Capıtulo 3

Espacios topologicos

3.1 Espacio topologico

Definicion 3.1.1. Un espacio topologico es un par(X, τ), dondeX es un conjunto, yτ es unafamilia de subconjuntos deX que verifica las siguientes condiciones

(1) X ∈ τ y ∅ ∈ τ .

(2) Dada una familia{Ai ∈ τ, i ∈ I} de elementos deτ , su union∪i∈IAi ∈ τ tambien estaenτ .

(3) SiA1, A2 ∈ τ , entoncesA1 ∩ A2 ∈ τ (la interseccion de dos elementos de la familiaτ

tambien es un elemento de la familia)

Diremos entonces, que la familiaτ es una topologıa sobreX, y a sus elementos les llamaremosconjuntos abiertos de(X, τ).

De la condicion (2) se deduce, por induccion, que la interseccion de una familia finita de conjuntosabiertos sigue siendo un conjunto abierto en(X, τ). (Ejercicio)

Ejemplo 3.1.2.

(1) Topologıa asociada a una metrica. Todo espacio metrico (X, d) tiene asociado un espaciotopologico(X, τd), dondeτd es la familia de los conjuntos abiertos deX para la distanciad tal ycomo los hemos definido en [2.3.3]. El teorema [2.3.6] prueba que, efectivamente, estos abiertosconstituyen una topologıa que llamamos topologıa τd asociada a la metricad.

(2) Topologıa discreta. SeaX un conjunto; consideremos la familiaτ = P(X), formada portodos los subconjuntos deX. Esta familia es una topologıa en la que cualquier subconjunto deX

23

24 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

es un abierto y se llamatopologıa discreta, en este caso decimos que(X,P(X)) es un espaciotopologico discreto.

(3) Topologıa indiscreta. Si consideramos ahora la familia{∅, X} cuyosunicos conjuntos son elvacıo y el propioX, tambien constituye una topologıa sobreX que llamaremostopologıa gruesa,indiscreta o trivial.

(4) Sea el conjuntoX = {a, b, c, d, e}. Entre otras, podemos construir las siguientes familias desubconjuntos deX:

τ1 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}

τ2 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}

τ3 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}}

τ1 es una topologıa sobreX y sin embargo,τ2 falla en la union yτ3 falla en la interseccion, por lotanto no lo son.

(5) Topologıa cofinita. SeaX un conjunto cualquiera y definamosτ como el conjunto vacıo juntocon aquellos subconjuntosA ⊂ X tales queAc = X r A es finito. τ es una topologıa sobreXque se conoce como la topologıa cofinita y se representa porτcf . Cuando el conjuntoX es finito,entonces la topologıa cofinita coincide con la topologıa discreta. Como este caso no introducenada nuevo, siempre que se estudie la topologıa cofinita sera sobre conjuntos infinitos. �

Como hemos visto, sobre un conjunto se puede definir mas de una topologıa. Podemos estableceruna cierta comparacion:

Definicion 3.1.3 (Topologıas mas finas). Dado un conjuntoX, seanτ1 y τ2 dos topologıasdefinidas sobreX. Si todo abierto deτ1 es un abierto deτ2, es decir,τ1 ⊂ τ2, diremos queτ2 es mas fina queτ1 o queτ1 es menos fina queτ2, o bien queτ2 es mas debil queτ1. Dostopologıas son equivalentes si tienen los mismos abiertos y dos topologıas no son comparables sininguna es mas fina que la otra.

Ejemplo 3.1.4.

(1) La topologıa indiscreta es menos fina que cualquier otra y la topologıa discreta es la mas finaposible.

(2) La topologıa cofinita sobreR2 es menos fina que la topologıa usual, puesto que siA es abiertode la topologıa cofinita,A es complementario de un subconjunto finito deR2 y, como los conjuntosfinitos son cerrados para la topologıa usual,A tambien es abierto enR2 para la topologıa usual.�

Definicion 3.1.5 (Base de una topologıa). Sea(X, τ) un espacio topologico. Diremos que unasubfamiliaB ⊂ τ , es una base de la topologıa τ si cada abiertoA se puede expresar como unionde conjuntos deB, es decir, existe{Bi}i∈I ⊂ B tal queA =

⋃i∈I Bi.

3.1. ESPACIO TOPOLOGICO 25

Proposicion 3.1.6.SeaX un conjunto yB ⊂ P(X) una familia de subconjuntos deX. EntoncesB es base de una topologıa τ sobreX si, y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

(a) X =⋃

B∈B B.

(b) SiB1, B2 ∈ B, para cadax ∈ B1 ∩B2, existeB ∈ B tal quex ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Demostracion. =⇒ Si suponemos queB es base de una topologıa τ enX, comoX ∈ τ , estaclaro queX = ∪B∈BB y se cumple (a). Veamos que se cumple (b); siB1, B2 ∈ B, es evidentequeB1, B2 ∈ τ , por tantoB1 ∩ B2 ∈ τ , luego esta interseccion sera union de conjuntos deB,B1 ∩ B2 = ∪i∈IBi conBi ∈ B para todoi ∈ I. Si x ∈ B1 ∩ B2, entoncesx ∈ Bj para algunj ∈ I. Por tantox ∈ Bj ⊂ B1 ∩B2.

⇐= Supongamos ahora queB es una familia de subconjuntos deX que cumple (a) y (b) yveamos que existe una topologıa determinada porB. Definimos la familia

τ = {A ⊂ X : A = ∪j∈JBj , conBj ∈ B, para todoj ∈ J}.

Hay que comprobar que se trata de una topologıa. X ∈ τ por (a);∅ ∈ τ pues∅ ∈ B.

Si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos deτ , tendremos que cadaAi sera union de conjuntos deB, es decir,Ai = ∪j∈JiBij para cadai ∈ I con Bij ∈ B para todoj ∈ Ji; como la union esasociativa, tendremos que ⋃

i∈I

Ai =⋃i∈I

(⋃j∈Ji

Bij) =⋃

i∈I,j∈Ji

Bij

lo que implica que la union de conjuntos deτ es deτ .

Por ultimo veamos que siA1, A2 ∈ τ entoncesA1 ∩ A2 ∈ τ . Tenemos queA1 = ∪i∈IBi yA2 = ∪j∈JBj conBi, Bj ∈ B para todoi ∈ I, j ∈ J . Para cadax ∈ A1 ∩ A2, x ∈ ∪i∈IBi yx ∈ ∪j∈JBj , luego existenio ∈ I y jo ∈ J tales quex ∈ Bio ∩ Bjo y por (b), existeBx ∈ B talquex ∈ Bx ⊂ Bio ∩Bjo ⊂ A1 ∩A2 y por tanto∪x∈A1∩A2Bx = A1 ∩A2.

Ejemplo 3.1.7.

(1) Los intervalos abiertos(a, b); a, b ∈ R son una base de la topologıa usual enR.

(2) La familia {B(x, r) : x ∈ X, r > 0} son base de la topologıa asociada a la distancia en unespacio metrico(X, d).

(3) Los rectangulos abiertos y de lados paralelos a los ejes, son una base de la topologıa euclıdeaenR2.

(4) Si consideramos(X, τD) espacio topologico con la topologıa discreta, la familiaB = {{x} :x ∈ X}, es una base de dicha topologıa. �

26 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

3.2 Cerrados

Definicion 3.2.1 (Cerrado). Dado un espacio topologico (X, τ), diremos que un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si su complementarioCc = X r C es abierto. Representaremos la familia detodos los cerrados porC

Ejemplo 3.2.2.

(1) En un espacio metrico (X, d), la definicion de cerrado para la metricad coincide con la decerrado para la topologıa τd, asociada a la distanciad.

(2) En un espacio topologico con la topologıa indiscreta, losunicos cerrados sonX y ∅.

(3) En un espacio topologico con la topologıa discreta, todos los subconjuntos deX son cerrados.

(4) En la topologıa cofinita,(X, τcf ), un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si y solo si C = X, obienC es finito. �

El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica que este conjunto no sea abierto; de hecho,existen conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados, por ejemplo el espacio totalX en cualquierespacio topologico(X, τ); o la topologıa discreta del ejemplo anterior, tiene todos sus conjuntosque son a la vez abiertos y cerrados. Tambien existen, como hemos visto, conjuntos que no son niabiertos ni cerrados como cualquier intervalos[a, b) enR con la topologıa usual.

Los cerrados cumplen una serie de propiedades, que podemos llamar, duales de las propiedadesde los abiertos y que, en el caso de espacios metricos ya hemos visto en [2.4.7].

Teorema 3.2.3.Dado un espacio topologico(X, τ), la familia de los conjuntos cerrados cumplelas siguientes propiedades:

(1) X y ∅ son cerrados.

(2) Si{Ci : i ∈ I} es una familia de cerrados enX, entonces∩i∈ICi es un cerrado.

(3) Si {Ci : i = 1, 2, . . . , n} es una familia finita de cerrados, entonces∪ni=1Ci es un

cerrado.

Ya hemos visto en el ejemplo [2.4.8(1)] que la union arbitraria de cerrados no es, en general, uncerrado.

3.3 Entornos

Otro concepto que ya aparecio en los espacios metricos, pero que en realidad es topologico es elde entorno de un punto.

3.3. ENTORNOS 27

Definicion 3.3.1 (Entorno de un punto).Dado un espacio topologico (X, τ), diremos que unsubconjuntoU ⊂ X es un entorno de un puntox ∈ X si existe un abiertoA tal quex ∈ A ⊂ U .Al conjunto o familia de todos los entornos de un puntox ∈ X lo representaremos porUx.

Ejemplo 3.3.2.

(1) Si (X, d) es un espacio metrico, todo entorno para la metrica sera obviamente un entorno parala topologıa asociada a la distancia. El recıproco tambien es cierto.

(2) En un espacio topologico trivial elunico entorno posible de un punto es el espacio total.

(3) En un espacio topologico discretoU ∈ Ux si y solo six ∈ U .

(4) En la topologıa cofinita,U ∈ Ux si y solo six ∈ U y U c = X r U es finito.

Recordemos que, en un espacio metrico los conjuntos abiertos se pueden caracterizar a partir de lanocion de entorno. En el caso general de los espacios topologicos tambien se pueden caracterizarlos conjuntos abiertos de una manera analoga. �

Proposicion 3.3.3. En un espacio topologico (X, τ), un conjuntoA es abierto si, y solo si A esentorno de todos sus puntos.

Demostracion. =⇒ Si A es abierto, se tiene, obviamente, quex ∈ A ⊂ A, y por tantoA es unentorno dex, para todox ∈ A.

⇐= Recıprocamente, si suponemos queA es entorno de todos sus puntos, entonces, para todox ∈ A existe un abiertoUx tal quex ∈ Ux ⊂ A. De esta manera se puede escribirA = ∪x∈AUx,que sera abierto ya que es union de abiertos.

Proposicion 3.3.4.Dados un espacio topologico(X, τ) y un puntox ∈ X, la familia de entornosUx verifica las siguientes propiedades:

(1) SiU ∈ Ux, entoncesx ∈ U .

(2) SiU ∈ Ux y U ⊂ V , entonces tambienV ∈ Ux.

(3) SiU, V ∈ Ux, entoncesU ∩ V ∈ Ux.

(4) SiU ∈ Ux, existeV ∈ Ux tal quex ∈ V ⊂ U y V ∈ Uy para todoy ∈ V .

Demostracion. (1)Es evidente. (2) ComoU ∈ Ux, entonces existeA abierto de modo quex ∈A ⊂ U , pero entoncesx ∈ A ⊂ V ; por tantoV ∈ Ux.

(3) Si U, V ∈ Ux existen abiertosA, B, tales quex ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V . Eso implica quex ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V , y comoA ∩ B es abierto por ser interseccion de dos abiertos, tendremosqueU ∩ V ∈ Ux.

(4)ComoU ∈ Ux, existe un abiertoA ∈ τ tal quex ∈ A ⊂ U ; basta tomarA = V

28 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

La familia de todos los entornos habitualmente es muy grande y, con frecuencia, difıcil de repre-sentar. Incluso en el caso deR con la topologıa usual, los entornos pueden ser muy complicados.Esto se resuelve trabajando solo con los intervalos. En el caso de un espacio metrico este papel lohacen las bolas y en el caso general introduciremos un concepto que facilitara el trabajo de formasemejante:

Definicion 3.3.5 (Base de entornos).Dado un espacio topologico(X, τ), un puntox ∈ X, y unasubfamiliaVx ⊂ Ux de la familia de entornos dex; diremos queVx es una base de entornos dex,o base local dex, en(X, τ) si verifica

SiU ∈ Ux es un entorno dex, entonces existeV ∈ V(x) tal queV ⊂ U

Ejemplo 3.3.6.

(1) En R con la topologıa usual, una base de entornos para cadax ∈ R es la familia formada porlos intervalos de centrox y radior > 0 variandor, es decir{(x− r, x + r) : r > 0}.

(2)En un espacio metrico(X, d), la familia de bolasVx = {B(x, r) : r > 0} es obviamente, unabase de entornos dex, para cadax ∈ X.

(3)En un espacio metrico (X, d), la familia de bolasVx = {B(x, 1n) : n ∈ N∗} es tambien una

base de entornos dex, para cadax ∈ X, puesto que para cadar > 0 existen ∈ N∗ tal que1n < r.

(4) En un espacio topologico trivial o indiscreta,(X, τI), la unica base de entornos posible es laformadaunicamente por el espacio totalX.

(5) Si el espacio topologico es discreto,(X, τD), {x} es un entorno dex, para todox ∈ X, y portanto se deduce que la familia formada por este entorno,Vx = {{x}}, es una base de entornos dex. �

3.4 Subespacios topologicos

Proposicion 3.4.1.Sea(X, τ) un espacio topologico yH ⊂ X entonces la familiaτH = {H∩A :a ∈ τ} de las intersecciones de los abiertos de(X, τ) conH es una topologıa sobreH.

Demostracion. EvidentementeH ∈ τH puesto queH = H ∩X y ∅ = H ∩∅, luego∅ ∈ τH .

Si tenemos una familia{H ∩ Ai : i ∈ I, Ai ∈ τ} de elementos deτH , entonces la union sera∪i∈I(H ∩ Ai) = H ∩ (∪i∈IAi) y como∪i∈IAi ∈ τ por ser abiertos, tendremos que la union deelementos deτH tambien es deτH . Aplicando la misma propiedad en sentido contrario se pruebaque la interseccion de dos elementos deτH tambien es deτH .

3.4. SUBESPACIOS TOPOLOGICOS 29

Definicion 3.4.2 (Subespacio topologico). Si (X, τ) es un espacio topologico y H ⊂ X, alespacio topologico (H, τH) se le llama subespacio topologico deX y a la topologıa τH se lellama topologıa inducida porτ sobreH o topologıa relativa deH con respecto a(X, τ). A losabiertos deτH les llamamos abiertos relativos o abiertos para la topologıa relativa.

Ejemplo 3.4.3. Los subconjuntos de un espacio metrico con la topologıa asociada a la distanciainducida son subespacios topologicos.

�

Los cerrados en la topologıa inducida tambien son intersecciones de cerrados del espacio total conel subespacio.

Proposicion 3.4.4. Sea(X, τ) un espacio topologico y seaH ⊂ X. Un subconjunto deF ⊂ H,es un cerrado relativo si, y solo si existe un cerradoC en el espacio total, de forma queF = C∩H.

Demostracion. =⇒ SeaF un cerrado en(H, τH). Eso significa que su complementario enH

es un abierto relativo,H r F ∈ τH . Por tanto, existeA ∈ τ tal queH r F = A ∩ H. PeroentoncesC = X r A es un cerrado en(X, τ), y

F = H r (H r F ) = H r (A ∩H) = H r A = H ∩ (X r A) = H ∩ C

⇐= Recıprocamente, seaF = C ∩H conC cerrado en el espacio total. Su complementario enH se puede expresar ası:

H r F = H r (C ∩H) = H r C = H ∩ (X r C)

ComoX r C ∈ τ , es abierto por ser complementario de un cerrado,H r F ∈ τH . TendremosqueF es cerrado en(H, τH).

Ejemplo 3.4.5. Es importante darse cuenta de que, en general, los abiertos relativos no tienenpor que ser abiertos en el espacio total. Ası, [0, 1) no es abierto enR con la topologıa usual; sinembargo, sı es abierto en[0,+∞) con la topologıa inducida.

�

Proposicion 3.4.6. Sea(X, τ) un espacio topologico y(H, τH) un subespacio. Entonces:

(a) Todo subconjuntoA ⊂ H abierto en(H, τH) es abierto en(X, τ) si, y solo H es abiertoen(X, τ).

(b) Todo subconjuntoC ⊂ H cerrado en(H, τH) es cerrado en(X, τ) si, y solo H escerrado en(X, τ).

30 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

Demostracion. (a) Si todo abierto enτH lo es enτ , comoH es abierto enτH tambien es abiertoenτ .

Recıprocamente, siH es abierto enτ , como todo abiertoA enτH es de la formaA = H ∩B, conB abierto en el espacio total,A sera abierto en el espacio total por ser interseccion de abiertos.

(b)(Ejercicio).

Cada una de las dos afirmaciones de la proposicion anterior son independientes, es decir la primera(a), habla de abiertos pero no dice nada de cerrados y la segunda (b) habla de cerrados pero no deabiertos. Observemos los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 3.4.7.

(1) ConsideremosR con la topologıa usual y el subespacio formado por los racionalesQ. Losabiertos enQ para la topologıa inducida seran intersecciones de abiertos deR conQ. Entonces elconjunto{x ∈ Q : 0 < x < 1} es abierto enQ pero no lo es enR.

(2) SeaA = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1} que es abierto en(R2, d2) y, por tanto, todo abierto de(A, d2), lo es enR2, por ejemplo,B = B((0, 0), 2) ∩ A es abierto, sin embargoA r B es uncerrado en(A, d2) pero no lo es en(R2, d2). �

Veamos, para concluir esta seccion, como son los entornos y las bases de entornos en la topologıainducida.

Proposicion 3.4.8.Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaH ⊂ X. Dadox ∈ H, un subconjuntoV ⊂ H es un entorno relativo dex (V ∈ UH

x ) si, y solo si existeU entorno dex en el espaciototal, (U ∈ Ux), de forma queV = U ∩H.

Demostracion. =⇒ SeaV un entorno relativo dex: existeB ∈ τH tal quex ∈ B ⊂ V ;entonces existira A ∈ τ tal queB = A ∩ H. SeaU = A ∪ V ; evidentementeU ∈ Ux, puesx ∈ B = A ∩H, x ∈ A ⊂ A ∪ V . Ademas:

U ∩H = (A ∪ V ) ∩H = (A ∩H) ∪ (V ∩H) = B ∪ V = V.

⇐= Recıprocamente seaU ∈ Ux; tomamosV = U ∩ H; existeA ∈ τ tal quex ∈ A ⊂ U .Entoncesx ∈ A ∩H ⊂ U ∩H = V .

Proposicion 3.4.9. Sea(X, τ) un espacio topologico y seax ∈ H ⊂ X. SiB(x) es una base deentornos dex en(X, τ), la familiaBH(x) = {B ∩H : B ∈ B(x)} es una base de entornos parala topologıa relativa.

Demostracion. EvidentementeBH(x) ⊂ UHx . SeaV ∈ UH

x ; entoncesV = U ∩H, conU ∈ Ux.Entonces existeB ∈ B(x) tal quex ∈ B ⊂ U ; entoncesB ∩ H ⊂ U ∩ H = V y B ∩ H ∈BH(x).

3.5. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRIZABLES 31

3.5 Espacios topologicos metrizables

Ya hemos visto en el ejemplo [3.1.2,1)] que cualquier espacio metrico (X, d) tiene asociada unatopologıa que llamamosτd, a partir de la definicion [2.3.3] y el teorema [2.3.6]. Nos podemospreguntar si todo espacio topologico procede de una metrica.

Definicion 3.5.1 (Espacio metrizable).Diremos que un espacio topologico(X, τ) es metrizablesi existe una distanciad definida sobreX, tal queτ coincide conτd.

Ejemplo 3.5.2.

(1) La topologıa discreta sobre cualquier conjuntoX, es metrizable y la distancia asociada es ladistancia discreta o trivial

(2) No todo espacio topologico es metrizable. Por ejemplo, siX es un conjunto que contienemas de un punto y lo consideramos dotado de la topologıa indiscreta(X, τI), no es un espaciometrizable, puesto que losunicos cerrados para esta topologıa son∅ y X, pero sabemos que enun espacio metrico, los conjuntos finitos son cerrados, con lo cual deberıan existir mas cerrados.�

Sigue teniendo, en el presente curso, un gran interes estudiar los espacios cuya topologıa es metriz-able, es decir, los espacios metricos. Vamos a recordar como se concretan en los espacios metricos,los conceptos estudiados hasta ahora en el presente capıtulo.

Base de la topologıa.- Tal y como hemos definido los abiertos [2.3.3] en un espacio metrico(X, d), el conjunto{B(x, r) : x ∈ X, r > 0} de las bolas abiertas es una base de la topologıa τd

asociada a la distancia.

Entornos.- Lo mismo ocurre con los entornos, ya los definimos en [2.3.8].

Cerrados.- Tambien hemos definido y caracterizado los cerrados de un espacio metrico en elcapıtulo anterior [2.4.7].

Base de entornos.- Hemos visto en el ejemplo [3.3.6 2)] que para un puntox ∈ X, una base deentornos es el conjunto{B(x, r) : r > 0} de todas las bolas abiertas con centro en dicho punto.Tambien hemos visto que en el ejemplo [3.3.6 3)] que el conjunto{B(x, 1

n) : n ∈ N∗} es tambienuna base de entornos.

Tambien hemos estudiado en el capıtulo anterior los subespacios metricos. Veamos que son lossubespacios topologicos asociados a la metrica.

Proposicion 3.5.3. Sea un espacio metrico (X, d) y sea un subconjuntoH ⊂ X. Entonces latopologıa asociada a la metrica inducida sobreH coincide con la topologıa inducida por latopologıa metrica enX. Es decir:τd\H = τdH

32 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

Demostracion. ⊂ SeaA′ ∈ τd\H , entonces existe unA ∈ τd tal queA′ = A ∩ H. VeamosqueA′ ∈ τdH

. Para cualquierx ∈ A′ ⊂ A existe unr > 0 tal queBd(x, r) ⊂ A, entoncesBd(x, r) ∩H ⊂ A′, pero ya hemos visto queBd(x, r) ∩H = BdH

(x, r). Por tanto,A′ ∈ τdH.

⊃ Sea ahoraA′ ∈ τdH, para cualquierx ∈ A′ existe unr > 0 tal queBdH

(x, r) ⊂ A′. Comoantes,BdH

(x, r) = Bd(x, r) ∩H. Si tomamos

A = ∪x∈A′Bd(x, r)

tendremos

A′ ⊂ A ∩H = (∪x∈A′Bd(x, r)) ∩H = ∪x∈A′(Bd(x, r) ∩H) = ∪x∈A′BdH(x, r) ⊂ A′

Entonces,A′ = A ∩H y por tanto,A′ ∈ τd\H .

Hemos visto que no todo espacio topologico es metrizable. Cabe entonces hacerse la siguientepregunta: ¿Existen diferenciastopologicasentre un espacio topologico que sea metrizable y otroque no lo sea? La respuesta es que sı, y existe una propiedad fundamental que se verifica en losespacios metrizables, pero que no es cierta, en general, en un espacio topologico arbitrario.

Definicion 3.5.4 (Espacio de Hausdorff oT2). Diremos un espacio topologico (X, τ) es unespacio de Hausdorff oT2 o separado, si para todo par de puntosx, y ∈ X distintos, existenentornos,Ux ∈ Ux, y Vy ∈ Uy, tales queUx ∩ Vy = ∅.

Proposicion 3.5.5. Un espacio topologico (X, τ) es de Hausdorff si, y solo si para todo par depuntos distintosx, y ∈ X, existen abiertosA,B ⊂ X, tales quex ∈ A, y ∈ B y A ∩B = ∅.

Demostracion. Es consecuencia directa de la definicion anterior y la de entorno.

Ejemplo 3.5.6.

(1) Todo espacio metrico es de Hausdorff.

(2) No todo espacio topologico esT2. La recta real, con la topologıa cofinita no es un espacio deHausdorff. �

Vamos a comparar las topologıas metricas. En realidad estudiaremos cuando dos metricas sobreun mismo espacioX generan la misma topologıa, que es lo realmente interesante.

Definicion 3.5.7 (Metricas equivalentes).Diremos que dos metricasd y d′ sobre un mismo con-juntoX son equivalentes si dan lugar a la misma topologıa, es decir, siτd = τd′ .

Proposicion 3.5.8. Seand y d′ dos distancias definidas sobre un conjuntoX. Entoncesd yd′ son equivalentes si, y solo si para todox ∈ X y para todor > 0 existeδ > 0 tal queBd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r) y existeδ′ > 0 tal queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r)

3.5. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRIZABLES 33

Demostracion. =⇒ Supongamos qued y d′ son equivalentes. Dadosx ∈ X y r > 0, Bd′(x, r)es un abierto deτd′ , y por tanto deτd; por eso existeδ > 0 tal queBd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r).Analogamente se demuestra la segunda afirmacion.

⇐= Recıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones veamos qued y d′ sonequivalentes. SeaA un abierto deτd y seax ∈ A. Entonces exister > 0 tal queBd(x, r) ⊂ A.Aplicando la segunda propiedad, existira δ′ > 0 tal queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r), y entoncesA esun entorno dex paraτd′ y es, por tanto, abierto en esta topologıa. De forma analoga se demuestraque todo abierto deτd′ lo es tambien deτd.

Corolario 3.5.9. Dos distanciasd y d′ sobre un conjuntoX son equivalentes si existen constantesm,M > 0 tales que para todox, y ∈ X

md(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ Md(x, y)

Demostracion. Seanx ∈ X y r > 0. Entonces tomandoδ = rM , se tiene qued(x, y) ≤ δ implica

qued′(x, y) ≤ Md(x, y) ≤ Mδ = r, con lo queBd(x; δ) ⊂ Bd′(x, r). De forma analoga,tomandoδ′ = mr se tiene queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r).

Ejemplo 3.5.10.

(1) El hecho de que dos metricas sean equivalentes, significa que tienen los mismos abiertos,pero no necesariamente las mismas bolas; por ejemplo enRn las tres metricasd1, d2 y d∞ sonequivalentes (Ejercicio) y sin embargo, como ya hemos visto, no tienen las mismas bolas.

(2) La metrica euclıdea y la metrica discreta sobreR2 no son equivalentes. �