Dinamica sistemelor cu un singur GLD

32

stxu

+

=

22

220

41

1

Pentru cele trei turaii ale motorului se vor obine urmtoarele amplitudini ale

deplasrii de rspuns

n=600rotaii-min u0=0.36 mm

n=180rotaii-min u0=7.53 mm

n=20 rotaii-min u0=5.07 mm

Cea mai mare amplitudine a micrii se obine pentru turaia cu valoare medie dintre cele trei

(180rot/min) deoarece pentru acest caz pulsaia factorului perturbator i pulsaia proprie sunt

mai apropiate.

2.6 Rspunsul la aciunea simultan a mai multor fore armonice

n condiiile n care sistemul lucreaz n domeniul liniar elastic, se poate aplica

principiul superpoziiei efectelor.

Se vor calcula independent, ptr fiecare for armonic factorul de amplificare

dinamic, sgeata static i deplasarea instantanee. Deplasarea de rspuns se va obine prin

nsumarea acestor deplasri calculate independent.

Este evident c n aceast situaie exist mai multe posibiliti de intrare a sistemului

n regim de rezonan, cte una pentru fiecare pulsaie a forelor perturbatoare ce acioneaz

simultan.

Valorile maxime ale rspunsului depind n aceast situaie nu numai de rapoartele

dintre pulsaiile perturbatoare i pulsaia proprie, dar i de raportul dintre pulsaiile forelor

perturbatoare. Dac raportul pulsaiilor forelor este un numr raional, rspunsul este

periodic, iar n cazul n care pulsaiile sunt egale, rspunsul va fi n plus i armonic.

Exemplu rezolvat

S se reprezinte istoricul deplasrilor masei m=6t (doar componenta staionar,

neglijnd amortizarea), considernd simultan dou solicitri armonice ce acioneaz ca n

figura urmtoare.

Dinamica construciilor i inginerie seismic

33

t

t

s

s

t

x

axa de calcula a a a

F1(t) F2(t)m

( )( )ttF

ttF

40sin10)(2

20sin20)(1

=

=

a=2m

E=21107 kN/m

2

platbande sudate 30024mm

a) Se determin flexibilitatea grinzii. Se ncarc sistemul cu o for unitar dup direcia

GLD, se traseaz diagrama de moment M i apoi prin integrarea acesteia cu ea nsi se

obine flexibilitatea .

a a a a

1kN

a a a a

Mmax=2a =a=2kNm

M

1kNm

EIM

aM

EIEI

MMdx

3

32

3

2

2

212 max

max=

==

b) se determin pulsaia proprie i perioada proprie

1222122

323 tstsst

stI +

++= ; EI = 90850 kNm2

sradm

EI

m/7.37

32

31=== ; sT 17.0

2==

pi

c) se determin ust care reprezint deplasarea produs dup direcia GLD ca urmare a aplicrii

unei fore F0 dup direcia uneia dintre forele armonice, de exemplu F1(t).

se ncarc sistemul cu o fora F0 i se traseaz diagrama M1;

se ncarc sistemul cu o for unitar dup direcia GLD i se obine diagrama M

(aceeai cu cea de la punctul (a));

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

34

se obine deplasarea = EIMdxM

ust1 .

a a a a

a 2a

M1max = a F0=3F0/2

F0 F0

F0

2a F0=F0

a

M1

+

++

++== 23

2

2

021

3

12

3

2

2

022

3

11

3

2

22

031

3

2

22

0311 aFaFaFaF

EIEI

MdxMust

EI

aFust

0

3

11= - aceeai expresie se obine pentru deplasarea produs de fora F0

avnd direcia F2(t).

pentru F1(t) mmukNF st 6.12001 1 ==

pentru F2(t) mmukNF st 8.01002 2 ==

d) se determin pentru fiecare for armonic factorul de amplificare diamic dac

se neglijeaz amortizarea 2

1

1

=

pentru F1(t) 392.11/201 == srad

pentru F2(t) 95.72/402 == srad

Obs : deoarece fora F2(t) are o pulsaie apropiat de pulsaia proprie, pentru oscilaia

produs de aceast for rezult o amplificare semnificativ a rspunsului

dinamic. Valoarea negativ a factorului de amplificare indic o defazare a

deplasrilor de rspuns fa de aciunea dinamic (cnd fora armonica F2(t)

acioneaz n jos, componenta deplasrii de rspuns generat de aceast for

va fi orientat n sus).

e) rspunsul la cele dou solicitri se obine suprapunnd cele dou oscilaii produse

independent de fiecare din cele dou fore:

Dinamica construciilor i inginerie seismic

35

)40sin(36.6)20sin(23.2)2sin(2)1sin(1)( 21 tttututu stst =+=

In figura de mai jos s-a reprezentat variaia n timp a deplasrii u(t). Deoarece este i

mai sugestiv o reprezentare care permite compararea istoricului rspunsului istoricul forelor

armonice cu istoricul solicitrilor armonice, s-a realizat i un al dolilea grafic n care s-au

reprezentat cele dou fore armonice perturbatoare i fora elastic de rspuns care se obine

prin multiplicarea deplasrii instantanee cu rigiditatea sistemului

==

32

31 EIk

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

u(t

) [m

m]

timp[s]

deplasari de raspuns

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7k u

(t) [k

N]

timp[s]

forte armonice aplicate si forta elastica de raspuns

k u(t)=f elastica F1(t) F2(t)

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

36

2.7 Rspunsul sistemelor cu 1 GLD la aciuni neperiodice

2.7.1 Rspunsul sub aciunea unui impuls unitar

O for de tip impuls este o for care are o valoare mare i acioneaz pe o perioad

foarte scurt. Impulsul unitar corespunde situaiei n care fora F(t) acioneaz o durat infinit

scurt 0 i are intensitatea p=1/; n aceast situaie mrimea impulsului forei,

definit ca integrala funciei F(t), este egal cu unitatea.

F(t)

p

Fig. 19 Impuls unitar

Conform legii a 2-a a lui Newton, dac o for acioneaz asupra unei mase m, variaia

cantitii de micare este egal cu fora aplicat

pumpumdt

d ctm= = = )( .

Prin integrarea ambilor termeni se obine

==2

1

12 )(t

t

umuumpdt (2.12)

ceea arat c mrimea impulsului forei este egal cu variaia cantitii de micare.

Rezultatul se poate aplica i sistemelor oscilante cu 1GLD atunci cnd fora

acioneaz pe o durat infinitezimal, deoarece nici rigiditatea nici amortizarea nu au timp s

fie antrenate n micare. Prin urmare, n cazul aplicrii unui impuls unitar la momentul t=,

din relaia (2.12) rezult c masei m i se aplic o vitez mu 1)( = , deplasarea iniial, pn

n momentul aplicrii impulsului fiind nul 0)( =u .

Viteza i deplasrile iniiale reprezint condiiile iniiale ale vibraiei libere iniiate

prin aplicarea impulsului. Prin nlocuirea acestor condiii iniiale n expresia soluiei

difereniale a ecuaiei vibraiilor libere se obine rspunsul unui sistem neamortizat sub

aciunea impulsului unitar:

Dinamica construciilor i inginerie seismic

37

[ ]

=

==

==

+=

ttm

tu

muu

uu

tu

tutu

,)(sin1

)(

1)(

0)(

)sin()cos()(

0

0

00

In mod similar, pentru un sistem amortizat se obine rspunsul unui sistem amortizat

sub aciunea impulsului unitar

[ ]

= ttem

tu t )(sin1

)( *)(*

Reprezentarea grafic pentru cele dou funcii sunt redate n figura de mai jos.

neamortizat

amortizat

u(t)

Fig. 20 Rspunsul unui sistem cu 1 GLD la un impuls unitar aplicat la momentul t=

2.7.2 Rspunsul sub aciunea unei fore arbitrare

O for F(t) care variaz arbitrar cu timpul poate fi reprezentat ca o serie de

impulsuri infinitezimale.

Rspunsul unui sistem liniar elastic sub aciunea unui impuls de mrime F()d

aplicat la momentul este egal cu produsul dintre mrimea impulsului i rspunsul unui

impuls unitar

[ ] >= t)()()( tudFtduiar rspunsul sistemului la timpul t este egal cu suma rspunsurilor tuturor impulsurilor

aplicate pn la acel moment sub forma integralei de convoluie, aplicabil oricrui sistem

dinamic liniar.

==tt

dtuFtdutu

00

)()()()(

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

38

Rspunsul sistemului la impulsul 2

Rspunsul sistemului la impulsul 1

Rspunsul sistemului la impulsul de la momentul

Rspunsul total

F(t)

Fig. 21 Integrala de convoluie [1]

In felul acesta se obine integrala Duhamel pentru un sistem cu 1 GLD n cazul

vibraiei neamortizate

[ ]

dtFm

tu

t

=0

)(sin)(1

)( (2.13)

i pentru vibraie amortizat

[ ] = t

t dteFm

tu0

*)(*

)(sin)(1

)(

(2.14)

Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale de repaus. Integrala Dunhamel este

o metod general de determinare a rspunsului dinamic sub aciunea unei fore arbitrare.

Deoarece integrala de convoluie se bazeaz pe principiul suprapunerii efectelor, integrala

Duhamel este valabil numai pentru sisteme liniar elastice. Pentru ncrcri dinamice

Dinamica construciilor i inginerie seismic

39

complicate sau care sunt descrise numeric prin valori discrete, rspunsul de determin prin

rezolvarea numeric a integralei. In aceast situaie se recomand ca pasul de timp folosit

pentru descrirea prin perechi de valori a variaiei forei dinamice s fie mai mic dect 1/10 din

perioada proprie a sistemului oscilant analizat.

2.7.3 Rspunsul sistemelor cu 1 GLD la aciuni de tip impuls

O categorie important de aciuni dinamice este reprezentat de aciunile de tip oc ca

cele din figura urmtoare.

timp

forta

Fig. 22 Aciuni neperiodice de scurt durat - ocuri

Pentru a obine rspunsul sistemelor la aceste aciuni trebuie considerate condiiile

iniiale. Rspunsul se poate obine prin una din urmtoarele metode:

metode clasice de rezolvare a ecuaiilor difereniale

evaluarea integralei Duhamel

exprimarea pulsului prin superpoziia a dou sau mai multe funcii simple pentru care

soluia este deja disponibil sau mai simplu de determinat

o impulsul dreptunghiular se obine din compunerea a dou funcii ce descriu

aciunea brusc a unei fore constante;

o impulsul semicircular sinusoidal se obine din compunerea a dou funcii

armonice;

o impulsul triunghiular simetric se obine din compunerea a trei funcii ce descriu

aciuni ale forelor de tip ramp.

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

40

F(t)F1(t)

F2(t)

F1(t) F2(t)

F(t)

F(t)

F1(t) F3(t)

F2(t)

t

t

t

Fig. 23 Definirea impulsurilor cu durata td prin superpoziia unor funcii simple [1]

In continuare se va analiza rspunsul la un impuls sinusoidal semicircular, pornind

de la rspunsul la solicitrile armonice. Se vor prezenta soluiile ecuaiei de micare

d

d

0 tptr t

tptr t 0

sin)()()(

>

==+dt

tp

tFtkutum

pi

pentru dou cazuri 21Ttd i 21=Ttd . Pentru fiecare caz se va analiza faza forat i cea

liber.

Cazul 1 21

Ttd

In ecuaia corespunztoare rspunsului unui sistem neamortizat la o solicitare

armonic se va nlocui cu dt

pi i cu T

pi2 pentru a exprima rspunsul funcie de perioada

proprie T i de durata impulsului td.

Dinamica construciilor i inginerie seismic

41

d

dd

d

st

ttT

t

t

T

t

t

t

Tu

tu

= ptr 2sin2

sin

21

1)(2 pi

pi (2.15)

Dup finalizarea impulsului sistemul va vibra liber, condiiile iniiale ale acestei oscilaii fiind

deplasarea i viteza de la finalul impulsului, )( dtu i )( dtu . Pentru vibraia liber se va obine

dd

d

d

d

std

dtt

T

t

T

t

t

T

T

t

t

T

u

tu

T

tuu

tuu

tu

tutu

>

=

=

=

=

+=

ptr 2

12sin

12

cos)(

2

)(

)(

)sin()cos()(

20

0

00

pi

pi

pi

Cazul 2 21

=T

td

Pentru vibraia forat se obine

d

st

t tT

t

T

t

T

t

u

tu

= ptr

2cos

22sin

2

1)( pipipi

Condiiile iniiale pentru faza de vibraie liber sunt 2

)( pi=

st

d

u

tui 0)( =dtu . Deplasrile

instantanee pentru aceast faz se vor calcula dup relaia:

d

st

ttT

t

u

tu>

= ptr

2

12cos

2

)(pi

pi.

Istoricul rspunsului

In Fig. 24 se poate urmri variaia n timp a deplasrilor normalizate de rspuns pentru

diverse valori ale raportului T

td i se observ cum rspunsul este difereniat funcie de

valorile raportului dintre durata impulsului i perioada proprie. Linia punctat prezint

variaia deplasrii statice )(/)( tuktF st= normalizate prin mprirea la sgeata static ust.

Diferena dintre cele dou curbe indic efectul dinamic, care este cu att mai mic cu ct

durata impulsului este mai mare, ceea ce implic o variaie lent a forei fa de perioada

proprie. Dup oprirea impulsului sistemul oscileaz liber, n jurul poziiei de echilibru, cu

amplitudine constant dac se neglijeaz amortizarea. Dac ...5.2,5.1=T

td masa sistemului

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

42

oscilant rmne n poziia de echilibru la sfritul ocului, deoarece att deplasarea ct i

viteza imprimate masei la sfritul impulsului sunt nule.

td/T=1/8 td/T=1/4

td/T=1/2 td/T=1

td/T=2

ust(t)/ust

u(t)/ust

td/T=1.5

td/T=2.5 td/T=3

t/T t/T

Fig. 24 Raspunsul sistemelor cu 1 GLD la un impuls sinusoidal [1]

Rspunsul maxim

Pentru fiecare din cele dou faze de vibraie (liber i forat) se poate determina o valoare

maxim a rspunsului. Cea mai mare valoare dintre cele dou maxime reprezint rspunsul

maxim general.

Pe durata oscilaiei forate numrul vrfurilor depinde de raportul T

td , aa nct pentru o

durat mai mare a impulsului se produc mai multe vrfuri. Momentele la care se produc

Dinamica construciilor i inginerie seismic

43

aceste vrfuri se obin punnd condiia de anulare a vitezei. nlocuind expresiile obinute

pentru aceste momente n relaia (2.15) se poate obine expresia pentru maximele locale

exprimat ca factor de rspuns stu

umax .

Valorile acestor vrfuri sunt reprezentate grafic n Fig. 25. Se observ:

dac 5.15.0

Dinamica sistemelor cu un singur GLD

44

Rk

pu 0max = Rpkufst 0max == .

Din punct de vedere fizic, mrimea stu

uR max= are semnificaia factorului de amplificare

dinamic notat m cu n cazul solicitrilor armonice.

2.7.4 Efectul formei impulsului i analiza aproximativ a impulsurilor

scurte

Pe baza analizelor efectuate asemntor impulsului sinusoidal semicircular, se obin

spectrele normalizate pentru trei tipuri de impulsuri, fiecare caracterizat de aceeai valoarea a

forei maxime.

R =

um

ax/u

st

td/T

Fig. 26 Spectre normalizate pentru impulsuri de aceeai valoare maxim a ocului [1]

Din studiul spectrelor normalizate se pot trage urmtoarele concluzii cu privire la influena

formei impulsului

Pentru durata impulsului 2Ttd > :

forma impulsului influeneaz mrimea deplasrii;

deplasarea crete odat cu viteza de ncrcare: cea mai mic vitez de ncrcare

corespunde impulsului triunghiular, fiind urmat de cel semicircular, deplasarea cea

mai mare corespunznd impulsului rectangular la care fora crete brusc de la valoarea

0 la valoarea p0.

Dinamica construciilor i inginerie seismic

45

Pentru durata impulsului 2Ttd < :

deplasrile maxime sunt controlate de integrala n timp a impulsului;

pentru cazul limit cnd durata impulsului devine foarte mic comparativ cu perioada

proprie a sistemului

0

Ttd

o se definete magnitudinea impulsului =dt

dttF

0

)(

o rspunsul sistemului

m

ttu

)sin()( = cu amplitudinea

Tkmu

== pi

21max

soluiile astfel obinute reprezint o supraestimare deoarece s-a considerat c impulsul

este concentrat in 0dt ; totui pentru 4Ttd < soluia astfel obinut este foarte

apropiat de rspunsul exact.

pentru 4Ttd < deplasarea maxim este controlat doar de aria impulsului, nu i de

forma sa.

Aceast ultim afirmaie este probat prin determinarea spectrelor normalizate pentru cele trei

tipuri de impulsuri, avnd arie egal. Se consider un impuls dreptunghiular de amplitudine

20p , unul triunghiular de amplitudine p0, i unul semicircular de amplitudine 40pip . Aceste

impulsuri au toate aria dtp02

1.

td/T

u max

/(p 0

/k)

Fig. 27 Spectre normalizate pentru impulsuri cu aceeai arie [1]

*