cpro sxol 2015-2016 papagrigorakis C13 - …...Γ Λυκείου – Μ 3 3 ΑΡ 3.01 Μια...

Γ Λυκείου

4ο ΓΛΧ

2015 - 2016

M. Ι. Παπαγρηγοράκης Χανιά

[Μαθηματικά] Προσανατολισμού

user

Line

user

Line

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού

Μέρος Γ: Ολοκληρωτικός Λογισμός Έκδοση 15.09

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός M.Ed. Χανιά 2015

email: [email protected]

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου – Μ

3

3 ΑΡ

3.01 Μια

έχει την ιδιό

Να αποδείξ

3.02 Έστ

και F μια α

f x F 2 x

Να βρείτε τ

3.03 * Έσσυνάρτησης

2F x F x

Να αποδειχ

μια τουλάχι

3.04 Bρε

f x f x

3.05 Η σ

παραγωγίσι

f 0 0 κα

A) Δείξτ

Β) Αποδ

3.06 Έστ

μια παράγο

και F x F

εξίσωση f x

3.07 Nα

συνάρτησης

Μαθηματικά Πρ

ΡΧΙΚΕΣ ΣΥ

α συνάρτηση

ότητα f 2x

ξετε ότι f 1

τω μια συνεχ

αρχική της f

x 1 για κά

ον τύπο της

στω F μια αρς f : R R , μ

x F α x γι

χθεί ότι: Α)

Β)

ιστον ρίζα στ

είτε συνάρτησ2xe συνx ,

συνάρτηση f

ιμη στο R κ

αι 2f (x) f(

τε ότι 2f x

δείξτε ότι f(x

τω f : R R σ

ουσά της στο

F 2 x , x

x 0

βρείτε τις αρ

ς f x 2 x

ροσανατολισμού

ΥΝΑΡΤΗΣΕ

η f : R R μ

xe x για

0 .

χής συνάρτησ

στο R . Αν

άθε x R , τό

f

ρχική της συμε την ιδιότη

ια κάθε x R

F 0 F α

η εξίσωση

το R .

ση f : R R

x R και

είναι δύο φ

αι ισχύουν:

xe(x)f (x)

2

x1 2e c x c

xx) e x ,

συνεχής συνά

R . Αν F x

R , να λύσ

ρχικές συναρ

1 με x R

ύ

ΕΙΣ

με f 2 e 2

α κάθε x R

ση f : R R

f 1 1 και

ότε

νεχούς ητα:

R , όπου α

α ,

f x 0 έχει

αν ισχύει

f 0 0

φορές

f 0 1 ,

, x R

2 , 1 2c , c R

x R

άρτηση και

x 0 , x R

σετε την

ρτήσεις της

2

.

0 .

ι

F

3.ρυβαRτοεκΑχρΒ)η πε

3.ορ

0

είπαέξΑ

μοΒ)

μομι

3.mρυτη

3.τα

δί

χρ

απβρ

.08 Στη δευθμός καταναρέλια ετησί(t) = ke(ln2)t, όο 1980. Στις ακατ. βαρέλιαΑ) την παρόνια μετά τ) σε πόσ παγκόσμια κερίοδο 1980-

.09 Μια εριακό κόστος

2,015x 2x

ίναι ο αριθμόαράγονται ηξοδα 1000 δοΑ) το ημε

ονάδων προϊ) την αύ

ονάδων παρια ημέρα.

.10 Νερό min μετά το άυθμό 8t 5 dην διάρκεια τ

.11 'Ενα καχύτητά του

ίνεται από το

ρονική στιγμ

πόσταση 2cmρεθεί η θέση

εκαετία του 1νάλωσης πετρίως δινόταν αόπου t είναι οαρχές του 198 τον χρόνο. Ναγκόσμια καο 1980, σα εκατομμύκατανάλωση1990. ( ln2 ≈

ταιρεία έχει ς λειτουργία

80 δολάρια

ός των μονάδημερησίως. Αολάρια την ηερήσιο κόστο

ϊόντος, ύξηση του κό

αχθούν 60 μ

φεύγει από τνοιγμα της βdm3/min. Πτων τριών πρ

κινητό κινείτ σε cm/sec τη

ον τύπο υ(t)

μή t 0 το κι

m από την ατου τη στιγμ

1980 ο παγκόρελαίου σε εκαπό τον τύποο αριθμός τω80 ο ρυθμός Να βρείτε: ατανάλωση π

ύρια βαρέλιαη πετρελαίου 0,7)

διαπιστώσειας της είναι

α την ημέρα,

δων προϊόντΑν η εταιρείαημέρα, να βρος παραγωγή

όστους, αν αν

μονάδες προ

την βρύση έτβρύσης να χύΠόσο νερό έφρώτων λεπτώ

ται πάνω σε άη χρονική στ

t(t 2) . Αν

κινητό βρίσκε

αρχή των αξόμή t 3

3

όσμιος κατομμύρια ο ων ετών μετάήταν 14

πετρελαίου t

α ανερχόταν υ κατά τη

ότι το

όπου x

τος που α έχει πάγια ρείτε: ής x

ντί 30

οϊόντος σε

τσι ώστε t ύνεται με φυγε κατά ών ;

άξονα και η τιγμή t

ν τη

εται σε

όνων, να

3

ά

4

TO ΟΡΙΣΜ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο

3.12 H σ

10

4

f x dx

3.13 Αν

3.14 Απο

3.15 Η σ

β

α

f x dx

3.16 Έστ

3.17 Η σ

γ

α

f x dx 3.18 Η σ

β

α

f x dx 3.19 Η σ

β δ

α γ

f t

3.20 Έστ

ΜΕΝΟ ΟΛ

ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ Ο


5 να υπολ

2

1

f(x)dx

οδείξτε ότι


δ

γ

f x dx

τω ότι 1

0

f(xσυνάρτηση f

δ

β

f x dx συνάρτηση f

δ

γ

f x dx συνάρτηση f

2xt e dx dt

τω ότι 1

0

f(x

ΛΟΚΛΗΡΩ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

είναι συνεχ

λογίσετε τα :

5 , 2

1

g(x)

4 2

22

2x 5dx

x 4


γ

α

f x d

x)dx 2 και


β

α δ

f x dx είναι συνεχ

γ

α

f x d είναι συνεχ

δ β

γ α

f t

x)dx 2 και

ΩΜΑ

ΑΤΟΣ

χής στο R κα

0

3

dx 3 , βρε

2

24

1x 3

x 4

χής στο R . Γι

δ

β

dx f x d

3

2

g(x)dx χής στο R . Γι

γ

δ

f x dx χής στο R . Γι

δ

β

dx f x d χής στο R . Γι

2xe dt dx

3

2

g(x)dx

αι ισχύει ότι

0

3

f u du ,

είτε τα: Α)

dx 44

ια κάθε α,β,

dx

5 . Να υπολ


δ

α γ

f x dx ια κάθε α,β,

dx


5 . Να υπολ

3

0

f x dx

4

0

f x dx ,

2

1

[2f(x) 3g

γ,δ R να δ

λογίσετε το

γ,δ R να δ

β

γ

f x dx 0

γ,δ R να α

γ,δ R να α

λογίσετε το

ΟΛΟΚ

2 , 3

4

f x

10

0

f x dx

(x)]dx Β)

δείξετε ότι:

1 3

0 2

f x

δείξετε ότι:

αποδείξετε ότ

αποδείξετε ότ

1 3

0 2

f x

ΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ

x dx 1 κα

x

1

2

[g(x) 3f(

g t dt dx

τι:

τι:

g t dt dx

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

αι

(x) 5]dx

Σ


Η ΣΥΝΑΡ

3.21 Βρείπαράγωγο τ

x

1

G x x

x

1

F x

3.22 Να βπαράγωγο τ

2x

x

M(x)l

x 1

2x

H(x)

3.23 Η συΒρείτε την π

1

0

F x xf

2

1

H x f 3.24 Να βπαράγωγο τ

β

α

G ω x 3.25 Να ασυναρτήσεις

x

0

F(x) 1 3.26 Να β

x

1

F(x)


ΡΤΗΣΗ F(x

ίτε τo πεδίο οτων συναρτή

x ln tdt

1 2tdt

ln t t

βρείτε τo πεδτων συναρτή

1dt

ln t F x

15 2t 4t dt ,

υνάρτηση f παράγωγο τω

f x t dt

xdt

t

με x

βρείτε τo πεδτης συνάρτησ

txe dt K x

αποδειχτεί ός:

21 t dt και

βρείτε τη δεύy

22

1

1 t η


x

α

x) f(t)dt

ορισμού και σεων:

x

1

K x

x

x

N x δίο ορισμού κσεων:

π

π

t x d

4

x

G x είναι συνεχήων συναρτήσ

1

0

G x 0,

δίο ορισμού κσης

1

2

0

x t ημ ότι αντιστρέφ

x

0

G(x) ημ ύτερη παράγ

2dt dy

ημ t

ύ

την

2 3x2t ln tdt

2x 1dt

ln t

και την

dt , π x π

x

x

ln t 1dt

2t 1

ής στο R . σεων

2x tf xt dt

και την

2μ xt dt

φονται οι

4 2μ t dt

γωγο της

π

3.

3.

Α

Β)

3.

Α

Β)

3.

3.

συ

3.

f(

Α

.27 Nα απβ

συν(2πt)

α

e dt.28 Να βρ

Α) F x

) F x

.29 Αν f σ

Α) x t

0 0

t

) x

0

f u η

.30 Υπολο

.31 Δείξτε

υνεχής στο R

x, y R

.32 Αν G

t

2t

(t) 1 Α) G 0

ποδείξετε ότιβ 1

συν(

α 1

t e

ρεθεί η F x

x

e

ln tdt

xu

6

e du

19

συν

συνεχής στο

t

f u du dt

ημx ημu du

ογίστε το 0

ε ότι δεν υπά

R ώστε να ισ

x

0

(x) f(t)d 2u du, t R

1 Β) x

ι:

(2πt)dt , α,β

αν

ln xt

1

t e dt

xy

6

e dy2

61

ν tdt

R , να δείξετ

x

2

0

1x u

2

x

0

u συνu

1 x t

0 1

e 1d

t

άρχει συνάρτ

σχύει: y

x

f t

dt, x R κα

R , να αποδεί

x

G (x)lim

x

5

R

y2ημ tdt

τε ότι:

2u f u du

u

0

f(t)dt du

dt dx

τηση f ,

f xdt

f y ,

αι

ίξετε ότι:

21 x4

1

5

6

Α ΣΤΟΙΧΕΙ

Να υπολογίσ

3.33 Α)

3.01 Α)

3.02 A)

3.03 Α)

3.04 Α)

ΣΥΝΘΕΣΗ

3.05 A)

3.06 Α)

3.07 Α)

3.08 Α)

3.09 Α)

ΙΩΔΗ β

α

f xσετε τα ολοκλη

12

0

(1 x) d

26

20

1 x

x

2

21

x x

x 2

e

21

1 ln xdx

x

e

x1

1 xdx

e

β

α

f g(x) g (1

2

0

x(x 12

21

3

x

1

20

1 xdx

x

1

20

x 1

x 2

1

40

4x 5d

(x 2)

β

α

dx F x d ηρώματα:

dx Β)

xdx

Β)

2dx

2x

B)

x B)

2

0

Β)

2

0

e

g β

g α

(x)dx f 31) dx

B)

2dx

x Β)

x Β)

1 2

0

e1

dxx 3 Β)

dx Β)

ΜΕΘΟΔ

dx F β F

2

1

1

x 5 2 2

21

x x x

x

12

0

(2x 1)

x x x

xe ( x

u du - με ΑΛ

)

12

0

4x 2x1

40

1

(1 2x)2x x

x

7e 6d

e 3

1

x0

1

e 1 e

1 x

0

3dx

x

ΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗ

α

dxx 2

Γ

1dx

Γ)

dx Γ

x dx Γ) 0

x)dx Γ)

ΛΛΑΓΗ ΜΕΤ

123 dx

3dx Γ)

x Γ)

5

2

e

e x l

xdx

e Γ)

Γ)

ΗΡΩΣΗΣ

Γ)

π3

3

π6

ημ x

η

2 3

1

x 2xx

Γ) 33

2

6

x

x

2 2

0

2x x x

2

20

x x

x

ΤΑΒΛΗΤΗΣ: u

Γ)

2e

e

l1

20

2x 1

x x 2

1d

ln xln(ln x)

1

0

xd

ln( x)

e

1

(ln x)x

ΟΛΟΚ

2

2

συν x 2dx

ημ x

5dx

4dx

x

Δ)

2 x dx Δ)

xdx

Δ)

u g x ή

ln(ln x)dx

x ln x

dx2

Δ) 0

x Δ)

dx Δ)

dx Δ)


x Δ) 1

50

d

6

Δ)

2

1

x

x

)

3 3

2

x 1d

x 1

)

2 x

0

e ( x

4 x 1

1

22

x

Δ)

1

0

3 3

0

x xd

x1

2 xln 2

0

e d

1

0

xdx

x1

x e

0

e dx

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

dxdx

6 x

1dx

x

dx

x x)dx

x2 x ln 2

3 3x 1dx

dx

dx

Σ


3.10 Α)

ΜΟΡΦΗ:

3.11 Α)

ΜΟΡΦΗ:

3.12 Α)

ΜΟΡΦΗ:

3.13 Α)

ΡΗΤΕΣ ΣΥ

Α Περίπτω

δηλαδή αν Q

ΜΟΡΦΗ: 3.14 Να

ΛΥΣΗ

Η συνάρτησ

να ισχύει (x

Η τελευταία

Επομένως,

Αν ο παρον


3

6

ln( x)x x

β

α

f x, ln x dx

e

1

ln xdx

x

β

α

f ημx συνx

3

2

6

x

1 x

λ

κ

f P x , αx

12

0

x (2x 1)

ΥΝΑΡΤΗΣ

ωση: βαθμός P

Q x P x τ

ν

2μ

κx λαx βx γ

υπολογισθεί

ση 2

2xf(x)

x

2x 1x 2)(x 3)

α ισότητα ισχ

2

21

2x 1x 5x 6

νομαστής είν


dxx

Β)

x Τότε θέτω: u

Β)

2e

e

1x ln

x dx ή β

α

f σ

dxx

Β)

νx β dx όπο

73) dx

Β) 1

0ΣΕΙΣ

P x < βαθμός

τότε β

α

P(x)d

Q(x)dx

γ, με 2β 4

ί το ολοκλήρ

x 15x 6

έχει A

A Bx 2 x 3

,

χύει για κάθε

2

1

5dx d

x 2

ναι της μορφή

ύ

) 2

1

1x dx

x

u ln x

1dx

n x Γ) 1

συνx ημx dx

3

6

x 1

ου ν Ρητός. P

2

2

2x 3dx

(3x 1)

Q x . Ελέγχω

β

α

Q (x)dx

Q(x)

4αγ 0 . Τότε

ρωμα 2

21

2xx

fA R {2,3}

για κάθε x

ε x R {2,3}

2

1

7dx dx

x 3

ής Q x x

x Γ)

e

1

ln x 1dx

x

Τότε θέτω u

xdx

Γ)

P x πολυώνυ

Γ)

1

0

(x

ω πρώτα μήπω

)dx ln Q(x

εργάζομαι όπ

x 1dx

5x 6

.

και είναι f(x

R {2,3} , όπ

, αν και μόν

x ... 5 ln

1 2ρ x ρ ...

21

3 x

0

xe dx

Δ)

e

1

(1

ημx ή u

3

6

1 x

2 x

υμο Τότε θέτω

2) 3x 1dx

ως ο αριθμητή

β

αx) ln Q(β

πως στο παράδ

2x 1x)

(x 2)(x

που έχουμε (A

νο αν A

3A 2

2

1x 2 7 ln

ν. x ρ , τότε

Δ)

2ln x)dx

x Ε)

συνx αντίστο

xdx

x

u αx β ,

x Δ)

1

0

(x

ής είναι η παρά

β) ln Q(α)

δειγμα:

3). Αναζητο

A B 2)x 3A

B 2 02B 1 0

ή

2

1n x 3 ...

ε: 1P(x) AQ(x) x ρ

1

20

xdx

x

)

e 3

1

1 ln xx

οιχα

2 32) (2x 1)

άγωγος του π

=Q'(x)

dxQ(x) =

ούμε τους A,

3A 2B 1 ,

ή, AB

2

1 2

Α...

ρ x ρ

7

x

xdx

dx

αρονομαστή

= ln Q(x) c

,B R , ώστε

x R {2,3} .

57

.

ν

ν

Α.

x ρ

. …

7

8

3.15 Α)

ΜΟΡΦΗ:

3.16 Α)

ΕΚΘΕΤΙΚ

ΜΟΡΦΗ:

3.17 Α)

3.18 Α)

ΠΑΡΑΓΟΝ

ΜΟΡΦΗ 1 Συνήθως ως β

3.19 Α)

ΜΟΡΦΗ 2

3.20 Α)

ΜΟΡΦΗ 3 I

παραγοντική

3.21 Α) ΜΟΡΦΗ 4 Μπορεί ο λογ

1

20

1

2

x

x x

λ

2κ

P(x)

αx βx γ

1 2

20

xdx

x 4ΚΕΣ

λ

βxαx

κ

f e , e d

1

0

1

2

x

x

edx

e

1 x

2x0

e 1d

e 4

ΝΤΙΚΗ ν

λx β

κ

P(x)α dxβάση έχουμε το

12 2

0

xx e dxβ

α

P(x)ημ(λx 1

2

0

3( x xβ

λx β

α

α συν ολοκλήρωση

1

x

0

e (3x

β

α

f(x)ln(αx βγάριθμος να εί

7dx

Β)

dxγ

με P(x)

x Β)

dx Τότε: u e

x Β)

dx Β)

β

α

f(x)g '(x)dxx όπου P x

ο e

x

β)dx ή β

α

P

2) ( x)dx

ν(γx δ)dx , I

δυο φορές, εμ

x 1)dx Β) β)dx . Τότε χρ

ίναι υψωμένος

Β)

πολυώνυμο β

1 2

0

x x 2d

x 3

xe , x ln u , d

1 x

2x0

ed

e 1

1

20

2

1 xd

e

βαf(x)g(x)

πολυώνυμο το

Β) 1

0

(x)συν(λx β)

Β)

βλx β

α

α ημ(γ μφανίζεται πάλ

1

x

0

e xdx

ρησιμοποιώ πα

ς σε δύναμη κ

4

23

1x

x x

βαθμού 2 κα

dx Γ)

1

0

xdu e dx ( συ

dx Γ) 1

x0 e

dx Γ)

1

x0 (e

β

α

f (x)g(x)d ου x . Τότε χρ

2 xx 3x e d

)dx Τότε χρησ

1

0

2x (3x

γx δ)dx . Χρ

λι το I . Προκ

Γ) 1

0

xeαράγουσα της

και η να έχουμ

2dx Γ) 2

αι 2β 4αγ 0

2

2

x 2x 1d

x 4x 3

υνήθως καταλ

1

dx1

x

x x

e

1)ln(e

dx

ρησιμοποιώ πα

dx

σιμοποιώ αρχι

1)dx

ρησιμοποιούμ

κύπτει έτσι εξίσ

2x xdx

ς f x και απο

με συνάρτηση

ΟΛΟΚ

3

22

x 2dx

x 6x 7

0 , τότε κάνουμ

x Δ)

3

2

x

λήγω σε ρητή )

Δ)

dx1) Δ)

αράγουσα της

ική της ημ λx

Γ)

π2 2

0

x σ

ε αρχική για τ

σωση με «άγνω

Δ) 1

x

0

2

οφεύγουμε τον

πιο σύνθετη α


x Δ)

3 2

32

xx

με τη διαίρεση

3 2

2

x x 2x

x x

)

1 2

0

1x

x

edx

e

1

0

x

x x

e

e e

ς λx βα την αλ

x β ( συν λ

συν2xdx

την λx βα οπό

ωστο» το I .

xdx

ν παράγοντα

από την αx β

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

32x 1

dxx

η κλπ

1dx

x

dx

λx βαλ lnα

.

x β )

ότε κάνοντας

ln αx β .

β .

Σ


3.22 Α)

3.23 Α)

ΡΙΖΕΣ

ΜΟΡΦΗ: 3.24 Α)

Α)

EIΔ. ΜΟΡΦΗ

3.25 Α)

EIΔ. ΜΟΡΦ

21

dx dσυν u

3.26 Α)

EIΔ. ΜΟΡΦΗ

3.27 Α)

EIΔ. ΜΟΡΦ

3.28 Α)

Μαθηματικά Προ

1

e

ln xdx

e

1

x ln(3x 4

λ

ν

κ

f x, αx β

1

30

x 1d

3x 2

1

20

xd

x 1

Η: Α νf x, α

1

30

xx 1 x

ΦΗ: Β f x,du

1 3

20 1

xdx

x Η: Γ f x,

1 3

20 4

xd

xΦΗ: Δ f x,

2 2

1

1xd

x

οσανατολισμού

Β)

4)dx Β)

dx Τότε: u

dx

dx

μαx β , αx β

dx

x 1 Β)

2 2, x α dx

Β)

2 2α x dx α

dx

2 2, x α dx ,

dx

1

2 3e

ln( x )d

e

1

x ln(x 1)d

ν αx β , u

Β) 1

0

x

2x

Β) 1

0

x

2x

β dx Τότε θέτ

1

30

8 x3 x 6 x

ή 2f x,x

1

20

1dx

x 1

0 . Τότε: x

Β) 1

0

1,α 0 , x α

dx Γ)

dx Γ)

u 0 , νu αx

3xdx

x 1

x

dxx 3

τω λu αx β

dxx

Γ) 1

0

2α dx α 0 Τ

Γ) α ημu με u

2x dx

ή x α ,τότε

2

1

2 1e

ln ( x

5

4

ln( x x

x β , ν 1νu du

Γ) 1

0

Γ) 1

0

β όπου λ ΕΚ

3

dx2x 1 2x

Τότε x α εφ

2

20

2x 3dx

x 4

π πu ,

2 2

τό

Γ) 1

1ε α

xσυνu

με

1)dx

2x 9)dx

u αdx δηλαδ

x x 4dx

4 2

xdx

x 3

ΚΠ ν ,μ

dx

1 Δ)

φu με πu

2

ότε dx α συ

2

2

1

4

x xdx

x

ε πu 0,

2

ή u

Δ) e

1

l

δή v 1vu

dxα

Δ) 1

0 Δ)

1

0

1

40

12x 1 2

π π,

2 2

τότε

υνudu

x

πu 0,

2

, dx

9

ln xdx

x

1

du

3

2

xdx

x 4

2xdx

2x 1

dx2x 1

2α ημu

x duσυν u

10

ΓΕΝΙΚΕΣ

3.29 Α)

3.30 Α)

3.31 Α)

3.32 Α)

3.33 Α)

3.34 Α)

3.35 Α)

3.36 Α)

3.37 Α)

3.38 Α)

3.39 Α)

3.40 Α)

3.41 Α)

Σ

1 2

0

(2x 1)d

x

1

2 2

0

x (x

1

20

2

1

x

x

13

0

xdx

2 4

41

4 1

1

(x )

x(x )

21

e

e

dx ln x

2 2

1

e

x ln x0 2

1

3 5

2 9

x

x

e e

e

1

x0

x 1dx

e

1 2x

2x0

e 2

e 4x

1 3

0

xdx

x

1

3

0

x

0

1 1

x

x x

dx Β)

2 )dx Β)

xdx

x Β)

Β)

)dx

) Β)

dx

2dx Β) xe

dx Β)

Β)

dxx

Β).

Β) 2xdx Β)

dx Β)

1

0 3

dx

x

3

6

σφx ln(

1

2

0

x 2

21

1

1x

x

0

21 2

x

x x

e

e e

Β) 0

1

x

x

2

1

0x

x x

e

1x

0

e (2x+ημx

0

x x

1

e ημe dx

1 x

x0

edx

e 1

2 2

1

xdx

x

1

2

0

x ln 3x d

0

1

2x e

dxx

Γ)

x)dx Γ)

2xdx Γ)

2dx

Γ)

1xdx

Γ)

1

xdx

x

dx

x)dx Γ)

Γ)

Γ)

x Γ)

dx Γ) xdx Γ)

2

21

x x

x

1 2

40

x

x

2 3

21

x

x 4x 3

1 3

20 1

xd

x

0

1

1

1(x ) x

Γ) 0

1

Γ) 0

1

e

1

(ln x)d

0

1

2x

1 x

2x x0

e

e e

1 4

20

xdx

x

1

2

0

ln x x

2

1

x

2 x 1

ΟΛΟΚ

xdx

2x dx

dx3

dx

2dx

1

2

xdx

x

2

xdx

x

dx

2

2xdx

2x

dx12

x

2 1 dx

dx


Δ) x

Δ)

2

1

ln(x

Δ) 1

0

x

Δ) 1

0

x

Δ) 2

1

Δ) 2

1

Δ) 1

e

Δ) e

1

Δ) 2

1 η

Δ) 1

0

e

e

Δ) 1

0

x

Δ) 1

0

Δ) 2

1

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2

2x 3

x 3x 5

x)dx

x

2x xdx

x ln xxe dx

1

dx

x(x )

21 xdx

x

x

xdx

e

e2(ln t) dx

2

xdx

ημ x

x x

x x

e edx

e e

2x xdx

5xdx

1

dxx x

Σ


3.42 A)

3.43 Α)

3.44 Α)

3.45 Α)

3.46 Α)

3.47 Α)

3.48 Α)

3.49 A)

3.50 Α)

3.51 Α)

3.52 Α)

3.53 Να


1

2

0

x x e3

0 1

xdx

x

1

2

0

x 2 e

2

1

xdx

2e

3e

1d

x ln x

1

e log xd

x1

0

2 xln dx

2 x

1

0

xdx

x 1

e

1e

lnxdx

x

1

20

2

1

xdx

x

1

2

0

ln x

υπολογίσετε


2xdx Β)

x Β)

xdx

Β)

x Β) 4

2

6

2x

x Β)

dx Β)

x Β)

12

0

x

B) e x

0 1

Β)

x Β)

2

3

1

3

xe

2 1x dx

ε τα I , J ότα

ύ

ln 2 x

x0

e 1d

e x

e

1

ln x

2

20

xd

4 x

2

1dx

x

Γ)

1 2

30

1

3

x

x x

1

3x

0

x 2 dx

3x dx

x-t(1- t)e dt d

2

2

2

|x| |x

2 2x xdx Γ)

αν 2

0

I1

dx Γ)

dx Γ)

dx Γ)

3

2

2

x

2dx Γ)

Γ)

Γ) 1

0

ln

x Γ) 1

0 1

1| dx Γ)

0

2ln

2 xe 1

xdx

2 x

4

3 23

x

x x

0

x x

22x

31

2 3xe

x

12( x)dx

2

0

x 1x

22

0x

xdx

e

2 1x x

1

1 1x x

23

2

4

x

x

2x1 - e dx

2

0

J

2dx

x

2 dx Δ)

2xdx

Δ)

1x

0

e d

1dx

2

dx Δ)

x

2

2

xdx

x

Δ) 1

0

1

2 x xd

1 2 x

Δ) ln

ln

1

x0

x xd

e

Δ)

e

1

l

dx

Δ)

2

4

Δ) 1

0

e 2

1

ln xdx

x

Δ) 1

0

Δ) e

1

l

2x dx

dx

11

n 3 2x

x2

edx

e 1

dx

2ln xdx

2

xdx

x

x 1dx

x

1dx

x 1

n x 1dx

1

12

ΤΟ ΟΡΙΣΜ

3.54 Εστ

Α) Απο

Β) Να

3.55 Έστ

. Να βρείτε

ολοκλήρωμ

το υπολογίσ

3.56 Να

2 xf x x e

ln x

λ xe

3.57 Nα

e

1

F x t 3.58 Έστ

f : α, β

f β 3f α

3.59 Απο

3.60 Αν παράγωγο ν

β

α

xf x d3.61 Έστ

και f x e

ΜΕΝΟ ΟΛ

τω η f(x)

οδείξτε ότι η

βρείτε το

τω η συνάρτ

για ποια τιμ

α 1

0

f(xI σετε.

βρείτε τις αρ

g x 2x ln

x

x e , x 1

e , x 1

βρείτε τη συ

t x ln tdt μ

τω παραγωγί

R με f x

. Να βρείτε

οδείξτε ότι η συνάρτησηνα αποδείξετ

dx βf β

τω f παραγω

2xe , x R .

ΛΟΚΛΗΡΩ

2

2x αν 1

4x αν 0

f είναι συν

1

1

f x dx

ηση x

f(x)α

μή του α R

x)dx και στη

ρχικές των συ

2n x 1

g x xημ

υνάρτηση F

ε x 1

ίσιμη συνάρτ

0 , f x

ε το β

α

f

0

f x

f x f

η f έχει συνετε ότι

f β αf

ωγίσιμη στο R

Υπολογίστε

ΩΜΑ – ΑΠ

1 x 0

0 x 1

εχής στο 0

2x ln x, xα 1 , x

ορίζεται το

συνέχεια να

υναρτήσεων

k x ημx e

μx

αν

τηση

2f x και

f x dx

dxx 2

εχή δεύτερη

α f α

R με f 1 e

το 1

0

f x d

ΠΟΔΕΙΚΤΙΚ

00

α

xe

e

dx

3.πα

f

3.οπ

Ν

Α

Β)

3.

δε

τα

3.

με

3.

Α

να

3.

τη

f(

ΚΕΣ ΑΣΚΗ

.62 Αν η σαράγωγο να

x 1 2f x

.63 Δίνετα

ποία ισχύει f

Να αποδείξετε

Α) f x 2

) 2005

1.64 Η συν

είξτε ότι β

α

fα

π3

π6

ημx.65 Η συν

ε f x f α

β

α

xf x dx .66 Η συν

Αποδείξτε ότι

α υπολογίσετ

.67 Έστω

ην οποία ισχύ

(π) 1 , να υ

ΟΛΟΚ

ΗΣΕΙΣ

συνάρτηση f αποδείξετε ό

x f x 1

αι η συνεχής

f x f x 1

ε ότι

2004 f x

f(x 2005)dx

νάρτηση f εί

β

α

f x dx συνxdx κ


β x , x

β

α

α βf x

2

νάρτηση f ε

π

0

xf ημxτε το

0

I μια συνάρτη

ύει π

0

f(x)(πολογίσετε τ


f έχει συνεχήότι

x y 1

x 1 y

f

ς συνάρτηση

002 0 , για

, για κάθε x

2006

2

x f(x) ίναι συνεχής

β

f α+β-x dx

και

π2

0

σσυνx

ίναι συνεχής

α,β . Αποδ

dx α β είναι συνεχής

π

0

πdx f

2

π2

0

xημ xdx

ηση f με f

f (x) ημxd)

το f(0) .

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ή δεύτερη

f t dt dy

f για την

α κάθε x R

R .

)dx .

ς στο α,β .

και βρείτε

συνxdx

x ημx

ς στο α,β

δείξτε ότι:

α β

2

α

f x dx

ς στο 0,1

ημx dx και

συνεχή για

dx 2 . Αν

Σ

Α


3.68 Έστ

1000,1002

2

0

f (x)dx Α. Να

Β. Να

Γ. Να

3.69 Yπο

3.70 Βρε

3.71 Αν

να βρείτε το

ΑΡΤΙΑ ΠΕ3.74.1.1.1 Τζουβαρ

3.75 Αν

συνεχης και

3.76 Αν

συνεχης και

3.77 Έστ

την ιδιότητα

x R . Απο

και ότι 19

199


τω συνάρτησ

και για την

4 2f(0) κα


δείξετε ότι υπολογίσετε

ολογίστε το

είτε τον τύπο

2x

f xσυν

ο 1

π2

f x dx

ΕΡΙΤΤΗ ρας κατευθυνσης 5 7 /

η συνάρτηση

ι περιττη τότ


ι άρτια τότε

τω η συνεχής

α f(1 x) f(

δείξτε ότι η 996

95

f(x)dx


ση f , παραγ

ν οποία ισχύε

αι f(x) c f

ε την τιμή το2

0

f(2 x)dxε το

2

0

f(x)d

1 x t

0 1

e 1t

της F x

x 1 ,x 0ν2x , x 0

x

/83

η f : α,α

τε α

α

f(x)dx

η f : α,α

α

α

f(x)dx


(1 x) f(x)

συνάρτηση 1997

0

f(x)dx .

ύ

ωγίσιμη στο

ει ότι:

(2 x)

υ c . 2

0

f(x)dx

dx

1dt dx

x2

1

t tdt

τότε

R εΙναι

x 0

R ειναι

α

0

2 f(x)dx

f : R R με

για κάθε

f , είναι άρτι

3.

η

3.α

3.R

β

δε

ε

ια,

3.άρ

3.κα

A

B)

3.

.72 * Αν f

f είναι συν

.73 Η συν

α 0 . Αποδεί

α

3 2

0

x f x dx.74 * Αν f

R , και υπάρχ

f β x αf α

είξετε ότι: α

.78 Η συνρτια και έχει

T

0

xf(x)dx .79 Η συν

αι άρτια. Να

A) 2π

0

x)

π

0

xf

.80 Να απ

1x

2

1ef x x

0

νεχής και ότι

νάρτηση f ε

ίξτε ότι

2α

0

1xf x

2

f συνεχής κα

χουν α,β R

α x g x

β

α

f(t)dt g(1

νάρτηση f : R

ι περίοδο T . T

0

Tf(x)dx

2


α αποδείξετε ό

xf(ημx)dx 2

f(συνx)dx π

ποδείξετε ότι

1x x 0

x 0

, απ

0

1

f x dx

είναι συνεχής

x dx

αι g παραγω

R ώστε

για κάθε x

1) g(0)

R R είναι Να αποδείξ


ότι: π

0

2π f(ημx)dπ2

0

π f(συνx)d

ι 1

1

x4 συν4

13

ποδείξτε ότι

1e

ς στο 0,α ,


R , να

συνεχής, ξετε ότι:

ς στο 1,1

dx

dx

dx 04x

3

Α

14

ΣΤΑΘΕΡΗ

3.80.1.1.1 Τζουβάρα

3.81 Να α

Α) Η f x

Β) Ισχύει α

3.82 Να β

x

1

tf(x)

1

3.83 Δείξx

0

F(x) 1

ΑΝΑΓΩΓΙΚ

3.87 Αν

αποδείξετε ό

ν1

Ι Ιν 1

ΕΦΑΠΤΟΜ

3.89 Αν f

εξίσωση της

ox 1 , καθώ

2y 2 λ

3.90 Βρεί

γ. π. της συν

σημεία τομή

Η , 1-1, ΣΥ

ας 3 37/53

αποδείξετε όx 1

συν(2π

x

e

β

συν(2πt)

α

e dt

βρείτε την πα1

2 x

41

tdt

t 1

ξτε ότι είναι

21 t dt και

ΙΚΟΙ ΤΥΠΟ

π4 ν

ν0

Ι εφ ότι για κάθε

ν 2Ι και να

ΜΕΝΗ

22x x

1

f(x)

εφαπτομένη

ώς και ο λ

7x 3

6

, να

ίτε τις εξισώσ

νάρτησης f x

ής του με τον

ΥΝΑΡΤΗΣΗ

ότι:

πt)dt είναι στ

β 1συν(2

α 1

e

αράγωγο της

4

1dt

1 t.Είνα

1-1 οι συναρ

x

0

G(x)

ΟΙ

xdx, ν N *

v 2 ισχύε

να υπολογίσ

x21 t dt , ν

ης ε της fC

R ώστε η

είναι κάθετη

σεις των εφα

x

2

x t 1 άξονα x x

Η

ταθερή

πt)dt ,α,β R


ι η f σταθερ

ρτήσεις

4 2ημ t dt

τότε να

ει

σετε το 5Ι .

να βρεθεί η

f στο σημείο

η στην ε

απτομένων τη

dt στα

R

ης

ρή;

3.ανότ

G

3.

τη

Ν

3.

f

ότ

3.

απ

ης

3.

με

Βρ

3.

f

f

εφ

.84 Έστω

ντιστρέψιμητι είναι σταθ

x

α

G x f t .85 Έστω

ην ιδιότητα Να αποδείξετε

.86 Αν f

x

1 0

x

τι η f είναι σ

.88 Αν Iποδείξετε ότι

.91 Έστω

ε f 0 1 , ώ

ρείτε την εφα

.92 Αν για

: R R ισχύ

x

0

f t dt φαπτομένη τη

ΟΛΟΚ

συνάρτηση

και παραγωερή η συνάρ

f(x)

1

α

t dt f η συνεχής συ

x y

x

f(t)dt

ε ότι η συνάρ

συνεχής στοπ2

0

f(t)συνudu

σταθερή

1 νx

x0

eν 1 e

ι

νeν 1 ν

I

συνάρτηση

ώστε να ισχύε

απτομένη της

α την παραγ

ύει ότι 1

0

f22x , x

ης fC στο ση


f με fA Δ

ωγίσιμη. Να ρτηση G με

1 t dt xf x

υνάρτηση fx

x y

f(t)dt

,

ρτηση f είνα

ο R και ισχύ

u dt

, x R

xdx , ν Ν

1νν

I , ν

f παραγωγί

ει:x

0f(t)dt

ς fC στο 0,

γωγίσιμη συν

t dt 1 και

R , να βρείτε

ημείο της με

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

, είναι

αποδείξετε

με α Δ

: R R με

x, y R .

αι σταθερή .

ύει ότι

, να δείξετε

να

Ν *

ίσιμη στο R

xxe , x R

, f(0) .

νάρτηση

ε την

ox 1

Σ


ΜΟΝΟΤΟ3.92.1.1.1 Τζουβαρα

3.93 Δείξ

x R έχει α

3.94 Να μ

τα κοίλα τη

3.95 Έστω

g(x) 0 για κx

0

F(x) (x 3.96 Να β

της συνάρτη

3.97 Βρεί3

2

x t

1 t

f(x)

ΔΙΝΕΤΑΙ Α

3.102 Η συ

και ισχύει ότ

δείξετε ότι f

3.103 Αν γ

ισχύει 1

1x

f(κάθε x 1,

Α) 1

1x

Β) f x


ΟΝΙΑ - ΑΚας κατευθ 3 16/47

ξτε ότι η G x

ακριβώς τρία

μελετήσετε ω

συνάρτηση F

ω η συνεχής

κάθε x R . Δ

t)g(t)dt , με x

βρεθεί το ox

ησης 0

f(x) ίτε τη μονοτο3

4

dudt,

1 u

ΑΝΙΣΟΤΗ

υνάρτηση f

τι x

0

f t dt x 0 στο

για τις συνεχ

(xt)dt g(x)

, να απο

x

1f(xt)dt

x

g x για κ


ΚΡΟΤΑΤΑ

x

t

0

x te α σημεία καμ

ως προς τη μοx t

5 2

F(x)

συνάρτηση

Δείξτε ότι η σ

xR, είναι κ

που είναι θέ

21

(x t)

0

e dt

ονία των συν

x R f(x)

ΗΤΑ

είναι συνεχή

f x για κ

0,

χείς συναρτήσ

x

1

gf(x)

οδείξετε ότι:

x

1

f(t)dt

κάθε x 1,

ύ

- ΚΟΙΛΑ

2et dt ,

μπής.

ονοτονία και

2u udu dt

g : R R με

συνάρτηση

κυρτή στο R.

έση μεγίστου

ναρτήσεων: 1

20

1dt

t x

ής στο 0,

άθε x 0 . Ν

σεις f, g

g(t)dt

x για

– ΣΗΜΕΙΑ

ι

t

υ

t

3.

με

τη

3.στ

η

3.αύ

κα

συ

3.

με

κο

Να

3.Ν

x

3.

ισ

x

3.3

Α ΚΑΜΠΗ

.98 Η συν

ε f x 0 για

ης συνάρτηση

.99 Δίνετατο R και γνη

g με g(x)

.100 * Η συύξουσα στο R

αι θετική στο

υνάρτησης h

.101 Η συν

ε f x 0 γι

οίλα της g x

.104 Μια σΝα βρείτε το α

2x

0

f(t)dt .105 Η συν

σχύει ότι x

0R (α, t R

.106 ** Αν

3, 4 με 1 f

42

3

f (x)dx 4

ΗΣ Κ.Λ.Π.

νάρτηση f είν

α κάθε x α,

ης β

α

g x f αι η συνάρτηησίως φθίνου

1

0

f(xt)dt ε

υνάρτηση f σR και η συνά

ο R . Να μελε

x

0

1h x

g t


α κάθε x

x f t x

συνάρτηση fα με 0 α 1

ημx συνxα α

νάρτηση f ε

t xe f(x t)dt

R ). Να δείξε


(x) 2 για κ

4 να αποδείξ


β . Μελετήσ

f t x tdt , x

ηση f : R R

υσα. Να απο

είναι γνήσια

συνεχής και άρτηση g είν

ετήσετε τη μ

x

0

f t g t

dt


, , να μελε

x tdt , x

είναι συνεχ1 αν ισχύει

νx α 1 , x

είναι συνεχής

αxt e συ

ετε ότι f(0)

η f είναι συν

κάθε x 3, 4

ξετε ότι 4

3

f

15

στο α ,β

σετε τα κοίλα

x α ,β

R συνεχής οδείξετε ότι

φθίνουσα

γνησίως ναι συνεχής

ονοτονία της

t dt , x 0

ς στο ,

ετήσετε τα

,

χής στο R. ότι :

R

ς στο R και

υνx για κάθε

α

νεχής στο

και ισχύει

f(x)dx 2 .

5

ς

ε

16

ΝΑ ΒΡΕΘ

3.107 Να f : R R γ

x

0

3 f(t)dt 3.108 Να

είναι ορισμέ

ότι: 1

0

f x3.109 Δίν

για την οπο

1

2

0

f x dx3.110 Να

f : R R γ

f x f x

3.111 Να

παράγωγο σ

f (0) 1 κα

x

0

1 f (t)σ 3.112 Να f : R R α

xf(x) (1 e

3.113 Nα

R αν ισχύε

ΘΕΙ ΣΥΝΑΡ

βρείτε τις συια τις οποίες

x

1

f(t)dt

βρείτε τον τύ

ένη και συνε

x f(x) dx

εται η συνάρ

οία ισχύουν:

x 1 . Να δείξ


ια την οποία

1

0

f t dt

βρεθεί η συν

στο π π

,2 2

ι για κάθε x

συνtdt συν

βρεθεί η συναν ισχύει ότι

xx

0

f() 1

1

βρείτε τη συ

ει 2f x x

ΡΤΗΣΗ

υνεχείς συνας για κάθε x

22x 2x 1

ύπο συνάρτη

εχής στο 0,1

112

ρτηση f , συν

1

0

f x dx ξετε ότι: f(x)

ύπο της συνά

α ισχύει ότι f

για κάθε x

νάρτηση f μ

εφόσον f(0

π πx ,

2 2

x2

0

ν x f (t)η νεχής συνάρτ

t

(t)dt

e

, x

υνάρτηση f ,

x

t

0

e f x

ρτήσεις R ισχύει ότ

ησης f , που

1 και ισχύει

νεχής στο[0,1

1 και

1 , x [0,1

άρτησης

f 0 1 και

R

με συνεχή 2η

0) 2016 ,

ισχύει ότι:

ημtdt

τηση

R .

συνεχής στο

t dt , x R

τι:

1]

1]

η

ο

R

3.εί

ισ

3.εί

3.

ώ

f

x

3.

αν

x

3.στ

βρ

3.

αν

3.f

.114 * Βρεί

ίναι παραγω

σχύει ότι x

0.115 Να βρίναι συνεχής

1

x

0

2e f x dx.116 Έστω

στε 1

2

0

ln f x 0 , x

0,1 και

.117 Να βρ

ν ισχύει ότι

R

.118 Δίνετατο R και για

x

0

f t dt ρείτε την f κ

.119 Να βρ

ν ισχύει f(x

.120 Να βρ

: 0, R α

1

0

1f tx dt

x

ΟΛΟΚ

ίτε τη συνάρ

γίσιμη γνησί

2f t dt f x

ρεθεί ο τύπος στο R και ισ

1

2

0

f x dx συνάρτηση

1(x)dx 2

5

0,1 . Αποδεί

υπολογίστε τ

ρεθεί συνεχής1

0

x f(xt)dt

αι η συνάρτηα κάθε x R

1

2

x

xt f t dt

και να υπολο

ρεθεί συνεχής

x

1

) 1 f t

ρείτε τις συνεαν ισχύει f 1

f x για κάθ


ρτηση f : R

ίως μονότον

x x R

ς της συνάρτισχύει ότι

12x

0

x e dx f συνεχής στ

12

0

2 x ln f(x)είξτε ότι f x

το 1

0

f(f(1 x


f(x) 1 για

ηση f που εί ισχύει ότι

4 6x xc

2 3 μ

ογίσετε τη στ


t dt x 0

,

εχείς συναρτ

1 e και

θε x 0

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

R που

νη στο R και

ησης f που

το 0,1 ,

dx και

2xe ,

(x)dx

x) f(x)

η f : R R

α κάθε


με c R . Να

ταθερά c .

η f : IR IR

, x R

ήσεις

Σ

ι


ΥΠΑΡΧΕΙ

3.121 Η συ

Να αποδείξε

Α) ox

Β) γ (

3.122 Η συ

διάστημα 0

ότι υπάρχει

3.123 Δίνε


ox

1

f t dt 3.124 Αν f

αποδείξτε ότ

τέτοιο ώστε:

3.125 Αν f

υπάρχει του

3 3ξ 3ξ f ξ

3.126 Να α

ξ

e

ln tdt

t


Ι - - - ΠΡΟ

υνάρτηση f

ετε ότι υπάρ

(0,1) ώστε

(0,1) ώστε f

υνάρτηση f

π0,

3

και ισχ

ι π

ξ 0,3

ώ

εται η συνεχή

ετε ότι υπάρχ

0 0e x f x

f ,g είναι συ

τι υπάρχει το

1

ξ

f ξ f t df συνεχής στο

λάχιστον ένα

3ξ

3

1

ξ ξ αποδείξετε ό

lnξ1 ξ

ξ


ΟΣΟΧΗ!!!


ρχουν

o ox f x 2 γ ημγ συν


χύει:

π3

0

f(t)dώστε

f(ξ)εφξ

ής συνάρτησ

χει ox 1,e

ναρτήσεις σ

ουλάχιστον έ

ξ

2

dt g ξ f ο , να απο

α ξ 0,1 τ

ξ

f t dt

ότι υπάρχει ξ

ύ

x

0

f x f(t

ής στο 0,1

o

1

x

f(t)dt

1

γ

νγ f(t)d ής στο

dt 0 . Δείξτε

0

ξ

f t dt

η f : 1,e

τέτοιος ώστ

συνεχείς στο

ένα ξ 1,2

f t dt

οδείξετε ότι

έτοιο ώστε:

ξ 1, e με

t)dt

(*)

.

dt

ε

R

στε:

3.

κα

Α

Β)

3.Δε

3.

R

απ

3.

Ν

3.

Ν

3.αύ

x

έχ

.127 Η συν

αι ισχύει ότι

Α) ox (α,β)

) γ (α,β) ώ

.128 Η συν

είξτε ότι υπά

ξ

1

f(t)dt 2 .129 Η συν

R και ισχύει


.130 Η συν


2

ξ

f(t)dt ξ l .131 **Η συ


1

2

0

x f x dx .132 Έστωύξουσα στο R

x

0

xf x f t

x 1

χει μια τουλά


β

α

f(x)dx ώστε

ox

α

f(tώστε

γ

α

f(t)dνάρτηση f εί

άρχει ξ 0,1

ξf(ξ)


f 0 0 και

ι υπάρχει ξ


ε ότι υπάρχε

ln ξ f ξ

υνάρτηση f

ε ότι υπάρχε

o1

f x3

συνάρτηση R . Να αποδ

x 2

x

t dt f

άχιστον ρίζα


0 . Δείξτε ότι

ot)dt f x

dt γf γ αν


1 ώστε

ίναι παραγω

1

0

f x dx 0,1 ώστε


ει ξ (1, 2) ώ


ει ox 0,1 ώ

f συνεχής κδείξετε ότι η ε

x

0

f t dt f

x 2

στο 1,2

17

ς στο α,β

ι υπάρχουν:

ν 0 α,β

ς στο R .


f 1 . Να

f ξ f ξ

ς στο 1,2 .

ώστε

ής στο 0,1 .

ώστε

και γνήσια εξίσωση

t dt

0

7

.

18

ΑΝΙΣΟΤΗ

3.133 Να α

Α) 3

Β) α

lnβ

Γ) 1

3.134 Δείξ

3.135 Αν η

και f x 0

3.136 Αν η

3, 4 με 1

42

3

f (x)dx 3.137 Η συαύξουσα στο

Α) Δείξ

Β) Να λ

Γ) Δείξ

3.138 Η συ

f x 0 για

12

01

0

xf x dx

f x dx

ΗΤΕΣ

αποδείξετε τι3

0

3 22 1

β

α

ημxαβ x

1 x

20

edx

1 x

ξτε ότι5

1x

e

e η συνάρτηση

, x R τότ


f(x) 2 για

4 να αποδε

υνάρτηση f ο R .

ξτε ότι x 3

x

f

λυθεί η ανίσω

ξτε ότι 2

1

f tυνάρτηση f

α κάθε x 0,

12

01

0

x f x

xf x

ις ανισότητες

2

xdx 15

x

βlnα

για κάθ

e2

5

21

xedx

x e


τε 1

3

f(x)x


κάθε x 3,

είξετε ότι 4

3 είναι συνεχή

x 6

x 3

f t dt

ωση

2x

x

f t

4

1

1t dt f

3


,1 . Να αποδ

dx

dx

ς:

θε 0 α β

2

24x

xdx

e x

νεχής στο R

xdx 4

f(x)

νεχής στο

4 και ισχύε

4

f(x)dx 2 .

ής και γνήσια

6

3

f t dt

dt 0

t dt

ής στο 0,1

δείξετε ότι

ει

.

α

με

3.αύ

απ

3.

στ

εί

g

3.

με

x

3.R

0

3.

Δε

3.f,

κα

Α

Β)

ξ

.139 Έστω

ύξουσα παρά


.140 Η συν

το 0, με

ίναι γνησίως

x

0

x f t d.141 Η συν

ε f x 0 γι

x

2

0

f t dt .142 Δίνετα

R με f 0 0

f x 1 γ

x

3

0

f t dt

.143 Έστω

είξτε ότι 1

0.144 Έστω

,g : α,β

αι η g είναι

Α) α

0 ) Αν

α α,β ώστε

ΟΛΟΚ

ότι η συνάρτ

άγωγο στο 0

ι α

0

f t dt ναρτήσεις f

ε f x 0 για

αύξουσα 0,

x

0

t g t f νάρτηση f εί

α κάθε x 0

x

2

0

t f t dt

αι η συνάρτη

για την οπο

για κάθε x 0

2x

0

f t dt

η συνάρτησ

1xf x dx

12

οι συνεχείς σ

0, ώστε

φθίνουσα στ

β

α

f x g x dx

β

α

f x g x dx

ξ

α

f x dx


τηση f έχει γ

0,α με α 0

ααf

2

και g είναι

α κάθε x 0

, . Να απ

t dt , x


0, . Δείξτε

για κάθε x

ηση f παραγ

οία ισχύει ότ

0 . Να αποδε

για κάθε x

ση f , συνεχή

1

2

0

1f x d

2

συναρτήσεις

να ισχύει ότ

το α,β . Απ

β

α

x 2 f x dx 2 τότε υπ

1

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

γνήσια

0 . Να

ι συνεχείες

0, η g


0,

ς στο 0,

ε ότι

0,

γωγίσιμη στο

ι

είξετε ότι:

0 .

ής στο 0,1 .

dx

ι g α 2 ,

ποδείξτε ότι:

dx

πάρχει

Σ

ι

ο


ΑΝΤΙΣΤΡ

3.145 Α) Η

α,β , 1-1, μ

Δείξτε ότι

β

α

Β) Αν f

Γ) Nα δ

3.146 Έστω

Να βρείτε το

ΟΡΙΑ ΜΕ 3.148.1.1.1 Τζουβάρα

3.149 Να α

Α) x 0lim

Β) x 0lim

3.150 Έστω

και η g x

Α) η g παρ

Γ) η g είνα

3.151 Βρεί


ΡΟΦΗ

Η συνάρτηση

με συνεχή πρ

f(β)

f(α)

f(x)dx f

x 5f x e x

δείξετε ότι ω συνάρτησ

ο ολοκλήρωμ

ΟΛΟΚΛΗας δεσμες 18.6/304

αποδείξετε όx

x

03

e tσυν

x

x

0x

0

ημt

ημt tσυ


x

0x

0

tf(t)dt

f(t)dt

0

ραγωγίσιμη σ

αι γνήσια αύ

ίτε τη G x


η f είναι ορι

ρώτη παράγω

1f (x)dx βf

5 βρείτε το

e

1

ln xdx ση f x 2x

μα

2 π

0

I xf ΗΡΩΜΑΤΑ

ότι:

νtdt x 116

t dt12

υνt dt

συνάρτηση

x 0

x 0

Να α

στο R και ότ

ύξουσα.

αν G x

ύ

ισμένη στο

ωγο στο α,β

β αf α

e 1

1

1

f (x)dx

2

1x

0

e dx e

ημx , x 0

1(x)dx

Α

16

f : R 0,


τι 1g 0

2

1

0

xtf xt dt

β .

.

0

3.

απ

λύ

3.f

AB)

x

Γ)

ότι

3.

xli

xli

3.

x

3.

κα

Α

Β

δε

.147 Αν f


ύσετε την εξί

.148 Έστω

: R R ώστ

A) Δείξτε) Να δε

o1

,12

τέ

) Να υπ

.152 Να υπ2x

x

ln x 1im

x ln

x

0x0

0

ημt

im

ημt

.153 Να δε

0,1 , t

.154 Έστω

αι η συνάρτη

Α) Αποδε

Αν η

είξτε ότι η g

x

2004

x x ι η f είναι γν

σωση: f x

η παραγωγίσ

τε 3f x f x

ε ότι η f είναιείξετε ότι υπά

έτοιο ώστε f

πολογίσετε το

πολογίσετε τα

1dt

n t,

xlim

ημx

0ε

0

t t dt

tσυνt dt

είξετε ότι xet

x,2x και ότ

συνάρτηση

ηση g x

είξτε ότι η g

f είναι παρα

είναι παραγ

2t

4

e dt , x

νησίως αύξο1f (x) .

σιμη συνάρτ

x 2x 0 ,

ι γνησίως φθάρχει ένα του

oxo ox x 4

ο 0

1

f x dx

α όρια:

x 1

x 1 2

1

3 2t

2

2

xt

εφxt

e dt

e dt

x t 2xe et t

τι

2xt

x 0x

elim d

t

f , συνεχής σ

1

0

f xt dt

f 0


αγωγίσιμη στ


19

R , να

ουσα και να

τηση

x R .

θίνουσα υλάχιστον

3 .

x

dt

για κάθε

dt ln 2

στο 0,

αν x 0

αν x 0

χής στο 0

το ox 0

ο 0, .

9

20

ΕΜΒΑΔΑ

3.155 Να β

g x x ,

3.156 Δίνε

fC , την πλά

3.157 Δίνε

παράστασης

περικλείεται

3.158 Έστω

ευθείες x 1

ισεμβαδικά χ

3.159 Δίνε

Α) Να υ

ικανοποιούν

Β) Να υ

3.160 Αν f

x

1

F x f 3.161 Έστω

βρείτε το εμβ

3.162 Η συ

Α) Να β

Β) Να β

Γ) Να β

ευθείες x 0

3.163 Έστω

Αν γνωρίζου

Α) Να β

Β) Να υ

Α


f x 2x 1


άγια ασύμπτω


ς της f στα σ

ι από τη fC κ

ω E(λ) το εμ

1 , x λ (λ

χωρία.



ν τις σχέσεις:


2

1f x

1 x

t dt και του


βαδόν του χω

υνάρτηση f


βρείτε την ορ


0 και x 2

ω οι συναρτή

υμε ότι η hC

βρείτε τη συν



και 2

h(x)x

τηση f(x)1

ωτη της fC τ

τηση με τύπο

σημεία με τετ

και τις δύο ε

μβαδόν του χ

0) . Να προ

τηση f(x) (

το εμβαδόν

t x 0 με

το tlim E(t)

να βρείτε το

υς άξονες x x

συνάρτηση

ωρίου που πε


ύπο της f

ριζόντια ασύ


.

ήσεις f , g με

της συνάρτ

νάρτηση h

το εμβαδόν


2

2

x

2x1 x

. Να υπ

τις ευθείες x

ο f(x) ln x .

τμημένες x

φαπτόμενες.

χωρίου που π

οσδιορίσετε τ

2 x(x 3x 1)e

E t του μέρ

t 0 και 0

ο εμβαδο του

x , y y

f με fD R

ερικλείεται α

γωγίσιμη και

ύμπτωτη της


ε f gA A R

τησης h(x)

του χωρίου π


πολογιστεί το

0 , x 3 κα

. Να βρείτε τ

1 και x e .

.

περικλείεται α

την ευθεία x

x

ρους του επι

0 y f(x)

υ χωρίου που

ώστε f(x)

από τη fC το

ι ισχύει f x

fC στο


R και ισχύει

f(x) g(x) δι

που περικλεί

από τις γραφ

ο εμβαδόν το

αι τον άξονα

τις εξισώσεις

. Να υπολογ

από την καμ

α που χωρ

ιπέδου, τα ση

υ περικλείετα

0 και f 2 x

ον x x και τι

2

0

f x dx

από τη fC τη

ι / /f x g x

ιέρχεται από

ίεται από τις

ΟΛΟΚ

ικές παραστά

υ χωρίου πο

α x x

των εφαπτομ

ίσετε το εμβα

μπύλη 2

1y

x

ρίζει το παρα

ημεία M x, y

αι από τη γρα

x f x 2

ις ευθείες x

x f x , x

ην παραπάνω

2x x 2x

ό το σημείο A

ς f gC ,C


άσεις των συ

ου περικλείετ

μένων της γρ

αδόν του χω

2, τον άξονα

απάνω χωρίο

y του οποίο

αφική παράσ

για κάθε x

0 και x 2

R και f 0

ω ασύμπτωτη

x1 e για κ

A(0, 1)

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

υναρτήσεων

ται από τη

ραφικής

ρίου Ω , που

α x x και τις

ο σε δύο

ου,

σταση της

R . Να

0 2

η και τις

κάθε x R .

Σ

υ


3.164 Δίνε

περικλείοντα

3.165 Α. Α

Β Αν f

α)

β)

f και τις ευθ

3.166 Έστω

τοπικό ακρό

γραφικής πα

3.167 Δίνε


3.168 Αν ο

f x g x


3.169 Δίνε


και τις ευθεί

3.170 Nα β

221 x

x ln2 e

3.171 Nα α

την ευθεία x

Μαθηματικά Προ


αι από τη fC

Αν f συνεχής

f x ln 1

Nα αποδείξ

Να υπολογί

θείες y 0 , x

ω η συνάρτη

ότατο στο ox

αράστασης τη


ι από την fC

οι συναρτήσε

x 4 για κάθ

ι από τις γρα


ε το εμβαδόν

ες με εξισώσε


21y x

2


x y 1 ισού

οσανατολισμού

τηση f x

f τον άξονα

ς στο 0,α , ν

εφx , x 0

ξετε ότι f x

ίσετε το εμβα

x 0 και x

ση f , δύο φ

0 με τιμή

ης συνάρτησ

τηση f x

τον άξονα

εις f , g είνα

θε x R , f 1

αφικές παρασ

τηση f με τύ

ν του χωρίου,

εις x 0 και


ότι το εμβαδό

ύται με 136

xxe xx ln x x

x x και την

να αποδείξετ

π0,

4

πf x

4

αδόν του επίπ

π4

φορές παραγω

μηδέν και f

σης f , του ά

1ημx

, x 0,

x x και τις ε

αι δύο φορές

1 g 1 κα

στάσεις των f

ύπο e

f x

, το οποίο πε

ι x e .


όν του χωρίο

00

Να

ευθεία x

τε ότι α

0

f(x

ln 2 για κάθ

ίπεδου χωρίο

ωγίσιμη με f

1 f 1

άξονα x x κα

,π Να

ευθείες π

x3

ς παραγωγίσι

αι f 2 g 2

f και g .

xe e, x

ln x, x

x


εριέχει τα ση

ου που περιέχ


1

α

0

x)dx f(α

θε π

x 0,4

ου που ορίζετ

f x 0 για

3 να βρείτε

αι των ευθειώ


και π

x2

ε

ιμες στο R κ

2 . Να βρείτε

1

1

. Να αποδ

πό τη γραφικ

ημεία Μ x, y

χεται ανάμεσ

ε τα εμβαδά

α x)dx .

ται από την γ

α κάθε x R

το εμβαδόν

ών x 1 κα

ότι το εμβαδό

είναι 1

Ε ln2

και ικανοποι


δείξετε ότι η

κή παράστασ

y με e x

σα στην καμ

E των χωρίω

γραφική παρ

. Αν η f παρ

του χωρίου μ

αι x 1

όν του χωρίο

n 3 .

ιούν τις σχέσ

ν του χωρίου

f είναι συνε

ση της f τον

x e και

μπύλη y x

21

ων που

ράσταση της

ρουσιάζει

μεταξύ της

ου που

σεις

που

εχής και να

ν άξονα x΄x

2x 1 και

22

ΓΕΝΙΚΕΣ

3.172 Δίν

Α) f x

Β) ορίζ

Γ) το ε

3.173 Η σ

x R .

Α) Μελ

Β) Απο

Γ) Να

Δ) Υπο

3.174 Έστ

x, y 0,

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

συναρτήσεω

3.175 Θεω

Αν F είναι

A) 2F

Γ) 2

03.176 Α)

να δείξετε ό

Β) Να

ΑΣΚΗΣΕ


x x ημx γ

ζεται η 1f :

εμβαδόν του


λετήστε την

οδείξτε ότι η

λύσετε τις εξ

ολογίστε το ά

τω η συνεχής

με f 1


λύσετε την ε


ων h x 2f

ωρούμε την σ

μια παράγο

2

0

2 F x xf x dx 0

Aνισότητα

ότι β

α

f x g


ΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ

ρτηση: f(x)

για κάθε x

0,π 0,π

χωρίου μετα


f ως προς τη

f αντιστρέφ

ξισώσεις f x

άθροισμα I


1 .

ότι f x xln

εξίσωση 2f x


x , g x


υσα της f στ

dx

Bunyakovs

2 β

α

g x dx

ότι α)

β

α

f(x

Η ΤΗΝ ΥΛ

x t

tx

e συν

1 e

R .

.

αξύ των fC κ


η μονοτονία.

φεται.

1 και f x

e

1

1

f (x)dx

f : 0,

n x , x 0,

2x x 1

ν του χωρίου 2x 1 και τη

f συνεχή το Δ

ο Δ , να απο

ky-Cauchy-

β β

2

α α

f(x) dx

2

x)dx β

ΛΗ

νtdt , x R .

και 1fC και

ο R με f x

.

x e . ee 1

e

f(x)dx

.

R για την ο

που περικλε

ην ευθεία x

Δ 0,2 ώστ

οδείξετε ότι:

B) 2

0Δ)

2

0 Schwarz: Α

β

2

α

g(x) dx .

β

2

α

α f (x)dx


των ευθειών

0 και ισχύ

οποία ισχύει

είεται από τις

e .

τε για κάθε x

2

xF(x) dx

2

2f x dx

Αν f , g είνα

β)

β

α

x

ΟΛΟΚ

ετε ότι:

ν x 0 και x

ύει: ln f(x)

ότι f xy x

ς γραφικές π

x Δ να ισχύ

2

0

F(x)dx 23

ι συνεχείς συ

2

xf(x)dx


x π είναι Ε

f xe x για

xf y yf x

παραστάσεις

ύει: 2

x

f(t)d2

0

xf(x)dx

υναρτήσεις σ

β

2 2 2

α

β α f

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ε 4τμ .

α κάθε

για κάθε

των

32 xdt

3

.

στο α,β ,

(x)dx

Σ


3.177 Δίν

2,2 για

Α) H f

Γ) H f

Ε) 2

03.178 Η σ

Α) α

β

γ

δ

3.179 *Α)

α)

β)

Β) Δίν

α) β)

Γ) Δίν

α)

β)

τον άξονα x

3.180 * Δί

22xf(x ) f(x

A) να μ

B) να α

Γ) να α

Δ) να β

Ε) Αν

γραφική πα



την οποία επ

f δεν έχει ση

f είναι κοίλη

2

(f(x) 1)dx


Να δείξετε

Να μελετήσ

Να λύσετε

Να αποδείξ

Δίνεται η σ

f t f x

x 1

x x

lim f


Να βρείτε τΝα αποδείξ


Να αποδείξ

Να υπολογ

x x και τις ευ

ίνεται η γνησ

x) (4x 1)ln

μελετήσετε τη



βρείτε τη συν

f x 0 για

αράσταση τη


ρτηση f συν

πίσης γνωρίζ

ημεία καμπή

η

π

f : R R είνα

ότι η συνάρτ

σετε τη συνά

τις εξισώσεις

ξετε ότι e

0

f


για κάθε t

f t dt 0

ρτηση F x

την F και νξετε ότι η F

ρτηση G x

ξετε ότι G x

γίσετε το εμβ

υθείες x 0

σίως αύξουσα

n x , για κάθ

ην g ως προ

τι g(x) 0 γ

τι η g έχει α

νάρτηση g

α κάθε x e,

ης συνάρτηση

ύ

εχής στο διά

ζουμε ότι f 0

ς

αι συνεχής κα

τηση f αντισ

ρτηση f ως

ς: 1f x 0

3

f x dx2

2

1x

x 9

x,x 1 , x

x

20

1d

t 9

α μελετήσετεείναι περιττή

2ln x x

F x ln

αδόν του χω

και x 4

α και συνεχή

ε x 0 . Αν g

ος την μονοτο

για κάθε x

ακριβώς ένα

2,e , να υπο

ης f , τον x x

άστημα 2,2

0 3 και f

Β) 2f (

Δ) f x

αι για κάθε

στρέφεται.

προς τη μον

και 1f x

9, x 0,

x 0,

dt , x R .

ε τη μονοτονή.

9

3


ής συνάρτηση

2x

x

g(x) f ονία και τα α

14

,

σημείο καμπ

ολογίσετε το

x και τις ευθε

2 , παραγωγί

x f x f

2(x) 2f(x) x

x 1 4 x

x R , ισχύε

οτονία.

e

. Να αποδε

νία της F

ρικλείεται απ

η f : 0,

t dt , x 0

ακρότατα,

πής,


είες x e , x

ίσιμη δύο φο

x x για κά

2 3 0

2x , x 2,2

ει: f xe f x

είξετε ότι


R για την

τότε:

υ χωρίου που

2x e .

ορές στο διάσ

κάθε x 2,

2

x x 1 0


οποία ισχύε

υ περικλείετα

23

στημα

2

ση της F ,

ει:

αι από την

3

24

3.181 *Έσ

ότι

Α) x

0Β)

x

0Γ) Η σ

α)

β)

Δ) Η σ

3.182 Έστ

2x f x

Α) Να

α)

β)

γ)

Β) Αν

α)

τις ευθείες y

β)

γ)

στιγμή κατά

3.183 ** Δ

ισχύει ότι

Α) η h

Β) Αν

Γ) Για

στω η συνάρτ

2t f t dt 0

x

tf t dt x συνάρτηση h

γνησίως αύ

γνησίως φθ

συνάρτηση k

τω f : R R

2x 1 f 1


υπάρχει ξ

f 1 1

2f x x

α 0 τότε:

Να βρείτε τ

2y α και y

Να αποδείξ

Αν το α αυ

ά την οποία ε

Δίνονται οι σ

h 1

h 2

f t dt

h είναι γνήσι

h 0 0 τότ

κάθε 0 α

τηση f συνεχ

για κάθε x

x

0

f t dt για

x

0

1h x

f t

ύξουσα για κ

θίνουσα για κ

x

0

k x

f t

παραγωγίσι

για κάθε x

ότι

0,1 ώστε

το εμβαδόν

2α 1

ξετε ότι E α

υξάνει με ρυ

είναι α 10

συνεχείς συνα

0 όπου h

ια αύξουσα σ

τε η h είναι

β υπάρχει

χής στο R μ

0

α κάθε x 0

x2

0

t f t

t dt

κάθε x 0

κάθε x 0

x

0

1f

συνtdt

ιμη συνάρτη

R .

f ξ 2ξ f

Ε α του χω

43

θμό 2 μον/s

μονάδες

αρτήσεις f g

x

0x

0

tφ t

x

φ t

σε καθένα απ

1 1

ξ 0 ώστε h

με f x 0 γ

dt είναι :

f t ημtdt είν

ση ώστε: f 0

f 1 1


sec, να βρείτ

g και φ με f

t dt

dt

τότε να α

πό τα διαστήμ

ξ

t

β

g t d

hξ α

ια κάθε x R

ναι γνησίως

0 0 για την


τε το ρυθμό μ

f x g x 0


ματα ,0

ξdtf ξ

hβ

ΟΛΟΚ

R και f 2007

αύξουσα στο

ν οποία ισχύ


μεταολής του

και φ x 0

τι:

και 0,

g ξ

ξ


7 0 . Να α

ο π

0,2

(m

ύει ότι


υ Ε α τη χρ

0 για κάθε

(mathe

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

αποδείξετε

mathematica.gr)

ση της f και

ρονική

x . Αν

matica.gr)

Σ

ι


3.184 Δίν

A) Να

B) Δείξ

Βρε

Γ) Να

Δ) Δείξ

διάστημα

Ε) Να

3.185 ** Έ

x R .

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

Ε) Να

Στ) Να

Z) Να

H) Να

3.186 Για

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

Ε) Να

Στ) Αν

τις ευθείες x



βρείτε το πε

ξτε ότι η F έ

είτε και το πρ


ξτε ότι η εξίσ

1 1,

2 α

βρείτε το xlim

Έστω συνάρτη


βρεθεί η εξίσ



μελετηθεί η

μελετηθεί η



τη συνεχή σ




βρείτε τον μ


v 1 , να υπ

1x

e και x


ρτηση F x

δίο ορισμού

έχει μοναδικ

ρόσημο της F

ότι F x F

σωση F x 0

1x

xx

0m (e 1)

ηση f συνεχ

ότι 3f x f

σωση της εφα

ε το 1

0

1

1 3fότι υπάρχει x

f ως προς τη

f ως προς τα

ότι η f αντισ

ότι για κάθε


ότι η f είναι

ότι v

lnf x

x

ότι v

ln x 1vex

μοναδικό θετ

ε το

x

1

x 1

f

limln

πολογίσετε το

e .

ύ

x

2α

t ntd

1 t

της F και να

κή ρίζα ξ με

F στα διαστή

1ln x

x

, x

0 έχει ακριβ

2

t ntdt

1 t

χής στο R μ

x 10x για

απτομένης τη

2

0dt

f t

ox 0,1 τέ

η μονοτονία

α κοίλα και ν

στρέφεται κα

x R ισχύει

f : 0, R

ι παραγωγίσι

v

x, x 0

, x 0

ικό πραγματ

2

f t dt

n x

ο εμβαδόν το

dt , 1

0 α2

α βρείτε την

1

ξ ,12

.

ήματα 0,ξ

0 .

βώς δύο διαφ

με f R R γ

α κάθε x R

ης fC στο ση

έτοιο ώστε f

α και να βρεθ

να βρεθεί αν

αι να βρεθεί η

ι x

0

f t dt

R ισχύει f x

ιμη στο 0,

τικό αριθμό

ου χωρίου πο

12

.

παράγωγό τ

, ξ,

φορετικές ρίζε

για την οποία

ημείο της M

o ox 4x .

θεί το πρόσημ

ν υπάρχει το

η 1f .

25x

v

v

x 1x

vx

α για τον οπ

ου περικλείετ

της

ες από τις οπ

α ισχύει: f x

0, f(0)

μό της.

σημείο καμπ

x

1

f tv dt

t ,

ποίο ισχύει α

ται από τη C

ποίες η μία β

x

0

10x

1 3f

πής της fC .

x 0 , v N

v vx αα x για

fC , τον άξονα

25

ρίσκεται στο

2

0dt

t,

*N .

α κάθε x 0

α x x και

5

ο

26

3.187 * Δί

x R 1 κ

Α) Η σ

Β) x

1

3.188 Δίν

x π,π

Α) Να

α)

β)

Β) Αν


3.189 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Για


3.190 Δίν

f 1 0 . Θ

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

ίνεται η συνά

και f 1 0

συνάρτηση g

f t dt 0 γι

ονται: η συν


G x 2f

G 0 0 κ

είναι G x

ε το ολοκλήρ



βρεθεί ο α ώ

τις τιμές του

υ χωρίου πο


Θεωρούμε επί


βρείτε τη πα



άρτηση f πα

. Να αποδείξ

2x x

2

1

g x e ια κάθε x 1

νεχής και περ

ότι

x , x π

και G π 0

ημx αx

ρωμα I

ρτηση f x

ότι (x

f xe

ώστε η συνάρ

υ α που βρήκ

υ περικλείετ

ρτηση f : 1,

ίσης τη συνά

ότι η g είναι

αράγωγο της

ότι η g είναι

ότι

α

1β

1

f(t)d

f(t)d

αραγωγίσιμη

ξετε ότι:

f t dt , x R

1 Γ)

ριττή συνάρτ

,π

0

β με α,β R

π

2π

f tdt

1 t

y

y 1y

xαlim

α

2

3

x 1)lnα, α

α lnα x, α

ρτηση g x

κατε στο ( A

αι από την C

R η οπ

ρτηση g , με

ι συνεχής στο

g

γνησίως αύξ

dtα 1

, 1β 1

dt

η στο R ώστε

R είναι γνησ

f 1 0

τηση f : π,π

R τότε: να βρ

y2

1 y 3

(x 1)e

e

, ό

α (0,e)

α e

3e lnα f x

) ερώτημα,α

gC και τον ά

ποία είναι κυ

ε τύπο g(x)

ο 1,

ξουσα στο 1

1 α β

ε να ισχύουν

σίως αύξουσα

π R και η

ρείτε τα α,β

όπου α θετικ

να παρουσι

αποδείξτε ότι

άξονα x x δε

υρτή με συνε

x

1

f(t)dt

x 1

1 ,

,

ΟΛΟΚ

ν: x

1

x f t dt

α.

η π

π

G x

R , τη συνά

κός πραγματι

ιάζει ελάχιστ

για την συνά

ν είναι μεγα

εχή πρώτη πα

, x 1

x 1

Τότε


t f x για

π

π

x t f t dt

άρτηση f x

τικός αριθμός

το .

άρτηση g ισχ

αλύτερο από

αράγωγο κα

ε

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

α κάθε

με

και να

ς με α e .

χύει ότι το

43

τ.μ.

ι f 1 1 ,

Σ


3.191 Έστ

περικλείετα

τότε:

Α) να δ

Β) να δ

Γ) να β

Δ) α)

β)

3.192 Δίν

για κάθε x

Α) Να

Β) Να

Γ) Αν

g x x έχ

Δ) Να

Ε) Να

3.193 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Να

3.194 Δίν

Α) Να ασύμπτωτες

Β) να α

Γ) να β

Δ) Να


τω f παραγω

αι από τη fC ,

δείξετε ότι f

δείξετε ότι xli


να δείξετε ό

να λυθεί η

εται παραγω

R , όπου α



για τη συνάρ

χει μία τουλά


βρείτε το εμ


βρεθεί η F'

υπολογιστεί

αποδείξετε τ



μελετήσετε τς της γραφικ



βρείτε το xli



, τον x x , το

x f x e

0

f(x) 1im 0

x

ύπο της f

ότι για κάθε

εξίσωση f x

ωγίσιμη συνά

είναι σταθε

ότι f α 0

ότι f x 2x

ρτηση g ισχ

άχιστον λύση

ότι η fC εφά

βαδόν του χ

ρτηση F με F

x

ί το όριο x 1lim

την ανίσωση

ότι ο άξονας

ρτηση: f x

την f ως προής παράστασ

τι

2ee

1

x dx βαδόν του χω

x 2

x

m f t

ύ

0, με f

ν y y και τη

xe για κάθε

0

α 0 ισχύει

1x ημx

2

άρτηση f : R

ρός αριθμός

4 και να β

χύει f g (x)

η.

άπτεται με τη

ωρίου που σχ

x tx

1

eF x

t

1

F xm

x 1

xe ln x F

y y είναι ασ

ln x, x 0

x

ος την μονοτσής της και ν

2ex

1

e dx

ωρίου που ορ

dt

x 0 για κ

ην ευθεία x

x 0,

ι 1

α 2α

R , με f 1

ς.

βρείτε την τιμ

) g f (x)

η hC , όπου h

σχηματίζουν

x

dt

x ln x με

σύμπτωτη τη

τονία τα ακρνα σχεδιάσετ

ρίζεται από τ

κάθε x 0,

u είναι E

6 , f 3

μή του α .

για κάθε x

2h x x 2

η fC , η hC

0 x 1

ης F

ότατα τα κοίε τη γραφική

τις σχέσεις 1

. Αν το εμ

uu e f u

10 και f x

R , να αποδ

2x

και οι άξονε

ίλα τα σημείαή της παράστ

x e e κα

μβαδόν του χ

u για κάθε

2 f α

δείξετε ότι η ε

ες x΄x και y

α καμπής ναταση.

αι 0 y f x

27

χωρίου που

u 0,

x

f t

0

e dt

εξίσωση

y y

α βρείτε τις

x

7

28

3.195 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Δίν

α)

β)

3.196 Δίν

f 0 0 κα

Δ1 να β

Δ2 Να

Δ3 Αν

Δ4 Υπο

(ε) της fC σ

Δ5. Αν

τον ρυθμό μ

3.197 Έστ

Γ1. Να δείξε

Γ2. Να

Γ3. Να

Γ4. Αν

α) να δ

β) να β

της 1fC στο

3.198 * Έσ

x R . Αν f

A) f 1

Δ) f x



μελετήσετε τ



Να αποδείξ

Να αποδείξ

εται η παραγ

αι f x xe

βρείτε την εξ


επιπλέον ισχ

ολογίστε το ε

στο Ο 0,0 κ

την χρονική

μεταβολής το

τω η συνάρτη

ετε ότι η συν



θεωρήσουμε

δείξετε ότι η


ο 0x e

στω η συνάρ

1f 1

2

, να

x F x 1

x F x , x

ρτηση f x

ότι η f είναι

την f ως προ

ότι η fC έχει

ρτηση g : R

ξετε ότι η g

ξετε ότι οι γρ

γωγίσιμη συν

για κάθε x

ξίσωση της εφ

ε το

2

x

flim

x η

χύει ότι

1

0

eεμβαδόν E α

και τις ευθείε

ή στιγμή 0t ο

ου Ε(α) την χ

ηση f με τύπο

νάρτηση f αντ

ότι η εξίσωση

ε το x

xlim

x

ε ότι η 1f είν

1f είναι κοί

βαδό του χωρ

ρτηση f : R

α αποδείξετε ό

1 Β)

R

321x t

0

te d

ι παραγωγίσι

ος την μονοτ

ι οριζόντια α

R με g x

αντιστρέφετ

ραφικές παρα

νάρτηση f : R

R

φαπτομένης τ

x

μx

xe f x dx 1

α του χωρίο

ες x 0 και

ο ρυθμός μετα

χρονική στιγμ

ο, xf x e

τιστρέφεται κ

η xf e x

1f x

x 1

ναι παραγωγ

ίλη στο R κα

ρίου που περ

R και F μι

ότι:

1F 1

2

Ε)

dt

ιμη στο R

τονία

ασύμπτωτη τη

f x x .

ται

αστάσεις των

R R για τ

της fC στο x

1,να βρείτε τ

ου ανάμεσα σ

x α , όπου

αβολής του α

μή όπου α

x 1

και να βρείτ

f 2013 έχει

γίσιμη,

αι να βρείτε


ια αρχική τη

x

f x e

ην y 0 στο

ν g και 1g

ην οποία ισχ

0x 0 .

τον τύπο της

στη γραφική

υ α 0 .

α ελαττώνετ

0t 1

τε το 1fD

ι ακριβώς μια

την εφαπτομ

πό την 1fC τ

ς με την ιδιό

Γ)

12

ΟΛΟΚ

ο

δεν τέμνοντ

χύουν

ς f στο 0,1

παράσταση

ται με ρυθμό

α ρίζα στο R

μένης της f

C

ον άξονα x x

ότητα f x F

F x F 1 x


ται.

.

της f , την ε

2 m /sec ,ν

R .

1 στο 0x e

x ΄, και την ε

1 x 1 γι

x 1

Σ ΛΟΓΙΣΜΟΣ


να βρείτε

e .


α κάθε

Σ

cpro sxol 2015-2016 papagrigorakis C13 - …...Γ Λυκείου – Μ 3 3 ΑΡ 3.01 Μια...

Documents

Transcript of cpro sxol 2015-2016 papagrigorakis C13 - …...Γ Λυκείου – Μ 3 3 ΑΡ 3.01 Μια...