Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile

Universidad de Chile

16 de Mayo de 2007

Carlos Conca Rosende

Charlas en la Academia Chilena de Ciencias

Los Miércoles en la Academia

Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente

Problema Modelo

Restricciones Geométricas(Sólidos Admisibles)

D al interior de Ω D convexo Complemento de D conexo Borde de D “suave”

a

bxbax 0

cbbxcbxx 4 2

1 0 2

2,12

¿Qué es un Problema o Modelo Inverso?

x

babax 0

bbax ax 0

Problema Inverso: Caso Lineal

bxxccbbx

112

1 421

cxx

bcbbx 2

1

21 1

14

2

1

Problema Inverso con 1 Medición (x1)

Luego,

2121 , xxcxxb

c bbx 42

1 22

cbbx 42

1 21

Problema Inverso con 2 Mediciones (x1, x2)

Preguntas Relevantes (I)

Sean (V,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida.

Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde dondese hacen las mediciones (m, en la figura).

Ciertamente,

∑ = ∑ (D,w)

Preguntas Relevantes (II)

1. Identificabilidad

Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑ , en particular, de responder a la pregunta:

Si ∑1 ∑2 entonces ¿ es D1 D2 ?

2. Estabilidad

Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular,

Si tenemos dos medidas ∑1 y ∑2, cercanas, entonces ¿ es D1 cercano a D2 ?

3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑

Aplicaciones

Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias

Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), … Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales) Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), … Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes

Elementos de Historia(Fundador de la Teoría)

Alberto P. Calderón(1920-09-14–1998-04-16)

Equipo de Investigación

Catalina Alvarez (CMM, Universidad de Chile) Luis Friz (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán) Otared Kavian (Universidad de Versailles) Rodrigo Lecaros (IM2; doctorando DIM) Jaime Ortega (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán)

Experiencias de Laboratorio

Teorema Principal

Teorema (Identificabilidad)

Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D1, D2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑1 (resp., ∑2) la presión del fluido medida sobre m, en presencia del cuerpo D1 (resp., D2). Luego,

Si ∑1 = ∑2 entonces D1=D2

Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales

Caso de un Cuerpo Esférico

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Caso de un Cuerpo Elipsoidal

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Generalizaciones

Varios cuerpos Régimen no-estacionario, de evolución Colisiones (con el borde, entre cuerpos)

Kiss & Go

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Mickey’s Reconstruction

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