Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα...

Κεφάλαιο 5Ευστάθεια – Ελεγξιµότητα -

Παρατηρησιµότηταu Ευστάθεια

• Ευστάθεια κατά Lyapunov• Ασυµπτωτική Ευστάθεια• Κριτήρια Ευστάθειας

u Ελεγξιµότηταu Παρατηρησιµότηταu Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα

Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2

Ευστάθεια1k k kx A x B u+ = × + ×

( )1 , ,k k kx f x u k+ =

0x

u = u0 ,u1,…,uk−1{ }

( ) ( )0 ,ux k x kj=

Εξίσωση Γ.Χ.Α.Σ. : è ειδική περίπτωση του …

Χ.Α.Σ. :

Αλληλουχία σηµάτων εισόδου :

Αρχική Κατάσταση :

: «επίλυση», δηλαδή αλληλουχία καταστάσεων που

προκύπτει µε είσοδο u και αρχική κτάσταση x0

0x1x

2x( ) ( )0 ,k ux x k x kj= =

0u1u

1ku -


Ειδάλλως, υπάρχουν άπειρα Σ.Ι. και είναι αυτά που αντιστοιχούνστα ιδιοδυανύσµατα του για .

Ευστάθεια συνεχ.

( )1 , ,k k kx f x u k+ =

Αν υπάρχει ex έτσι ώστε …

=0δηλαδή ( ),0,e ex f x k= τότε … : «κατάσταση ισορροπίας»ex

( )1 0k k k e e ex A x B u x A x A I x+ = × + × Þ = × Þ - × =Για Γ.Χ.Α.Σ.

Αν τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση µόνο τοπου, κατά συνέπεια, είναι το µοναδικό Σ.Ι. του ΓΧΑΣ.

( )1 eig Al = Ï 0ex =

A 1l =

=0


Ευστάθεια κατά Lyapunov

.

Μία κατάσταση ισορροπίας ενόςσυστήµατος είναιευσταθής αν :για κάθε σφαιρική περιοχή γύρω απότο µε ακτίναείναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρικήπεριοχή , γύρω από την , µε ακτίνα

, έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση

εντός αυτής (δηλ. της ) τότε η πορεία του ελευθέρου συστήµατος δεν πρόκειται να εξέλθει της , δηλαδήόπου µε

ex( )1 , ,k k kx f x u k+ =

( )eN xe

ex 0e >

( )eN xd ex( )0, 0kd e >

( )0k ex x d- £

( )eN xe( )

0 0u ex k x k ke- < " ³

( ) ( )0 0,u kx k x kj= u0 = ui = 0, i = 0,1,…,k −1{ }

( )eN xe

Μία κατάσταση ισορροπίας ενός συστήµατος , είναι ασυµ-πτωτικα ευσταθής αν για κάθε σφαιρική περιοχή

γύρω από την µε ακτίνα είναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική περιοχή

γύρω από την µε ακτίνα ,έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση εντός αυτής τότε η πορεία

του ελευθέρου συστήµατος:

• δεν πρόκειται να εξέλθει της , δηλαδή και• θα ανήκει τελικά εντός της , δηλαδή Δηλαδή όταν η κατάσταση ισορροπίας είναι ασυµπτωτικά ευσταθής τότε :• είναι ευσταθής κατά Lyapunov και• .


Ασυµπτωτική Ευστάθειαex( )1 , ,k k kx f x u k+ =

( )eN xe ex 0e >

( )eN xd ex ( )0, 0kd e >

( )0k ex x d- £( ) ( )0 0

,u kx k x kj=u0 = ui = 0, i = 0,1,…,k −1{ }( )

( )eN xe ( )0 0u ex k x k ke- < " ³

( )eN xd ( ) ( )0 0 0, ,u ex k x k k T kd e d- < " ³ +

ex

lim k ekx x

®¥=


Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ –Κριτήρια Ευστάθειας

Δεδοµένου ότι το Σ.Ι. είναι:Όµως επειδή:πρέπει . Δεδοµένου ότι:Προκύπτει η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ασυµπτωτική ευστάθεια:

Συγκρίνετε την µε την αντίστοιχη για συνεχή ΓΧΑΣ !!!

0 lim 0e k ekx x x

®¥= Þ = =

1 0k

k k kx A x x A x+ = × Þ = ×lim 0k

kA

®¥= [ ]

22 2k k ki iA eig A eig Al lé ù³ = " Îë û

[ ]1i i eig Al l< " Î

Ζs


Ασυµπτωτική Ευστάθεια: Παράδειγµα-1

GR s( ) = 27s s + 27( )

G z( ) = 1− z−1( ) ⋅! 1s⋅K ⋅GR s( )⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭=

= 1− z−1( ) ⋅! K ⋅as2 s + a( )

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭, a = 27

G z( ) = K ⋅ 1− z−1( ) ⋅! 1s2

− 1 as

+ 1 as + a

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= K ⋅ 1− z−1( ) ⋅ Tzz −1( )2

− z az −1

+ z az − e−aT

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

=K ⋅ 0.0655 ⋅ z + 0.02783( )

z −1( ) z − 0.0672( )


Ασυµπτωτική Ευστάθεια: Παράδειγµα-1

G z( ) = K ⋅ 0.0655 ⋅ z + 0.02783( )z −1( ) z − 0.0672( )

T z( ) = G z( )1+G z( )

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒ T z( ) = K ⋅ 0.0655 ⋅ z + 0.02783( )z2 + 0.0655 ⋅K −1.0672( ) ⋅ z + 0.02783⋅K + 0.0672( )

Συνάρτηση Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου (ΣΜΚΒ)

Κ=20, πόλοι ΣΜΚΒ: z1,2= 0.12± j0.78 εντός µοναδιαίου κύκλου⇒ΕΥΣΤΑΘΕΣ

Κ=100, πόλοι ΣΜΚΒ: z1,2= -0.58, -4.9 ένας εκτός µοναδ. κύκλου⇒ΑΣΤΑΘΕΣ


Ασυµπτωτική Ευστάθεια: Παράδειγµα-2Να ευρεθεί η επίδραση της περιόδου δειγµατοληψίας Τστην ευστάθεια του συστήµατος.

G z( ) = 1− z−1( ) ⋅! 1

s⋅ 10s +1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= 10 1− z−1( ) ⋅! 1

s− 1s +1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= 10

1− e−T( )z − e−T

T z( ) = G z( )1+G z( )⇒ T z( ) = 10 1− e−T( )

z − 11e−T −10( ) ⇒ πόλος z = (11e-T-10) ∈𝕽

−1<11e−T −10 <1⇒ 0 < T < ln 11

9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ! 0.2

Ευστάθεια⇒


Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ –Κριτήρια Ευστάθειας

Τρόπος ελέγχου ευστάθειας ψηφιακού ΓΧΑΣ:Βήµα 1: χρήση µετασχηµατισµού Mobius

(µετασχηµατίζει το δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου)

Βήµα 2: χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz.

11

wzw+

=-

• Χαρ. Πολυώνυµο ψηφιακού ΓΧΑΣ:• Πολυώνυµο στο οποίο εφαρµόζεται το Routh-Hurwitz:

f z( ) = anzn + an−1zn−1 +…+ a1z + a0 = 0

( ) ( )1 11

nwF w f ww+æ ö= × -ç ÷-è ø

• Τα προηγούµενα παραδείγµατα ήταν χαµηλής τάξεως εποµένως ήταν εύκολο να βρούµε την παραµετρική παράσταση των πόλων.

• Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις αυτό δεν είναι ούτε δυνατό, αλλά ούτε και αναγκαίο.


Κριτήρια Ευστάθειας: Παράδειγµα-3Δεδοµένου συστήµατος µε ΣΜΚΒ T(z)=N(z)/D(z) µε

Να εξετασθεί η ευστάθειά του µε χρήση του κριτηρίου Routh

D z( ) = z3 − z2 − 0.2z + 0.1

Αντικαθιστούµε στο D(z) µε οπότε λαµβάνουµε:

που οδηγεί στον πίνακα Routh

11

wzw+

=-

F w( ) = D w+1

w−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ w−1( )n

= w3 +19w2 − 45w−17 = 0

s3 1 -45

s2 19 -17

s1 -45.89 0

s0 -17 0

Το σύστηµα Κλειστου βρόχου έχει ένα πόλο εκτός µοναδιαίου κύκλου (ασταθές), δεν έχει πόλους επι του κύκλου και έχει 2 πόλους εντός του µοναδιαίου κύκλου

που οδηγεί το σύστημα από οιαδήποτε αρχική κατάσταση σε


Η ελεγξιμότητα είναι αναγκαία συνθήκη για μία σειρά προβλημάτων που σχετίζονται με τον αυτόματο έλεγχο π.χ. τοποθέτηση πόλων, βέλτιστος έλεγχος κλπ.

Ας θεωρήσουμε το Γ.Χ.Α. σύστημα με

Ελεγξιµότητα

1k k kx A x B u+ = × + × 0.A ¹

u0 ,u1,…,uℓ−1{ } 0x

xℓ = x f ∈ℜn ℓ

Το σύστημα είναι ελέγξιμο αν είναι δυνατόν να ευρεθεί μία σειρά εισόδων ελέγχου

μία τελική κατάσταση μέσω ενός πεπερασμένου αριθμού βημάτων

0x1x

2xfx

0u1u

uℓ−1


x f = xℓ = Aℓ ⋅ x0 + Aℓ− j−1 ⋅B ⋅u j

j=0

ℓ−1

∑ = Aℓ ⋅ x0 + B AB ! Aℓ−1B⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

uℓ−1"u1u0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⇒

Ελεγξιµότητα συνεχ.Η λύση του Γ.Χ.Α. συστήµατος αν εφαρµοσθεί η ακολουθία ελέγχων

είναι

x f − Aℓ ⋅ x0 =Cℓ ⋅U ℓ

xℓ = Aℓ ⋅ x0 + Aℓ− j−1 ⋅B ⋅u j

j=0

ℓ−1

∑και επειδή απαιτούµε x

f = xℓ παίρνουµε

Cℓ = B AB ! Aℓ−1B⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

U ℓ = uℓ−1 " u1 u0⎡⎣

⎤⎦T

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

όπου

Αναγκαία συνθήκη υπάρξεως ακολουθίας εισόδων (δηλ.υπάρξεως λύσεων γιά το είναι:

u0 ,u1,…,uℓ−1{ }U ℓ = uℓ−1 ! u1 u0⎡

⎣⎤⎦T

rank Cℓ( ) = n

u0 ,u1,…,uℓ−1{ }

Αν µήπως, επειδή

πράγµα που συνεπάγεται ότι , µπορούµε να

συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου: ???


Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι

που σηµαίνει ότι ο πίνακας γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των

οπότε και ο είναι γραµµικός συνδυασµός των

. Κατά συνέπεια

Ελεγξιµότητα συνεχ.rank Cℓ( ) < n Cℓ+1 = B AB ! AℓB⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= Cℓ AℓB⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

rank Cℓ+1( ) ≥ rank Cℓ( )( )rank kC n+ =ℓ

anAn + an−1A

n−1 +…+ a1A+ a0I = 0⇒ An = − 1anan−1A

n−1 +…+ a1A+ a0I⎡⎣ ⎤⎦nA

An−1B,An−2B,…,AB,B

nA BAn−1,An−2 ,…,A

( ) ( )rank =rank 1.n k nC C k+ ³


Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για

οπότε η συνθήκη ελεγξιµότητας (δηλ. υπάρξεως ακολουθίας εισόδων…)

είναι:

Ελεγξιµότητα συνεχ.

rank C( ) = nC =Cn = B AB ! An−1B⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Πίνακας Ελεγξιµότητας

ℓ = n


ΠαρατηρησιµότηταΔυαδική (dual) ιδιότητα της ελεγξιµότητας.

Καθορίζει, το κατά πόσο είναι δυνατόν να καθορισθεί η αρχική κατάσταση

ενός συστήµατος µε βάση την παρακολούθηση της ακολουθίας σηµάτων

εισόδου - εξόδου.

Το Γ.Χ.Α.Σ είναι παρατηρήσιµο αν υπάρχει ένας

πεπερασµένος αριθµός βηµάτων που επιτρέπει, µε βάση τις παρατηρήσεις

των ακολουθιών εισόδου και εξόδου , τον

προσδιορισµό της αρχικής κατάστασης .

0x

1k k k

k k

x A x B uy C x

+ = × + ×ìí = ×î

ℓu0 ,u1,…,uℓ−1{ } y1, y2 ,…, yℓ{ }

0x


Δεδοµένου ότι οι είσοδοι και οι έξοδοι είναιδιαθέσιµες, είναι γνωστή και η διαφορά

που γράφεται σε µορφή πινάκων ως

Παρατηρησιµότητα συνεχΗ λύση του Γ.Χ.Α.Σ. είναι

11

00

kk k j

k jj

x A x A B u-

- -

=

= × + × ×åκαι επειδή παίρνουµεk ky C x= ×

11

00

kk k j

k jj

y C A x C A B u-

- -

=

= × × + × × ×åu0 ,u1,…,uℓ−1{ }

ek =

Δ

yk − C ⋅ Ak− j−1 ⋅B ⋅ujj=0

k−1

∑ = C ⋅ Ak ⋅ x0 k = 0,1,2,…,ℓ −1

CCA!

CAℓ−1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⋅ x0 =

e0e1!eℓ−1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⇒Oℓ ⋅ x0 = Eℓ

Αναγκαία συνθήκη ευρέσεως της αρχική κατάστασης είναι:0xrank Oℓ( ) = n

y1, y2 ,…, yℓ{ }


Αν µήπως, επειδή

πράγµα που συνεπάγεται ότι , µπο-

ρούµε να συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου: ???

Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι

που σηµαίνει ότι ο πίνακας γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των

οπότε και ο είναι γραµµικός συνδυασµός των

. Κατά συνέπεια

Παρατηρησιµότητα συνεχ.rank Oℓ( ) < n

rank Oℓ+1( ) ≥ rank Oℓ( )rank Oℓ+k( ) = n

anAn + an−1A

n−1 +…+ a1A+ a0I = 0⇒ An = − 1anan−1A

n−1 +…+ a1A+ a0I⎡⎣ ⎤⎦nA

CAn−1,CAn−2 ,…,CA,C

nCAAn−1,An−2 ,…,A, I

Oℓ+1 = CT ATCT ! AT( )ℓCT⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T

=

= OℓT AT( )ℓCT⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T

rank On+k( ) = rank On( ) k ≥1.


Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για

οπότε η συνθήκη παρατηρησιµότητας (δηλ. δυνατότητας ευρέσεως της

αρχικής συνθήκης) είναι:

Παρατηρησιµότητα συνεχ.

rank O( ) = n

O = On =

CCA!

CAn−1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Πίνακας Παρατηρησιµότητας

ℓ = n


Για το εν λόγω σύστηµα, να ελεγχθούν ηελεγξιµότητα & παρατηρησιµότητα τόσο στην συνεχή (αναλογική) µορφή όσο και σε αυτή που προκύπτει σε διάταξη δειγµατοληπτικών δεδοµένων.

Λύση:

εποµένως οι πίνακες ελεγξιµότητας

και παρατηρησιµότητας είναι:

Εποµένως το Συνεχές σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο.

Ελεγξιµότητα – Παρατηρησιµότηταπαράδειγµα:

!x1!x2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 0 1

−ω 2 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅x1x2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+ 0

1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⋅u

y = 1 0⎡⎣

⎤⎦ ⋅

x1x2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2

0 10w

é ù= ê ú-ë û

A01é ù

= ê úë û

B [ ]1 0=C

[ ] ( )

( )2

2 2

2

0 1C C 2

1 0

1 0O O 2

0 1C

ra

B AB ra

nkCA

nk

é ù é ù= = Þ =ê ú ê ú

é ù= = Þ =ê ú

ë û

ë û ë û


Ελεγξιµότητα – Παρατηρησιµότηταπαράδειγµα:

( ) ( )( )2

0

1 1 cos

1 sin

wwt t

ww

é ù-ê úQ = F - × × = ê ú

ê úê úë û

òT

TT T B d

T

!x = A ⋅ x + B ⋅uy =C ⋅ x

2

0 10w

é ù= ê ú-ë û

A 01é ù

= ê úë û

B

( )1cos sin

sin cos

w ww

w w w

é ùê úF = =ê ú-ë û

AT T TT e

T T

( ) ( )1k k k

k k

x T x T uy C x

+ = F × +Q × üý

= × þ

( )

[ ]

2

1

11 1 coscos sin1sin cos sin

1 0

k k k

k k

TT Tx x u

T T T

y x

ww w www w w w

w

+

é ù-é ù ê úê ú= × + ×ê úê ú ê ú-ê úë û ê úë û= ×


Έχουµε πίνακες ελεγξιµότητας

και παρατηρησιµότητας :

Εποµένως το σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο ........

εκτός όταν ισχύειΓιατί? «Φυσική Εξήγηση»: Για το σύστηµα γίνεται


[ ]( ) ( )

( )

2

2

2

2

1 11 cos cos cos 2C

1 1sin sin sin 2

1 0O 1cos sin

T

CC T T

T T

T T T

w w ww w

w w ww

ww

w

w

é ùé ù ê ú=

é ù- -ê ú= Q FQ = ê

=ê ú ê úFë

úê

û ê

ú- -ê úë

û

û

úë

[ ]

21

1 00 1 0

1 0

k k k

k k

x x u

y x

lw+

ì é ù±é ùï ê ú= × + ×ï ê ú ê ú±í ë û ë ûïï = ×î

( )

[ ]

2

1

11 1 coscos sin1sin cos sin

1 0

k k k

k k

TT Tx x u

T T T

y x

ww w www w w w

w

+

üé ù-é ù ïê úê ú ï= × + ×ê ú ïê ú ýê ú-ë û ïê úë ûï

= × ïþ

ω ⋅T =κ ⋅π κ = 0,1,… ω ⋅T =κ ⋅π κ = 0,1,… 2 0


Που δείχνει ότι η :α) εξελίσσεται χωρίς «έλεγχο» (άµεσο µέσω ή έµµεσο µέσω ) καιβ) δεν µπορεί να «παρατηρηθεί» (ούτε άµεσα µέσω της εξόδου, γιατί ούτε έµµεσα µέσω της εφόσον δεν την επηρεάζει αυτή).


[ ]

1112 2

1 221

1

1 00 1 0

1 0

k kkk k k

kk

k k k k

x uxx x ux x

y x y x

l lw w+

++

ü ìé ù é ù± é ù ± + ×é ù ï ïê ú ê ú= × + × =ï ïê úê ú ê ú ê ú± Þý íë û ë û ±ê úë û ë ûï ïï ï= × =îþ

( )2x k( )u k ( )1x k

( )1ky x k=( )1x k

2 0

2 0

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα...