EΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΜΕΤΑΦΟΡΑΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΑΠΛΩΝ ΧΗΜΙΚΩΝΑΝΤΙΔΡΑΣΕΩΝ

Μ. Φούντη

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών

2009

NΟMOΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΩΝΜΕΓΕΘΩΝ

Τα φαινόμενα καύσης υπακούουν στην αρχήτης διατήρησης των φυσικών μεγεθών.

Οι σχετικοί νόμοι είναι:Διατήρηση της συνολικής μάζαςΔιατήρηση της μάζας ενός χημικού στοιχείουΙσοζύγιο μάζας των χημικών συστατικώνΙσοζύγιο θερμότητας, έργου και ενέργειαςΙσοζύγιο ορμής σε διάφορες κατευθύνσεις.

Βασικοί νόμοι μεταφοράς

Νόμος του Newton: Συσχετίζει τη μεταφορά ορμής μέσωτου ιξώδους με τη κλίση της ταχύτητας

Νόμος του Fourier:Συσχετίζει τη μεταφορά ενέργειαςμέσω αγωγής με τη κλίση της θερμοκρασίας

τ μϑϑ

≡ = − ⋅FA

uy

ϑϑ

uy

ϑϑ

Ty

qQA

Ty

..

≡ = − ⋅λϑϑ

Μεταφορά θερμότητας και Διάχυση Μάζας σε αέρια:

• Χαρακτηρίζονται από τα ίδια μικροσκοπικά χαρακτηριστικά «άτακτης»μοριακής κίνησης.

• Και στις δύο περιπτώσεις η μεταφορά γίνεται μέσω της αντίστοιχηςκλίσης θερμοκρασίας ή συγκέντρωσης:

Βασικές διεργασίες: Μεταφορά θερμότητας και Διάχυση Μάζας

Ροή θερμότητας

Ροή μάζας

Κλίση θερμοκρασίας

Κλίση συγκέντρωσηςσυστατικών

Soret-Φαινόμενο

(Dufour-Φαινόμενο)

Νόμος Fourier

Νόμος Fick

(μικρή επίδραση -αγνοούνται)

Βασικοί νόμοι μεταφοράςΝόμος του Fick: Συσχετίζει τη μεταφορά τωνχημικών συστατικών μέσω διάχυσης με τη κλίσητης συγκέντρωσης.

ϑ

ϑ

my

j

Gmj j.

/≡ −y

my

d if f

jj

≡ ⋅

Γ

Δ

ρ

ϑ

ϑϑ

ϑΟπου : τ = διατμηματική τάση

μ = ιξώδες, συντελεστής συνεκτικότητας [ ]ML T− −1 1

q. = ρυθμός μεταδιδομένης θερμότητας με αγωγή/Α

λ = συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας [ ]MLT grad− −3 1

Gdiff = ρυθμός διάχυσης

Γj /ρ = Δ j = συντελεστής διάχυσης [ ]L T2 1−

Φυσικές ιδιότητες καυσίμου

Ο νόμος του Fick (Πειραματικός νόμος)

xm/jG i

j,diff ϑϑ

ρΓ−

≡

Γ j ≡ συντελεστής ανταλλαγής των j στο μίγμα

x = απόσταση στη κατεύθυνση που μετριέτα ι το G

ΔΓ

ji= =

ρσυντελεστής διάχυσης του j

στο μ ίγμα .

Διαστάσεις : Gkg

m

ms

Udiff → ⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥3 ( )ρ

[ ]m j → − −( )

[ ] [ ]Γ jkg

m sm kg m m s/ / /ρ →

⋅⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅ =−

23 2

• Το μείον ( )− δείχνε ι ότι η ύλη δ ιαχύετα ι από υψηλότερες προς χαμηλότερες

θερμοκρασ ίες .

• Διαστάσεις : Γ jkg

m s→

⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

[ ]Δ j m s→ ⋅2

Ο νόμος του Fick

• Για αέρια σε στρωτή ροή: Γj = φ μ( ) , Δ j = φ ν( )

Για υγρά: Γ j << μ

Για στερεά: Γ j είναι πολύ μικρό

• Για αέρια σε στρωτή ροή: Γ j molU= φ ρ λ( )

Oπου: Umol = μοριακή ταχύτητα

λ = μέση ελεύθερη διαδρομή

• Για τυρβώδη υγρά ή αέρια: Γ j turbU= φ ρ( )l

Όπου: Uturb = αντιπροσωπευτική ταχύτητα τύρβης

l = μέσο μέγεθος δυνών (mean eddy size).

Ο νόμος του Fick

Ο νόμος του Fick είναι προσεγγιστικός. Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί η ναείναι πεπερασμένη, ενώ το , επειδήκλίση της θερμοκρασίας, πίεσης και τωνλόγων μαζών των άλλων στοιχείων μπορούννα προξενήσουν διάχυση του j.Ο λόγος μαζών μπορεί να ορισθεί και μεβάση τις μερικές συγκεντρώσεις, λόγο mole, μερικές πιέσεις κλπ.

Gdiff j,ϑ

ϑ

mx

j= 0

Εισαγωγή στη μεταφορά μάζαςΗ μεταφορά μάζας εξετάζει την αλλαγή σύστασηςμίγματος λόγω μοριακής και τυρβώδουςδιάχυσης.Για την μελέτη φαινομένων μεταφοράς μάζαςαπαιτούνται:ορισμοί (ονομασία φαινομένων π.χ. διάχυση, συγκέντρωση),νόμοι,ιδιότητες υλικών συστατικών μειγμάτων,διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις γενικέςδιεργασίες,οριακές συνθήκες και λύσεις για ειδικές διεργασίες,χρήση σε ανάλυση, υπολογισμό, σχεδιασμό.

Ορισμοί Μεταφοράς μάζας

• Πυκνότητα ≡ μάζα του μίγματος ανά

μονάδα όγκου ≡ ρ(kg/ )m3 .

• Στοιχεία ≡ χημικά ξεχωριστές ουσίες,

π.χ. H O2 , H2, O2 , Η, κλπ..

• Μερική πυκνότητα του Α ≡ μάζα του στοιχείου (χημικής ένωσης) Α ανά μονάδα

όγκου ≡ ρ A kg m( / )3 .

• Kλάσμα μάζας του Α ≡ ρ ρA Am/ ≡ [-] (ή λόγος μάζας του Α)

ρ ρ ρ ρA B c

A B cm m m+ + + =

+ + + =

...... 1

] από τους ορισμούς

Ροή μάζας Μείγματος• Συνολική ταχύτητα ροής μάζας μίγματος προς συγκεκριμένη κατεύθυνση

≡ μάζα μίγματος που διαπερνά (τέμνει) μοναδιαία επιφάνεια κάθετη προς την

κατεύθυνση ανά μονάδα χρόνου

≡ ⋅ =G kg m s Gtot ( / )2

≡ ⋅Gkg

mm stot ( ) / )3

×

• Συνολική ταχύτητα ροής μάζας των χημικών στοιχείων Α στη συγκεκριμένη

κατεύθυνση ≡ μάζα των Α που διαπερνά μοναδιαία επιφάνεια κάθετη προς την

κατεύθυνση ανά μονάδα χρόνου ≡ Gtot A,

∴ + + + = ⋅G G G G kg m stot A tot B tot C tot, , , ... ( / )2

Πυκνότητα Ταχύτητα

Ροή μάζας Μείγματος• Ταχύτητα συναγωγής μάζας των Α σε προκαθορισμένη κατεύθυνση

≡ ≡ →m G G U UA tot conv AA

A A A, ( )ρρ

ρ ρ

∴ + + =G G Gconv A conv B tot, , ...

Iσχύει γενικά: G Gconv A tot A, ,≠

• Ταχύτητα διάχυσης μάζας των Α σε συγκεκριμένη κατεύθυνση

≡ − ≡G G Gtot A conv A diff A, , ,

∴ + + =G Gdiff A diff B, , .... 0

• Ταχύτητα μείγματος σε συγκεκριμένη κατεύθυνση

≡ ≡G U m stot / ( / )ρ

Διαφορική εξίσωση διατήρησης μάζας

ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΡΟΗ

(Μοναδιαία επιφάνεια διατομής)

Διαφορική εξίσωση διατήρησης μάζαςΣύμφωνα με τον νόμο διατήρησης της μάζας (ανεξάρτητα από χημικά στοιχεία):

Ταχύτητα μάζας - Ταχύτητα μάζας = Αύξηση στη περιεχό- στην είσοδο στην έξοδο μενη μάζα

Gδt - ( )GGx

x t+ϑϑ

δ δ = ϑρϑ

δ δt

t x

∴ ϑϑ

ϑρϑ

Gx t

= −

Για μόνιμη ροή (όπου ισχύει ότι οι όροι ϑϑt

είναι μηδέν)

ϑϑGx

= 0

δηλ. η G είναι ανεξάρτητη τόσο από το x όσο και το t.

Nόμος διατήρησης χημικών στοιχείων jKατά αναλογία με τα παραπάνω:

ϑ

ϑ

ϑ ρ

ϑ

Gx t

Rto t j j

j,

= − +

όπου : R j ≡ ρυθμός παραγωγής των στοιχείων j ανά μοναδιαίο όγκο λόγω

χημικής αντίδρασης ( / )k g m s3 .

Αντικαταστώντας σύμφωνα με τους ορισμούς:

ϑ

ϑρ ϑϑ

ρx

G Gt

Rc o n v j d if f j j j( ) (m ), ,+ = − +

ϑ

ϑρ

ϑ

ϑϑ ρϑ

ρϑ

ϑxG

mx

mt

mt

Rj jj

jj

j(m / ) )− = − − +Γ

mGx

Gm

x xmx

mGx

mt

Rjj

jj

jj

jϑϑ

ϑ

ϑϑ

ϑρ

ϑ

ϑϑϑ

ρϑ

ϑ+ − = − +

σ υ ν α γ ω γ η δ ια χ υ σ η1 24 44 34 44 1 244 34 4

( / )Γ

Gm

x xm

xm

tR

jj

j jj

ϑ

ϑϑ

ϑρ

ϑ

ϑρ

ϑ

ϑ− = − +( / )Γ

Ειδικές περιπτώσειςΓια συνθήκες μόνιμης ροής, η εξίσωση απλοποιείται:

Gdmdx

ddx

mdx

Rj

jj

j− =( / )Γ ρϑ

Αν Γ j = σταθερά: Gdmdx

d m

dxj

jj

− =Γ /ρ2

2 0

Αν δεν υπάρχει χημική αντίδραση:

Gdmdx

ddx

dmdx

jj

j− =( / )Γ ρ 0

Ολοκληρωμένη μορφή της Δ.Ε.

Gmdmdx

R dxjj j

j− = +∫Γ

ρσταθερα

Ενεργειακή διαφορική εξίσωση -Ορισμοίh j ≡ μερική ενθαλπία των στοιχείων-j σε μίγμα ανά μονάδα μάζας

= +∫ c dT hj j oToT

, (για ιδανικά μίγματα)

τιμή της h j σε To (τυχαία)

ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερά πίεση (εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία)

h ≡ ειδική ενθαλπία μίγματος ≡ ∑ m jολα j

h j

cPJ ≡ ειδική θερμοχωρητικότητα μίγματος υπό σταθερά πίεση ≡ ∑ m jολα j

c j

~h ≡ ενθαλπία ηρεμίας (ανακοπής) μίγματος = h + U2

2 όπου: U ταχύτητα μίγματος

q. ≡

QA

= ροή θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας = − λdTdx

(νόμος Fourier)

λ = θερμική αγωγιμότητα μίγματος.

Ροή ενέργειαςΣυνολική ροή ενέργειας (Ε) κάθετη προς μοναδιαία επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί το

αλγεβρικό άθροισμα των επί μέρους συνιστωσών:

EQA

W GU

h Gs j tot j≡ + + + ∑2

2 ,ολα, j

Συνολική Ροή λόγω Διατμητικό Κινητική Ροή λόγω ροή θερμότητας έργο ενέργεια ενθαλπίας ενέργειας (αγωγιμότητας)

Σημ.: G ροή συναγωγής = ∑ Gtot j,ολα j

dGdx

≠ 0 (δηλ. G δεν είναι σταθερά επειδή τα στοιχεία -j μεταφέρονται δια

συναγωγής με αποτέλεσμα την πρόκληση αντιδράσεων-χημικών) -

Ισχύει για μη μόνιμη ροή.

Διαφορική εξίσωση ροής ενέργειας

dEdx

S=

dEdx

S=

Από το πρώτο θερμοδυναμικόαξίωμα:

όπου : S εξωτερική πηγήενέργειας, όπως π.χ. ακτινοβολία (όχι χημικήαντίδραση).Μεταβολές υποτίθενται μόνοκατά την κατεύθυνση -x.

Πρώτη μορφή της Δ.Ε.

Αντικαθιστούμε τον ορισμό της Ε:

= 0 επειδή dG/dx = 0 για μόνιμη ροή

Sddx

dTdx

dWdx

Gddx

U u dGdx

s= + + + +( ) ( )λ2 2

2 2

+ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∑ hj

θερμοτητα λογωχημικης αντιδρασης

ολα, j

dGdx

Gdhdx

tot jtot j

j,,

1 24 34

Πρώτη μορφή της Δ.Ε.Rj = ρυθμός παραγωγής j ανά μονάδα όγκου λόγω χημικής αντίδρασης

dGdx

Rtot j

j,

= [από ορισμό Rjολα, j∑ = 0 ] και μπορούμε ν’ αντικαταστήσουμε:

h hjολα, j

jολα, j

dGdx

Rtot j

j,∑ ∑= ≠ 0

Επίσης μπορούμε ν’ αντικαταστήσουμε:

Gdhdx

G cdTdxtot j

jtot j j, ,= ⋅ (επειδή hj, 0 = σταθερά)

Η πρώτη μορφή της διαφορικής εξίσωσης είναι:

Sddx

dTdx

Wdx

Gddx

UR

dTdx

sj− + + + + ⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∑ ∑( ) ( )λ2

2h G cj

ολα, jtot, j j

ολα, j

Δεύτερη μορφή της Δ.Ε.

Ισχύει: G G Gtot j conv j diff j, , ,= +

→ ⋅ = ⋅ + ⋅c G c G c Gpj tot j pj conv j pj diff j, , ,

→ ⋅ = + ⋅∑ ∑ ∑c c cjολα, j

jολα, j

jολα, j

G m G Gtot j j

c

tot diff j, ,123

Επειδή Gdiff j,ολα, j∑ = 0 μπορούμε να γράψουμε τον τελευταίο όρο:

c (cjολα, j ολα, j

jολα, j

⋅ = + −∑ ∑ ∑G c G c Gdiff j diff j diff j, , ,) = 0

Δεύτερη μορφή της Δ.Ε.

Η εξίσωση παίρνει την μορφή:

Sddx

dTdx

ddx

W Gddx

URs j= − + + + +∑( ) ( ) ( )λ

2

2hj

ολα, j

+ + −∑c GdTdx

c GdTdxdiff j(c j

ολα, j) ,

Αν ( )c cj − = 0 ή Gdiff j, = 0 για όλα τα j, ο τελευταίος όρος της εξίσωσης

μηδενίζεται.

Αν οι ρυθμοί αντίδρασης όλων των στοιχείων συνδέονται ως ένα στοιχείο τότε ισχύει:

h j καυσ. καυσ.ολα, j

R Hu Rj ≡ − ⋅∑

όπου : Huκαυσ. = η θερμογόνος ικανότητα του καυσίμου.

Ροή θερμότητας Κλίση θερμοκρασίας

Νόμος Fourier xTq

∂∂

⋅−= λ&

Συντελεστής συναγωγής λ [W / m K]

Για τον υπολογισμό της κατανομής μεταβατικής θερμοκρασίας T(x, t) επιλύεται Δ.Ε. για τη θερμοκρασία με βάση τον Νόμο Fourier:

AQq && =

2

2

xT

ctT

p ∂∂

⋅=∂∂

ρλ

2ος Νόμος Fourier

Temperaturleitfähigkeit a = λ /ρ cp [ m2 / s ]

a

Μεταφορά θερμότητας

Μετ. Θερμότητας --> ΕξίσωσηΔιατήρησης

• Στοιχειώδης όγκος

• Ισολογισμός Ενθαλπιών:Διαφορά Ενθαλπίας ~ (Hin - Hout) ~ (Qin - Qout)

• Για μοναδιαίο όγκο:

• Ισχύει:

• μέ και

• Δ.Ε. μεταφοράς θερμότητας:

xqqh outin

Δ−

=⋅&&&ρ

xq

xqq outin

∂∂

→Δ− &&&

xq hρ

∂∂

=⋅&& -

2

2

xT

xT

xTcρ p ∂

∂⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅−∂∂

−=⋅⋅ λλ&

dTcdh p ⋅= xTq

∂∂

⋅−= λ&

2

2

xT

cρtT

p ∂∂

⋅⋅

=∂∂ λ

xΔx

zuq& abq&A

( ) AqqAxhQQH outinoutin ⋅−=⋅Δ⋅⋅⇒−= &&&&&& ρ

Μεταφορά θερμότητας

in out

Παράδειγμα 1: Αγωγός με σταθερή T1 , T2

( ) 12

sTTq −

⋅−= λ& xs

T1

T2

x

T2

T1

q &

• Πως είναι η T(x) ?Μόνιμες συνθ.:

Μεταβατ. συνθ.:

συνεπώς

Γραμμική μεταβολή.Με γνωστές οριακές συνθ.:

0=∂∂

=tTT&

02

2

=∂∂xT

Const.=∂∂xT

Μεταφορά θερμότητας: Παράδειγμα

Ποια είναι η κατανομή ?

Μεταφορά Μάζας με ΔιάχυσηΑνάλογη με ταχύτητα παροχής μάζας (mass flux)

Ροή μάζας Συγκέντρωση Συστατικών

Νόμος Fick AA ρx

Dm∂∂

⋅−=&

Συντελεστής Διάχυσης (δύο συστατικών) D [ m2 / s ]Μερική πυκνότητα συστατικού A ρA

2

2

xYD

tY AA

∂∂

⋅=∂

∂ 2ος Νόμος του Fick

Κλάσμα Μάζας συστατικού A: YA

Διάχυση Μάζας

Εξίσωση Διατήρησης:

Παράδειγμα 2: Ο αγωγός θερμαίνεται στο κέντρο / Απελευθερώνεται H2 στη θέσηx0 , και για χρόνο t0

Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας: παράδειγμα

Παράδειγμα 3: Θερμός αγωγός συναντάται με κρύο αγωγό / Συναντώνται H2 καιN2

x

t0

x

T H2

«Η κατανομήεξομαλύνεται"

t1t2

2

2

xTaT

∂∂

⋅=&

xTq

∂∂

⋅−= λ&

Διάχυσηθερμότητας

Διάχυση H2

T H2

3-D Εξισώσεις:

Νόμος Fick AAA rad ρρ ∇⋅−=⋅−=rr

& DgDm

TTgq rad ∇⋅−=⋅−=

Ροή

Διαφορική Εξίσωση

AA YDY Δ⋅=&

TaT Δ⋅=&

rr& λλ Νόμος Fourier

pρ cλ a =

Διάχυση θερμότητας και Μάζας

Συναγωγή:

Παρόμοια κίνηση μορίων. Ταχύτητα ροής: u.Διαφορικές Εξισώσεις:

xTu

tT

∂∂

⋅−=∂∂

x

Yut

Y AA

∂∂

⋅−=∂

∂

«Εξηναγκασμένη Συναγωγή»: Εξωτερικές πηγές προκαλούνσυναγωγή π.χ. κλίση πίεσης, ανεμιστήρας.

«Φυσική Συναγωγή»: Μέσω μεταβολής πυκνότητας και βαρύτητας, π.χ. τα καυσαέρια κινούνται προς τα επάνω.

«Η κατανομή δενμεταβάλλεται"

Βασικές Διεργασίες: Συναγωγή

Σύνοψη βασικών διεργασιών

Διάχυση(Συστατικών, Ροή

θερμότητας)

2

2

AA Yx

DY∂∂

⋅=& AA Yx

uY∂∂

⋅−=& ... ~ ~ ±⋅⋅ BAAA YYkwY&

Συναγωγή Χημική Αντίδραση

(2ης Τάξης Δ.Ε.) (1ης Τάξης Δ.Ε.) (0ης Τάξης Δ.Ε.)

x

YAt2t1

xx

Εξίσωση Διατήρησης σε μία διάσταση (Παράδειγμα για Συστατικό Α)

Διάχυση

- 2

2

AAAA wY

xDY

xu

tY

=∂∂

⋅∂∂

⋅+∂

∂

Συναγωγή ΧημικήΑντίδραση

Μεταβατικός όρος-Αύξηση μάζας

Aus der Energiebilanz folgt eine ähnlich strukturierte Gleichung für die Temperatur (oder alternativ für die Enthalpie). Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Gesamtmasse), dem idealen Gasgesetz, den notwendigen Reaktionsparametern (Vorlesung 3), den Transportkoeffizienten und entsprechenden Randbedingungen ist somit ein prinzipiell lösbares Gleichungssystem zur Berechnung laminarer flacher Flammen vorhanden. Für laminare vorgemischte Flammen wird später ein Beispiel gezeigt.

Σύνοψη βασικών διεργασιών

Γιατί ΣΑΧΑ;

Στη πράξη, τα φαινόμενα καύσης είναιπολύπλοκα και περιλαμβάνουν πολλέςενδιάμεσες αντιδράσεις και παράγωγα.Π.χ.200 ενδιάμεσα παράγωγα έχουνβρεθεί κατά την καύση πετρελαίου.40 απλές αντιδράσεις απαιτούνται για τηνπεριγραφή της καύσης του πιό γνωστούκαι απλού υδρογονάνθρακα.

Γιατί ΣΑΧΑ;

Εχουμε ανάγκη από ένα μοντέλο για: (i) να ξεπεράσουμε τις ασάφειες σε σχέση μετην χημική κινητική και για πρακτικέςεφαρμογές και

(ii) για να κάνει την χρήση υπολογιστή μηαπαραίτητη. Ορίζουμε την “Απλή Χημική Αντίδραση - SCR”.Ζώνη αντίδρασης - Θερμο-χημικάχαρακτηριστικά

Περιγραφή της Απλής Χημικής Αντίδρασης

Το καύσιμο και οξειδωτικό ενώνονται μεσυγκεκριμένες αναλογίες για τηνδημιουργία μοναδικού προϊόντος.

1 kg καυσίμου + s kg οξειδωτικού (1+ s )kg προϊόντος

Με αυτή την υπόθεση οι ενδιάμεσες αντιδράσεις δεν είναι πλέον απαραίτητες.

Περιγραφή της Απλής Χημικής Αντίδρασης

Οι ενδιάμεσες θερμοχωρητικότητες όλων των στοιχείων είναιίσες και ανεξάρτητες από την θερμοκρασία.Συνεπώς έχουμε ν’ ασχοληθούμε με τέσσερα συστατικά: καύσιμο, οξειδωτικό, προϊόντα και πιθανώς διαλύτη (δηλ. αδρανή).

Ολες οι “ιδιότητες μεταφοράς” θεωρούνται ίσες σε κάθεσημείο. Η τιμή όμως μπορεί να μεταβάλλεται από σημείο σεσημείο.Ο αριθμός Mach είναι μικρός και η μεταφορά θερμότηταςλόγω θερμικής ακτινοβολίας είναι αμελητέα.

c cj =

διαλ.προιον..ξoκαυσ.j ΓΓΓΓcλΓ =====

ΠαράδειγμαOHCOOCH 2224 222 +→+ Τo μείγμα των μορίων 2CO και OH2

16 + 2×32 80 θεωρείται σαν μία ουσία δηλ. το

1 + s = 4 5 (=s+1) προϊόν.

∗+ →

← νταoιoρπαεραςCH4 Το N2 του αέρα θεωρείται ως διαλύτης

24.18)1s(24.17232.04s1 =+→==+ και δεν παίζει ρόλο στην χημική αντί-

δραση.

Οι : ατμ.NOH CCCC224

≠≠≠ (εξαρτώνται από Τ)

Για τους σκοπούς του SCRS όλες θεωρούνται ίσες μεταξύ τους και με σταθερή τιμή

π.χ. 1100 J kg Co/ και Hu J kg≅ ×4 107 / .

Συνέπειες του ΣΑΧΑ

• Oρίσαμε: ∫ +≡T

T αναφ.,jjjαναφ.

hdTch = ειδική ενθαλπία χημ.

στοιχείων ∑=

jολα,jjhmh = ειδική ενθαλπία μίγματος

∴ ∑ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

jολα,

T

Tαναφ.,jjjj

αναφ.

hmdTcmh

→≡ ccm jj ∫ ∑+=T

T jολα,αναφ.,jj

αναφ.

hmdTch

Στο ΣΑΧΑ το j μπορεί να είναι καύσιμο, οξειδωτικό, προϊόντα ή διαλύτης

Συνέπειες του ΣΑΧΑΗ θερμογόνος ικανότητα Huκαυσ. του καυσίμου (J/kg καυσίμου) μπορεί να

γραφεί, για 0Tαναφ. =

HuHuh καυσ.αναφ.καυσ., == ∴

0hhh αναφ.διαλ.,αναφ.προιον.,αναφ.οξυγ., ===

Επίσης πρέπει να ισχύει:

Huh)s1(shh αναφ.προιον.,αναφ.oξξ.αναφ.καυσ., ++==

Οπότε: ∑+−=jολα,

αναφ.,jjαναφ. hm)TT(ch

Hum)TT(ch καυσ.o +−=

Συνέπειες του ΣΑΧΑ

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε:

Hus

m)TT(ch .ξo

o +−=

ή

Hus1

m)TT(ch .νoιoρπ

o +−−=

Eξίσωση διατήρησης μάζας

Λόγω της συνέχειας: dG/dx = 0 και επομένως:

32144 344 2143421

)s/m (= 3

)()(

kg

Rx

mx

Gmx

ογκου)μον./ςκαταναλωσηρυθμος-(=

καυσιμου παραγωγης ρυθμος

.καυσ.

διαχυση

καυσ.καυσ.

συναγωγη

καυσ. =Γ−δ

δδδ

δδ

καυσ.καυσ.

καυσ.καυσ. R)

dxdmΓ(

dxd

dxdmG =− ox

oxox.

ox

dxdxRdm

dxddmG =Γ )(

sR

R .ξoκαυσ. = και ΓΓΓ .ξoκαυσ. ==Για το ΣΑΧΑ :

Επίπεδη, μονοδιάστατη, μόνιμη ροή

Eξίσωση διατήρησης μάζας

Αν: τότε:

Παρατηρείστε ότι οι όροι της αντίδρασης-ρυθμός παραγωγής καυσίμουή οξειδωτικού επαλείφθηκαν, δηλ. δεν είναι απαραίτητη γνώση τηςχημικής κινητικής του συστήματος.Αντίστοιχα μπορούμε να συνδυάσουμε τις εξισώσεις καυσίμου-προϊόντων και οξειδωτικού-προϊόντων με τ’ ακόλουθα αποτελέσματα:

Φ = −mm

so

καυσ.ξ.

0)( =Φ

Γ−Φ

xdd

xdd

xdd

s1m

mΦ προιον.καυσ. +

+=s1

ms

mΦ προιον..ξo

++=

Επίπεδη, μονοδιάστατη, μόνιμη ροή

Συντηρητικές ή εκτατικές ιδιότητες

Για το ΣΑΧΑ μιά “συντηρητική ιδιότητα”, , υπακούει στην εξίσωση:

Χαρακτηριστικό είναι ότι η εξίσωση περιλαμβάνειμόνον τους όρους συναγωγής και διάχυσης, ενώ η“παραγωγή” είναι μηδενική. Επειδή η ποσότητα είναι βαθμωτό μέγεθος, ονομάζεται επίσης “συντηρητικό βαθμωτόμέγεθος”.

Φ

0)( =Φ

Γ−Φ

xdd

xdd

xddG

Φ

Η διαδικασία ανάμειξης δύο ρευμάτωνΤο διάγραμμα παρουσιάζει εξιδανικευμένη την συνθήκη καύσης που επικρατεί σε

οποιοδήποτε σημείο φλόγας διάχυσης σε θάλαμο καύσης.

f (Παροχή καυσίμου) 1 (Ρεύμα 1 - f προϊόντων) (Παροχή οξειδωτικού)

Οπου : Κ ρεύμα καυσίμου που ρέει σε ρυθμό f kg/s

A ρεύμα οξειδωτικού που ρέει σε ρυθμό 1-f kg/s

Π ρεύμα προϊόντων που ρέει έξω σε ρυθμό 1 kg/s

Ανάμειξη + Καύση

K

A

Π

Ορισμός του κλάσματος μείγματοςKλάσμα μείγματος, f, ορίζεται η ροή μάζας τουρεύματος του καυσίμου που αναμειγνύεται με τορεύμα του οξειδωτικού και παράγει μοναδιαία ροήμάζας προϊόντων.Aπό τον ορισμό προκύπτει ότι το f είναι μία ακόμησυντηρητική ιδιότητα του ΣΑΧΑ.Οποιαδήποτε ιδιότητα του ρευστού , η οποία δενπεριέχει όρους “παραγωγής” ή “κατανάλωσης”, υπακούει την ακόλουθη σχέση, για διαδικασίαανάμειξης δύο ρευμάτων:

ή

ιον.oρπξειδ.oκαυσ. ΦΦ)f1(Φf =−+⋅

ξειδ.oκαυσ.

ξειδ.oιον.oρπ

ΦΦΦΦ

f−

−=

Κλάσμα Μείγματος

“Συντηρητικές ιδιότητες”AK

AΠ

ΦΦΦΦf

−−

=

[ ] [ ],)s1/(mm,s/mm,m oπo ++− ιον.ρκαυσ.ξειδ.καυσ.διαλ.

[ ])s1/(ms/m ιον.oρπξειδ.o ++Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τωνπαραπάνω είναι επίσης “συντηρητική ιδιότητα”, π.χ.

b...ΦαΦα 2211 +++α α1 2, , ... ...bόπου : είναι σταθερές

Παράδειγμα

Ισχύει ότι: A

ξειδ.oκαυσ.K

ξειδ.oκαυσ.

Aξειδ.o

καυσ.Πξειδ.o

καυσ.

)s

mm()

sm

m(

)s

mm()

sm

m(f

−−−

−−−=

όπου : Π ρεύμα προϊόντων, Α ρεύμα αέρα, Κ ρεύμα καυσίμου.

Για την ειδική περίπτωση όπου το ρεύμα (Κ) περιέχει μόνο καύσιμο και το (Α) μόνον

οξυγόνο: [ ]0m,1m,0m Κοξειδ.,Kκαυσ.,Aκαυσ., === ισχύει:

A

ξειδ.o

Aξειδ.o

Πξειδ.o

καυσ.

)s

m(1

)s

m()

sm

m(f

+

+−=

Αν : στοιχ.ff = : Aξειδ.,o

Aξειδ.,o

Aξειδ.,o

Aξειδ.,o

msm

sm

1

s/mf

+=

+=

στοιχ.ff > : s/m1

s/mmf

Aξειδ.,o

Aξειδ.,oΠκαυσ.,

+

+= (περίσσεια καυσίμου)

Αν : στοιχ.ff < : s/m1

s/ms/mf

Aξειδ.,o

Aξειδ.,oΠξειδ.,o

+

+−= (εξάντληση καυσίμου)

Γραφική παράσταση

Κλάσμα Μείγματος - Σχέσεις

(i) Aν: στοιχ.ff < 1sm

mf

fAξειδ.,o

Aξειδ.,o

στοιχ.

+−

=

( )mκαυσ. Π= 0 m mf

fo oξειδ.,A ξειδ.,Aστοιχ.

= −( )1

(ii) Aν: f f> στοιχ. f fmm

s

m fo

− =

+

= −στοιχ.καυσ.

ξειδ.,Aκαυσ. στοιχ.

11( )

(m )oξειδ. Π= 0 mf f

fκαυσ.στοιχ.

στοιχ.=

−

−1

mm

fA

διαλ.

διαλ.,= −1 m m m mπροιον. διαλ. καυσ. οξειδ.= + − −1

Αδιαβατική θερμοκρασία φλόγας για ΣΑΧΑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

cHTTfTT u

AK.στοιχAαδιαβ. στοιχ.,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−++=

cH

sm

TTfc

Hs

mTT u Αοξ.,

AK.στοιχu Αοξ.,

Aαδιαβ. στοιχ.,

Σύνοψη

Ορισμοί: 0dxφdΓ

dxd

xθθφG =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− (Συντηρητική ιδιότητα)

Όπου Φ: h .,διαλm , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+s1

mm .πρ

.καυσ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+s1

ms

m .πρ.οξ κλπ.

( ) ( ).οξ.οξ.πρ Φ.καυσΦ/ΦΦf −−= ή

.πρ.οξ.καυσ ΦΦ)f1(Φf =−+

Για f=fστοιχ. : ( ) smm

s/m1s/m

f Α.,οξ

Α.,οξ

Α.,οξ

Α.,οξ+

=+

=

Για κάθε f : f1mm

Α.,διαλ

.διαλ −=

.οξ.καυσ.διαλ.πρ mmm1m −−+=