Aalg Sxol 2015-2016 Papagrigorakis

Α ΛυκείουΆλγεβρα

4ο ΓΛΧ

2015-2016

Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά

Άλγεβρα

Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα

Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Α Λυκείου –

0 ΚΕ

Μαθηματ

0.01 Δι

προτάσεων:

Α) Υπ

Β) Μ

Γ) Υπ

τετράγωνό τ

Δ) Κά

0.02 Ν

προτάσεις τ

Α) Αν

Β) Αν

τότε είναι ισ

Γ) Αν

είναι ισοσκε

0.03 Δε

0.04 Ν

αντιθετοαντ

Α) Αν ο 2x

περιττός ,

Β) Αν ένα τε

τότε αυτό δε

0.05 Ν

Α) p q

Γ) p q

0.06 N

κάθε μια απ

A) α

B) 2α

Γ) 2α

–Άλγεβρα

ΕΦΑΛΑΙΟ

τική Λογική

ιατυπώστε τι

:

πάρχει τρίγω

Μερικοί ακέρα

πάρχει πραγ

του είναι αρν

άθε τετράπλε

α διατυπώσε

των προτάσεω

ν α 3 τότε

ν ένα τρίγων

σοσκελές ,

ν ένα τρίγων

ελές.

είξτε ότι p

α διατυπώσε

τίστροφες πρ

είναι περιττ

ετράπλευρο

εν είναι ορθο

α αποδείξετε

q p

q

α χαρακτηρί

πό τις παρακ

2 α 2

2 4 α 2

2 4 2

Ο 0

ή

ις αρνήσεις τ

ωνο που είνα

αιοι είναι πρ

γματικός αριθ

νητικό ,

ευρο είναι τε

ετε τις αντίστ

ων:

2α 9 ,

νο έχει δύο γ

νο είναι ισόπ

q q

ετε τις

ροτάσεις των

τός τότε και ο

έχει άνισες δ

ογώνιο.

ε ότι:

Β) p q

Δ) p p

ίσετε ως Σωσ

κάτω συνεπαγ

2 ,

α 2 .

ων

αι ορθογώνιο

ρώτοι ,

θμός που το

ετράγωνο.

τροφες

γωνίες του ίσε

πλευρο τότε

p .

ν προτάσεων:

ο x είναι

διαγωνίους,

p ,

q .

στή ή Λάθος

γωγές:

ο

ες

:

Σ

0.

στ

Β)

Δ)

σω

3

0.

A

B

Ν

0.

συ

β)

γ)

0.

Β

A

0.

Ν

0.

υπ

χα

απ

Α

Β)

Γ)

Δ)

ύνολα

.07 Α) Ν

τοιχείων του

2 x 1 και

) Γράψτε το σ

) Για τα προη

ωστές ή λάθο

Γ , (0,2)

.08 Δίνο

A x R /(x

B y R /(y

Να βρείτε τα σ

.09 Να β

υνόλων: α) A

) A R 1,

) A 3,

.10 Αν Ω

Β 3, 4 τότε

A B A

.11 Να σ

Ν Ζ ... , R

.12 Έστω

ποσύνολα εν

αρακτηρίσετ

πό τις παρακ

Α) Αν A

) Αν B

) Αν A

) Είνα

Να γράψετε μ

το σύνολο: Β

ι y R με 2x

σύνολο Γ={2,

ηγούμενα σύ

ος τις προτάσ

Β , 8Β

ονται τα σύνο

2x 4)(x 1)(x

2y 2)(y 16)

σύνολα A

βρεθεί η ένωσ

A R 1, 2

2 και B 1

και Β

Ω 1,2,3, 4,

ε να αποδείξε

B και A

συμπληρώσε

Z ... , R

ω ότι τα σύνο

νός συνόλου

ε αν είναι σω

κάτω προτάσ

A B τότε A

B A τότε A

A B Ω κα

αι A , γι

με αναγραφή

Β={ x, y /x

x y 1 }.

2,4,6,8} με περ

ύνολα να χαρ

σεις:

, -1Γ ,

ολα:

3x 64) 0

2)(y 9) 0

B και A B

ση και η τομ

και B R

1, ,

, 5 .

, 5 , Α 2,3

ξετε ότι:

B A B

ετε τις ισότητ

Q ... , R

ολα Α και Β

αναφοράς Ω

ωστή ή λάθος

σεις:

A B A .

A B B .

αιA B τ

ια κάθε A .

3

ή των

ακέραιος με

ριγραφή

ρακτηρίσετε

0Γ

και

B .

μή των

1, 3 ,

3 και

B .

τες

N ...

Β είναι

Ω . Να

ς κάθε μια

τότε A B .

3

ε

4

http://users.s

1 ΠΙΘ

Ισοπίθανα

1.01 Έσ

B ω Ω/

εκλέξουμε τ

τις πιθανότη

Β) στο Α κα

Γ) στο Α κα

Δ) σε ένα το

1.02 Ρί

Να βρείτε τ

και 5 στο ά

1.03 Ρί

διαδοχικά δ

ενδεχομένω

Α) Το αποτέ

μικρότερο α

Β) Οι ενδείξ

Γ) Το άθροι

είναι μεγαλ

1.04 Έσ

Εκλέγουμε τ

πιθανότητα

2λ 3λ 0

1.05 Σε

είναι 54 . Α

Λυκείου η π

τάξης είναι

τάξης είναι

Α) το πλήθο

Β) το πλήθο

Γ) την πιθαν

εκλέξαμε τυ

sch.gr/mipap

ΘΑΝΟΤΗΤ

α Ενδεχόμ

στω τα σύνολ

/ω περιττός

τυχαία ένα στ

ητες να ανήκ

αι στο Β

ι όχι στο Β

ο πολύ από τ

ίχνουμε δύο

ην πιθανότη

άλλο.

ίχνουμε ένα

δύο φορές. Β

ων

έλεσμα της π

από το αποτέ

ξεις και στις δ

ισμα των ενδ

λύτερο του 9

στω το σύνολ

τυχαία ένα λ

α ο λ να είνα

ε ένα Λύκειο

Αν εκλέξουμε

πιθανότητα ν

0, 36 και η π

0, 34 . Να βρ

ος όλων των

ος των μαθητ

νότητα να εί

υχαία μαθητή

pagr

ΤΕΣ

μενα

λα Ω 1,2,

Α ω Ω/

τοιχείο του Ω

κει: Α) στο Α

α Α και Β.

αμερόληπτα

ητα να φέρου

αμερόληπτο

ρείτε τις πιθα

πρώτης ρίψης

έλεσμα της δε

δύο ρίψεις εί

δείξεων στις δ

.

λο Ω 0,2,3

λ Ω . Να βρ

αι ρίζα της εξ

ο οι μαθητές τ

τυχαία ένα μ

να είναι μαθη


ρείτε:

μαθητών του

τών της Β τάξ

ίναι ένας μαθ

ής της Γ τάξη

3, 4,5

/ω 4 . Αν

Ω , να βρείτε

Α ή στο Β,

α ζάρια μαζί.

υμε 6 στο ένα

ζάρι

ανότητες των

ς είναι

εύτερης ρίψη

ίναι ίδιες.

δύο ρίψεις

3, 4 .

ρείτε την

ξίσωσης

της Α τάξης

μαθητή του

ητής της Α

να είναι της

υ Λυκείου,

ξης,

θητής που

ης.

ε

α

ν

ης.

Β

1.

κό

σφ

Α

Β)

Γ)

1.

κό

τυ

κό

πά

κό

κο

1.

χώ

P

εν

Γ:

Δ

1.

οι

μπ

πο

μα

Α

Β)

μπ

Γ)

το

.06 Ένα

όκκινες σφαί

φαίρες. Να β

Α) να είναι δύ

) να είναι η π

) να είναι κα

.07 Ένα

όκκινες και μ

υχαία μία μπ

όκκινη μπάλ

άρουμε μαύρ

όκκινες και π

ουτί.

.08 Έστω

ώρου Ω τέτο

1P A B

6

νδεχομένων.

:«Πραγματοπ

: «Δεν πραγμ

.09 Από

ι 20 ασχολο

πάσκετ και κ

οδόσφαιρο ή

αθητή. Nα β

Α) Να μην ασ

) Να ασχολεί

πάσκετ,

) Να ασχολεί

ο μπάσκετ.

κουτί περιέχ

ίρες. Βγάζουμ

βρεθεί η πιθα

ύο κόκκινες,

πρώτη άσπρη

ι οι δύο άσπ


μερικές μαύρ

πάλα. Η πιθα

λα είναι 12κα

ρη μπάλα είν

πόσες μαύρες

ω Α, Β ενδεχό

οια, ώστε Ρ Α

. Να βρεθούν

ποιείται ένα

ματοποιείται

ό τους 50 μα

ύνται με το π

καθένας ασχο

ή το μπάσκετ

ρεθεί η πιθαν

σχολείται με τ

ίται με το πο

ίται με το πο

Π

χει 2 άσπρες

με διαδοχικά

ανότητα:

η και η δεύτε

πρες.

χει 12 άσπρ

ρες μπάλες. Π

ανότητα να π

αι η πιθανότη

ναι 13

. Να βρ

ς μπάλες υπά

όμενα ενός δ

1Α

3 , Ρ Β

ν οι πιθανότ

μόνο από τα

ι ούτε το A ο

αθητές της A

ποδόσφαιρο,

ολείται με το

τ. Επιλέγουμε

νότητα:

το ποδόσφαι

οδόσφαιρο κα

οδόσφαιρο αλ

Πιθανότητες

και 3

ά δύο

ερη κόκκινη,

ες, μερικές

Παίρνουμε

πάρουμε

ητα να

ρείτε πόσες

άρχουν στο

δειγματικού

14

και

τητες των

α A και B »

ούτε το B ».

τάξης ενός

, οι 40 με το

ο

ε τυχαία ένα

ιρο,

αι με το

λλά όχι με

ς

,

ο

α


1.10 Έσ



Να μην πρα

Β είναι 14

,

Nα πραγμα

είναι 23

.


ένα το πολύ

1.11 Έσ

χώρου με μη

ισχύει Ρ Α

ότι το Α είν

αδύνατο.

1.12 Έσ



να πραγματ

να μην πρα

πραγματοπ

16


Α) έν

Β) το

Γ) κα

Δ) μό

Ε) μό

ΣΤ) το

–Άλγεβρα

στω Α,Β δύο

ύ χώρου Ω γ

α

αγματοποιείτ

ατοποιείται μ


ύ από τα Α κ

στω Α,Β ενδ

η μηδενικές π

Ρ Α Ρ Α

ναι βέβαιο εν

στω Α,Β δύο

ύ χώρου για

α:

τοποιείται το

αγματοποιείτ

ποιούνται συγ


να τουλάχιστ

ο πολύ ένα απ

ανένα από τα

όνο το Α ,

όνο ένα από

οΑ ή να μην

ο ενδεχόμενα

για τα οποία

ται κανένα α

μόνο ένα από

ητα να πραγμ

και Β .

δεχόμενα ενό

πιθανότητες

2Α Ρ Β . Ν

νδεχόμενο κ

ο ενδεχόμενα

τα οποία ισχ

ο Α είναι 15

ται το Β είνα

γχρόνως και

ητα να πραγμ

τον από τα Α

πό τα Α και

α Α και Β ,

τα Α και Β

πραγματοπο

α ενός

ισχύει ότι η

από τα Α κα

ό τα Α και Β


ός δειγματικο

, για τα οποί

Να αποδείξε

αι το Β

α ενός

χύει ότι η

,

αι 35

και να

ι τα δύο είνα


Α και Β ,

Β,

,

οιείται το Β

αι

Β

ι

ού

ία

ετε

ι

ι:

1.

μα

το

το

πά

«β

Π

1.

έχ

τω

τυ

κι

τη

κι

1.

κό

σφ

Α

Β)

κό

Γ)

1.

απ

κό

τη

ίδ

Α

Α

χρ

Β

Γ

ήτ

Β)

Α

.13 Σε μ

αθητών μιας

ο καλοκαίρι

ο καλοκαίρι

άει διακοπές

βουνό» ενώ τ

Πόσα άτομα έ

.14 Σε έν

χει κινητό τη

ων μαθητών

υχαία ένα μα

ινητό και να

ην πιθανότητ

ινητό.

.15 Ένα

όκκινες σφαί

φαίρες. Να β

Α) να ε

) να ε

όκκινη

) να ε

.16 Μέσ

πό τις οποίες

όκκινες. Επιλ

ην άλλη μέχρ

διου χρώματο

Α) Τις πιθανό

Α: «Οι μπάλε

ρώματος».

Β: «Στο κουτί

Γ: «Από τις μπ

ταν περισσότ

) Τις πιθανότ

Α Β, Β Γ ,

μια έρευνα πο

ς τάξης βρέθη

διακοπές σε

διακοπές σε

ς το καλοκαίρ

τρείς μαθητές

έxει η τάξη;

να σχολείο το

λέφωνο ή δε

έχει κινητό κ

αθητή. Αν η π

μην έχει Η/

τα να μην έχ


ίρες. Βγάζουμ

βρεθεί η πιθα

ίναι δύο κόκ

ίναι η πρώτη

ίναι και οι δ

σα σε ένα κου

ς οι 3 είναι ά

λέγουμε την

ρι να μείνουν

ος. Να βρείτε

τητες των εν

ς που επιλέξα

έμεινε μόνο

πάλες που επ

τερες από τις

τητες των ενδ

, Γ Α , Α

ου έγινε μετα

ηκε ότι το 50

«νησί», το 5

«βουνό», το

ρι σε «νησί»

ς δεν θα πάν

το 50% των μ

εν έχει Η/Υ κ

και Η/Υ. Επι


/Υ είναι 15

, ν

χει ούτε Η/Υ

χει 3 άσπρες

με διαδοχικά

ανότητα:

κκινες,

η άσπρη και

δύο άσπρες.

υτί υπάρχουν

άσπρες και ο

μία μπάλα μ

ν στο κουτί μ

ε :

νδεχομένων:

ξαμε ήταν του

ο μία μπάλα»

πιλέξαμε οι κ

ς άσπρες».

δεχομένων :

Β .

5

αξύ των

0% θα πάει

50% θα πάει

10% θα

και σε

νε πουθενά.

μαθητών

και το 25%

ιλέγουμε

να έχει

να βρείτε

ούτε

και 2

ά δύο

η δεύτερη

ν 5 μπάλες

οι 2

μετά από

μπάλες του

υ ίδιου

».

κόκκινες

5

6

http://users.s

Λογισμός Π

1.17 Αν

χώρου και ι

2P B

3 , τό

1.18 Θε

πειράματος

P A B

βρείτε τις P

1.19 Αν


P A P Β

1.20 Αν


P A B

1.21 Αν


1P A

6 , P

τις :

Α) P

Β) P

Γ) P

1.22 Αν

P A και P

sch.gr/mipap

Πιθανοτήτων

ν Α,Β ενδεχ

ισχύουν P A

ότε βρείτε τις

εωρούμε τα ε

ς τύχης, με πι

34

, 2P A

3

P A , P B ,

ν για δύο ενδ

ύ χώρου Ω ι

11Β

10 να β

ν για δύο ενδ

ύ χώρου Ω ι

56

να υπολο

ν A,B είναι

ύ χώρου Ω κ

1P A

6 κα

P A ,

A Β ,

A Β .

ν 3 2

Ρ(Α ) Ρ(Α

P A .

pagr

ν

χόμενα ενός

1A B

4 , P

ς P A B ,

ενδεχόμενα

ιθανότητες τέ

23

, P A B

P A B .

δεχόμενα A

ισχύουν: P A

ρείτε την P

δεχόμενα A

ισχύουν: P A

ογίσετε την P

ι ενδεχόμενα

και ισχύουν ο

ι P A Β

2 25Α) 6

να β


1P A

3 ,

P A B .

A,B ενός

έτοιες ώστε:

14

. Να

,B ενός

2A B

5 ,

A B .

,B ενός

1A

2 ,

P Β Α .

ενός

οι ισότητες

215

, να βρείτ

βρείτε τις

ύ

τε

1.

δε

3

να

1.

δε

P

υπ

P

1.

δε

A

οι

1.

χώ

P

πι

1.

δε

P

Ν

πρ

κα

1.

δε

Ρ

πι

απ

.23 Αν γ

ειγματικού χ

P A B 1

α υπολογίσετ

.24 Αν γ


P A 2P Β

πολογίσετε τ

P A B .

.25 Εστω


A B Ω , Ρ

ι: P A B

.26 Αν A

ώρου Ω και

P A B

ιθανότητα P

.27 Δίνο


1P(A B)

4

Να βρείτε την

ραγματοποιη

αι Β .

.28 Έστω


1Ρ Α Β

4

ιθανότητα να

πό τα Α και

για δύο ενδεχ

χώρου Ω ισχ

3Ρ Α Β

τε την πιθανό

για δύο ενδεχ

χώρου Ω ισχ

1 και 2P

ις πιθανότητ

ω A, B ενδεχ

χώρου για τα

Α α , και

P A B

A, B ενδεχό

ισχύουν P A

1A B

6 ,

P A B .

ονται δύο ενδ

χώρου Ω για

, P(A B)

ν πιθανότητα

ηθεί μόνο έν

ω Α,Β δύο ε

χώρου Ω για

και Ρ Β

α μην πραγμ

ι Β .

Πραγματ

χόμενα A,B

χύει:

νότητα P Β

χόμενα A,B

χύει ότι: P A

A B 1 , ν

τες P Α Β


α οποία ισχύο

Ρ Β β . Ν

P A B P

όμενα ενός δε

2A B

3 κ

, να βρείτε τη

δεχόμενα A

α τα οποία ισ

120

και P B

α του ενδεχομ

να από τα ενδ

ενδεχόμενα ε

α τα οποία ισ

12

. Να βρείτ


τικοί Αριθμοί

ενός

.

ενός

A 3P Α ,

να

, P Β Α ,

ουν

Να βρεθούν

P A B .

ειγματικού

και

ην

και B ενός

σχύουν:

1B A

2 .

μένου να

δεχόμενα Α

ενός

σχύει ότι:

τε την

ι κανένα

ί


Παραμετρ

1.29 Αν


με Ν Ω 3

A, B συμπλ

οι πιθανότη

1.30 Αν


2P B 7λ

1.31 Έν

φτιαγμένο ώ

είναι ανάλο

βρείτε τη πι

1.32 Έσ

χώρος ενός

του Α= 1ω ,

Αν ισχύουν

41 κ

P(ω )3κ

πιθανότητες

Ανισότητες

1.33 Αν


Α) 0 4P(A

Β) 1P(A

2

Γ) P(A B)

Δ) 2P(A B

–Άλγεβρα

ρικές

ν Ω δειγματ

ς τύχης με ισο

30 και Ν Α

ληρωματικά

ητες P A κα

ν A,B ασυμ

ύ χώρου Ω μ

6λ 2 , να δ

να μη αμερό

ώστε η εμφάν

ογη του κ μ

ιθανότητα εμ

στω 1Ω ω ,


2 3,ω ,ω και

ν : 1Ρ Α

κ

κκ

, να βρεθε

ς 2P(ω ), P(ω

ς

ν Α,Β είναι ε

ύ χώρου Ω ,

A)P(A ) 1 ,

2 2) P(A )

P(A)P(B)

B) P(A) P(

τικός χώρος ε

οπίθανα απλ

2x 42

, P

ά ενδεχόμενα

αι P B .

μβίβαστα ενδ

με 2P A λ

δείξετε ότι 14

όληπτο ζάρι ε

νιση κάθε αρ

με κ 1, 2, 3

μφάνισης κάθ

2 3 4,ω ,ω ,ω

τύχης και τα

Β= 1 3ω ,ω .

, 2κΡ Β

2

εί ο κ R * κα

4ω ).

ενδεχόμενα ε

να αποδείξε

2 1 ,

P((A Β) ) ,

(B) 2P(A

ενός

λά ενδεχόμεν

xB

6 , με

α, να βρεθούν


,

1λ

2 .

είναι έτσι

ριθμού κ ν

, ...,6 . Να

θε αριθμού.

ο δειγματικό

α ενδεχόμενά

1κ

και

αι οι

ενός

ετε ότι:

,

B) .

να

ν

ός

να

ός

ά

1.

δε

Α

εί

Β)

1.

P

1.

χώ

Ν

1.

δε

απ

1.

κα

P

1.

δε

Ν

Α

Β)

Γ)

.34 Έστω


Α) Να αποδεί

ίναι ασυμβίβ

) Να αποδείξ

.35 Έστω

P(B) 0,78 . Ν

.36 Έστω

ώρου με Ρ Α

Να δείξετε ότι

.37 Έστω


ποδείξετε ότι

.38 Αν A

αι 225P A

P A και P B

.39 Έστω


Να αποδειχθε

Α) 2Ρ Γ Ρ

) 3Ρ Γ 2Ρ

) Ρ Α Β

ω A , B ενδεχ

χώρου Ω με

ξετε ότι τα εν

βαστα.

ξετε ότι: 1

P6

ω A , B ενδεχ

Να δείξετε ότ

ω Α, Β ενδεχό

1Α

3 , Ρ Α

ι 5Ρ Β

12

ω A , B ενδεχ

χώρου Ω με

ι: 1

P(A B6

A, B συμπλη

8 29P A

B .

ω Α,Β,Γ ενδ

χώρου Ω τέτο

εί ότι:

Α Ρ Β ,

Α Β Ρ

Ρ Α Ρ Β


1P(A)

2 , P

νδεχόμενα A

1P(A B)

2

χόμενα με P

τι: 0,1 P(A

όμενα ενός δ

3Β

4

34

.


1P(A)

2 , P

1B)

2 .

ηρωματικά ε

P B , να β


οια, ώστε Γ

Α Β 3Ρ

Γ .

7

2(B)

3 .

A και B δεν

.

P(A) 0,32 ,

B) 0, 32 .


2(B )

3 . Να

ενδεχόμενα

βρεθούν οι

ός

Α Β .

Α Β ,

7

8

http://users.s

2 ΠΡ

Iδιότητες

2.01 Αν

υπολογιστεί

2.02 Δε

Α x 3y

2.03 Αν

2β β 1

οι α και β

2.04 Αν

παράσταση

2.05 Αν

παράσταση

x, y .

2.06 Αν

xy

και η τιμ

2.07 Αν

ότι ο α

2.08 Ν

τετραγώνων

είναι άρτιος

2.09 Αν

2ν

2

ααx x

sch.gr/mipap

ΡΑΓΜΑΤΙΚ

ς των πράξ

ν α 0, 5 κ

ί η 3 2α 3β

είξτε ότι αν ε

4z και B y

ν οι αριθμοί

είναι αντίστ

είναι αντίθε

ν α 3β 1

ς α(α 1) 4

ν xy(2y x)

1 1

x1 1

2y

ν x y 3x y 2

,

μή της παράσ

ν ο α είναι π

21 2α 2


ν δύο διαδοχ

ς.

ν γβα

x y ω

ν2 2 2

2 2 2

α β γ

y ω

pagr

ΚΟΙ ΑΡΙΘΜ

ξεων

και β 0,001

β 4 3α 2

είναι αντίθετ

y x 2z , τό

2α α 1

τροφοι, να απ

ετοι.

να βρεθεί η

4β(2 α) β(α

0 , δείξτε ό

12yx

είναι αν

y 0 να βρ

στασης Α=x

2

περιττός ακέ

είναι πολλα

ε ότι το άθρο

χικών περιττ

να αποδειχ

ν ν ν

ν ν

α β

x y

ΜΟΙ

να

2 α 2β 1

οι οι αριθμο

ότε y z .

και


τιμή της

α 8) .

ότι η

νεξάρτητη τω

εθεί ο λόγος

2 2

2

x y

2xy x

.

ραιος δείξτε

απλάσιο του

οισμα των

ών αριθμών

τεί ότι:

2ν

ν

γ

ω

.

.

οί

ι

ων

4 .

Δ

2.

Α

2.

Α

Β)

2.

2.

(

2.

μπ

β)

2.

α

2.

2.

2.

{2

ω

Δυνάμεις

.10 Να α

Α)

22 3

13 2

α β

α β α

.11 Να υ

Α) 5x x

) 1x

.12 Α) Ν

322 273 8

.13 Αν ν

v v 11) ( 1)

.14 Ποιο

πορούμε να

) τρία τριάρι

.15 Για π

κ 1 2κα β γρά

.16 Να β

.17 Δείξ

.18 Να γ

101 1712 : [(5 : 5

ς δύναμη με

απλοποιήσετ

2

2 4

α β

α β

, B)

υπολογίσετε

2

32 xxy :

y

23 1

11 3 3

x y

y x y

Να απλοποιη

278

και 2

7

α

α

ν είναι φυσικ

1 v 2( 1) (

ος είναι ο μεγ

φτιάξουμε μ

ια, γ) τρία τ

ποια τιμή του

άφεται ως δύν

βρεθεί ο ν

τε ότιαα

β

x

x

γράψετε την

170 985 3) 2

βάση το 8

Πραγματ

τε τις παραστ

) 2 1

2

3x y 4x

x y

τις παραστά

αν x 0, 4 κ

2 αν 1

x10

ηθούνοι παρα

3 2

2 2

β αβ

β α β

κός με v 1 ,

v 3( 1) 0 .

γαλύτερος α

με: α) τρία δυ

τεσσάρια;

υ κ η παράσ

ναμη με βάσ

Z αν 3ν 62

β γβ β

γ

x

x

ν παράσταση

105 3 42 : (2 ·2 )


τάσεις:

3x y

.

άσεις:

και y 2,5

3 , 2

1y

10

αστάσεις:

3

7

, δείξτε ότι:

αριθμός που

υάρια,

σταση

ση αβ ;

2ν 6

1

γ αγ

α

x1

x

:

11 9 38(2 ) ]}·2

ί


Ταυτότητ

2.19 Ν

α) 16 8x

2.20 Αν

2 2α β 4α

2.21 Απ

βρείτε τις τι

A) 2x xx 1

Γ) 2

2

x 3x

x x

2.22 Αν

της παράστ

x1 1:

x y

2.23 N

Α) Αν 2

Β) Αν

2.24 Γι

2 2 2α β γ

2.25 Γι

αν x y ω

2.26 Αν

τριγώνου κα

αποδείξετε ό

2.27 Αν

2α β α

–Άλγεβρα

τες – Παραγ

α συμπληρώ

2...

ν α β 2 ν

α 2αβ 4β

πλοποιήστε τ

ιμές του x για

2

3

1 x 1

x 1

2

2

2 x 2x

x x 2

ν x 0,5, y

ασης

2 2

y 1 12 x y


2 22 α β α

1 1α β

α β

ια κάθε α,β,γ

2 αβ βγ γ

ια κάθε x, y,ω

2 2ω 3 x

ν α,β,γ είνα

αι ισχύει ότι

ότι το τρίγων

ν β α 1 να

2 4 4β α β

γοντοποίη

ώσετε τα παρα

β) 9 4 2

να αποδείξετε

3 1 .

τις παραστά

α τις οποίες ο

Β) 1

xx

2 Δ)

2(x

x

y=-2 να βρεί

2 2

xy

x y

.

ε ότι:

2α β τότε

4

, αβ 0

γ R , δείξτε

γα τότεα β

ω R , να απ

2 2y ω τότ

αι τα μήκη π

2α βγ 2αβ γ

νο είναι ισόπ


4 8 8α β

ηση

ακάτω κενά:

2... ... .

ε ότι

άσεις, αφού

ορίζονται:

2 3 2

3

1 x xx (x 1)

2

x) 2x 2

x 1

ίτε την τιμή

α β .

0 τότε α β

ε ότι: αν

β γ .


τε x y ω .

πλευρών

α β γ2

, να

πλευρο.

ε ότι:

16 16α β .

,

.

:

2.

να

2.

2.

x

2.

α

2.

α

α

2.

ισ

2.

β

2.

Α

Β)

2.

ότ

2.

αν

.28 Αν


.29 Αν α

.30 Αν x

2 2y , 3x y

.31 Aν x

2 2α β 1 να

.32 Αν α

α β γ 0 , ν

2 2α β 2βγα β

.33 Αν γ

σχύει ότι 3x3

.34 Ανα

4

3 3

α

β γ 3αβγ

.35 Για κ

Α) Ο αρ

) Ο αρ

.36 Αν α

τι: α

αβ α 1

.37 Να α

ν 1 1 1α β γ

2x α y

ότι x α κα

1α 5

α βρε

x y 2 και

3y , 1 1x y , x

3x 4α 3α ,


α β 0 , β

να αποδείξετ

2 2β γ 2αβ γ

για τους θετικ

3

2

ωxyy

ω

27

3

α β γ 0 ,α

4

3 3

β

γ γ α 3

κάθε φυσικό

ριθμός 2987

ριθμός 24 δι

αβγ 1 και

β1 βγ β 1

αποδείξετε ότ

0 τότε 2

βγ

α

2β 4 αx

αι y β .

είτε τα 2αα

ι xy 1 υπολ

2 2x y xy , 2

1

x

, 3y 4β 3β

ότι 2 2x y

γ 0 , γ α

τε ότι:

2 2αγ γ αα

κούς ακέραι

ω

δείξτε ότι x

αβγ 0 δείξ

33αβγ α

ν, δείξτε ότι

2985 είναι

ιαιρεί τον 25

βγ β 1 0

γγα γ 1

ότι

2 2

γα αβ3

β γ

9

βy τότε

32 3

1 1, α

α α .

λογίστε τα

2

1

y .

β και

1 .

α 0 και

2αβ0.

γ

ους x, y,ω

x y ω .

ξτε ότι

4

3

γ

β 3αβγ

ι

άρτιος.

2ν 1 .

0 αποδείξτε

1 .

3 .

9

10

http://users.s

Διάταξη – Α

2.38 Αν

τιμές που μπ

x y , 1y

, 2

2.39 Αν

ποιών τιμών

1

2x , 1

1

2.40 Δε

.

2.41 Ν

Α) Aν 3α

Β) Αν α 1

Γ) Αν x y

2.42 Ν

Α) α,β είνα

Β) α,β είνα

Γ) α 0 τότ

2.43 Αν

α+βαβ γ

2


2.44 Δε

.

2.45 Αν

ώστε 3α 4β

30 α β

sch.gr/mipap

Ανισότητες

ν 2 x 4

πορεί να πάρ

32x

y , 2x , y

ν είναι 2 x

ν βρίσκοντα

11 x

, 2x 3

x

είξτε ότι x


β τότε α

α

τότε 3α α

τότε x 7


αι ομόσημοι

αι ετερόσημοι

τε 2

2α1

α 1

ν για τους α

β+γγ βγ

2

ότι α β γ

είξτε ότι 12

ν α,β θετικο

β 120 , να α

40 .

pagr

και 3 y 7

ρουν οι παρα

2y , 2 2x y .

x 8 να βρείτ

ι οι παραστά

, 2x

1 y xy

ε ότι:

α β β4 3

.

2 α 1 .

y 5 .

ε ότι αν:

τότε βα

β α

ι τότε βα

β α

.

α,β,γ 0 ισχ

γ+-α γα

2

.

1 11001 1002

οί ακέραιοι α

αποδειχτεί ότ

7 να βρείτε τ

αστάσεις

τε μεταξύ

άσεις

y x y 1

2 .

2

χύει ότι

α-β 0

να

1...

2000

αριθμοί τέτοι

τι

τις

0

α

1

ιοι

2.

2.

A

B)

2.

Α

Β)

2.

Α

2.

ισ

ότ

2.

ότ

2.

2.

2.

Α

Β)

2.

απ

.46 Συγκ

.47 Αν α

A) 2 2α β 2

) 2 2α 1 β

.48 Αν α

Α) 2 2α αβ β

) 2 2 2α β γ

.49 Αν α

Α) αβ αα β 4

.50 Αν α

σχύει ότι 2α

τι το τρίγωνο

.51 Για τ

τι: α β γ

1 α β

.52 Για κ

2γβα

β γ α

.53 Δείξ

.54 Για κ

Α) α

) 1

.55 Αν ε


κρίνετε τους

α, β, γ R ν

2αβ ,

21 γ 1

α,β R αριθ

2 0 ,

αβ βγ γ

α, β θετικοί,

β , Β)

α β2

α, β, γ είναι

2β 2γ α

ο είναι ισόπλ

τους θετικούς

γ αγ 1 α 1

κάθε α,β,γ

γ βα3γ β α

τε ότι βα

β γ

κάθε α,β R

2 2β 2 α

22 3α α α

είναι x, y 0

ι 4 3x y 51

Πραγματ

αριθμούς 2


8αβγ .

θμοί να δείξε

γα .

, να αποδείξε

2αβ

1α

ι πλευρές τρι

β γ , να α

λευρο.

ς α,β,γ , να

γβ1 β 1 γ

.

*R , να απο

βα

.

2γβ α

3γ α γ

R να δείξετε ό

2β ,

24 1 α α

0 και 3 2x y

12 .


512 και 343 .

ε ότι:

ετε ότι:

ετε ότι

1β

ιγώνου και

αποδείξετε


δείξετε ότι:

γ βαγ β α

ότι

4 6α α .

64 να

ί


Απόλυτη

2.56 N

7 ... ,

2α ... ,

2x 4x 4

2.57 Αν

σύμβολο τη

Α 3 α β

2.58 Αν

απόλυτες τι

Α 2 x 3

Γ 2x 6

2.59 Αν

παραστάσει

Β 6 2x

2.60 Αν

παράσταση

2.61 Γρ

A x 8 2

2.62 N


Ε 2 x 3

2.63 Ν

Α) α

Β) α

Γ) αα

2.64 Απ

–Άλγεβρα

Τιμή

α βρείτε τις α

2 1 ... , 3

2x π ... ,

... , 0ημ38

ν α β γ ν

ης απόλυτης τ

2 γ α 3

ν 3 x 2

ιμές τις παρα

6 x 2 x

ν 1 x 2

ις: Α x 1

3 3 4x 9

ν 1 α<β<

: α β 2α+

ράψτε χωρίς

2x , Β

α γράψτε χω

ις: Δ 2x

2 x 1


2α β α β

2α 2β 3

ααα α

, α

ποδείξτε ότι

απόλυτες τιμ

3 π ... ,

, 2 1 ..

1 ...

να γράψετε χ

τιμής την πα

β γ .

γράψτε χωρ

αστάσεις:

1 B

Δ

να απλοποιή

x 2 x

2 να απλοπο

+3 3β 7

απόλυτα τις

2x 6 , Γ

ωρίς τις απόλ

x 4 2x 4

, ΣΤ 2

ε τις ισότητες

2 22 α β

22β α 3

0

2x 2 x

μές:

2 2 ...

.

χωρίς το

αράσταση

ρίς τις

x 8 4x ,

2 x x 4

ήσετε τις

2 x 3

οιήσετε την

ς παραστάσει

x 4 3x

λυτες τιμές τι

4 ,

2x x 4 .

ς:

2β .

2x 6 14

4

ις

ις

4

2.

Α

Β)

Γ)

2.

απ

2.

Α

2.

Α

2.

|2

2.

x

2.

Α

Β)

Γ)

2.

με

α

2.

d

d

.65 Να α

Α) x y

) (x

) x

.66 Αν x


.67 Nα α

Αν x 1 και

.68 Nα α

Αν x 1 και

.69 Εάν

2x y| 7 .

.70 Βρεί

x 2011 x

.71 Να α

Α) xy

) x

) 2x5x

.72 Αν

εταξύ ποιων

α β .

.73 Να β

d x,3 7 ,

d x,2 3


2 2y x y

x )(x x ) 0

y x y

κx

|y| |κ|

ι |x| |m| 1


ι 1

y2

τότε


ι y 2 τότε

|x| 2 , |y

ίτε τις τιμές τ

1 2α x α


y2

x , αν x

1 1x

x x α

5y x1

2y y

α 1 5 και

τιμών μεταβ

βρεθεί το x ό

d(x, 3)

d x, 1

ότι:

4xy

0

2 2x y

y, m

|κ|

1 .

ότι:

ε 3x 2y 2

ότι:

2x 3y 1

y| 3 να δείξ

των 1 2α , α , .

9... x α

ότι:

x, y 0 .

αν x 0 .

x1

y .

ι β 2 3 να

βάλλεται η π

όταν:

2 ,

1 2 .

11

|y| να

7

9

ξετε ότι:

9.., α αν

0 .

α βρείτε

αράσταση

1

12

http://users.s

Ρίζες

2.74 ΕΡ

Α) Ισ

Β) Γι

Γ) Γι

Δ) Αν

Ε) Ισ

2.75 Γι


2.76 Αν

παράσταση

2.77 Ν

2x 4 xx 2

2.78 Ν

Α) Β)

Γ) 1

2.79 Ν

και να απλο

3 20 14 2

2.80 Ν

2 3 2

2.81 Ν

5 2

5

sch.gr/mipap

ΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ

σχύει ότι 2 2x

ια κάθε x 0

ια κάθε x είν

ν x,y>0 τότε

σχύει πάντα ό

ια κάθε x 0

ις: 6 18x , 3 x

ν 3 x 2 ,

Α= 2x 2

α απλοποιηθ

24 x 4x 2

α απλοποιήσ

12 27

18 8 2

1 1

2 2

α υπολογίσε

οποιήσετε τη

32 20 14


2 2 3


5 23

1

pagr

ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑ

5 5x για κ

0 ισχύει: 2x

x

ναι 2( x)

x y

ότι 2α β

να απλοποιη

6 , 2x

x, (2

, να απλοποι

2 2x 6x

θεί η παράστ

x 4 , αν x

2

σετε τις παρα

75 48

20 50

1

3 3 4

ετε τα 2 2

ν παράστασ

2 .

ε ότι

2 2 3

ετε τον αριθμ

2 2 .

ΑΘΟΥΣ:

κάθε x R .

2

1 .

x .

x y .

2β α β .

ηθούν οι

22x) .

ιήσετε την

9

ταση

x 2 .

αστάσεις:

108 ,

45 125 ,

4 .

32 , 3

2 2

η:

1 .

μό

,

3

2.

Α

2.

ισ

A

Γ

2.

Α

Β)

Γ)

2.

Α

2.

2.

2.

2.

2.

Α

Β)

2.

A

.82 Αν α

Α) α 1 α

.83 Να μ

σοδύναμες με

2 3 3 2A

2 3 3 2

1

2 3

.84 Να α

Α) 3 5

) 75

) 2

.85 Να α

Α) 4 2 3 ,

.86 Να δ

.87 Συγκ

.88 Λύσ

.89 Να α

1001 2001

.90 Να α

Α) 2

1

7 3

) 7

3 5

.91 Να β

A 1 1999

α 0 να δείξ

α α Β

μετατραπούν

ε ρητό παρον

2

2 , B

1

5

3Δ

5


5 25 25 5

31 21

2 5 3


Β) 9 3

δείξετε ότι:

κρίνετε το

τε την εξίσωσ

αποδειχθεί ό

1 1001

2


1

7 3

3 2

5 7 3

βρεθεί η τιμή

1 2000 4

Πραγματ

ξετε ότι:

Β) α 1

ν οι παραστά

νομαστή:

2

2

x

1 x ,

1

5 1 .


5 .

15 1 .

5 3 .


32 , Γ) 5

10 2 15

2 με το 1

ση 24 x 6x

ότι ο αριθμός

2001

είναι φ

ότι:

2Q ,

2 5

3 7 .

ή της παράστ

2000 1 2


α α .

άσεις σε

τάσεις:

τάσεις:

2 6 .

5 3 .

10 2

29 3 x

ς

φυσικός.

τασης

2003·2005 .

ί


3 ΕΞΙ

3.01 Ν

Α) 1

x 2 x

3.02 Ν

Α) λ

Γ) 2λ

3.03 Ν

Α) x α

Β) α x

3.04 Απ

01

S v t α2

3.05 Έν

των 2 ευρώ

κιλά κρασί τ

κάθε βαρέλι

βάζουμε αυ

αυτή που αφ

ανακάτεμα

βαρελιών έχ

μεταφέρθηκ

3.06 Έν

το Α και το

τελειώνουν

μέρες. Φέτος

το Α σταμάτ

συνέχισε να

απόδοσης τ

συνολικά θα

–Άλγεβρα

ΙΣΩΣΕΙΣ

α λύσετε τις

2

x

x 4 Β)

α λυθούν για

2λ 1 x λ

2 x 3 λx


2 2x β

2 2α x α

πό τις ισότητ

2αt , να δείξετ

να βαρέλι Α

το κιλό και έ

των 1,5 ευρώ

ι την ίδια πο

υτή που αφαι

φαιρέσαμε α

των κρασιών

χει την ίδια α

καν από το έν

να ελαιουργε

Β. Όταν δου

όλες τις ελιέ

ς ξεκίνησαν

τησε οριστικ

α δουλεύει. Τ

ου Α . Να βρ

α τελειώσουν

εξισώσεις:

2 2

x 1

x 1 x

α κάθε λ R

1 Β) 2λ x

3 Δ) 2λ x

εξισώσεις:

2α α β , α

2 24x α

τες 0v v α

τε ότι v

S

περιέχει 524

ένα βαρέλι Β

ώ το κιλό. Αφ

οσότητα κρασ

ιρέσαμε από

από το Β στο

ν, το περιεχό

αξία, να βρεί

να βαρέλι στ

είο έχει δύο σ

υλεύουν και τ

ς μίας περιοχ

μαζί και μετ

κά λόγω βλάβ

Το Β έχει τα 23

ρείτε σε πόσε

ν οι ελιές της

20

2x 1

.

οι εξισώσεις:

1 λ x 1

x 3 3x λ .

α,β R .

α , α R

αt και

0vt

2

.

4 κιλά κρασί

Β περιέχει 456

φαιρούμε από

σιού και

το Α στο Β κ

Α. Αν μετά τ

όμενο των δύ

ίτε πόσα κιλά

το άλλο.

συγκροτήμα

τα δύο μαζί

χής σε 12

ά από 2 μέρε

βης ενώ το Β

23

της

ες μέρες

ς περιοχής

:

.

6

ό

και

το

ύο

ά

ατα

ες

Ε

3.

A

Γ)

3.

Α

Β)

3.

A

Γ)

3.

Α

Γ)

3.

Α

Γ)

3.

Β)

3.

Β)

έχ

Γ)

(1

Εξισώσεις μ

.07 Να λ

A) x 3 2x

) 2x 4

.08 Να λ

Α) x

) 2

1

.09 Να λ

A) x 1 x

) 2 2x 9 x

.10 Να λ

Α) 4 x

) x 2 3

.11 Να λ

Α) 4x x

) 6 25x 3x

.12 Α) Δ

) Λύστε την

.13 Α) Ν

) Αν η

χουν κοινή λ

) Αν η

1) έχουν κοιν

με Απόλυτα

λύσετε τις εξι

x , B

x 5 , Δ


1 3 2 2x

2 6

2x 1 11

4


5 20

5x 6 0


x 3

3 1


0

Δείξτε ότι:

ν εξίσωση λ

Να λυθεί η εξ

η εξίσωση: 4α

ύση να βρείτ

η εξίσωση (β

νή λύση να β

τα

ισώσεις:

B) 7x 3

Δ) 2x 5

ισώσεις

x x 112 6

6x1 2x

8

ισώσεις:

B) x

Δ) x

ισώσεις:

Β) x

Δ) x

ισώσεις

Β) 4x

Δ) 12x

x1 x x

x

2xλ λ x λ

x

ξίσωση 3x 8

4 2α x 1 0

τε το α .

5 10+1) x 32

βρείτε το β .

13

9x 5 ,

2x 5 .

1 ,

3 2

8

.

1 2 1

2 2 x 1

x 4

2 3 .

x 0

10 3x 0

0 , x 0 .

1 , λ R .

8 0 (1) .

και η (1)

0 και η

3

14

http://users.s

Δευτεροβ

3.14 Ν

Α) 2x 4x

Γ) 22x x

Ε) 2x 6x

3.15 Ν

προς x για

Α) αβ

Β) α

Γ) 2β

3.16 Αν

ως ρίζα τον

3.17 Ν

εξίσωση 2λ

να έχει δύο

3.18 Έσ

Α) Για π

Β) Για π

Γ) Αν ρ

υπολογίσετε

πραγματικό

3.19 Λύ

όπου Δ είν

3.20 Ν

2λ 3λ 2

Α) να

Β) να

3.21 Αν

τις τιμές του

sch.gr/mipap

βάθμια Εξίσ


0

15 0

7 0


κάθε τιμή τω

2βx αγ β

2βx α β

2 2 2x 2αβ x

ν η εξίσωση

αριθμό α β

α βρεθούν ο

2 23λ 2 x

ρίζες πραγμ

στω η εξίσωσ

ποιες τιμές το


ρ είναι η διπ

ε την παράστ

ό αριθμό x .

ύστε την εξίσ

ναι η διακρίν

α βρεθεί ο λ

2x λ 2 x

α έχει μία μό

α έχει διπλή ρ

ν 2x xy 1

υ xy

pagr

σωση

παρακάτω ε

Β) 23x

Δ) 24x

ΣΤ) 23x

παρακάτω ε

ων παραμέτρ

β x γ 0 , α

x 1 0 , α

2 2α β 1 0

2x 2x 2 α

β , αποδείξετ

ι τιμές του λ

2 λ 2 x

ματικές.

ση 2λx x 5

ου λ έχει μία

ου λ έχει δι

πλή ρίζα της ε

ταση (x ρ

σωση 2x Δ

νουσά της

λ R ώστε η

x 3 0 :

όνο ρίζα,

ρίζα.

22y με x,y

ξισώσεις:

4x

1 0

x 0

ξισώσεις ως

ρων τους

αβ 0 .

β 0 .

0 , β 0

αβ 1 0 έχ

τε ότι α β

λ R ώστε η

1 0

5 0, λ R .

α μόνο ρίζα;

ιπλή ρίζα;

εξίσωσης, να

2ρ) για κάθε

11 Δ 6

εξίσωση

R * να βρεί

χει

1

α

x

ίτε

3.

λ

να

3.

3

έχ

3.

2

έχ

α

3.

εί

x

3.

x

3.

ρί

εξ

3.

3.

μι

ρί

γ

3.

α

γ

α

.22 Η εξ

λ R έχει ρίζ

α δείξετε ότι

.23 Να α

2x 2 α β

χει μια διπλή

.24 Να α

22α β x 4

χει διπλή ρίζ

2 2 2α β x

.25 Αν η

ίναι αδύνατη

2 3βx 5γ

.26 Για π

2 αx 1 0

.27 Αν η

ίζα, δείξτε ότ

ξίσωση: 1 κ

.28 Λύσ

.29 Αν α

ια τουλάχιστ

ίζες πραγματ

2γx 2αx β

.30 Αν

2α β 2αγ

2γ α 2αγ

α β γ

ξίσωση 2 2λ x

ζα το 1 . Να

το 1 είναι


γ x αβ α

ή ρίζα, αν κα


αx 4β 0 ,

α, τότε η εξίσ

2x 3 α β

η εξίσωση 2x

η στο R , να δ

0 δεν έχει ρ


και 2x x

η εξίσωση 2x

τι το ίδιο θα σ

22μ

κ+ x μ2

τε την εξίσωσ

α,β,γ 0,

τον από τις π

τικές , 2αx

0 , 2βx 2γ

α,β,γ R *

29 και β γ

25 , να υπολ

5λ 2 x

α βρείτε το λ

διπλή ρίζα.

ότι η εξίσωση

αγ βγ 0 ,

αι μόνον αν α

ότι αν η εξίσω

α,β R 0

σωση

0 έχει ρίζε

2 2βx 2γ

δείξετε ότι η

ρίζες στο R .

ου α R οι ε

α 0 έχουν

2 μx κ 0

συμβαίνει κα

μ 1+κ x+κ κ

ση 2x 1 x

να αποδ

παρακάτω εξ

2βx γ 0 ,

γx α 0

και ισχύει:

2γ 2αβ 18

λογιστεί η τιμ

Εξισώσεις

λ 2 0 ,

και μετά

α,β,γ R

α β γ .

ωση

ες άνισες.

0 , β,γ R ,

εξίσωση

εξισώσεις

ν κοινή ρίζα;

έχει διπλή

αι για την

2μ

κ-1 + 02

22 x 0

δείξετε ότι

ισώσεις έχει

,

8 και

μή του

ς


Άθροισμα

3.31 Δί

ρίζες 1 2x ,x

2 21 2x x , 3

1x

3.32 Έσ

, α,β R με

Α) Ν

ρίζες για οπ

Β) Αν


Γ) Αν

αριθμός

3.33 Έν

2x αx β

βρήκε δύο ρ

ρίζα της (1)

της άλλης ρ

πραγματικο

3.34 Ν

2x αx β

3.35 Έσ

1 2ρ , ρ οι ρί

A) Να βρεθ

3 31 2ρ ρ ,

ρρ

3.36 Έσ

Α) Αν 1x , x

γράψετε συ


Β) Να αποδ

διακρίνουσ

–Άλγεβρα

α – Γινόμεν

ίνεται η εξίσω

. Βρείτε τις τ

3 32x , 1

2

xx 1


ε α 0 .


ποιεσδήποτε

ν 1 2x , x οι δύ

ότι 1 2x x

ν μία ρίζα τη

α με α 1 ,ν

νας μαθητής

0 (1), έλυσε

ρίζες. Από αυ

και η δεύτερ

ρίζας της (1).

οί αριθμοί α


0 είναι ίσες


ίζες της.

θούν οι τιμές

2 21 2

2 1

ρ ρρ ρ

, ρ


2x οι δύο ρίζ

ναρτήσει τω

ις 1 2x x , 1x

δείξετε ότι: d

σα της εξίσωσ

νο Ριζών

ωση 2x 3x

ιμές των παρ

2

1

x1 x 1

κα

ση 2αx

ε ότι η εξίσωσ

τιμές των α,

ύο ρίζες της

1 2x x 1 .

ης εξίσωσης ε


ς αντί της εξίσ

ε την 2x βx

υτές η μία ήτ

ρη ήταν μικρ

Να βρεθούν

και β .

ι α,β R αν

ς με α και β

ση 22x 4x

των παραστ

1 2ρ ρ , 1ρ

ση 2x βx γ

ζες της εξίσωσ

ν αριθμών β

1 2x , 2 21 2x x

1 2x , x Δ

σης.

1 0 με

ραστάσεων

αι 1 1x (x 3) .

α β x β

ση έχει δύο

β .

εξίσωσης να

είναι ο

τε ότι β α

σωσης

x α 0 και

ταν ίση με μί

ρότερη κατά

ν οι

ν οι ρίζες της

.

1 0 και

άσεων:

1 2ρ

γ 0 , γ 0

σης να

β,γ τις

.

Δ , όπου Δ η

0

α

3

ς

η

3.

x

ώ

3.

α

τη

ότ

ρ

3.

α

ρί

κ

πα

3.

οπ

Α

Β)

Γ)

3.

Α

εξ

Β)

3.

να

A

Β)

3.

2

Β)

.37 Αν x

2 2 λ 1

στε να ισχύε

.38 Αν x

2αx βx γ

ης 1 2x x x

τι, αν οι 1x ,

1 2, ρ είναι ετ

.39 Αν ρ

2αx βx γ

ίζες της εξίσω

κ , λ ,μ R, κ

αραστάσεις

.40 Να β

ποίες η εξίσω

Α) δύο ρίζες ε

) δύο ρίζες θε

) δύο ρίζες αν

.41 Έστω

Α) Να λυθεί η

ξίσωση έχει μ

) Να βρεθεί ο

.42 Αν x

α βρεθεί εξίσ

A) 1 1ρ 2x 1

) 1 1 2ρ x x

.43 Α) Ν

2x 7x 2

) Να υπολογ

1 2x x B

1 2x , x είναι ο

0 να βρεθεί

ι: 21 13x 8x x

1 2x , x είναι ο

0 με α,β,γ

22 1x x x

2x είναι ετερ

τερόσημες.

1 2ρ , ρ είναι ο

0 , α,β,γ R

ωσης 2κx λx

0 να βρείτε

1 1 2 2x ρ x ρ κ

βρεθούν οι τι

ωση 2x 2x

τερόσημες ,

ετικές και άν

ντίστροφες.

ω η εξίσωση

ανίσωση d(

μία διπλή ρίζ

ο λ R ώστε

1 2x ,x είναι ρί

σωση που να

1 , 2 2ρ 2x

2 και 2 1ρ x

Να αποδείξετ

0 έχει δύο θε

γίσετε τις τιμέ

4 41 2B x x

οι ρίζες της ε

ί ο πραγματι

2 22 1 2x 8x x 3


R 0 και

21 0 , να α

ρόσημες, τότε


R, α 0 και

x μ 0 ,

ε εξίσωση με

και 1 2 2x ρ x

τιμές του λ

λ 2 0 έχ

νισες ,

2x λ 1 x

(x, λ) 5-λ ότ

ζα.

ε να έχει ρίζε

ίζες της 2x

έχει ρίζες τις

1 ,

1 2x .

τε ότι η εξίσω

ετικές ρίζες

ές των παρασ

2 .

15

εξίσωσης

ικός λ , έτσι

323x 192 .

εξίσωσης

1 2ρ , ρ ρίζες

ποδειχθεί

ε και οι

εξίσωσης

1 2x , x οι

ρίζες τις

2 1ρ .

R για τις

χει:

x λ 0

ταν η

ες αντίθετες

5x 7 0 ,

ς:

ωση

1 2x , x

στάσεων Α=

5

ς

16

http://users.s

3.44 Έσ

λ 1 3 x

Α) Βρ

διπλή ρίζα τ

Β) Βρ

εξίσωση έχε

3.45 Δί

οποία έχει ρ

το πρόσημο

3.46 Δί

2x 2λ 1

πραγματικέ

ότι: 10 x

3.47 Δί

ισχύει η σχέ

Α) Ν

ρίζες πραγμ

Β) Ν

Γ) Αν

S 4 , να λύ

3.48 Δί


Η εξίσωση

τους 1 2x , x

Η εξίσωση

τους 2 3x , x

Η εξίσωση

τους 1 3x , x

Να προσδιο

sch.gr/mipap


2x 2λx λ

ρείτε το λ ώσ

την οποία κα

ρείτε τις τιμέ

ει δύο ρίζες ετ


ρίζες τους αρ

ο του 201 2x x

ίδεται η εξίσω

2x 2λ λ

ές ρίζες, έστω

2x 2 και 0


έση 23β 16


ματικές και ο


ν για το άθρ

ύσετε την αν

ίνονται οι δι

οί αριθμοί 1x

2x 3x α

2x 5x β

2x 4x γ

ορίσετε τους

pagr

ση

1 3 0

στε η εξίσωση

αι να υπολογ

ς του λ για

τερόσημες.

ωση 2x 10x

ριθμούς 1x κ

005

ωση

0 η οποία έ

ω 1 2x , x . Να

2 21 20 x x 2

ωση 2x βx

6γ .


ομόσημες, τις

ε ότι 1 2ρ 3ρ

οισμα S των

νίσωση βx 1

ιαφορετικοί α

1 2 3, x , x . Αν

0 , (α IR)

0 , (β IR)

0 , (γ IR)

α,β,γ R

η να έχει μια

γίσετε.

τις οποίες η

x 20 0 η

αι 2x . Βρείτε

έχει δύο


2 .

γ 0 και

ση έχει δύο

ς 1ρ και 2ρ .

2

ν ριζών ισχύε

1 γ 0 .

ανά δυο

ν δίνεται ότι

) έχει ρίζες

έχει ρίζες

έχει ρίζες

α

ε

ει

ι:

Τρ

3.

x

x

3.

γ

μή

πρ

3.

αν

επ

eu

3.

Βγ

τη

τη

πα

κρ

αρ

3.

έκ

κα

πα

γρ

το

10

τε

Τριώνυμο –

.49 Να α

2 2

2 2

x αx 6α

x 5αx 6α

.50 Να α

2 2 2γ x γ α

ήκη πλευρών

ραγματικές ρ

.51 Ένα

ντί 21 euro

πί τοις εκατό

uro έχασε (2

.52 Ένα

γάζουμε μια

ην ίδια ποσό

ην ίδια ποσό

αραμένει ένα

ρασί. Να βρε

ρχικά.

.53 Σε μ

κτακτη ενίσχ

αταστροφής,

αραγωγό αν

ραφτεί κατά

ον έσβησαν κ

00 euro περι

ελικά οι δικα

– Παραγον

απλοποιηθού

2 και

2

2

x α

x 4


2 2 2β x β

ν ενός τριγών

ρίζες.

ς επενδυτής

και υπολόγισ

όσο την αγό

λύσεις).

βαρέλι περι

ποσότητα κρ

τητα νερού.

τητα από το

α μείγμα που

είτε πόσα λίτ

μια γεωργική

υση, εξ΄ αιτία

, το ποσό των

αλογεί το ίδι

λάθος ένας π

και οι υπόλοι

ισσότερα. Να

αιούχοι.

ντοποίηση-

ύν τα κλάσμ

2α β x 2α

4α β x 3α

ότι το τριώνυ

2 όπου τα α,

νου δεν έχει

πούλησε μια

ισε ότι ζημιώ

όρασε. Να βρ

ιέχει 54 lt κρ

ρασί και προ

Μετά ξαναβ

μείγμα. Στο

υ περιέχει 24

τρα κρασί βγ

ή περιοχή ανα

ας φυσικής

ν 3000 euro.

ιο ποσό. Επε

παραγωγός π

ιποι πήραν,

α βρείτε πόσ

(Απ: 5)

Εξισώσεις

- μορφές

ατα :

2

2

2αβ

3αβ

.

μο

β,γ είναι

α μετοχή

θηκε τόσο

ρείτε πόσα

ρασί.

οσθέτουμε

βγάζουμε

βαρέλι

4 lt καθαρό

γάλαμε

αλογεί ως

. Σε κάθε

ειδή είχε

παραπάνω,

ο καθένας

οι ήταν

ς


4 ΑΝ

Ανισώσει

4.01 Ν

A) (1

4.02 Ν

ανισώσεων:

x 2 123 2

x 4 x 43 5

4.03 N

ανισώσεων

4.04 N

ανισώσεων.

και 3x

63

4.05 Ν

4.06 N

Α) 2x

23

4.07 N

Α) 2

Β) 5

4.08 Γι

αριθμού λ ν

Α) λ

–Άλγεβρα

ΝΙΣΩΣΕΙΣ

ις Πρώτου

α λύσετε την

1 2x)(x 3)2

α βρείτε τις κ

x 5x 364

4 3x 12

15


x x 1

12 4 2


3 x 1 2x

67

3

α λύσετε το (

α λύσετε τα σ

14

Β)


x 12 x

2

1 x5 1

2

ια τις διάφορ

να λύσετε τις

2x 1 λ

Βαθμού

ν ανίσωση:

2x x 1

κοινές λύσεις

1 και

ι κοινές λύσε

12

και x 12 3


x x 1 , 2

(Σ):

2x 4x 7

2

συστήματα

) 2x

23

συστήματα:

4

1

ρες τιμές του

ανισώσεις

Β) λx

21

ς των

εις των

x1

6

εις των

x 3 x 2

x 1x

83

11


x 2

ού

Α

4.

Α

Β)

Γ)

Δ)

Ν

Α

Β)

Γ)

Δ)

Ν

A

B)

Γ)

Δ)

4.

Α

Β)

Γ)

Δ)

4.

Α

Β)

4.

Α

Β)

Γ)

Δ)

Ανισώσεις μ

.09 Να λ

Α) x 1

) 5 x

) 2x

) 1 2

Να λύσετε τις α

) 2x

) x 4

1 3

) x 6

Να λύσετε τις α

) 2

) 2 x

2x

) x 5

.10 Nα λ

Α) 3 1

) 3 |x

) 1 |2

) |2x

.11 Να λ

Α) |5x

) |x

.12 Να λ

Α) 3

) x

) 1

)

1

με απόλυτ

λύσετε τις αν

1 5

x 6 0

1 1

2x 4

ανισώσεις:

3 6

4 0

3x 2 3

6 0

ανισώσεις:

x 5

x 5

1 2x 1

5 1


1 2x 5

x| 8

2x 3| 9

1| 4


3| 2 6

3| 1 2


2x 1 2

1 4 3

x 1 1 x

1 x 1

τα

νισώσεις:

νισώσεις:

νισώσεις:

νισώσεις:

2

177

18

http://users.s

4.13 Αν

παράσταση

παράσταση

4.14 Ν

Α) 1

Β) 1

Γ) 0

Δ) x

4.15 Ν

ανισώσεων:

4.16 Ν

Α) 2

Β) 2

Γ) 2

4.17 Βρ

x 2 2 x

4.18 Α

τιμή της πα

4.19 Ν


Α)

B)

Γ)

Δ)

Ε)

Στ)

sch.gr/mipap

ν x 1 , γρά

A 2 x 3

: Β 2 x


x 1 6

1 2x 5 4

x 2 1

1x 4

4

στο


15x 23


2006 x x

3

3 x 13

3

x 3 x 1


30 0 κα

Αν α 1 , όπ

ράστασης: A

α βρείτε για

πό τις παρασ

|x| 1

2 x 6

|x 3| 2

4 |x|

1 x 2

2 x 6

pagr

άψτε χωρίς α

6 x 2 x

1 2 x 1

ανισώσεις

στο *R

4 στο R

3 , στο R

Z


7 και 4

3x

ανισώσεις:

20062

x 3x

3

5x 2

ς του x ώστε

αι x 5 7

που α Z , να

2005A α 3

ποιες τιμές τ

στάσεις:

απόλυτα την

1 και την

εις των

12 3

81

ε να ισχύουν

α βρεθεί η

του x ορίζετ

ν:

ται

4.

κά

Α

Β)

4.

πα

Α

Β

Γ

Δ

.20 Να β

άθε μια από

Α) Α

) Β

.21 Να β

αρακάτω συν

Α f(x)

g(x)

k(x)

m(x

βρείτε για πο

τις παρακάτ

5 1 x

1 2 1 2x

βρεθούν τα π

ναρτήσεων

x 2

3 2x x

6 x

1) x

6 x

x) 6 x

οιες τιμές του

τω παραστάσ

x 2 1

πεδία ορισμο

2x 4 x

4

x 1

4 x

Ανισώσεις

υ x ορίζεται

σεις:

ού των

3

ς


Ανισώσει

4.22 Ν

Α) 4

3x

4.23 Ν

Α) x

4.24 Ν

Α) xΒ) x

4.25 Ν

Α) x

Β) x

4.26 Ν

Α) -

Γ) (x

4.27 Ν

Α) x + 1

27 - x

Β) 2

2

2x - 4x

x + 2

4.28 Ν

Α) 25 x

4.29 Ν

Α) |x

B) x

Γ) |x

–Άλγεβρα

ις Δευτέρο


2x 0

2x 5x 2 0


2x x 1 0


2x 7x 12

2x 3x 2


2 2x 2 2x

2x 5 x 1

α λυθούν οι

2

2

x + 5x + 6

x + x - 6

2 2

2

x 8x 7)(x

x 4

α λυθούν οι

2 ,

+ 51

2


14x 50 26


2 2x 1 x ||x

2x 6x 8 4

2x 3x 3||

ου Βαθμού

ανισώσεις:

Β)

0

ανισώσεις:

Β) 2x

ανισώσεις:

2 23x x x

22x 5x 1

ανισώσεις:

65x 3 x

x 2 x 3

ανισώσεις:

0 , Β) x

2 3x 9)0

4

ανισώσεις:

Β) 2

2

x x

x x

Δ) 2

4x

3x - x

συστήματα α

6 Β) 2

ανισώσεις

2 3x 4|

4 x

2x 7x 13|

x 1 0

2x 6 0 ,

2x x 0 .

2 0 ,

0 .

2x - 4x + 30

x - 2

0 .

12

2

,

12

.

ανισώσεων:

2

2x - 11

x - 3x + 2

0 ,

1

4.

ρι

4.

Α

Β)

4.

33

4.

συ

Β)

4.

το

αν

Α

Γ

4.

ώ

Α

Β)

4.

Α

αν

Β)

f

4.

αν

αδ

.30 Για κ

ιζών της εξίσ

.31 Να λ

Α) 3x

) 2x

.32 Να σ

3x + 50

3x - 7 κ

.33 Βρεί

υναρτήσεων

) f(x)

.34 Το τ

ους αριθμούς

νισότητες είν

Α f 0,

f 19

.35 Να β

στε η εξίσωσ

Α) Να έ

) Να ε

.36 Έστω

Α) Να β

νίσωση f(x)

) Αν λ

x 8x 1

.37 Να β

νίσωση: λ-1

δύνατη για κ

κάθε κ R ν

σωσης: 2x κ


21 x x

x 4 2(x

συναληθεύσε

και 2x 10x

x - 2

ίτε τα πεδία ο

Α)

24x 4x

ριώνυμο f x

ς 1 και 6 .

ναι σωστή;

1999 0

999 0

βρεθεί ο πρα

η 2λ 3λ 2

έχει μία μόνο

είναι αδύνατ

ω f x (λ

βρεθούν οι τι

0 να αληθεύ

λ 4 να λύ

18

βρείτε τις τιμ

21 x λ+1 x

κάθε x R .

να βρείτε το

κx 2κ 3 0

νισώσεις:

1 .

x 1)

ετε τις ανισώ

160

2

;

ορισμού των

2f(x) 3x

2x 3 3 x

2x x 5x

Ποια από τι

B. f 0

Δ. f

αγματικός αρ

22 x λ 2

ο ρίζα

τη.

22)x 2λx

τιμές του λ ώ

ύει για κάθε

ύσετε την εξίσ

μές του λ R

x λ+1>0 να

19

πλήθος των

0

ώσεις

ν

4x 1

2 2x

6 έχει ρίζες

ις παρακάτω

,1999 0

1999 0

ριθμός λ

x 3 0

3λ , λ 2

ώστε η

x R

σωση

R ώστε η

α είναι

9

ω

20

http://users.s

4.38 Γι

λ , βρείτε το

2λ 3λ 2

4.39 Δί

3 2λ λ x

Α) Βρ

εξίσωση έχε

Β) Υπ

εξίσωση άπε

4.40 Ν

2λ 1 x 4

Α) στ

Β) αρ

4.41 Ν

R για τις

2λ 2 x 2


4.42 Ν

ανίσωση λx

αληθής για

4.43 Αν

2x 2λ

λ R ώστε

4.44 Έσ

2x 2λx λ

ισχύει 1

1x

4.45 Ν

σχέση 3

πραγματικό

sch.gr/mipap

ια τις διάφορ

ο πλήθος των

2x λ 2 x


λx λ 1 λ

ρείτε για ποι

ει 2 ρίζες άνι

πάρχει τιμή τ

ειρες ρίζες;


4x λ 2 να

ταθερό πρόση

ρνητικό πρόσ

α βρεθούν α

οποίες η ανί

2λx 3λ 0

ές τιμές του x

α προσδιορι

2x λ 1 x

κάθε x R .

ν 1 2x , x είνα

21 x λ λ

2 21 2 1x x 3x

στω 1 2x , x ρ

2λ 1 0 λ

2

11

x .


2

2

x x 2x x 1

ό x .

pagr

ρες πραγματι

ν ριζών της ε

x 3 0 .

ωση

λ 1 λ 0

ες τιμές του

ισες

του λ ώστε ν

λ ώστε το τριώ

έχει:

ημο για κάθε

σημο για κάθ

αν υπάρχουν

ίσωση

να αληθεύει

x .

ιστεί ο *λ R

λ 1 0 ν

αι οι ρίζες τη

1 0 , λ R

2x 0 .

ρίζες της εξίσ

R . Να βρεθ

ι τιμές του

2 να ισχύει γ

ικές τιμές του

εξίσωσης

λ R η

να έχει η

ώνυμο

ε x R ,

θε x R .

οι τιμές του

ι για όλες τις

* ώστε η

να είναι

ης εξίσωης

R να βρεθεί ο

ωσης

θεί ο λ ώστε ν

R ώστε η

για κάθε

υ

λ

ς

ο

να

4.

f(

Α

οπ

Β

βρ

4.

x

Β)

ότ

4.

τι

4.

α

κα

Α

Β

4.

γ

A

να

B)

Γ)

απ

Δ)

εξ

.46 Δίνε

2(x) x λ

Α Να β

ποίες το τριώ

Αν x

ρείτε:

α) για ποιες

β) για ποιες

.47 Α) Ν

2 - λ 1 x 2

) Βρεί

τι 1 2d(x ,x )

.48 Έστω

ις α,β . Αποδ

.49 Δίνε

α,β R . Αν

αι ισχύει f

Α Να δ

Να λ

.50 Αν γ

γ α β γ

A) Η εξ

α έχει ρίζες τ

) Ηαx

) Αν x


) Να α

ξίσωσης θα ε

εται το τριών

4 x λ 6 ,

βρείτε τις τιμ

ώνυμο έχει ρί

1 2x , x R εί

ς τιμές του λ

ς τιμές του λ

Να λυθεί στο

22λ 2λ 0

ίτε για ποιες

2 όπου 1x ,


δείξτε ότι β

εται το τριών

1 2x , x R εί

1 2x x 5

δείξετε ότι α

λυθεί η ανίσω

για τους αριθ

0 , α 0 ,να

ξίσωση 2αx

τους αριθμού

2x βx γ 0

1 2x ,x οι ρίζε

ι: 1 2x x 1


είναι στο διά

νυμο

x R , λ

μές του λ R


ίναι ρίζες του

λ R ισχύει

λ R ισχύει

R, η εξίσωση

(1), λ R

τιμές του λ

2x R οι ρί

2x 3x 1

2βα

β 1 α

νυμο f(x) x

ίναι οι ρίζες

2 21 2 1 2x x x x

α 6, β 5

ωση f x 3

θμούς α,β,γ


βx γ 0 δε

ύς 0 και 1.

0 έχει δύο ρίζ

ες της εξίσωσ

1 2x 1 x

τι μία μόνο ρ

άστημα 0,1

Ανισώσεις

R

R για τις

τικές

υ f x

2 21 2x x 20

1 2x x 2

η

R ισχύει

ίζες της (1)

0 με ρίζες

2β1

18

2x αx β με

του f x

22 30 0

5

4 0

ισχύει

ότι:

εν μπορεί

ζες άνισες.

σης, να

0 .

ρίζα της

ς

ε


4.51 Δί

2f(x) x

Α) Αν

αριθμό να α

Β) Ν

4.52 Δί

με x IR κ

Α Αν

x IR να α

Β Αν



4.53 Αν

(x )(x

4.54 Ν


23( 1)

4.55 Ν


έχει τουλάχ

4.56 Αν

οι ρίζες 1x ,

ικανοποιού

4.57 Γι

ακριβώς ρίζ

ανήκει στο δ

4.58 Ν

μορφής 2x

ως λύσεις το

–Άλγεβρα

ίνεται το τριώ

x 2011 με

ν f(x) 0 γι



ίδεται η συνά

αι 0 .

ν ισχύει η σχ


ν ισχύει η σχ

ότι η εξίσωση

ές και άνισες

ν για κάθε x

) 0 να δεί


ούς αριθμούς

1 3

α βρείτε την

ού ώστε η

χιστον μια πρ

ν 1 και

2x της εξίσω

ύν τη σχέση:

ια ποιες τιμές

ζα της εξίσωσ

διάστημα (0

α βρεθεί δευ

x 0 ,

ους αριθμούς

ώνυμο

ε , R κα

ια κάθε x πρα

τι λ>0

ε ότι 2f 2011

άρτηση f(x)

χέση f(x) 0

τι f(100) 0

χέση 2

η f(x) 0 έχε

ς.

x IR ισχύει

ίξετε ότι:

ε ότι για οπο

ς α, β ισχύει

ν μεγαλύτερη

εξίσωση 2x

ραγματική ρί

2 , να α

ωσης 2x x

1 2

1 12

x x

ς της παραμέ

σης 2x 2(

0,2) ;

υτεροβάθμια

όπου , R

ς 1 και

αι 0

αγματικό

2011 0

2x x 2

για κάθε

2 να

ει δύο ρίζες

:

οιουσδήποτε

η τιμή του

2x 0 ν

ίζα.


0 ,

2 .

έτρου , μία

21)x 0

εξίσωση της

R που να έχε

1

2

να

τι

α

ει

4.

να

Ν

μπ

4.

x

δι

4

4.

έχ

πα

B

4.

Ν

A

B)

4.

λ

Β)

πο

.59 Έστω

0 ) , τέτοιο

α έχουν το ίδ

Να αποδείξετε

πορεί να έχει

.60 Να ο

2 x 1

ιαφοράς των

και μικρότε

.61 Έστω

χει ώς ρίζες τ

αραστάσεων

3 22 1B x 4x

.62 Έστω

Να αποδείξετε

A) Αν P x 0

) Αν είναι

2x x 200

.63 Έστω

1. Α) Για π

) Αν 1 2x , x ε


ω , , πρ

οι ώστε οι αρ

διο πρόσημο.


ι δύο ρίζες στ

ορισθεί το μ

0 ούτως, ώ

ν ριζών της ν

ερο του 16


ους 1 2x ,x Βρ

ν 3 21 2A x 4x

19

ω 2P x x

ε ότι:

0 για κάθε x

2001 , τ

1 0 έχει ρίζ


ποια λ η εξίσ

είναι οι δύο ρ

υ λ είναι 1

2

xx

αγματικοί α

ριθμοί: , 4

.

ση : 2x x

στο διάστημα

στην εξίσωση

ώστε το τετρά

να είναι μεγα

2x x 3 0


22 19 και

2 x 2001

R τότε P 20

τότε η εξίσωσ


21 x

σωση έχει ρίζε

ρίζες της εξίσ

2

1 1

x λx x x

21

ριθμοί (

3 2

x 0 , δε

α (1,2)

η:

άγωνο της

αλύτερο του

0 η οποία

ές των

με 0 .

004 0 .

ση

τικές.

x 2 0 ,

ες στο R;

σωσης για

2

λx

1

22

http://users.s

5 ΠΡ

Αριθμητικ

5.01 Ν

το άθροισμα

5.02 Ν

οποία είναι

5.03 Γι

3 2x 2x x

είναι διαδοχ

5.04 Ν

αριθμητικής

γινόμενο 44

5.05 Αν

διαδοχικοί

οι 2α βγ ,

όροι αριθμη

των διαφορ

5.06 Αν


1 2

1α α

5.07 Αν


ότι 1 2

1αα

5.08 Σε

7 17α α 3

άθροισμα τω

του 8α και

sch.gr/mipap

ΡΟΟΔΟΙ

κή Πρόοδο


α των 20S 1


ι 20S 610 κα

ια ποια τιμή

1 , 4 3x 2x

χικοί αριθμ.

α βρείτε τρει

ς προόδου α

40 .

ν οι αριθμοί


2 2β γα, γ

ητικής προόδ

ρών των δυο

ν 1 2 vα ,α , ...α

ς προόδου ν

2 3

1...

α α

ν 1 2α ,α ,...,α


2 3 3 4

1 1α αα α

ε μία αριθμη

30 και 9α α

ων όρων της

25α .

pagr

ος

αριθμητική

1030 και 10

αριθμητική

αι 12S 222

του ακεραίο

3 2x 3x 5

προόδου;

ις διαδοχικού

αν έχουν άθρ

α,β,γ R ε

τικής προόδ

αβ είναι δ

δου. Ποιος εί

προόδων αυ

v είναι διαδο

α δείξετε ότι

v 1 v

1α α

vα είναι -μη μ

τικής προόδ

4 v 1

1.

α..

α

ητική πρόοδο

20α 40 . Να

ς που βρίσκον

πρόοδο όταν

0 3 35 .

πρόοδο στην

.

υ x οι αριθμ

5 , 2x 2x 9

ύς όρους

οισμα 33 κα

είναι

ου, δείξτε ότ


ίναι ο λόγος

υτών;

οχικοί όροι

:

ν 1

ν 1α α

μηδενικοί-

ου, να δείξετ

v 1 v

v 1α α

.

ο ισχύει

βρείτε το

νται μεταξύ

ν

ν

μοί

αι

τι

τε

5.

α

αρ

όρ

5.

οπ

πρ

5.

πα

απ

αρ

πα

το

5.

1,

1

Ν

οσ

5.

το

πρ

2ο

τέ

Α

Β.

το

ν

Γ.

αρ

Δ

.09 Ο ν-

να 4ν 5 , ν

ριθμητική πρ

ρων της που

.10 Να α

ποία ισχύει ό

ρόοδος.

.11 Πόσ

αρεμβάλλου

ποτελούν όλ

ριθμητικής π

αρεμβαλλόμ

ον δεύτερό το

.12 Δίνε

,2,3,4,5,... και

1 , 2,3, 4 ,

Να υπολογιστ

στής ομάδας

.13 Έχου

οποθετούμε α

ρώτο κιβώτιο

ο τις μπάλες

έταρτο τις 7

Α. Πόσες μπάλ

. Να δειχτεί ό

ον μικρότερο

ν·(ν 1)1

2

.

. Σε ποιο κιβώ

ριθμό 100 ;

. Αν v 50 ,

-οστός όρος μ

Ν*. Να δει

ρόοδος. Να β

είναι μεταξύ


ότι 2vS 3v

σους αριθμού

με μεταξύ το

οι μαζί διαδο

προόδου και

μενους όρους

ους;

εται η αριθμη

ι παίρνουμε

3, 4,5,6,7 ,

τεί το άθροισ

.

υμε ν κιβώτ

αριθμημένες

ο τη μπάλα μ

2, 3 στο 3ο

7,8,9,10 κ.ο

λες έχει το ν

ότι στο ν -στ

ο αριθμό είνα

ώτιο βρίσκετ

πόσες μπάλε

μιας ακολουθ

ιχθεί ότι η (α

βρείτε το άθρ

ύ των 17 και

ότι η ακολουθ

v είναι αρ

ύς πρέπει να

ου 5 και του

οχικούς όρο

ο τελευταίος

ς να είναι 3-π

ητική πρόοδο

ομάδες όρων

, 4,5,6,7,8,

σμα των όρων

τια μέσα στα

μπάλες ως ε

με τον αριθμ

ο τις 4,5,6

ο.κ.

ν -οστό κιβώτ

τό κιβώτιο η

αι αυτή με το

ται η μπάλα

ες έχουμε συ

Πρόοδοι

θίας είναι

να ) είναι

ροισμα των

ι 99 .

θία για την

ριθμητική

50 ώστε να

υς

ς από τους

πλάσιος από

ος

ν ως εξής:

,9,10 ...

ν της ν-

οποία

ξής: Στο

ό 1 στο

στο

τιο;

μπάλα με

ον αριθμό

με τον

νολικά;

ι

α


Γεωμετρικ

5.14 Ν


A) Αν 4S

B) Αν 3S 2

5.15 Π

καθέναν απ

γίνουν τρεις

προόδου;

5.16 Ν

αποτελούν α

άθροισμά το

άκρων όρων

5.17 Ν

γεωμετρική

άθροισμα μ

5.18 Αν

πρόοδοι εξε

σχηματίζετα

2 3 ,

5.19 Α)

γενικό όρο

5.20 Σε

1 4 2α α α

5.21 Ν

για τους οπ

α) οι τρεις π


β) οι τρεις τ


γ) το άθροισ

μεσαίων 12

–Άλγεβρα

κή Πρόοδο

α βρείτε τη γ

πό τις περιπτ

30 και 5α

26 και 4α α

οιον αριθμό

πό τους αριθμ

ς διαδοχικοί

Να βρεθούν τ

αύξουσα γεω

ους είναι 65

ν τους είναι

Να βρεθούν τ

ς προόδου α

μεσαίων όρων

ν ν ν(α ), (β )

ετάστε σε πο

αι γεωμετρικ

2 3 ,

) Να αποδειχ

ννα 3 2 εί

ε μια γεωμετ

2 3α . Να βρ

α βρείτε τέσσ

οίους ισχύου

πρώτοι είναι

ς προόδου,

τελευταίοι είν

ς προόδου κ

σμα των άκρ

.

ος

γεωμετρική π

τώσεις:

6 7 8α α α

1α 52 .

πρέπει να π

μούς 2 , 16 ,

ί όροι γεωμετ

τρεις αριθμοί

ωμετρική πρό

και η διαφο

40 .

τέσσερις διαδ

αν έχουν γινό

ν 5 .

) είναι δυο γ

ια περίπτωσ

κή πρόοδος:

2 ,

χτεί ότι η ακ

ίναι γεωμετρ

ρική πρόοδο

ρεθεί ο λόγος

σερις ακέραι

υν τα εξής:

διαδοχικοί ό

ναι διαδοχικ

αι

ρων όρων είν

πρόοδο σε

480 .

ροσθέσουμε

58 για να

τρικής

ί που

όοδο, αν το

ορά των

δοχικοί όροι

όμενο 16 κα

γεωμετρικές

η

ολουθία με

ρική πρόοδος

ο έχουμε

ς της.

ιους αριθμού

όροι

κοί όροι

ναι 14 και τω

σε

αι

ς .

ύς

ων

5.

εί

έχ

πρ

θα

5.

αρ

αρ

όρ

5.

οπ

πρ

Β)

έχ

5.

δύ

το

5.

απ

πρ

αυ

εί

5.

(α

Α

εξ

απ

Β)

εξ

ώ

πρ

Γ)

α

τρ

.22 Βρεί

ίναι διαδοχικ

χουν άθροισμ

ροσθέσουμε

α γίνουν δια

.23 Αν α

ριθμητικής π

ριθμοί β, γ,

ρους γεωμετρ

.24 Α) Ν

ποία ισχύει ό

ρόοδος.

) Πόσους όρο

χουμε άθροισ

.25 Να α

ύο θετικών α

ου γεωμετρικ

.26 Να β

ποτελούν δια

ροόδου, έχου

υξηθεί κατά


.27 Ανα

3 2α 1)x (α 5α

Α) Δείξτε ότι γ

ξίσωση έχει τ

ποτελούν γεω

) Αν είναι 2x

ξαρτάται από

στε οι ρίζες x

ρόοδο.

) Να αποδείξ

που βρήκατ

ρεις ίσες ρίζε

ίτε τρεις αριθ

κοί όροι αριθ

μα 15 και αν

τους αριθμού

δοχικοί γεωμ

2 2αβ, β , γ εί

προόδου, να

2β α αποτ

ρικής προόδο

Να δειχθεί ότ

ότι vvS 2 3

ους της πρέπ

σμα 484 ;


αριθμών είνα

κού μέσου το

βρεθούν τρει

αδοχικούς όρ

υν άθροισμα

2 τότε οι αρ

κοί όροι αριθ

α R { 1} , δί

2 2α 5)x (α 5

για τις τιμές τ

ρεις πραγμα

ωμετρική πρ

2 η ρίζα της ε

ό την παράμ

1 2 3x , x , x να α

ξετε ότι για τ

ε στην Β) ερώ

ς.

θμούς οι οπο

θμητικής προ

ν σε αυτούς

ύς 1, 4, 19 αν

μετρικής προ



τελούν διαδο

ου.

τι η ακολουθί

v 1 είναι γ

πει να πάρου

ότι ο Αριθμητ

αι μεγαλύτερ

ους

ις αριθμοί x,

ρους γεωμετρ

α 28 και αν ο

ριθμοί που πρ

θμητικής προ

ίνεται η εξίσ

5α 5)x (α 1)

του α για τις

ατικές ρίζες α

ρόοδο

εξίσωσης που

μετρο α , βρε

αποτελούν αρ

τις τιμές της π

ώτηση η εξίσ

23

ίοι:

οόδου,

ντίστοιχα

οόδου.

κοί όροι

ότι οι

οχικούς

ία για την


υμε, για να

τικός μέσος

ος ή ίσος

, y, ω αν

ρικής

ο μεσαίος

ροκύπτουν

οόδου.

σωση

0 .

οποίες η

αυτές

υ δεν

είτε ε το α

ριθμητική

παραμέτρου

σωση έχει

3

24

http://users.s

6 ΒΑ

Η έννοια

6.01 Απ

2x

f x

τιμή της πα

6.02 Έσ

2x , f(x)

2x ,

τα f( 1), f(0

6.03 Αν

, R ώσ

6.04 Γι

ισχύουν f 1

6.05 Έσ

βρεθεί το πε

βρεθούν τα

6.06 Αν

τιμή του

6.07 Αν

A) f

B) f

6.08 Αν

να υπολογίσ

f x 3 , f

sch.gr/mipap

ΑΣΙΚΕΣ ΕΝ

της Συνάρ

πλοποιείστε

2 4x 4α

x 23 α

ράστασης: f

στω οι συναρ

x 1 x 1

, g(x

0), f( 3), f(3

ν f x 2x

στε να ισχύει:

ια την συνάρ

2 και f 2

στω ότι f(x)

εδίο ορισμού

, R ώστ

ν f(x)=2x

5x

R ισχύει

ν f x 3x ,

1 f

ν f x 2x

σετε τις παρα

2f 1 x , f

pagr

ΝΝΟΙΕΣ ΤΩ

ρτησης

τον τύπο τη

ν x 2

ν x 2

και

1 f 0 2

ρτήσεις f κα

-x 1 x)

x

3 /4), g(0) .

6 , να βρεθο

f α 8 κα

ρτηση f x

2 20 . Βρεί

αx 4 , xαx 2β , x

ύ της συνάρτη

τε f(-1)=f(2).

x 31 x 5

βρ

2f 1 λf

να δείξετε ότ

2 f 3

f f

1 για κάθε

αστάσεις:

f 2x f(0) ,

ΩΝ ΣΥΝΑΡ

ης συνάρτηση

ι να βρείτε τη

2f 2

αι g με

x 0

x 0

Βρείτε

ούν οι

αι f 8 β .

3αx 2βx

ίτε το f 3

1x 1

. Να

ησης f και ν

ρείτε για ποια

10 157 .

τι:

3f 18

f .

x R ,

f x f(x)

ΡΤΗΣΕΩΝ

ης

ην

ε

να

α

8 .

.

6.

ισ

6.

α

6.

f

Π

6.

Α

Γ)

6.

f

m

6.

Α

Γ)

6.

f(

Ν

.09 Αν f

σχύει f x f

.10 Αν f

α,β R ισχύει

.11 Αν f

x 1 2f x

Πεδίο Ορισ

.12 Να β

Α) 2xf x

9 x

) 2

xh x

x

.13 Να β

3x

x 2

m x x

.14 Να β

Α) 2f x

x

) 3

4f x

x

.15 Για π

x) = 2

3x - 1

x αο

22

1f x x

x

10

x

.

2f x x , x

ι f α f β

2f x x x

x 3f 0 f

σμού

βρείτε τα πεδ

2

x

x Β

2x +4

4x 3 Δ


1

2x 1|


1 Β) f x

x

x Δ) f x


ορίζεται στο

2

1 τότε να δε

R ,δείξτε ότ

α β2f

2

να λύσετε τη

1 .

δία ορισμού

Β) xf x

Δ) f xx


1g x

|x| x

k x 2 |


x 1 x|x| 2

x 1

|x| 2

ου α R η σ

R;

Συναρτήσεις

είξετε ότι

ι για κάθε

ην εξίσωση

των:

x 1 4-xx-3

2

2x

x 1

των:

2x

x 3|

των:

x 4

x 4

2

υνάρτηση

ς


Γεωμετρικ

6.16 Ν

κορυφές τα

ορθογώνιο κ

6.17 Δί

βρεθεί η απ

1, f( 1) .

6.18 Ν

τέτοιο ώστε

ίσες πλευρές

6.19 Δί

Να βρείτε σ

τρίγωνο ΑΜ

τις ΜΑ και

Συμμετρικ

6.20 Δί

B 3, 2 , Γ

Ζ 2δ, 1 . Ν

α, β, γ, δ α

συμμετρικά


στον x x κα

6.21 Ν

Α) 2Α λ , λ


Β) 2A λ , 4λ

προς την ευ

Γ) A 4,3

προς τον άξ

–Άλγεβρα κές–Απόστ


σημεία A 1

και ισοσκελέ

ίνεται η συνά

όσταση των

α βρεθεί σημ

το τρίγωνο Α

ς τις ΑΓ, ΒΓ,

ίνονται τα ση

σημείο Μ της

ΜΒ να είναι ι

ΜΒ.

κά Σημεία

ίνονται τα ση

4,2β 6 , Δ

Να βρείτε το

αν γνωρίζετε

ά ως προς τον

ά ως προς το

αι το σημείο

α βρεθεί η τι

2 2 , B 3,

ά ως προς το σ

λ , 2Β λ 3, λ

υθεία y x .

, 2B 4, λ 1

ξονα x x .

ταση Σημε

ε ότι το τρίγω

, 2 , B 0,1

ές.

άρτηση f(x)=

σημείων Α 1

μείο Γ του άξ

ΑΒΓ να είνα

όπου A 1,1

ημεία A 1,

ς ευθείας y=x

ισοσκελές με

ημεία Α 3, 4

Δ 3γ 1, 4 ,

ους πραγματ

ότι: Τα Α κα

ν x x , τα Ε κ

0,0 , το Γ

Δ βρίσκεται

ιμή του λ ώσ

4 5λ να εί

σημείο Ο 0,

λ να είναι σ

1 να είναι σ

ίων

ωνο με

, Γ 2,1 είνα

= 2x . Να

1, f(1) και Β

ονα xx

ι ισοσκελές μ

, B 4,2 .

1 , B 2, 4 .

x ώστε το

ίσες πλευρές

4α 2 ,

Ε 1,1 , και

ικούς

αι Β είναι

και Ζ είναι

βρίσκεται

ι στον y y .

στε τα σημεία

ίναι

,0 .

συμμετρικά ω

συμμετρικά ω

αι

Β

με

ς

α:

ως

ως

Γρ

6.

βρ

ση

6.

βρ

τη

y

6.

f

το

απ

6.

γρ

Α

Β)

6.

τω

στ

υπ

πε

6.

συ

6.

γρ

ραφική Πα

.22 Δίνε

ρεθεί το α R

ημείο M 4,2

.23 Δίνε

ρείτε τα σημε

ης f με τους

y 1 .

.24 Δίνε

x 3μ 1

ο fC να τέμν

πέχουν απόσ

.25 Να β

ραφικών παρ

Α) f x x 1

) 3f x x

.26 Να κ

ων συναρτήσ

το ίδιο σύστη

πολογίσετε τ

ερικλείεται α

.27 Nα κ

υνάρτησης f(

.28 Εξηγ

ραφική παρά

αράσταση

εται η συνάρτ

R ώστε η fC

2 .


εία τομής της

άξονες y y ,


x 2 με μ<0

νει τους άξον

σταση ίση με

βρείτε τα σημ

ραστάσεων τ

1 και g x

x και g x

κάνετε τις γρ

σεων: f(x)=x+

ημα συντεταγ

ο εμβαδόν τη

από αυτές.

κάνετε τη γρ

(x)=

x 40

x 3

γήστε γιατί ο

άσταση συνά

τηση f x α

f να διέρχετα

τηση f x

ς γραφικής π

x x και την

τηση:

0. Να βρεθεί

νες σε σημεία

ε 5 .

μεία τομής τω

των συναρτή

x 1 .

2x 1 .

ραφικές παρα

+2 , g(x)=-x+3

γμένων και ν

ης περιοχής


, x 1, 1 x 2

,x 2

.

ο κύκλος δεν

άρτησης.

25

α x 3 . Nα

αι από το

2x 1x 2

. Να

παράστασης

ν ευθεία

το μ ώστε

α που

ων

σεων:

αστάσεις

3, h(x)=2x+1

να

που

σταση της

είναι

5

26

http://users

Ευθεία

6.29 Ν

ευθεία y= 3

6.30 Δί

. Να προσδι

Α) πα

Β) πα

Γ) κά

Δ) να

6.31 Αν

2ε : y 2λx

ευθείες 3ε : y

είναι κάθετε

6.32 Γι

βρείτε:

Α) Τι

παράλληλη

Β) Τι

να ανήκει σ

ε.

Γ) Τι

παράλληλη

Δ) Τα

6.33 Έσ

όπου κ R .

Α) Ν

Β) Αν

Γ) Αν

εξίσωση y

s.sch.gr/mipap

α βρεθεί η γω

3 x+3 με τον

ίνεται η ευθε

ιοριστεί ο λ ώ

αράλληλη στ

αράλληλη στ

άθετη στην ευ

α διέρχεται α

ν οι ευθείες ε

είναι παράλ

2λ 3y x

4

ες.

ια την ευθεία

ις τιμές του λ

προς την ευ


στην γραφική


προς τον άξ

α σημεία τομ

στω τα σημεί

.


ν AB 5

ν κ 0 να α

2x 2 διέρ

pagr

ωνία που σχη

άξονα xx΄.

εία λ

ε : yλ

ώστε η ε να ε

την ευθεία y=

την ευθεία x

υθεία 2y=-8x

από το σημείο

1ε : y λ 1

λληλες να δε

1 , 4ε : y λ

α λ 4ε: y

λ-1

λ ώστε η ευθε

υθεία δ: y 6

λ ώστε το σημ

ή παράσταση

λ ώστε η ευθε

ξονα xx .

μής της με του

ία A κ, 2 κ

ε ότι AB

να βρείτε τι


ρχεται από τ

ηματίζει η

3 2 λ2x

λ λ

είναι:

=-2 ,

y 5 ,

x+1,

ο (3,-1)

21 x λ και

ίξετε ότι οι

1 x 8

x 5 , να

ία ε να είναι

6x 1 .

μείο A(2, 3)

ης της ευθεία

ία ε να είναι

υς άξονες.

αι Β 1,2κ ,

5 κ 1 .

ις τιμές του κ

τι η ευθεία με

τα Α και Β.

λ

ι

ας

ι

κ .

ε

6.

Ν

Α

πα

Β)

σχ

το

Γ)

πα

6.

Α

Β)

απ

Γ)

Δ)

οπ

άξ

Ε)

συ

Στ

πε

συ

Θ

ισ

6.

ε

M

Α

Β)

ε

Γ)

ε.

Δ)

με

.34 Έστω

Να βρείτε:

Α) Τα σ

αράστασης μ

) Το ε

χηματίζεται

ους άξονες.

) Την

αραπάνω τρ

.35 Δίνε

Α) Να ε

) Να γ

πόλυτη τιμή.

) Να γ

) Να β

ποία η γραφ

ξονες.

) Να β

υνάρτησης μ

τ) Να β

ερικλείεται α

υνάρτησης κ

Θ) Να δ

σοσκελές.

.36 Δίνε

: αx y 4 η

M( 1, 6) .

Α) Να β

) Να β

με τους άξον

) Να β

) Να β

ε την παραβ

ω η συνάρτη

σημεία τομής

με τους άξονε

μβαδόν του

από τη γραφ

τιμή του λ ώ

ιγώνου να εί


εξετάσετε αν

γραφτεί ο τύ

.

γίνει η γραφ

βρείτε –αν υπ

ική παράστα

βρείτε τα σημ

με την ευθεία

βρείτε το εμβ

από την γραφ

και την ευθεία

δείξετε ότι το

εται η ευθεία

η οποία διέρχ


βρεθούν τα κ

νες.

βρεθεί ο συντ

βρείτε τα κοι

βολή 2y x

ση f x λx

ς της γραφική

ες.

τριγώνου πο

φική παράστα

ώστε το εμβαδ

ίναι 2 τμ

τηση f x

ν είναι άρτια

ύπος της χωρί

φική της παρά

πάρχουν- τα

αση της f τέμν

μεία τομής τη

α y 3 .

βαδόν του τρ

φική παράστ

α y 3

ο τρίγωνο αυ

(ε) με εξίσωσ

χεται από το

ή του α.

κοινά σημεία

τελεστής διεύ

ινά σημεία τη

13 17x

4 4 .

Συναρτήσεις2, λ 0

ής της

ου

αση και

δόν του

x 2 1 .

ή περιττή.

ίς την

άσταση.

α σημεία στα

νει τους

ης

ριγώνου που

ταση της

υτό είναι

ση

ο σημείο

α της ευθείας

ύθυνσης της

ης ευθείας ε

ς


ΣΥΝΑΡΤΗ

6.37 Αν

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

[1,+)

Δ) Να

6.38 Να

2x 4 0 ,

6.39 Στ

παράσταση

το R .

A) Να

B) Να

Γ) Να

Δ) Να

6.40 Να

συνάρτηση f

τότε και η συ

παρουσιάζει

-15

-10

-5

0

5

10

-2

–Άλγεβρα

ΗΣΕΙΣ - ΘΕ

ν 2x

f x2x

α λυθεί η εξίσ

α εξετάσετε α

α μελετήσετε

α γίνει η γρα

α επιλυθούν

2x 4 0, x

ο παρακάτω

μιας συνάρτ

α βρείτε το f




α προσδιορισ

f(x)= (3κ 1)x

υνάρτηση g(x

ι για την ίδια

0

ΕΜΑΤΑ ΕΞ

2 x 11 x 1

τό

σωση f x 2

αν είναι άρτι

τη μονοτονί

αφική της πα

γραφικά οι α

x 2 και x

ω σχήμα δίνετ

τησης f με π

(0) και f(1) .

εξίσωση: f(x

ανίσωση: f(

ανίσωση: f(

στεί ο κ ώστε

2x παρουσιά

x)= (3 |κ 2

α τιμή του x μ

2 4

ΞΕΤΑΣΕΩ

ότε:

2f 2 0 .

α ή περιττή.

ία της στο

ράσταση.

ανισώσεις:

2 .

ται η γραφικ


x) 0 .

x) 0 .

x) 0 .

όταν η

άζει ελάχιστο

22|)x να

μέγιστο.

4 6

ΩΝ

κή

ύ

ο,

6.

xx

το

6.

οπ

πα

πα

Α

Β)

τη

Γ)

πα

Δ)

Ε)

g

Στ

Ζ)

Η

6

.41 Δίνο

00

και g x

ομής των fC

.42 Έστω

ποίας η γραφ

αρακάτω σχή

αράσταση να

Α) Ποιό

) Να γ

ης g.

) Να β

αρουσιάζει α

) Να ε

) Να β

g(2) g( 2)

τ) Είνα

) Για π

Η) Για π

ονται οι συνα

x x 2 . Nα

, g C καθώς κ

ω μια συνάρτ

φική παράστ

ήμα. Παρατη

α απαντήσετ

ό είναι το πεδ

γράψετε τα δ

βρείτε για πο

ακρότατα, κα

ελέγξετε αν η


g( 3) .

αι σωστό ότι g



αρτήσεις: f(x

α βρεθούν τα

και η απόστα

τηση y g x

ταση φαίνετα

ηρώντας την

τε στα ερωτήμ

δίο ορισμού

διαστήματα μ


αι ποια είναι

η g άρτια ή π


g(0)>g(3); (γ

ου x ισχύει ό

ου x ισχύει ό

27

)=2x

1 2x

,,

α σημεία

ασή τους.

x της

αι στο

ν γραφική

ματα

της g;

μονοτονίας

υ x ,η g

ι αυτά.

περιττή.

τασης:

γιατί;)

ότι g(x)=1;

ότι g(x)>1;

7

28

http://users.s

6.43 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

γραφικής π

Δ) Να

της f τέμνε

6.44 Έσ

f(x) κ x+1

A) Να

Α(3,8) να αν

Για την τιμή

Β.1) Να

Α(3 , 8) και Β

Β.2) Να

περιττή.

6.45 Αν

ανίσωση: x

6.46 Δίν

1ε : y λ

2ε : y 1

Α) Να

και 2ε να

Β) Για

α)

οι 1ε και

β)

η 1ε τέμν

αντίστοιχα,

sch.gr/mipap

νεται η συνά

α βρεθεί το π

α αποδειχτεί


αράστασης τ


ει τον άξονα

στω η συνάρτ

1 , x 1 ,

α βρεθεί η τιμ

νήκει στη γρα

ή του κ που β

α βρεθεί η απ

Β(8 , f(8)) .


ν 2x

f(x)2x

f 23 f

4

νονται οι ευθ

λ 4 x 11 κ

11 2λ x 2

α βρείτε την τ

είναι παράλ

α λ 5 :

Να γράψετε

2ε .

Αν A και Β

νει τον x x κ

να βρείτε τη

pagr

άρτηση f(x)

πεδίο ορισμού

ότι είναι άρ

α σημεία τομή

της f με τον

αν η γραφική

α y y .

τηση f με

κ R .

μή του κ ώστ

αφική παράσ

βρήκατε στο Α

πόσταση των

αν η f είναι ά

2

3 , x 2

x ,x 2

, ν

f 1 .

θείες:

και

με λ R .

τιμή του λ ώ

λληλες.

ε τη μορφή π

Β είναι τα σημ

αι η 2ε τον

ην απόσταση

x 1 .

ύ της.

τια.

ής της

άξονα x x .


τε το σημείο

σταση της f.

Α ερώτημα:

ν σημείων

άρτια ή

α λυθεί η

ώστε οι 1ε

που παίρνουν

μείο στα οπο

ν y y

η AB .

η

ν

οία

6.

f(

Α

Β)

A

πα

6.

Α

Β.

τη

Γ.

f

6.

Α

απ

Β)

Γ)

6.

Α

Β)

πα

.47 Δίνε

1 x(x)

x 6λ

Α) Να β

) Αν λ

α) Ν

A 3,f(3) και

β) Ν

αράστασης

.48 Έστω

Α. Να β

. Να ε

ης f τέμνει τ

. Να β

f 1 3f 7

.49 Δίνε

Α) Να β

πλοποιήσετε

) Να α

) Να λ

.50 Έστω

Α) Να β

) Να α

αράσταση έχ


2

x αν x

λ αν x

βρείτε το λ ώ

λ 3 τότε:

Να βρείτε την

ι B 5, f( 5)

Να υπολογίσ

2f 1 4


βρεθεί το πεδ

εξετάσετε αν

τους άξονες κ


92f 12

8


βρείτε το πεδ

τον τύπο τη


λύσετε την αν




χει κέντρο συ

Σ

τηση :

0

0

με λ R

ώστε f 0 f

ν απόσταση

.

σετε την τιμή

2f 9

ση |x

f(x)

δίο ορισμού

ν η γραφική π

και σε ποια σ


f 5 .

τηση f x

δίο ορισμού τ

ης.

ότι η f είναι

ανίσωση f x

ηση 1

f xx

δίο ορισμού τ

ότι η γραφική

υμμετρίας το

Συναρτήσεις

R .

f 8 .

των σημείων

της

24 .

x 1| 2x 4

.

της f .

παράσταση

σημεία ;

τασης

2

1x

xx 1

της και να

περιττή.

1 .

3

1 x

x x

.

της.

ή της

O 0,0 .

ν

Α Λυκείου –Ά

6.51 Έσ

Α) Να

Β) Να


6.52 Δίν

1f(x)

x 6λ

Α) Να

Β) Αν

α)


β)

3, f 3

6.53 Έσ

Α) Να

Β) Να

fx Α

Γ) Να

6.54 Έσ

Α) Να

Β) Να

Γ) Υπ

f(2008) f(

Άλγεβρα



α υπολογίσετ

ς f(2) 1

νεται η συνά

2

x αν x

λ λ αν x

α βρεθεί ο λ

ν λ 3 τότε:

Να υπολογί

ς 33 f 18

Να βρείτε τη

και 0, f 0


α βρείτε το π

α δείξετε ότι f





πολογίστε την

2008) .

τηση f xx

ότι είναι περ

τε την τιμή τη

2 f( 2)

άρτηση :

0

0

με λ R

ώστε f(0) f

ίσετε την τιμή

.

ην απόσταση

.

τηση 1

f x


f x |x| ,

εξίσωση 2xx

τηση f(x)

πεδίο ορισμού

ότι η f είναι

ν τιμή της πα

1

x 4 x

ριττή.

ης

21 .

R

f 8

ή της

η των σημείω

210x 2 x

2 10 x

ύ fΑ της f ,

για κάθε

92

=f(x)

2

|x| 3

x 9

ύ της f .

άρτια.

αράστασης

ων

6.

ε

Α

η

Β)

ε

Γ)

η

6.

f(

Α

Β)

κά

Γ)

συ

f(

Δ)

.55 Για κ

1ε : 2y λ

Α) Να β

1ε να διέ

) Να β

2ε να είναι

) Αν λ

2ε τέμνει

.56 Δίνε

2

2

x x(x)

x 6

Α) Να β

) Να α

άθε πραγματ

) Να α

υνάρτησης f

x 1(x)

x 4

, x

) Να λ

κάθε λ R ,

6 x 5 και

βρείτε –αν υπ

έρχεται από τ

βρείτε το λ ώ

παράλληλες

λ 3 να βρε

τους άξονες.


2 4

6x 8

.



τικό αριθμό


απλοποιείτ

x A .

λύσετε την αν

δίνονται οι ε

ι 2ε : y 5λ

πάρχει- τιμή

το σημείο 2

ώστε οι ευθεί

ς.

είτε τα σημεία

.

τηση

δίο ορισμού A

ότι: 2x x 2

x .

ότι ο τύπος τη

ται στη μορφ

ανίσωση x f(

29

ευθείες

λx 8 .

ή του λ ώστε

2,4 .

ίες 1ε και

α στα οποία

Af της f .

2 0 , για

ης

φή

f(5)x)

2

ε

30 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

http://users.sch.gr/mipapagr

7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

7.01 Δίνεται η εξίσωση 2λx – λ – 1 x 2λ – 2 0 (1), λR.

Α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει 2 πραγματικές και ίσες ρίζες.

Β) Αν 4λ 1 και 1 2x ,x είναι οι ρίζες της (1), να βρείτε την τιμή της παράστασης:

2 21 2 1 2

1 2

6 6A x x x x

x x .

7.02 Δίδονται τα τριώνυμα 2Ρ x –x 4x – 4 2Q x x 1 , 2K x x – 5x 6 .

Α) Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από τα παραπάνω τριώνυμα για κάθε xR .

Β) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x) Q(x)

0K(x)

7.03 Δίνεται η εξίσωση 2α x α β x β 0 με α 0 , β R .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για όλες τις τιμές των α,β .

Β) Αν 1x , 2x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x x x 1 .

Γ) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α ,με α 1 να αποδείξετε ότι β α .

7.04 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x 2x λ 1 x κ 2κ , x R και κ , λ R . Γνωρίζουμε ότι για x 1

η f έχει ελάχιστο το 3 .

Α) Να βρείτε τα κ και λ .

Β) Αν κ 1 και λ 3 τότε:

α) Να λυθεί η εξίσωση: 2 2f x 2x 2x f x .

β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με 2g x x f x 4 .

7.05 Οι αριθμοί ρ1 και ρ2 είναι οι ρίζες εξίσωσης 2ου βαθμού με S = ρ1+ρ2, P=ρ1ρ2 τέτοια ώστε

Ρ 2S 2 και Ρ 2S 10 .

Α) Να δείξετε ότι S = 3 και Ρ = 4.

Β) Να βρείτε την εξίσωση 2x κx λ 0 που έχει ρίζες τους 1ρ 2 και 2ρ 2 .

Γ) Να λύσετε την ανίσωση 2x κx λ 0

7.06 Δίνεται η εξίσωση 2λx (λ 1)x λ 1 0 , λ 0 .

Α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες.

Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο (Α) ερώτημα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες y (2λ 1)x 2

και y 3λ(λx 1) είναι παράλληλες.


7.07 Έσ

Α) Γι

Β) Γι

Γ) Αν

να ισχύει η

7.08 Έσ

Α) Ν

τιμές του x

Β) Αν

7.09 Έσ

Α) Ν

Β) Αν

Γ) Να λυθεί

7.10 Ν

αληθεύει για

7.11 Δί

μια παραβο

Α) Ν

Β) Γι

Γ) Ν

7.12 Δί

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

7.13 Δί

A) Ν

B) Αν

–Άλγεβρα στω η εξίσωσ



ν 1 2ρ , ρ είνα

ανίσωση: ρ

στω f x (λ


.

ν λ 4 να

στω η συνάρ


ν 1 2x , x ρίζε

ί η ανίσωση d


α όλες τις πρ


ολή που περν


ια την τιμή λ

α σχηματίσε





ίνεται το τριώ


ν λ 4 και

ση 2λ 2 x

του λ η εξίσω

ς του λ η παρ

αι οι δύο οι ρ

1 2 1ρ ρ 2ρ

2λ 2)x 2λx


λύσετε την ε

τηση f(x)


ες της συνάρτ

d(x,λ) 5-λ ό


ραγματικές τι

άρτηση f x

νά από το ση

λ .

=2 να μελετή

ετε την εξίσωσ

άρτηση : f x

πεδίο ορισμο

α σημεία τομ

ετε την απόστ

ώνυμο f x

λ , ώστε το τρ

1 2x , x είναι

2λx 3λ

ωση έχει ρίζα

ραπάνω εξίσω

ρίζες της παρ

1 2ρ .

x 3λ , όπου λ

λ για τις οποί

εξίσωση f x

2x (λ-1)x-λ

ώστε η f να έ

τησης f να βρ

όταν η f έχει

λ R για τις

ιμές του x.

2(λ 1)x

ημείο Α(1,0).

ήσετε την συν

ση που έχει ρ

2

x 6x

x x

ού της .

μής Α , Β της

ταση ΑΒ .

2λ 2 x

ριώνυμο f(x)


0 με λ 2 .

α τον αριθμό

ωση έχει δύο

ρα πάνω εξίσ

λ 2 .

ίες η ανίσωσ

x 8x 18

.

έχει δύο ρίζε

ρεθεί η τιμή

ι μία διπλή ρ

οποίες η ανί

2λ x 3 με λ

νάρτηση ως

ρίζες τις 1ρ

6.

fC με τους

2 λ x λ με

) να έχει ελά

εξίσωσης f x

ό 1;

ο ρίζες πραγ

σωσης να βρε

ση f(x) 0 αλ

.

ες άνισες.

του λ R ώ

ρίζα.

ίσωση 22λx

λ IR , της

προς την μον

1

1x

, 22

1ρ

x

άξονες x x κ

λ R 2 .

άχιστο στο 2

x 0 , να λύ

ματικές και ά

εθούν οι τιμέ

ληθεύει για ό

στε: 1 2

1 1x x

(5λ 2)x 4

οποίας η γρ

νοτονία και

2 όπου 1x ,

και y y .

2 .

σετε την ανίσ

άνισες;

ές του λ ώστε

όλες τις πραγ

1 .

4λ 1 0 , λ


τα ακρότατα

2 x οι ρίζες τη

ίσωση f x

8x

31

για αυτές

γματικές

λ 0 ,

άσταση είναι

α.

ης f(x)=0.

1 22

x xx

.

1



7.14 Δίνεται η συνάρτηση 2f x κx x κ , όπου κ R .

A) Αν κ 0 ,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση f γράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ;

B) Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση 100f(x)

x .

Γ) α. Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(1,3).

β. Για την τιμή του κ που βρήκατε στο ερώτημα (α) να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία της

γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

7.15 Δίνονται οι 2Α x x 4 , 2Β x 2x 3x 2 .

Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(x) και Β(x).

Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε την παράσταση (x 2)Β(x)f x

Α(x)

Γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 0

7.16 Έστω η εξίσωση 2x λx λ-1 0 με λ 2 .

Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες 1 2x ,x .

Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 1 2x x και 1 2x x .

Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 21 2 1 2x x 5 2 x x

7.17 Δίνεται η εξίσωση: 2x – λ – 3 x 2 λ – 4 0

Α) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της συναρτήσει του λ.

Β) Να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει 1 2

1 1 1ρ ρ λ

, όπου 1 2ρ , ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης.

7.18 Δίνεται η εξίσωση 2x x λ-1 0 (1) με ρίζες 1 2x , x .

A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: 1 2 1 2x x 3 x x 5 0 .

Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η (1).

Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματίσετε άλλη εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες

2 21 1 2 2ρ x , ρ x .

7.19 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x αν x 1f x 1

αν x 1x

Α) Να βρείτε τα f 3 , f 1 , 1

f2

και f 2 .

Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων 1, f 1 και 2, f 2 .

Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς f 1 και 1

f2

.


7.20 Δί

Γνωρίζουμε

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

Δ) Εά

τέμνει τον

ορθογώνιο.

Ε) Ν

7.21 Έσ

Α) Δε

Β) Ν

Γ) Ν

ελάχιστο το

7.22 Δί

A) Γι

B) Ν

Γ) Ν

7.23 Δί

Α) Ν

Β) Αν 1 2x ,x

α)

β)

7.24 Έσ

Α) Γι

Β) Γι

–Άλγεβρα ίνεται η συνά

ε ότι για x


α λυθεί η εξί

α βρεθεί για

άν α, β είναι

x x με α

α λυθεί η αν


είξτε ότι για



ο 2.

ίνεται η παρ


α απλοποιηθ

α λυθεί η αν



2 είναι οι ρίζ

) να βρείτε τι

) για α 2 , ν




άρτηση f x

1 η f έχει ελ

α κ και λ.

ίσωση f x

ποιες τιμές τ

οι τετμημένε

β , θεωρούμ

νίσωση

1

f x

ση: 2λ-2 x

κάθε λ R



άσταση Α

ς του x ορίζε

θεί η παράστ

νίσωση Α 1

ωση 2x (α


ζες της εξίσωσ

ις τιμές του α

να κατασκευά

ση: 28λ-6 x

του λ η 1 ε

ς του λ η 1

22x λ 1

λάχιστο το

1 4x 2 .

του x ορίζετα

ες των σημεί

με τα σημεία

2

1 143

.

2λx λ 2

2 η παραπ

ώστε 1 2x x

ώστε το τριώ

2

2

3x 3x 2

2x x 3

εται η παράσ

ταση Α

21)x α 0

ση (1) έχει δύ

σης (1):

α ώστε 1x

άσετε εξίσωσ

8λx 1

είναι δευτέρο

έχει μία διπ

21 x κ 2κ

3 .

αι η συνάρτη

ίων στα οποί

Μ 1, β ,Ν

0 με λ R

πάνω εξίσωσ

3 όπου x

ώνυμο f(x)

σταση Α;

, α R (1)

ύο ρίζες άνισ

2x 2005

ση 2ου βαθμ

0 1 .

ου βαθμού;

πλή ρίζα;

κ με x R κ

ηση g x

ία η γραφική

Ν 10, 2α Δεί

2 .

ση έχει δύο άν

1 2, x οι άνισε

2λ-2 x 2λ

.

σες για κάθε

ού με ρίζες x

και κ , λ R

2x f x 4


ίξτε ότι το τρ

νισες λύσεις.

ες ρίζες της π

λx λ 2 , μ

τιμή του α .

1x 2 και

παράμετροι

.

η της g

ρίγωνο ΟΜΝ

.

παραπάνω ε

με λ R 2

2 x 2 .

33.

Ν είναι

εξίσωσης.

, να έχει

3



7.25 Έστω οι συναρτήσεις: 2f(x) (λ 1)x 4λx 3 και 2g(x) x 4μx μ με μ 0 .

Α) Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε η γραφική παράσταση της f να είναι ευθεία.

Β) Να βρεθεί η τιμή του μ R ώστε η γραφική παράσταση της g να εφάπτεται στον xx .

Γ) Για τις τιμές των λ , μ που βρήκατε να βρείτε τα κοινά σημεία των f gC ,C .

Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η fC τους άξονες x x΄και y y΄ και να βρεθεί το μήκος της

υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται.

7.26 Έστω η εξίσωση 2 2x 3x μ =0, μ R (1) .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες για κάθε μ R .

Β) Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) , να βρείτε για ποιες τιμές του μ :

α) η παράσταση 1 2 1Α ρ μ+ρ (μ ρ ) παίρνει το πολύ την τιμή 2 .

β) οι ευθείες 21 1ε : y ρ x 2006 και 2

2 2ε : y (27 ρ )x 2007 είναι παράλληλες.

7.27 Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξίσωση 2x 1 λ x 1 0 , η οποία έχει δύο ρίζες

πραγματικές και άνισες, τις 1x και 2x .

Α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμές ο λ.

Β) Να λύσετε την ανίσωση: 2 21 2 1 2 1 2x x 1 x x 2x x 0 , ως προς λ.

7.28 Δίνονται τα τριώνυμα: 2P x x 5x 4 , 2Q x 9 x και 2K x x x 1 .

Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P x 0 , Q x 0 και K x 0 .

Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

K 1f x P x

Q x

.

7.29 Δίνεται η συνάρτηση 24 x

f xx 2

.

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Β) Να εξετάσετε αν έχει, άξονα συμμετρίας τον άξονα y y , ή κέντρο συμμετρίας το O 0,0 .

Γ) Να εξετάσετε αν η ευθεία y x 3 1 διέρχεται από το σημείο 1, f 1 .

7.30 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 16f x

x 4x

.

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να απλοποιήσετε τον τύπο της.

Β) Να λύσετε την εξίσωση f x 2 .

Γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει 0 f x 2 .

Aalg Sxol 2015-2016 Papagrigorakis

Documents

Transcript of Aalg Sxol 2015-2016 Papagrigorakis