ECUATII NELINIARE PE R - users. ccosmin/ آ  Daca presupunem ca avem Me0

download ECUATII NELINIARE PE R - users. ccosmin/ آ  Daca presupunem ca avem Me0

of 23

  • date post

    06-Sep-2019
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ECUATII NELINIARE PE R - users. ccosmin/ آ  Daca presupunem ca avem Me0

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    ECUATII NELINIARE PE R

    1. CONSIDERATII GENERALE

    Se vor studia urmatoarele probleme:

    1. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma f(x)=0 2. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma x=g(x)

    Notatie: O radacina se va nota cu α, 0)( ====αf

    2. METODA DE REZOLVARE

    Radacinile se vor gasi printr-un proces iterativ: se construieste un sir x0, x1, ..., xn

    convergent spre radacina cautata α ( α→→→→nx ).

    Termenii acetui sir reprezinta aproximatii ale radacinii si se vor numi iterate. Metoda cere

    una sau mai multe aproximatii initiale ale radacinii, aceste aproximatii se vor presupune

    cunoscute. Aceste aproximatii se gasesc prin metode algebrice. De exemplu stabilind

    intervale care contin radacinile, prin inspectarea graficului functiei f.

    2.1 Analiza metodei

    Analiza metodei trebuie sa dea raspuns la urmatoarele probleme:

    1. Daca procesul iterativ este convergent.

    2. Daca iteratia converge, care este rapiditatea convergentei.

    3. Care este eroarea radacinii calculate.

    4. Aprecierea eficientei metodei.

    Detalieri:

    Problemele (1) si (2): In majoritatea metodelor convergenta este asigurata daca

    aproximatia initiala este suficient de apropiata de radacina, in putine cazuri iteratia

    converge independent de aproximatia initiala.

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    (3) Presupunind ca iteratia converge, eroarea radacinii depinde numai de precizia utilizata

    in calcule (numarul de cifre din reprezentaeea numerelor). Altfel spus precizia radacinii

    este determinata de eroarea de rotunjire dintr-un singur pas al iteratiei.

    (4) Eficienta se masoara in numarul de calcule (pasi) necesare pentru a obtine radacina cu

    o precizie data si anume:

    • Pentru metodele care converg independent de aproximatia initiala, eficienta

    este data de rapiditatea convergentei.

    • Pentru metodele care depind de aproximatia initiala, daca nu se cunoaste o

    aproximatie buna a radacinii se aplica un procedeu care converge independent

    de aproximatia initiala determinind astfel o aproximatie initiala, dupa care se

    trece la o metoda rapid convergenta.

    2.2 Ordin de convergenta

    Definitia 1:

    Fie sirul de iterate (((( )))) 0≥≥≥≥nnx si presupunem ca sirul este convergent spre numarul α,

    α→→→→nx . Daca exsista un numar real p, 1, ≥≥≥≥∈∈∈∈∃∃∃∃ pp R si exista un numar c pozitiv

    pentru orice numar natural n ( 0,0 ≥≥≥≥∀∀∀∀>>>>∃∃∃∃ nc ) astfel incit: p

    nn xcx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα 1 (1)

    atunci se zice ca sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge catre α, cu ordinul p. Constanta c se numeste rata convergentei.

    In general ordinul p si rata c sunt indicatori de viteza a convergentei sirului (((( )))) 0≥≥≥≥nnx spre radacina α.

    Observatie: Pentru p=1,2,3 convergenta se zice liniara, patratica si cubica respectiv.

    Teorema: Cazul p=1. Convergenta liniara

    Daca 10,

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    Demonstratie:

    In baza relatiei (2) avem succesiv pentru n=0,1,2,...

    nn

    nn

    xcx

    xcx

    xcx

    xcx

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    ++++

    −−−−

    αα

    αα

    αα

    αα

    1

    1

    12

    01

    ... (3)

    Inmultind membru cu membru in relatiile (3) obtinem:

    01 xcx n

    n −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα (4)

    Cum 10

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    Metoda

    Metoda consta in injumatatirea succesiva a intervalului si considerarea la fiecare pas a

    sub-intervalului in care conditia (5) este indeplinita.

    Sub-intervalul, in

    obtinind intervale

    opreste cind lung

    si un n umar limit

    Algoritmul metod

    Fig.1. Metoda bisectiei

    care se afla radacina, este luat ca interval "[a,b]" si procesul continua

    de lungime din ce in ce mai mica, care contin radacina. Procesul se

    imea intervalului este mai mica decit o toleranta data. Uzual se prescrie

    a de iteratii.

    ei

    f-numele functiei a,b capetele intervalului εεεε-toleranta de calcul lnit-numarul limita e iteratii(itrare)/numarul efectiv de iteratii (iesire). rad-radacina calculata kod-cod incheiere a iteratiei

    1. Initializeaza contorul de iteratii: iter=0 2. Incrementeaza contorul: iter=iter+1 3. Defineste c=(a+b)/2 4. Testeaza numarul de iteratii: daca iter>lnit, atunci

    pune rad=c, lnit=iter, kod=1 si IESIRE. 5. Daca b-c≤ε atunci: Pune rad=c, lnit=iter, IESIRE.

    ALTFEL Daca sign(f(b)f(c)(

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    Convergenta

    Metoda construieste sirul de iterate (puncte) c1,c2,..., cn,... (Fig.2).

    Observind ca la fi

    rezulta:

    Rezulta ca −−−− ncα

    Observatie: In co

    Din relatia (7) s

    absoluta mai mica

    Avantaj: Eroarea

    Dezavantaj: Conv

    Fig.2. Studiul convergentei in metoda bisectiei.

    ecare pas (iteratie) avem:

    2 jj

    j

    ab c

    −−−− ≤≤≤≤−−−−α (6)

    (((( ))))ababc

    abc

    abc

    n

    nn −−−− 

      

    ==== −−−−≤≤≤≤−−−−

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    −−−−≤≤≤≤−−−−

    2 1

    2

    ... 2

    2

    22

    1

    α

    α

    α

    (7)

    0→→→→ sau ca α→→→→nc cind ∞∞∞∞→→→→n .

    nformitate cu definitia 1, zicem ca bisectia converge liniar cu rata 1/2.

    e poate deduce numarul de iteratii sufucient pentru a avea o eroare

    decit o toleranta de calcul data (ε).

    ε≤≤≤≤−−−−n ab

    2 ⇒ 

    

      

     −−−−≥≥≥≥ ε

    abn 2log (8)

    descreste monoton cu fiecare pas.

    ergenta este inceata.

    α-c1

    c3 c2

    (b-a)/2

    y=f(x)

    b a

    f(b)

    f(a)

    c1 α

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    3.2 Metoda falsei pozitii (Regula FALSI)

    Ipoteze: Aceleasi ca si in metoda bisectiei.

    Metoda

    Se ia ca aproximatie a radacinii, intersectia cu axa x a dreptei care uneste punctele

    (a,f(a)), (b,f(b)). Se considera intervalul in care f ia valori de semne opuse si se continua

    procedeul.

    Formula metod

    Intersectind dr

    cu dreapta de e

    Convergenta:

    Metoda constru

    • Metoda con

    • Rata conve

    Fig.3. Regula FALSI

    ei:

    eapta de ecuatie:

    (((( ))))bx ab

    afbfbfy −−−− −−−− −−−−====−−−−

    )()()( (9)

    cuatie y=0 (axa x) si punind x=c rezulta:

    (((( ))))ab afbf

    bfbc −−−− −−−−

    −−−−==== )()(

    )( (10)

    ieste siul c1,c2,..., cn,... (Fig.3). Se arata ca:

    verge liniar, in ipoteza ca exista derivatele f' si f'' continue pe [a,b].

    rgentei depinde atit de f cit si de alegerea intervalului [a,b].

    c2 c1 α

    y=f(x)

    b a

    f(b)

    f(a)

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    Dezavantaje:

    Sirul ci se apropie de α dintr-o singura parte (a sau b ramin aceleasi la fiecare pas).

    Testul de eroare poate fi inadecvat: eroarea c−−−−α se inlocuieste cu ii cc −−−−++++1 , care poate

    fi mult mai mare sau mult mai mic decit eroarea.

    Observatie: Metoda inlocuieste graficul functiei f, in vecinatatea radacinii cu o linie

    dreapta.

    3.3 Metoda secantei

    Ipoteze

    Se cunosc doua aproximatii initiale ale radacinii, x0 si x1. Ele pot incadra radacina, sau

    pot fi de aceeasi parte a radacinii.

    Metoda

    Graficul lui f se inlocuieste cu o linie dreapta si anume secanta prin punctele (x0, f(x0)) si

    (x1, f(x1)). Intersectia secantei cu axa x va fi punctul x2. La pasul urmator se continua

    procesul, luind ca aproximatii x1 si x2.

    Observatie: In ipoteza ca x0 si x1 incadreaza radacina, daca s-ar lua ca aproximatii x0 si x1 s-ar obtine regula FALSI.

    Fig.4. Metoda secantei.

    x3 x2 α

    y=f(x)

    x1 x0

    f(x1)

    f(x0)

  • ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

    Formula metodei

    Printr-un calcul analog cu cel de la regula FALSI cu a=x0, b=x1 si c=x2 se obtine:

    (((( )))) (((( )))) (((( ))))01 01

    112 xfxf xx

    xfxx −−−− −−−−

    −−−−==== (11)

    sau in general:

    (((( )))) (((( )))) (((( )))) datexxnxfxf xx

    xfxx nn

    nn nnn 10