EJERCICIOS

1- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461.

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

SOLUCIÓN:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que: La media muestral = 448+460+514+488+592+490+507+513+492+534+523+452+464+562+584+507+461 = 8561 = 505.35

La desviación típica = 42.54

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0.975 es 2.12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)operando

( 482,80 ,, 527,90 )

4- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

SOLUCIÓN:

Media = 32.7Desviacion = 12.64

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad del 95% es 1.671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja pordebajo una probabilidad de 0.975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer

32,7 2 · 12,64 / 832.7+2 * 12.64/8 = 34.7 * 1.58 = 54.826

32.7-2 * 12.64/8 = 30.7 * 1.58 = 48.506

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3.16

5- Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.

SOLUCIÓN:

Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y lacuasivarianza 1922,37

En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo unaprobabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:

( 17 · 1809.29 / 26.30 ,, 17 · 1809.29 / 7.96 )operando

( 1169.50 ,, 3864.06 )

Por tanto el error por defecto sería 1922.37 – 3864.06 = -1941.69y el error por exceso 1922.37 – 1169.50 = 752.87

6- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine.

SOLUCIÓN:

En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción:

(0.8−1.96 √0.8∗0.2300

, ,0.8+1.96 √0.8∗0.2300 )

operando( 0.755 ,, 0.845 )

7- La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 8 cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm con un nivel de confianza del 90%

Datos: 1 – α=0.90 E=1cm σ=8cm

Calculamos α para un 90%

1-0.05 = 0.90

α=0.1

α2

= 0.12

=0.05

0.90 + 0.05 = 0.95

Zα=1.645

Aplicamos la fórmula del tamaño

n = (Zα ∙σ

E¿2

n = (1.645∙8

1¿2

= 173.18

El tamaño mínimo de la muestra debe de ser n= 174

8- Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?

SOLUCIÓN:

(0.62 – 2.57 √ 0.62∙0.38100

,, o.62+ 2.57 √ 0.62∙0.38100

¿=(0.495 , ,0.745)