Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal

Fluido ideal:

1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse

2. La densidad ρ es constante para todos los elementos de fluido y paratodos los tiempos.

3. La fuerza sobre un elemento de superficie nδS dentro del fluido es

pn δS,

donde p(x, y, z, t) es una funcion escalar denominada presion.

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Implicaciones de la condicion de incompresibilidad

El flujo (volumen por unidad de tiempo) a traves de un elemento desuperficie δS es

u · n δS.

El flujo neto a traves de una superficie cerrada S que rodea un volumen Vsera cero en el caso de un fluido incompresible∫

S

u · n dS =∫

V

∇ · u dV = 0.

Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido

∇ · u = 0

en todos los puntos del fluido.

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Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler

La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluidosera (tercera propiedad del fluido ideal)

−∫

S

pn δS = −∫

V

∇p dV,

Entonces, si ∇p es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debidaa la presion sera −∇p.

Si sobre el fluido actua la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), lafuerza total sobre una partıcula de fluido de volumen δV sera

(−∇p + ρg)δV.

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Esta fuerza sera igual a la masa de la partıcula de fluido (que se conserva)por su aceleracion

ρδVDuDt

.

Las ecuaciones del movimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones deEuler) seran

DuDt

= −1ρ∇p + g,

∇ · u = 0.

Tenemos una ecuacion vectorial (o tres ecuaciones escalares) y unaecuacion escalar, las incognitas son u, v, w, p.

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Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas

∂u

∂t+ (u · ∇)u = −1

ρ

∂p

∂x∂v

∂t+ (u · ∇)v = −1

ρ

∂p

∂y∂w

∂t+ (u · ∇)w = −1

ρ

∂p

∂zdonde

(u · ∇)f = u∂f

∂x+ v

∂f

∂y+ w

∂f

∂z

La ecuacion de continuidad es

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

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Ecuaciones de Euler en coordenadas cilındricas

∂ur

∂t+ (u · ∇)ur −

u2φ

r= −1

ρ

∂p

∂r∂uφ

∂t+ (u · ∇)uφ +

uruφ

r= − 1

ρr

∂p

∂φ∂uz

∂t+ (u · ∇)uz = −1

ρ

∂p

∂zdonde

(u · ∇)f = ur∂f

∂r+

uφ

r

∂f

∂φ+ uz

∂f

∂z

La ecuacion de continuidad es

1r

∂(rur)∂r

+1r

∂uφ

∂φ+

∂uz

∂z= 0

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Ecuaciones de Euler en coordenadas esfericas

∂ur

∂t+ (u · ∇)ur −

u2θ + u2

φ

r= −1

ρ

∂p

∂r

∂uθ

∂t+ (u · ∇)uθ +

uruθ

r−

u2φ cot θ

r= − 1

ρr

∂p

∂θ

∂uφ

∂t+ (u · ∇)uφ +

uruφ

r+

uθuφ cot θ

r= − 1

ρr sin θ

∂p

∂φ

donde

(u · ∇)f = ur∂f

∂r+

uθ

r

∂f

∂θ+

uφ

r sin θ

∂f

∂φ

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La ecuacion de continuidad es

1r2

∂(r2ur)∂r

+1

r sin θ

∂(uθ sin θ)∂θ

+1

r sin θ

∂uφ

∂φ= 0

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Teorema de Bernouilli

Como la fuerza gravitacional es conservativa podemos escribirla comogradiente de un potencial χ

g = −∇χ

(en este caso χ = gz.)

∂u∂t

+ (u · ∇)u = −∇(

p

ρ+ χ

).

Utilizando la igualdad

(u · ∇)u = (∇× u)× u +∇(

12u2

)9

y suponiendo que el flujo es estacionario podemos escribir

(∇× u)× u = −∇H

donde H = pρ + 1

2u2 + χ.

Multiplicando escalarmente por u tenemos

(u · ∇)H = 0,

por lo tanto en un flujo estacionario de un fluido ideal H es constante a lolargo de una lınea de corriente. Este es el denominado teorema de Bernouillipara lıneas de corriente.

Si ademas ∇× u = 0 (flujo irrotacional)

(∇× u)× u = 0 = −∇H

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es decir, en un flujo estacionario irrotacional de un fluido ideal H esconstante en todo el fluido. Este es el denominado teorema de Bernouillipara el flujo irrotacional.

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Ecuacion de la vorticidad

Teniendo en cuenta la definicion de la vorticidad, ω = ∇×u, la ecuacionde Euler se puede escribir como

∂u∂t

+ ω × u = −∇H,

y tomando el rotacional

∂ω

∂t+∇× (ω × u) = 0.

Esta ecuacion se puede escribir como

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω − (ω · ∇)u + ω∇ · u− u∇ · ω = 0

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teniendo en cuenta que ∇ · u = 0 y ∇ · ω = 0 (por ser la divergencia de unrotacional), tenemos

∂ω

∂t+ (u · ∇)ω = (ω · ∇)u,

o, alternativamente,Dω

Dt= (ω · ∇)u.

Esta es la ecuacion de la vorticidad.

Para un flujo bidimensional (ω · ∇)u = ω∂u∂z = 0, por lo tanto

Dω

Dt= 0.

En un flujo bidimensional de un fluido ideal sometido a una fuerza conser-vativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido se conserva.

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En el caso de un flujo estacionario

(u · ∇)ω = 0,

En un flujo bidimensional estacionario de un fluido ideal sometido a unafuerza conservativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido esconstante a lo largo de una lınea de corriente.

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Vorticidad y circulacion

Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a traves de unasuperficie es igual a la circulacion de la velocidad a lo largo del contorno dedicha superficie: ∫

v · dl =∫∇× v · dS =

∫ω · dS

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