GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas Métricos

Distância entre um Ponto e um Plano

GENERALIDADES

A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano).

A

p

d

I

α

metodo geral para a determinacao da distancia de um ponto a um plano consiste em:

1. conduzir, pelo ponto, uma recta ortogonal ao plano;

2. determinar o ponto de interseccao dessa recta com o plano;

3. a distancia do ponto ao plano e o comprimento do segmento de recta que tem extremos nos dois pontos – o ponto dado e o ponto de interseccao da recta com o plano.

Distância entre um Ponto e um Plano Projectante

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M.

fα

hα

M1

M2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal.

p2

p1

I1

I2

A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M1I1.

V.G.

São dados um plano de topo θ e um ponto A (-2; 3; 2). O plano θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano θ.

x

A1

A2

y ≡ z

fθ

hθ

p2

p1

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano θ, a recta p, passando por A.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano θ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano θ é projectante frontal.

A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano θ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A2I2.

I1

I2

V.G.

São dados um plano horizontal υ e um ponto A (3; 5). O plano υ tem 2 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano υ.

x

(fυ)

A1

A2Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano υ, a recta p, passando por A.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano υ, a partir do cruzamento das projecções frontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano υ é projectante frontal.

A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano υ. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta vertical, pelo que a V.G. de AI está na projecção frontal de AI, A2I2.

p2

≡ (p1)

I2

≡ I1

V.G.

São dados um plano frontal φ e um ponto T (2; 4). O plano φ tem 5 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto T e o plano φ.

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano φ, a recta p, passando por T.

x

(hφ)

T1

T2

p1

≡ (p2)

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano φ, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano φ é projectante horizontal.

I1

≡ I2

V.G.

A distância de T a I é a distância do ponto T ao plano φ. O segmento de recta [TI] é um segmento de recta de topo, pelo que a V.G. de TI está na projecção horizontal de TI, T1I1.

Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α.

x

A1

A2fα

hα

p2

p1

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i.

F1

F2

H1

H2

fθ

≡ hθ

≡ i1

i2

I1

I2

A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

≡ e2

(hφ) ≡ e1

Ar

≡ Ir

V.G.

São dados um plano oblíquo γ e um ponto M (0; 4; 5). O plano γ é ortogonal ao β1,3 e corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano γ.

x

y ≡ z

M1

M2 fγ

hγ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano γ, a recta p, passando por M.

p1

p2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano γ; utilizando um plano auxiliar α (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i.

≡ hα

H1

H2

fα

F1

F2

i2

≡ i1

I1

I2

A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano γ. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

(fυ) ≡ e2

≡ e1

≡ Ir Mr

V.G.

São dados um plano oblíquo α e um ponto P (0; 5; 4). O plano α corta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e o plano α.

x

y ≡ z

P1

P2

fα

hα

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por P.

p1

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar α (plano de topo neste caso, plano projectante frontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i.

H1

H2

p2 ≡ fθ

hθ

F1

F2

≡ i2

i1

I1

I2

A distância de P a I é a distância do ponto P ao plano α. O segmento de recta [PI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de PI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

(hφ) ≡ e1

≡ e2

≡ Ir

Pr V.G.

Distância entre um Ponto e um Plano de Rampa

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ.

x

A1

A2

fρ

hρ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ

F2

H2 ≡ F1

H1

≡ i1 ≡ i2 ≡ e1

≡ (e2)

≡ hπr

≡ fπr Fr

≡ Hr

ir

Ar

pr

Ir

Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI].

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. ArIr é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ.

V.G.

I1

I2

São dados um plano de rampa ρ e um ponto A (4; 4). O traço horizontal do plano ρ tem 5 cm de afastamento, e o traço frontal tem 3 cm de cota. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano ρ.

x

fρ

hρ

A1

A2Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano ρ, a recta p (uma recta de perfil), passando por A.

p1 ≡ p2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano ρ; utilizando um plano auxiliar π, (plano de perfil), e a recta de intersecção dos dois planos, a recta i. Para se determinar a recta i e o ponto I é necessário recorrer ao processo de rebatimento. ArIr é a V.G. da distância entre A e I, a distância do ponto A ao plano ρ.

≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr

≡ hπr

F2

Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções do ponto I e do segmento de recta [AI].

H1

H2 ≡ F1 ≡ (e1)

Ar

≡ Fr

Hr ir

pr

Ir

V.G.

I1

I2