Exercices Regulation numeriqueH. Khennouf

IEE 2eme annee

1

1 Boucle de regulation avec un correcteur PI numerique

Soit a controler le systeme d’entree u(t) et de sortie y(t) defini par la fonction detransfert (Asservissement de vitesse d’un moteur a courant continu) :

G(p) =Y (p)

U(p)=

K

1 + τp

Le correcteur est realise par un calculateur numerique (un PC). La mesure de la sortiey(t) arrive sur un convertisseur analogique numerique (CAN) delivrant une informationtoutes les Te seconde (Te est la periode d’echantillonnage). Un convertisseur numeriqueanalogique (CNA), de type bloqueur d’ordre 0, est place au niveau de la commande u(t).Pour les applications numeriques, on prendra : K = 40, τ = 25 ms et Te = 10 ms.

Question 1. Representer le schema de regulation numerique du systeme G(p).

Question 2. Determiner la fonction de transfertG(z). L’ecrire sous la forme generique :

G(z) =B(z)

A(z)=

b1z−1

1 + a1z−1

et exprimer a1 et b1 en fonction des parametres du systeme et de la periode d’echantillonnage.Effectuer l’application numerique.

Le regulateur PI numerique est caracterise par :

KPI(z) =R(z)

S(z)=r0 + r1z

−1

1 − z−1.

Le systeme regule doit repondre 2 fois plus rapidement que le systeme en boucle ou-verte (trdes) ; la reponse du systeme en boucle fermee ne presente pas de depassement ;le systeme en boucle fermee doit avoir le comportement d’un second ordre.

Question 3. Determiner la valeur du coefficient d’amortissement ξdes et la pulsa-tion naturelle ωndes

. Determiner le denominateur (exprimant les performances desireesen continu) de la fonction de transfert en boucle fermee desire.

Question 4. En deduire le polynome caracteristique desire en discret : P (z) =1 + p1z

−1 + p2z−2. Calculer p1 et p2. Effectuer l’application numerique.

Question 5. Determiner la fonction de transfert du systeme en boucle fermee HBF (z)en fonction des polynomes A(z), B(z), R(z) et S(z). En identifiant le polynome ca-racteristique desire et le denominateur de HBF (z), exprimer les parametres r0 et r1 ducorrecteur en fonction de p1, p2, a1 et a2. Effectuer l’application numerique.

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Question 6. Les resultats de la simulation donnent sensiblement le temps de reponsedesire, mais la reponse y(t) presente un depassement de 15% au lieu des 0% escomptes.A partir de la fonction de transfert HBF (z) calculee precedemment, expliquer la raisonde ce depassement.

Question 7. Proposer un schema de regulation ainsi que le correcteur associe (etses parametres) permettant de repondre precisement au cahier des charges (temps dereponse et depassement).

Question 8. Justifier le choix de la periode d’echantillonnage.

Question 9. Le regulateur PI numerique, permet-il de rejeter les perturbationsconstantes en entree du systeme ? Qu’en est-il des perturbations constantes en sortie ?Justifier vos reponses.

3

2 Regulation d’une aerotherme avec un PID

2.1 Objectif

L’objectif de cet exercice est d’assurer la regulation de la temperature d’un procedethermique. On impose :

– le temps de reponse du systeme boucle.– une erreur nulle en reponse a un echelon de consigne et de perturbation.

2.2 Presentation du procede

Il est constitue d’une cheminee metallique dans laquelle est disposee une resistancechauffante. Un ventilateur assure une circulation d’air dans la cheminee et un thermo-couple permet de mesurer la temperature que l’on cherche a reguler.La temperature peut varier de 0 a 200 C. la tension fournie par le conditionnement variede 0 a 10V pour cette plage de temperature. Un amplificateur controle la puissance dansla resistance chauffante. La puissance varie de 0 a la puissance maximale pour une entreevariant de 0 a 10V. La regulation de vitesse sur le ventilateur permet de faire varier savitesse de Vmin a Vmax pour une entree variant de 0 a 10V.

Figure 1 – Aerotherme

Dans le cadre de ce travail, les deux entrees de commande sont fournies par un PCequipe d’une carte d’E/S analogiques. Des voltmetres permettent la lecture des valeursdes entrees et des commandes.

2.3 Modele

On considere le systeme a etudier compose de :

4

– une entree u : entree de commande de puissance– une sortie y : mesure de la temperature– une perturbation v : entree de la commande de vitesse du ventilateur

Le schema bloc du systeme est le suivant :

A partir de la reponse indicielle de la sortie y en reponse a l’entree u et a partir de lareponse indicielle de la sortie y en reponse a l’entree v autour du point de fonctionnement,on obtient les fonctions de transfert suivantes :

F (p) =k1

(1 + τp)2P (p) =

k2

(1 + τp)2(1)

ou k1 = 0.6, k2 = −0.25 et τ = 5 s.Question 1. :Justifier la mise du schema bloc sous la forme suivante :

Le correcteur est realise par un calculateur numerique (un PC). La mesure de temperaturey arrive sur un convertisseur analogique numerique (CAN) delivrant une informationtoutes les 2 s. Un convertisseur numerique analogique (CNA), de type bloqueur d’ordre0, est place au niveau de la commande de chauffage u.On choisit une periode d’echantillonnage, Te de 2 s.

Question 2. Justifier ce choix par rapport a la dynamique du systeme seul et a celledu systeme boucle.

2.4 Reglages d’un correcteur PID discret

L’objectif de cette partie est de calculer un correcteur numerique pour que le systemeen boucle fermee reponde comme un second ordre avec des poles dominants correspon-

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dant a une double constante de temps τdes de 2.5 s. Le correcteur numerique est de lafamille des PID :

K(z) =R(z)

S(z)=

r0 + r1z−1 + r2z

−2

(1 − z−1)(1 + s′1z−1)

.

Question 3. Etablir le schema fonctionnel de l’asservissement numerique. Ne pasoublier bloqueurs et echantillonneurs.

Question 4. Calculer le transfert F (z) = B(z)A(z)

.

Question 5. Determiner l’equation aux differences liant l’entree u et la sortie ylorsque la perturbation v est nulle.

Question 6. Ecrire litteralement les fonctions de transfert en boucle fermee en as-servissement et en regulation en fonction de A(z), B(z), R(z) et S(z).

Question 7. Commenter le rejet de la perturbation lorsque v est constante.

Question 8. Calculer les parametres du correcteur PID K(z).

Question 9.∗ Tester en simulation le regulateur en reponse a des creneaux deconsigne de 1V puis des creneaux de perturbation de -1 V.

Question 10.∗ Expliquer les reponses en calculant les poles et zeros de la fonctionde transfert en asservissement et en regulation.

Question 11. Proposer un correcteur PID numerique permettant d’ameliorer le com-portement en asservissement.

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3 Asservissement de vitesse d’un groupe tournant

On dispose d’un moteur a courant continu a excitation independante dont l’in-duit est alimente par un pont mixte triphase. Il entraıne une generatrice a excitationindependante debitant sur un rheostat de charge.

La commande du moteur se fait par modification de la tension d’induit au moyend’un pont mixte, dont on fait varier l’angle de retard.

On se propose d’asservir la vitesse du moteur en mettant en oeuvre une regulation a2 boucles imbriquees : courant (controle du couple) et vitesse.Le schema electrique simplifie du montage est represente sur la figure 1.

Figure 2 – Schema electrique

Dans la suite, on se propose de regler la boucle de vitesse ; la boucle de courant adeja ete reglee afin que

∆im(p)

∆Viref (p)=

1/Ks

1 + τep

avec τe = 30ms.Le schema bloc de la boucle de vitesse est donne figure 2.On donne :• Ks = 0.4V/A : gain du capteur de courant• Km = 1.8V.s/rad :• f = 0.017N.ms/rad : coefficient de frottement visqueux du groupe• J = 0.16kg.m−2 : moment d’inertie du groupe• KΩ = 1

10πV.s/rad : gain du capteur de courant

• la valeur maximale admissible pour le courant est 20A.

La periode d’echantillonnage est Te = 10ms.

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Figure 3 – Boucle de vitesse

La boucle de vitesse sera reglee pour repondre au cahier des charges suivant :– le temps de reponse desire est trΩ = 0.6s– le systeme en boucle fermee doit repondre comme un second ordre avec un pole

double– une perturbation additionnelle constante au niveau du couple moteur (couple de

frottements secs) doit etre rejetee.

1. La periode d’echantillonnage est determinee en se basant sur la boucle de courant.Expliquer pourquoi ? Justifer le choix de Te.

2. Determiner la fonction de transfert H(p) = ∆VΩ(p)∆Viref (p)

du systeme a controler. On

posera G = KΩKm

fKs.

3. Montrer que la fonction de transfert H(z) peut s’ecrire :

H(z) =∆VΩ(z)

∆Viref (z)=

b1z−1 + b2z

−2

1 + a1z−1 + a2z−2

et determiner a1, a2, b1 et b2 en fonction des parametres du systeme (expressionlitterale puis application numerique).

4. Determiner le denominateur de la fonction de transfert desiree :

P (z) = 1 + p1z−1 + p2z

−2

et indiquer l’expression litterale puis les valeurs numeriques de p1 et p2.

5. On souhaite controler le systeme avec un correcteur PID :

C(z) =R(z)

S(z)=

r0 + r1z−1 + r2z

−2

(1 − z−1)(1 + s′1z−1)

Justifier le choix du correcteur. Expliquer comment est choisit T (z) dans la figure2 pour obtenir un PID.

6. Afin d’obtenir les parametres du correcteur, determiner l’equation de Bezout aresoudre en fonction des parametres de H(z), de P (z) et de C(z). (On ne de-mande pas de la resoudre).

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7. Le correcteur determine en resolvant l’equation de Bezout ci-dessus est teste avecMatlab/Simulink. Les courbes obtenues en asservissement et en regulation sontdonnees figures 3 et 4. Analyser de facon approfondie les resultats en asservissementet en regulation.

8. Afin de pallier aux defauts du correcteur precedemment calcule, proposer les mo-difications a effectuer sur le correcteur. Expliquer.

9. Les resultats obtenus apres modification sont donnes figures 5 et 6. Analyser lesresultats en asservissement et en regulation. Ces resultats vous paraissent-ils satis-faisants ? Les comparer au reglage precedent.

10. En assimillant la boucle de courant a son gain statique, proposer un correcteur Pro-portionel Integral repondant au cahier des charges. Les differentes etapes permet-tant le calcul du correcteur doivent etre explicitees. Les parametres du correcteurseront calcules theoriquement et numeriquement.

11. Pour le correcteur PI propose a la question 10, determiner l’equation recurrentepermettant le calcul de la consigne ∆Viref (k) en fonction de la consigne ∆VΩref (k)et de la sortie ∆VΩ(k).

9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Asservissement

V

et

V

ref (V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-300

-200

-100

0

100

200

300

cour

ant (

A)

t

Figure 4 – Asservissement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pert

urba

tion

(N.m

)

Régulation

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5x 10

-3

V

et

V

ref (V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

cour

ant (

A)

Figure 5 – Regulation

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Asservissement

V

et

V

ref (V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

cour

ant (

A)

Figure 6 – Asservissement

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pert

urba

tion

(N.m

)

Régulation - 2eme réglage

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5x 10

-3

V

et

V

ref (V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

cour

ant (

A)

Figure 7 – Regulation

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