Equações e diagramas T_dS

Equaes e diagramas T-dS

A segunda lei da termodinmica

A entropia uma propriedade que no conservativa!

S=S 2S1 1

2

QT AExpresso matemtica da segunda lei (para um sistema fechado).

Entropia

s2s1=1

2

qT int revUnidades kJ

kgK orBtu

lbmR

Variao de entropia entre dois estados especficos

Variao de entropia entre dois estados especficos

A mudana da entropia entre dois estados especficos a mesma , seja o processo reversvel ou irreversvel

A variao de entropia torna-se uma igualdade: utiliza-se um novo termo

S = 1

2

QT A SgenVariao

da entropia

Transporte de entropia devido ao fluxo de

calor

Gerao ou produo

de entropia

Sgen 0 ; no uma propriedade

Produo de entropia Sgen > 0 processo irreversvel real. Sgen = 0 processo reversvel. Sgen < 0 impossvel.

Produo de entropia Sgen quantifica as irreversibilidades

(aumenta com o aumento das irreversibilidades).

Processo reversvel no produz entropia, Sgen = 0.

Sgen, depende do processo, logo no uma propriedade

Transferncia e produo de entropia

S2S1 = 1

2

QT S genVariao da entropia do sistema. Pode ser +, - ou nulo.

Transferncia de entropia de ou para o sistema via transf. De calor. Pode ser +, - ou nula

Produo de entropia:

> 0 irreversibilidades internas

= 0 no h irrevers. internas

< 0 nunca

Transferncia e produo de entropia

Aumento da entropia A variao da entropia em um sistema

em geral (Ssys) pode ser negativa (devido transferncia de calor para fora do sistema)

A produo de entropia no pode ser negativa

S gen0 : processo IrreversvelS gen=0 :processo ReversvelS gen0 : processo Impossvel

Transferncia de entropia

Transferncia de entropia

A variao da entropia deve-se a: transferncia de calor, de massa e a irreversibilidades.

Calor transferido para um sistema aumenta a entropia, e vice-versa.

O efeito das irreversibilidades sempre o aumento da entropia

Alguns cometrios sobre entropia O processo pode ocorrer apenas em um sentido em

que Sgen 0, e no e qualquer sentido

Entropia uma propriedade no conservativa :a entropia do universo est sempre aumentando.

A performance em sistemas de engenharia degradada pelas irreversibilidades, e a gerao de entropia uma medida da magnitude das irreversibilidades presentes durante o processo.

A entropia de uma substncia pura determinada atravs de tabelas, assim como para qualquer outra propriedade

Procedemos da mesma forma que para as demais

propriedades

s=s f x sgs f

s T , p s f T

Das tabelas:

E, para lquidos comprimidos:

Diagrama T-s para a gua

Questo Utilizando as tabelas do livro: Encontre a entropia da gua a 50 kPa e

500C. Especifique as unidades. Encontre a entropia da gua a 100C com

um ttulo de 50%. Encontre a entropia da gua a 1 MPa e

120C.

Diagrama T-s

w=PdvO trabalho era a rea abaixo da curva

Lembrem-se que no diagrama P-v a anlise da 1a lei foi muito importante, e que,

Para o diagrama T-s dS=( QT )int rev

Q int rev=TdS

Qint rev=1

2

TdS

Arrumando:

Integrando:

Tr

a

n

s

f

.

d

e

c

a

l

o

r

p

a

r

a

p

r

o

c

e

s

s

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i

n

t

e

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n

.

r

e

v

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s

.

T

r

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c

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s

s

o

s

i

n

t

e

r

n

.

r

e

v

e

r

s

.

d

Em um diagrama T-S a rea abaixo da curva do processo representa a transferncia de calor para processos internamente reversveis

Obteno das equaes Tds

Para um sistema fechado simples:

O trabalho dado por:

Substituindo:

QW =dU

W =PdV

Q=dUPdV

Para um processo reversvel

Logo,

TdS = dU + PdVEm termos especficos:

Tds = du + Pdv

TdS=Q

Obteno das equaes Tds

Equaes Tds

Tds=duPdv

Entropia propriedade Equao Tds expressa a entropia em

funo de outras propriedades As propriedades so independentes do

caminho A equao Tds pode ser utilizada para

calcular a variao da entropia entre 2 estados

Utilizando-se a entalpia, h = u + Pv, possvel obter uma segunda equao Tds:

Tds=dhvdP

dh=d uPv =duPdvvdP=TdsvdP

Equaes Tds

Variao de entropia de uma substncia pura

Variao de entropia de uma substncia pura

A variao de entropia ou relaes isentrpicas de um processo so:

1.Substncia pura:

Qualquer processo: s = s2 - s1 [kJ/(kg-K)]

Processo isentrpico: s2 = s1

Variao de entropia para uma substncia incompressvel

ds=CT T

dT

Primeira equaot Tds:

Substncia incompressvel, v const, logo dv = 0.

Ainda, Cv(T) = C(T), logo:

Tds=CvT dTPdv

s2s1=T 1

T2 C T T

dT

s2s1=C lnT 2T 1

Integrando:

Se o calor especfico no varia com a temperatura:


2. Substncia incompressvel:

Qualquer processo:

Processo Isoentrpico : T2 = T1

s2s1=C v lnT 2T 1


Questo

Alumnio a 100oC posto em um tanque rgido adiabtico contendo 10 kg de gua a 30oC. Se a massa do alumnio 0.5 kg, encontre a temperatura final do alumnio e da gua, a variao de entropia do alumnio e da gua, e a variao da entropia total do universo devido a este processo.

Diagrama

water

AL

Insulated wall

Sistema fechado incluindo o alumnio e a gua

Volume constante, adiabtico, sem trabalho realizado

Conservao de energiaPrimeira lei

QW=Usys=U WU AL

mW CW T 2T 1 WmAL C AL T 2T 1 AL=0

Mas (T2)W = (T2)AL = T2 no equilbrio

T 2=mW CW T 1 WmAL C AL T 1 AL

mW CWmAL C AL

Resolvendo para a temperaturamW = 10 kg, CW = 4.177 kJ/kg.K

mAL = 0.5 kg, CAL = 0.941 kJ/kg.K

T 2=10 kg 4 . 177 kJkgK 303 K 0 . 5 kg 0 . 941

kJkgK 373 K

10 kg 4 . 177 kJkgK

0 . 5 kg 0 . 941 kJ /kgK

T2 = 303.8 K

Transferncia de entropiaVariao de entropia para a gua e para o alumnio

S W=mW CW lnT 2T 1,W

= 10kg 4 .177 kJkgK

ln303 .8K303 K

=0 . 1101kJK

S AL=mAL C AL lnT 2T 1, AL

= 0 .5 kg 0 . 941 kJkgK

ln 303. 8K373 K

=0 . 0966kJK

Produo de entropiaProduo de entropia para o Universo

Sgen= S total= SW S AL

= 0 .1101 kJK

0 .0966kJK

= 0 . 0135kJK

0

Sgen > 0 : Processo irreversvel

Variao de entropia para um gs perfeito

dh=C p dT and v=RT/P

Tds=C p dTRTP

dP

2a equao Tds

dh e v para um gs ideal

Substituindo:

Tds=dhvdP

ds=C pdTT

R dPP

Dividindo por T,

Cp = Cp(T)


s2s1=T 1

T2

C p T dTT

R lnP2P1

T 1

T 2

C pdTT

Integrando:

Precisamos avaliar a integral:


Ainda, podemos mostrar de Tds = du + Pdv

que

s2s1=T 1

T2

CvT dT

TR ln

v2

v1


Se a variao de temperatura muito pequena Cp constante (e Cv constante),

1

2

C pdTT

= C p lnT 2T 1

s2s1=C p lnT 2T 1

R lnP2P1

Variao de entropia para um gs perfeito com calores especficos constantes

Temos Tds = du + Pdv

Logo

s2s1=C v lnT 2T 1

R lnv2

v1

Variao de entropia para um gs perfeito com calores especficos constantes

Is

o

-

l

i

n

h

a

s

d

e

v

e

d

e

P

p

a

r

a

d

i

a

g

r

a

m

a

s

d

e

g

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s

e

s

p

e

r

f

e

i

t

o

s

I

s

o

-

l

i

n

h

a

s

d

e

v

e

d

e

P

p

a

r

a

d

i

a

g

r

a

m

a

s

d

e

g

a

s

e

s

p

e

r

f

e

i

t

o

s

T

s

v = const.

P = const.

dT/ds

Tds=duPdv v=const dT /dsv=T /C

v

Tds=dhvdPP=const dT /dsP=T /C P C PCv dT / dsvdT / dsP

0

0

Resumo da variao de entropia para uma substncia pura

Resumo da variao de entropia para uma substncia pura

1. Substncia pura:

Qualquer processo: s = s2 s1 [kJ/(kg-K)]

(Tabela)Processo isoentrpico:

s2 = s1

Qualquer processo:

Processo isentrpico: T2 = T1

s2s1=C av lnT 2T 1

2. Substncia incompressvel:

Resumo da variao de entropia para uma substncia incompressvel

Resumo da variao de entropia para uma substncia incompressvel

3. Gs perfeito:Calores especficos constantes (formulao

aproximativa):

s2s1=C v , av lnT 2T 1

R lnv2

v1 [kJ/ kgK ]

s2s1=C p , av lnT 2T 1

R lnP2P1

[kJ/ kgK ]

Resumo da variao de entropia para um gs perfeito

Resumo da variao de entropia para um gs perfeito

Questo : Ar comprimido em um dispositivo pisto cilindro de 90 kPa e 20oC a 400 kPa em um processo isotrmico reversvel. Determinar: (a) a variao de entropia do ar, (b) o trabalho realizado e (c) o calor removido.

90kPa293K

400kPa293 K s

T

12

Q

s2s1=C p lnT 2T 1

R lnP2P1

=287 ln 40090 =428 Jkg K

Wcomp=RT ln

P2P1

=287298ln 40090 =1 25 .4kJkg Trabalho compresso isotrmica p/ um gs ideal:

Variao de entropia p/ gs com calor especfico cte.:

Calor rejeitado (1a lei):

QWcomp=U QW comp=1 25 . 4kJkg

Sar diminui devido extrao de calor. Considere que o calor rejeitado para um ambiente a 15oC. Encontre a variao de entropia para o ambiente e para o ar.

O ambiente um reservatrio trmico. s = Q/T = 125400/288 = + 435 J/(kg K). A variao de entropia do sistema + a do

ambiente :

s = ssystem + senviron = - 428+ 435 = 7 J/(kg K). Se o ambiente estiver a 20oC, s = 0 porque

ambos esto a mesma temperatura.

QuestoUm tanque rgido contm 1 lbm de monxido de carbono (C

v = 0,18

Btu/lbmR) a 1 atm e a 90F. Calor adicionado at que a presso atinja 1.5 atm. Calcular:

(a) A transferncia de calor em Btu.

(b) A variao de entropia em Btu/R.

Diagrama

Estado 1:P = 1 atmT = 90oF

CO: m= 1 lbmEstado 2:P = 1.5 atm

Tanque rgido => volume cte.

Transferncia de calor

Consideraes O sistema o CO no tanque O trabalho nulo (tanque rgido) Variao de energia cintica nula Variao de energia potencial nula CO gs perfeito Calores especficos constantes

Conservao de energia

QW=U + KE + PE

Q= mCvT 2T 1

Para calores especficos constantes:

0 0 0

Precisa-se de T2 como obt-la?

Equao de estado dos gases perfeitos

P1V 1P2 V 2

=mRT1mRT2

Resolvendo para T2:

T 2=P2P1 T 1=1 . 51 . 0 90460R=825 R

Resolvendo para a transferncia de calor

Q = 1 lbm 0 .18 Btulbm R 825550RQ = 49 . 5 Btu

Agora, a variao de entropia ...

Para calores especficos constantes

S2 S1=mCv ln T 2T 1 Rlnv2

v1 Como v2 = v1

0

S2S1=mC v lnT 2T 1

S2 S1= 1 lbm 0 .18 Btulb m R ln825 R550 R S2S1 = 0 . 073 Btu/R

Variao de entropia em alguns processos

irreversveis

Alguns processos irreversveis PROCESSOS EM UM SENTIDO

PROCESSOS IRREVERSVEIS: EFEITO JOULESistema Isolado -> no h calor nem trabalho cruzando a fronteira.Toda a energia eltrica transformada em energia interna:

U f U i=Vi[t f ti ] 1a . lei

S fS i=i

fQT

Ps 2a . lei

Toda a energia eltrica convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P

s, pois Q=0.

Como S no depende do caminho, T(t)dS = dU =Vi dt -> PS = Vi t/T(t) > 0 => T(t) crescente .Energia eltrica convertida em energia interna aumentou a entropia do sistema isolado. No possvel converter a mesma quantidade de energia interna em energia eltrica.

RV

iQ

S

i

s

t

e

m

a

I

s

o

l

a

d

o

Tf

PROCESSOS IRREVERSVEIS: EFEITO JOULEPor que no possvel converter a mesma quantidade de energia interna em trabalho eltrico?

Do ponto de vista microscpico: o sistema deveria resfriar para diminuir a energia interna e transforma-la em energia eltrica . Certamente este no ser o estado mais provvel de encontr-lo portanto, esta transformao no ser espontnea!

Do ponto de vista macroscpico a entropia do sistema isolado deveria diminuir e isto violaria a 2a. Lei! Note que de (i) (f), PS>0

Um processo reversvel quando PS=0

PROCESSOS IRREVERSVEIS: ATRITOSistema Isolado -> no h calorcruzando a fronteira e toda energia Potencial da mola transformada em energia interna:

U f U i=12

k( x )2 (1a . lei )

S fS i=i

fQ /T +P

s (2a . lei )

Toda energ. pot. mola convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P

s, pois Q=0.

Como S no depende do caminho, T(t)S=U=(1/2)k(x)2 => PS=(1/2)k(x)2/T(t) > 0 => T(t) crescente.No possvel converter a mesma quantidade de energia interna em energia potencial da mola!

k

Q

S

i

s

t

e

m

a

I

s

o

l

a

d

o

mx

x0

PROCESSOS IRREVERSVEIS: QUEDA LIVRESistema Isolado -> no h calorcruzando a fronteira e toda energia Potencial transformada em energia interna aps choque com gua

U f U i=mg h0 1a . lei

S fS i=i

fQ /TP

s 2a . lei

Toda energ. pot. convertida em energia interna do sistema. A variao de S devido a P

s, pois Q=0.

Como S no depende do caminho, T(t)S=U=mgh0 => PS=mgh/T(t) > 0 => T(t) crescente.Aumentou a entropia do sistema isolado. No possvel converter a mesma quantidade de energia interna para elevar a bola na posio inicial h0!

Q

S

i

s

t

e

m

a

I

s

o

l

a

d

o

m

inicial

h0

gua

final

PROCESSOS IRREVERSVEIS: DIFERENA TEMP.S

i

s

t

e

m

a

I

s

o

l

a

d

o

Sistema Isolado -> energia internapermanece constante (blocos com mesma massa e calor especfico porm a Th e Tc)U f =UhU cT mix=

T hT c2

1a . lei

S do sistema isolado considerado como a soma de S do sistema quente e frio. Squente diminui mas Sfrio aumenta de modo que a variao total maior que zero.

Troca de calor com diferena de temperatura irreversvel. O bloco que atinge T

mix no volta espontaneamente para Th e Tc, necessrio trabalho!

inicial

Frio Tc

final

Quente Th Tmix=

T hT c2

PS=S=C ln(T mixT c )+C ln(T mixT h )=C ln(14

(T c+T h)2

T c T h )>0 (2a . lei )

PROCESSOS IRREVERSVEIS: EXPANSO COM DIFERENA DE PRESSO

Sistema Isolado -> na expanso para o vcuo no h calor nem trabalho cruzando a fronteira. A energia interna do gs permanece a mesma. T1 = T2 (1a lei)Processo isotrmico: P1V1 = P2V2 ou P2 = 0.5P1Variao da Entropia:

PS=TdS=dU=0

+PdV dS=PdVT

=MR dVV

S=MR ln[V2V1 ]>0Durante a expanso contra o vcuo a capacidade de realizar trabalho do gs foi perdida (no havia mq. p/ extrair trabalho). A transf. inversa irreversvel pois PS>0 , logo V2>V1

I

n

i

c

i

a

l

S

i

s

t

e

m

a

i

s

o

l

a

d

o

AR

P =P1V1=VT1=T

AR

P=P2V2 =2VT2=T f i

n

a

l

V

c

u

o

Eficincia do processoUm processo reversvel pode aumentar ou diminuir

a entropia, mas NO H PRODUO DE ENTROPIA.

A eficincia a razo entre o trabalho real e o trabalho reversvel ideal.

Um processo real que produz ou recebe trabalho comparado a um processo reversvel ideal.

Processo isentrpico

Q REV=0dS=0 or S2=S1Para um processo adiabtico reversvel

Para um gs perfeito -> ds=0 e vdP = CPdT

Com v = RT/P e R = CP-CV ,

C PC v dPP=C P

dTT

P2P1 1

=T 2T 1 Processos gs perfeito adiabtico reversvel,

Pv= const.

Q=0 dS0 pois PS 0Processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel

T

s

P1

P2

1

2s2

Para um processo adiabtico (1->->->->2) S nulo ou positivo devido produo de entropia

Ts

P1

P2

1

2s2

S nulo ou positivo devido produo de entropia, seja uma compresso ou uma expanso

adiabtica.

T

s

P2

P1

1

2s 2

Expanso, W > 0

Compresso, W < 0

Processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel

1A lei para um proc. adiabtico: W = U2 U1

Para compresso, T2S < T2, pois U ~ T, logo um processo reversvel necessita de menos trabalho que um proc. reversvel: |WREV| < |W|

Para expanso, T2S < T2, pois U ~ T, logo um processo reversvel produz mais trabalho que um proc. irreversvel: |WREV| > |W|

Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel

1a e 2a leis Q=dUW REALTdS=Q Irr

PdV Irr=W REAL

W REV Irr=W REALW REVW REAL= Irr0

Eliminando Q Mas PdV o modo de trabalho reversvel

Para produo potncia:

1W REALW REV

0 1

O trabalho produzido em um processo reversvel sempre maior ou igual ao produzido em um processo irreversvel

Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel

Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel Trabalho disponvel em um processo adiabtico: Reversvel x Irreversvel

As irreversibilidades na compresso e expanso geram: Aumento da entropia do sistema devido

produo de entropia pelas irreversibilidades Uma frao do trabalho disponvel gasta

para superar as irreversibilidades, que por sua vez aumentam a energia interna

Para que servem os processos reversveis? So teis para estabelecer referncias

entre os processos reais e ideais. A eficincia do processo, definida como a

razo entre os trabalhos produzidos por processos reais e reversveis, compara o quo prximos eles esto

=W

actual

Wreversible

No confundir a eficincia do processo

com a eficincia trmica de mquinas trmicas (ciclos)!

Questo

Um carro com uma potncia de 90 kW (120 hp) tem uma eficincia trmica de 28%. Determine a taxa de consumo de combustvel se o poder calorfico do mesmo de 44.000 kJ/kg.

QUESTOUm bloco de ao de 50 kg e um bloco de cobre de 20 kg, ambos inicialmente a 80oC, so jogados em um lago a 15oC. O equilbrio trmico atingido aps um certo tempo como resultado da transferncia de calor entre os blocos e a gua do lago. Determinar a variao total de entropia deste processo. (dica: considere que o lago um reservatrio trmico)

Equações e diagramas T_dS

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