CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea...

37
176 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂ 7.1. Un semnal, eşantionat cu frecvenţa 0 1/ F T = , având spectrul j (e ) X ω , este decimat cu un factor M. Care este valoarea spectrului la 1 0 /(6 ) F F M = ? Rezolvare: Frecvenţa normată după eşantionare este 1 1 1 2 T FT ω π = = (7.1) iar după decimare se transformă în 1 1 3 d M π ω ω = = (7.2) astfel încât spectrul dorit este: 2 1 3 3 0 1 k M j j j M M k Y e X e M π π π = = (7.3) 7.2. Se consideră sistemul următor: x(n) y(n) 5 5 ( ) j Ge ω ( ) j Ge ω ( ) j He ω Figura 7.1. unde răspunsurile în frecvenţă ale celor două filtre sunt /2 ( ) cos( / 2) j j He e ω ω ω = 1, | | /5 ( ) 0, altfel j Ge ω ω π < = (7.4) Determinaţi răspunsul global în frecvenţă ( ) j Fe ω al acestui sistem.

Transcript of CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea...

Page 1: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

176 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂ

7.1. Un semnal, eşantionat cu frecvenţa 0 1/F T= , având spectrul j(e )X ω , estedecimat cu un factor M. Care este valoarea spectrului la 1 0 /(6 )F F M= ?

Rezolvare:

Frecvenţa normată după eşantionare este1 1 12T FTω π= Ω = (7.1)

iar după decimare se transformă în

1 1 3d M πω ω= = (7.2)

astfel încât spectrul dorit este:21

3 3

0

1 kMj j jM M

k

Y e X eM

π π π− −

=

=

∑ (7.3)

7.2. Se consideră sistemul următor:

x(n) y(n)↑5↓5 ( )jG e ω( )jG e ω ( )jH e ω

Figura 7.1.

unde răspunsurile în frecvenţă ale celor două filtre sunt/ 2( ) cos( / 2)j jH e eω ω ω−=

1, | | / 5( )

0, altfeljG e ω ω π<

=

(7.4)

Determinaţi răspunsul global în frecvenţă ( )jF e ω al acestui sistem.

Page 2: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 177

Rezolvare:

La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )jG e ω avem:

( ) ( ) ( ) ( )1

,5

0 ,

jj j j X e

X e X e G ealtfel

ωω ω ω

πω <= =

(7.5)

După decimarea cu 5:

( ) 52 1

jjX e X eω

ω =

(7.6)

După trecerea prin filtrul cu funcţia de transfer ( )jH e ω :

( ) ( ) ( ) ( )53 2 1

jj j j jX e X e H e X e H eω

ω ω ω ω = ⋅ = ⋅

(7.7)

După expandare:( ) ( ) ( ) ( )5 5

4 3 1j j j jX e X e X e H eω ω ω ω= = ⋅ (7.8)

Ieşirea sistemului va fi:

( ) ( ) ( ) ( )44

,5

0 ,

jj j j X e

Y e X e G ealtfel

ωω ω ω

πω <= =

(7.9)

Deci, răspunsul global în frecvenţă ( )jF e ω al acestui sistem este:

( ) ( )5 ,5

0 ,

jj H e

F ealtfel

ωω

πω <=

(7.10)

7.3. Fie structura din figura 2a) în care ( )H z este un sistem liniar cuparametri invariabili în timp cu configuraţia poli-zerouri prezentată în figura2b (zerourile sunt simple iar polul are ordinul M, cu M întreg, mai mare decâtunitatea).a) Determinaţi şi reprezentaţi ( )h n .b) Un al doilea sistem, prezentat în figura 2c, este folosit pentru a obţine ( )r n .

( )G z este şi el un sistem liniar cu parametri constanţi în timp. Poate fideterminat ( )G z astfel încât ( ) ( )y n r n= pentru orice intrare ( )x n ? DacăNU, explicaţi. Dacă DA, calculaţi ( )G z .

c) Depinde răspunsul de M? Explicaţi.

Page 3: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

178 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

a)

b)

c)

↓2

-1/2 1/2

pol de ordinul 1M >

( )x n ( )w n ( )y n( )H z

↓2 ( )G z( )x n ( )r n

Figura 2

Rezolvare:

a) Putem scrie imediat1 1 ( 2) 2 ( 2)1 1 1( ) 1 1 1

2 2 4M MH z z z z z z− − − − − − − = − + = −

(7.11)

deci1( ) ( 2) ( )4

h n n M n Mδ δ= − + − − (7.12)

b)

( ) ( )

( ) ( )

22 22

22 22

1 12 2

1 12 2

jjj j

jj j j

R e X e X e G e

X e G e X e G e

ω πωω ω

ω πωω ω

= + =

= +

(7.13)

( )2jjj 2 22

2 2j jj j 2 2 2 22 2

1 1e e e2 2

1 1e e e e2 2

Y W W

H X H X

ω πωω

ω π ω πω ω

− −

= + =

= +

(7.14)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j 2j j j j j j1e e e e e e e4

M MW H X X Xωω ω ω ω ω ω− − −= = − (7.15)

Page 4: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 179

Pentru orice ( )jeX ω trebuie să avem

( ) ( )2jjj j 2 22e e , e eG H G H

ω πωω ω

= =

(7.16)

echivalent cu2jj 2 22e eH H

ω πω −

=

(7.17)

Dar

( ) ( )j 2j 2 j1e 1 e e4

MH ωω ω − −− = −

(7.18)

şi( )2 2j -j 2

-2j2 2 2 21e 1 e e4

MH

ω π ω πω

− − −

= − (7.19)

Condiţia se poate realiza dacă şi numai dacă M este par.

7.4. Fie sistemul digital S1 din figura 3,( )x n ( )w n 1 ( )w n 1 ( )y n

2 ( )v n 2 ( )w n 2 ( )y n2 ( )z n( )x n

S1

S2

M↑ ( )jH e ω N↓

( )jG e ω N↓ M↑ ( )jH e ω

Figura 3în care

( )1, | |

0, | |

j MH e

M

ω

πω

π ω π

<= < <

(7.20)

a) Dacă ( ) ( )ax n x nT= , poate fi exprimat 1( )y n sub forma ( )aax bnT ?Presupunem că M N> . Exemplificaţi pentru 3M = şi 2N = .

b) Fie sistemul digital S2 în care

( )1, | |

0, | |

j NG e

N

ω

πω

π ω π

<= < <

(7.21)

Page 5: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

180 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Pentru ce tipuri de semnale ( )x n sunt echivalente S1 şi S2?c) Repetaţi pentru M N< . Exemplificaţi pentru 2M = şi 3N = .

Rezolvare:

a) Desenând spectrele observăm că nu avem aliere pentru căπN < N < M

Mπ ↔ (7.22)

şi

1( ) aNTy n Mx nM

=

(7.23)

b) Nu avem aliere.Dacă

( ) ( )j j2 e eV Xω ω= (7.24)

atunci( ) ( )1 2y t y t= (7.25)

dacă

( )je 0,XN

ω πω= > (7.26)

c) Avem aliere.

7.5. Sistemele din figura 4 realizează decimarea cu factorul 2.

h(n)↓ 2x(n) y1(n)

h2(n) ↓ 2

x(n) y2(n)

h3(n)

h1(n) ↓ 2

Figura 4

Page 6: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 181

Funcţia pondere ( )h n este dată de:, 0,3

( ) , 1,20, în rest

a nh n b n

== =

(7.27)

a) Scrieţi ecuaţiile cu diferenţe finite.b) Determinaţi 1( )h n , 2 ( )h n , 3( )h n cu suportul în intervalul [0, 2] astfel încât

cele două structuri să fie echivalente.c) Determinaţi complexitatea aritmetică în cele două situaţii pentru obţinerea

unui eşantion la ieşire.

Rezolvare:

Se observă că3

10

( ) (2 ) ( ) ( ) (2( )) ( ) (2 2 )k k

y n x n h n h k x n k h k x n k∞

=−∞ =

= ∗ = − = −∑ ∑ . (7.28)

Deci:1( ) (0) (2 ) (1) (2 2) (2) (2 4) (3) (2 6)y n h x n h x n h x n h x n= + − + − + − (7.29)

Pentru structura de jos:2 2

2 20 0

( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) (2 )k k

u n h k x n k u n h k x n k= =

= − ⇒ = −∑ ∑ (7.30)

2 2 2(2 ) (0) (2 ) (1) (2 1) (2) (2 2)u n h x n h x n h x n= + − + − (7.31)Pentru k ∈Z ,

2 2 2(2 2 ) (0) (2 2 ) (1) (2 2 1) (2) (2 2 2)u n k h x n k h x n k h x n k− = − + − − + − − (7.32)2 2

1 10 0

( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) (2 )k k

v n h k x n k v n h k x n k= =

= − ⇒ = −∑ ∑ (7.33)

1 1 1(2 ) (0) (2 ) (1) (2 1) (2) (2 2)v n h x n h x n h x n= + − + − (7.34)2

2 3 30

( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 2 )k

y n v n u n h n v n h k u n k=

= + ∗ = + −∑ (7.35)

Dacă notăm ultimul termen dintre cei doi ai sumei precedente cu u1(n) şifolosind expresia pentru u(2n-2k), k=0…3, se obţine:

Page 7: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

182 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

2

1 30

3 3 3

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3 2 3 2

( ) ( ) (2 2 )

(0) (2 ) (1) (2 2) (2) (2 4)(0) (0) (2 ) (0) (1) (2 1) (0) (2) (2 2)

(1) (0) (2 2) (1) (1) (2 3) (1) (2) (2 4)(2) (0) (2 4) (2) (1)

ku n h k u n k

h u n h u n h u nh h x n h h x n h h x n

h h x n h h x n h h x nh h x n h h

=

= − =

= + − + − =

= + − + − +

+ − + − + − +

+ − +

3 2(2 5) (2) (2) (2 6)x n h h x n− + −

(7.36)

Se obţine:2 1 3 2 1 3 2

1 3 2 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3

( ) ( (0) (0) (0)) (2 ) ( (0) (0) (1)) (2 1) ( (2) (0) (2) (1) (0)) (2 2) (1) (1) (2 3)

( (1) (2) (2) (0)) (2 4) (2) (1) (2 5) (2

y n h h h x n h h h x nh h h h h x n h h x n

h h h h x n h h x nh

= + + + − +

+ + + − + − ++ + − + − +

+ 2) (2) (2 6)h x n −

(7.37)

Soluţia imediată este:1 2 3[ ,0, ]; [ ,0, ]; [0,0,1];h b a h a b h= = = (7.38)

Într-adevăr:1( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)u n x n h n bx n ax n= ∗ = + − (7.39)

(2 ) (2 ) (2 2)u n bx n ax n= + − (7.40)2( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)v n x n h n ax n bx n= ∗ = + − (7.41)

(2 ) (2 ) (2 2)v n ax n bx n= + − (7.42)1( ) ( 2) (2 ) (2 4) (2 4) (2 6)u n n u n u n bx n ax nδ= − ∗ = − = − + − (7.43)

2 1

1

( ) ( ) (2 ) (2 ) (2 2) (2 4) (2 6)( )

y n u n v n ax n bx n bx n ax ny n

= + = + − + − + − ==

(7.44)

Am determinat la capitolul de structuri de filtre numerice complexitateatrecerii printr-un FIR de lungime N ca fiind, pentru un eşantion la ieşire:

- N–1 celule de întârziere şi sumatoare;- N multiplicatoare;Pentru sistemul de sus: unui eşantion de la ieşire îi corespunde un

eşantion de la intrarea în filtrul ( )h n şi- 3 / 2M întârzieri,- 3 / 2M adunări şi- 4 / 2 2M M= multiplicatoare.Pentru sistemul de jos, pentru un eşantion la ieşire, avem în paralel:- 2 2 2 / 2 5M M M M+ + = întârzieri,- 1 2 1M M M+ + = + adunări şi- 2 2 4M M M+ = multiplicatoare.

Page 8: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 183

7.6. Fie0( ) ( )cos(2 / )kh n h n kn Lπ= (7.45)

a) Stabiliţi dacă următoarele două sisteme sunt echivalente (dacă0 1( ) ( )y n y n= ):

hkx(n) y0(n) h0x(n) y1(n)

cos(2 / )kn LπFigura 7.5a.

b) Stabiliţi dacă următoarele două sisteme sunt echivalente (dacă0 1( ) ( )y n y n= ):

hkx(n) y0(n) h0x(n) y1(n)

cos(2 / )kn Lπ

↑L ↑L

Figura 7.5b.

Rezolvare:

a) Pentru primul sistem, se poate scrie:

0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos2k kl l

kly n x h n x n l h l x n l h lL

π∞ ∞

=−∞ =−∞

= ∗ = − = −∑ ∑ (7.46)

Pentru al doilea sistem:

1 0 0( ) cos2 ( )( ) cos2 ( ) ( )l

kn kny n x h n x n l h lL L

π π∞

=−∞

= ∗ = −∑ (7.47)

Comparând cele două rezultate, observăm că funcţia cosinus este primaoară în interiorul sumei şi a doua oară în afara ei. Putem deduce uşor că, îngeneral, cele două expresii nu sunt egale, deci cele două sisteme nu suntechivalente.

În figura 7.5c am reprezentat pentru nişte spectre arbitrare comportareasistemelor de la punctul a).

Page 9: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

184 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Figura 7.5c

b) Vom nota pentru ambele sisteme ieşirile expandoarelor ca fiind u(n).

,( )

0,in rest

nx n pLu n L

= =

(7.48)

0( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k kl

k kl pl pL

y n u h n u l h n l

lx h n l x p h n pLL

=−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞=

= ∗ = − =

= − = −

∑ ∑(7.49)

Ţinem cont de expresia lui hk(n) şi scriem mai departe:

Page 10: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 185

0 0

0 0

( )( ) ( ) ( )cos 2

( ) ( )cos 2 2 cos2 ( ) ( )

p

p p

k n pLy n x p h n pLL

kn knx p h n pL kp x p h n pLL L

π

π π π

=−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

− = − =

= − − = −

∑ ∑(7.50)

Pentru al doilea sistem:

1 0 0 0( ) cos2 ( )( ) cos2 ( ) ( ) ( )p

kn kny n u h n x p h n pL y nL L

π π∞

=−∞

= ∗ = − =∑ (7.51)

Cele două sisteme sunt echivalente aşa cum se observă şi în figură.

Figura 7.5d.

Page 11: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

186 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

7.7. Să se studieze posibilitatea întârzierii unui semnal discret cu o valoaresT aT= , unde sT este perioada de eşantionare, iar a este un număr raţional.

Frecvenţa de eşantionare este 100sF kHz= şi 0.025T ms= . Banda semnaluluianalizat este 0.35 sB F= .

Rezolvare:

Se modifică în mod corespunzător rata de eşantionare a semnalului, astfelîncât întârzierea cerută să fie egală cu un număr întreg de perioade deeşantionare.

ST aT= ⇒ 2.5Sa T F= ⋅ = (7.52)Numărul a nu este un număr întreg şi de aceea trebuie schimbată rata

de eşantionare astfel încât întârzierea cerută să fie un multiplu al noii perioadede eşantionare.Modificarea cea mai simplă este 2S SF F′ = ; atunci:

' 0.005 ST ms= ⇒ ' '' 5S S ST aT a T T= = = (7.53)Schema circuitului este următoarea:

↑ 2 FTJ 5z− ↓ 2( )x n ( )y n

Figura 7.6.

FTJ trebuie să aibă frecvenţa de tăiere normată:2πω = .

7.8. Ne propunem să realizăm o modificare a ratei de eşantionare cu un factorarbitrar r. S-a văzut că dacă r poate fi exprimat ca raport a două numere întregi,atunci teoretic, schimbarea ratei de eşantionare este posibilă printr-o interpolareşi o decimare (modificare fracţionară a ratei de eşantionare). Există aplicaţii încare este foarte dificil şi nu neapărat necesar să realizăm o schemă de conversieexactă a frecvenţei de eşantionare.

De exemplu, dacă se doreşte o conversie de forma I/D, cu D mare (deexemplu I/D=1023/511); utilizând o implementare polifazică, va fi necesar unnumăr foarte mare de subfiltre, deci memorie multă. De aceea, este utilă ometodă care să realizeze în mod aproximativ conversia frecvenţei deeşantionare.

Pentru ( )x n dorim conversia ratei de eşantionare cu r. Putem scrie

Page 12: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 187

1 k= +r I

β (7.54)

unde k, I sunt numere naturale iar β sunt numere pozitive ce satisfac1 1 10 k k +< < , < <I I r I

β (7.55)

În aproximarea de primul ordin se realizează mai întâi interpolarea cu I,apoi se selectează din eşantioanele semnalului interpolat, distanţate în timp cu

xT I , cele mai apropiate, în timp, de poziţia dorită.Pentru realizarea filtrului de interpolare folosim o structură polifazică cu

I subfiltre.a) Pentru r=2,2 calculaţi parametrii k,I şi β .b) Dacă ( )x n are spectrul constant în intervalul [ ], ,x x xω ω ω π− < , cu

amplitudinea A, arătaţi că puterea totală a semnalului este dată de2

xs

A=P ωπ

Eroarea normalizată între poziţia, în timp, a eşantioanelor reale şi cele doriteeste mt cu proprietatea

0.5m| |t I

≤ (7.56)

c) Arătaţi că puterea erorii totale satisface relaţia

12π

32x

e 2AP

Iω≤ (7.57)

d) Arătaţi că raportul semnal - distorsiune (raportul puterilor definite maiînainte) este

112

RSD2

s2

e x

P I=P ω

≥ (7.58)

e) Dacă banda semnalului este cuprinsă între –0.8π şi 0.8π să se determinenumărul de subfiltre necesare pentru a obţine un raport semnal distorsiune de50 dB.

Rezolvare:

a) k=2, I=6.b) Folosind teorema lui Parseval

1 ( dω2π

x

x

22 x

s-

A= | X ) =|Pω

ω

ωωπ∫ (7.59)

c) Eroarea în timp are drept efect o eroare în frecvenţă

Page 13: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

188 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

( ) ( ) j ( )j j je e e e mtX X ω τω ωτ ω −− (7.60)Putem utiliza aproximaţia

j j j j

j j

1-e e e e(1 cos jsin ) je e

m m( - ) -t t

m m m

- = ( )== - +t t t

ωτ ω τ ωτ ω

ωτ ωτω ω ω≈(7.61)

dar0.5

m| |t I≤ (7.62)

deci

j j j

2

1 1( ) ( ) d ( )je e2π 2π

1 0.5 d2π 12

x x

m

x x

x

x

2( - )ts m

- -

32x222

-

= | X - X | X || e tP

A=A I I

ω ωωτ ω τ ωτ

ω ω

ω

ω

ω ω ω ω ω

ωωωπ

≈ ≤

∫ ∫

∫(7.63)

d) Folosind relaţiile anterioare12 2

s2 2

e x

P I=RSDP ω

≥ (7.64)

e) 510 230

12xI ω≈ ≈ subfiltre.

7.9. Dezavantajul aproximaţiei de ordinul I, folosită în problema anterioară,este numărul mare de subfiltre ce se obţin pentru o anumită distorsiune.

Aproximarea de ordinul II se bazează pe relaţia( ) (1- ) ( ) ( )m m1 2y m = m + my yα α (7.65)

în care0 1m m m= I , tα α≤ ≤ (7.66)

iar y1(m) şi y2(m) sunt eşantioanele obţinute după interpolarea cu I, cele maiapropiate în timp de eşantionul dorit (primul anterior, al doilea posterior)calculate folosind subfiltrele de ordinul i şi i-1. Avem o singură excepţie: cândi=I-1. In acest caz folosim filtrul de ordinul I-1 pentru y1(m) iar pentru y2(m)folosim subfiltrul de ordinul 0. a) Arătaţi ca puterea erorii totale satisface relaţia

80π

52x

e 4AP

Iω≤ (7.67)

b) Arătaţi că raportul semnal-distorsiune este4

4

80s2

e x

P I=RSDP ω

≥ (7.68)

Page 14: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 189

c) Dacă banda semnalului este cuprinsă între -0.8π şi 0.8π să se determinenumărul de filtre necesare pentru a obţine un raport semnal distorsiune de 50dB.

Rezolvare:

a) Putem utiliza aproximaţiaj j

j j j 1

j

j

(1- )e e(1-e e e(1- )(cos jsin )e

[cos 1 ) jsin (1 )]e

m m

m m

(t- ) ( - +1/I)t tm m

- (- + /T)t tm m

m m m

m m

+ I =It t= ) + =a= - +t t

+ ( /I - + /I -t t

ω ω τ

ωτ ω ω

ωτ

ωτ

α

ω ωαω ω

(7.69)

darj j j

j

j

1e e e[1 (1 )cos cos (1 )]e

j[(1 )sin sin (1 )]

(1 )e

m m( - ) (t- +1/I)t tm m

m m m m

m m m m

m2m 2

- ( - ) - == - - - /I - +t a t

+ - - /I -t t

-I

ωτ ω τ ω

ωτ

ωτ

α αω ωα

ω ωα ααω α

(7.70)

şi1(1 )4m m-α α ≤ (7.71)

decij j j j 1

2j j

1 (e ) [ (1 ) ] de e e2π

1 1 0.25(e ) (1 d d2π 2π 80π

x

m m

x

x x

x x

2 2( - ) ( - + /It ts m m

-

2 52m x2 42

m 2 4- -

= | X | - - -| |P

AX - ) =e A II I

ωω ωτ ω τ ω τ

ω

ω ωω ωτ

ω ω

ωα α

α ωω ωω α ω

≈ ≤

∫ ∫(7.72)

b) Folosind relaţiile anterioare80 4

s4

e x

P IP ω

≥ (7.73)

c) 510 15

80xI ω≈ ≈ subfiltre.

Page 15: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

190 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

7.10. Dintr-un semnal având lărgimea de bandă Fm=20 kHz, eşantionat cufrecvenţa Nyquist, se separă componentele cu frecvenţe sub Fm1=1KHz cuajutorul unui FTJ având banda de trecere de 900 Hz şi o bandă de tranziţie de100 Hz. Semnalul obţinut se decimează cu factorul de decimare maxim.a) Studiaţi diferitele variante de realizare ale acestei operaţii ştiind că filtrul va

trebui să aibă o ondulaţie în banda de trecere de 0.01 şi în banda de oprire de0.001.

b) Care este ordinul filtrului dacă folosim un singur filtru RFI (deci şi o singurădecimare)?

c) Care este suma ordinelor filtrelor dacă folosim mai multe filtre şi un numărcorespunzător de decimări? Exemplificaţi pentru două şi trei filtre.

d) Care este influenţa celor două sau trei rate de decimare asupra lungimiicumulate a filtrelor? Se va folosi metoda Remez in mediul Matlab.

Rezolvare:

Frecvenţa de eşantionare iniţială este Fs=2Fm=40 kHz. Factorul dedecimare M se alege astfel încât decimarea să nu conducă la aliere

m1ππ

s

2 FMT

≤ (7.74)

Rezultă M=20. Decimarea cu M=20 se poate realiza într-un singur etaj,sau în mai multe trepte succesive, pornind de la diferitele descompuneri înfactori ale lui M.

Să considerăm mai întâi cazul când decimarea este realizată într-osingură treaptă.

Folosind următoarele linii de program putem determina ordinul şifuncţia de transfer a FTJ:

[n,f0,m0,w]=remezord([900 1000],[1 0],[0.01 0.001],40000);b=remez(n,f0,m0,w)

Obţinem n=1017. Ordinul filtrului este foarte mare. Vom realizadecimarea în etape. Pentru aceasta se procedează în felul următor:

- Se descompune M în factori

1

P

ii

M M=

= ∏ (7.75)

- Se utilizează P trepte de decimare, cu factorii M1,…,MP, fiecare din eleconţinând decimatorul elementar şi filtrul trece jos;

Page 16: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 191

- Se stabilesc parametrii globali ai schemei: frecvenţa de eşantionare laintrare Fs0, lărgimea de bandă a semnalului util, care reprezintă deci lărgimeabenzii de trecere a filtrului, Fp=Fm, şi limita benzii de tranziţie, aşa încât să nu

apară aliere, 0

2s

oFFM

= ;

- Se determină parametrii filtrelor decimatoarelor. Pentru decimatorul i ,având factorul iM , frecvenţa de eşantionare la intrare 1iF − , iar la ieşire iF ,rezultă următoarele specificaţii pentru filtru:

-banda de trecere:0 pF F≤ ≤ (7.76)

-banda de tranziţie:p i oF F F F≤ ≤ − (7.77)

-banda de oprire:1

2i

i oFF F F −− ≤ ≤ (7.78)

O variantă mai economică de proiectare, ce admite un oarecare grad dealiere în domeniul de frecvenţe ce nu prezintă interes, utilizează frecvenţa Fp înloc de Fo în expresiile de mai sus ale benzilor de tranziţie şi de oprire.

Rămân de determinat ondulaţiile acceptate în benzile de trecere şi deoprire. Să notăm cu pδ ondulaţia globală admisă în banda de trecere şi cu piδondulaţia corespunzătoare filtrului din structura decimatorului i. Câştigul fiindpresupus unitar, rezultă că

( )( ) ( )1 2 11 1 1 .... 1 1 ....p p p pP p pPδ δ δ δ δ δ± = ± ± ± ≅ ± ± ± (7.79)deci se pot alege ondulaţiile filtrelor din condiţia

1 2 ....p p p pPδ δ δ δ= + + + (7.80)In ceea ce priveşte ondulaţia în banda de oprire, deoarece benzile de

atenuare ale filtrelor nu se suprapun în totalitate, o soluţie acoperitoare este catoate filtrele să aibă o ondulaţie egală cu cea globală. In problema de faţă, vomanaliza mai multe variante.

Cazul 1: M=2*10 (o decimare cu 2, urmată de una cu 10);Folosim următoarele secvenţe în Matlab

[n,f0,m0,w]=remezord([900 19100],[1 0],[0.005 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.005 0.001],20000);

Se obţin: n1=1 şi n2=276.Cum programul remez nu poate sintetiza filtre cu ordin mai mic decât 3,

se va lua pentru primul filtru ordinul 3.

Page 17: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

192 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Cazul 2: M=10*2;Folosim următoarele secvenţe în Matlab

[n,f0,m0,w]=remezord([900 3100],[1 0],[0.005 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.005 0.001],4000);Se obţin: n1=50 şi n2=55.

Cazul 3: M=4*5;Folosim următoarele secvenţe în Matlab[n,f0,m0,w]=remezord([900 9100],[1 0],[0.005 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.005 0.001],10000);Se obţin: n1=12 şi n2=138.

Cazul 4: M=5*4;Folosim următoarele secvenţe în Matlab[n,f0,m0,w]=remezord([900 7100],[1 0],[0.005 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.005 0.001],8000);Se obţin: n1=17 şi n2=111.

Cazul 5: M=2*2*5;Folosim următoarele secvenţe în Matlab[n,f0,m0,w]=remezord([900 19100],[1 0],[0.003 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 9100],[1 0],[0.003 0.001],20000)[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.003 0.001],10000);Se obţin: n1=2, n2=3 şi n3=146.Din acelaşi motiv ca în cazul 1 se va lua n1=3.

Cazul 6: M=2*5*2;Folosim următoarele secvenţe în Matlab[n,f0,m0,w]=remezord([900 19100],[1 0],[0.003 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 3100],[1 0],[0.003 0.001],20000)[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.003 0.001],4000);Se obţin: n1=2, n2=26 şi n3=58.Evident, se va lua n1=3.

Cazul 7: M=5*2*2;Folosim următoarele secvenţe în Matlab[n,f0,m0,w]=remezord([900 7100],[1 0],[0.003 0.001],40000);[n,f0,m0,w]=remezord([900 3100],[1 0],[0.003 0.001],8000)[n,f0,m0,w]=remezord([900 1100],[1 0],[0.003 0.001],4000);Se obţin: n1=18, n2=8 şi n3=58.

Page 18: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 193

7.11. Un semnal de joasă frecvenţă cu lărgimea de bandă utilă FM=6 kHz esteeşantionat cu Fs1=25 kHz. Să se realizeze modificarea frecvenţei de eşantionarela Fs2=15 kHz şi să se proiecteze filtrul necesar acestei modificări a ratei deeşantionare. Ondulaţiile caracteristicii amplitudine-frecvenţă a filtrului, atât înbandă de trecere cât şi în banda de oprire, vor fi 0,01.δ =Se va folosi mediul Matlab.

Rezolvare:

Va trebui realizată o interpolare cu L=3 şi apoi o decimare cu M=5. Vor finecesare teoretic două filtre: unul după interpolatorul elementar, pentrueliminarea spectrelor imagine, iar al doilea, înaintea decimatorului elementar,având drept scop eliminarea posibilităţii de apariţie a alierii.

Primul filtru, de tip trece jos, are câştigul G=L=3. Teoretic, el ar trebui săfie un filtru trece-jos ideal, lucrând la frecvenţa de eşantionare 3 75v sF F= =

kHz, şi având o frecvenţă de tăiere este normată '3tvπω = .

Al doilea filtru, ar trebui să fie de asemenea un filtru trece jos ideal, cu

frecvenţa de tăiere normată ''5tvπω = şi câştig unitar . Evident, se va utiliza un

singur filtru, având frecvenţa de tăiere minimă, ''5tv tvπω ω= = şi câştigul 3.

In realizarea practică, trebuie avut în vedere că filtrele nu sunt ideale, ciau o anumită bandă de tranziţie, care va trebui precizată în proiectare. Vor trebuideci stabilite frecvenţa limită superioară a benzii de trecere pvω şi frecvenţalimită inferioară a benzii de oprire ovω . Pentru ca filtrarea să nu afectezesemnalul util, vom alege

1

2 2, M M Mpv Mv Mv

s

f FL L LF

ω π πω ω ω= = = = (7.81)

Frecvenţa limită inferioară a benzii de oprire poate fi aleasă

5ov tvπω ω= = .

Pentru proiectarea filtrului vom utiliza algoritmul Remez. Programul Matlabcare permite stabilirea ordinului filtrului necesită frecvenţele în formanenormată. Acestea sunt

1 6kHz2 2 2

pv M Mp v v s MF F F F F

Lω ω ω

π π π= = = = = (7.82)

Page 19: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

194 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

7,5kHz2

ovo vF Fω

π= = (7.83)

Linia de comandă în Matlab pentru stabilirea ordinului este

[n,f0,m0,w]=remezord([6000 7500],[1 0],[0.01 0.01],75000)Obţinem n=97, după care se calculează coeficienţii filtrului cu

h=remez([n,f0,m0,w]).

În final, aceştia se înmulţesc cu 3 pentru obţinerea câştigului impus.Se poate face şi o proiectare mai economică, având drept rezultat un

filtru cu ordin mai mic. Pentru aceasta se porneşte de la observaţia că înspectrul final, zona cuprinsă între

2 2 22 ,M M Mv MMML

π ω π ω ω ω ω≤ ≤ − = = (7.84)

oricum nu conţine componente spectrale. In consecinţă, se poate lărgi limita

inferioară a benzii de oprire până la 22 2' Mov MvM M

π ω πω ω−= = − . Se verifică

uşor că nici în domeniul2 2

v Mv MvM M Lπ π πω ω ω≤ ≤ − ≤ − (7.85)

nu există componente în spectrul semnalului obţinut după decimare, aşa încât sepoate lua

' 9kHz2

ovo vF Fω

π= = (7.86)

Reluând calculul cu această nouă valoare, se obţine un ordin de 49.Cum era de aşteptat, lărgirea benzii de tranziţie conduce la simplificareastructurii filtrului.

7.12. Funcţia de pondere a unui filtru este de forma0 pentru 0 n 15

[ ]0 , in rest

nh , h n =

≠ ≤ ≤

(7.87)

a) Determinaţi componentele polifazice pentru o descompunere în filtre delungimi egale.

b) Determinaţi caracteristicile de frecventă ale componentelor polifazice.

Page 20: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 195

Rezolvare:

Filtrul este de lungime 16. Se obţin componente polifazice de aceiaşilungime, dacă numărul de faze este un divizor al lungimii, deci în cazul de faţăpentru 4 faze.

Putem scrie15 3

4

0 0

( ) ( )n kn k

n k

H z h z z H z− −

= =

= =∑ ∑ (7.88)

1 2 30 0 4 8 12( )H z h h z h z h z− − −= + + + (7.89)

1 2 31 1 5 9 13( )H z h h z h z h z− − −= + + + (7.90)

1 2 32 2 6 10 14( )H z h h z h z h z− − −= + + + (7.91)

1 2 33 3 7 11 13( )H z h h z h z h z− − −= + + + (7.92)

Probleme propuse

7.13. Sistemul următor reprezintă un interpolator cu 2. Se consideră filtrultrece jos ideal cu frecvenţa de tăiere / 2tω π= şi câştigul egal cu 2.

x(n) y(n)↑2 z(n)FTJ

Figura 1Determinaţi şi reprezentaţi ( )y n şi ( )z n precum şi spectrele acestora pentruurmătoarele semnale de intrare:a) ( ) cos( / 4)x n nπ= .b) ( ) cos(3 / 4)x n nπ= .c) ( ) ( )x n nδ= .d) 0n .e) ( ) sinc(3 / 4)x n nπ= .

7.14. Sistemul următor reprezintă un decimator cu 2. Se consideră filtrultrece jos ideal cu frecvenţa de tăiere / 2tω π= şi câştigul egal cu 1.

x(n) y(n)↓2 z(n)FTJ

Figura 2

Page 21: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

196 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

Determinaţi şi reprezentaţi ( )y n şi ( )z n precum şi spectrele acestora pentruurmătoarele semnale de intrare:a) ( ) cos( / 4)x n nπ= .b) ( ) cos(3 / 4)x n nπ= .c) ( ) ( )x n nδ= .d) ( ) sinc( /8)x n nπ= .e) ( ) sinc(3 / 4)x n nπ= .

7.15. Fie sistemul din figura 2,

CNA2↓CAN

T 'T

( )cx t ( )x n ( )y n ( )cy n

Figura 2

în care ( )cx t are transformata Fourier de forma( ) 0, | | 200cX πΩ = Ω > (7.93)

Cum trebuie ales 'T astfel încât( ) ( )c cx t y t= (7.94)

7.16. Fie secvenţa ( )x n a cărei transformată Fourier are forma| |1 , | |

( )0, în rest

MjMX e ω

ω ω ωω

− ≤=

(7.95)

a) Reprezentaţi ( )jsX e ω şi ( )j

dX e ω pentru 3M = şi / 4Mω π= , unde( )

( )în rests

x n , n = Mk, k = 0, 1, 2,...x n =

0, ± ±

(7.96)

şi ( ) ( ) ( )d sx n = x Mn = x Mn (7.97)b) Care este valoarea maximă a lui Mω pentru a evita alierea când 3M = ?

7.17. Fie semnalul ( )x n cu transformata Fourier

Page 22: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 197

1, | |( )

0, în restMjX e ω ω ω<

=

(7.98)

în care 4Mπω = .

a) Construim semnalul( ), par

( )0, impars

x n nx n

n

=

(7.99)

Calculaţi transformata Fourier a semnalului ( )sx n . Poate fi reconstruit corect( )x t din ( )sx n ? Cum?

b) Decimaţi semnalul ( )x n cu factorul 2M = . Calculaţi transformata Fourier asemnalului obţinut şi reprezentaţi spectrul. Se pierde informaţie prindecimare?

7.18. Fie semnalul analogic ( )ax t de bandă limitată:( ) 0, | | 200aX πΩ = Ω > (7.100)

a) Care este perioada de eşantionare T astfel încât spectrul semnalului numericsă fie:

( ) 0, | |2

jX e ω π ω π= < ≤ (7.101)

b) Semnalul numeric obţinut este decimat. Să se determine factorul de decimaremaxim pentru a nu obţine aliere.

7.19. Secvenţa ( )s n este obţinută prin filtrarea semnalului ( )as t cu un FTJ cufrecvenţa de tăiere 5cf kHz= şi eşantionat cu frecvenţa de 20kHz ca în figură.

H(jΩ) ↓ Μsa(t) v(t) w(n)

T

CANs(n)

a) Reprezentaţi spectrele semnalelor din figură dacă 3M = .b) Determinaţi M maxim astfel încât să nu apară aliere.

7.20. Fie sistemul din figură:

Page 23: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

198 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

CAN ↑ Lxa(t) x(n) v(n)

T

H(ejω)w(n)

CNA

T’=T/L

ya(t)

(-1)n

y(n)

Dacă ( )aX jΩ este de bandă limitată ca în figură

Xa(jΩ)

−Ω0 Ω0 Ω

iar filtrul are funcţia de transfer:

1, | |( )

0,

j LH e

L

ω

πω

π ω π

≤= < ≤

(7.102)

Reprezentaţi spectrele semnalelor ( )x n , ( )v n , ( )w n , ( )y n şi ( )ay t pentru3L = .

7.21. Este posibil ca sistemele din figura 10 să fie echivalente?

M↓

( )ωjeH

torautocorela

torautocorela ( )ωjeGM↓

( )x n 1 ( )x n 2 ( )x n 1( )nφ

2 ( )nφ 3 ( )nφ 4 ( )nφ

/ Lπ− / Lπ

( )x n

S1

S2

Fig. 10Dacă DA, determinaţi ( )jωeG .

Page 24: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 199

7.22. Se consideră sistemul următor format dintr-un expandor urmat de undecimator elementar. Determinaţi o relaţie între ( )y n şi ( )x n .

x(n) y(n)↑4 ↓4

7.23. Se consideră sistemul următor unde filtrul trece jos are frecvenţa detăiere /3tω π= :

x(n) y(n)↑3 ↓2FTJ

a) Calculaţi ( )jY e ω în funcţie de ( )jX e ω .b) Reprezentaţi grafic ( )jY e ω dacă ( )jX e ω este ca în figură:

( )jX e ω

ω−π π

1

c) Calculaţi numărul de înmulţiri necesare pentru ieşirea ( )y n . Se presupunecă filtrul trece-jos are lungimea N şi nu are proprietăţi de simetrie. (Nu sevor socoti înmulţirile cu 0. Decimatorul nu foloseşte toate eşantioanele dela ieşirea filtrului).

7.24. Se consideră sistemul discret din figură:

x(n) y(n)↑2↓2z(n)

( )jH e ω( )jH e ω

Unde spectrul semnalului ( )x n este reprezentat mai jos:

( )jX e ω

ω−π π

1

Page 25: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

200 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

a) Calculaţi şi reprezentaţi ( )jZ e ω şi ( )jY e ω dacă1, | | / 2

( )0, / 2

jH e ω ω ππ ω π

<= ≤ <

(7.103)

b) Calculaţi şi reprezentaţi ( )jZ e ω şi ( )jY e ω dacă0, | | / 2

( )1, / 2

jH e ω ω ππ ω π

<= ≤ <

(7.104)

7.25. Semnalul discret ( )x n are TFTD:

00

| |1 , | |( )

0, în rest

jX e ω

ω ω ωω

− ≤=

(7.105)

Un nou semnal ( )s n este obţinut din ( )x n printr-o metodă de reeşantionareneuniformă care păstrează o pereche de eşantioane şi introduce o pereche dezerouri ca în modelul următor:

[ ](0), (0),0,0, (4), (4),0,0, (8), (8), Tx x x x x x=s … (7.106)Ecuaţia pentru ( )s n este:

( ), 4( ) ( 1), 4 1

0, altfel

x n n ms n x n n m

== − = +

(7.107)

a) Stabiliţi dacă sistemul din figură permite obţinerea lui ( )s n din ( )x n .Determinaţi L, M şi expresiile funcţiei pondere ( )h n şi ale lui ( )y n şi

( )z n .

h(n)x(n) s(n)↑L↓My(n) z(n)

b) Reprezentaţi ( )jS e ω pentru 0 4πω = .

c) Determinaţi frecvenţa maximă 0ω care permite refacerea lui ( )x n din( )s n ?

7.26. Pentru sistemul din figură avem

Page 26: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 201

CAN ↑ 2xa(t) x(n)

T

H(ejω) ↓ 2y(n)

( ) 0, | |aX jTπ

Ω = Ω ≥ , | |

4( )0,

4

j

je

H e

ω

ω

πω

π ω π

− ≤= < ≤

(7.108)

Determinaţi ( )y n în funcţie de ( )ax t .

7.27. Fie schema pentru schimbarea fracţionară a ratei de eşantionare dinfigură:

↑ 2x(n)

↓ 3y(n)

1 ( )H z 2 ( )H z

1( )H z şi 2 ( )H z sunt FTJ cu frecvenţele de tăiere 1 / 4ω π= şi 2 2 /3ω π= .a) Realizaţi o schemă echivalentă utilizând echivalenţele pentru circuitele

multirată în care să se folosească doar unul din filtrele 1( )H z sau 2 ( )H z .b) Determinaţi frecvenţa maximă a semnalului de intrare astfel ca să nu apară

distorsionarea semnalului util.c) Reprezentaţi spectrele semnalelor din diversele puncte ale schemei.

7.28. Fie schema pentru schimbarea fracţionară a ratei de eşantionare dinfigură:

↑ 3x(n)

2 ( )H z↓ 2y(n)

1 ( )H z

1( )H z şi 2 ( )H z sunt FTJ cu frecvenţele de tăiere 1 2 /5ω π= şi 2 / 3ω π= .a) Realizaţi o schemă echivalentă utilizând echivalenţele pentru circuitele

multirată în care să se folosească doar unul din filtrele 1( )H z sau 2 ( )H z .b) Determinaţi frecvenţa maximă a semnalului de intrare astfel ca să nu apară

distorsionarea semnalului util.c) Reprezentaţi spectrele semnalelor din diversele puncte ale schemelor.

7.29. Se consideră filtrul descris de ecuaţia cu diferenţe finite:

Page 27: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

202 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

[ ]( ) 0.25 ( 1) 2 ( ) ( 1)y n x n x n x n= + + + − (7.109)a) Determinaţi răspunsul în frecvenţă ( )jH e ω al filtrului.b) Reprezentaţi modulul şi argumentul lui ( )jH e ω .Se consideră acum sistemul următor:

x(n) y(n)↑4↓4 ( )jG e ω( )jG e ω ( )jH e ω

unde ( )jH e ω este filtrul determinat mai sus, iar ( )jG e ω este un filtru trece josideal cu frecvenţa de tăiere / 4tω π= şi câştigul egal cu 1.c) Determinaţi răspunsul global în frecvenţă ( )jF e ω al acestui sistem.d) Reprezentaţi modulul şi argumentul lui ( )jF e ω .e) Discutaţi posibilele avantaje ale utilizării acestui sistem în loc de a

implementa direct un filtru digital cu funcţia de transfer ( )jF e ω .

7.30. Se consideră sistemul următor, unde spectrul semnalului de intrare estereprezentat mai jos. 1( )jH e ω este un filtru trece jos ideal cu frecvenţa de tăiere

/3tω π= şi câştig unitar în banda de trecere, iar 2 ( )jH e ω este un filtru trecejos ideal cu frecvenţa de tăiere /100tω π= şi câştig 100 în banda de trecere.Reprezentaţi TFTD ( )jY e ω a ieşirii.

( )jX e ω

ω−π π

1

/100−π /100π

x(n) y(n)↑100↓100 1( )jH e ω2 ( )jH e ω

7.31. Fie semnalul multiplexat în timp:

1

2

,pentru 22

( )1 ,pentru 2 1

2

nx n ky n

nx n k

= = − = +

(7.110)

Page 28: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 203

a) Indicaţi o schemă prin care se generează ( )y n pornind de la cele douăsemnale 1( )x n şi 2 ( )x n .

b) Indicaţi o schemă prin care pornind de la ( )y n să se reconstituie 1( )x n şi2 ( )x n .

7.32. Semnalele analogice 1( )x t şi 2 ( )x t care au spectrele:

X1(jΩ)

-FM FM

X2(jΩ)

-FM FM

sunt aplicate schemei:CAN

FS=2FM↑ 2

x1(t)

y(n)

FTJ

↑ 2 FTSx2(t) CAN

FS=2FM

Filtrele au frecvenţa de tăiere normată 2tπω = .

a) Reprezentaţi spectrul lui ( )y n . Ce tip de semnal este?b) Indicaţi o schemă pentru refacerea semnalelor 1( )x t şi 2 ( )x t din ( )y n .

7.33. Fie sistemul de analiză / sinteză prezentat în figura 13.

FTJ, ( )0jH e ω 2↓

0 ( )r n 0 ( )x n

2↑ FTJ, ( )0jH e ω

0 ( )g n

0 ( )y n

( )x n

FTS, ( )1jH e ω 2↓

1( )r n 1( )x n

2↑ FTS, ( )1jH e ω

1( )g n 1( )y n

( )y n

Fig. 13a

Page 29: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

204 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

în care

1

−2π

( )0jH e ω

ππ− ω

A

( )jX e ω

ππ− ω

Fig. 13bÎntre funcţiile de transfer ale filtrelor există relaţia

( ) ( )( )1 0

j jH e H eω ω π+= (7.111)

a) Dacă ( )jX e ω şi ( )0jH e ω sunt cele din figura 13b, reprezentaţi: ( )0

jX e ω ,

( )0jG e ω şi ( )0

jY e ω .

b) Deduceţi o expresie generală a lui ( )0jG e ω în funcţie de ( )jX e ω şi

( )0jH e ω .

c) Determinaţi condiţiile pentru ( )0jH e ω astfel încât ( )y n să fie proporţional

cu ( )dx n n− pentru orice secvenţă de intrare ( )x n .

7.34. Fie secvenţa ( )x n reală cu proprietatea:

( ) 0, | |3

jX e ω π ω π= ≤ ≤ (7.112)

Un eşantion al acestei secvenţe, luat la momentul 0n este perturbat. Cum sepoate reconstrui sau aproxima eşantionul 0( )x n pentru următoarele cazuri:a) Valoarea 0n este cunoscută.b) Valoarea 0n este necunoscută dar pară.c) Valoarea 0n este necunoscută.

7.35. In figura 15a

Page 30: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 205

2↓

CNA

MODULATOR 1( )x n 1( )x n

' /T T L=

( )y n ( )y t

1 ( )y n

1z−

2↓ MODULATOR 22 ( )x n 2 ( )y n

Fig. 15asemnalul de intrare este de forma

1

2

pentru par2

( )1 pentru impar

2

nx nx n

nx n

=

(7.113)

Presupunem că semnalele 1( )x n şi 2 ( )x n au fost obţinute prin eşantionarea fărăaliere cu frecvenţa 2 NΩ din semnalele continue 1( )x t şi 2 ( )x n ce au frecventămaximă NΩ .a) Desenaţi un sistem de obţinere a semnalului ( )x n din 1( )x t şi 2 ( )x n .

Verificaţi dacă sistemul obţinut este liniar, invariant în timp.b) Structura modulatoarelor k, unde 1,2k = , este dată în figura 15b

↑ L ( )1jH e ω

FTJ( )kx n

( )jkH e ω

( )ky n

cos( )k nω

FTS

Fig. 15bFiltrul trece jos ( )1

jH e ω este identic pentru amândouă modulatoarele şi are

frecvenţa de ieşire / Lπ . Filtrul trece sus ( )jkH e ω are frecvenţa de tăiere kω .

Amplitudinea în banda de trecere este unitară pentru toate filtrele.Legătura dintre 1ω şi 2ω este dată de

2 1 2 1, ,2L L

π π πω ω ω π ω= + + ≤ > (7.114)

Determinaţi 1ω şi L astfel încât banda lui ( )y t să fie5 52 10 | | 2 10 2 Nπ π≤ Ω ≤ + Ω (7.115)

Particularizaţi pentru 42 10Nω π= .c) Dacă

Page 31: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

206 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

A A

( )Ωj1oH

( )Ωj2oH

NΩ− NΩ− NΩΩ Ω

Fig. 15creprezentaţi spectrele tuturor semnalelor ce apar în schemă.d) Este posibilă generalizarea schemei cu N modulatoare?

7.36. In practică filtrele pentru evitarea fenomenului de aliere nu sunt ideale.Neidealitatea filtrelor se poate parţial compensa prin folosirea unor filtrenumerice aplicate secvenţei x[n] de la ieşirea CAN.Fie sistemele din figura 16a

( )txc

( )txc

( )ΩjidealH( )txa

CAN[ ]nx

CAN

( )twa [ ]nw

T

( )ΩjaaH ( )ωjeH( )twa

Fig. 16aîn care filtrele ce evită alierea sunt prezentate în figura 16b

−Tπ

−Tπ

( )ωjideal eH ( )ωjeaaH

11

ω ω

Fig. 16b

Page 32: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 207

Filtrul ( )jH e ω este folosit pentru a compensa caracteristica neideală a lui

( )jaaH e ω .

Determinaţi ( )jH e ω astfel încât pentru cele două sisteme să avem ( ) ( )w n x n= .

7.37. Fie sistemul următor în care:1 1 2 2( ) cos(2 ) cos(2 )x t A Ft A F tπ π= + (7.116)

cu 1/ 10SF T kHz= = , 1 2F kHz= , 2 2F kHz= .

CAN ↓ Mxa(t)

T

CNA

T’=T.M

ya(t)

Să se calculeze ( )y t în ipotezele:a) M este decimator elementar cu 2M = .b) M este un decimator complet (filtru + decimator elementar) cu 2M = .

7.38. Secvenţa ( )x n este obţinută prin eşantionarea unui semnal analogic cuperioada T. Din acest semnal se obţine secvenţa

, par2

( )1 1 1 , par2 2 2

nx ny n

n nx x n

=

− + +

(7.117)

a) Desenaţi schema unui sistem numeric care să realizeze această operaţie.b) Determinaţi spectrul lui ( )y n dacă spectrul lui ( )x n este:

1, 0 | | 0.1( )

0, în restjX e ω ω π≤ ≤

=

(7.118)

c) Determinaţi spectrul lui ( )y n dacă spectrul lui ( )x n este:1, 0.6 | | 0.8

( )0, în rest

jX e ω ω π≤ ≤=

(7.119)

7.39. Se dă sistemul din figură:

Page 33: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

208 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

x(t) yD(n)

exp( / 3)j n− π

↓3x(n) y(n)

1 sec3000sT =

unde ( )x t este un semnal continuu cu spectrul reprezentat mai jos:

f (Hz)500 1000

X(f)

a) Reprezentaţi ( )jX e ω pentru 4 4π ω π− ≤ ≤ .b) Reprezentaţi ( )jY e ω pentru 4 4π ω π− ≤ ≤ .c) Reprezentaţi ( )j

DY e ω pentru 4 4π ω π− ≤ ≤ .d) Care este rata de eşantionare a lui ( )Dy n ?e) Apare fenomenul de aliere în sistemul dat? De ce?

7.40. Un semnal analogic ( )x t , de bandă limitată în gama 900 1100F Hz< < ,este folosit ca intrare pentru sistemul din figura de mai jos. ( )jH e ω este un filtruideal trece jos cu frecvenţa de tăiere 125cF Hz= . Se cunosc

1/ 2500s xF T Hz= = şi 0 0.4f = .

CAN ↓ 10x(t) x(n) v(n)

Tx

H(ejω)w(n)

Ty

cos2πf0n

y(n)

a) Determinaţi şi reprezentaţi spectrele semnalelor ( )x n , ( )v n , ( )w n şi ( )y n .b) Demonstraţi că sistemul de mai sus este echivalent cu sistemul următor:

x(t) y(n)

Ty

CAN

7.41. Se consideră semnalul supraeşantionat al cărui spectru ( )jX e ω estereprezentat în figura de mai jos:

Page 34: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 209

( )jX e ω

ωπ

1

/ 3−π2 / 3− π−π / 3π 2 / 3πa) Proiectaţi un sistem de schimbare a ratei de eşantionare a semnalului ( )x n

astfel ca ieşirea ( )y n a sistemului să aiba rata de eşantionare minimă caresă permită refacerea lui ( )x n . Desenaţi schema bloc a sistemului şireprezentaţi spectrele semnalelor în fiecare punct al schemei.

b) Proiectaţi un al doilea sistem cu intrarea ( )y n şi ieşirea ( )z n care să fiefolosit la refacerea lui ( )x n (adică ( ) ( )z n x n= ). Desenaţi schema bloc asistemului şi reprezentaţi spectrele semnalelor în fiecare punct al schemei.

7.42. Fie semnalul discret cu transformata Fourier din figura 25a

ω

( )ωjeX

π− πω∆+ω0ω∆−ω0

Fig. 25a

Dorim să detaliem spectrul din domeniul ( )0 0,ω ω ω ω− ∆ + ∆ , (operaţienumită zoom). Pentru aceasta se utilizează schema din figura 25b.

][kX N ][nx

0-je ωn

FTJ M↓ PTFD

][1 nx ][2 nx ][2 kX

NTFDI

Fig. 25b

Se presupune că se cunoaşte transformata Fourier discretă în N puncte

[ ]2j

e , 0,1,..., 1k

NNX k X k N

π = = −

(7.120)

şi se doreşte detalierea zonei precizate mai sus în L puncte, deci la frecvenţele:

Page 35: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

210 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

02 , 0,1,..., 1k k k L

Lωω ω ω ∆

= − ∆ + = − (7.121)

FTJ este un filtru trece jos cu lărgimea benzii de trecere de ω∆ . Deoarecetransformata Fourier discretă în P puncte necesită P eşantioane, dacă numărulde eşantioane disponibile în secvenţa x2[n] este mai mic, va fi necesară oprelungire cu zerouri a acestei secvenţe.

a) Fiind daţi 0 ,3 4π πω ω= ∆ = , determinaţi valoarea maximă a lui M,

presupunând filtrul ideal. Desenaţi spectrele semnalelor x1[n], x2[n]. Cât esteL, dacă P=N=512?

b) Având în vedere că în realitate filtrul trece jos are o bandă de tranziţie finităse reduce M cu o unitate faţă de cea calculată la punctul a). În acestecondiţii precizaţi parametrii filtrului (banda de trecere, banda de tranziţie)şi proiectaţi-l cu metoda Remez, pentru o ondulaţie maximă de 0,01, atâtîn banda de trecere cât şi în banda de oprire. Cât este L, dacă P=N=512?

c) Implementaţi în MATLAB un asemenea sistem, pentru secvenţa obţinutăprin eşantionarea sumei a trei sinusoide de frecvenţe apropiate:

[ ] sin(0,495 ) sin(0,5 ) sin(0,505 ), 0,...511x n n n n nπ π π= + + = (7.122)Se impun 0256, 0,5 , 0,25P ω π ω π= = ∆ =

0 6f π

= şi 3

f π∆ = (7.123)

Determinaţi frecvenţa de tăiere a filtrului trece jos şi factorul de decimare Dpentru a nu fi afecată informaţia în banda specificată.

d) Reluaţi punctul c), pentru secvenţa

( )p-1

k=0

[ ] 1 cos 2π2 kkx n = - f np

∑ (7.124)

unde p=40, , 0,1,..., 1kkf k pp

= = − , N=1024 puncte pentru x[n].

7.43. Se modulează în amplitudine o purtătoare de frecvenţă 0 450F kHz= cuun semnal modulator sinusoidal ( )mx t de frecvenţă 4.5mF kHz= .a) Semnalul obţinut este eşantionat cu 1.8sF MHz= . Reprezentaţi spectrulsemnalului eşantionat.b) Semnalul discret este aplicat unui decimator elementar cu factorul dedecimare 100M = . Reprezentaţi spectrul obţinut şi stabiliţi relaţia dintre acestsemnal şi semnalul modulator.c) Comparaţi rezultatul cu ceea ce s-ar fi obţinut, dacă s-ar fi eşantionat directsemnalul modulat cu frecvenţa 18sF kHz= (subeşantionare).

Page 36: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

Capitolul 7 – Sisteme multirată 211

d) Simulaţi toate operaţiile în mediul MATLAB. Utilizaţi procedurile specificepentru modulatoare şi demodulatoare ale mediului MATLAB.

7.44. Reluaţi problema precedentă pentru cazul modulării în amplitudine cubandă laterală unică.

7.45. Un semnal sinusoidal cu frecvenţa f0 este aplicat unui CAN, lucrând cuB+1=8 biţi. Frecvenţa de eşantionare 160 kHz. Semnalul discret astfel obţinuteste aplicat unui circuit de decimare cu 16.Se cer rapoartele semnal-zgomot de cuantizare înainte şi după decimare.Cu câţi biţi ar trebui să lucreze circuitul de decimare şi cele ce urmează după elpentru a beneficia în mod efectiv de creşterea raportului semnal / zgomot decuantizare?

7.46. Fie filtrul digital cu funcţia de transfer5-1( )=(1- )H z z (7.125)

a) Realizaţi descompuneri polifazice ale lui H(z) în filtre de lungime 2 şi înfiltre de lungime 3.b) Reprezentaţi caracteristicile amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă pentrutoate filtrele.

7.47. Realizaţi structuri bifazice pentru filtrele având următoarele funcţii detransfer.

a) -1

1( )= , -1< <11-

H z rrz

b) 1,21 11 2

1( )= , -1< <1,(1- )(1- )

H z rr z r z− −

c) -1 2 2( )= , -1< <11-2 cosθ +

0HH z rr z r z−

7.48. Filtrul unui decimator cu M este ideal, cu faza liniară şi timp de întârzierede grup τ . Se realizează acest filtru utilizând M filtre polifazice.Se cer:

Page 37: CAPITOLUL 7. SISTEME MULTIRATĂCapitolul 7 – Sisteme multirată 177 Rezolvare: La ieşirea primului sistem cu funcţia de transfer ( )Gejω avem: 1, 5 0 , j Xe Xe GejjjXe altfel

212 Prelucrarea numerică a semnalelor – Probleme

a) Arătaţi că aceste filtre sunt de tip trece tot.b) Exprimaţi caracteristicile de fază ale filtrelor corespunzătoare.

7.49. Un interpolator utilizează un filtru cu fază liniară, cu N=21. Reprezentaţidiferite variante de realizare a interpolatorului. Evaluaţi în fiecare cazcomplexitatea aritmetică (numărul de înmulţiri şi de adunări pentru un eşantionobţinut la ieşire). Se vor lua atât filtre polifazice de tipul 1 cât şi de tipul 2.

7.50. Un decimator utilizează un filtru cu fază liniară cu N=15. Reprezentaţidiferitele variante de realizare a decimatorului (cu un singur filtru, cu filtrepolifazice de tip 1 şi 2, toate posibilităţile). Evaluaţi în fiecare caz complexitateaaritmetică.