El diagrama de Mohr para esfuerzos en 3D:

En un sistema ortogonal, i, j, k, tenemos para los esfuerzos normal y de cizalla, actuando sobre unplano cualquiera, las expresiones:

σn =σi + σj

2+

σi − σj

2cos 2θk

σs =σi − σj

2sen 2θk

son independiente del plano escogido. Representan la forma general de las ecuaciones para calcularlas componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre cualquier plano en un espacio fisico.Para plnos paralelos a cualquiera de los ejes pricipales x̂k, un diagrama 2D del plano x̂i − x̂j esempleado, donde k 6= i < j 6= k. Asi, (i, j, k) puede adquirir los valores (1, 3, 2), (1, 2, 3) y (2, 3, 1).

Mostraremos que estas expresiones representan los esfuerzos normal y de cizalla en el circulo deMohr, una representacion 2D, de los esfuerzos en 3D. Sean, para la demostracion: i = 1, j = 3 y k= 2, sustituyendo estos subindices tenemos

σn =σ1 + σ3

2+

σ1 − σ3

2cos 2θ2

σs =σ1 − σ3

2sen 2θ2

Para otros planos de coordenadas , exactamente las mismas propiedades del circulo de Mohr seaplican.

Geometria para la determinacion del esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre un plano P decualquier orientacion dada a traves de un punto.

A. El plano P es paralelo al eje x̂2 pero orientacion arbitraria.

1

B. vista bidimesional de la geometria de la parte A, mosntrando la distribucion de las componentesdel esfuerzo. Todas las componentes de esfuerzos y angulos mostrados son positivos en este diagrama.

C. El elemento triangular sombreado en la parte B, mostrando solamente las componentes detraccion que actuan sobre el exterior del elemento.

D. Diagrama de las fuerzas y componentes de las fuerzas derivado de las componentes de traccion

2

mostradas en la parte C.

De la figura C mostrada, vemos que

sen θ2 =A3

A

A3 = A sen θ2

cos θ2 =A1

A

A1 = A cos θ2

Representando las fuerzas que actuan sobre cada cara del prisma rectangular, tenemos

Trasladando cada vector sobre su linea de accion de forma que queden todos ubicados con un origencomun, tenemos:

Desconpogamos cada uno, y representemoslo como componentes paralela al plano y perpendicularal plano P de estudio, tendremos:

3

Luego, las componentes de F1 son:

cos θ2 =F1n

F1

F1n = F1 cos θ2

sen θ2 =F1s

F1

F1s = F1 sen θ2

Las componentes de F3, son:

cos θ2 =F3s

F3

F3s = F3 cos θ2

sen θ2 =F3n

F3

F3n = F3 sen θ2

Aplicando la condicion de equilibrio estatico tralacional para un cuerpo solido∑

F = 0, esto implicaque sobre cualquier sistema de coordenadas que se emplee debe cumplirse, por tanto, en nuestrocaso debe cumplirse que: ∑

Fn = 0∑Fs = 0

Aplicando la condicion 8, tenemos: ∑Fn = 0

Fn − F1n − F3n = 0

sustituyendo F1n y F3n en Eq2, tenemos:

Fn − F1 cos θ2 − F3 sen θ2 = 0

4

Aplicando la condicion 9, tenemos: ∑Fs = 0

Fs − F1 + F3 = 0

Fs − F1 sen θ2 + F3 cos θ2 = 0

De las ecuaciones 1 y 2, despejando Fn y Fs, se tiene:

Fn = F1 cos θ2 + F3 sen θ2

Fs = F1 sen θ2 − F3 cos θ2

Reecribimos las fuerzas en terminos de las componentes de los esfuerzos, recordemos que σ = FA por

lo tanto F = σA, luego, cada una de las fuerzas se pueden representar como Fn = σnA, Fs = σsA,F1 = σ1A1 y F3 = σ3A3 y al sustituirlas obtenemos:

σnA = σ1A1 cos θ2 + σ3A3 sen θ2

σsA = σ1A1 sen θ2 − σ3A3 cos θ2

Reescribamos las areas A1 y A3 en terminos del area A, empleando: A1 = A cos θ2 y A3 = A sen θ2,se tiene:

σnA = σ1 (A cos θ2) cos θ2 + σ3 (A sen θ2) sen θ2

σnA = σ1A cos2 θ2 + σ3A sen2 θ2

eliminando la A que es factor comun en ambos mienbros de la igualdad:

σn = σ1 cos2 θ2 + σ3 sen2 θ2

Para σs, de forma similar, tenemos:

σsA = σ1 (A cos θ2) sen θ2 − σ3 (A sen θ2) cos θ2

σsA = σ1A sen θ2 cos θ2 − σ3A sen θ2 cos θ2

Factorizando en el mienbro izquierdo, se obtiene:

σsA = (σ1 − σ3) A sen θ2 cos θ2

Por tanto,σs = (σ1 − σ3) sen θ2 cos θ2

Las expresiones anteriores para σn y σs son mas facilmente interpretadas si las reescribimos em-pleando las siguientes indentidades trigonometricas de doble angulo:

cos2 θ2 =12

(1 + cos 2θ2)

sen2 θ2 =12

(1− cos 2θ2)

sen θ2 cos θ2 =12

sen 2θ2

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Reemplazando las indentidad anteriores en las expresiones 3 y 4, tenemos:

σn = σ1

[12

(1 + cos 2θ2)]

+ σ3

[12

(1− cos 2θ2)]

σn =12σ1 +

12σ1 cos 2θ2 +

12σ3 −

12σ3 cos 2θ2

reagrupando los terminos, se tiene:

σn =12σ1 +

12σ3 +

12σ1 cos 2θ2 −

12σ3 cos 2θ2

σn =12

(σ1 + σ3) +12

(σ1 − σ3) cos 2θ2

σn =[σ1 + σ3

2

]+

[σ1 − σ3

2

]cos 2θ2

De forma similar para σs tenemos:

σs = (σ1 − σ3) sen θ2 cos θ2

σs = (σ1 − σ3)[12

sen 2θ2

]σs =

[σ1 − σ3

2

]sen 2θ2

De las ecuaciones 5 y 6 podemos indicar que[

σ1+σ32

]representa el esfuerzo normal medio y[

σ1−σ32

]representa el esfuerzo de cizalla maximo posible .

Las expresiones 5 y 6 son ecuaciones parametricas para el circulo de Mohr, donde σn y σs son lasvariables y θ2 es el parametro.

Podemos obtener una forma mas familiar matematicamente a la del circulo, para la ecuacion delcirculo de Mohr, si eliminamos el parametro θ2. Para ello, primero reescribimos la ecuacion 5,obtenemos:

σn −[σ1 + σ3

2

]=

[σ1 − σ3

2

]cos 2θ2

elevamos ambos mienbros de la ecuacion 7, obtenemos:[σn −

σ1 + σ3

2

]2

=[σ1 − σ3

2cos 2θ2

]2

[σn −

(σ1 + σ3

2

)]2

=(

σ1 − σ3

2

)2

cos2 2θ2

y tambien, elevamos ambos mienbros de la ecuacion 6, se tiene:

σ2s =

[σ1 − σ3

2sen 2θ2

]2

6

σ2s =

(σ1 − σ3

2

)2

sen2 2θ2

Realizamos la suma mienbro a mienbro de las ecuaciones 8 y 9:[σn −

(σ1 + σ3

2

)]2

+ σ2s =

(σ1 − σ3

2

)2

cos2 2θ2 +(

σ1 − σ3

2

)2

sen2 2θ2

realizamos la factorizacion que aparece en el mienbro derecho de la igualdad[σn −

(σ1 + σ3

2

)]2

+ σ2s =

(σ1 − σ3

2

)2 [cos2 2θ2 + sen2 2θ2

]y por la identidad trigonometrica sen2 A + cos2 A = 1, tenemos que:[

σn −(

σ1 + σ3

2

)]2

+ σ2s =

(σ1 − σ3

2

)2

por analogia con la ecuacion del circulo con centro sobre el eje x:

(x− a)2 + y2 = r2

notamos que, el eje x representa los esfuerzos normales al plano de estudio (σn), el eje y representalos esfuerzos de cizalla paralelos al plano de estudio (σs). El radio r esta dado por σ1−σ3

2 y ladistancia a sobre el eje x a la cual se encuentra desplazado el centro del circulo es σ1+σ3

2 . Con esto,podemos representar el Circulo de Mohr:

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