr

Mit der de-Broglie-Beziehung:

nh

p= 2πr ⇒ p = n

~r, n = 1, 2, 3, . . .

Damit:n2~2

2mer2=

e2

8πε0r⇒ rn =

4πε0~2

me2n2 = a0n

2

mit

a0 =4πε0~2

me2

(erlaubte Radien rn, a0 =Bohr-Radius= 0.53 · 10−10m).

Zugehörige Energie:

En = Epot + Ekin =12Epot = − e2

8πε0rn= − e2

8πε0a0

1n2

also

En = −Ry∞ 1n2

mit

Ry∞ = 109737.319 cm−1

Richtiges Ergebnis (aber zwei Fehler in der Herleitung!).Bemerkung: der angegebene Wert von Ry gilt für mp → ∞. Für die endliche Masse mp muss fürdas Elektron die e�ektive Masse

µ =memp

me +mp≈ 0.9995me

5

benutzt werden (Elektron und Proton kreisen um gemeinsamen Schwerpunkt). Damit wird

RyH =µ

meRy∞=109677.584 cm−1

. Für Deuterium (Kern aus Proton und Neutron) ist

RD =µ

meRy∞=109707.426 cm−1

.

1.2.2 Quantenmechanik: Teilchen im kugelsymmetrischen Potential

In einem kugelsymmetrischen Potential V (r, θ, φ) = V (r) gilt Drehimpulserhaltung.Klassisch ist der Drehimpuls

~L = ~r × ~p

In der QM:

~L = ~r × ~p =

ypz − zpyzpx − xpzxpy − ypx

Operator in Ortsdarstellung:

~L =~i

y ∂∂z − z

∂∂y

z ∂∂x − x

∂∂z

x ∂∂y − y

∂∂x

z-Komponente:

Lz =~i

(x∂

∂y− y ∂

∂x)

Einführung von Kugelkoordinaten:

Transformation durch Ersetzung der Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten durchAbleitungen nach den Kugelkoordinaten, also z.B.:

∂

∂x=∂r

∂x

∂

∂r+∂θ

∂x

∂

∂θ+∂φ

∂x

∂

∂φ

6

Damit wird:

Lx = i~(sinφ∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ)

Ly = i~(− cosφ∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ)

Lz = −i~ ∂

∂φ

und

~L2 = L2x + L2

y + L2z = −~2(

1tan θ

∂

∂θ+

∂2

∂θ2+

1sin θ

∂2

∂φ2)

Man kann zeigen: es gibt Funktionen, die gleichzeitig Eigenfunktionen sind zu ~L2 und Lz (oder

auch zu ~L2 und Lx, etc.). Es gibt keine Funktionen, die gleichzeitig Eigenfunktionen sind zu Lx undLy (oder Lx und Lz, etc.).

Bedeutung: nur der Betrag des Drehimpulses und seine Projektion auf eine Achse (�Quantisie-rungsachse�) können festgelegt werden.

Anschaulich: der Drehimpuls präzediert um die Quantisierungsachse (festgelegt z.B. durch B-Feld).

Betrag und Projektion auf z-Achse sind konstant: die Projektionen auf x- und y-Achse ändernsich ständig.

Die Eigenfunktionen von ~L2 und Lz heiÿen Kugel�ächenfunktionen Y ml (θ, φ).Es gilt:

~L2Y ml (θ, φ) = l(l + 1)~2Y ml (θ, φ)LzY

ml (θ, φ) = m~Y ml (θ, φ)

mit

l = 0, 1, 2, . . . ,∞ Drehimpulsquantenzahl

m = −l,−(l − 1), . . . , 0, . . . ,+l magnetische Quantenzahl

7

⇒ in der QM sind nur Drehimpulse erlaubt mit Betrag√l(l + 1)~; diese können nur bestimmte

Winkel zur Quantisierungsachse annehmen (genauer: diese Zustände bilden die Basis, mit dersich alle Drehimpulse beschreiben lassen).

Beispiel:

l = 2⇒ |~L| =√

6~⇒ m = −2,−1, 0, 1, 2⇒ Lz = m~

Konkret gilt:

Y 00 (θ, φ) =

1√4π

Y −11 (θ, φ) =

√3

8πsin θe−iφ

Y −11 (θ, φ) =

√3

8πsin θe−iφ

Y 01 (θ, φ) =

√3

4πcos θ

Y 11 (θ, φ) =

√3

8πsin θeiφ

Y −22 (θ, φ) =

√15

32πsin2 θe−2iφ

Y −12 (θ, φ) =

√158π

sin θ cos θe−iφ

Y 02 (θ, φ) =

√5

16π(3 cos2 θ − 1)

...

Vorfaktoren aus Normierung: Wie bei allen normierten Eigenfunktionen gilt bei Integration übergesamten Raum:

2π

0

π

0

|Y ml (θ, φ)|2 sin θdθdφ = 1

Ebenso gilt:2π

0

π

0

Y m∗

l Y m′

l′ sin θdθdφ = δll′,mm′ (= 1 falls m = m′ und l = l′)

8

Die Funktionen bilden also ein orthonormales System!

Das Betragsquadrat der Funktionen gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an.Beispiele:

|Y 00 |2 = 1

4π

|Y 01 |2 = 3

4π cos2 θ bevorzugter Aufenthalt bei θ = 0 oder θ = π, keinAufenthalt bei θ = π

2

|Y 11 |2 = 3

8π sin2 θ kein Aufenthalt bei θ = 0 oder θ = π

Der Phasenfaktor eimφ gibt die Drehrichtung an (analog zu ebener Welle: eikx Bewegung in x-Richtung, e−ikx Bewegung entgegen der x-Richtung)

ei|m|φ: rechtshändige Rotation um z-Achse

e−i|m|φ: linkshändige Rotation um z-Achsem = 0: Drehimpuls steht senkrecht zur z-Achse ⇒ wegen Präzession kein resultierender Dreh-

sinn

9

1.2.3 Wassersto�atom in der Quantenmechanik

Hamiltonoperator für das Elektron:

H =~p2

2µ− e2

4πε0|~r|= Ekin + Epot

Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Ortsdartstellung):

HΨ(~r) = (− ~2

2µ∆− e2

4πε0|~r|)Ψ(~r) = EΨ(~r)

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:

∆ =1r

∂2

∂r2r +

1r2

(∂2

∂θ2+

1tan θ

∂

∂θ+

1sin2 θ

∂2

∂φ2) =

1r

∂2

∂r2r − 1

r2

~L2

~2

Damit: Schrödingergleichung des H-Atoms in Kugelkoordinaten:

(− ~2

2µ1r

∂2

∂r2r +

~L2

2µr2− e2

4πε0r)Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)

Ansatz für Wellenfunktion (Separation):

Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y ml (θ, φ)

Hierfür gilt:~L2

2µr2R(r)Y ml (θ, φ) =

l(l + 1)~2

2µr2R(r)Y ml (θ, φ)

⇒ (− ~2

2µ1r

∂2

∂r2r +

l(l + 1)~2

2µr2− V (r))R(r)Y ml (θ, φ) = ER(r)Y ml (θ, φ)

Koe�zientenvergleich (�Teilen durch Y ml �) führt zur �Radialgleichung�:

(− ~2

2µ1r

∂2

∂r2r︸︷︷︸

kin. Energie

+l(l + 1)~2

2µr2− l2

4πε0r︸︷︷︸e�. Potential

)R(r) = ER(r)

(mit l(l+1)~2

2µr2 = Zentrifugalpotential).Klassisch gilt: Zentrifugalkraft im rotierenden System

FZ =µv2

r=p2

µr=

L2

µr3

⇒ Potential

VZ(r) =

∞

r

FZdr =L2

2µr2

Quantenmechanik:L2 → l(l + 1)~2

10

Graphisch: e�ektives Potential

V (r) = l(l+1)~2

2µr2 − e2

4πε0r

Für jeden dieser �Potentialtöpfe� gibt es eine unendliche Serie von Wellenfunktionen (zugeord-neten Laguerre-Polynomen).

Bemerkung: die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ergibt sich durch Integration der 3D-Aufenthaltswahrscheinlichkeit

P (r, θ, φ) = |R(r)Y ml (θ, φ)|2 ⇒ P (r) =

2π

0

π

0

|R(r)|2|Y ml (θ, φ)|2r2 sin θ dθdφ = r2|R(r)|2 = |rR(r)|2

Diskussion für verschiedene Lösungen Rnr,l(r):l = 0 (�s�-Zustände):

Grundzustand (nr = 1):

R1,0(r) =1

a3/20

2e−r/a0

Energie:

E1,0 =e2

8πε0a0= −Ry

(nr = 2):

R2,0(r) =1

a3/20

1√2

(1− r

2a0)e−

r2a0

Energie:

E2,0 = −Ry 14

(nr = 3):

R3,0(r) =1

a3/20

23√

3(1− 2r

3a0+

2r2

27a20

) e−r

3a0

11

Energie:

E3,0 = −Ry 19

Bemerkung: die �Radialquantenzahl� nr ist gleich der Zahl der radialen Knoten+1!

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der verschiedenen Zustände:

Anschauliche Bescheibung: das Elektron schwingt durch den Ursprung; es hat die höchste Aufent-haltswahrscheinlichkeit am äuÿeren Umkehrpunkt.

l = 1 (�p�-Zustände):

Grundzustand (nr = 1):

R1,1(r) =2√3

1(2a0)3/2

r

2a0e−

r2a0

E1,1 = −Ry 14

12

(nr = 2):

R2,1(r) =23

√2

1(3a0)3/2

r

3a0(2− r

3a0)e−

r3a0

E2,1 = −Ry 19

Aufenthaltswahrscheinlichkeit:

l = 2 (�d�-Zustände):

E1,2 = −Ry 19

E2,2 = −Ry 116

Die Energien sind identisch für nr + l = const. ! (gilt aber nur für 1r -Potentiale)

⇒ neue Quantenzahl: �Hauptquantenzahl�

n = nr + l

13

Damit Wellenfunktionen:Ψn,l,m(r, θ, φ) = R(n−l),lY

ml (θ, φ)

Vollständig angegeben:

n,l,m Ψ En,l,m = En Bezeichnung

1,0,0 1√π

1

a3/20

e−r/a0 −1Ry 1s

2,0,0 1√32π

1

a3/20

(2− ra0

)e−r/2a0 −Ryn2 = −Ry4 2s

2,1,0 1√32π

1

a3/20

ra0e−r/2a0 cos θ −Ry4 2p

2,1,±1 1√64π

1

a3/20

ra0e−r/2a0 sin θ e±iφ −Ry4 2p

3,0,0 181√

3π1

a3/20

(27− 18 ra0

+ 2 r2

a20)e−r/3a0 −Ry9 3s

3,1,0√

281√π

1

a3/20

(6− ra0

) ra0e−r/3a0 cos θ −Ry9 3p

Bemerkung: Für l = n − 1 (also nr = 1) ist die Bewegung in r minimal, die sind also �Kreis-bahnen�.

Hier gilt

P (r) = |rR(r)|2 = r2ne−2r

na0

⇒ dP

dr= (2nr2n−1 + r2n(− 2n

na0))e−

2rna0 = 0

fürr = n2a0 (Bohr-Radius!)

Das Maximum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht dem Radius des n-ten Zustands desBohr-Atoms!

1.2.4 Kinetische Energien der Bewegung im H-Atom

Für Eigenfunktionen einer Observablen gilt:

OΨ(~r) = OΨ(~r)

(mit O ∈ R). Ist Ψ keine Eigenfunktion, gilt

OΨ = f(~r)Ψ(~r)

Um den mittleren Wert von O auszurechnen, muss über den Ort gemittelt werden:

< O >Ψ=ˆ

Ψ∗(~r)OΨ(~r)d~r

(Erwartungswert von O). Wir betrachten die kinetischen Energien der Bewegung:Radial:

Er =p2r

2m= − ~2

2m(1r

∂2

∂r2r)

Tangential:

El =~L2

2m~r2

Es gilt: es gibt gemeinsame Eigenfunktionen zu H und ~L2, aber nicht zu H und p2r oder zu H und

~L2

~r2. (Drehimpuls ist Erhaltungsgröÿe, aber nicht die kinetische Energie der Drehbewegung).

14

Ausrechnen der Erwartungswerte:

< Er >l,n,m =ˆ ∞

0

ˆ 2π

0

ˆ π

0

R∗(r)Y m∗l (θ, φ)[p2r

2mR(r)Y ml (θ, φ)]r2 sin θdθdφdr

= − ~2

2m

ˆ ∞0

R(r)[(1r

∂2

∂r2r)R(r)]r2dr

< El >l,n,m =ˆ ∞

0

ˆ 2π

0

ˆ π

0

R∗(r)Y m∗l (θ, φ)[~L2

2mr2R(r)Y ml (θ, φ)]r2 sin θdθdφdr

=l(l + 1)~2

2m

ˆ ∞0

R(r)1r2R(r)r2dr

Ebenso: potentielle Energie:

< V >n,l,m =e2

4πε0

ˆ ∞0

Rn,l(r)1rRn,l(r)r2dr

Für die verschiedenen Zustände ergeben sich folgende Resultate:

Zustand n,l,m pot. En. < V > rad. kin. En. < Er > tang. kin. En.< Ek > Eges

1s 1, 0, 0 − e2

4πε0a0= −2Ry 1Ry 0 −1Ry

2s 2, 0, 0 −2Ry 14 Ry 1

4 0 −Ry 14

2p 2, 1, 0 −2Ry 14 Ry 1

12 Ry 212 −Ry 1

4

2p 2, 1,±1 � � � �3s 3, 0, 0 −2Ry 1

9 Ry 19 0 −Ry 1

9

3p 3, 1, 0 −2Ry 19 Ry 5

81 Ry 481 −Ry 1

9

3d 3, 2, 0 −2Ry 19 Ry 3

135 Ry 12125 −Ry 1

9

Für alle Zustände trägt die radiale Bewegung zur kinetischen Energie bei; am wenigsten für die�Kreisbahn� mit l = n− 1.

Damit Niveau-Schema H-Atom:

Fehler des Bohr-Modells:

� Grundzustand als l = 1 angenommen

� kinetische Energie in radialer Richtung vernachlässigt

15

1.2.5 Wassersto�ähnliche Systeme

Die Ergebnisse gelten für jedes Zwei-Körpersystem aus positiv und negativ geladenen Teilchen:

1. hochgeladene Ionen (Kern + 1e−)

z.B.: He+, Ar17+, U91+ hier gilt

a0 →a0

Z

Wellenfunktionen: z.B.

Ψ1,0,0(r, θ, φ) =1√π

(Z

a0)3/2e−

Zra0

Bohr-Radien:rn = n2 a0

Z

Energien:

En = − Ze2

8πε0n2 a0Z

= −Z2Ry

n2

2. Positronium (Positron + Elektron)

e�ektive Masse:

µ =12me ⇒ RyPo =

12Ry∞

Bohr-Radien:rn = 2n2a0

tatsächlich beobachtet! (zerfällt durch e− + e+ → 2γ)

3. Myon-Atom (Proton + Myon)

mµ = 200me ⇒ RyMy = 200Ry∞ ⇒ En = 200Ry∞

n2; rn =

1200

n2a0

16

4. Rydberg-Atome bzw. -Moleküle

,für hochangeregte Zustände (möglichst mit l = n− 1) gilt auch hier:

En = −Ry 1n2

beobachtet in Photoabsorption:

Zwischenstand: Wellenfunktionen des H-Atoms in einfachster Näherung besprochen.Jetzt: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur, QED-E�ekte

Dafür: Einführung magnetische Momente, Spin

1.2.6 Magnetisches Moment der Bahnbewegung der Elektronen

Wassersto�atom im Magnetfeld ~B bzw. im Vektorpotential ~A (mit ~B = ~∇× ~A).Generalisierter Impuls des Elektrons:

~P = (~p+ e ~A)

Homogenes Magnetfeld:

~A = −12~r × ~B ⇒ (~p+ e ~A)2 = ~p2 + e ~B~L+

e2

4r2⊥~B2

Hamilton-Operator:

H =~p2

2m+ V (~r) =

~p2

2m+ V ′(~r)︸︷︷︸

H ohne Magn.Feld

+e ~B

2m~L︸︷︷︸

paramagn. Term

+e2

8mr2⊥~B2︸︷︷︸

diamagn. Term

17

Magnetisches Moment der BahnbewegungElektron auf Kreisbahn entspricht Strom durch runde Leiterschleife.Magnetisches Moment:

~µ = I · ~A( ~A=Flächennormale).Für das Elektron gilt:

I = −e1τ

= −e v

2πr~A = πr2 · ~eA

⇒ ~µ = − ev

2πrπr2~eA = −evr

2~eA

= −emvr2m

~eA = − e

2ml~eA = − e

2m~L

⇒ ~µ = −µB~~L

mitµB =e~2m

(Bohr-Magneton, µB ≈ 5.8 · 10−5 eV

T)

Potentielle Energie im Magnetfeld:

Epot = −~µ ~B =µB~~L~B

(höchste Energie für parallele Ausrichtung)Für ~B ‖ ~ez:

Epot =µB~~LB~ez =

µB~LzB

⇒ Eigenwerte von Epot:µB ·mB mit (ml = −l, . . . , 0, . . . , l)

Im Magnetfeld ist die ml-Entartung aufgehoben!Damit würde für die Energien im H-Atom folgendes Schema gelten:

(Zeeman-E�ekt)Achtung: Stimmt so nicht wegen des Spins des Elektrons!

18

Bohr-Atom im Magnetfeld Alternative Herleitung: wir betrachten das Kräftegleichgewicht ineinem Bohr-Atom im Magnetfeld:

mev2

r=

e2

4πε0r2± evB

(Kreisbahn ⊥ ~B)

⇒ p2

mer=

e2

4πε0r2± emevB

me

⇒ Ekin =p2

2m=

e2

8πε0r± erp

2mB =

e2

8πε0r± e

2mLB

⇒Veränderung der Energie um e2mLB! (Umlaufgeschwindigkeit bzw. -frequenz ändert sich propor-

tional zu B)

Matrixbeschreibung des Drehimpulsoperators Betrachten l = 1: die Basisfunktionen sindhier Y −1

1 (θ, φ), Y 01 (θ, φ), Y 1

1 (θ, φ)⇒ beliebige Funktion f(θ, φ) zu l = 1 kann geschrieben werden als:

f(θ, φ) =1∑

m=−1

cmYm1 (θ, φ)

Als Vektor geschrieben:

f =

c1c0c−1

mit Normierung:

1∑m=−1

|cm|2 = 1

Der Operator Lz auf f angewandt ergibt:

Lzf = Lz

1∑m=−1

cmYm1 (θ, φ) =

1∑m=−1

cmLzYm1 (θ, φ)

=1∑

m=−1

cmm~Y m1 (θ, φ)

Lz lässt sich also als Matrix schreiben:

Lz =

~ 0 00 0 00 0 −~

⇒ Lz

c1c0c−1

=

~c10

−~c−1

Dies bedeutet:

Lzf = ~c1Y 11 (θ, φ) + 0Y 0

1 (θ, φ) + (−~)c−1Y−11 (θ, φ)

Die Eigenvektoren von Lz (zu den Eigenwerten ~, 0,−~) sind natürlich die Vektoren 100

,

010

,

001

19

Ly lautet in Ortsdarstellung:

Ly = i~(− cosφ∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ)

⇒ LyY−11 (θ, φ) =

1√2

(−i~)Y 01 , etc.

Damit ist die Matrixdarstellung von Ly:

Ly =

0 − i~√2

0i~√

20 − i~√

2

0 i~√2

0

und die von Lx:

Lx =

0 ~√2

0~√2

0 ~√2

0 ~√2

0

Damit gilt auch:

~L2 = L2x + L2

y + L2z =

2~2 0 00 2~2 00 0 2~2

Die Eigenwerte hiervon sind:

2~2 = l(l + 1)~2

Es gilt: Jeder Drehimpulsoperator zur Drehimpulsquantenzahl l läÿt sich als (2l+ 1)-dimensionaleMatrix schreiben!

1.2.7 Spin des Elektrons

Elektronen haben einen Drehimpuls mit Quantenzahl s = 12 .

(�Drehung um sich selbst�, tatsächlich relativistischer E�ekt)

Operatoren:

~s2Ψ = s(s+ 1)~2Ψ =34

~2Ψ

szΨ = ms~Ψ, ms = ±12

Zwei Eigenzustände! (s = 12 , ms = ± 1

2 )⇒ Jede Spinwellenfunktion läÿt sich schreiben als:

Ψ =1/2∑

m=−1/2

cmΨm = c+Ψ+ + c−Ψ−

20

Als Vektor: Ψ =(c+c−

), c± : komplexe Zahlen mit |c+|2 + |c−|2 = 1 (normiert)

Die Operatoren der Spinkomponenten als Matrizen:

sz =~2σz =

~2

(1 00 −1

)sx =

~2σx =

~2

(0 11 0

)sy =

~2σy =

~2

(0 −ii 0

)

σi: Pauli-Matrizen (σ2i =

(1 00 1

))

Operator des Spin-Vektors:

~s =

sxsysz

=~2

σxσyσz

(jede Komponente ist Matrix und wirkt auf Vektor im Spinraum!)

z.B. Spin in x-Richtung:

sx = ~s · ~ex =

sxsysz

100

= sx =~2σx

Anschauliche Bedeutung der Eigenwerte:

Spin präzediert um die z-Achse (Winkel θ =54.7°)

1.2.8 Magnetisches Moment des Elektrons

Auch für Elektronenspin gilt:Drehung erzeugt magnetisches Moment. Analog zudem magnetischen Moment der Bahnbewegung~µ = −µB

~~L gilt hier:

~µs = −gsµB~~s

mit gs = 2 (gyromagnetischer Faktor)Der Faktor 2 ist eine Abweichung vom Verhalten eines klassischen Kreisstroms!

Damit ist die z-Komponente des magnetischen Moments:

µz = −gsµB~sz

21

mit Eigenwerten ∓µB⇒ das magnetische Moment des Elektrons ist so groÿ wie das einer Bahn mit l = 1!

Messung von µe:Stern-Gerlach-Versuch

Die Kraft auf das Atom im inhomogenen Magnetfeld ist:

Fz = − ∂

∂zV = − ∂

∂z(−~µ ~B)

=∂

∂zµzB = µz

∂

∂zB

= ∓µB∂B

∂z(wegenms = ±1/2)

Aus der gemessenen Ablenkung ergibt sich µB .

Wichtiges Prinzip: die Messung von µz (bzw. sz) ergibt nur Eigenwerte ±µB (bzw. ∓ 1/2)Eine Messung führt zum �Kollaps� der Wellenfunktion, d.h. einer Projektion auf einen der mögli-chen Eigenzustände! (gilt hier nur für inhomogenes Magnetfeld, welches die Zustände trennt)

Bemerkung.: gs ist nicht exakt 2!Messung durch Speicherung von spinpolarisierten Elektronen im B-Feld (im Vakuum)

Elektron kreist mit Zyklotronfrequenz

ωz =eB

m

Der Spin mit Larmorfrequenz:

ωL = gseB

2m

22

Herleitung: Zyklotronfrequenz

mrω2z = evB = erωzB ⇒ ωz =

eB

m

Larmorfrequenz:

ω =DrehmomentDrehimpuls

=µzB

sz=gµB

~2B

~2

= geB

2m

Für g 6= z : Veränderung des Spinzustands mit der Zeit:

Tatsächlich beobachtet!

Ergebnis:gs = 2.00233 . . .

(Genauigkeit: 4 · 10−12!)Abweichung von 2 durch QED-E�ekte (läÿt sich theoretisch exakt berechnen!)

1.2.9 Wellenfunktion mit Spin

Für ein Teilchen mit Spin 1/2 wird die Wellenfunktion geschrieben als:

Ψs(~r) =(ab

)Ψ(~r) =

(aΨ(~r)bΨ(~r)

)Spinoperator:

szΨz(~r) =~2

(1 00 −1

)(a Ψ(~r)b Ψ(~r)

)=(

aΨ(~r)−bΨ(~r)

)für a=1, b=0:

sz

(Ψ(~r)

0

)=

~2

(Ψ(~r)

0

); ms = +1/2

für a=0, b=1:

sz

(0

Ψ(~r)

)= −~

2

(0

Ψ(~r)

); ms = −1/2

Die Eigenfunktionen von sz, ~L2 und Lz lauten:

Ψms,l,ml(θ, φ, r) =

(|ms|+ms

|ms| −ms

)Y ml (θ, φ)R(r)

=(

(|ms|+ms)Y ml (θ, φ)R(r)(|ms| −ms)Y ml (θ, φ)R(r)

)mit

~L2Ψmslml= l(l + 1)~2Ψmslml

LzΨmslml= ml~Ψmslml

~S2Ψmslml=

34

~2Ψmslml

szΨmslml= ms~Ψmslml

23

1.2.10 Spin-Bahn-Wechselwirkung

Ein Elektron im Atom erfährt das E-Feld:

~E =e

4πε0|~r|3~r

Bewegung im E-Feld �erzeugt� B-Feld:

~B =1c2~E × ~v =

1mc2

~E × ~p

(im Bezugssystem des Elektrons: �kreisender� Kern erzeugt B-Feld)im Atom:

~B =1mc2

e

4πε0|~r|3~r × ~p⇒ ~B =

e

4πε0mc2|~r|3~L

Potentielle Energie des Spins in diesem Feld:

V = −~µs ~B =gsµB

~~s · ~B =

gs~e~2m

e

4πε0mc2|~r|3~s~L

mit gs = 2:

V =e2

4πε0m2c2|~r|3~L · ~s

Achtung: nur korrekt bis auf Faktor 2! (Thomas-Faktor)

⇒ V =e2

8πε0m2c2|~r|3~L · ~s

Energie hängt ab von relativer Ausrichtung von ~L und ~s!

Die Wechselwirkung muÿ im Hamiltonoperator berücksichtigt werden

H = H0 + γ(r)~L · ~s

Hier ist H0 der Hamiltonoperator ohne Spin-Bahn-WW, γ die Kopplungskonstante. Durch dieKopplung sind ~L und ~s nicht mehr unabhängig: sie bilden einen Gesamtdrehimpuls

~J = ~L+ ~s

Der Gesamtdrehimpuls im kugelsymmetrischen System ist Erhaltungsgröÿe⇒ gemeinsame Eigen-

funktionen zu H und ~J2, Jz

1.2.11 Einschub: Kommutatoren

Lassen sich zu den Operatoren A und B gemeinsame Eigenfunktionen �nden mit

AΨa,b = aΨa,b, BΨa,b = bΨa,b

24

so gilt:

ABΨa,b = AbΨa,b = baΨa,b

BAΨa,b = BaΨa,b = abΨa,b

⇒ (AB − BA)Ψ = 0

Dies wird geschrieben als Kommutator:

(AB − BA) = [A, B]

Man sagt, die Operatoren �vertauschen�, falls [A, B] = 0. Nur dann lassen sich gemeinsame Eigen-funktionen �nden!

Beispiel: Vertauschung von Orts- und Impulsoperatoren

[x, pz] = (x~i

∂

∂z− ~i

∂

∂zx) = (x

~i

∂

∂z− x~

i

∂

∂z) = 0

⇒ x und pz vertauschen! Scharfer Ort in x-Richtung und scharfer Impuls in z-Richtung sind mög-lich!

[x, px] = (x~i

∂

∂x− ~i

∂

∂xx) = (x

~i

∂

∂x+ i~− ~

i

∂

∂x) = i~

x und px vertauschen nicht! Scharfer Ort und scharfer Impuls in x-Richtung sind nicht möglich!Unschärfeprinzip!

Für den einfachen Hamiltonoperator des H-Atoms (ohne Spin-Bahn-WW) H = ~p2

2m + V (~r) gilt:

[~L2, H] = 0 ; [Lz, H] = 0 ; [ ~S2, H] = 0 ; [sz, H] = 0

Es gibt also gemeinsame Eigenfunktionen von H (Energie), ~L (Drehimpuls) und ~s (Spin), mitQuantenzahlen: n, l, ml, s, ms

1.2.12 Gekoppelte Drehimpulse

Für den Kopplungsoperator ~L · ~s gilt:

[ ~J, ~L · ~s] = 0, [ ~Jz, ~L · ~s] = 0, [~L2, ~L · ~s] = 0, [~s2, ~L · ~s] = 0

aber:[~Lz, ~L · ~s] 6= 0

und[~sz, ~L · ~s] 6= 0

Gleiches gilt für die Kommutatoren mit H = H0 + γ~L · ~sEs lassen sich also gemeinsame Eigenfunktionen �nden von H, ~J2, Jz, ~l2, ~s2 aber nicht zu H undLz oder sz!

25

(präzedierender Drehimpuls)

Anschauliche Erklärung: ~L und ~s präzedieren um ~J ; die Projektion von ~J auf z-Achse ist wohlde-�niert, aber nicht die von ~L oder ~s!Für die neue Quantenzahl j gilt:

|l − s| ≤ j ≤ |l + s|

(Vektoraddition)

Für mj gilt:mj = −j, . . . , 0, . . . ,+j

Dies sind (2j+1) Zustände.

Da die Quantenzahlen l und s weiterhin de�niert sind, lassen sich die neuen Eigenfunktionenvon H als Superposition von l, s−Funktionen mit verschiedenen ml, ms ausdrücken (diese bildeneine vollständige Basis für Funktionen mit gegebenen l, s!)

1.2.13 Clebsch-Gordan-Koe�zienten

Dirac-Schreibweise: Zustand wird als Ket-Vektor geschrieben:

Ψ = |Ψ >

Ortsdarstellung:Ψ(~r) =< ~r|Ψ >

Impulsdarstellung:Ψ(~p) =< ~p|Ψ >

�Konjugiert-Komplex�: Bra-Vektor < Ψ|

Skalar-Produkt:< ψ|φ >

26

Die Wellenfunktion ist also:

Ψ(r, θ, φ) =

−√ 13R2,1(r)Y 0

1 (θ, φ)√23R2,1(r)Y 1

1 (θ, φ)

Und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit:

|Ψ|2 =13|R2,1(r)|2|Y 0

1 (θ, φ)|2 +23|R2,1(r)|2|Y 1

1 (θ, φ)|2

= |R2,1(r)|2(13

34π

cos2 θ +23

38π

sin2 θ)

= |R2,1(r)|2 14π

Das ist isotrop! ~L− ~S-Kopplung kann also die räumliche Struktur der Wellenfunktion ändern!

Beispiel: Zustand 2p3/2, mj = 3/2

|j = 3/2,mj = 3/2, l = 1, s = 1/2 > = |l = 1,ml = 1, s = 1/2,ms = 1/2 >

Hier gibt es nur eine Möglichkeit für ml,ms! Die Wellenfunktion ist damit

Ψ =(R2,1(~r)Y 1

1 (θ, φ)0

)Hier ergibt sich keine Veränderung der räumlichen Verteilung durch die Spin-Bahn-Kopplung!

1.2.14 Feinstrukturkonstante

Dies ist eine sehr verbreitete Konstante, die mehrere Naturkonstanten zusammenfaÿt. Sie hat aberauch eine anschauliche Bedeutung: sie zeigt an, wie �relativistisch� die Bewegung des Elektrons imWassersto�atom ist.Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der 1. Bohr'schen Bahn beträgt:

v =p

m=

~a0m

Mit a0 = 4πε0~2

e2m ergibt sich:

v =e2

4πε0~Das Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit beträgt:

α =v

c=

e2

4πε0~c=

e2

2ε0hc≈ 1

137

Die ist die Feinstrukturkonstante. Damit lassen sich verschiedene Gröÿen des Wassersto�atomseinfach ausdrücken.

Kinetische Energie auf 1. Bohr'scher Bahn:

Ekin =12mv2 =

12mα2c2 =

mc2

2α2 = 1Ry

Wegen des Virialsatzes ist die kinetische Energie gleich der Bindungsenergie. Damit sind die Ener-gien der Zustände des H-Atoms:

En = −1Ry1n2

= −mc2

2α2 1n2

Bohr-Radius:

a0 =~vm

=~

αmc

( ~mc : Compton-Wellenlänge, �Ausdehnung des Elektrons�)

28

1.2.15 Relativistische Behandlung des H-Atoms (Feinstruktur)

Exakt: Dirac-Gleichung

i~∂

∂tΨ = (α1cpx + α2cpy + α3cpz + βmc2 + V (~r))Ψ

mit �Spinor� Ψ =

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4

, αi =(

0 σiσi 0

), (σi Paulimatrizen), β =

(1 00 −1

)Die Dirac-Gleichung läÿt sich für kleine Geschwindigkeiten entwickeln und auf eine Schrödinger-gleichung zurückführen, mit dem Hamilton-Operator

H = mc2 +~p2

2m+ V (~r)− ~p4

8m3c2+

12m2c2

1r

∂

∂rV (~r)~L~s+

~2

8m2c2∆V (~r) + . . .

wobei:

mc2 = Ruheenergie des Elektrons

~p2

2m+ V (~r) = H0

− ~p4

8m3c2= Wmv

12m2c2

1r

∂

∂rV (~r)~L~s = WLS

~2

8m2c2∆V (~r) = WD (Darwin-Term)

Betrachtung der einzelnen Terme:

1. Wmv: Geschwindigkeitsabhängigkeit der MasseDie relativistische Energie des Elektrons läÿt sich entwickeln

E = c√m2c2 + ~p2 = mc2

√1 +

~p2

m2c2≈ mc2(1 +

~p2

2m2c2− ~p4

8m4c4+ . . . )

= mc2 +~p2

2m− ~p4

8m3c2+ . . .

Damit ist Wmv die erste relativistische Korrektur der Energie! Der Erwartungswert des Ope-rators in Störungsrechnung ist:

< Wmv >n,l,m =ˆ

Φ∗n,l,m(~r)WmvΦn,l,m(~r)d~r

=mc2

2α4 1n3

(3

4n− 1l + 1/2

)

Dies ist immer < 0! Die kinetische Energie zu gegebenem Impuls wird durch die Massenzu-nahme verkleinert!Gröÿenordnung:

< Wmv > = Enα2 1n

(3

4n− 1l + 1/2

)

≈ En · 5 · 10−5 · 1n2

2. WLS : Spin-Bahn-Kopplung

WLS =1

2m2c21r

∂

∂rV (~r)~L~s

=1

2m2c2e2

4πε0r3~L~s

=e2

8πε0m2c2r3~L~s

29

Es ist~J2 = (~L+ ~s)2 = ~L2 + ~s2 + 2~L~s

Daraus folgt~L~s =

12

( ~J2 − ~L2 − ~s2)

Damit ist

< ~L~s >n,l,j,s=12

(j(j + 1)~2 − l(l + 1)~2 − s(s+ 1)~2)

Für l = 0:< W~L~s >= 0

Für l 6= 0:

< WLs >n,l,j=mc2

4α4 1n3l(l + 1

2 )(l + 1)(j(j + 1)− l(l + 1)− 3

4)

wobeimc2

4α4 1n3l(l + 1

2 )(l + 1)=

~2

2< γ(r) >n,l,j

Im H-Atom ist j = l ± 1/2, damit:

< WLs > =~2

2< γ(r) > ((l ± 1/2)(l ± 1/2 + 1)− l(l + 1)− 3

4)

=

{~2

2 < γ(r) > l fuer j = l + 1/2~2

2 < γ(r) > (−l − 1) fuer j = l − 1/2

Asymmetrische Aufspaltung:

Schwerpunkt der aufgespaltenen Niveaus:∑j,mj

< WLs >j,mj = ((2l + 2)l − 2l(l + 1))~2

2< γ >

= 0

Im Mittel also keine Verschiebung!

3. WD: Darwin-TermEs ist

WD =~2

8m2c2∆V (r)

=~2

8m2c2(− e2

4πε0)∆

1r

= − ~2e2

32πm2c2ε0(−4πδ(r))

30

Damit

< WD >n,l =~2e2

8m2c2ε0|Ψn(0)|2

= 0 fuer l 6= 0

Für l = 0 :

< WD > = mc2α4 1n3

Damit ergibt sich die �Feinstruktur�:

< WFs > = < Wmv > + < WLs > + < WD >

=mc2α4

2n3(

34n− 1j + 1

2

)

Es gibt also keine Abhängigkeit von l!

Gilt auch für die exakte Lösung der Dirac-Gleichung

En,j,l,1/2 = mc2

√1 +

α2

(n− j − 1/2 +√

(j + 1/2)2 − α2)2

Damit ergibt sich das Niveauschema des H-Atoms mit Feinstruktur

1.2.16 Hyperfeinstrukturwechselwirkung

Der Kern besitzt einen Spin I. Die zugehörigen Operatoren sind:

~I2|I,mI > = I(I + 1)~2|I,mI >

Iz|I,mI > = mI~|I,mI >

Beispiele:

31

Proton: I = 1/2 (Wassersto�-Kern)Neutron: I = 1/2Deuterium: I = 1 (Spins von Proton und Neutron parallel)Helium 4He: I = 0 (Spins der Protonen und Neutronen jeweils antiparallel)

Für gröÿere Kerne ist ~I eine Kombination aus Spins und Bahndrehimpulsen der Protonen undNeutronen.

Der Kernspin erzeugt ein magnetisches Moment

~µI = gIµK~~I

mit dem Kernmagneton

µK =e~

2mp' µB

1836

und dem gyromagnetischer FaktorgI .Dieser nimmt ungewöhnliche Werte an:

Proton gP = 5.58Neutron gN = −3.83

Grund: Protonen und Neutronen haben innere Struktur (Quarks)Das magnetische Moment des Kerns richtet sich im magnetischen Feld des Elektrons aus. Dasmittlere Magnetfeld des Elektrons am Ort des Kerns hängt vom Drehimpuls ab:

~B = −β~~J

Wechselwirkungsenergie:V = −~µI ~B

Zugehöriger Term des Hamiltonoperators (magnetische Dipolhyperfein-WW):

HMD = −~µI ~B

= −gIµK~~I ~B

= gIµK~2β~I ~J

Wie bei Feinstruktur: führt zu gekoppeltem Drehimpuls

~F = ~I + ~J

Damit neue Quantenzahlen F, mF , I, J, l, s (aber nicht mehr mI , mJ , ml, ms)

Erwartungswert von HMD , mit ~I · ~J = 12 ( ~F 2 − ~I2 − ~J2):

< HMD > = < gIµK~2β

12

( ~F 2 − ~I2 − ~J2) >

=A~2

2(F (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1))

A: Hyperfein-Kopplungskonstante

Für den 1s-Zustand des H-Atoms ist

A = ge · gpµBµK |R10(r = 0)|2

Hier ist I = 1/2, J = s = 1/2; damit gibt es zwei Hyperfeinzustände:

F = 0 mit < HMD >= −34A~2

F = 1 mit < HMD >=14A~2

32

Der Übergang F = 0→ F = 1 wird in der Astronomie beobachtet: �21cm�-Linie

Für höhere Zustände ist die Aufspaltung kleiner:

Weitere Terme der Hyperfeinwechselwirkung:

� Ein�uss des Kernvolumens

� Ein�uss elektrisches Quadrupolmoment des Kerns

Noch �klassisch� beschreibbar. Zusätzlich muÿ aber Quantisierung des elektromagnetichen Feldesberücksichtigt werden!

1.2.17 QED-E�ekte: �Lamb-Shift�

Quantisiertes E-Feld: Coulomb-Wechselwirkung durch Austausch von (virtuellen) Photonen.Feynman-Graphen:

33

Es gibt aber auch Prozesse höherer Ordnung:z.B.:

Emission und Reabsorption eines Photons durch das Elektron (führt zu �Zitterbewegung�)

oder auch

Virtuelle Paarerzeugung (�Vakuumpolarisation�, führt zur Abschwächung des Felds)

E�ekte:

� ge weicht von 2 ab

� Elektronen mit groÿer Aufenthaltswahrscheinlichkeit im starken Feld (also l = 0) sind schwä-cher gebunden (�Lamb-Shift�)

Damit kann man die Niveaustruktur des H-Atoms zusammenfassen:

34

1.2.18 Präzisionsspektroskopie am H-Atom

Methoden:Emissionsspektroskopie

Absorptionsspektroskopie

Begrenzung der Au�ösung: apparativ:

� Spektrometer mit Gitter

Au�ösung: Zahl der beleuchteten Gitterstriche mal Beugungsordnung ⇒ R ≈ 105 = λ∆λ =

f∆f

(für optische Frequenzen f = 6 · 1014Hz fuerhν = 2.5 eV ⇒ ∆f = 10−5f = 6 · 109Hz)

� Fabry-Perot-Interferometer

Transmission für Resonanzbedingung: nλ = l⇒ Au�ösung R ≈ 106 (opt. Frequenz ∆f ≈ 600MHz)

35

� Laser

Erreichte Au�ösung: R ≈ 1014 ⇒ ∆f ≈ 6HzEnorme technische Herausforderung! Wellenlängengenauigkeit entspricht der Genauigkeit derResonatorlänge.bei R = 1014, l = 1m⇒ ∆l = 10−14m! (10 Atomkerndurchmesser!)(nur möglich mit aktiver Stabilisierung!)Ebenso: Luftdichte im Resonator (Brechungsindex n = 1.0003 bei Normalbedingung) muÿauf 1/0.0003 · 10−14 = 3 · 10−11 konstant gehalten werden (⇒ Druck und Temperatur konstantauf 10−11! Hier ist es also besser, im Vakuum zu arbeiten)

physikalisch:

� Lebensdauerstarke Übergänge (z.B. 2p→1s) haben eine Lebensdauer von τ ≈ 10ns⇒ Linienbreite ∆f = 1

2π1τ ≈ 16MHz

schwache Übergänge haben längere Lebensdauern (z.B. 1s F = 1→ F = 0: τ ≈ 1s⇒ ∆f ≈0.16Hz)

� Stoÿverbreiterung�Unterbrechung� der Emission beim Stoÿ mit anderen Gasatomen.z.B.: 1 mbar H → 4 · 107 Stöÿe

s ⇒ ∆f ≈ 6MHz

� Dopplere�ektverschobene Frequenzen f = f0(1 + vAtom

c )

Geschwindigkeitsverteilung in einer Richtung p(v) = e−mv2

2 /kBT

Wassersto�:

Dopplerverschiebung bei v = 2200ms , f0 = 6 · 1014Hz ⇒ ∆f = vc f0 = 4400MHz (!)

Die Dopplerverbreiterung ist also die Hauptursache endlicher Au�ösung!

Lösung:

� direktes Messen kleiner Energieunterschiede (Mikrowellenspektroskopie)

� dopplerfreie Messmethoden

36

Dopplerfreies Messen Idee: Absorption zweier Photonenvektoriell:

Für ein Photon aus Quelle 1 gilt im Bezugsystem des Atoms:

ω′ = ω0 + ~v · ~k1

.2 Photonen aus Quelle 1 und 2:

2ωeff = 2ω0 + ~v(~k1 + ~k2)

= 2ω0 für ~k1 = −~k2

Anwendung: H-Atom 1s→ 2s

Alternativ: Sättigungsspektroskopie

Strahl 1 regt an, Absorption von Strahl 2 wird gemessenBei ω = ω0: ruhende Atome werden durch Strahl 1 angeregt und können Strahl 2 nicht mehrabschwächen.⇒ führt zu �Lamp-dip� im Absorptionsspektrum.

37

Experimentalphysik IV - uni-freiburg.de · benutzt werden (Elektron und Proton kreisen um...

Documents

Transcript of Experimentalphysik IV - uni-freiburg.de · benutzt werden (Elektron und Proton kreisen um...