ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis B - mathematica.gr · Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να...

Γ Λυκείου

4Ο ΓΛΧ

2015 - 2016

M .Ι .Παπαγρηγοράκης Χανιά

[Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών

Β ΜΕΡΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός

Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http:users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου –Μ

2 ΠΑ

2.01 Να

2f(x) x -5

2.02 Να

0 η συνάρτ

2.03 Αν

βρείτε τα α

παραγωγίσι

2.04 Αν

στο 0x 3 ν


2.05 Έστ

και ισχύει ό

Να αποδείξ

ox 0

2.06 Αν

2f(x) x

η f είναι πα

2.07 Έστ


Υπολογίσετ

Α) x α

f(x)lim

x

Γ) 2

x α

α f(lim

Μαθηματικά Θ

ΑΡΑΓΩΓΟΣ

αποδείξετε ό

5x 6 δεν είν

εξεταστεί αν

τηση f(x)

αxf(x) x

x

,β R ώστε η

ιμη στο 2

x 3

f(x)lim

x 3

να αποδείξετ

ιμη στο 3

τω συνάρτησ

ότι ημx f(x)

ξετε ότι η f ε

για την συνά

2(x 1) για κ

αραγωγίσιμη

τω f ,g : R

ιμες στο α

τε τα:

f(α)

α

Β

2x) x f(α)

x α

Δ

Θετικών Σπουδ

Σ- ΟΡΙΣΜ

ότι η συνάρτ

ναι παραγωγ

ν είναι παραγ

1xxe αν

1 συνx αν

β αν x

2 2αν x

2

η f να είναι

7 και η f εί

τε ότι η f είν

ση f ορισμέν

) x x ημx

είναι παραγω

άρτηση f : R

κάθε x R , ν

η στο ox 1

R συναρτήσ

R με f α

Β) x α

(f(x))lim

x

Δ) x α

g(α)flim

δών

ΜΟΣ

ηση

γίσιμη στο 2

γωγίσιμη στο

x 0

x 0

x 2

x 2

να

ίναι συνεχής

ναι

νη στο 0.

x , για x 0 .

ωγίσιμη στο

R ισχύει

να δείξετε ότι

σεις

g α 3 .

2 2(f(α))

x α

f(x) f(α)g(x)

x α

2

ο

ς

ι

)

2.

πα

απ

πα

2.

x

2.

κα

2.

πα

f

xl

2.

πα

g

πα

2.

πα

f

ότ

2.

πα

.08 Έστω


ποδείξετε ότι


.09 Η συν

o με of(x )

.10 Έστω

αι x 0

f(2x)lim

x

.11 Δίνετα


(1) 2 . Να α

im (x 1) f(

.12 Η συν


ο

xf (x )


.13 Έστω


x y f x

τι η f είναι π

.14 Δίνετα


2

x 0

flim

η συνάρτηση

η στο 0 και σ

ι η f

g(x)f(

η στο 12

αν κ

νάρτηση f εί

3 , of (x ) 2

f : R R πα

f(x)3

x

. Απ

αι η συνάρτη

η στο 1 για τη

αποδείξετε ότ

x1) f

x 1

νάρτηση f : R

η στο ox R

ο ο

f(x))(x-x ) f(x

η στο ox


η στο 0 και ι

f y xy

παραγωγίσιμ


η στο 0 . Να

2 2(3x) f (2x)x

η f : R R

στο 1 με f(0

f(2x) αν

(2x-1) αν

και μόνο αν

ίναι παραγω

. Bρείτε το xl


ποδείξτε ότι

ηση f : R R

ην οποία ισχ

τι

2

R R είναι

. Δείξτε ότι η

αν x x) αν x x

η f : R R

ισχύει

για κάθε x, y

μη στο R .

ηση f : R R


)2f(0)f (0)

41

0) f(1) . Να

1x

21

x2

είναι

f (0) f (1)


οx ο

2f(x)-6lim

x-x

η στο ox 0

f 0 3

R

χύει ότι

η

ο

ο

xx

είναι

y R , δείξτε

R ,

ότι

1

ε

42

2.15 Αν

στο 0x 1 μ

f xy xf y

δειχθεί ότι f

2.16 ** Δ

τέτοια ώστε

Να δείξετε ό

0x 0 και ό

2.17 Έστ


h 0lim

2.18 Αν

x 0

f x 2lim

x

A) Να

στο 2 και ό

B) Να

i) x 2lim

ΚΑΝΟΝΕΣΒΑΣΙΚΩΝ

2.19 Βρε

Α) e

f(x)1

Γ) g(x) x

Ε). η

g(x)

Ζ) 2f x

1

Θ) 2x

h(x)


με f (1) α κ

y yf x γ

0f(

f x α+

Δίνεται η συν

3 4f (x) 2x f(

ότι η f είνα

ότι f (0) 0

τω η συνάρτη

ιμη στο x R

0

f(x 3h) f(m

h

για την συνε

3 τότε:

δείξετε ότι η

ότι f (2) 3

βρεθούν τα

2

22

f (x) f(x)m

x 4

Σ ΠΑΡΑΓΩΓΝ ΣΥΝΑΡΤΗ

είτε τις παράγ

xe

x

ln xxημx

x 1

μx συνx1 εφx

2 ημxημx

x

x 1

e


και ισχύει:

για κάθε x, y

0

0

(x )x

για κάθ

νάρτηση f : R

(x) 8 , για κ

αι συνεχής στ

ηση f ορισμέ

R , να δείξετε

(x 2h)5f

εχή συνάρτη

η f είναι παρ

όρια:

ii) xlim η

ΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΗΣΕΩΝ

γώγους των

Β) f

Δ) f

Στ)

Η) f

Ι) f(

ραγωγίσιμη

0, . Ν

θε 00 x 1

R (0, )

κάθε x R

ο σημείο

ένη στο R κ

ε ότι

x

ση f ισχύει

ραγωγισιμη

2x 1μx f

x 2

ΡΑΓΩΓΟΙ

συναρτήσεω

2

1f x

x 4

x

ln xf x

e

ln xg(x)

x 2

2xf(x)

ln x

1 ημx(x)

1 συνx

Να

και

ων

xx

2.

P

2.

πα

xli

2.

2.

A

2.

R

f

2.

f

x

A

Γ)

ότ

Δ)

εί

f

2.

πα

απ

Α

Β)

.20 Να βρ

P x P x

.21 Έστω


x

1

f(e ) xf(im

x 1

.22 Να υπ

.23 Να απ

A) x

x 0

elim

.24 Η συν

R , με g e

2x x g x

.25 Έστω

xx y e f

, y R Να απ

A) f 0

) Αν είν

τι of x f

) Αν η


o ox f x

.26 Αν μι



Α) x α

f(lim

) x α

αflim

htt

ρείτε όλα τα π

2 για κάθε

συνάρτηση

η στο ox e

e)ef (e) f

πολογίσετε το


x 11

x

B)

νάρτηση g εί

1 και g e

2xln x

να βρ

συνάρτηση

yy e f x


α B) η


xox f 0 e

f είναι παρα

γίσιμη στο R

oxf 0 e x

α συνάρτηση

η στο σημείο

ι:

(x)ln x f(α)lx α

2

f(x) xf(α)

x αx

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

πολυώνυμα

x R .

f : R R

. δείξτε ότι

f(e)

ο ημ π h

h 0

elim

h

ι

5 5

x 2

x 2lim

x 2

είναι παραγω

2 . Αν

ρείτε τον f e

f για την οπ

xy α για κ

ι:

η f 0 0


oxox , ox

αγωγίσιμη στ

R και ισχύει

ox για κάθε

η f : R R ε

ο 0x α,α 0

lnα f(α)α

f(α)f (α)

α

ΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

h.gr/mipapagr

P με

h 1

80


e

ποία ισχύει:

κάθε

τότε ισχύει

R .

το 0 τότε

ox R

είναι

0 , να

f (α)lnα

Σ

r


ΠΑΡΑΓΩΓ

2.27 Βρε

2f(x) ημ x

2f(x) εφ (4

3f x ln x

f x συν

f x ημ 2

2f x x

2.28 Βρε

Α) f x

Β) f x

Γ) f x

2.29 Βρε

Α) f x

Β) f x

Γ) f x

Δ) f x

Ε) f x

2.30 Δίν

Α) Απο

βρείτε το πε

Β) Αν

να δείξετε ό

2.31 Αν

στο 0x 0 κ

κάθε x R


ΓΟΣ ΣΥΝΘΕ

είτε τις παραγ

2συν 3x ,

34x 1)

2x 3x ln 3

3ln 2x 2

x x2 3 ημt

4 333 x 5


x συν ln x

xx log 2

42x x 3


2 1

x ημx x

0

2x x x 3

log xx x , x

xx ημx , x

xx 2

εται η f x

οδείξτε ότι η

εδίο ορισμού

η 1f είναι π

ότι 1f 1


και ισχύει: f

να βρεθεί η


ΕΤΗΣ ΣΥΝΑ

γώγους των

3

2

t , t R

2y , y R

γώγους των

x , x 1

x3

332x 5

γώγους των

αν x 0

αν x 0

3 2

0

πx 0,

2

x 3e x x ,

f είναι αντισ

ύ της 1f


12

.


3 2(x) x f(x)

f 0 .

δών

ΑΡΤΗΣΗΣ


R



x R .

στρέψιμη κα

μη στο 1fD ,


22x ημx , γ

ων:

ων:

ων:

ι

,

για

2.

c,

ff

Β)

2.

R

Α

εί

Β)

απ

2.

R

f

2.

πα

απ

Α

Β)

2.

R

Α

Β)

2.

Α

Β)

πα

f

.32 Α) Α

,α,β,γ R κ

(x) 1f(x) x α

) Να βρεθεί η

.33 Η συν

R με f x 0 γ

Α) Να απ


) Αν ισχ


.34 Η συν

R και για κάθ

22x 3 x

.35 Αν μι



Α) x α

f(lim

) x α

αflim

.36 Έστω

R . Να αποδει

Α) η f εί

) η f εί

.37 Έστω

Α) Να δε

) Αν θεω


1f (x)

Αν f(x) c(x

και x α,β,γ

1 1x β x γ

η f αν f(x)

νάρτηση f είν

για κάθε x



χύει ότι f 2

ι f 2 4


θε x R ισχύ

3x 5 να β


η στο σημείο

ι:

(x)ln x f(α)lx α

2

f(x) xf(α)

x αx


ιχτεί ότι αν:

ίναι άρτια τό

ίναι περιττή τ


είξετε ότι υπά

ωρήσουμε γν

η, να δείξετε

2

1, x (

1 x

α)(x β)(x

γ τότε να απ

2 3(x 5) (1

1 x


R .

ι η συνάρτησ

R .

2 5 και f


ύει

βρεθεί το f

η f : R R ε

ο 0x α,α 0

lnα f(α)α

f(α)f (α)

α

η f παραγω

ότε η f είναι

τότε η f είν

η f(x) συνx

άρχει η συνά

νωστό ότι f

ότι

( 1,1)

43

γ) με

ποδείξετε ότι:

4 2

2

x )

x

γίσιμη στο

ση y f x

2 4 να


3

είναι

0 , να

f (α)lnα

γίσιμη στο

ι περιττή

ναι άρτια

x, x (0,π)

άρτηση 1f

1 είναι

3

44

2.38 Έστ

0 τέτοια ώσ

f f(x) f x

2.39 Δίν

είναι f(x y

x,y R . Α

αποδειχτεί ό

2.40 Οι σ

στο R και γ

με f 1 0

2.41 Να

οποία ισχύε

2.42 Έστ

x xf x

0

Να εξετάστε

2.43 Έστ

R . Να απο

Α) Αν

Β) Αν

Γ) Αν

και περιττή

α)

β)

γ)

Δ) Αν

2g(x) (x


στε για κάθε

x 2x .Δείξτ

εται η συνάρ

y) f(x)f(y) κ

Αν ισχύει ότι

ότι η f είναι

συναρτήσεις

για κάθε x

, να αποδειχ

βρείτε όλα τ

ει ότι P x


2 2x ημ , x

x0, x

ε αν η f x


δείξετε ότι

η f είναι άρτ

η f είναι περ

η f είναι δύ

τότε:

Η fC διέρχ

f x f

f 0 0

η f είναι άρ

1)f(x) 3x τό

ηση f παραγ

x R να ισχ

τε ότι f 0

ρτηση f για

και f(x) 0 γ

x 0

f(x) 1lim

x

ι παραγωγίσ

f ,g είναι πα

R ισχύει ότι

χτεί ότι g΄ 1

τα πολυώνυμ

2P x

ηση

0

0

είναι συνεχ

ηση f παραγ

τια τότε η f

ριττή τότε η

ύο φορές παρ

χεται από το

f x

ρτια και

ότε g (0) 3


χύει

1 ή f 0

την οποία

για κάθε

R να

σιμη στο R

αραγωγίσιμε

ι 2f(xg x e

2g(1)f΄ 1

μα P x για τ

χής στο ox


είναι περιττή

f είναι άρτια


0,0

ο

2

ες

) ,

τα

0

ο

ή

α

2.

f

πα

να

υπ

Π

2.

στ

να

2.

πα

Α

Β)

Γ)

κά

2.

A

B)

x

2.

πα

f

2.

Α

Β)

.44 Έστω

x xημ


α δείξετε ότι

πολογίσετε τ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

.45 Θεωρο

το R με παρά


.46 Έστω


Α) h 0

f (x 2lim

) h 0

f (x hlim

) h 0

4f (x 2lim

άθε x R

.47 Να απ

A) Αν y ln

) Αν y ημ

2y xy y

.48 Αν η σ


2x xf x

.49 Να α

Α) Αν f x

) Αν f x

htt

η συνάρτησ

xμ x e , x

η στο 0,

ι /f (x) ημx

ο 2x 0

f(x)lim

x

Σ ΑΝΩΤΕΡ

ούμε συνάρτ

άγωγο συνεχή

f 3 5

μια συνάρτη

η στο R. Να α

2h) f (x)2

h

h) f (x)f

h

2h) 6f (x h)h

ποδειχτεί ότι

2xe 1 x τ

ln x συν

0

συνάρτηση f

η στο R και

, να αποδείξε


συνx , τότε f

xxe τότε (νf

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

ση f : 0,

x 0 . Αν f

τότε

xσυνx 2x

1

ΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

τηση f παρα

χή. Αν x 1

flim

ηση f δύο φο


2f (x) , xR

f (x) , xR

10f (x)2f

ι:

τότε y 1

ln x τότε

f είναι δύο φ

ι για κάθε x

ξετε ότι f 1

ι:

(ν)f x συν

ν) xx e x


h.gr/mipapagr

R ώστε

είναι

2xxe και να

Σ

αγωγίσιμη

(4 x)5

x 1

ορές

ότι:

(x) για

y 1 y

φορές

R ισχύει

0 .

νπν x

2

ν

Σ

r


ΕΦΑΠΤΟΜ

2.50 Βρε

0x 0 αν f

2.51 Μια

ox 1 και ι

ότι η εφαπτ

είναι κάθετη

2.52 Δίν

τις εφαπτόμ

M( 2, 8)

2.53 Έστ

ότι: x ln x


να βρείτε τη

στο σημείο

2.54 Αν

να αποδειχτ

σχηματίζου

εφαπτομένη

ανεξάρτητο

2.55 Να

όταν f(x)

τέμνονται σ

2.56 Αν

α,β R ώσ

εφαπτόμενη


ΜΕΝΗ ΚΑΜ

είτε την εφαπ

2

3

1x ημ

xf(x)x


ισχύει x 1

f(lim

ομένη της C

η στην ευθεία


μενες της fC


2f x x x

ότι είναι παρ

ην εξίσωση τη

Μ 1, f(1) .

f : 0,

τεί ότι το εμβ

υν οι ημιάξον

η της καμπύλ

ο του α .

βρεθούν οι ε

2x 2 και g

στον y y και

f x α ln x

στε η ευθεία ε

η της fC στο


ΜΠΥΛΗΣ

πτομένης της

1αν x 0

xαν x 0

η f είναι συν

2x) x7

x 1

. Ν

fC στο σημείο

α x 9y 5

ρτηση f(x)

που διέρχον

ση f για την

x για κάθε x

ραγωγίσιμη σ

ης εφαπτομέ

R με f x

βαδόν του τρ

νες Ox,Oy κ

λης στο ox

εφαπτόμενες

21g(x) x

8

ι είναι κάθετε

2βx 3 , να

ε: 2x y 4

ο σημείο της

δών

fC στο

0

0

νεχής στο

Να αποδείξε

ο A 1, f 1

0

3x . Να βρείτ

νται από το

ν οποία ισχύε

Δ . Να

στο ox 1 κ

ένης της fC

1x

και α 0

ριγώνου που

και η

α είναι

ς των f gC , C

12

που

ες μεταξύ του

α βρείτε τα

0 να είναι

A 1, f 1 .

ετε

τε

ει

και

0 ,

g

υς.

2.

ισ

απ

πα

στ

2.

βρ

στ

2

2.

Ν

2.

f

g

2.

f(

κο

2.

συ

κά

το

στ

γω

2.

f

εί

f

.57 Για τη

σχύει ότι f 2


αράστασης σ

την y x .

.58 Αν f

ρεθούν τα α,

το A(2, f(2))

x y 1 0

.59 Αν f

Να βρείτε τις

.60 Για πο

2x x 3x

αx

x

.61 Δείξτ

x xe e2

(x)

οινή εφαπτομ

.62 Θεωρο

υνεχή πρώτη

άθε x R . Α

ον άξονα x x

το σημείο τομ

ωνία o45

.63 ** Δίν

4 2x x 4x

ίναι εφαπτομ

σε δύο διαφ

ην παραγωγί

x f 2 x

ι η εφαπτομέ

στο σημείο 2

2αx 2

x

x

,β,γ R ώστ

να είναι πα

2x 4 x κ

κοινές εφαπτ

οια τιμή του

στο 1, f(1)

ε ότι οι γραφ

και g( )x

μένη σε κάθε

ούμε την συν

η παράγωγο σ

Αν η gC της g

x , να αποδειχ

μής , σχηματ


2 3x . Να β

μένη της γρα

φορετικά σημ

ίσιμη συνάρτ

x 2x , x

ένη της γραφ

2, f(2) είναι

2αx β α xγ

xx 1

τε η εφαπτομ

αράλληλη πρ

και g x x

τόμένες των

α 0 η εφαπ

είναι εφαπ

φικές παραστ

x xe exμη

2

ε κοινό τους

νάρτηση f π

στο R με f (

g με g(x)

ιχτεί ότι η εφ

τίζει με τον ά

ρτηση

ρεθεί ευθεία

αφικής παράσ

μεία της. (ma

45

τηση f

R . Να

φικής

ι κάθετη

x 2

x 2

, να

μένη της Cf

ος την

2x 8x 20 .

fC και gC .

πτόμενη της

τόμενη της

τάσεις των

έχουν

σημείο.

που έχει

(x) 0 για

f(x)f (x)

τέμνει

απτομένη

άξονα x x

που να

στασης της

athematica)

5

46

2.64 Μία

ιδιότητα: f

x R . Έστ

από το M

διαφορετικά

της f και να

fC στα Α κ

2.65 Δίν

x 0 , όπου

εφαπτόμενη

και αποδείξ

Ρ για κάθε α

2.66 Αν


σημείο της μ

στη gC της

2.67 * Αν

ότι οι fC κα

2.68 Δείξ

xg(x) e κα

2.69 Να

με xf(x) α

2.70 Έστ

συνάρτηση

3f x 1 2

Α) Να

Β) Απο

άγονται απ


2x 2 x

τω μεταβλητ

1,0

2

και τ

ά σημεία Α κ

α αποδείξετε

και Β τέμνοντ


υ α R . Να

ης της fC στο

ξετε ότι διέρχ

αR.

η ευθεία y

η του διαγρά

με ox 1 , ν

g(x) fx

ν 1

f(x)x

κα

αι gC έχουν κ

ξτε ότι οι γρα

αι 2f(x) 2x

βρείτε τον α

, να έχει εφα

τω f δευτερο

για την οποί

22f x 2 x

βρεθεί ο τύπ

οδείξτε ότι οι

ό το σημείο

η f : R R έχ

3x 2 f x

τή ευθεία η οπ

τέμνει τη fC

και Β. Να βρ

ε ότι οι εφαπτ

ται κάθετα.

ρτηση f x

βρείτε την εξ


χεται από στα

2x 0 είναι

άμματος της

να βρεθεί η ε

2

1

x

στο σημ

αι xg(x) e

κοινή εφαπτο

αφικές παρα

, έχουν κοιν

α R ώστε η

απτομένη την

οβάθμια πολ

ία ισχύει ότι

2 14x 5 ,

πος της f .

ι εφαπτόμενε

1A 1,

4

, εί

χει την

3 2x 4 ,

ποία διέρχετ

σε δύο

είτε τον τύπο

τόμενες της

2α ln x ,

ξίσωση της

M 1, f 1

αθερό σημείο

ι η

y f(x) , στο


είο με 1x 1

, αποδείξετε

ομένη.

στάσεις των

νή εφαπτομέν

συνάρτηση

ν y x .

υωνυμική

:

x R

ες της fC πο

ίναι κάθετες.

,

ται

ο

ο

ο

1

ε

νη

f

ου

.

2.

R

υπ

σχ

ση

2.

Α

C

Β)

στ

δι

2.

f

Α

τη

Β)

2.

Α

εφ

Β)

ση

2.

f(

A

πα

B)

τα

άξ

Γ)

ση

κά

.71 ** Έστ

R , και ισχύει

πολογίσετε τ

χηματίζεται

ημείο της με

.72 ** Έστ

Α) Να βρ

fC στο σημείο

) Aποδε

το σημείο x

ιέρχονται απ

.73 Έστω

: (0, ) R

Α) Να βρ

ης γραφικής

) Υπολο

.74 Έστω

Α) Bρείτε

φαπτόµενη δ

) Να βρ

ηµείου M ότ

.75 Θεωρο

21(x) x 2

2

A) Να απ

αραβολές έχο

) Να απ

α οποία οι εφ

ξονα x x , βρ

) Αν λ

ημείων του ε

άθετες εφαπτ

htt


ι f ln x xl

ο εμβαδόν το

από την εφα

ox 1 και τ

τω η lnf x

ρεθεί η εξίσω

ο ο οx , f(x ) .

είξτε ότι οι π

ο ο, f(x ) , καθ

πό το ίδιο σημ

μία παραγω

, με 2f(x ) f

ρείτε την εξίσ

παράστασης

ογίστε το όρι

η συνάρτησ

ε το σηµείο M

ιέρχεται από

ρείτε τον γεω

ταν το α δια

ούμε τις παρ

λx - 2λ(1 - λ),


ουν μία κοιν


φαπτόμενες ε

ρίσκονται στη

0 , να βρείτ

πιπέδου από

τόμενες τη συ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

ση f παραγω

ln x x , x 0

ου τριγώνου

απτομένη της

τους άξονες x

n (αx)x

με α ,

ωση της εφαπ

.

παραπάνω εφ

θώς μεταβάλ

μείο.

ωγίσιμη συνά

f(x) 3 ln x

σωση της εφα

ς της f στο

ιο: 2x 1

x f(xlim

x -

ση αxf x e

M της fC σ

ό την αρχή τω

ωµετρικό τόπ

ατρέχει το R

ραβολές

, λ R

ι οι παραπάν

νή εφαπτομέν

ι τα σημεία τ

είναι παράλλ

την ευθεία y

τε το σύνολο

ό τα οποία άγ

υνάρτηση f


h.gr/mipapagr


0 . Να

υ το οποίο

ς fC στο

x x και y y .

x 0

τομένης της

φαπτόμενες

λλεται το α ,

άρτηση

4

απτόμενης

1, f(1)

) - 2

- 1.

*x, α R

το οποίο η

ων αξόνων.

ο του

νω

νη.

ων fC για

ληλες στον

x .

ο των

γονται

Σ

r

.


Η ΠΑΡΑΓΩ

2.76 Μια

λάμπα βρίσ

προχωράει

A) να α

απόστασης

B) να β

βρίσκεται σ

2.77 Ενα

της τετμημέ

2.78 Ένα

κατευθύνον

ισούται με τ

Το αυτοκίνη

Α) Με

Β) Να

του από τον

Γ) Πόσ

απομακρυν

2.79 Σε ο

συνάρτησης

προβολές το

1 m /sec . Τ

Α) του

Γ) της

2.80 ***Τ

της ευθείας

των ευθειών

( ),( ) και δ

μεταβολής τ

γίνεται ορθο


ΩΓΟΣ ΩΣ Ρ

α κολόνα ύψ

σκεται 1m κά

προς τον τοί


του από την

βρείτε τον ρυ

σε απόσταση

α σημείο Μ

ένης του είνα

α αυτοκίνητο

νται προς τα

το τετράγωνο

ητο A απομ

ποια ταχύτη

βρείτε την α

ν δρόμο Oy

σο γρήγορα

νθεί 3 km πρ

ορθοκανονικ

ς xf x e , x

ου M στους

Τη χρονική σ

εμβαδού του

γωνίας που

Το κινητό O

(ε). Κυκλικό

ν ( ),( ) , έχε

δημιουργεί τ

του μήκους A

ογώνιο για π


ΡΥΘΜΟΣ Μ

ψους 4m φωτ

άτω από την

ίχο με ταχύτη

τι το ύψος y

ν κολόνα είνα

υθμό με τον ο

2m από τον

x, y κινείτα

αι ίσος με το

ο A απομακ

ανατολικά κ

ο της απόστα

μακρύνεται π

ητα απομακρ

απόσταση του

.

απομακρύνε

ρος τα βόρεια

κό σύστημα α

x 0 . Έστω

άξονες Ox

στιγμή ot πο

υ τριγώνου

σχηματίζει η

κινείται με σ

ό εμπόδιο έχε

ι διάμετρο 2

την «σκιά» A

AB την στιγ

πρώτη φορά

δών

ΜΕΤΑΒΟΛΗ

τίζει ένα στεν

ν κορυφή της

ητα 1m /sec

y t της σκιά

αι y t 3

οποίο αυξάν

ν τοίχο.

αι στην fC , μ

ρυθμό μετα

κρύνεται από

και βόρεια αν

ασής του από

προς τα ανατ

ρύνεται το αυ

υ αυτοκινήτο

εται το A απ

α;

αναφοράς O

M η θέση το

και Oy αντί

ου το κινητό β

OAM

η εφαπτομένη

σταθερή ταχ

ει το κέντρο

2m ίση με το

AB . Να βρεθ

γμή κατά την

(Άσκηση απ

ΗΣ

νό δρομάκι,

ς κολόνας. Έν

c . Αν η κολό

άς που ρίχνει

6x(t)

, 2 x t

νει το ύψος τη

με f(x) x

αβολής της τε

ό τη διασταύρ

ντίστοιχα. Η

ό το δρόμο O

τολικά με ρυθ

υτοκίνητο πρ

ου A από το

πό το σημείο

Oxy ένα κινη

ου κινητού σ

ίστοιχα. Η τε

βρίσκεται στ

Β)

νη της fC στο

χύτητα 2m /

του στην μεσ

ο μισό της απ

θεί ο στιγμιαί

ν οποία το τρ

πό www.mat

το οποίο κατ

νας παίχτης

να απέχει 6m

ι ο άνδρας στ

6

ης σκιάς που

. Να βρείτε τ

εταγμένης το

ρωση δύο κά

Η απόσταση τ

Ox

θμό v 10

ρος τα Βόρεια

ο σημείο O 0

O 0,0 τη χ

τό κινείται π

στο επίπεδο κ

ετμημένη του

το σημείο 1,

της από

ο σημείο M ,

sec κατά μή

σοπαράλληλ

πόστασης των

ίος ρυθμός

ρίγωνο OAB

thematica.gr

ταλήγει κάθε

του μπάσκετ

m από τον τ

τον τοίχο ως

υ ρίχνει ο άνδ

τη θέση όπου

ου.

άθετων δρόμω

του αυτοκινή

km/min .

α; (συναρτήσ

0,0 ως συνά

χρονική στιγ

πάνω στη γρα

κάθε στιγμή κ

υ σημείου M

e , βρείτε το

όστασης AB

, με τον άξον

κος

η

ν

)

ετα σε έναν τ

τ με ύψος 2m

τοίχο, τότε:

συνάρτηση

δρας στον το

υ ο ρυθμός μ

ων Ox και O

ήτου από το δ

σει της θέσης

άρτηση της α

γμή που έχει

αφική παράσ

και έστω A,

M μεταβάλετ

ο ρυθμό μετα

B

να x x

47

τοίχο. Η

m

της

οίχο όταν

μεταβολής

Oy , που

δρόμοOy

ς του)

απόστασής

σταση της

B οι

αι με ρυθμό

αβολής:

7

48

Θ. R2.81 Εφα

f x x 1

2.82 Αν

οι α,β,γ R

Rolle στο

f ξ 0 .

2.83 θεω

συνεχής και


υπάρχει 0x

2.84 Δίν

και παραγω

δείξτε ότι υπ

2.85 Δίν

α,β και π


23

f β f3ξ

β α

2.86 Έστ


g(x)g x

υπάρχει ξ

Rolleαρμόστε το θ

1 x ημx σ

2xf(x)

3 (γ

R ώστε να εφ

1,1 και να

ωρούμε μια συ

ι μη μηδενικ

ιμη στο π

,2

π 3π,

2 2

ώ

εται ότι η f σ

ωγίσιμη στο (

πάρχει ξ α



ότι υπάρχει

3

αf ξ

α

τω f ,g συνεχ

ιμες στο α,β

0 για κάθε

α,β ώστε

e –Θθ. Rolle για τη

στο διάστημα

αx β x 0γ α)x x 0

φαρμόζεται τ

βρεθεί ξ

υνάρτηση f

κή στο π 3π

,2 2

3π2

. Αποδε

ώστε of (x )

συνεχής στο

(α, β) με f α

α

α,β ώστε ξf

ρτηση f συν

μη στο (α, β).

ξ α, β ώσ

χείς συναρτή

β με f(α)g(α)

x (α,β) . Να

ε να ισχύει fg

.Μ.Τη συνάρτηση

α 0,1

00

να βρεθούν

το θεώρημα

1,1 ώστε

η οποία είνα

π2

και

είξτε ότι

o of(x )εφx .

α,β , α > 0

f β

β . Να

f ξ f ξ

εχής στο

Να

στε

ήσεις στο α,

f(β)g(β)

και


f (ξ) f(ξ)g (ξ) g(ξ)

Τ. η

ν

αι

α

β

2.

στ

Ν

το

2.

2f

ξ

2.

στ

ώ

2.

συ

f

ln

υπ

2.

πα

f

υπ

2.

γι

Β)

τη

2.

πα

g

βρ

.87 Έστω

το R με f(x)

Να αποδείξετε

ουλάχιστον ρ

.88 Έστω

2 2(α) f (β)

α,β έτσι

.89 Αν η

το 1,1 , να

στε 2f ξ 5

.90 Θεωρο

υνεχείς στο [

x 0 για κ

n f(α) ln f(β

πάρχει ξ (α

.91 Έστω


1 f 0 f

πάρχει x 0

.92 Α) Δ

ια κάθε x R

) Να δε


.93 Να απ

αραστάσεις τ

x 3g(x) e x

ρίσκεται στο

htt

f μια παραγ

) 0 για κάθ

ε ότι η εξίσωσ

ρίζα στο 1,2

η f : [α,β]

2 2α β . Να

ι ώστε: f ξ f

συνάρτηση


45ξ f(1) f(

ούμε τις συνα

[α,β] παραγ

κάθε x [α,β

) g(β) g(α

α,β) ώστε f (

f : R R τρ

η. Υποθέτουμ

f 0 f 0

0,1 ώστε 3f

Δείξτε ότι η f

R με λ R δ

είξετε ότι εφα

f xg x e


των συναρτή

3 έχουν ένα μ

ν y y

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

γωγίσιμη συ

θε x R και

ση f (x) f(x

2 .

R παραγωγ

α αποδείξετε ό

ξ ξ

f είναι παρ


1) .

αρτήσεις f ,g

γωγίσιμες στο

β] και

α) . Να αποδε

(ξ) f(ξ) g (ξ

ρεις φορές

με ότι

0 . Nα απο

3 x 0 .

3f x x λx

δεν είναι 1

αρμόζεται το

2x λx 3

ι οι γραφικές

ήσεων f(x)

μόνο κοινό ση


h.gr/mipapagr

νάρτηση

f(2)

ef(1)

.

x) έχει μια

γίσιμη, ώστε:



ξ 1,1 ,

g που είναι

ο (α ,β) με

είξετε ότι

ξ) 0


2x 3x 1

1 .

θ. Rolle για

ς

xe 2x και

ημείο που

Σ

r


2.94 Nα

2.95 Να

2.96 Να

2.97 Να

2.98 Να

2.99 Να

2.100 Να

2.101 Λύσ

2.102 Να

5x 3x α

2.103 Να

20122013x

τουλάχιστον

…----------

2.110 Η α

με ευθεία σι

Μια αμαξο

απόσταση σ

κάποια χρο

ταχύτητα 85

2.111 Αν

f x 2 ,

2.112 Έστ

f 5 f 0

κ , λ 0,5


ΕΞΙΣ

λύσετε την ε







στε την εξίσω


0 έχει μον

δειχθεί ότι η

2012 λ 1 x

ν μία ρίζα στ

-------------

απόσταση δύ

ιδηροδρομικ

οστοιχία διαν

σε 0,6 ώρες. Ν

ονική στιγμή

5 km /h .

f συνεχής σ

x (1, 5) να

τω f παραγω

1 . Να δείξε

ώστε 2f κ


ΣΩΣΕΙΣ

εξίσωση 1 2

εξίσωση ln 1

εξίσωση x2

εξίσωση x5

εξίσωση ln x

εξίσωση xxe

εξίσωση: 2x

ωση 96x 3

ότι η εξίσωση

ναδική ρίζα σ

η εξίσωση

2011x λ 0 έ

το 0,1 για

--------------

ο πόλεων πο

κή γραμμή εί

νύει τη μεταξ

Να αποδειχτ

η αμαξοστο

στο 1,5 με



ετε ότι υπάρχ

3f λ 1

δών

x x 12 3 0

x1 xe x

x5 2 5x

xx 4

x x 1 0

x x1 e

x ln x 2

96x 1 16

η

στο R

έχει

κάθε λ R

-------------

ου συνδέοντα

ναι 51 km .

ξύ τους

τεί ότι για

οιχία έχει

f 1 2 κα

10 f(5) 6

0, 5 με

χουν

2

246

2.

e

2.

α

μο

2.

πε

2.

εξ

e

2.

α

ώ

ρί

2.

με

κα

--------------

αι

αι

6

2.

1

κα

1ξ

2.

ότ

2.

.104 Να απ

x 2αx βx

.105 Να απ

3 2αx βx γx

οναδική ρίζα

.106 Δείξτε

ερισσότερες α

.107 Να δε

ξίσωσης xe ημ

xσυνx 1

.108 Nα απ

3α ln x β ln

στε 3 2α γ

ίζα στο 21,e

.109 Αν η ε

ε α,β,γ,δ R

αι άνισες μετ

-------------

.113 Η συν

1, 4 και για

αι 25

f100

1 2 3,ξ ,ξ 1,

.114 Δίνετα

τι υπάρχει ξ

.115 Να βρ


γ έχει μέχρ


x δ 0 με β

α στο R

ε ότι η εξίσωσ

από δύο διαφ

είξετε ότι μετα

μx 1 υπάρχ


2n x γ ln x

δ 4β 0

2

εξίσωση 4x

R έχει τέσσερ

ταξύ τους, να

--------------


κάθε x R

1 να αποδείξ

4 ώστε f ξ


1,20 ώσ

ρείτε το x 0lim

ι η εξίσωση

ρι τρείς ρίζες


2β αγ ,α 0

ση 8x 7x 6

φορετικές ρί

αξύ δύο ριζώ

χει ρίζα της ε


δ 0 , α,β,

0 έχει μια του

3 2αx 3βx

ρις ρίζες πρα


---------


ισχύει f 4x

ξετε ότι υπάρ

1 2ξ f ξ f

ηση f x lo

στε 19 lo

ξ1 lo

ημxx2 2x ημx .

49

στοR

0 έχει

6 δεν έχει

ίζες στο R

ών της

εξίσωσης

,γ,δ R

υλάχιστον

γx δ 0

αγματικές

ότι 2α 8β


4f x

ρχουν

3f ξ 12

og x . Δείξτε

ogeog2

.

9

50

2.116 Απο

2.117 Απο

2.118 Δείξ

2.119 Δείξ

2.120 Nα

Α) xxe

Β) 2

2.125 Αν

στο R και υ

της fC , να α

f ξ 0 .

2.126 Μια

2, 2 και

f( 2)= f(2

αποδειχθεί ό

2.127 Έστ


f 1 f 0

υπάρχει x

2.128 Έστ

α,β,γ,δ R

υπάρχουν τ

που να ανή

ΑΝΙΣΟΤΗ

οδείξτε ότι x

οδείξτε ότι l

ξτε ότι ημβ

ξτε ότι 1 x

αποδείξετε τ

1x 1 x 1 x

e πln π

π e

********


υπάρχουν τρ




)= 2 . Αν f

ότι f(x) x ,

τω f : R R

ιμη. Υποθέτο

f 0 f 0

0,1 ώστε

τω 2f(x) α x

*R με 23β 5

τρία διαφορε

κουν στη γρ

ΗΤΕΣ

1 x 1ln

x 1 x

2

2

α 1ln αβ 1

ημα β α

xx e 1 xe

τις ανισότητε

1xxe για κάθε

************


ρία συνευθεια

ότι υπάρχει ξ

η f είναι συν

ιμη στο 2,

(x) 1 , x

, x 2, 2

τρεις φορές

ουμε ότι

0 0 . Nα απ

(3)f x 0 .

6 4 2x βx x

25α . Να απο

ετικά συνευθ

αφική παράσ

1 1x

, x 0

α β , α,β R

α , α,β R

xe , 0 x 1

ες:

ε x 0 .

************


ακά σημεία

ξ R με

νεχής στο

2 με

2, 2 να


γ δ ,

οδείξετε ότι δε

ειακά σημεία

σταση της .

R

1

2.

Α

Β)

2.

2.

1

2.

η

Δε

************

ι

εν

α

2.

συ

Α

γα

f

2.

πα

απ

f

2.

δύ

f

Α

υπ

Β)

υπ

.121 Nα απ

Α) x

x 1

) xx e

.122 Δείξτε

.123 Για κά

2α εφ α

.124 Έστω

παράγωγος

είξτε ότι: f 1

************

.129 Θεωρο

υνάρτηση f γ

Αν ισχύει lnα

2γ βe

α γ , να

1 2(ξ ) f (ξ )

.130 Έστω



ο οx f x

.131 Η συν


α f β 0

Α) αν υπ

πάρχει ξ α

) αν υπ

πάρχει ξ α

htt

ποδείξετε τις

ln(x 1) x

x 1 1 (x 1

ε ότι x1

1x

άθε π

0 α4

π1

4 συ

f παραγωγί

είναι γνησίω

1999 f 200

************

ούμε την παρ


α ln γ lnβ

α δειχτεί ότι

0

συνάρτηση

η στο α,β μ

ι υπάρχει ox

οf x .

νεχής συνάρτ


0 . Να αποδε

άρχει οx α

α,β ώστε f

άρχει οx α

α,β ώστε f

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

ανισότητες:

x αν x>0

1)e αν x 1

x 1e 1

x

π4να αποδειχ

2

απ

υν (α )4

ίσιμη στο R

ως φθίνουσα

02 f 2000

*


ία ισχύει f(ln

β , με α,β,γ

υπάρχουν ξ

f , δυο φορές

με f α f β

o α,β ώστ

τηση f : α, β

στο α,β , μ

είξετε ότι:

α,β με of x

ξ 0 ,

α,β με of x

ξ 0 .


h.gr/mipapagr

1,2

x 1

,x 0

τεί ότι

της οποίας

α στο R .

f 2001

στο R

nα) f(lnβ) .

0 και

1 2ξ ,ξ R με

ς

β 0 . Να

τε

R , είναι

με

o 0 , τότε

o 0 , τότε

Σ

r

ι


2.132 Να

34x 2 x

0,1 για κά

2.133 Έστ

R με f( 1)

Α) 11

Β) 11

2.134 Η σ

0,α με α

2f(x ) 2f(x

1 2ξ ,ξ 0,α

2.135 Αν

2,20 ικαν

θεωρήματος

Α) υπά

1 2ξ ξ και

Β) υπά

13f (κ )+ 2f (

Γ) ότι


Δ) υπά

ώστε 2f κ

2.136 Έστ

f : R R με

, ώστε η εφα

της f στο Μ

P 2ξ,0



1 0 έχει

άθε R .


1 , f(1)

2 1 ώστε

2 1 ώστε


> 1 και ισχύε

x), x [0,α]

α ώστε 1f (ξ

για τη συνάρ

νοποιούνται

ς του Rolle, τ

άρχουν αριθμ

1 2f ξ f ξ

άρχουν 1κ ,κ

2(κ ) = 0

η εξίσωση f

ν ρίζα στο δι

άρχουν κ , λ,

3f λ 4f

τω η παραγω

ε f 2 0 . Να


Μ ξ, f(ξ) , να



ι μια τουλάχ

ηση f , παρα

1 . Δείξτε ότι

ε 1f f

ε1

1 1f '( ) f'(κ

είναι παραγ

ει f(0) = 0 κα

] . Να δείξετε

1 2) f (ξ )2

ρτηση f στο

ι οι προϋποθ

τότε να αποδ

μοί 1 2ξ ,ξ

0 .

2κ (2, 20) με

(x) f(x) - f(α

ιάστημα 2,2

μ με 2 κ

f μ 0



ς γραφικής π

α τέμνει τον ά

δών

η

χιστον ρίζα σ

γωγίσιμη στ

ι υπάρχουν

2 2

22

)


αι

ε ότι υπάρχου

f(α)

α - 1.

διάστημα

έσεις του

δείξετε ότι:

2,20 με

ε 1 2κ κ ώστ

α) έχει μία

20 .

λ μ 20

άρτηση

υπάρχει ξ

παράστασης

άξονα x x σ

στο

ο

ο

υν

στε

R

στο

2.

φο

f

τη

2.

πα

Α

έχ

Β)

1ξ

2.

συ

σε

2.

α

ώ

ρί

2.

Ν

Α

τη

Β)

έχ

2.

f

το

f

.137 Η συν

ορές παραγω

4 8 . Να α

ης fC που δι

.138 Έστω


Α) Να απ

χει μια τουλά

) Να απ

1 2,ξ α,β

.139 Αν 4

υνάρτηση f

ε ένα τουλάχ

.140 Nα απ

3α ln x β ln

στε 3 2α γ

ίζα στο 21,e

.141 Δίνετα

Να αποδείξετε

Α) Υπάρχ

ης fC στο ξ

) Να απ

χει ρίζα στο

.142 Έστω

f 0 fx

2

ουλάχιστον έ

ox 0

νάρτηση f : 1

ωγίσιμη και ι



συνάρτηση

η στο α,β ,


άχιστον ρίζα



3 2

3x x x

χιστον σημείο


2n x γ ln x

δ 4β 0

2 .


ε ότι:

χει 1

ξ ,12

, f(ξ) να είν


1,1

2

f παραγωγ

10. Να δεί

ένα ox 0,1

1, 4 R είν

ισχύουν f 1

τι υπάρχει εφ

την αρχή τω

f : α,β R

με f α 2β

ι η εξίσωση f

στο α,β .

ι υπάρχουν

1 2f ξ f ξ

0 , να δείξετ

2x x μη

ο του διαστή


δ 0 , α,β,

0 έχει μια του

ηση f x x

ώστε η εφα

ναι παράλλη



είξετε ότι υπά

10 τέτοιο ώσ

51

ναι δύο

2 και

φαπτομένη

ων αξόνων.

β , f β 2α

f x = 2x

4 .

τε ότι η

ηδενίζεται

ματος 0,1

,γ,δ R

υλάχιστον

x 1 ln 2x .

απτομένη

λη στον x x

x 2 2x2x e

. Αν

άρχει

στε

1

.

52

ΣΤΑΘΕΡΗ

2.143 Δίν

f x 2f

f 0 f 0

Α) Οι συναρ

g x f x

σταθερές συ

Β) Να

2.144 Θεω


κάθε x, y R

2.145 Να

x R και f

2.146 Να

και f 1

2.147 Να

Α) αν

f(0) f (0)

Β) αν

δ(0) 1 κα

2.148 Έστ


όλες οι εφαπ

αξόνων. Να

οποίας η γρ

σημεία 2,1

2.149 Έστ

Να δείξετε ό

αν και μόνο

Η ΣΥΝΑΡΤΗ

εται συνάρτη

x f x 2

f 0 1 .

ρτήσεις h x

2x f x

υναρτήσεις


ωρούμε συνά

ει ότι: f x

R . Να δειχτε

βρείτε την f

f 1 2

βρείτε την f

f 1 2

αποδειχτεί

f (x) f(x) γ

1 τότε f(x)

δ (x) δ(x)

αι δ (0) 4


ιμη στο *R μ

πτόμενες διέ

α βρείτε εκείν

ραφική παρά

και 2,1

τω f παραγω

ότι ισχύει f

ο αν υπάρχει

ΗΣΗ

ηση f : R R

2f x , για κά

Να αποδείξε

xf x e κ

2 f x f x

πος της f .

άρτηση f : R

f y συν x

εί ότι η f είν

f αν f 1 2

f αν f x

ότι:

για κάθε x

xe , x R

5x για κάθ

, τότε δ(x)


με f 0 0 , τ

ρχονται από

νη τη συνάρτ

άσταση διέρχ


x 2x 1

ι c R ώστε

R , ώστε:

άθε x R κα

ετε ότι :

και

2x είναι

R για την

x y 1 για

ναι σταθερή

2x 7 12x ,

2

1

x , x R *

R και

R ,

θε x R ,

xe 5x , x

νη στο R

της οποίας

ό την αρχή τω

τηση f της

χεται από τα

άρτηση στο R

f x , x R

2x xf x ce

αι

ν

α

,

*

R

ων

R .

R

x

2.

f

2.

πα

κά

α

2.

ισ

f

2.

f

f

2.

εί

ισ

2.

αν

2.

δι

με

2.

f

f

2.

στ

γι

.150 Να βρ

(x) f(x) η

.151 Αν η


άθε x 0,π

α R .

.152 Να βρ

σχύει: x 2

3 7

.153 Να βρ

: 0, 0

(x) f(x) ln

.154 Nα βρ


σχύει f(x) x

.155 Να βρ

ν ισχύει f(x

.156 Βρείτε


ε τετμημένη

.157 Να βρ

: 0, 0

(x) f(x) ln

.158 Δίνετα

το R ώστε ν

ια κάθε x R

htt

ρείτε την f , α

μx συνx κα

f : 0,π R

η με π

f2

να αποδείξ

ρεθεί η συνά

2f x 2x

ρεθεί η παρα

0, αν ισ

f(x) για κά

ρεθεί, αν υπά


xf (x) , f(1)

ρείτε τη συνά

x) e f (x)

ε την εξίσωση

το M(0, 3)

α έχει εφαπ

ρεθεί παραγω

0, , αν ισ

f(x) για κά


να ισχύει [f (x

R και f 0

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

αν για κάθε

αι f(0) 1 .

R είναι δύο φ

0 και f x

ίξετε ότι f x

άρτηση f : R

5x 2 , x

αγωγίσιμη συ

σχύει ότι

άθε x 0 κα

άρχει, συνάρ

R * και για κ

1 και f( 1)

άρτησης f μ

xe 0 , x

η της καμπύλ

και σε κάθε

πτομένη με λ

ωγίσιμη συν

σχύει ότι f (1)

άθε x 0

ηση f , παρα

2xx) f(x)]e

1 .Bρείτε τον


h.gr/mipapagr

x R ισχύει

φορές

f x για

αημx ,

R αν

R και

υνάρτηση

ι f (1) 0

τηση f που

κάθε x R *

2 .

με f 0 2 ,

xR

λης που

ε σημείο της

εφ 2

4αλ

4α 1

νάρτηση

) 0 και

γωγίσιμη

f(x) f (x)

ν τύπο της f

Σ

r

ι

α


2.159 Αν


κάθε x 0,

2.160 Να

στο R με f

η γραφική π

έχει εφαπτο

2.161 Να

είναι δύο φο

διέρχεται απ

στο σημείο

-2x y 3

2x 1 f (

2.162 Έστ

παραγωγισι

Αν δέχοντα

τους και ισχ

x R , να δ

2.163 Α)


f 0 f 0

μηδενική συ

Β) Έστ

g x g x

g 0 1 . Ν

2.164 * Δί

R με f 0

f(x)f x e



η f : 0,π

ιμη με π

f2

,π , δείξτε ότ

βρεθεί συνά

x 0 , x R

παράσταση σ

ομένη με κλίσ



πό το O 0,0

O 0,0 είνα

0 και ισχύε

x) 4x f (x)

τω οι συναρτ

ιμες στο R μ

αι κοινή εφαπ

χύει f x g

είξετε ότι f x

Έστω συνά

ει f x f x

0 . Να απο

υνάρτηση.


x 0 για κάθ

Να αποδείξετ

ίνεται συνάρ

0 για την ο

2

21 2x

x

πος της f .


R είναι δύο

0

και f

τι f x αημ

άρτηση f παρ

R , f 1 9

σε κάθε σημε

ση 4x f(x) ,

πος της συνά


0 η εφαπτόμ

αι παράλληλη

ει

2f(x) 0, x

τήσεις f και

με f x 0 γι

πτόμενη σε κ

x f x g

x g x

άρτηση f : R

x 0 , x R

οδείξετε ότι η

ση g : R R

θε x R και

τε ότι η g x

ρτηση f παρα

οποία ισχύει

2x

1 για κάθε

δών

ο φορές

x f x γ

μx , α R .


και της οποί

είο M x,f(x)

x R

ρτησης f αν

R , η fC

μενη της fC

η στην ευθεία

x R

g δυο φορέ

ια κάθε x R

κοινό σημείο

x για κάθε

R για την

και

η f είναι η

με

ι g 0 0 ,

ημx .

αγωγίσιμη σ

ότι

ε x R . Να

για

ίας

)

ν

α

ές

R

ν

στο

2.

ν

τό

2.

στ

πα

2

γρ

2.

f

f

Δε

κα

2.

ισ

x

πα

2.

f

κά

Α

Β)

Γ)

2.

πα

ισ

Α

πα

Β)

.165 Έστω

ν 2 και ισχύ

ότε ναδείξετε

.166 Να βρ

το R , αν η εφ

αράσταση σε

xxe f x κ


.167 * Δίνε

xy f x

e e . Η f

είξτε ότι η f

αι ότι f x

.168 Έστωι

σχύει ότι και

, y R , f 1


.169 Η συν

0 2 και ι

άθε x, y R .

Α) f x

) η f είν

) ο τύπο

.170 Έστω


σχύει f xy

Α) Να απ


) Δείξτε

συνάρτηση

ύει f x f y

ε ότι η f είνα

ρείτε συνάρτη

φαπτομένη σ

ε κάθε σημείο

και το A 1,

άσταση της f

ται η συνάρτ

f y για κά



eln x , για κ

ι η συνάρτησ

f x y x

1 , f 2

η στοR και


ισχύει f y x

Να αποδείξ

0 για κάθε


ος της f είνα

συνάρτηση

η στο 1 με f

2 2x f y y f


η για κάθε x

ε ότι f x x

f : R R κα

νy x y

αι σταθερή.

τηση f , παρα

στη γραφική

ο x, f(x) να

2e

να ανήκ

f

τηση f : 0, +

άθε x, y 0,



κάθε x 0, +

ση f : R R ,

2xy y f x

2 . Δείξτε ότ

να βρεθεί ο

ίναι ορισμέν

x f y f x

ξετε ότι:

x R και f


αι 2xf x e

f : 0,

f 1 1 για τ

f x . για κά

ι η f είναι

x 0

2x ln(x) για κ

53

αι ν N . Αν

, x, y R

αγωγίσιμη

της

α έχει κλίση

ει στη

+ R με

+ και

ο ox 1 .

ο 0, +

+ .

, ώστε να

για κάθε

τι η f είναι

τύπος της

νη στο R με

2xye , για

f 0 1

2x

R ,

την οποία

άθε x, y 0 .

κάθε x 0

3

54

ΜΟΝ2.171 Μελ


2.172 Nα


2.173 Να


2.174 Να

συνάρτηση


2.175 Αν


φθίνουσα, ν

f(x)g x

x

2.176 Oι σ


x R να ισ

g(x) 0 . Να

x [0, ) κ

2.177 * Έσ

στο [0,+ )

x 1 ln(x

μελετηθεί η

ΝΟΤΟλετήστε τη μο

ων Α) f x

Β) f x

μελετήσετε τ

ων Α)

Β)


ς 2f x x

βρεθεί για π

f με f x

ως αύξουσα


ιμη με f 0

να αποδείξετ

, x 0 , είνα

συναρτήσεις

ιμες στο R μ

σχύουν f (x)g


και f(x) g(x

στω μία παρα

ώστε 5f(x)

4 xx 1) - x -

5 2

f ως προς τ

ΟΝΙΑ- ονοτονία των

xln x

x συνx,

τη μονοτονία

x

2

ef x

x

f(x) ln(1

τη μονοτονία

2 x 1 στο

ποιες τιμές το

3x α 1 x

στο R .

η f : R R ε

0 και η f ε

τε ότι η συνά

ι γνησίως φθ

f και g είνα

με f(0) g(0)

g(x) f(x)g (x

ε ότι: f(x) g

x) για κάθε x

αγωγίσιμη σ

5 32 f(x)

2 3x2015

2 6

την μονοτονί

ΑΚΡΟν

x [0,2π)

α των

ex 1 x 0

ln x x 0

2 xx ) e

α της

20,

3

ου α R , η

2 2x 10

είναι


ρτηση

θίνουσα.

αι

και για κάθ

x) και

g(x) για κάθ

x ( ,0] .

υνάρτηση f

3f(x)

5 . Να

ία της.

ΟΤΑΤ

0

0

1

ως

θε

θε

2

Α

Β)

2

εξ

2

2

2

x

2

2

ισ

ισ

εξ

2

f

3f

x

2

να

ΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

.178 Έστω

Α) να μελ

) να απ

α) πln e

β) ln x

.179 Να βρ

ξίσωσης ln(x

.180 Λύστε

.181 Να λύ

.182 Για κά

πx 1 συν

x

.183 Δείξτε

.184 Έστω

σχύει ότι f 1

σχύει ότι f x

ξίσωση f x

.185 Δίνετα

: R R για

3 x ln f(x

R . Να λύσ

.186 Αν xg


htt

Σ – ΑΝΙΣΩΣΕ


λετήσετε τη μ

ποδείξετε ότι:

π1 ln e

1 ln x 1

ρείτε το πλήθ

2x 1) x x

ε την εξίσωση

ύσετε την εξίσ

άθε x 2

πxσυν

1 x

ε ότι 2 ln(ημ

συνάρτηση

x f 1

x 0 , x R

0

αι η παραγω

α την οποία ,

f x 3) e x

σετε την εξίσ

g x συνx

ε ότι η

g(x)

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

ΕΙΣ -ΑΝΙΣΟ

η ln(xf x

ln

μονοτονία τη

:

21 π .

2ln x , x

θος των ριζών

x 6 0

η ln(x 1)x

σωση x 1e

να αποδεί

1

2μx) ημ x ,

f : R R για

x για κάθε

R , να λύσετε


ισχύουν f x

3 2x 2x 1

σωση f ln x

g x για κ

ημxx

για κάθε


h.gr/mipapagr

ΤΗΤΕΣ

x 1)n x

, x 2

ης f

2

ν της

2xx 0

x 2

2x e 0

ίξετε ότι

x 0,π

α την οποία

ε x R . Αν

ε την

άρτηση

x 0 και

1 για κάθε

2f 1 x

κάθε x R ,

ε x 0 .

Σ

r


ΑΚΡΟΤΑΤ

2.187 Να

την μονοτον

Α) f x

Γ) nf x

x

2.188 Να

την μονοτον

Α) f x

2.189 Δείξ

έχει ακριβώ

2.190 Να

συνάρτηση

οx 1 τοπι

2.191 Έστ

f : R R μ

Δείξτε ότι η

2.192 Έστ

βρείτε το ση

μικρότερη κ

2.193 Να

συνάρτηση

έχει ακρότα

2.194 Έστ


κάθε x 0,

1 2x x τέτο



ΤΑ ΣΥΝΑΡΤ


νία και τα ακ

2x lnx Β)

2

nx

x Δ) f x


νία και τα ακ

x , x 01

, x 0x

ξτε ότι η συν

ώς τρία τοπικ

βρεθούν οι τ

f x α ln 2

ικό ακρότατο

τω η παραγω

με 2 2(f(x)) x

f δεν έχει τ


ημείο της fC

κλίση.

βρείτε τις τιμ

3f x x

ατα.


γωγίσιμη τρε

,1 . Αν υπάρ

οια, ώστε f x



ΤΗΣΕΩΝ

τις συναρτήσ

κρότατα:

συνxf x 2 ,

xe2x

E) f


κρότατα:

B) 1f x

ln

νάρτηση f x

κά ακρότατα.

τιμές των α,

β2x α

x να

ο με τιμή 2


2 1 2xf(x)

οπικά ακρότ

ηση f x x

όπου η f έχ

μές του λ R

2λ 1 x λ

ηση f : 0,1

εις φορές με

ρχουν 1 2x ,x

1 2x f x

ξ 0,1 με

δών

σεις ως προς

, 0 x 2π

x x 4 x

σεις ως προς

x 1e , x 1n(1-x), x 1

2 xx e e

.

β R ώστε η

έχει στη θέσ

ln 2 .

άρτηση

) , x R .

τατα.

2ln x . Να

χει τη

R αν η

λ 5 x 2 δε

R , η οποία

f x 0 για

0,1 με

0 να

3f ξ 0 .

2x

2

η

ση

εν

α

2

φ

ισ

απ

A

B

Γ

Δ

ρί

2

τη

2

συ

x

απ

2

γι

e

τη

2

οπ

f

Α

απ

x

2

βρ

.195 Μια σ


σχύει: 2f (3x


A Υπάρχ

Η συν

f (1)

Η εξίσ

ίζα στο R

.196 Να βρ

ης συνάρτηση

.197 Δίνετα

υνάρτηση f

1 2, x (α,β)


.198 Έστω

ια την οποία

2xf x 1 0

ης εφαπτομέν

.199 Έστω

ποίες είναι π

x x 1 κα

Αν η fC διέρχ


o 0 τέμνον

.200 Αν ισχ

ρείτε το α



1) 4 4·f(2

ι:

χει ξ (1, 4) τ

νάρτηση f δε

f (4)

σωση f (x)

ρεθεί ο κ R

ης 2f x xe

αι η δυο φορ

στο [α,β] . Α

τέτοιοι ώστε

ι υπάρχει ξ

συνάρτηση

α ισχύουν: f

0 , για κάθε x

νης της fC σ

οι συναρτήσ


αι g(x)f x e


ι οι εφαπτόμ

νται κάθετα

χύει ότι ln x

είναι ορισμ

R και για κ

22x x 1) .

τέτοιο ώστε:

εν αντιστρέφ

0 έχει μια το

R ώστε η μέγι

2κ x να είναι

ρές παραγωγ

Αν υπάρχουν

ε f(α),f(β)

1 2(ξ ,ξ ) ώστ

f παραγωγί

0 1 και

x R .Βρείτε

στο σημείο A

σεις f ,g : R

μες και ισχύο

xe x για

ο σημείο A 0

μενες των fC

αx α

x , x

55

μένη και δύο

άθε x R

Να

f (ξ) 0

φεται

ουλάχιστον

ιστη τιμή

ι το e .

γίσιμη

ν

1 2f(x ), f(x ) ,

τε f (ξ) 0 .

ίσιμη στο R ,

την εξίσωση

A(0,1)

R οι

υν:

κάθε x R .

0,1 , να

και gC στο

x 0 ,να

5

,

,

56

2.201 Αν

κάθε x 0 ,

2.202 ¨Εστ

λ>0 με f x

και ότι η f

2.203 Έστ

Α) Να βρεί


Β) Αν λ 1

g x 1 λ

2.204 Έστ


παρουσιάζε

f 0 0 . Να

2.205 Να

σημείων 0(x

ακροτάτου

διατρέχει το

2.206 Έστ

Α) Να

την οποία ισ

Β) Να

το ελάχιστο

2.207 Εστ

0,3 με f (

2

f(xg(x)

1 f

μονοτονίας

α,β 0 και

να αποδείξε

τω η συνάρτ

x 0 , x



ίτε τη μικρότ

ει f x 0 γι

11

e να απο

x

x 1λ x

e

εί


ιμη με f x

ει για ox 0

α δείξετε ότι:

βρείτε τον γ

0 0, f(x )) , όπο

της f(x) x l

ο R


βρείτε την μ

σχύει ότι λx

βρείτε την τ

ο της f παίρν

τω f συνάρτη

x) 0 και f(

2

x)

(x), 0 x

ς και το σύνο

ισχύει ln x

xα

ετε ότι α β

τηση f x α

0 . Να δείξε

ως αύξουσα

ηση x

xf x

e

τερη τιμή του

ια κάθε x R


ίναι γνησίως

ηση f : R R

f x , x

τοπικό ακρό

: x f x f

γεωμετρικό τό

ου ox η θέση

ln x λx , λ

ση λf(x) x

μικρότερη τιμ

ln x για

ιμή του λ γι

νει τη μέγιστ

ηση παραγω

(1) 1 , f(2)

3 , βρείτε τα

ολο τιμών της

x 1xβ 2

γι

1 .

x αα x , x>0

ετε ότι α e

στο e, .

x

x1 λ , λ

υ λ για την

R .

συνάρτηση

ς φθίνουσα.

R , δύο φορέ

R που

ότατο το

x 0

όπο των

του τοπικού

R όταν το

ln x , λ 0

μή του λ για

κάθε x 0


η τιμή του.


) 1 . Αν

διαστήματα

ς g

ια

,

R

ές

ύ

λ

0

α

α

α

2

πα

f(

τό

f

2

να

2

με

Δ

2

άγ

γρ

2

έχ

2

R

δε

στ

2

εξ

2

ρι

α

2

εξ

.208 Μία σ


(α) f (α) f

ότε να αποδε

(x) 0 και f

.209 **Αν α αποδείξετε

.210 Έστω

ε f 0 f 0

είξτε ότι f 1

.211 Να απ

γονται ακριβ


ΕΞΙΣΩΣΕ

.212 Να απ

χει στο 0,π

.213 Η συν

R και ισχύει

είξετε ότι η εξ

το 0,π

.214 Να β

ξίσωσης 2 ln

.215 Να βρ

ιζών της εξίσ

α R

.216 Να απ

ξίσωση 3x α

htt


η στο R . Αν

f (α) 0 και

είξετε ότι οι ε

f(x) 0 έχουν

2x 4x f x

ε ότι f x 0

f δυο φορές

0 και f

11

3


βώς δύο εφαπ

άσταση της σ

ΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣ


ακριβώς μι


3f x f x

ξίσωση f x


2x λx 1,


σωσης 28x x


2αx 4x α

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

είναι τρεις

ν υπάρχει α

f (x) 0 γι

εξισώσεις f (

ν μοναδική ρ

x f x 0 ,

0 για κάθε x

ς παραγωγίσ

x 2x για

ι από το σημε

πτόμενες πρ


ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΟ

ι η εξίσωση σ

ια λύση


συνx , x

0 έχει μον

θος των ριζώ

λ 0

θος των πραγ

x α x 1

ι για κάθε α

0 έχει τρεις


h.gr/mipapagr

φορές

R ώστε

ια κάθε x ,

x) 0 ,

ρίζα.

x 0, 4

0, 4 .

σιμη στο R

κάθε x R .

είο A(1,1)

ος τη

xf(x) e

ΟΤΗΤΕΣ

συνx 2 x


0,π . Να

ναδική ρίζα

ών της

γματικών

0 όταν το

R η

ς ρίζες

Σ

r

.


2.217 Απο

x2αe 2 2

2.218 ** Α

εξισώσεις:

2.219 Να

x 1 ln x

οποίες είναι

2.220 Να

f x ln 1

2.221 A) Μ

τα ακρότατα

B) Να δείξε

2.222 Έστ

Α) Να απο


Β) Να λύσε

Γ) Να αποδ

2.223 *Να

θετικών ριζ

2.224 Έστ


f x x 0

f x 2 1


οδείξτε ότι γι

22x x έχει μ

Αν 2f x x

Α) f ln

Β) f x


x 1 έχει δύ

ι αντίστροφο

αποδειχθεί ό

2 xx e ε

Μελετήστε ω

α τη συνάρτη

ετε ότι xe



η σε ένα μόνο

ετε την εξίσω

δείξετε ότι xe

α βρείτε, για

ζών της εξίσω


ιμη στο R μ

0 για κάθε x

3x12

για κά


ια κάθε α 0

μοναδική ρίζ

1 ln(x) , ν

(x 1) f 6

17f x f


ύο ακριβώς ρ

οι αριθμοί.


ίναι γνησίως

ως προς την μ

ηση e

f(x)x

vexv

, x (

ηση xf x e

fC δέχεται


ση x 2e x

x 1 x 1 x

κάθε α 0 ,

ωσης 2x α

ση f δυο φορ

με f 0 2 , f

x R , δείξτε

άθε x R

δών

0 η εξίσωση

ζα στο R

α λύσετε τις

2x x 0

3 2008x f x

η

ρίζες, οι

τηση f με

ς αυξουσα

μονοτονία κα

x

v

e,ν N *

x

(0, )

2x x 1

οριζόντια

.

x 1 .

x , x R

το πλήθος τω

3α x

ρές

f 0 0 , και

ότι

αι

ων

ι

2

Β)

2

να

2

συ

Β)

απ

2

2

f

πλ

2

f(

R

2

οπ

απ

2

πα

κά

x

Ν

συ

ότ

.225 Α) να

) Να δε

.226 Αν ισχ

α βρείτε τη μ

.227 Α) Ν

υνάρτηση f

) Αν α,

ποδείξτε ότι

3 3 3α β γ

.228 Έστω

: R R με f

λήθος των ρι

.229 ** Να

2(x) ln(1 x

R και να λύσ

.230 Έστω

ποία ισχύει ό


.231 Αν η σ


άθε x R , να

0 .

Να βρεθεί ο τύπ

υνεχής στο 0τι f x f 1


ειχθεί ότι: 1π

χύει x 2e κx

μεγαλύτερη τ

Να μελετηθεί

3x 2x 2x

,β,γ 0,

23 2 α

η παραγωγίσ

f x 0 για

ιζών της εξίσ


2 x) e 1 εί

ετε την εξίσω

μια συνάρτη

ότι f x 2f

ι 2xf x e γ


η με f 0 0


πος της συνάρ

,1 , παραγωγ

f 0 για κ

ότι π ee π

1821 181

π

2 για κάθε x

τιμή του κ

ί ως προς τα

2x x lnx ,

με α β γ

2 2β γ α

ίσιμη συνάρτ

α κάθε x R .

σωσης xf e


ίναι γνήσια α

ωση f ln x

ηση f : R R

f x και f 0

για κάθε x

f : R R είν

0 και f x

ε xf x 0 γ

ρτησης f , που

γίσιμη στο 0,

κάθε x 0,1

57

π821π

x 0 , κ R

R

ακρότατα η

x 0

1 ,

α β γ

τηση

. Βρείτε το

f x α

τηση

αύξουσα στο

2f 1 x

R για την

1 . Να

0 .

ναι

f x 0 για

για κάθε

υ είναι

,1 και ισχύει

7

ι

58

ΚΥΡΤΕΣ-Κ

2.232 Να

κοίλα και τα

Α) h(x) x

Γ). g(x) ln

2.233 Να

της x lf

σημεία καμπ

2.234 Nα

2g x ln x

2.235 Αν

5f x x 5

τρία σημεία

2.236 Δίν

την οποία ισ

για κάθε x

κυρτή στο

2.237 Δίν


έχει σημείο

Α) Να

Β) Βρε

καμπής της

4 x ln x

2.238 Έστ

ιδιότητα (x

Να αποδειχ

καμπής.

ΚΟΙΛΕΣ Σ


α σημεία κα

2 8x

x

2n x x 1


xln e x , x

πής


x 2x ln x x

είναι γνωστό

4 35αx 10βx

α καμπής, να


σχύουν f x

0 . Nα απο

0, .

εται ότι η γρ

ς f x α x

καμπής το A


είτε την εφαπ

και να αποδ

x 3 , x


2 x 1)f (x

χθεί ότι η fC

ΣΥΝΑΡΤΗΣ


αμπής.

Β) g(x

Δ) f(x)

ότι η γραφικ

IR έχει ακρ


2 3 είναι κυ

ό ότι η συνάρ

2x , x R ,


ρτηση f : 0,

x και f x

οδείξετε ότι η


x β ln x βx

A 1,3

ότι α 4 και

πτομένη της


1 .

ηση f : R R

f(x)) xe 0 γ

έχει ακριβώ

ΣΕΙΣ - Σ

σεις ως προς τ

5 3x) 3x 5x

x) xe

ή παράσταση

ριβώς δύο

ηση

υρτή

ρτηση

,α,β R έχει

ότι 2α β .

R για

xx

x f(x)

η f είναι

άσταση της

x με α,β R ,

ι β 1 :

fC στο σημε

R με την

για κάθε x

ώς ένα σημείο

ΣΗΜΕΙΑ Κ

τα

η

ι

α

,

είο

R

ο

2.

πα

εί

ακ

2.

πα

f

x

2.

εί

2f

απ

2.

πα

δε

ση

2.

πα

g

Α

Β)

κυ

2.

εί

g

ΚΑΜΠΗΣ

.239 Η συν


ίναι δυνατόν

κρότατο και

.240 Nα δε

αράσταση τη

4x 2x 4α

R , δεν έχε

.241 Έστω

ίναι δύο φορ

2 x x 4


.242 Η συν

αράγωγο κα

είξετε ότι το

ημείο καμπή

.243 Έστω


x R , f 1

g x f x f

Α) Βρείτε

) Να βρ

υρτή ή κοίλη

.244 Έστω

ίναι κυρτή με

f(x)(x)

x είν

htt


η στο R . Να

ν η f να έχει

σημείο καμπ

είξετε ότι για


3 2αx 3 2α

ει σημεία καμ

συνάρτηση

ές παραγωγί

f x x 0 γ

ι η fC δεν έχ

νάρτηση f έχε

ι xf (x) ημ

A(0, f(0)) δεν

ς της fC

συνάρτηση

η στο R με f

0 και η συ

f 2 x , x

ε τις ρίζες κα

ρείτε τα διασ

η και τα σημε

συνάρτηση

ε f(0) 0 . Δε

ναι γνήσια α

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

ίναι δύο φορ


ι στο ox τοπ

πής.

α κάθε α IR

ης

24α 5 x

αμπής.

f : 0,1 R

ίσιμη και ισχ

για κάθε x

χει σημεία κα

ει συνεχή δεύ

μ2x 0 , x

εν μπορεί να

f δύο φορές

στο R f

υνάρτηση

R .

αι το πρόσημο

στήματα που

εία καμπής τ

f : [0, ) R

είξτε ότι η συ

αύξουσα στο


h.gr/mipapagr

ρές

ότι δεν

ικό

η γραφική

αx 1 με

η οποία

χύει ότι

0,1 . Να

αμπής

ύτερη

R . Να

είναι

ς

x 0 ,

ο της g .

η g είναι

ης gC

R η οποία

υνάρτηση

(0, ) .

Σ

r


2.245 Αν

τον γεωμετρ

γραφικής π

2.246 Δίν

παραγωγίσμ

f(x)f(x) e


Α) δεν

Β) έχει

ΕΞΙΣΩΣ

2.247 Α) Η


δείξετε ότι γ

1 2x xf

2

B) Να απο

α β R

Γ) Δείξτε ό

2.248 Αν


2.249 Η σ


και f 0 f

κυρτή στο R

2.250 Η σ


παράσταση

αξόνων, να

ότι 3f x 4


λxf(x) 2e

ρικό τόπο τω

αράστασης τ


μη στο R κα

21 x x e

η γραφική τη

έχει σημεία

ι ένα ακριβώ

ΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩ

Η συνάρτηση

ιμη και κυρτ

για κάθε 1x ,x

1f x f x

2

οδείξετε ότι: e

τι α β

ln2

x 0 , y 0

ότι ισχύει


ιμη στο R κ

0 0 . Να

R


ιμη και κυρτ

της f περνά


3x4f

4


22

2x , λ

λ

ων σημείων κ

της f , για κά

ρτηση f δύο

αι ισχύει

xe για κάθε

ης παράστασ

α καμπής

ώς κρίσιμο ση

ΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣ


τή σε διάστημ

2x Δ ισχύε

2x (Jensen)

α β

2e 1

lnα lnβ ,

0 , α 1 και

α1x y

x

είναι δύο φ

αι ισχύει ότι


είναι δύο φ

τή στο R κα

ά από την αρ

ότι για κάθε

δών

0. Να βρείτε

αμπής της

άθε λ (0,

φορές

x R . Να

η

ημείο.

ΣΟΤΗΤΕΣ

ο φορές

μα Δ . Να

ει

βαe 1 e 1

fα,β Α

x y 1 , να

α α

α 1

1 5y 2

φορές

f x f x


φορές

αι η γραφική

ρχή των

x R ισχύει

ε

)

1

α

1

ι

ή

ι

2.

1

f

f

2.

1

ότ

2.

f

x

2.

f(

Α

μο

Β)

f(

2.

1

f

κά

2.

δι

β

2.

1

f

f

.251 Η συν

1, με παρ

1 1 Να α

x x 1 f

.252 Η συν

1, με f γ

τι f x x 1

.253 Δείξτε

: R R ώστ

R

.254 Έστω

x 1

x 1

e(x)

e 1

Α) Να με

ονοτονία, τα

) Να δε

(ln x) f (x 1

.255 Η συν

1, με παρ

1 0 Να α

άθε x 1,

.256 Αν οι

ιαδοχικοί όρ

γβ αα γ

.257 Η συν

1, με παρ

1 1 Να α

x x 1 f


ράγωγο γνήσ


f x 1 0 γι


γνήσια αύξου

f x για

ε ότι δεν υπά

τε f x 0 κα


για x R .

ελετηθεί η συ

α κοίλα και τα

ειχθεί ότι για

1) f(x 1)




.

α,β,γ R

ροι αριθμητικ




f x 1 0 γι


σια αύξουσα

τι

ια κάθε x


υσα και f 1

κάθε x 1,

άρχει συνάρτ

αι f x 0

η f : R R μ

υνάρτηση ως

α σημεία καμ

α κάθε x 1 ι

f (ln x)



τι f x x 1

με α β γ

κής προόδου



τι

ια κάθε x

59


α και

1, .


0 Δείξτε

.

τηση

για κάθε

με

προς τη

μπής.

ισχύει


α και

f x για

, είναι

υ δείξτε ότι


α και

1, .

9

60

ΚΑΝΟΝΕΣ

2.258 Να β

Α) xlim

Γ) xlim

2.259 Να υ

Α) xx 0

ημxlim

x e

Γ) x

xlim

x

2.260 Απο

x ln x

f x 1 x-1

2.261 Nα υ

2.262 Nα υ

2.263 Να υ

2.264 Να β

2.265 Υπολ

2.266 Nα β

2.267 Να υ

Σ DE L΄ HO

βρεθούν τα π

m (x ln x)

1xm x e 1

υπολογίσετε

x

xσυνx

1 ημx

3

2

οδείξτε ότι είν

x, 0 x 1

x , x=1

υπολογιστεί



βρεθεί το xli

λογίστε το x

βρείτε τo xlim


OSPITAL

παρακάτω όρ

Β) x 1lim lnx

Δ) 1x

xlim x

τα παρακάτ

Β) xlim xln

Δ) x

x

elim

4e

ναι συνεχής

και ότι f 1

τo x 0

1lim

ημx

τα

1x

x 0

elim

x

το x 0

1 σlim

x

x

e 2xim

4e x

x

3x lnlim

x ln x

ln xm

2 ln x

το x 0

2xlim

1

ρια

ln(lnx)

τω όρια:

x 1n

x 1

x

x

2x 1

x 3


0,5 .

2 1x ημ

x

και 1x 0x

xlim

e

3 2

6 4

συν x ln x

x ln x

1

3

x x

x x

x e e

x e e

ln x

ln x

ημx

συνx

η

2.

2.

το

2.

γι

γι

2.

τη

κά

έχ

f

2.

πα

hli

εφ

εξ

2.

τα

2.

α

.268 Αποδε

.269 Αν f

ο

f x

f xx 0

elim

e

.270 Έστω


ια κάθε x R

.271 Έστω

ην οποία ισχύ

άθε x 1 . Ν

χει συνεχή 2η

0 f 0 0

.272 Δίνετα


0

f(x 4h)im

φαπτομένη τη

ξίσωση y 5

.273 Αν f

α α,β R ώσ

.274 Να βρ

α,β,γ ώστε xli

htt

είξτε ότι x 0lim

x2e 2x

xx

μια συνεχής

ισχύει xf x

R . Να βρείτε

f : R R , συ

ύει 1 συνx

Να βρείτε το

η παράγωγο

0 . Να δείξετε


η στο R . Αν

22f(x 2h)h

ης fC στο ση

x 8 , να βρε

1x

x ln xx 1

e ln(

στε η f να είν

ρεθούν οι πρ

x x

20

αe βem

x

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

4 x

20

x e xm

sinx x

2

2x 2 xx

να

ς συνάρτηση

ημxe f x

ε το f 0 .

υνεχής συνά

x f x ln 1

f 0 .Η συνά

ο στο R με f

ε ότι: x 0

f(xlim

1

ηση f : R R

ν για κάθε x

f(x)24x 8

ημείο M 1,f

είτε τον τύπο

αx β, x , x=0

x) α , x

ίναι συνεχής

ραγματικοί α

x γ1


h.gr/mipapagr

2

118


f : R R

xημx e

άρτηση, για

x x για

άρτηση f

30

2 και

x) f( x)3

συνx

R δύο φορές

R ισχύει

8 και η

f(1) έχει

ο της f

0

0

να βρείτε

στο ox 0

αριθμοί

Σ

r

ε

ε


ΑΣΥΜΠΤΩ

2.275 Nα β

παραστάσεω

x

3

eh(x)

x ,

λ x x ln

2.276 Έστω

g x f x

η ευθεία y

, να βρεί

2.277 Nα α

ασύμπτωτη τ

f x 2 ln e

2.278 Έστω

g x xf e

της fC στο 0

στο .

2.279 Έστω

xlim f x ημ

Αποδείξτε ότ

της γραφική

ΜΕΛΕΤΗ Σ

2.285 Να

Γ) x

f(x)x

2.286 Να

παράσταση


ΩΤΕΣ

βρείτε τις ασ

ων των συναρ

f(x)

xn e 1

ω οι συναρτή

x ln x 1

x 3 είναι

ίτε την ασύμ



xe 1 2 ln 2

ω η συνάρτη

x . Αν η ευθ

0 , να βρείτε

ω συνάρτηση

1μ 1

x

και

τι η y x 2

ής παράσταση

ΣΥΝΑΡΤΗΣ


11

κάνετε μελέτ

(για λόγους


σύμπτωτες τω

ρτήσεων

ln xx 1

,

ήσεις f,g : 0

ln x για κ

ασύμπτωτη

πτωτη της C

ότι η y 2x

ς παράσταση

2

ση f : R R

θεία y 2x

την ασύμπτω

η f : R R ,

x

xf xlim

ln x

2 είναι πλάγ

ης της f στο

ΣΗΣ


Δ) f x

τη της συνάρ

ς απλότητας

δών

ων γραφικών

xk x xe

, R με

κάθε x 0 . Α

της fC στο

gC στο .

2 ln 2 είναι

ης της

και η g με

1 εφάπτετα

ωτη της gC


2x2

x

.

για ασύμπτω

ο

σεις Α)

ln xx

ρτησης f x

θεωρείστε σ

ν

21

x

ε

Αν

αι

ωτη

2.

πα

έχ

2.

f(

τι

A

B)

ορ

2.

οπ

απ

C

2.

τη

ασ

2.

f

Bρ

3f(x) x

Ε) f x

121

eσ 2π

σ 1 και μ

.280 Να βρ

αράσταση τη

χει ως ασύμπ

.281 Δίνετα

2

1(x)

x αx

ις ευθείες x

A) Να βρ

) Να απ

ριζόντια ασύ

.282 Έστω

ποία ισχύει e


fC .

.283 Να απ


σύμπτωτες.

.284 Αν η γ

έχει ασύμπτ

ρείτε το xlim

12x

ln x, x

x1 x, x

2x μσ

και να

0 )

ρείτε τα α,β,

ης f με f(x)

πτωτες τις ευθ

αι ότι η συνά

β έχει κατ

3 και x=5

ρεθούν οι αρ


ύμπτωτη της

συνάρτηση

xe xf(x)

ι ο άξονας x


ης f(x) ημx

γραφική παρ

τωτη στο

2

f(x) ημ

xf(x) 2x

Β) f(x) ημ

11

σχεδιάσετε τ

,γ R ώστε η

2(α 1)x3x γ

θείες x 2

άρτηση f με τ

τακόρυφες ασ

ριθμοί α και

ι η ευθεία y

fC στο +.

f : 0,

1 για κάθε x

x είναι ασύ

ι η γραφική π

x ln x, x 0 δ

ράσταση της

την ευθεία

2 x

2

μx x e

ln x x ημ

μx x , x [

τη γραφική τ

61

η γραφική

βx 5γ

να

και y 3 .

τύπο

σύμπτωτες

β .

0 είναι

R για την

x 0 . Να


παράσταση

δεν έχει


α y 2x 3 .

1x

.

π,π]

της

1

ς

62

ΠΡΟΒΛΗΜ

2.287 Αν

ελάχιστο, να

2.288 Σε ο

οποίο ισχύο

άξονα x΄x κ

B το εμβαδ

2.289 Μια

πώληση του

500 € το έν

μείωσης της

μικρότερη α

2.290 Ένα

Ορίζεται οτ

30 € για κά

επιπλέον τω

Α) Ποι

Β) Ποι

2.291 Ενα

0,8 € το λίτ

Α) να ε

Β) να β

Γ) πόσ

2.292 Η σ

A) την

B) το μ

2.293 Δίν

A 9,4 τη μ

2.294 Το ά

τους.

ΜΑΤΑ

Μ το σημείο

α βρεθεί η απ

ορθοκανονικ

ουν τα εξής. Η

και η κορυφ

δό του τριγών

α εταιρεία αυ

υ κάθε αυτοκ

α, οι πωλήσε

ς τιμής είναι

από 2000 € .

α τουριστικό

τι για να γίνε

θε άτομο. Για

ων 30 , θα με

ιο το πλήθος

ια το μέγιστα

α φορτηγό δι

τρο και κατα

εκφράσετε το

βρείτε την τα

σα είναι τα ελ

συνάρτηση π

ν χρονική στι

μέγιστο κέρδ

εται η ευθεία

μικρότερη δυ

άθροισμα δύ

ο του διαγράμ

πόσταση OM

κό σύστημα σ

Η κορυφή Γ

ή B είναι ση

νου ABΓ γίν

υτοκινήτων ε

κινήτου είναι

εις αυξάνοντ

ι ανάλογη τη

Πόσα αυτοκ

γραφείο οργ

ει η εκδρομή

α να αυξήσει

ιώνει κατά 3

των επιπλέο

α έσοδα του γ

ιανύει καθημ

αναλώνονται

ο κόστος της

αχύτητα που

λάχιστα αυτά

ου μας δίνει

ιγμή, κατά τη

ος της επιχεί

α y 2x 3 .

υνατή απόστα

ύο αριθμών ε

μματος της f

M όταν ο ρυθ

συντεταγμένω

έχει συντετα

ημείο της παρ

νεται μέγιστο

εκτιμά ότι μπ

ι 5000 € . 'Εχ

ται κατά 1000

ης μείωσης αυ

κίνητα πρέπε

γανώνει εκδρ

χρειάζονται

ι τις συμμετο

30 λεπτά την

ον επιβατών

γραφείου απ

μερινά 100 km

ι με ρυθμό 2

διαδρομής α

πρέπει να έχ

ά έξοδα;

το κέρδος μι

ην οποία η επ

ίρησης.

Να βρείτε το

αση.

είναι 82 . Να

f με f x x

θμός μεταβολ

ων θεωρούμ

αγμένες 4,

ραβολής y

ο ;

πορεί να που

χει επίσης υπ

0 αυτοκίνητ

υτής. Αν η τι

ει να πουλήσ

ρομές με λεω

ι τουλάχιστο

οχές το γραφ

ν χρέωση κάθ

κάθε λεωφορ

πο κάθε λεωφ

km με σταθερ

2x400

lt/h. Τ

αυτής ως συν

χει το φορτη

ιας επιχείρησ

πιχείρηση θα


βρείτε τη μέ

xln x λx 3

λής του OM

ε ορθογώνιο

,0 , η κορυφ

24x x . Για

υλήσει 2000

πολογίσει ότι

τα τον μήνα.

ιμή ενός αυτο

σει η εταιρεία

ωφορεία. Κάθ

ον 30 συμμετ

είο κάνει της

θε επιβάτη».

ρείου που με

φορείο;

ρή ταχύτητα

Τα υπόλοιπα

νάρτηση της

γό , ώστε τα

σης είναι: P(

α παρουσιάσ

ς ευθείας αυτή

έγιστη τιμή π

htt

3 που αντιστο

ως προς λ

τρίγωνο ΑΒ

φή A είναι στ

ποια τιμή τω

αυτοκίνητα

για κάθε μεί

Η αύξηση τω

οκινήτου δεν

α, ώστε να έχ

θε λεωφορείο

τοχές και τότ

ς εξής προσφ

γιστοποιεί τα

x km/h . Τα

α έξοδα του φ

ταχύτητας x

έξοδά του να

2

(t 1)(t)

(t 1)

n

σει μέγιστο κέ

ής το οποίο α

που μπορεί να

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

τοιχεί στο τοπ

γίνει μηδέν.

ΒΓ με οΑ 90

στο διάστημα

ων συντεταγ

τον μήνα, αν

ίωση της τιμή

ων πωλήσεω

ν μπορεί να ε

χει τα μέγιστα

ο έχει 70 θέσ

τε η τιμή ορίζ

φορά. «Για κά

α έσοδα;

α καύσιμα κο

φορτηγού είν

x ,

α είναι τα ελ

, t 0 . Να β

έρδος.

απέχει από τ

α πάρει το γ


h.gr/mipapagr

πικό της

ο , για το

α [0, 4] του

γμένων του

ν η τιμή

ής κατά

ν λόγω

είναι

α έσοδα;

σεις.

ζεται στα

άθε επιβάτη

οστίζουν

ναι 9 €/ώρα

άχιστα,

βρείτε:

το σημείο

ινόμενό

Σ

r

α


ΓΕΝ2.295 Δίν

στο ox 2 κ

A) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

2.296 Δίν

γραφική πα

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

2.297 Έστ

Α) Να

Β) Να

Γ) Αν

2.298 Έστ

Α) να α

Γ) να λ

2.299 Θεω

f 0 0 . Να

Α) Η f

Β) Το θ

Γ) Ο τύ

Δ) Η f

Ε) Η ευ


ΝΙΚΕεται η συνάρ

και η εφαπτό

βρείτε τις τιμ

βρείτε το πλ


βρεθούν τα

εται η παραγ

αράσταση αυ


βρεθεί το σύ




βρείτε την μ

Rμ και ισ

τω η συνάρτ


λύσετε την α

ωρούμε τη συ


f δεν παρουσ

θεώρημα του

ύπος της συν

f δεν έχει ορ

υθεία (ε) : y


ΕΣ ΑΣρτηση f x

όμενη της στ

μές των α,β

λήθος των ριζ

η εξίσωση f x

κx

f(x)lim

x,

x

γωγίσιμη συν

υτής διέρχετα

πος της f .

ύνολο τιμών


ηση f : R R

η εξίσωση f x

μονοτονία τη

σχύει 4g(x μ

ηση f(x) ln

τι α= 1 ,

ανίσωση ln 2

υνάρτηση f

ε ότι:

σιάζει ακρότ

υ Rolle δεν εφ

νάρτησης f ε

ιζόντιες ασύ

3e 1x

3e 3

δών

ΣΚΗ3 2αx βx 1

ο σημείο A

R και το σ

ζών της εξίσω

x 2004 έχε

κx

f(x)lim , κ

x

νάρτηση στο

αι από το σημ

της.

η: xe 3x e

R , δύο φορέ

x 0 έχει το


μ) g(4x) , x

αn x α

x με

22

12x 2

x


τατο σε κανέν

φαρμόζεται

είναι f x l

μπτωτες.

1 είναι κάθε

ΗΣΕΙ12x , όπου α,

1, f(1) διέρχ

σύνολο τιμών

ωσης f x 0

ει μόνο μία λ

Z

ο R για την ο

μείο Μ 1,3

έχει μόνο μί

ές παραγωγίσ

ο πολύ μία ρί

ης g(x) f (x

x R να βρεί

ε x 0 . Αν γ

Β) να

21ln x

3

ία ισχύει f x

να σημείο το

σε κανένα δ

x 33e xln

3

γ

ετη στην εφα

ΙΣ ,β R , η οπο


ν της f .

0 .

λύση.

οποία για κά

, τότε:

ία ρίζα στο (

σιμη ώστε να

ίζα στο R .

x) , x R .

ίτε την μικρό

για κάθε x


2

13

2x 2

x f(x)x e

ου διαστήματ

ιάστημα της

για κάθε x


οία παρουσι

3,5 .

άθε x 0 ισχ

(0, ) .

α ισχύει f (x

ότερη τιμή πο

0 είναι f(x)

ξίσωση xx

2 ln x f(x)e για

τος 0, .

μορφής 0,x

0,

ς fC στο ox

ιάζει τοπικό

χύει f (ln x)

x) f (x) 0, x

ου μπορεί να

0 τότε

x 1e , x 0

α κάθε x 0

ox .

1

63

ελάχιστο

x 3 . Αν η

x R .

α πάρει ο μ .

0, και

3

64

2.300 Δίν

Α) Να

Γ) Να

Δ) Να

2.301 Δίν

Α) Να

Γ) Αν

2.302 *Έσ

και f 0 0

Α. Να

Β. Να

Γ. Να

2.303 * Έσ

g x λx 4

Α) Να

Β) Να

2.304 Έστ

f xe 3f ' x

Α) Να


Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

Ε) Να

Στ) Να

Ζ) Να


βρείτε τα ακ


βρείτε για τι


βρείτε το πρ

ισχύει ότι ln

στω συνάρτησ

0

εκφράσετε τ


βρείτε την π

στω συνάρτη

24

x και g

βρείτε τον α



x f x για κ


ότι η fC τέμ

δείξετε ότι 3


βρείτε τον τύ


βρείτε την κ

σχεδιάσετε τ

ρτηση f(x)

κρότατα της

ότι x 0lim f(x)

ις διάφορες τ

ρτηση f(x)

ρόσημο της f

βxxn β

α α

ση f , παραγ

την f συναρ

ότι x

f(x)2

πλάγια ασύμπ

ηση g : 0,

x 4 6x

αριθμό λ

πλάγια ασύμπ


κάθε x 4 , f

η f είναι γνη

νει τον x 'x

3f '' x f ' x

ότι υπάρχει μ

ύπο της f γι


κατακόρυφη

τη γραφική π

x λ ln x ,

f

και xlim

τιμές του λ

x xln

α α

.

β για κάθε x


ρτήσει της f κ

xf΄(x) x , γ

πτωτη της γρ

R παρα

14x

για κάθ

πτωτη της C

νη και δύο φο

f ' x 0 για κ

ησίως αύξουσ

σε ένα μόνο

2x και ότι η

μοναδικός x

ια x 4

η f x κ έχ

ασύμπτωτη τ

παράσταση τ

λ R

Β) Να

m f(x)

R το πλήθο

1 με α>0

Β) Να

x 0 , να απο

ο R , που ικα

και να δείξετ

για κάθε x

ραφικής παρ

αγωγίσιμη στ

θε x 0

gC στο κα


κάθε x 4 κ

σα στο , 4

σημείο.

η fC στρέφε

ox 0,1 ώσ

χει μοναδική

της f .

της f .


ος των ριζών

α λύσετε την ε

οδείξετε ότι β

ανοποιεί τις σ

τε ότι η f είν

0 .

ράστασης της

το 0, με

αι να υπολογ


και f 1 0 ,

4 , να βρείτε

ει τα κοίλα ά

στε 0f x x

λύση στο

htt

ότι x

ln xe

γ

της εξίσωση

εξίσωση x

eα

β=1 .

σχέσεις f x

αι δύο φορές

ς f στο .

, g 1 2

γίσετε το xlim

, 4 για τ

f 1 1

ε το πρόσημο

νω στο ,

0 0x f ' x (3)

, 4 για κά

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

για κάθε x

ης λ xxe e

xαe για κάθ

f xe x

ς παραγωγίσ

λ , g 1

g x ημm

xg x 6x

την οποία ισχ

ο της f και ν

4

άθε κ R


h.gr/mipapagr

0

θε α>0

1 , x R

σιμη στο R

8 ,

2

μx 4

x ln x

χύουν:

να

Σ

r


2.305 Η σ

Α) Να

Β) Αν

α) Να

Β) να β

στο σημείο τ

2.306 Έστ

Αν ισχύει ό

Α) f (x

Β) η ευ

Γ) f x

2.307 ** Δ

κάθε x R .

Α. Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

2.308 **H

κάθε x 0 .

Α) η f

2.309 Έστ

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Αν

1

1 2f '(x ) f '(x




επιπλέον είν


βρείτε την εξ

της με τετμημ


ότι h 0

2f(xlim

3

4x)

x

υθεία y 2x

2x 2x 2

x

Δίνεται συνάρ

.



βρείτε την εφ


H συνάρτηση

Να αποδείξ

είναι 1 1

τω f συνεχής

δείξετε ότι υ



f x 0 για

2

23

x )



παράγωγο τη

ναι 0 f x

παράγωγο τη

ξίσωση της εφ

μένη 0x 1

ηση f : R R

2

3h) 5f(x)

h

2004 είναι

2004 για κάθ

ρτηση f : R



φαπτομένη τ

ότι 3x

f(x)lim

x

f είναι ορισ

ξετε ότι:

Β) f f

ς στο , παρ

υπάρχει τέτ

υπάρχουν 1ξ

υπάρχει ox

α κάθε x α

δών



1 για κάθε


φαπτομένης τ

R η οποία είν

3f(x 2h)

ι πλάγια ασύ

θε x 0,

R για την

ηση h(x) f

ι κοίλη στο 0

της γραφικής

0

σμένη και πα

(x) x για


τοιο ώστε f

2,ξ α,β μ

α,β τέτοιο

α,β τότε υπά

ο R με f x

ης g x f

x R και f

ης g x ln


ναι έχει συν

3

60

x και

xlim


οποία γνωρ

3(x) f(x) x

0,

ς παράσταση


α κάθε x 0

στο α,β ) με

ξ 1

με 1 2ξ ξ τέ

ο ώστε of x

άρχουν 1x ,x

0 για κάθε

x

f 1 e , f 1

f(x)

ής παράσταση

νεχή δεύτερη

m f x 4

fC στο

ίζουμε ότι: f

x , x IR είν

ης της f στο

η στο 0,

Γ)

ε f α α , f

έτοια ώστε 2f

2α β3

.

2x α,β μ

ε x R .

1 1 τότε:

ης της συνάρ

παράγωγο σ

24x 9 200

(0) 0 και f

ναι σταθερή.

ox 0

και ισχύει ό

αν f 1 1

f β β

1 2f ξ f ξ

ε 1 2x x τέτο

ρτησης g x

στο IR .

04 , να δείξετ

2

1f (x)

3f (x)

ότι f f (x)

τότε f x

3

οια ώστε

65

ln f(x)

τε ότι

1 για

f x 0 για

ln x .

5

α

66

2.310 * Έσ

α,β . Αν f

Α) υπά

Β) υπά

Γ) το x

2.311 Δίν

το 1,4 . Ν

Αα) Υπά

β) Υπά

γ) Υπά

Βα) Η ευ

στο 1,e

β) Υπά

2.312 Μια

2f (3x 1) 4

A Υπά

B Η σ

Γ f (1

Δ Η εξ

2.313 Για


2.314 Δίν

για κάθε x

. Να δείξετε

2.315 Δίν

x 0,1 . Ν

στω συνάρτη

f α f β ν

άρχει 0x α

άρχουν 1x

ox του (Α) ε



άρχουν 1 2x ,x

άρχει ξ 1, e

άρχει οx 1,

υθεία y x

άρχουν 1 2ξ ,ξ


24·f(2x x

άρχει ένα του


) f (4)

ξίσωση f (x)

την παραγω

πος της f .

ονται οι συν

α,β και ο

ε ότι υπάρχε



ηση f η οποί

να αποδείξετε

α,β τέτοιο ώ

α,β και x

ρωτήματος β

ρτηση f δύο

τε ότι :

2 1,e με x

e ώστε f ξ

,e ώστε of x

e 2 τέμνε

2 1,e με 1ξ

η f είναι ορισ

1) . Να απο

υλάχιστον ξ

δεν αντιστρ

0 έχει μια τ


ναρτήσεις f κ

οι μιγαδικοί

ει ξ α,β ώ

ρτηση f ορισ

τε ότι: υπάρχ

ία είναι συνε

ε ότι:

ώστε: 0f(x )

2x α,β με

βρίσκεται πλ

φορές παραγ

1 2x x ώστε f

0

4o of (x ) 4f (

ι τη γραφική

1 2ξ ώστε να

σμένη και δύ

οδείξετε τα εξ

(1, 4) τέτοιο

ρέφεται


άρτηση f : (1,

και g , συνεχ

w 2f α

ώστε

f ξ

g ξ

σμένη και πα

χει ξ 0,1

εχής στο α,

f(α) f(β)2

.

ε 1 2x x τέτο

λησιέστερα στ


1 2f x f x

o o(x ) x

ή παράσταση

α ισχύει ότι


ξής:

ο ώστε: f (ξ)

ν ρίζα στο R

,+ ) R , ισ

χείς το α,β

ig β , z g

f ξ0

g ξ


ώστε (1 ξ)

β παραγωγ

οια ώστε: f

το β απ’ ότι

ο 1,e με f

0

η της f σε ένα

1 2f ξ f ξ


0

σχύει ότι f

2ln

, παραγωγίσ

α 2if β

η στο 0,1 μ

) f (ξ) f(ξ)

htt

γίσιμη στο α

1 2

1 1x f x

στο α .

1 2 , f e

α τουλάχιστο

1

στο R και γι

(x)x f (x)

n x

σιμες στο α,

ώστε να ισχύ

με f(0) 0 κα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

ttp://users.sch

α,β και κυρ

β α2

f(β) f(α

e 1 και σύν

ον σημείο με

ια κάθε x R

0 . Αν f e

,β με g x g

ύει ότι 2w

αι f x 0 γι


h.gr/mipapagr

ρτή στο

α)

νολο τιμών

τετμημένη

ισχύει:

1 τότε να

g x 0

z 2w z

ια κάθε

Σ

r

ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis B - mathematica.gr · Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να...

Documents

Transcript of ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis B - mathematica.gr · Γ Λυκείου –Μ 2 ΠΑ 2.01 Να...