Ejercicios Movimiento Armonico Simple

http://www.educa.aragob.es/iesfgcza/depart/depfiqui.htm I.E.S. Francisco Grande Covián Movimiento Armónico Simple mailto:[email protected] 26/09/2009 Física 2ªBachiller

mas08.doc Luis Ortiz de Orruño pg 1 de 30

Movimiento Armónico Simple

1.- La ecuación de un movimiento armónico es: x = 50sen(10t+5). Calcular el periodo. π/5 S

2.- Colocamos verticalmente un muelle de una longitud natural de 60 cm y lo sujetamos por un extre-mo. Cuando unimos una bola de 10 Kg al otro extremo, que queda por debajo, observamos un alargamiento de 5 cm. Provocamos pequeñas oscilaciones de la bola y medimos el período T. A continuación colocamos sobre una mesa horizontal, sin rozamientos el conjunto formado por la bola-muelle, fijamos el extremo libre y empujamos la bola que describe un movimiento circular uniforme de pe-ríodo 3T. Calcular: (Tomar g=10 m/s2) a) la constante recuperadora K del muelle. b) el valor del período T de las oscilaciones. c) el radio de la circunferencia que describe la bola. Rta: 2000 N/m ; 0,44 s ; 0,676 m S

3.- Un reloj de péndulo ajustado en un punto en el que la gravedad g = 9,6720 m/s2 se traslada a otro lu-gar en que g'= 9,8123 m/s2 . Cuanto atrasará o adelan-tará en un día ? (626,6 s/día) S

El Péndulo: http://www.walter-fendt.de/ph14s/pendulum_s.htm

4.- Un péndulo y un muelle elástico tienen perio-dos iguales en la superficie terrestre. ¿Cual seria la re-lación entre sus periodos en un planeta en el que los cuerpos pesan 8 veces mas que en la Tierra ? ( 8 en el péndulo, en el muelle 1)S

5.- Un cuerpo está vibrando con un movimiento armónico simple de amplitud 15 cm. y frecuencia de 4 c/s. Calcular el valor máximo de la velocidad. (1,2.π m/s) S

6.- La ecuación de un movimiento armónico es:

x= 10sen(10t + 2π ) Calcular su velocidad en t=0. (

v0=0 ) S

7.- Una partícula se mueve con movimiento armó-nico simple de amplitud 0,05 m. y período 12 s. Calcu-lar:

a) La velocidad máxima. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

12205,0 π

b) La aceleración máxima. 2

12205,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

c) Escribir los valores de les constantes A y ω en la ecuación x = A sen ωt que describe el movimiento.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ϕπ tx

122sen05,0 S

8.- Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 100 Hz y amplitud 3 mm. Calcular la velocidad en el centro y en los extremos de la trayectoria.(Barcelona Junio 97 COU) 0,6π ; 0 S

Muelle Oscilante: http://www.walter-fendt.de/ph14s/springpendulum_s.htm

9.- El bloque de la figura, de masa M = 1 kg, está apoyado sobre una mesa horizontal sin rozamiento y

unido a la pared fija mediante un resorte, también hori-zontal de constante elástica K = 36 N/m Estando el bloque en reposo en su posición de equili-brio, se le da un impulso hacia la derecha, de forma que empiece a oscilar armónicamente en torno a dicha posición con amplitud A= 0,5 m



a) Durante la oscilación, ¿es constante la energía me-cánica de M? Explica por qué b) ¿Con qué frecuencia oscila M? c) Determina y representa gráficamente su velocidad en función del tiempo. Toma origen de tiempos t=0, en el instante del golpe (Zaragoza Junio97 LOGSE)3/π Hz ; x= 0,5 sen6t ; v = 3cos6t S

Simulación del Péndulo simple http://goya.eis.uva.es/Java/pendulo/pendulo.html

10.- Trabajo y energía del oscilador armónico. Representaciones gráficas Ep–elongación. Interpretación de la Energía cinética y total.

11.- Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 50 Hz y amplitud 5 mm. Calcular la aceleración en el centro y en los extremos de la trayectoria.(Barcelona Septiembre97 COU) S

12.- En la gráfica se representa la posición en fun-ción del tiempo de un cuerpo de masa M=0,5 kg, que realiza una oscilación armónica en torno al origen de coordenadas. a) Escribe la ecuación de la velocidad de M en función del tiempo y represéntala gráficamente b) Explica qué fuerza debe estar actuando sobre M para producirle este movimiento: ¿cómo depende del tiem-po? ¿Y de la posición de M? ) Zaragoza-Junio97-

LOGSE S ; tsenππ2,0− ; xkF Δ−= ; tkF πcos2,0⋅−=

13.- Dinámica del M.A.S. Periodo y frecuencia de oscilación de a) un muelle y b) de un péndulo simple.

14.- En un M.A.S., ¿cuánto vale la elongación, en el instante en que la velocidad vale la mitad de su valor máximo? Expresa el resultado en función de A (Barcelona Ju-

nio98 COU) A23

± S

15.- La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación a = –ky, siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. a) De qué movimiento se trata? b) ¿Qué representa k? c) ¿Cuál es la ecuación del citado movimiento? Razona las respuestas.( Madrid Junio97 LOGSE)

16.- Si la aceleración de un movimiento es a= –x/4, ¿se trata de un movimiento periódico? ¿cuánto vale su periodo? S.- la aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella T = 4 π s

17.- Un resorte tiene una constante elástica k y sus-pendemos de él una masa m. El resorte se corta por la mitad y se suspende la misma masa m de una de los dos mitades. ¿Cambia la frecuencia de oscilación? Jus-tificarlo S.- La constante elástica del muelle depende solo de la naturaleza del muelle (duro o blando) no de la longi-tud

18.- Un péndulo simple de longitud 1 m se deja en libertad desde una posición tal que la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular la máxima ve-locidad que alcanza el punto material (bolita o lenteja de péndulo simple) 1,6 m/s

http://www.lightlink.com/sergey/java/java/pend1/index.html

19.- Una partícula de 0,5 kg que describe un movi-miento armónico simple de frecuencia 5/π Hz tiene, inicialmente, tiene una energía cinética de 0,2 J y una



energía potencial de 0,8 J. a) Calcula la posición y la velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima. b) Haz un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál será el desplazamiento en el instante en que las energías ciné-tica y potencial son iguales? Andalucía 98 0,18 m; 0,89 m/s 0,2 m; 2 m/s; 0,14 m

Simulación del Resorte con oscilaciones Forzadas http://goya.eis.uva.es/Java/forzadas/forzadas.html

20.- Una masa m = 10–3 kg que describe un movi-miento armónico simple (m.a.s.), tarda 1 s en despla-zarse desde un extremo de la trayectoria al otro extre-mo. La distancia entre ambos extremos es de 5 cm. De-termina: a) El periodo del movimiento. b) La energía cinética de la partícula en t = 2,75 s, sa-biendo que en t = 0 su elongación era nula. c) El primer instante en que las energías cinética y po-tencial del sistema coinciden. Cantabria 98; 2s; 1,54 10–6 J; 0,25 s

21.- Un cuerpo de 800 g de masa describe un mo-vimiento armónico simple con una elongación máxima de 30 cm y un periodo de 2 s. Calcula su máxima ener-gía cinética. Comunidad Valenciana 98; 0,36 J

22.- Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18º, desarrollando 10 oscilaciones por se-gundo. Tomando como instante inicial la posición de equilibrio: a) Escribe su elongación en función del tiempo. b) Determina su periodo de oscilación en la Luna, don-de la gravedad es, aproximadamente, un sexto de la te-

rrestre. Galicia 98; θ=18º sen(20π t ) ; s61,0

23.- Si se duplica la energía mecánica de un oscila-dor armónico, explica qué efecto tiene: a) En la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones. b) En la velocidad y el periodo de oscilación. Madrid 98 ; 2' AA = ; 2' vv = ; T=cte

24.- Un punto material está animado de un movi-miento armónico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posición de equilibrio en y = 0. En el instante t = 0, el punto material está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm/s. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determina la posición en función del tiempo. b) Calcula la posición y la velocidad en el instante t = 5s. Madrid 98 1,27 10–2 sen (10πt+π); 0; -0,4 m/s

25.- Energía del movimiento armónico simple. Murcia 98

26.- Una masa de 20 g realiza un movimiento vibra-torio armónico en el extremo de un resorte que da dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del mis-mo 5 cm. Calcula: a) La velocidad máxima de la masa que oscila. b) La aceleración de la masa en el extremo de su mo-vimiento. c) La constante k del resorte. País Vasco 98; 0,2 π m/s ; –0,05(4π)2 ; 0,02(4π)2 N/m

Simulación del Resorte con oscilaciones Amortiguadas http://goya.eis.uva.es/Java/amortiguadas/amortiguadas.html

27.- Un péndulo simple está construido con una bo-lita suspendida de un hilo de longitud L = 2 m. Para pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T= 2,84 s. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el periodo. b) Considera que el movimiento de la bolita es prácti-camente paralelo al suelo, a lo largo de un eje OX con origen, 0, en el centro de la oscilación. Sabiendo que la velocidad de la bolita cuando pasa por 0 es de 0,4 m/s,



calcula la amplitud de su oscilación y representa gráfi-camente su posición en función del tiempo, x(t). Toma origen para el tiempo, t = 0, en un extremo de la osci-lación. Zaragoza 98. 9,79 m/s2 ; A = 0,181 m S

28.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armóni-camente en torno al origen de un eje OX, con una fre-cuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm. a) Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen (1 p.) b) Determina y representa gráficamente la energía ciné-tica de m en función del tiempo. Toma origen de tiem-po, t = 0, cuando m pasa por x = 0. (1 p.) Zaragoza Ju-nio 99 1,57 m/s S

29.- El bloque de la figura, de masa M =0,2 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte horizontal y de

masa despreciable. Partiendo de la posición de equili-brio, se desplaza M hacia la derecha hasta conseguir un deformación del resorte ΔL = 10 cm y se libera M con velocidad inicial nula. Se observa que M realiza una oscilación armónica en torno a la posición de equi-librio, con periodo T = 0,5 s a) Calcula la constante recuperadora del resorte. (0,5 p) b) Determina y representa gráficamente la aceleración de M en función del tiempo, a partir del instante en que se libera.(1p) Zaragoza Septiembre 99; 31,58 N/m

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−

24)4(1,0 2 πππ tsen ó ( )tππ 4cos)4(1,0 2 ⋅⋅− S

30.- Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición de equilibrio X = 0, con una frecuencia de 200 Hz. Si en el instante inicial (t = 0), la posición de la partícula es Xo = 10 mm y su velocidad es nula, determinar en qué instante será máxima la velocidad de la misma. Si la partícula forma parte de un medio material, cuál será la longitud de onda del movimiento que se propa-ga a lo largo del eje OX sabiendo que su velocidad de propagación es de 340 m s–1 Valencia 96; 1,25 10–3 s ; 1,7 m-

31.- Un muelle de masa despre-ciable tiene una longitud natural L0, = 10 cm. Cuando colgamos un cuerpo de masa m = 0,1 kg de su extremo inferior,

su longitud en equilibrio es Leq= 20 cm. Considera g = 10 m/s2 a) Cuál es la constante recuperadora de este resorte? (0,5 p) Supón que, partiendo de la posición de equilibrio, des-plazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente. b)Ecuación de la elongación en función del tiempo y representa gráficamente la longitud del resorte en fun-ción del tiempo, a partir del instante en que soltamos m. (1 p) c) ¿Con qué amplitud oscilará? ¿Con qué frecuencia? ¿Con qué velocidad pasará por la posición de equili-brio?(1 p) g N/m ; 5 10–2 m ; 1,58 Hz 2,21 m/s ;

( )π+⋅= − tx 97,9cos105 2 S

32.- Un cuerpo de 10 g se mueve con movimiento

armónico de ecuación: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21010 πtsenx .

a) Calcular su velocidad en t=0. (1 p) b) Calcular la energía potencial y la energía cinética cuando la elongación es cero (1 p) 0 m/s ; 50 J S

33.- La gráfica adjunta da la posición, en metros, y el tiempo, en segundos, de una partícula de masa m =l kg que realiza un movimiento vibratorio armónico simple.

a) Escribe la ecuación que da su velocidad en función de t. b) Escribe la ecuación da su aceleración en función de t c) Escribe la ecuación de su energía total en función de t )094,0cos(471,0 t ; )094,0(044,0 tsen− ; es cte e independiente del tiempo. 0,111J S

34.- Un cuerpo de 10 g está vibrando con un movi-miento armónico simple de amplitud 15 cm y frecuen-cia de 4 c/s. a) Calcular el valor máximo de la velocidad. (1 p)

b) Calcula su energía potencial y cinética en el pun-to de máxima elongación(1 p) 1,2 π m/s ; 0 y 0,071 J S



Pendulum Java Applet by Fu-Kwun Hwang http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/applets/Hwang/ntnujava/Pendulum/Pendulum_s.htm

35.- Una masa de 0,05 kg realiza un m.a.s. según la ecuación: )cos( ϕω += tAx .Sus velocidades son 1 y 2 m/s cuando sus elongaciones son, respectivamente, 0,04 y 0,02 metros. Calcula: a) El periodo y la amplitud del movimiento. b) La energía del movimiento oscilatorio y las energías cinética y potencial cuando x = 0,03 m. Galicia 99

mAsTs

rad 044,0;25

;50 ===πω Emec=0,126J;

Ep=0,056; Ec=0,07 J

36.- Un bloque de masa m cuelga del extremo infe-rior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior. a) Indica las fuerzas que actúan sobre la partícula ex-plicando si son o no conservativas. b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analiza las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa. Andalucía 99

Pendulum Java Applet by Fu-Kwun Hwang http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/springWave/springWave.html

37.- En la primera de las dos gráficas que se mues-tran en la página siguiente, se representa la variación con el tiempo del desplazamiento (elongación) que ex-perimenta una partícula que se mueve con un movi-miento armónico simple (m.a.s.). a) ¿Cuál de las curvas numeradas, en la segunda gráfi-ca, puede representar la variación de la aceleración con el tiempo del citado m.a.s.? (1 punto.) b) Representa gráficamente las energías cinética, po-tencial y total del anterior m.a.s. en función del tiempo utilizando los mismos ejes para las tres curvas. (1 pun-to.)

Nota: las respuestas deberán ser razonadas. Cantabria 99; 4

38.- Una partícula que describe un movimiento ar-mónico simple (m.a.s.) de amplitud A = 10 cm, vibra en el instante inicial con su máxima velocidad de 10 m s–1 a) Halla la frecuencia de la oscilación b) Halla la aceleración máxima y la mínima del m.a.s. c) Determina la posición, velocidad y aceleración de la partícula en el instante t=1 s Cantabria 99

ty 100sen1,0= ; Hzπ50 ; 23 /10 sm± ; -0,05 m ; 8,6

m/s 506,4 m/s2

39.- La bolita de un péndulo simple realiza una os-cilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un pe-riodo T = 2 s y una amplitud A = 2 cm. a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación (1p.) b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza Junio 2000 tv ππ cos02,0 ⋅⋅= ; s62 S



http://www.explorescience.com/activities/activity_page.cfm?activityID=22

40.- El cuerpo de la figura tiene masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin roza-miento y sujeto al extremo de un resorte de constante recuperadora K = 20 N/m. Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la derecha y se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a dicha posición.

a) Calcula el periodo de la oscilación. (0,5 p.) b) Calcula las energías cinética y potencial de M en los extremos de su oscilación y cuando pasa por el centro de la misma. (1,5 p.) c) Durante la oscilación, ¿es constante la energía me-cánica de M? ¿Por qué? (0,5 p.) Zaragoza Septiembre 2000 ; 1s; ( ) )2cos(10522sen105 22 tót πππ −− ⋅+⋅ ;

Ec(ext)=0; Ep(ext)=0,025 J ; Ec(centro) =0,025 J ; Ep(centro) =0 ; Si en ausencia de rozamientos se con-serva la energía mecánica

41.- a) Explica las variaciones energéticas que se dan en un oscilador armónico durante una oscilación. ¿Se conserva la energía del oscilador? Razona la res-puesta. b) Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, ¿como varía la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones? Razona la respuesta. Andalucia 2000

42.- Una masa de 1 kg vibra horizontalmente a lo largo de un segmento de 20 cm de longitud con un mo-vimiento armónico de período T = 5 s. Determina: a) La ecuación que describe cada instante de tiempo la posición de la masa.

b) La fuerza recuperadora cuando el cuerpo está en los extremos de la trayectoria. c) La posición en la que la energía cinética es igual al triple de la energía potencial. Cantabria 2000

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ϕπ t

52cos1,0 ; N2016,0 π± ;

2Ax ±=

43.- Justifica la relación 2ω=mk

para un movi-

miento armónico simple siendo k la constante elástica recuperadora. Islas Canarias 2000

44.- La aguja de una máquina de coser se mueve con un movimiento que puede considerarse vibratorio armónico. Si el desplazamiento vertical total, es 8 mm y realiza 20 puntadas en 10 segundos. a) ¿Cuál será, la máxima velocidad de la aguja y en qué punto la alcanzará? b) ¿Cuál será su máxima aceleración y en qué punto la alcanzará? País Vasco 2000;

0/1016 3 =⋅⋅± − xensmπ ;

Axensm ±=⋅± − 223 /1064 π

45.- La fuerza máxima que actúa sobre una partícu-la que realiza un movimiento armónico simple es 2 10-3 N, y la energía total es de 5 10–4 J. a) Escribe la ecuación del movimiento de esa partícula, si el período es de 4 s y la fase inicial es de 30º. b) ¿Cuánto vale la velocidad al cabo de 1 s de iniciarse

el movimiento? Galicia 2000; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

625,0 ππ tsenx ; –

0,39 m/s

46.- Una partícula de masa m = 10 g oscila armóni-camente en la forma tAsenx ω= x. En la figura se re-presenta la velocidad de esta partícula en función del tiempo.

a) a) Determina la frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación. (1 p.) b) Calcula la energía cinética de m en el instante t1 = 0,5 s, y la potencial en t2 = 0,75 s. ¿Coinciden? ¿Por

qué? (1,5 p.) Zaragoza Junio 2001; s

Radπ2 ; mπ1 ;

0,02 J ; 0,02 J



47.- Supón que en el laboratorio estás realizando una práctica con un muelle que tienes colgado verti-calmente de un soporte fijo. a) Al colgar una pesa de masa m = 100 g de su extremo inferior, observas que el alargamiento del muelle en equilibrio es ΔL = 10,4 cm. Si sustituyes la pesa por otra de masa m' = 250 g, ¿cuál esperas que sea el nuevo alargamiento en equilibrio? (1 p.) b) Imagina ahora que suspendes del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un pequeño empu-jón vertical a la pesa, cronometras el tiempo que tarda en realizar diez oscilaciones completas y obtienes 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, ¿cuál es la masa de esta pesa? (1 p.) Zaragoza Septiembre 2001; 0,26 m; 0,147 kg

Conversor de Unidades: Tabla de Conversiones http://goya.eis.uva.es/conversor/conversion.htm

48.- Una bola de masa m = 10 g describe un movi-miento armónico simple, (m.a.s.) a lo largo del eje X entre los puntos A y B que se muestran en la figura:

a) ¿Cuánto vale la amplitud del m.a.s. que describe la bola? b) Si en el punto B la aceleración del movimiento es a=5 m/s2 ¿cuánto valdrá el período del m.a.s.? c) ¿Cuánto valdrá la energía mecánica total del oscila-dor en el punto C? .Cantabria 2001

49.- Una partícula de 0,2 kg está sujeta al extremo de un muelle y oscila con una velocidad

( ) ( ) smtsentv /22= en donde el tiempo se mide en se-gundos y los ángulos, en radianes. En el instante ini-cial, dicha partícula se encuentra en el origen. Calcula las siguientes magnitudes de la partícula: a) Posición en t = π/2 s. b) Energía total. c) Energía potencial en t = π/8 s. Murcia. 2001 Nota: En este problema el centro de la oscilación no coincide con el origen de coordenadas : La ecuación del elongación será: )cos(0 tAxx ω+= –2 m; 0,4 J; 0,2 J

50.- Un muelle de constante elástica k = 200 N/m, longitud natural Lo = 50 cm y masa despreciable se

cuelga del techo. Posteriormente, se engancha de su ex-tremo libre un bloque de masa M = 5 kg y se deja esti-rar el conjunto lentamente hasta alcanzar el equilibrio estático del sistema. a) ¿Cuál será la longitud del muelle en esta situación? Si, por el contrario, una vez enganchado el bloque se liberase bruscamente el sistema, produciéndose por tanto oscilaciones: b) Calcula la longitud del muelle en las dos posiciones extremas de dicha oscilación. Oviedo 2001

51.- El bloque de la figura, de masa M = 0,5 kg, es-tá apoyado sobre una superficie horizontal sin roza-miento y unido a una pared mediante un resorte de ma-sa despreciable y constante recuperadora k = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre M una fuerza F = 2 N en el sentido indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F.

a) ¿Con qué amplitud oscilará M? ¿Con qué frecuencia angular ω? (1p.) b) Determina y representa gráficamente las energías ci-nética, potencial y mecánica de M en función del tiem-po. Toma origen de tiempo, t=0, en el instante de anu-lar F. (1,5p) Zaragoza Junio 2002

52.- Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma representada en la figura.

a) Determina y representa gráficamente la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo. (1,5 p.) b) ¿En qué instantes es máxima la energía cinética de la partícula? ¿Qué valor tiene en estos instantes su energía potencial? (1 p.) Zaragoza Septiembre 2002

53.- a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre cuerpo le produzca un movi-miento armónico simple? b) Representa gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por la ecuación:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

210cos5 πty , en unidades del S.I., y otro movi-



miento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior. Andalucía 2002

54.- Sea un muelle suspendido verticalmente del te-cho y de una determinad longitud. Si a su extremo libre se engancha un bloque de 60 g se observa que, en el equilibrio, el muelle se alarga en 10 cm. Posteriormen-te se da un pequeño tirón hacia abajo, con lo que el bloque se pone a oscilar Calcula la frecuencia de la os-cilación. Asturias 2002

55.- Se considera el péndulo simple, de longitud l, colocado como en la figura. Los choques de la masa m contra la pared vertical son perfectamente elásticos.

a) Se desplaza ligeramente la masa m de su posición de equilibrio y se suelta. ¿Cuál es el periodo de oscila-ción? b) ¿Se trata de un movimiento armónico simple? Ex-plícalo. Datos: l = 25 cm; g = 9,8 m/s2 Cantabria 2002

56.- Cierto muelle, que se deforma 20 cm cuando se le cuelga una masa de 1,0 kg (figura A), se coloca sin deformación unido a la misma masa sobre una superfi-cie sin rozamiento, como se indica en la figura B. En esta posición, se tira de la masa hasta que el muelle se alarga 2,0 cm y, posteriormente, se suelta.

Despreciando la masa del muelle, calcula: a) La ecuación de la posición para el movimiento ar-mónico simple resultante. b) Las energías cinética, potencial elástica y mecánica total cuando ha transcurrido un tiempo t = (3/4 T), donde T es el período del m.a.s Dato: g = 9,8 m/s2

Cantabria 2002; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

23702,0 πtsenx ; 9,8 10–3 J ;

0; 9,8 10–3 J

57.- Un oscilador armónico se encuentra en un ins-tante determinado en una posición que es igual a la mi-tad de su amplitud (x = A/2). ¿Qué relación existe entre

su energía cinética y su energía potencial? Islas Cana-rias.2002; 3

58.- Una partícula de 10 g de masa oscila armóni-camente según la expresión ( )tAsenx ω= . En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo. Calcula: a) La frecuencia angular ω y la amplitud, A, de la osci-lación. b) La energía cinética de la partícula en el instante t1 = 0,5 s, y la energía potencial en t2 = 0,75 s. c) ¿Qué valores tienen las dos energías anteriores?

¿Por qué? Islas Canarias.2002; 2π Rad/s; 1/π m

59.- ¿Qué diferencia existe entre un movimiento armónico simple y un movimiento vibratorio? Cita un ejemplo de cada uno de ellos. Islas Canarias.2002

60.- Una masa de 2 kg está unida a un muelle hori-zontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equili-brio (x = 0) y se deja en libertad. Determina: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x=x(t) b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. Nota: Considera que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado. Madrid.2002; ( )tsenx 505,0= ; 0,10 m/s, –0,1 m/s2; 0,5 N; 0,0125 J

61.- Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud L = 99,2 cm y una bolita que oscila en hori-zontal con una amplitud A = 6,4 cm y un periodo T = 2,00 s. a) Calcula la intensidad del campo gravitatorio local, g. (1 p.) b) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v(t). Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por su posición de equilibrio. (1,5 p.). Zaragoza Junio 2003

62.- Una partícula de masa m = 5 g oscila armóni-camente a lo largo del eje OX en la forma



tAx ωcos= , con A = 0,1 m y ω = 20π s-1. a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo. (1 p.) b) Calcula la energía mecánica de la partícula. (0,5 p.) c) Determina y representa gráficamente la energía po-tencial de m en función del tiempo. (1 p.) . Zaragoza Septiembre 2003; J201,0 π

63.- Analiza el comportamiento de un péndulo sim-ple y discute como puede ser utilizado para la determi-nación de g. Asturias 2003

64.- Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 8 cm de amplitud y 4 s de perio-do. Calcula su velocidad y su aceleración en los casos: a) Cuando la partícula pase por el centro de oscila-ción. b) Medio segundo después de que la partícula haya pasado por uno de los extremos de su trayectoria. As-turias 2003; 4 10–2π m/s 0 m/s2; sm /1089,8 2−⋅m ;

2/14,0 smm

65.- a) En un movimiento armónico simple, ¿Cual es la relación entre la energía total y la amplitud? b) Un oscilador armónico se encuentra en un momento dado en una posición igual a la mitad de su amplitud (x = A/2) ¿Cual es la relación entre la energía cinética y la energía potencial en ese momento? Cantabria 2003;

2

21 kAEMecánica = ; 3

66.- Una masa de 20 g realiza un movimiento vibra-torio armónico simple en el extremo de un muelle que realiza dos oscilaciones por segundo, siendo la ampli-tud del movimiento 5 cm. a) La velocidad máxima que llega a alcanzar la masa que oscila. b) La aceleración de la masa en el extremo del movi-miento vibratorio armónico. c) La constante del muelle. Cantabria 2003; 0,2π m/s; 0,8π2 m/s2; 0,32π2 m

67.- a) Se han medido en el laboratorio los siguien-tes valores de masas y períodos de oscilación de un re-sorte; obtén a partir de ellos el valor de la constante elástica.

T(s) 3,52 3,91 4,12 4,24 4,35

m(kg) 0,62 0,75 0,85 0,9 0,95

b) ¿Depende el período de un péndulo simple del án-gulo de oscilación? Cuánto varía el período si se au-menta la longitud un 20%? Galicia 2003; 1,97 N/m;

12,1 −=ΔTT

68.- Un cuerpo dotado de un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud, tarda 0,2 s en describir una oscilación completa. Si en el instante t = 0 s su ve-locidad era nula y la elongación positiva, determina: a) La ecuación que representa el movimiento del cuer-po. b) La velocidad del cuerpo en el instante t = 0,25 s.

Comunidad Valenciana 2003; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2101,0 ππtsen ;

v(0,25)=–π m/s

69.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia disminuye a la mitad, mante-niendo la amplitud constante, ¿qué ocurre con el perío-do, la velocidad máxima y la energía total Comunidad Valenciana 2003; 2T; vmax/2; E/4

70.- Un resorte de masa despreciable se estira 10 cm cuando se le cuelga una masa de 200 g. A conti-nuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5 cm y se suelta en el instante t = 0 s. Calcula: a) La ecuación del movimiento que describe el sistema. b) Las energías cinética y potencial cuando la elonga-ción es y = 3 cm. Dato: g = 9,80 ms–2 Galicia 2003;

( ) ( )π+= tty 89,9cos05,0 ; 15,7 10–3J; 8,8 10–3J Eto-

tal= 24,5 10–3 J

71.- La frecuencia de una oscilación armónica sim-ple se duplica desde 0,25 Hz hasta 0,50 Hz. ¿Cuál es el cambio que se ha producido en el período de oscila-ción? La Rioja 2003; 4 s a 2 s

72.- Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centro de ella. Si la distancia entre ambas po-siciones es de 20 cm, calcula: a) El período del movimiento y la pulsación b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. Castilla y León 2003; 0,4 s; 5π rad/s;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

252,0)( ππtsentx ; x(1)=–0,2 m

73.- Un muelle de masa despreciable tiene una lon-gitud natural Lo = 20 cm. Cuando de su extremo infe-rior se cuelga un cuerpo de masa M = 0,1 kg, la longi-tud en equilibrio del muelle es Lq = 30 cm. a) Calcula la constante recuperadora, k, de este muelle. (0,5 p.) Considera g = 10 m/s2. Partiendo de la posición de equilibrio anterior, se des-plaza M hacia arriba 10 cm, es decir hasta que el mue-lle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en dirección vertical. b) Calcula la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la oscilación de M. (1 p.) c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su posición de equilibrio. (1 p.) Zaragoza Junio 2004; 10 N/m; 0,4 m;



0,1 m; 5/π Hz; 1 m/s

74.- Un cuerpo de masa m = 0,1 kg oscila armóni-

camente a lo largo del eje OX. En la figura se represen-ta su velocidad en función del tiempo. a) Determina y representa gráficamente la posición (elongación) de la partícula en función del tiempo. (1,5 p.)

b) Calcula las energías cinética y potencial de la partí-cula en el instante t = 0,05 s. (1 p.) Zaragoza Septiem-

bre 2004; tsentx ππ

54,0)( = ; Ec=0,1 J; Ep= 0,1 J

75.- a) Comenta si la siguiente afirmación es verda-dera o falsa: "En un movimiento armónico simple, da-do por tAsenx ω= , las direcciones y los sentidos de la velocidad y de la aceleración coinciden todos los pun-tos de la trayectoria". b) Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por )( tAsenx ω= . Si el valor de la ampli-tud de la oscilación es 6 cm, y la aceleración del objeto cuando x = –4 cm es 24 cm/s2, calcula: b1) La aceleración cuando x = 1 cm. b2) La velocidad máxima que alcanza el objeto Asturias 2004; –0,06 m/s2; sm /15,0±

76.- a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, este se desplaza 5 cm, ¿de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad? b) Calcula el período de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscila en posición horizontal ( sin rozamiento)

Dato: g = 9,81 m/s2 Madrid 2004; k

mgx = ; 0,45 s

77.- Un resorte de masa despreciable se estira 0,1 m cuando se le aplica una fuerza de 2,45 N. Se fija en su

extremo libre una masa de 0,085 kg, se estira 0,15 m a lo largo de una mesa horizontal a partir de su posición de equilibrio y se suelta, dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula: a) La constante elástica del resorte y su período de os-cilación. b) La energía total asociada a la oscilación y las ener-gías potencial y cinética cuando x= 0,075 m. Galicia 2004; 24,5 N/m; 0,37 s; 0,28;0,069;0,21 J

78.- Una partícula de masa m = 0,1 kg oscila armó-nicamente en la forma tAsenx ω= , con amplitud A = 0,2 m y frecuencia angular ω = 2 π rad/s a) Calcula la energía mecánica de la partícula. (1 p.) b) Determina y representa gráficamente las energías potencial y cinética de m en función de la elongación x. (1,5 p.) Zaragoza Junio 2005; J23108 π⋅⋅ −

79.- a) Escribe la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. (1 p.) Un bloque de masa M = 0,4 kg desliza sobre una super-ficie horizontal sin rozamiento con velocidad vo = 0,5 m/s. El bloque choca con un muelle horizontal de cons-tante elástica k = 10 N/m. Tras el choque, M se queda enganchada en el extremo del muelle. b) Calcula la frecuencia y la amplitud de las oscilacio-nes de M. (1 p.) c) Determina y representa gráficamente la posición del centro de M en función del tiempo, x(t), a partir del instante del choque (t = 0). en el sistema de referencia indicado en la figura. (1 p.)

Zaragoza Septiembre 2005; 0,8 Hz; 0,1m; ( )tsenx 51,0=

80.- Una partícula de masa 0,1 kg realiza un movi-miento armónico simple de las siguientes característi-cas: amplitud, A = 1,7 cm; período, T = 0,2 s. en el ins-tante t = 0 se encuentra en la posición x = –1 cm: a) Escribe la ecuación del movimiento. Represéntala gráficamente. b) Calcula su velocidad en el instante en que la partícu-la pasa por el origen, x = 0. c) Calcula su aceleración en ese mismo instante, d) Calcula su energía mecánica. Navarra 2005;

)2,210cos(7,1)( += ttx π ;



x

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5x

scmv /17max π⋅=scmsenv /17)2,208,010(17)08,0( πππ =+⋅⋅−= ;

scm /0 ; 1,43 10–2 J

81.- Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escribe la ecuación de dicho movi-miento en unidades del S.I. en los siguientes casos a) Su aceleración máxima es igual a 5π2 cm/s2, el pe-ríodo de las oscilaciones es 2 s y la elongación del pun-to al iniciarse el movimiento era 2,5 cm b) Su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es 2,4 cm y la velocidad es 2 cm/s cuando su elongación es 2,8 cm. La elongación al iniciarse el movimiento era

nula Castilla y León 2005; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= −

6105)( 2 ππtsentx ;

)55,1(1008,3)( 2 tsentx −⋅=

82.- Una partícula de masa m empieza su movi-miento a partir del reposo en x = 25 cm y oscila alrede-dor de su posición en equilibrio en x = 0 con período de 1,5 s. Escribe las ecuaciones que nos proporcionan x en función de t, la velocidad en función de t y la ace-leración en función de t. La Rioja 2005

83.- Un punto realiza un movimiento vibratorio ar-mónico simple de período T y amplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcula el cociente entre sus energías cinética y potencial a) En los instantes de tiempo t=T/12, t=T/8 y t=T/6 b) Cuando su elongación es de x=A/4, x=A/2 y x=A Castilla y León 2005

84.- Se tiene un cuerpo de masa m = 10 kg que rea-liza un movimiento armónico simple. La figura adjunta es la representación de su elongación, y, en función del tiempo, t. Calcula: a) La ecuación matemática del movimiento armónico y(t) con los valores numéricos correspondientes, que se tienen que deducir de la gráfica. b) La velocidad de dicha partícula en función del tiem-po y su valor concreto en t=5 s Comunidad Valenciana

2005; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= −

66104)( 3 ππ tsentx

; sm /10

32 3−−π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

20πωtsenxx ; 0,037 J; 0 J

85.- Una partícula de masa m, que sólo puede mo-verse a lo largo del eje OX, se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición x = xo y se libera con velocidad nula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según el eje OX, F =-kx, donde k es una constante positiva a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Des-cribe analítica y gráficamente cómo dependen del tiempo su posición, x (t), y su velocidad, v (t). (1,5 p.) b) Para m = 0,1 kg , k = 30 N/m y xo = 5 cm, calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando pasa por x = 0. (1 p.) Zaragoza junio 2006;

txx ωcos0= , ( )πω +−= txx cos0

86.- La bolita de un péndulo simple realiza una os-cilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un pe-riodo T = 2 s y una amplitud A = 5 cm. a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v (t) . Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por el centro de su oscilación desplazándose en sentido positivo. (1,5 p.) b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza septiembre 2006; tsenxx π0= ;

tv ππ cos05,0= , sTLuna 62=

87.- a) Demuestra que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamien-to pero de sentido contrario. b) Una partícula realiza un movimiento armónico sim-ple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escribe la ecuación del movi-miento y razona cuándo es máxima la aceleración. An-dalucía. Junio, 2006

88.- Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales suspende sucesivamente del pri-mero y realiza experimentos de pequeñas oscilaciones, midiendo en cada caso el período de oscilación (T). El estudiante representa los resultados experimentales se-gún se muestra en la figura:



a) Determina la constante elástica del muelle. b) Justifica físicamente el comportamiento observado. Asturias 2006

89.- Una masa de 5 kg unida a un muelle está reali-zando un movimiento armónico simple. La figura re-presenta la elongación en función del tiempo. a) ¿Cuánto vale la frecuencia angular b) Determina la ecuación que describe dicho movi-miento c) ¿Cuánto vale la velocidad, la energía cinética y la energía potencial elástica de la masa para t= 1,2 s d) A un muelle idéntico suspendido del techo le col-gamos lentamente una masa de 10 kg. Cuando la masa queda en equilibrio ¿Cuánto se estira el muelle respec-to de la posición inicial? Cantabria 2006; tπ2cos20 ; –119,3 cm/s; 3,6 J; 0,38 J; 3,98 J; 0,49 m

90.- De dos resortes con la misma constante elásti-

ca, k, se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro. ¿Vibrarán con la misma frecuencia? Razona tu respuesta. Castilla y León 2006

91.- Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armóni-camente en torno al origen O de un eje OX. En la figu-ra se representa la aceleración de M en función del tiempo. a) Determina la frecuencia y la amplitud de oscilación de M.(1,5p.) b) Determina y representa gráficamente la energía ciné-tica de M en función del tiempo. (1 p.)

Zaragoza junio 2007; 5 Hz; 0,01 m

92.- Una partícula de masa m = 20 g. oscila armó-nicamente en la forma tAsentx ω=)( . En la figura se representa la velocidad de la partícula en función del tiempo. a) Determina la frecuencia angular ω y la amplitud A de la oscilación. (1 p.) b) Calcula la energía cinética y la potencial de la masa m en función del tiempo. Justifica cuanto vale la suma de ambas energías. (1, 5 p.). Zaragoza septiembre 2007; 5π rad/s; 2m

93.- Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple: a) Escribe la ecuación del movimiento si la aceleración máxima es 5 π2.cm s–2, el período de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm. b) Representa gráficamente la elongación y la veloci-dad en función del tiempo y comenta la gráfica. Anda-lucía 2007

94.- En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una fre-cuencia de 0, 1 Hz. ¿Cuál es la altura, h, de la nave?



Dato: g = 9,8 m/s2

Asturias 2007, 26,82 m

95.- Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0, 1 s en llegar al centro de ella. Si la distancia entre ambas po-siciones es de 20 cm, calcula: a) El período del movimiento y la frecuencia angular o pulsación. b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. c) Esta partícula tiene una cierta energía cinética máxima. Si esta misma partícula tardase el doble de tiempo (0,2 s) en realizar el mismo recorrido, determi-na por cuánto se multiplicaría o dividiría dicha energía. Cantabria 2007

96.- Si la amplitud de un oscilador armónico simple se triplica, ¿en qué factor se modifica la energía? Ra-zona la respuesta. Castilla-La Mancha 2007

97.- Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuen-cia f. Deduce las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo. Deduce la expresión de la energía mecánica de la partícula. Castilla y León 2007

98.- Una masa de 0,01 kg realiza un movimiento armónico simple de ecuación y = 5 cos (2 t + π/6) (magnitudes expresadas en el S.I.). Calcula: a) La posición, la velocidad y la aceleración en t = 1 s. b) La energía potencial en y = 2 m. c) La energía potencial, ¿es negativa en algún instante? Galicia 2007; x(1)=–4,07 m; v(1)=–5,79 m/s; a(1)=+1,63 m/s2; 0,08 J; no

99.- Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determi-na: a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Madrid 2007

100.- Una masa de 100 g está unida a un resorte de constante elástica k = 150 N/m y situado sobre el eje X. Se separa de su posición de equilibrio 46 cm y se deja en libertad para que oscile libremente. Calcula el pe-ríodo de oscilación y la energía mecánica con que ini-cia el movimiento. Canarias 2007

101.- Una partícula de masa m = 32 g, unida a un muelle de constante elástica k = 20 N/m, oscila armó-nicamente sobre una superficie horizontal sin roza-miento con una amplitud de 3 cm. a) Determina, y representa gráficamente, la velocidad de la partícula en función del tiempo. (1. 5 p) b) Calcula la energía mecánica de la partícula. ¿Qué fuerza se ejerce sobre la masa cuando se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio? (1 p) Zaragoza junio 2008; tππ 8cos24,0 ; 0 10–3 J ; 0,2 N

102.- a) Un cuerpo de masa m, unido al extremo li-

bre de un muelle, realiza un movimiento armónico simple horizontal (sin rozamiento). Escribe y justifica las expresiones de las energías cinética, potencial y mecánica asociadas al mismo. Representa gráficamente dichas energías frente a la elongación. (1. 5 p.) b) Un cuerpo de masa m = 0,1 kg, unido al extremo li-bre de de un muelle horizontal de constante k = 10 Nm–1, realiza oscilaciones de amplitud A = 8 cm. ¿Con qué velocidad se mueve la masa m cuando la elonga-ción es 4,8 cm? ¿Para que valor de la elongación coin-ciden la energía potencial y la cinética (1 p.)

Zaragoza septiembre 2008; 0,64 m/s; 0,057 m

103.- La partícula de masa m = 10 g de la figura 1.a



describe el movimiento armónico simple en torno a su posición de equilibrio representado en la figura 1b (ro-zamiento despreciable). a) Escribe la expresión de la elongación, en función del tiempo, indicando el significado y valor numérico de cada parámetro. (1,5 puntos). b) Representa la evolución temporal de la energía po-tencial elástica y la energía total de la partícula. (1 pun-to). Zaragoza junio 2009

104.- a) Escribe la expresión de la elongación, en función del tiempo, del oscilador armónico. A partir de ella deduce y representa la evolución temporal de la ve-

locidad y la aceleración de dicho oscilador. (1,5 pun-tos). b) Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armó-nico simple. Escribe la ecuación de dicho movimiento, en unidades del S.I., en las siguientes condiciones: La aceleración máxima es 2 cm/s2; el periodo T = 4 s; y, al iniciarse el movimiento, la elongación era 4 cm y el cuerpo se alejaba de la posición de equilibrio. (1 pun-to). Zaragoza septiembre 2009

S Problemas resueltos, localizables en la página web http://iesfgcza.educa.aragon.es/depart/depfiqui.htm

Ejercicios Movimiento Armonico Simple

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