Elektrostatika

Električni dipol

Električnim dipolom nazivamo sistem koji se sastoji od dva jednaka kvazipunktualna naelektrisanja, Q, suprotnog znaka, koja se nalaze na malom rastojanju d.

−Q

+Q

dr

M

1rr

2rr

rr

θ

Potencijal koji u tački M stvaraju ova dva naelektrisanja je:

−=

210

11

4 rr

QV

επU specijalnom, ali za teoriju važnom slučaju, kada je , potencijal je:

212

021

12

0 44 r

rrQ

rr

rrQV

−≅

−=

επεπ

dr >>

Kako se pri uslovu može smatrati da su r1 i r2 skoro paralelni, pa je , to je potencijal tačke M:

dr >>θcos12 drr ≈−

204

cos

r

dQV

επθ

=

U ovom poslednjem izrazu, potencijal je izražen preko sferičnih koordinata r i θ.

Proizvod se naziva električni moment dipola i u vektorskom obliku se definiše kao:

PdQ =

dQPrr

=Kako je to se potencijal može izraziti i u sledećem obliku: θcosˆ drd =⋅

r

20

20

ˆ

4

1

4

cos

r

rP

r

PV

⋅==

r

επεπθ

S obzirom da je potencijal izražen preko sferičnih koordinata r i θ, to će projekcije vektora polja biti:

30

30

4

sin1

2

cos

r

PV

rE

r

P

r

VEr

επθ

θ

επθ

θ =∂∂

−=

=∂∂

−=

Pošto je dipol postavljen u koordinatnom početku, kolinearno sa osom z, linije polja leže u meridijalnim ravnima (ravni što prolaze kroz osu z)pa komponenta polja ne postoji.φE

Kao što se iz jednačina vidi, intenzitet pojedinih komponenata, pa i samog vektora polja, se menja obrnuto proporcionalno trećem stepenu rastojanja.

Linije polja (pune linije) i ekvipotencijalne površi (isprekidane linije) električnog dipola.

−Q

+Q

dr

Er

EQFrr

=1

EQFrr

−=2

Nek se dipol električnog momenta nalazi u stranom homogenom električnom polju. Na pozitivno naelektrisanje će delovati sila a na negativno . Ove dve sile imaju isti intenzitet i paralelne su, ali su suprotnog smera, tako da obrazuju spreg. Moment sprega je:

Pr

EQFrr

=1

EQFrr

−=2

),sin(),sin( EPEPEddEQMrrrr

==Ovaj moment teži da obrne dipol tako da vektori postanu kolinearni. Osa obrtanja je normalna na ravan što je obrazuju vektori

. Sem toga, sile elektrostatičkog polja teže da razvuku dipol.

EPrr

i

EPrr

i

Uobičajeno je da se moment sprega, ili moment sile uopšte, predstavlja kao vektor čiji je intenzitet M, a pravac se poklapa sa pravcem ose oko koje moment teži da izvrši obrtanje. Pozitivni smer vektora se odreñuje po pravilu desnog zavrtnja. Intenzitet, pravac i smer vektora mehaničkog momenta se mogu jednostavno izraziti vektorskim proizvodom:

EPMrrr

×=

U opštem slučaju, kada je strano poljenehomogeno, na dipol, pored spregadejstvuje i rezultantna sila. Pošto intenzitet polja na mestima gde senalazi pozitivno i negativno naelektrisanjenije isti, neće biti iste ni sile koje deluju na ova dva naelektrisanja.

d−Q +Q1Fr

2Fr

x

Kako je u slučaju prikazanom na slici E2>E1 (na mestu gde se nalazi negativno naelektrisanje linije polja su gušće) biće i F2 >F1, pa će rezultantna sila biti orjentisana ulevo, ka zoni jačeg polja E.

Za pravac x ose kao na slici i poznat zakon promene jačine polja E(x), može se lako odrediti rezultantna sila. Pretpostavlja se da je dužina dipola d vrlo mala. Ako je jačina polja na mestu gde je negativni kraj dipola E, onda će ona na mestu pozitivnog kraja dipola biti E+(dE/dx)⋅d,pa će odgovarajuće sile koje deluju na krajeve dipola biti:

+=−= ddx

dEEQFEQF 12 i

Rezultantna sila na dipol će biti:

dx

dEP

dx

dEdQFFF ==+= 21

Provodnici u elektrostatičkom

polju

Uslovi elektrostatičke ravnoteže

naelektrisanog provodnika

Izolator, kao što je staklo ili papir, je materijal kod kojeg su elektroni čvrsto vezani za atome i ne mogu se slobodno kretati. S druge strane, kod provodnika, elektroni su slobodni i mogu se kretati. Osnovne osobine provodnika koji se nalazi u stanju elektrostatičke ravnoteže su:� jačina električnog polja unutar provodnika je jednaka nuli;� tangencijalna komponenta jačine električnog polja na površini provodnika je jednaka nuli.

Površina provodnika predstavlja ekvipotencijalnu površinu.

Pošto je polje u unutrašnjosti provodnika jednako nuli, potencijal u unutrašnjosti provodnika je konstantan i jednak potencijalu na površini.

Kako u unutrašnjosti masivnog provodnika ne postoji ni električno polje ni slobodna naelektrisanja, polje izvan provodnika će ostati isto ako se masivni provodnik zameni šupljim provodnikom istog oblika.

nEr

nr

η

Izmeñu normalne komponente jačine električnog polja na površini provodnika i površinske gustine naelektrisanja η postoji jednostavna veza do koje se dolazi primenom Gausovog zakona na zatvorenu valjkastu površinu.

S∆

Ukupni izlazni fluks se svodi na fluks kroz osnovicu koja leži izvan provodnika:

SEnE ∆=Ψ

Prema Gausovom zakonu, ovaj fluks je jednak količini naelektrisanja koja je zahvaćena valjkastom površinom, podeljenom sa , pa je:

S∆η0ε

nE

En

rr

0

0

εη

εη

=

=

Integral površinske gustine η uzet po celoj površini provodnika mora biti jednak količini naelektrisanja Q:

∫=S

dSQ η

U opštem slučaju, površinska gustina naelektrisanja je funkcija koordinate tačke na površini provodnika i bitno zavisi i od oblika provodnika u celini i od geometrije neposredne okoline posmatranetačke.

Provodnik u stranom električnom polju;

elektrostatička indukcija

Razmatramo slučaj nenaelektrisanog provodnika koji je unesen u strano električno polje. Lako pokretljivi elektroniu unesenom provodniku počeće da se kreću pod uticajem stranog polja sve dok se zbog preraspodele naelektrisanja ne uspostavi novo ravnotežno stanje.

Na površini provodnika javljaju se indukovana naelektrisanja i to negativna na onim delovima površine gde linije polja ulaze u provodnik, a pozitivna na onim delovima gde linije polja napuštaju provodnik. Ova pojava razdvajanja pozitivnih i negativnih naelektrisanja pod dejstvom spoljašnjeg polja naziva se elektrostatička indukcija.

Pošto je provodnik pre unošenja u električno polje bio neopterećen, ukupno naelektrisanje posle unošenja u strano polje mora biti jednako nuli. Linije rezultujućeg polja moraju ulaziti, odnosno izlaziti pod pravim uglom na površinu provodnika. Površina provodnika je ekvipotencijalna.

Šupalj provodnik idealno sprečava prodiranje spoljašnjih elektrostatičkihpolja u svoju unutrašnjost. Ova osobina se koristi u praktičnoj elektrotehnici u cilju elektrostatičke zaštite raznih ureñaja.

+ 0=E

Na slici je prikazana šuplja metalna sfera i njen uticaj na polje tačkastog naelektrisanja sa njene spoljašnje strane.

Faradejev kavez: zid ekranizirajuće površine može biti veoma tanak, jerse površinska naelektrisanja lokalizuju u veoma tankom sloju.

+++++

+

+

+

+

++

+

+

+

+

++

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−−−

−

Ako se u unutrašnjost nekog šupljeg nenaelektrisanog provodnika unese naelektrisanje Q, zbog elektrostatičke indukcije, na unutrašnjoj površini provodnika pojaviće se naelektrisanje −Q, a na spoljašnjoj površini Q. Naelektrisanje na unutrašnjem zidu se rasporeñuje tako da zajedno sa unesenim naelektrisanjem Q obezbede uslov da u unutrašnjosti provodnog zida jačina polja bude jednaka nuli.

Kako je šuplji provodnik bio prvo u neutralnom stanju, na njegovoj spoljašnjoj površini se indukuje količina elektriciteta Q. Pošto je jačina polja u zidu jednaka nuli, unutrašnja naelektrisanja nemaju nikakvog uticaja na raspodelu naelektrisanja na spoljašnjoj površini.

Raspodela naelektrisanja na površini

provodnika

Raspodela naelektrisanja, tj. njihova površinska gustina, bitno zavisi od geometrijskog oblika površine provodnika, kao i od načina na koji je naelektrisan (opterećenjem ili indukcijom).

Gustina naelektrisanja i jačina polja su utoliko veći ukoliko je zakrivljenost površine veća.

Jačina polja i gustina naelektrisanja su maksimalni na šiljcima, a teže nuli unutar udubljenja.

Sfere su povezane tankim žičanim provodnikom, pa se smatra da je naelektrisanje na njemu zanemarivo.

Ako je potencijal sistema V, količine naelektrisanja na sferama se mogu odrediti iz:

202101 4i4 rVQrVQ πεπε ==

Odgovarajuće gustine nalektrisanja i jačine polja su:

20

22

10

11

2

02

2

22

1

02

1

11

i

4i

4

r

VE

r

VE

r

V

r

Q

r

V

r

Q

====

====

εη

εη

επ

ηε

πη

Površinska gustina naelektrisanja i jačina polja su obrnuto srazmerne poluprečniku sfere.

Elektrostatički generator

Van de Graaff -ov generator je elektrostatičkamašina koja koristi pokretnu traku za prikupljanjenaelektrisanja na šupljoj metalnoj kugli pri čemuse postiže vrlo visoka razlika potencijala (do 5MV). Van de Grafov generator se možeprikazati kao konstantni izvor struje spojenparalelno s kondenzatorom ili kao naponski izvorogromnog unutrašnjeg otpora.

Šematiski prikaz klasičnog Van de Grafovog generatora:1. pozitivno naelektrisana šuplja metalnakugla2. elektroda spojena s kuglom, četkicaostvaruje kontakt izmeñu elektrode i trake3. gornji valjak od izolacionog materijala4. strana trake s pozitivnim naelektrisanjem5. suprotna strana trake s negativnimnaelektrisanjem6. provodni donji valjak7. uzemljena donja elektroda8. uzemljena kugla kojom se izbijanaelektrisanje s glavne kugle9. iskra proizvedena razlikom potencijala

Električna kapacitivnost i

kondenzatori

Kapacitivnost usamljenog provodnog tela

Izmeñu naelektrisanja Q usamljenog provodnika i njegovog potencijala V, sračunatog prema referentnoj tački u beskonačnosti, postoji linearna zavisnost koja se može iskazati relacijom:

VCQ =Koeficijent proporcionalnosti se naziva električna kapacitivnost provodnika:

V

QC =

Jedinica za kapacitivnost je C/V (kulon po voltu), a u SI sistemu jedinica se zove farad i označava se sa F. Farad je za praktičnu upotrebu suviše velika jedinica, pa se koriste podmultipli: 1µF, 1nF, 1pF,...

Kapacitivnost sistema od dva provodnika

Od posebnog praktičnog značaja u tehnici je slučaj dva bliska provodnika koji su opterećeni jednakim količinama naelektrisanja suprotnog znaka.Ovakav sistem se naziva kondenzator, a provodnici koji ga obrazuju se nazivaju elektrode kondenzatora. Elektrodama kondenzatora se daje takavoblik da se polje lokalizuje unutar kondenzatora. Izmeñu dve elektrode kondenzatora postoji potencijalna razlika, tj. napon:

∫ ⋅=−=2

1

2112 ldEVVUrr

Kapacitivnost kondenzatora se izražava na isti način kao kod usamljenog provodnika:

V

QC =

Simbol za kondenzator

Kapacitivnost kondenzatora čije se elektrode nalaze u vakuumu zavisiod oblika, dimenzija i meñusobnog položaja elektroda.

Kapacitivnost kondenzatora je veličina iste prirode kao i kapacitivnost usamljenog provodnika, pa se izražava istom jedinicom (farad).

Kapacitivnost ravnog kondenzatora

S

Rastojanje d je malo u poreñenju sa linearnim dimenzijama ploča. Tada je celokupno polje lokalizovano u prostoru izmeñu ploča i homogeno je. Odstupanjepostoji jedino u okolini ivica ploča gdepostoji izvesno rasipanje i nehomogenost,koji su utoliko beznačajniji ukoliko je rastojanje d manje.

Ako je površina elektrode S onda je površinska gustina naelektrisanja:

S

Q=η

Kako je polje homogeno, njegova jačina je:

S

QE

00 εεη==

Ako se obe strane jednačine pomnože rastojanjem izmeñu elektroda di kako je , dobije se relacija:UdE =

S

dQU

0ε=

odnosno, kapacitivnost ravnog kondenzatora je:

d

SC 0ε=

Kapacitivnost ravnog kondenzatora je direktno srazmerna površinielektroda, a obrnuto srazmerna njihovom rastojanju.

Sferični kondenzator

Sastoji se iz dve koncentrične provodne sfere, poluprečnika a i b. Ako su sfere priključene na izvor potencijalne razlike U, one će se opteretiti jednakim i po znaku suprotnim količinama naelektrisanja.

Jačina polja izmeñu sfera, na nekom rastojanju r od centra, lako se odreñuje prema Gausovom zakonu i iznosi:

U

204

1

r

QE

επ=

Za r>b, tj. izvan spoljašnje sfere, polje je jednako nuli.

Potencijalna razlika izmeñu sfera:

−=== ∫∫ ba

Qdr

r

QdrEU

b

a

b

a

11

4

1

4 02

0 επεπ

ba

abQU

−=

04 επIz poslednjeg izraza je kapacitivnost sferičnog kondenzatora:

ab

ab

U

QC

−== 04 επ

Za , dobije se izraz za kapacitivnost usamljene sfere:

aC 04 επ=∞→b

Maksimalna jačina polja je na unutrašnjoj elektrodi, tj. za r=a:

Jačina električnog polja se može izraziti preko U:

ab

ba

r

UE

−=

2

a

b

ab

UE

−=max

Koaksijalni kondenzator i koaksijalni vod

Sistem od dva koaksijalna šuplja cilindra kružnog poprečnog preseka i velike dužineu odnosu na unutrašnji prečnik spoljašnjeg provodnika koristi se kao koaksijalni kondenzator ili kao koaksijalni vod.

Ako se provodnici priključe na izvor potencijalne razlike U, opteretiće se jednakim i po znaku suprotnim količinama podužnog naelektrisanja Q'.

Primenom Gausovog zakona nalazi se jačina polja izmeñu provodnika:

r

QE

02 επ′

=

Izvan spoljašnjeg cilindričnog provodnika jačina polja je jednaka nuli.

Potencijalna razlika izmeñu provodnika:

a

bQdrr

QdrEU

b

a

b

a

ln2

1

2 00 επεπ′

=′

== ∫∫Pogodno je uvesti podužnu kapacitivnost čija je jedinica F/m (farad po metru):

a

bU

QC

ln

2 0επ=′

=′

Jačina polja se može izraziti preko potencijalne razlike:

a

br

UE

ln=

Maksimalna vrednost polja je na površini unutrašnjeg provodnika r=a:

)/ln(maxaba

UE =

Sprezanje kondenzatora i ekvivalentna

kapacitivnost

Često se kondenzatori različitih kapacitivnosti vezuju u grupe i to na različite načine. Kapacitivnost ekvivalentnog kondenzatora se naziva ekvivalentna kapacitivnost grupe kondenzatora.

Ekvivalentna kapacitivnost je količnik naelektrisanja Q koje u procesu naelektrisavanja protekne kroz pozitivni priključak baterije, i potencijalne razlike izmeñu pozitivnog i negativnog priključka baterije.

Paralelno vezivanje kondenzatora

Pretpostavimo da su dva kondenzatora kapacitivnosti C1 i C2 i količina naelektrisanja Q1 i Q2 vezani paralelno. Pozitivno naelektrisane elektrode oba kondenzatora su vezane za + izvod baterije, a negativne za − izvod, što znači da je napon na oba kondenzatora isti:

U UU

U

QC

U

QC 2

21

1 ==

Ova dva kondenzatora se mogu zameniti jednim ekvivalentnim kapacitivnosti Ceq koji se napaja baterijom napona U. Ukupna količina naelektrisanja na njemu je:

)( 212121 CCUUCUCQQQ +=+=+=

Odavde sledi da je ukupna kapacitivnost:

21 CCU

QCeq +==

Za N paralelno vezanih kondenzatora važi:

∑=

=+++=N

i

iNeq CCCCC1

21 ...

Redno vezivanje kondenzatora

UU U

Neka su kondenzatori vezani redno. Leva elektroda kondenzatora 1vezana je za + izvod baterije i na njoj je, dakle, količina naelektrisanja Q;desna elektroda kondenzatora 2 je vezana na − izvod baterije, pa je na njoj količina naelektrisanja −Q. Unutrašnje elektrode kondenzatora se u odnosu na spoljašnje elektrode naelektrišu istom količinom suprotnog naelektrisanja. Napon U baterije raspodeljuje se na kondenzatore, tako da je:

22

11

C

QU

C

QU ==

Ukupna napon U jednak je zbiru pada napona na oba kondenzatora:

21 UUU +=Ova dva kondenzatora se mogu zameniti ekvivalentnim kondenzatoromkapacitivnosti Ceq. Kako je ukupni napon jednak padu napona na svakom od kondenzatora:

21 C

Q

C

Q

C

Q

eq

+=

ekvivalentna kapacitivnost dva redno vezana kondenzatora je:

21

111

CCCeq+=

Za N redno vezanih kondenzatora važi:

∑=

=+++=N

i iNeq CCCCC 121

11...

111

Redno-paralelna veza kondenzatora

U

Kako su C1 i C2 vezani paralelno, njihova ekvivalentna kapacitivnost je:

2112 CCC +=

U

C12 i C3 su vezani redno, pa je njihova ekvivalentna kapacitivnost:

312123

111

CCC+=

U( )

321

321

312

312123

CCC

CCC

CC

CCC

+++

=+

=