Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση στο Χώρο...

Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση στο Χώρο

Κατάστασης u  Παρατηρητές Κατάστασης u  Ανάδραση Εξόδου - Σχεδίαση Ρυθµιστή : Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης και Παρατηρητή

Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 2

Έλεγχος µε Ανάδραση Εξόδου 1k k k

k k

x A x B uy C x

+ = ⋅ + ⋅

= ⋅

!xk = xk − x̂k

k ku K x= − ⋅ ?

Εκτίµηση Κατάστασης

Αν γνωρίζουµε την αρχική κατάσταση ενός συστήµατος και την αλληλουχία εισόδων του τότε εύκολα µπορεί να βρεθεί

0x

uk , k = 0,1,…

1ˆ ˆk k kx A x B u+ = ⋅ + ⋅

!xk+1 = A ⋅ !xk

!x0 = x0 − x̂0 = 0⇒!xk = 0⇒ x̂k = xk

ˆk ku K x⇒ = − ⋅

Αυτο ισχύει ΜΟΝΟ αν είναι «απολυτως» ακριβής η γνώση •  του συστήµατος Α,Β και •  της εκτίµησης της αρχικής κατάστασης x0.

Ισχύουν αυτά όµως ?


Σχεδίαση Παρατηρητών Κατάστασης (State Observers)

( )1ˆ ˆ ˆk k k p k kx A x B u L y C x+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅Προτεινόµενος Παρατηρητής

1k k kx A x B u+ = ⋅ + ⋅Σύστηµα

!xk = xk − x̂kΣφάλµα Εκτίµησης

!xk+1 = A− Lp ⋅C( ) ⋅ !xkΤο χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι του οποίου οι ρίζες θα πρέπει να είναι εντός του µοναδιαίου κύκλου, για να είναι ευσταθές. Αν θέλουµε να τοποθετήσουµε τους πόλους του παρατηρητή στις θέσεις τότε η επιθυµητή χαρακτηριστική εξίσωση του γράφεται και προφανώς ζητούµε την εύρεση ενός τέτοιου ώστε τότε το κέρδος

0pz I A L C⋅ − + ⋅ =

β1,β2 ,…,βnz − β1( ) z − β2( )! z − βn( ) = zn +α1zn−1 +!+αn−1z +αn =αO z( )

pLz ⋅ I − A+ Lp ⋅C = zn +α1z

n−1 +!+αn−1z +αn =α c z( )

Lp =αO A( ) ⋅O A,C( )−1⋅ 0 ! 0 1⎡⎣

⎤⎦

T

n× n n× n n×1


Σχεδίαση Παρατηρητών Κατάστασης (State Observers)

Μία Εξοδος, Πολλές Καταστάσεις

Το ζητούµενο δίδεται από την σχέση του Ackerman οπου

Πολλές Εξοδοι, Πολλές Καταστάσεις Με την ίδια λογική µε αυτή που αναπτυχθηκε στην ανάδραση µεταβλητών καταστασης για MIMS µπορεί να υπολογισθεί κατάλληλο Lp∈ ℜ n×p

Lp

O A, C( ) = CT ATCT ! AT( )ℓ−1

CT⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T


Έλεγχος µε Παρατηρητή ˆk ku K x= − ⋅

( )1ˆ ˆ ˆk k k p k kx A x B u L y C x+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

?

Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

u  Ορισµοί u  Στασιµότητα και Εργοδικότητα u  Ανελίξεις Gauss και Λευκός Θόρυβος


Η πιθανότητα του να πάρει η τυχαία

µεταβλητή (τ.µ.) τιµές µικρότε-

ρες από µία τιµή δίδεται από την

αντίστοιχη συνάρτηση κατανοµής

πιθανότητας - σ.κ.π (probability

distribution function ), δηλαδή

Ορισµοί: Στοχαστικές Ανελίξεις

Μία στοχαστική ανέλιξη (random process) µπορεί να θεωρηθεί

σαν µία συλλογή ή δείγµα συναρτήσεων του χρόνου, κάθε µία

από τις οποίες µπορεί να παρατηρηθεί σε ένα πείραµα.

Δηλαδή κάθε συνάρτηση είναι µία τυχαία µεταβλητή (random

variable).

( )tΧ( ){ }x t ( )x t

( )1x t

Το δείγµα µπορεί να αποτελείται από ένα πεπερασµένο ή µετρήσιµο άπειρο ή µη µετρήσιµο άπειρο αριθµό τέτοιων συναρτήσεων

1x

( ) ( )1 1 1 1, PrXF x t X t x= ≤⎡ ⎤⎣ ⎦

( )1,XF x t

x1x

( )1 1,XF x t

( )x t


Ορισµοί : Στοχαστικές Ανελίξεις

( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 10

1

,, lim Pr X

X dx

dF x tf x t x X t x dx

dx

Δ

→= ≤ ≤ + =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )1 1,XF x dx t+

x1x

( )1 1,XF x t

1x dx+1x x

( )1 1,Xf x t( )1,Xf x t

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σ.π.π. (probability density function)


Ορισµοί : Στοχαστικές Ανελίξεις

x

( )1,Xf x t

Προφανώς η σ.π.π

µπορεί να αλλάζει µε

τον χρόνο, δηλαδή

( ) ( )1 2, ,X Xf x t f x t≠

( )2,Xf x t


Ορισµοί : Στοχαστικές Ανελίξεις Οι στοχαστικές ανελίξεις (random process) όντας συλλογές ή

δείγµατα συναρτήσεων του χρόνου, κάθε µία από τις οποίες είναι

µία τυχαία µεταβλητή (random variable), µπορούν να παρασταθούν ως:

( )tΧ( ){ }x t ( )x t

( ) ( )~ , 1t N m t σΧ = =

x

( ),Xf x t


Ορισµοί : Στοχαστικές Ανελίξεις ( ) ( ) ( )( )~ sin 2 , 1 0.4sin 2t N m t tπ σ πΧ = = +

Οµοιόµορφη (uniform)

( ) ( )sin 2 , 1 0.4sin 2m t w tπ π= = +

, 1m t w= =

x

x

x

Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση στο Χώρο...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 6 Σχεδίαση στο Χώρο...