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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas

e Fundaçõese Fundações

ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de

Concreto: Vigas, Lajes e Pilares

Estado Limite de UtilizaçãoFadiga

Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada

ES25ES25

ES025ES025Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares____________________________________________________

Cálculo no Estádio IIVerificação de FlechasVerificação de Fissuração

1a Parte - Estado Limite de Utilização

2a Parte-Resistência da Armadura à Fadiga

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Estados Limites de Utilização______________________________________________________________________

1. Introdução2. Cálculo no Estádio II (puro)

2.1. Hipóteses2.2. Seção Retangular com Armadura Simples2.3. Seção Retangular com Armadura Dupla2.4. Seção “T” com Armadura Simples2.5. Exemplo

3. Verificação de Flechas3.1. Cargas de Curta Duração - Flechas Imediatas de Carga Acidental3.2. Cargas de Longa Duração - Flechas de Carga Permanente3.3. Exemplo3.4. Dispensa da Verificação da Flecha

4. Verificação da Fissuração4.1. Introdução4.2. Fissuração Estabilizada4.3. Fissuração Não Estabilizada4.4. Critério da NBR-61184.5. Exemplo

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Resistência da Armadura à Fadiga______________________________________________________________________

1. Introdução2. Resistência à Fadiga - ffad,k

3. Consideração da Resistência à Fadiga no Dimensionamento3.1. Caso de Armadura de Flexão3.2. Caso do Estribo

4. Exemplos4.1. Flexão4.2. Cisalhamento

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Introdução______________________________________________________________________

a) estados limites últimos de ruptura convencional da seção- por esmagamento do concreto a compressão (εcu = 0,0035);- ou por alongamento plástico excessivo da armadura (εsu = 0,010).

b) Estados limites de utilização:- de deslocamento excessivo (limitação de flechas na viga);- de fissuração excessiva (limitação da abertura de fissuras).

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Introdução______________________________________________________________________

M M

r

As

dx

d

εcdx

εs dx

r

dxr

dxd

our d

c s c s=+

=+( )ε ε ε ε1

.

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Introdução______________________________________________________________________

ε σ ε

σ

= = =

= = = = =∫∫∫

1 1

1 1 12 2

ry e E E

ry

M ydA Er

y dA Er

y dA EIr

ou MEI rAAA

M M

l

a MEI

=l2

8.

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Introdução______________________________________________________________________

M M

l

Viga de concreto armado

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Introdução______________________________________________________________________

Diagrama de momento-curvatura

1/r

MM

M

M

M

un

uo

rn

ro

Estádio I Estádio II Estádio III

f ctA

fcc

εc

(encurtamento)

(compres.)

σc

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Cálculo no Estádio II______________________________________________________________________

Hipóteses

a. manutenção da seção plana;b. aderência perfeita entre o concreto e a armadura;c. validade da lei de Hooke para o concreto e para o aço;d. resistência do concreto à tração igual a zero.

Es = 210.000 MPa (21.000 kN/cm2).

.

)(560085.0 MPafE ckcs ×=

.

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Seção retangular com armadura simples______________________________________________________________________

Equações de compatibilidade ε ε

ε εc ss cx d x

d xx

=−

→ =−

Equações constitutivasσ ε σ ε εc c c s s s s cE e E E d x

x= = =

−

b

h d

Rc

Rs

xσc

σs

εc

εs

AsM

x/3

z=d-x/3

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Equações de equilíbrio

forças resultantes: R bx bxEc c c c= =σ ε/ /2 2

R A A E d xxs s s s s c= =−

σ ε

equilíbrio dos esforços: R Rc s=

M R z R z onde z d xc s= = = − / 3

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Posição da linha neutra

R R oubxE

A E d xxc s

c cs s c= =

−εε

2

bx A d x ondeEEs e e

s

c

2

2= − =α α( )

( ) ( )x A b x A b ds e s e2 2 2 0+ − =α α/ /

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.

xA

bbd

As e

s e

=⋅

− + +

αα

1 1 2

Produto de rigidez à flexão

1r d x E d x

s s

s

=−

=−

ε σ( )

.

1r

ME I

A zE Ic II

s s

c II

= =σ

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E I A E d x zc II s s= −( )

I bx A d x A d x d xII s e s e= + ⋅ − = ⋅ − −3

2

33α α( ) ( )( / )

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Seção retangular com armadura dupla______________________________________________________________________

b

h d

Rc

Rs

x

σc

σs

εc

εs

AsM

x/3

z=d-x/3

A's d' ε's

R's

Equações de compatibilidade

ε ε εε ε ε εc s s

s c s cx d x x dd x

xx d

x=

−=

−→ =

−=

−''

, ' '

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Equações constitutivas

Equações de equilíbrio

Forças resultantes

R bx bxEc c c c= =σ ε/ /2 2

R A A E d xx

R A A E x dxs s s s s c s s s s s c= =

−= =

−σ ε σ ε, ' ' ' ' '

csssscssssccc xdxEE

xxdEEeE εεσεεσεσ ''', −

==−

===

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Equilíbrio de esforços

R R Rc s s+ ='M R d x R x ds s= − + −( / ) ' ( / ' )3 3

bxEA E x d

xA E d x

xc c

s s c s s c

εε ε

2+

−=

−' '

.

bx A x d A d xs e s e

2

2+ − = −' ( ' ) ( )α α

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.

xb

A A xb

A d A des s

es s

2 2 20+ + − + =

α α( ' ) ( ' ' )

( )

+

+

+

++−+⋅='ρρd

d''ρρ

'ρρ1

α211'ρραdx

dd

dd

dde

dde

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1r d x E d x

e x dd x

ou x dd x

s s

s

s

ss s=

−=

−=

−−

=−−

ε σ σσ

σ σ( )

' ' ' '

1 3 3r E d x

A d x A x d x d d xE I

s

s

s s s s

c II

=−

=− + − − −σ σ σ

( )( / ) ' ( / ' ) ( ' ) / ( )

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E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s= − − + − −( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3

I bx A d x A x dII s e s e= + − + ′ − ′3

2 2

3α α( ) ( )

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Seção “T” com armadura simples______________________________________________________________________

A equação de equilíbrio nos conduz a

.

( )/

b b h Ex h

xb x

E A E d xxf w f c c

f wc c s s c−

−+ =

−ε ε ε

22

[ ]b xb b h A x b b

hA dw

f w f s e f wf

s e

2 2

2 20+ − + − − − =( ) ( )α α

As

b

bf

hf

d

w

x

εc

εs

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Seção “T” com armadura simples______________________________________________________________________

..

Ib x b b x h

A d xIIf f w f

s e= −− −

+ −3 3

2

3 3( )( )

( )α

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Verificação das flechas______________________________________________________________________

Cargas de curta duração

E f MPac ck= ⋅ +0 9 6600 3 5, , ( )

q* = 0,7 q = carga de utilização

EcIII = produto de rigidez.

Cargas de longa duração

calcula-se a flecha imediata ago para a carga g;

a flecha final de longa duração ag pode ser estimada por

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ag = ago (Cf / Ci) onde

Ci = 1/ri = (εc + εs) / d = curvatura inicial

Cf = 1/rf = (3 εc + εs) / d = curvatura final

, εε

ξξ

s

c

d xx

=−

=−1.

a a a ag goc s

c sgo

s c

s cgo=

++

=++

= +3 3

11 2

ε εε ε

ε εε ε

ξ//

( )

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imites

,

aq ≤ l / 500;

ag + aq ≤ l / 300.

Dispensa da verificação da flecha

(altura útil)d ≥⋅l

ψ ψ2 3

ψ2 = 1,0 nas vigas biapoiadas,1,2 nas vigas contínuas,1,7 nos vãos biengastados,0,5 nos balanços.

ψ3 = 17 para o aço CA50,25 para o aço CA25.

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Verificação da fissuração______________________________________________________________________

w εAs

fissura

N N

a) 0,1 mm em peça não protegida em meio agressivo;b) 0,2 mm em peça não protegida em meio não agressivo, ec) 0,3 mm em peça protegida.

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Armadura mínima

ε = constante na seção transversalσct = Ec ε; σs = Es ε; ou σs = αe σct ,

N = (Ac - As) σct + As σs =[Ac + (αe - 1) As] σct

σαct

c e sct

NA A

f=+ −

≤( )1

Asmin fy = [Ac + (αe -1) Asmin] fct

AA f

f fA f

fsc ct

y e ct

c ct

ymin ( )

=− −

≅α 1

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Fissuração estabilizadaN

B D

arminarmax≅2armin

σct σct=fct=0,15kN/cm2

σs 19,83 kN/cm2

σs=1,23kN/cm2

τb = tensão de aderência

A

N

4 φ 10

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A fissuração progressiva estabiliza quando:

armin < ar < armax

Abertura média (w).

w a a aEr s c r s r

s

s

= − ≅ =( )ε ε εσ

wEb

s

s r

=−

+

110 2 0 75

4 45φη

σρ,

Segundo a NBR - 6118

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Fissuração não estabilizada

.

w

N N

σct < fct

σctτb

[ ]ds(s)ε(s)ε2wrra

0cs∫ −=

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wf Eb tk

s

s

=−

⋅

110

12 0 75

2

ηφ σ

,

A NBR – 6118 propõe

7,5φ

7,5φ

7,5φ

7,5φ7,5φ

7,5φ7,5φ

7,5φ

c < 7,5φ

c < 7,5φ

a

(a < 15 φ)

Acr

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Critério da NBR - 6118a) 0,1 mm para peças não protegidas (peças sem revestimento), em meio agressivo;b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo, ec) 0,3 mm para peças protegidas (peças revestidas).

> wlimwEb

s

s r

=−

+

110 2 0 75

4 45φη

σρ,

>wlimwf Eb tk

s

s

=−

⋅

110

12 0 75

2

ηφ σ

,

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Resistência à fadiga______________________________________________________________________

entre os valores extremos σmin e σmax

P

P

r

barra com dobra

barra reta

Introdução

P pulsante com amplitude cíclica solicitando a armadura

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Resistência à fadiga (Gráfico de Wohler)

106

ffad,k

2x106

n

104 105

σs

fy

0,8fy

ampl

itude

∆σs

σs,max

σs,min

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Resistência à fadiga

armadura em barra reta: ffad,k = 18 kN/cm2;armadura em barra curva: ffad,k = 14 kN/cm2.

Coeficiente de fadiga (κf).

κ fs

fad kf=∆σ

,

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Caso da armadura de flexão

Md,max = γf Mk,max

Momento máximo na combinação frequente

M M MCF gk qkmax, ,max= + ψ 1

.

M M MCF gk qkmin, ,min= + ψ 1

Momento mínimo na combinação frequente

ψ1 = 0,6 → em edifícios0,8 → em pontes rodoviárias1,0 → em pontes ferroviárias.

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M M M M MCF

s

CF

s

CF CF

s s

CF

s

max,

,max

min,

,min

max, min,

,max ,minσ σ σ σ= =

−−

=∆∆σ

M Mf

CF

s

k

yd

f

max,

,max

,max

σγ

= ∆∆M M

fCF

s

k

yd

f

σγ

= ,max⇒

∆∆σ

γsCF

k

yd

f

MM

f= ⋅

,max

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Coeficiente de fadiga

.. kfadf

yd

k

CF

kfad

sfM f

fM

Mf ,max,,

1⋅⋅

∆=

∆=

γσκ

.

1,max,

min,max, ≥⋅⋅

⋅−

=kfadfs

yk

k

CFCF

ff

MMM

γγ

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Para armadura reta de aço CA-50

..

κ fMCF

k

CF

k

MM

MM

= ⋅ ⋅ = ⋅ ≥∆ ∆

,max ,max

,,

,43 481 4

118

1 725 1

Armadura corrigida

A As cor s fM, = ⋅ κ

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Caso do Estribo

.. κγfV

sw

fad k

CF

k

yd

f fad kfV

Vf

f= = ⋅ ⋅ ≥∆σ ∆

, ,max ,

1 1

Coeficiente de fadiga

Para armadura curva de aço CA-50

κ fVCF

k

CF

k

VV

VV

= ⋅ ⋅ = ⋅ ≥∆ ∆

,max ,max

,,

,43 481 4

114

2 218 1

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Determinação de Deslocamentos

..

Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas

∑ ∑+=i j

qikjgikd FFF 2ψ

→= 2,02ψ

→= 4,02ψ

→= 6,02ψ

Combinação Quase-Permanente

Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas

Bibliotecas, garagens, etc

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ocIIa

ro

a

rceq IEI

MMI

MMEEI ≤

−+

=

33

1)(

3/2.30,0

.

ckctm

ctmr

ffWfM

=

=

=W=aM

=oI

=III

Flecha Imediata:

= Momento de fissuração

Módulo de resistência relativo à fibra mais tracionada

Momento fletor na seção crítica do vão

Momento de inércia da seção bruta

Momento de inércia do Estádio II puro

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Flecha Diferida = αf. Flecha Imediata

'.501 ρξα

+∆

=f

dbA s

.'

'=ρ = Armadura de compressão no trecho consideradosA'

)()( ott ξξξ −=∆ t = tempo em meses na data em que se calcula a flechato = tempo em meses na data do carregamento

>≤

=mesestpara

mesestparatt

t

70270.996,0.68,0

)(32,0

ξ

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