1

2. CONVOLUTIA

2.1 Suma de convolutie. Raspunsul sistemelordiscrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0

10

0

k

x n n x n

, n kn k

, n k

x k , n kx n n k

, n k

x n n k x k n k

x n x k n k∞

=−∞

⋅δ = ⋅δ

=⎧δ − = ⎨ ≠⎩

⎧ =⋅δ − = ⎨

≠⎩⋅δ − = ⋅δ −

= ⋅δ −∑

2

Raspunsul sistemelor discrete liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ]{ }

[ ] [ ] [ ]

d dk

dk

k d

kk

y n S x n S x k n k

x k S n k

h n S n k

y n x k h n

∞

=−∞∞

=−∞

∞

=−∞

⎧ ⎫= = ⋅δ − =⎨ ⎬

⎩ ⎭

= ⋅ δ −

= δ −

= ⋅

∑

∑

∑

Suma de convolutie

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

x n h n h n x n

∞

=−∞= ⋅ − =

= ∗ = ∗

∑

3

Convolutia a doua semnale de duratefinite N1 si N2 este convergenta si de durata N1+ N2-1.

( )[ ] [ ] [ ]knykxnyxk

−=∗ ∑∞

−∞=

4

2.1. Conditia de cauzalitate a unui sistem discret

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

0

0 , 0 ,

k kn

k

h n n h n h n n n Z

y n x n k h k x n k h k

x k h n k

∞ ∞

=−∞ =

=−∞

≡ < ⇔ = ⋅σ ∀ ∈

= − = − =

= −

∑ ∑

∑

Daca atat semnalul de intrare cat si sistemul sunt cauzale atunci sisemnalul de iesire este cauzal.

2.1.2 Conditia de BIBO stabilitate a sistemelor discrete,

liniare si invariante intimp

Daca semnalul de intrare este marginit atunci si raspunsultrebuie sa fie marginit.

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] 1

k=-

conditie suficienta

k k

k

x n M , n Z

y n x k h n k x k h n k

M h k

y n h k h n l

∞ ∞

=−∞ =−∞∞

=−∞∞

∞

≤ ∀ ∈

≤ − ≤ − ≤

≤ ⋅

< ∞ ⇒ < ∞ ∈

∑ ∑

∑

∑

5

Necesitatea conditiei[ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

( )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

1

kl=-

1

0 0

0 0

0 , conditie necesara,

a.i.

k k

k k

k k

M , x n sgn h n

y x k h k sgn h k h k

a a sgn a

y h k y h k

y h k , h n l

K n h n K

∞ ∞

=−∞ =−∞

→−∞ ∞

=−∞ =−∞∞

∞

= = −

= ⋅ − = − −

= ⋅

= − ⇒ =

< ∞ ⇒ < ∞ ∈

∃ ∀ <

∑ ∑

∑ ∑

∑

Un exemplu[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0

0

- cauzal, - acumulator

1 1

Acumulatorul este instabil.

n

kn

kn

k

h n n ,

y n x k

x n y n x k

x n n y n n

=−∞

=

=

= σ

=

=

= σ ⇒ = = +

∑

∑

∑

6

2.1.3 Cateva proprietati ale convolutiei si semnificatia lorδ[n] este element neutru pentru convolutie.

h[n] raspunsul sistemului la impulsul unitar.

Sistemul pentru care h[n]=δ[n] este unul de identitate.

Sistemul pentru care h[n]=δ[n-n0] este unul de intarziere.

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]00

00

00

11011

nnx...nnxnnxnnx...

knnkxnnnxk

−=+−δ⋅+−+

+δ⋅−+δ⋅−−=

=−−δ⋅=−δ∗ ∑∞

−∞=

7

Asociativitatea convolutiei. Conectarea in cascada (serie) a

sistemelor liniare si invariante in timp discret

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]nhnhnh

nhnhnxnhnhnxny

e 21

2121∗=

∗∗=∗∗=

Prin conectarea in cascada a 2 sisteme stabile se obtinetot un sistem stabil.

[ ] [ ] ( )[ ] 121

12

11 lnhhlnh,lnh ∈∗⇒∈∈

Suma de convolutie este comutativa.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnhnhnhe 1221 ∗=∗=

La conectarea in cascada nu conteaza ordinea.

[ ]nx [ ]nh1

[ ]nx1

[ ]nh2[ ]ny

[ ]nx [ ]nh2

[ ]nx2

[ ]nh1[ ]ny

8

Sistemul invers

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]nnhnh

nhnh

δ=∗ 1

1

.identitate de sistemun obtine se cascadain lor conectareaprin daca impuls la raspunsulcu

sistemului inversul este impuls la raspunsulcu Sistemul

Distributivitatea convolutiei fatade adunare. Conectarea in

derivatie (paralel) a sistemelorliniare si invariante in timp discret

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]nhnhnh

knhkxnyknhknhkxnyny

knhkxnhnxnyknhkxnhnxny

e

ekk

kk

21

2121

222111

,

,

+=

−⋅=−+−=+

−⋅=∗=−⋅=∗=

∑∑

∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

9

2.2 Raspunsul unui sistem discret, liniar si invariant in timp la

treapta unitara, raspunsul indicial

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]∑

∑

=

−∞=

=

<≡−−=

=σ∗==σ=

n

k

n

k

khns

nnsnsnsnh

khnnhnsny,nnx

0

0pentru ,0 cauzal, este sistemul Daca1

2.3 Sisteme discrete cu raspunsfinit la impuls (FIR) si sistemediscrete cu raspuns infinit la

impuls (IIR)

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

=

−=−=

====≠

−=−

∑∑

∑ ∑

∞

−∞==

= =

restin , 0

0,

;

0 si 0 ca ipotezaIn

;

0

0 0

210

0 0

Mnab

nh

knxkhnyknxabny

a...aaa

knxbknya

n

k

M

k

k

N

N

k

M

kkk

FIR (Finite Impulse Response Systems).

-2 0 2 4 6 8 10

-2 0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

10

Sisteme IIR (Infinite Impulse Response Systems)

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

2

3

0.5 1

1 0;

0 0.5 1 0 1 0 1 0 0

1 0.5 0 1 0 1 0.5 1 1

2 0.5 1 2 0 2 0.5 2 2

3 0.5 2 3 0 3 0.5 3 3

0.5n

y n y n x n

y

y y x y y h

y y x y y h

y y x y y h

y y x y y h

h n n

− − =

− =

− − = = ⇒ = ⇒ =

− = = ⇒ = ⇒ =

− = = ⇒ = ⇒ =

− = = ⇒ = ⇒ =

= σ

2.4 Implementarea sistemelordiscrete liniare si invariante in

timp, caracterizate prin ecuatii cudiferente finite, liniare si cu

coeficienti constanti

[ ] [ ] [ ] [ ]11 1010 −+=−+ nxbnxbnyanya

11

2.4.1 Implementarea directa I

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]( )111

11

10

10

1010

−−=

−+=−+=−+

nyanza

ny

nxbnxbnznxbnxbnyanya

[ ] [ ] [ ] [ ]11 1010 −+=−+ nxbnxbnyanya

12

[ ] [ ] ; 0 0

∑ ∑= =

−=−N

k

M

kkk knxbknya

D

D

. .

. .

. .

D

. .

. .

. .

D

D

D

[ ]nx [ ]nz [ ]ny

[ ]1−nx

[ ]2−nx

[ ]Mnx −

[ ]1−ny

[ ]2−ny

[ ]Nny −

0b

1b

2b

Mb

1/a0

-aN

-aN-1

-a2

-a1

SUBSISTEMUL 1 SUBSISTEMUL 2

FIR – forma transversala

D D D

+

…[ ]nx [ ]1−nx [ ]2−nx [ ]Mnx −

[ ]ny0b 1b 2b 1−Mb Mb

13

Implementarea directa II[ ]nv

D D

0/1 a[ ]nx

1a−

[ ]1−nv [ ]1−nv

[ ]ny0b

1b

SUBSISTEMUL 2 SUBSISTEMUL 1

[ ]nv

D

0/1 a[ ]nx

1a−

[ ]1−nv

[ ]ny0b

1b

[ ]ny[ ]nv

D

0/1 a[ ]nx

1a−

0b

1b

D

2a− 2b

1−− Na 1−Nb

. .

. .. .

DNa− Nb

2.5 Produsul de convolutie. Raspunsul sistemelor continue,

liniare si invariante in timp la un semnal de intrare oarecare

(tratarea euristica)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; txtxktdirkxtxk

≅Δ−⋅ΔΔ= Δ

∞

−∞=∑

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ Δ<<Δ=Δ

restin 0

01

,

t,tdir

t

( )tx

( )tx

0 Δ-Δ

[ ]0x[ ]Δx

14

Un sir reprezentativ pentrudistributia Dirac

( ) ( )

( ) ( )ttdirlim

baba,ba,

dttdir,

t,tdirb

a

δ=

⎩⎨⎧

<<<<<<

=⎪⎩

⎪⎨⎧ Δ<<Δ=

Δ→Δ

Δ→Δ

Δ ∫

0

0

0sau 0001

lim restin 0

01

( ) ( ) ( ) ; Δ−⋅ΔΔ= Δ

∞

−∞=∑ ktdirkxtx

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

{ } { }τ=Δτ=Δ

=

=

ΔΔ−Δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ΔΔ−Δ=

→Δ→Δ

→Δ

∞

−∞=ΔΔ

∞

−∞=∑∑

dlimklimxlimSxSlimS

tytylim

ktdirSkxktdirkxStykk

00

0

continuu operator -

15

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ } ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−δτ=δ∗=

ττ−δτ==

∗=ττ−τ=

τ−=τ−δ=δ=

ττ=

=τ−δ

ττ−δτ=ΔΔ−Δ=

∫

∫

∫

∫

∑ ∫

∞

∞−

∞

∞−→Δ

∞

∞−

τ

τ

∞

∞−

τ

∞

−∞=

∞

∞−Δ

→Δ

→Δ

τ→Δ

dtxttxtx

,dtxtxtxlim

thtxdthxty

thtSthtSth

dthxty

thtS

dtSxktdirSkxlimty

k

kk

00

0

in timpinvariant este sistemul Dacasistemului al impuls la raspunsul

2.5.1 Produsul de convolutie intrefunctii

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )tfgtgf

dtfgdtgftgf

Ltg,tf loc

∗=∗

ττ−τ=ττ−τ=∗

∈

∫∫∞

∞−

Δ∞

∞−

Δ

a.p.t. comutativa este convolutie de Operatia

1

16

Conditii de convergenta a convolutiei

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ∞<=

⋅≤∗

∈∗

=∗

∗→∈

∫

∫ ∫∫

∞

∞−

∞

∞

∞

∞−

∞

∞−

dttff

L

gfgfLgf

dvvgduufdttgf

tgfCR:g,f;Lf,g

1

1111

1-

1

: formulacu calculeaza se in Norma

iii) ii)

i)

:si a.p.t. exista atunci Daca 1.

( )( )

( )( )

2

2 1

2

1

2. Daca , ; : atunci exista, este marginita si continua, avand proprietatea de distributivitate.3. Daca si ; : atunci exista si este

din .4. Daca si este o

f g L f,g R C f g t

f L g L f,g R C f g t

Lf L g

∈ → ∗

∈ ∈ → ∗

∈

( )( )functie marginita pe R, ;

: atunci exista, este marginita si continua pe R.

g M

f,g R C f g t

<

→ ∗

17

( )( )

1

1

5. Daca , , : ,dar una are suportul compact

(de exemplu ) atunci exista si este din , dar nu are,in general, suportul compact. Numai daca ambele functii au suportul compact, co

loc

loc

f g L f,g R C I

f f g t L

∈ →

∗

( )( )

( )

1

1

nvolutia are suport compact.6. Daca , , : , [0, ) , atunci

exista si este din , a.p.t. Suportul convolutiei este inclus in ,supp .

loc

loc

f g L f,g A R A f g t

L Af g A

∈ → ⊂ ∞ ∗

∗ ⊂

Exemple

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

2

1

12

- 0 01

1

2

1 1i) : , , deoarece1

2 2 1

0 1

Convolutia exista a.p.t., dar nu pentru 0.

t u

f R R f t f Ltt

duf t dt f t dt f Lu

g f f g L

df f f f d

t

∗

∞ ∞ ∞=

∞

∞ ∞

−∞ −∞

→ = ⋅ ∈+

= = < ∞ ⇒ ∈+

= ⇒ ∗ ∈

τ∗ = τ −τ τ = → ∞

τ τ +

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

18

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) .0 ,0 ,

; ,

; ,

; ,0

;0 ,0.cu deplaseaza Se

teconstruies Se si Fie ii)

21

21211

212

02

21

1

2

2

=∗=−+>

−+==∗+≤≤

==∗≤≤

==∗≤<

=−<

−=−−=−−=

∫

∫

∫

−

−

tgftgfTTt

tTTdtgfTTtT

TdtgfTtT

tdtgfTt

tgfttggg

TtttgTtttf

T

Tt

t

Tt

t

ττ

τ

τ

τ

τττ

ττσσσσ

(

(

Suportul convolutiei este T1+T2 sumasuporturilor celor doua semnale.

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( );TtTtTt

Ttgf

;tftg

;TtTttf

Ltgf

t,Tt,tTtT,T

TTtT,tTTTTt,

tgf

−σ−+σ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∗

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +σ=

∈∗

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<≤≤≤+≤≤−+

+>

=∗

1

22 iii)

000

0

2

2

122

21121

21

19

( )

( ) ( )( )

( )( )

.Tta

Tta

aln

tgf

Lgf

;atatg

TtTttf

Tt

Tt

t

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +σ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∗

∈∗

<<σ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −σ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +σ=

−

+

21

21

11

infinit.suport are

10 ,

; 22

iv)

2

2

2

( )( ) ( ) ( )

( ).ttt,t,t

dtt

σ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<≥

=

=ττ−στσ=σ∗σ ∫∞

∞−

000

v)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )∫∫∞−∞−

ττ=ττδ=

=σ=σ∗δ==∗=

tt

dxd

tttthtxty

Raspunsul la impuls al unui integrator este σ(t).

0

1( )tσ

tt

( )trt

0

20

Asociativitatea convolutiei

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

).[0,in inclusa inchisa,multime osuport drept au trei toatesi din sunt si 3)

compact;suport au ele dintre doua si din sunt si )2

din sunt si 1)

:daca

:asociativa este Convolutia

1

1

1

∞

∗∗=∗∗

loc

loc

Lhf, g

Lhf, g

;Lhf, g

thtgtfthtgtf

2.5.2 Produsul de convolutie intre o distributie si o functie.

Convolutia ca operatie de regularizare a unei distributii

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( );t,tt

.t',ftt

tttt,f

tttt

t,ftgft

f

ϕ=τϕτ−δ=ϕ∗δ

τ−ϕτ=ψ

→Δ

τ−ϕ−τ−Δ+ϕτ=

Δψ−Δ+ψ

τ−ϕτ=∗=ψ

ψϕ

':obtine se 0Δ cand limita la rePrin trece

: functia este test functiacuieidistribuitconvolutia definitiePrin

21

Efectul de regularizare al distributiei f (asociata unei functiidiscontinue) prin convolutie.

{ } .fSfS

ff

ϕϕ∗=ϕ

ϕ∗→ϕ

test functia fiar oricare incat astfel , unica edistributi o aintotdeaun exista , , in timp

invariant sicontinuu liniar,operator oricepentru Reciproc, ii)in timp.invariant sicontinuu liniar,operator

unesteaplicatiafixata, adistributiPentru i)

Teorema de reprezentare a sistemelor continue liniare si invariante in timp

22

2.5.3 Convolutia distributiilorProdusul direct al distributiilor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )00 noteaza mai Se

000tExemplu

:adistributi

noteaza se si si ilor distributi aldirect produsul defineste Se

,,t,,t,t,t

,,t,t,t,,t,t,

,,t,tf,g,t,g,tf,t,gtfgf

gf

.ddt,ttfg

dtd,tgtfdtd,tgtf,t,gtf

ϕ=τϕτδ

τδ×δ=τδ

ϕ=ϕδ=τϕτδδ=τϕτδ×δ

ϕ∀τϕτ=τϕτ=τϕτ×

×

τ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τϕτ=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ττϕτ=ττϕτ=τϕτ

∫∫

∫∫∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

Convolutia distributiilor( )( ) compact. estenu functiei Suportul

, vu

vu,gf,gf+ϕ

ϕ∀+ϕ×=ϕ∗

23

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ϕ∀+ϕα×=ϕ∗

>∀=αα−

∞→

:defineste se si ilor distributi convolutia 1

ca eaproprietatcu functii desir - compacta;plan din regiune

,vuv,u,vguflim,gfgf

,KNn,v,uv,u

K

nn

n

n

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )vu'v

vu,,'gf

vu,v'g,ufvu',vg,uf

vu',vg,uft',gf,'gf

,fff

,fu,uflim

vuv,u,v,uflim

vuv,u,vguflim,f

v

vv

nn

nn

nn

+ϕ=∂+ϕ∂

ϕ∗=

=+ϕ=+ϕ−=

=+ϕ−=ϕ−∗=ϕ∗

=∗δ=δ∗

ϕ=ϕα=

=+ϕαδ=

=+ϕα×=ϕδ∗

∞→

∞→

∞→

notatiacu

eidistributi iconvolutie Derivata ii)

0

i)Exemple

24

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

'f'fgfgfgf

'gfg'f'gf

,,g'fvu,vg,u'f

'vu,vg,uf

vu',vg,uf,'gf

kkk

u

u

u

=δ∗∗=∗=∗

∗=∗=∗

ϕ∗=+ϕ=

=+ϕ−=

=+ϕ−=ϕ∗

:ca demonstra poate se inductiePrin

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).ttttttt

,ttftttf,ttftttf

Rt,ttttgtftgtttfttgttf

k kkk

2121

00

2121

2121

eparticular Cazuri ,

in timpTranslatia iii)

−−δ=−δ∗−δ

−=−δ∗−=−δ∗

∈∀−−∗==∗−−=−∗−

∑ ∑

25

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

iv) Asociativitatea convolutiei distributiilor1, ',

1 ' 1'0 0

1 ' 1 '

1 1 1 0

;In general, convolutia distributiilor nu este asociativa.Regula de as

f g hf g h

f g h

f g h f g h

= = δ = σ

∗ ∗ = ∗δ ∗σ = ∗δ ∗σ =

= ∗σ =

∗ ∗ = ∗ δ ∗σ = ∗ δ∗σ =

∗ δ∗δ = ∗δ = ≠

∗ ∗ ≠ ∗ ∗

ociativitate pentru trei factorise poate aplica numai daca:1) cel putin doi factori au suport compact,2) toti trei factorii au suportul de forma [0, ).∞

Efectul de regularizare al convolutiei distributiilor

Teorema 2.2Pentru orice distributie f exista un sir {φn} de functii test astfel incat φn→ f pentru n →∞.

Acest sir poate fi obtinut prin convolutia distributiei f cu un sir de functii test {ψn}: ϕn = ψn∗ f

Conform proprietatii de regularizare a operatiei de convolutie elementele sirului {φn} sunt regularizate.

Deci distributia f reprezinta limita slaba a sirului {φn} de regularizate ale ei (ψn→δ cand n →∞, f=f∗δ).

26

Teorema de reprezentareTeorema 2.3.

( )0

Orice distributie este limita unei combinatii liniare

de distributii Dirac: .

Aceasta teorema sta la baza modelarii microscopice a semnalelor electrice.Cu ajutorul acestei teoreme poate fi

m

k kk

a t t=

⋅ δ −∑

generalizata teorema de modelare a sistemelor liniare si invariante in timp prin operatori de convolutie la cazul distributiilor.

Modelarea sistemelor liniare si invariante in timp prin operatori

de convolutieTeorema 2.4.

{ }.S

fSf

S

δ

∗=cu egala si unica este edistributi Aceasta

incat astfel adistributi existaca inseamna Asta .convolutie tipde estedaca numai si daca i translatilainvariant si

siruriprin continuu liniar,esteoperator Un

27

Raspunsul indicial al unui sistemliniar si invariant in timp

( ) ( ){ } ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

.

' ' '

;

" " .

s t S t h t

s h h h h

x t t t y t S t t h t t

y t h t t t h t h t

= σ = ∗σ

= ∗σ = ∗σ = ∗δ =

= σ ⇒ = σ = ∗ σ

= ∗ σ = ∗δ =

2.5.4 Conditia ca un sistemcontinuu liniar si invariant in timp

sa fie cauzal( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ttyty

;dhtxdthx

dthxtxthty

ttxtx

dhtxdthxtxthty

,tththt,th

tt

t

t

σ=

τττ−=ττ−τ

=ττ−τ=∗=

σ⋅=

τττ−=ττ−τ=∗=

σ⋅=⇔<≡

∫∫

∫

∫∫∞

∞−

00

0

0

:obtine se cauzal, este intrare de semnalul si Daca

0 0

28

2.5.5 Conditia de BIBO stabilitatea sistemelor continue, liniare si

invariante in timp

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) .Lth

thMtydhM

dhtxty,Mtx

1

1

este suficienta conditie O

∈

≤⇔ττ⋅≤

≤τττ−=≤

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

Necesitatea conditiei

( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) necesara. deci este Conditia

0

1

1

Lth

thdhdhsgnh

dhsgnhdxhy

;thsgnthsgntx

∈

=ττ=τττ=

=ττ−τ=ττ−τ=

=−=

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

(

(

29

Un contraexemplu

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) marginit. este atunci limitata durata de este Daca

.nemarginit semnal ,1

marginit, este Semnalul

:cauzal este intrare de semnalul Daca

stabil.estenu ulIntegrator

0

0

1

tytx

tdty

ttx

;dxty

dxty;Ltth

t

t

t

=τ⋅=

σ=

ττ=

ττ=∉σ=

∫

∫

∫∞−

2.5.6 Semnificatia practica a proprietatilor produsului de

convolutie( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 1

2 1

2 1

2 1

2 1 1 2

;

;

,e

e

x t h t x t y t h t x t

h t h t x t

y t h t h t x t

h t h t x t h t x t

h t h t h t h t h t

= ∗ = ∗ =

= ∗ ∗

= ∗ ∗ =

∗ ∗ = ∗

= ∗ = ∗

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ).txty

.tthththth

=

δ=∗ ,identitate de sistemun este invers sidirect sistemelor a cascadain conectarea

prin obtinut Sistemul eaproprietat are care impuls la raspunsulcu sistemulesteimpulslaraspunsulcu sistemului Inversul

11

30

Conectarea in derivatie a sistemelor liniare si invariante in

timp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ththth;txthtxthth

txthtxthtytyty

e

e

21

21

2121

+=∗=∗+=

=∗+∗=+=

2.5.7 Raspunsul unui sistemcontinuu liniar si invariant in timp

la treapta unitate. Raspunsulindicial

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ).tht's

.thtth'ttht's

.dhtthtst

==δ∗

=σ∗=

ττ=σ∗= ∫∞−

( ) ( ) ( ) ( ) ττ=σ∗= ∫ dhtthtst

0

:relatiacu calculeazasecauzalsistemunuial indicial Raspunsul

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ττ=σ∗=

==δ∗=σ∗=

=σ∗=

ττ=σ∗=

∫

∫∞−

dhtthts

.tht's.thttht'th

'ttht's

.dhtthts

t

t

0

: atunci cauzal este sistemul Daca

31

2.5.8 Implementarea sistemelorcontinue, liniare si invariante in

timp caracterizate de ecuatiidiferentiale liniare, cu coeficienti

constanti

( ) ( ) 0 00

≠= ∑∑==

N

N

k k

k

k

N

k k

k

k adt

txdbdt

tyda

Forma directa II de implementarefolosind derivatoare.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2

0 0

0

1 11

1 1 22

1 1 2 11

0 1

0

,

.

.

.

... ...

; ,...

Integrand de ori ecuati

k k

k kN N

k k Nk kk k

t

t

t

k kk k

d y t d x ta b a

dt dty t y t

y t y t t y d

y t y t t t y d d

y t y t t y d d d d

x t x t x t x t t

N

−

= =

−∞

τ

−∞ −∞

τ τ τ

−−−∞ −∞ −∞ −∞

= ≠

=

= ∗σ = τ τ

= ∗σ ∗σ = τ τ τ

= ∗σ = τ τ τ τ τ

= = ∗σ

∑ ∑

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0 0

a diferentiala se obtine:

.N N

k kN k N kk k

a y t b x t− −= =

=∑ ∑Forma directa II de implementare folosindintegratoare

32

Exemple

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 1 2 2

2 1 0 0

,

;

, , 1, 1.

k kN N

k kk kk k

N N

k kN k N kk k

d y t d x ta b

dt dt

a y t b x t

LCy t RCy t y t x t

a LC a RC a b

= =

− −= =

=

=

+ + =

= = = =

∑ ∑

∑ ∑

i)

ii)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ).kTthth

,thtxkTthtxty

,hNTtx...hTtxhtxty

N

kk

N

kk

N

∑

∑

=

=

−δ=

∗=−δ∗=

−++−+=

0

0

10

Structura transversala.