Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο...
9
Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο Κατάστασης Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Το φίλτρο KALMAN
Transcript of Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο...
Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο
Κατάστασης
u Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις u Το φίλτρο KALMAN
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2
Παρατηρητής
( )1ˆ ˆ ˆk k k p k kx A x B u L y C x+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅
?
Εκτιµηση βασισµένη σε ολη τη διαθέσιµη πληροφορία πριν την άφιξη της zk
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Φίλτρο ΚΑLMAN: Το Σύστηµα
( )( )
1 ~ 0,
~ 0,k k k k k k k k
k k k k k k
x A x B u w w N Q
z C x v v N R+ = ⋅ + ⋅ +
= ⋅ +
( )ˆkx − : εκτίµηση πριν την άφιξη της µέτρησης kz
( )ˆkx + : εκτίµηση µετά την άφιξη της µέτρησης kz
( ) ( )ˆ ˆk k k k kx G x K z+ = ⋅ − + ⋅
Βασική Ιδέα
tk=k∙T tk-1=(k-1)∙T T
zk
( )ˆkx −
( )ˆkx +
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Φίλτρο ΚΑLMAN: Τα Κέρδη Εκτίµησης x̂k +( ) = xk + !xk +( )⇐ !xk +( )=
Δ
x̂k +( )− xk
x̂k −( ) = xk + !xk −( )⇐ !xk −( )=Δ
x̂k −( )− xk
( ) ( )ˆ ˆk k k k kx G x K z+ = ⋅ − + ⋅xk + !xk +( ) =Gk xk + !xk −( )⎡⎣ ⎤⎦ + Kk Ck ⋅ xk + vk⎡⎣ ⎤⎦⇒
!xk +( ) = Gk + KkCk − I( ) ⋅ xk +Gk ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk
E !xk +( )⎡⎣ ⎤⎦ = Gk + KkCk − I( ) ⋅E xk⎡⎣ ⎤⎦ +Gk ⋅E !xk −( )⎡⎣ ⎤⎦ + Kk ⋅E vk⎡⎣ ⎤⎦
0 0
0k k k
k k k
G K C IG I K C⇒ + − = ⇒
= −
kz
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Φίλτρο ΚΑLMAN: Τα Κέρδη Εκτίµησης
k k kG I K C= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
k k k k
k k k k k k k k kk
k
k
k
x
x x K z C
x G x K
x
z I K C x K z+ = − ⋅ ⋅ −+ = ⋅ −
⇒ + = − + ⋅ − ⋅ −
+ ⋅ ⇒ + ⋅
⎡ ⎤⎣ ⎦
!xk +( ) = Gk + KkCk − I( ) ⋅ xk +Gk ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk ⇒ !xk +( ) = I − KkCk( ) ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6
Φίλτρο ΚΑLMAN: Covariance Matrices
P t( ) = E x t( )− x̂ t( )( ) x t( )− x̂ t( )( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥= E !x t( ) ⋅ !x t( )T⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
Pk +( ) = E !xk +( ) ⋅ !xk +( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥=
!xk +( ) = I − KkCk( ) ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk
Pk −( ) = E !xk −( ) ⋅ !xk −( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
E !xk −( ) ⋅vkT⎡⎣ ⎤⎦ = E vk ⋅ !xk −( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥= 0
( ) ( ) ( ) ( )T Tk k k k k k k k kP I K C P I K C K R K+ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅
Πίνακας που συσχετίζει τα σφάλµατα
= E I − Kk ⋅Ck( ) ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ I − Kk ⋅Ck( ) ⋅ !xk −( )+ Kk ⋅vk⎡⎣ ⎤⎦T{ }
( )[ ] 0
~ 0, kk k T
k k k
E vv N R
E v v R
⎧ =⎪⇒ ⎨
⎡ ⎤⋅ =⎪ ⎣ ⎦⎩Υπενθυµίζουµε ότι...
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7
Φίλτρο ΚΑLMAN: Βελτιστοποίηση των Covariance Matrices
Jk = E !xk +( )T ⋅ !xk +( ){ } = E trace !xk +( ) ⋅ !xk +( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥{ } = trace Pk +( )⎡⎣ ⎤⎦⇒
( ) ( ) ( )T Tk k k k k k k k kJ trace I K C P I K C trace K R K⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )T Tk k k k k k k k kP I K C P I K C K R K+ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅
( ) ( )1
0 T Tkk k k k k k k
k
JK P C C P C R
K∂∂
−⎡ ⎤= ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦
( ) 2Ttrace A B A ABA∂∂
⎡ ⎤⋅ ⋅ =⎣ ⎦
E !xk +( ) ⋅ !xk +( )T{ }"
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8
Φίλτρο ΚΑLMAN: Υπόλοιπα Μεγέθη
( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆk k k k kx A x B u− − − −− = ⋅ + + ⋅!xk −( ) = Ak−1 ⋅ !xk−1 +( )+wk−1
xk = Ak−1 ⋅ xk−1 + Bk−1 ⋅uk−1 + wk−1
E !xk−1 −( ) ⋅wk−1T⎡⎣ ⎤⎦ = 0
Pk −( ) = E !xk −( ) ⋅ !xk −( )T⎡⎣⎢
⎤⎦⎥= Ak−1 ⋅Pk−1 +( ) ⋅ Ak−1T +Qk−1
Pk +( ) = I − Kk ⋅Ck( ) ⋅Pk −( ) ⋅ I − Kk ⋅Ck( )T + Kk ⋅Rk ⋅KkT
( ) [ ] ( )k k k kP I K C P+ = − ⋅ ⋅ −
Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9
Φίλτρο KALMAN Σύστηµα
Μετρήσεις
Αρχικές Συνθήκες
Άλλες Συνθήκες
Συναγόµενη Εκτίµηση Κατάστασης
Συναγόµενος Πίνακας Συµµεταβλητότητας
Πίνακας Κέρδους KALMAN
Πίνακας Συµµεταβλητότητας
Εκτίµηση Κατάστασης
Τo Φίλτρο ΚΑLMAN
( )1 ~ 0,k k k k k k k kx A x B u w w N Q+ = ⋅ + ⋅ +
( )~ 0,k k k k k kz C x v v N R= ⋅ +
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ0 TE x x E x x x x P⎡ ⎤= − ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 ,Tk jE w v j k⎡ ⎤⋅ = ∀⎣ ⎦
( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆk k k k kx A x B u− − − −− = ⋅ + + ⋅
( ) ( )1 1 1 1T
k k k k kP A P A Q− − − −− = ⋅ + ⋅ +
( ) ( )1T T
k k k k k k kK P C C P C R−
⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦
( ) [ ] ( )k k k kP I K C P+ = − ⋅ ⋅ −
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆk k k k k kx x K z C x+ = − + ⋅ − ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦
