Ejercicios mecnica

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    14-Aug-2015
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Problema: Equilibrio de partculaUn bloque de peso W est suspendido de una cuerda de 25 in. De largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in. cada una. Si las constantes de los resortes son kAB=9 lb/in. y kAD=3 lb/in., determine a) la tensin de la cuerda, b) el peso del bloque.29 in 23 in

B29 in

D

A W7 in

16 in

8 in

C

Planteamiento FAB

FAC

FAD

Las ecuaciones de equilibrio se plantean para la partcula, a partir del diagrama de cuerpo libre, que en este caso, es el punto en donde se unen los resortes y las cuerdas. Donde los ngulos , y se calculan como: 16 = 28.1 23 + 7 16 + 8 = tan 1 = 73.7 7 16.5 = tan 1 = 36.9 29 7

W

F F

FAD cos( ) + FAC cos( ) FAB cos( ) = 0 FAD sen ( ) + FAC sen ( ) + FAB sen ( ) W = 0y

x

=0 =0

= tan 1

Fuerzas en los resortesAhora, el anterior sistema consta de dos (2) ecuaciones con cuatro (4) incgnitas, sin embargo, las fuerzas ejercidas por los resortes se pueden conocer mediante las ecuaciones constitutivas de estos:FAD = k AD l AD FAB = k AB l AB

Donde kAB=9 lb/in y kAD=3 lb/in son las constantes de resorte mientras que lAD y lAD, son las elongaciones de estos, las cuales son la diferencia entre su longitud final y su longitud natural.l AD = (l AD lnAD ) l AB = (l AB lnAB )

Donde, segn el enunciado del problema, lnAD=lnAB=22.5 in. Y a partir de la geometra del problema:l AD =

(23 + 7 )2 + 162

l AB =

(29 7 )2 + 16.52

l AD = 34

l AB = 27.5

Resultados y AnlisisAs, al reemplazar, se llega a que las fuerzas ejercidas por los resortes corresponden a:FAD = 102lb FAB = 247.5lb

Con ello, ahora el sistema de ecuaciones es consistente (dos ecuaciones con dos incgnitas):FAD cos( ) + FAC cos( ) FAB cos( ) = 0

(1) (2)

FAD sen ( ) + FAC sen ( ) + FAB sen ( ) W = 0

Incgnitas

FAC

W

Del cual al resolver se obtienen los siguientes resultados:FAC = 385.71lb

W = 566.79lb

Los cuales, al dar positivos, confirman lo evidente, que la fuerza de la cuerda es de tensin y que el peso va haca abajo

Problema: Equilibrio de partcula 2DDos semforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura, Si el semforo colocado en B pesa 300N, determine el peso del semforo en C3.6 m A D C B 4.9 m 4.5 m 3.4 m 2.4 m

3.4 m

3.8 m

EquilibrioSe debe realizar el anlisis a dos partculas: el punto B y el punto C, pues para encontrar el peso del semforo ubicado en este ltimo, se hacen necesarias, tambin, las ecuaciones de equilibrio del punto B. FAB = tan 1 4.5 3.8 = 22.62 2.4

B

FBC

FCDC

= tan 1 4.5 3.8 = 16.26 2.4

= tan 1

WB

3.8 3.4 = 6.71 3.4

FBC WC

F F

FAB cos( ) + FBC cos( ) = 0 FAB sen ( ) + FBC sen ( ) WB = 0y

x

=0 =0

F

F

FBC cos( ) + FCD cos( ) = 0 FBC sen ( ) + FCD sen ( ) WC = 0y

x

=0 =0

Resultados y AnlisisDe esta manera se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incgnitasEcuacionesFAB sen ( ) + FBC sen ( ) WB = 0 FBC cos( ) + FCD cos( ) = 0 FBC sen ( ) + FCD sen ( ) WC = 0 FAB cos( ) + FBC cos( ) = 0

(2) (3) (4)

Incgnitas

(1)

FABFBC FCD WC

Que al ser resueltas arrojan los siguientes resultados:FAB = 608.26 NFBC = 565.34 N FCD = 584.34 N WC = 97,71N

Entonces, el valor positivo de las fuerzas en los cables, indica que, como era de esperarse, estos ejercen fuerzas de tensin que salen de las partculas analizadas. Adicionalmente, los valores altos de las tensiones se deben a los ngulos bajos que forman con la horizontal.

Problema: Equilibrio de partcula 3DUna torre de transmisin se sostiene por medio de tres alambres que estn unidos a una punta colocada en A y se anclan mediante pernos en B, C, y D. Si la tensin en el alambre AB es de 3.6kN, determine la fuerza vertical P ejercida por la torre sobre la punta puesta en A.y A

30 m

D

B O z C x

Coordenadas de los puntosy

Para comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada punto, tal como se ve en la figura:x B = 6 yB = 0 z B = 7.5 xC = 18 yC = 0 z C = 5.4

(x A , y A , z A )

A

xA = 0 y A = 30 zA = 0

D

( xD , y D , z D )

( xB , y B , z B )x0 = 0 y0 = 0 z0 = 0

B

( xO , y O , z O )C

O

x D = 6 yD = 0 z D = 22.2

z

x

(xC , yC , zC )

+ (yD y A ) AD = (x D x A )i j + ( z D z A )k + (0 30 ) AD = ( 6 0 )i j + ( 22.2 0 )k 30 AD = 6i j 22.2k AD =

y(x A , y A , z A ) A

( x D x A )2 + ( y D y A ) 2 + ( z D z A )2

D( xD , y D , z D ) ( xB , y B , z B ) B

AD = 37.8

AD =

AD AD

O( xO , y O , z O )

j 0.59k AD = 0.16i 0.79

C (xC , yC , zC )

+ (yB y A ) AB = ( x B x A )i j + ( z B z A )k + (0 30 ) AB = ( 6 0 )i j + (0 7.5)k 30 AB = 6i j 7.5k AB =

+ ( yC y A ) AC = ( xC x A )i j + ( z C z A )k

zAC =

+ (0 30 ) x0)k AC = (18 0 )i j + (5.4 30 AC = 18i j + 5.4k

( x B x A )2 + ( y B y A )2 + ( z B z A )2

( x C x A )2 + ( y C y A )2 + ( z C z A )2AC = 35.4

AB = 31.5

AB =

AB AB

Vectores unitarios

AC =

AC AC

AB = 0.19i 0.95 j 0.24k

AC = 0.16i 0.79 j 0.59k

EquilibrioEntonces, con las componentes de los vectores unitarios ya es posible plantear las ecuaciones de equilibrio para la partcula de inters, que es el punto A, donde convergen todas las fuerzas.P

F F

x

=0

0.19 FAB + 0.51FAC 0.16 FAD = 0y

=0

FAD FAB FAC

P 0.95 FAB 0.85 FAC 0.79 FAD = 0

F

z

=0

0.23FAB + 0.15 FAC 0.59 FAD = 0

Sistema de ecuacionesDe esta manera se obtiene un sistema que consta de tres ecuaciones con tres incgnitas: 0.19 FAB + 0.51FAC 0.16 FAD = 0

(1)Incgnitas

P

Ecuaciones

P 0.95 FAB 0.85 FAC 0.79 FAD = 0 0.23FAB + 0.15 FAC 0.59 FAD = 0

(2) (3)

FAC

FAD

Cuya solucin es:P = 6.66kN

FAC = 1.963kN

FAD = 1.969kN

Con la que se confirma que, en efecto, la fuerza ejercida por la torre es hacia arriba y que las cuerdas realizan una accin que sale de la partcula analizada

Problema: Equilibrio de partcula 3DUna pieza de maquinaria de peso W est sostenida temporalmente por los cables AB, AC y ADE. El cable ADE est unido al anillo en A, pasa por la polea en D, y regresa al anillo para unirse despus al soporte en E. Si la tensin en el cable AB es de 300 N, determine: a) La tensin en AC, b) La tensin en ADE y c) El peso W. (Sugerencia: La tensin es la misma en todos los tramos del cable ADE.)

Problema: Equilibrio de partcula 3DB

E y z D C 2.4 m A x

Coordenadas de los puntosPara comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada punto, tal como se ve en la figura:x B = 2.7 yB = 0 z B = 3.6 xC = 0 yC = 0 z C = 1.8( xE , y E , z E )

B( xB , y B , z B )

xA = 0 y A = 2.4 zA = 0

E y

z

D ( xD , y D , z D ) C (xC , yC , zC ) x( x A , y A , z A )A

x D = 1.2 yD = 0 z D = 0.3

x E = 2.4 yE = 0 z E = 1.2

+ (yD y A ) AD = (x D x A )i j + (z D z A )k + (0 ( 2.4 )) AD = (1.2 0 )i j + ( 0.3 0 )k + +2.4 AD = 1.2i j 0.3k AD =

+ (yE y A ) AE = ( x E x A )i j + ( z E z A )k + (0 ( 2.4 )) AE = ( 2.4 0 )i j + (1.2 0 )k + 2.4 AE = 2.4i j 1.2k

( x D x A )2 + ( y D y A ) 2 + ( z D z A )2( xE , y E , z E )

AD = 2.7

B ( xB , y B , z B )

AE =

( x E x A )2 + ( y E y A ) 2 + ( z E z A ) 2AE = 3.6

AD =

AD AD 4 9 8 1 j k 9 9

E C

(xC , yC , zC )

AE =

AE AE 3

D y A (x A , y A , z A ) x( xD , y D , z D ) 3 3

AD = i +

1 2 1 j k AE = i +

+ (yB y A ) AB = ( x B x A )i j + ( z B z A )k + (0 ( 2.4 )) AB = ( 2.7 0 )i j + ( 3.6 0 )k + 2.4 AB = 2.7i j 3.6k AB =

z

+ ( yC y A ) AC = ( xC x A )i j + ( z C z A )k + (0 ( 2.4)) AC = 0i j + (1.8 0 )k AC = 2.4 j + 1.8k AC =

( x B x A )2 + ( y B y A )2 + ( z B z A )2

( x C x A ) 2 + ( y C y A )2 + ( z C z A )2AC = 3

AB = 5.1

AB =

AB AB 9 8 12 i+ j k 17 17 17

Vectores unitarios

AC = AC =

AC AC

AB =

4 3 j+ k 5 5

EquilibrioEntonces, con las componentes de los vectores unitarios ya es posible plantear las ecuaciones de equilibrio para la partcula de inters, que es el punto A, donde convergen todas las fuerzas.

F

x

=0

4 1 9 FAB + 2 FAD FAE = 0 17 9 3y

FAE

FAB

F

=0

8 4 8 2 FAB + FAC + 2 FAD + FAE W = 0 17 5 9 3

FAC A P

FAD

F

z

=0

12 3 1 1 FAB + FAD 2 FAD FAE = 0 17 5 9 3

Sistema de ecuacionesDe esta manera se obtiene un sistema que consta de tres ecuaciones con cuatro incgnitas. Para lo cual es necesario notar que como la tensin en la cuerda ADE es igual en todos sus tramos, entonces, en las ecuaciones de equilibrio, las fuerzas FAD y FAE son iguales. Lo cual da pie para plantear la ecuacin faltante:FAD = FAE

Finalmente, se llega a un sistema de ecuaciones consistente. Cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas:9 4 1 FAB + 2 FAD FAE 17 9 3 8 4 8 2 FAB + FAC + 2 FAD + FAE W 17 5 9 3 12 3 1 1 FAB + FAD 2 FAD FAE 17 5 9 3 FAD FAE =0 =0 =0 =0

(1) (2) (3) (4)IncgnitasFAC FAD FAE W