ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis A4 - …...2015 - 2016 M.Ι.Παπαγρηγοράκης...

ικά Κατεύθυνσης

Γ Λυκείου

4ο ΓΛΧ

2015 - 2016

M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά

[Μαθηματικά] Θετικών Σπουδών

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών

Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια – Συνέχεια Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου –Μ

ΣΥΝΑΡΤΗΣ

1 ΤΥΠ

1.01 Έσ

A) Βρ

B) Λύ

Γ) Λύ

Δ) Να

2

1f

2συν x

1.02 Αν

f x f x

1.03 Δίν

Δείξτε ότι f

1.04 Δίν

το R με f x

f x f 1 x

1f f

2004

1.05 Να

λ 2y x

λ

Α) πα

Β) κά

Γ) να

Δ) να

Ε) να

Στ) να

Μαθηματικά Θ

ΣΕΙΣ

ΥΠΟΣ ΣΥΝΑ

στω η συνάρτ

ρείτε το πεδίο

ύστε την εξίσ

ύστε την ανίσ

α δείξετε ότι

f( 2 )1

ν f x x

1

νεται η συνά

x y f x


x

x

4x

4 2

. Ν

x και το :

2...f

2004

α προσδιορισ

3 2 λ

λ

να

αράλληλη στη

άθετη στην y

α διέρχεται απ

α είναι κατακ

α είναι οριζόν

α σχηματίζει γ

Θετικών Σπουδ

ΑΡΤΗΣΗΣ

τηση f(x)

ο ορισμού τη

σωση f x 1

σωση f x

1fσυνx

2x 1 . Να α

άρτηση f x

y 2f x f

άρτηση f με

Να υπολογίσ

2002 2f

2004 2

στεί ο λ ώστ

α είναι:

ην 2y x

4x 1

πό το σημείο

κόρυφη

ντια

γωνία 135ο- μ

δών

Σ

2

1n 1

x

ς

0

0

αποδείξετε ό

x x1α α

2

y , x, y R

πεδίο ορισμο

σετε το

003004

τε η ευθεία

5

ο 3, 1

με τον x΄x

ότι

x .

R

ού

1.

συ

1.

v

λί

κα

απ

1.

χω

κα

τη

εί

1.

τμ

κα

άθ

συ

τμ

1.

σ

συ

τη

πε

εμ

γρ

απ

γι

τρ

1

.06 Να β

υνάρτηση η

.07 Ένα

v km/h, κατ

ίτρα καύσιμα

αυσίμων που

πόσταση 100

.08 Ένα

ωρητικότητα

ατασκευής το

ης βάσης του

ίναι 0, 02 eu

.09 Ένα

μήματα με τα

αι ένα τετράγ

θροισμα των

υναρτήσει το

μήματα

.10 Στο

σχήμα να βρε

υναρτήσει το

η συνάρτηση

εριγράφει το

μβαδόν της

ραμμοσκιασμ

πό τη ΔΕ κα

ια τις διάφορ

ρίγωνο ΑΒΓ

η BE x κ

βρεθεί o λ

2

2

xf x

x

όχημα όταν

ταναλώνει τη

α. Να βρείτε

υ χρειάζεται

00 km με στα

κυλινδρικό

α 1 lt. Να εκφ

ου δοχείου σ

υ, αν το κόστο

ro

σύρμα μήκο

α οποία σχημ

γωνο αντιστο

ν εμβαδών τω

ου μήκους x

διπλανό

είτε

ου x ,

που

ο

μένης περιοχ

αι τις πλευρέ

ρες θέσεις του

είναι ισόπλε

και ΔΕ ΒΕ

R ώστε να ε

2x 5, x λ

4, 2-λ

ν ταξιδεύει μ

ην ώρα 6 0,

ε τη συνολική

για να διανύ

αθερή ταχύτη

δοχείο έχει

φράσετε το κ

συναρτήσει τη

ος του ενός c

ους 10 κόβετ

ματίζουμε έν

οιχα. Να εκφ

ων δύο σχημά

του ενός απ

χής που δημι

ές του τριγών

υ E πάνω στ

λευρο με μήκο

Ε

3

είναι

2λ 3λ 2

x

με ταχύτητα

3,0001v

ή ποσότητα

ύσει

ητα v

κόστος

ης ακτίνας

3cm μετάλου

ται σε δύο

ναν κύκλο

φράσετε το

άτων

πό τα δύο

ιουργείται

νου ΑΒΓ

τη BΓ . Το

ος πλευράς

3

υ

4

http://users.s

1.11 Nα

της συνάρτη

πλήθος των

1.12 Να

των παρακά

f x x

1k x

x

1.13 Να

των συναρτή

f(x) ln( x)

k(x) ln x

1.14 Nα

συναρτήσεις

Β) t(x

1.19 Για

2f x 2f x

fC δεν τέμν

1.20 Να

είναι πάνω α

Α) xf x 4

Β) f(x

1.21 Έσ

οποίες ισχύε

Να βρεθεί η

sch.gr/mipap

α σχεδιάσετε

ησης f(x) ln

ριζών της εξί


άτω συναρτή

g x

1m x

x


ήσεων

), x 0

m(x)

α παραστήσε

ς Α) f(x)

x) 2 ημ 2

α τη συνάρτη

2 x x 1

ει τον άξονα

α βρεθούν τα

από τη gC ό

x x 12

2x x)

1 2x

στω οι συναρ

ει f x 9

σχετική θέση

pagr

τη γραφική

n x και να β

ίσωσης f x

τις γραφικές

ήσεων

x 1

1 n x

τις γραφικές

g(x) ln(

ln x t(

ετε γραφικά τ

ημx ημx

x π Γ)

ηση f : R R

1 , x R . Ν

α x x

α διαστήματ

όταν:

και g x

αν x 0 αν x<0

κα

ρτήσεις f,g : R

2g x x για

η των fC , C

Γραφ

παράσταση

βρείτε το

610

ς παραστάσε

h x 1

1x 1

ς παραστάσε

x), x 0

x) ln x

τις

, π

x 0,2

2f(x) συν x

Κ

R ισχύει ότι

Να δείξετε ότι

α όπου η fC

x 22 8

ι g(x) x 2

R R για τι

α κάθε x R

g

φική Παράσ

εις

x

εις

x

1.

τω

Α

Β)

1.

τύ

το

1.

τι

g

1.

συ

Κοινά Σημε

ι η

2

ις

.

1.

οπ

x

δύ

1.

να

Ν

το

τα

1.

h

Δε

σταση

.15 Να σ

ων συναρτήσ

Α) f x

) g(x)

.16 Να β

ύπο της συνά

ου σχήματος

.17 Να π

ις παρακάτω

ln xx e

.18 Να π

υνάρτήσεις f

g(x)

εία

.22 Έστω

ποία ισχύει ό

R . Να δείξ

ύο τουλάχιστ

.23 Έστω

α ισχύει f(x)

Να βρεθεί ο κ

ους, να τέμνο

α διαστήματα

.24 Για

3 2h x h x

είξτε ότι h x

ΣΥΝΑΡΤ

σχεδιάσετε τι

σεων:

2x x

x

2

e , ) lnx , 0

x 1 ,

βρείτε τον

άρτησης

ς

παραστήσετε


2h x x

παραστήσετε

f x συν

) π συν x

ω η συνάρτη

ότι 2f x 2

ξετε ότι η fC

τον σημεία

ω οι συναρτή

2g(x) x

κ ώστε οι γρα

ονται στην ευ

α όπου η fC

τη συνάρτησ

22h x x

x 0 για κά

2

ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ

ις γραφικές π

x 00<x e

x e

ε γραφικά κά

ς:

2 f x

ε γραφικά τις

x π

x π

ση f : R R

f 3x 0 γ

f τέμνει τον ά

ήσεις f,g : R

κ κάθε x R

αφικές παρα

υθεία x 1

είναι πάνω

ση h : R R

2 x 2 για κ

άθε x R

4 2

2 2

4

2

O

y

Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

παραστάσεις

άθε μια από

xln e

ς

R για την

για κάθε

άξονα x x σε

R , ώστε

R , κ R .

αστάσεις

καθώς και

από την gC


κάθε x R .

9 6

y=f (x)

ς

ε

x


1.25 Βρ

συναρτήσεω

xg(x)

x x-3

h(x) x

1 x

1.26 Βρ


2 xf x

2ημx

t x2συν

e

r x2x

p(x) xe -

1.27 Βρ

2f(x) αx

1.30 Βρ


Β) f

Γ) f

1.31 Βρ


Β) f

1.32 Βρ


2x 2f(x)

x 1


ρείτε τα πεδία

ων f x x l

x 1

3x+2 x

2

x 2

1 x

ρείτε τα πεδία

ων

x1

2

1

x 5συνx

xe

1 ln x

,

- 1 + 1 - lnx

ρείτε το πεδίο

αx , α 0

ρείτε τα σύνο

ων: Α) f x

x 3ln 1

2x x 4x


ων: Α) f x

2

6x

x 4


ων:

2 αν 2 x1 αν 3 x


α ορισμού τω

2ln x φ(x)

t(x) x

k(x)(x -

α ορισμού τω

g x

3 φ(x)

m x

x q x

ο ορισμού τη

λα τιμών των

1 xe 3

2x 1 , x

3


x 1x 1

x

2 x


x 3x 5

, g(x)

δών

Πε

ων

2) x x

1

2 x 1

24 - x

1) x 1

ων

2εφxημx ημ2

2

2x 2x

x 1)

e e

1x ln x

x 1

2ln 1 x

ς συνάρτηση

Σύ

ν

x 1, 2

2, 1 /2

ν

2,5

, 2

ν

3 2 x 1

εδίο ορισμ

2x

ης

1.

συ

f

k

t

p

1.

συ

k

r(

m

r

ύνολο Τιμώ

1

συ

f(

r

1

πα

πλ

Α

Β)

Γ)

Δ

Ε)

μου

.28 Βρεί

υναρτήσεων

2

x

xx

9 4.3

k(x) 2συ

1x ln

x 1

3p(x) x x

.29 Βρεί


2

2x

x 1k(x)

e e

2x x(x)

x x

m x ln(x

x ln x

ών

.33 Βρεί


(x) 1log

x

2x x 4x

.34 Στο

αράσταση τη

λήθος των ρι

Α) f x

) f x

) f x

) f x

) f x

ίτε τα πεδία ο

x 1

x 1

3 27

υνx 1

x

2

ίτε τα πεδία ο

2x

1

,

2

2

x

,

1)

2x 1 , t

ίτε τα σύνολα

1

, g x

3 αν x

σχήμα φαίν

ης συνάρτηση

ιζών των εξισ

2

0

1

2

α, α 3,3

ορισμού των

x

1h x

4

xm(x) (e

1r x l

x 1

1

lnxq x x

ορισμού των

xt x

x 1

3

k x2x 4

f(x) xe -

1t x

εφx 1

α τιμών των

x

x 1

5 e

5 e

t(

2, 5

νεται η γραφ

ης y f x .

σώσεων:

3

5

ν

2x

1)ln(x 1)

ln x

ν

ln x

x 2

4 x 1

1 + 1 - lnx

1, x 0,2π

2

2

x 2xx)

x 4

ική

Να βρείτε το

5

ο

6

http://users.s

1.35 Δίν

Α) Να


2

1x - 1

f (x)x - 1

3f (x) x

x5f x ln e

Β) Βρείτε τ

οποίο οι παρ

1.36 Να


1.37 Eξε

f x 1

1.42 Βρ

f(x

1.43 Να

αν f(x) 2

1.44 Για

ότι 2g x f

δείξετε ότι η

1.45 Nα

που ικανοπο

1.46 Nα

2 2f g (x)

sch.gr/mipap


α εξετάσετε π

ς είναι ίσες μ

1 2f (x)

2 1 4f (x)

1 6f (x)

το ευρύτερο

ραπάνω συνα

α εξετάσετε α

ς 1 σ

f(x)ημ

ετάστε αν είν

x2 2 1

ρείτε τις συνα

x) 4 |x|]

α βρεθούν οι

2x 1, x 2

x , x 2

α τις συναρτή

2 x 2f x

gC τέμνει το

α βρείτε όλες

οιούν την σχ

α αποδείξετε

2 f g (x)

pagr

άρτηση f(x)

ποιες από τις

με τη συνάρτη

3

2

x 1

x - x 1

1x 1

x

ln(x 1)e

υποσύνολο

αρτήσεις είν

αν είναι ίσες

συνxμx

και g(x

ναι ίσες οι συ

x1

και g x

αρτήσεις f

] και g(x)

ι συναρτήσει

και g x

ήσεις f ,g : R

2x 3 , x

ον θετικό ημι

ς τις συναρτή

χέση: 2f x

ότι f g , α

) 2 για κάθ

Ισότητ

x 1 .

παρακάτω

ηση f .

του R στο

αι όλες ίσες.

οι

ημxx)

1 συνx

υναρτήσεις

x 0

Πράξε

g ,και gf

ότα

x 1

ς f g ,και gf

lnx, 0 x-2x 3, x 3

R ισχύει

R . Να

άξονα Oy

ήσεις f : R

2x 1 , x

αν ισχύει ότι

ε x R

τα Συναρτ

x

1.

f(

1.

συ

Α

Β)

1.

συ

1.

f(

εις Συναρτ

αν

gf

33

R

R

ι

1.

οπ

1.

πο

1.

αύ

ισ

1.

αν

2f

1.

συ

ότ

τήσεων

.38 Eξετ

2(x) x x

.39 Να ε

υναρτήσεις σ

Α) f(x) x

) f(x) 1

lnx

.40 Να β

υναρτήσεις f

.41 Eξετ

(x) 1

ln 2x

τήσεων

.47 Βρεί

ποίες ισχύει ό

.48 Βρεί

ου ικανοποιο

.49 Να π

ύξουσες συνα

σχύει ότι 2f (x

.50 Να β

ν για κάθε x

2 2x g x

.51 Να β


τι f x 1

ΣΥΝΑΡΤ

άστε αν είνα

1 και g(x)

εξετάσετε αν

στις παρακά

2x 1 και g

12

x

και g

βρεθεί ο R

3

2

x 3(x)

x x

άστε αν είνα

2

και g x

ίτε τις συναρτ

ότι 2f x 4

ίτε όλες τις συ

ούν την σχέσ

προσδιορίσετ

αρτήσεις f : R

2x) x 1

βρείτε τις συν

R ισχύει ό

1 2 x

βρείτε τις συν

f : R R αν

f x 2 0


αι ίσες οι συν

2

1)

x x 1

ν είναι ίσες οι

άτω περιπτώσ

2

1g(x)

x x

x ln 1 2

R ώστε να εί

3x 4

x 4

και g

αι ίσες οι συν

ln 1 2x

ρτήσεις f : R

x x4e f x e


ση: f x x

ετε όλες τις γν

R R για τι

για κάθε x

ναρτήσεις f,

ότι

f x x

ναρτήσεις τι



ναρτήσεις

1

ι

σεις.

2

1

1

2x ln x

ίναι ίσες οι

g(x) x 1

ναρτήσεις

ln x

R για τις

, x R

f : R R

, x R

νήσια

ις οποίες

x R

,g : R R

g x

ις

R ισχύει


1.52 Nα

οι συναρτήσ

g(x) ln x

1.53 Για

x f(x) f( x)

ότι η f είνα

1.54 ** Δ

οποία ισχύει

x, y R . Να

Β) η f

Γ) f

1.55 Η

και ισχύει ό

Να βρείτε τ

1.61 Ν

σύνθεση δύο


f(x) ln(1

f(x) ln(x

2f(x) ln x

1.62 Ν

Α) f(x)

Β) f(x) xx

1.63 Αν

ορίσετε τις σ


α εξετάσετε α

σεις

2x 1 ,

α τη συνάρτη

2 2f( x)

αι περιττή κα

Δίνεται η συ

ι f(x y) f(x


f είναι άρτια

x f(x) για

συνάρτηση f

ότι 2f x x

ον τύπο της

α εκφράσετε

ο ή περισσοτ

ων, αν:

ημx)

21) ln x

2 21 ln x

α οριστεί η σ

1 x και g(

x 1 xx 1 x

ν f x 1



αν είναι άρτι

,

2x f(x)2x

ηση f : R R

0, x R . Ν

ι να βρείτε τ

νάρτηση f : R

x y) 2f(x)

ότι: Α) f 0

α

κάθε x R

f : R R εί

2 2x για

ε τη συνάρτη

τέρων (μη τα

f(x)

f(x)

3 f(x


(x) ln x

(0,2)[2, 4)

, g(x)

2x , g x

f g και g

δών

Άρ

ες ή περιττές

x 3 x 0 3 x 0x 3 x 0

ισχύει ότι

Να αποδείξετ

ον τύπο της.

R R για τη

f(y) για κάθ

0

ναι περιττή

κάθε x R .

Σύνθε

ση f ως

αυτοτικών)

) συν 1 x

4) ημ (3x 5

x) x

f g αν

) x 1

3 x 2 να

f

ρτιες Περιτ

ς

τε

ην

θε

1.

ιδ

g

ότ

1.

δε

1.

εί

f(

1.

η

1.

A

πε

f

ση Συναρτ

2x

5)

1.

g

(f

1.

h

1.

σε

Α

Β)

Γ)

ττές

.56 Δύο

διότητες: 2f

2 x g x

τι η f είναι ά

.57 Αν ι

είξετε ότι η f

.58 Να δ

ίναι άρτια κα

(x) 0

.59 Δείξ

συνάρτηση

.60 Δίνο

f gA A R

εριττές τότε η

/g , ( g(x) 0

τήσεων

.64 Αν f

(x) x1e

2

f g)(x) (g

.65 Βρεί

h με h(x) f(

.66 Να β

ε κάθε μια απ

Α) Αν f

) Αν (

) Αν (


x f x f

g x για κ

άρτια και η g

ισχύει f(x y)

είναι περιτ

δείξετε ότι αν

αι περιττή τό

τε ότι για κά

g(x) f(x) +

ονται οι συνα

Να αποδείξε

η f g είναι

0 ) είναι άρτι

f(x) ln(x

xe να απ

f)(x) x ,

ίτε το πεδίο ο

2(x 4) f(x

βρεθεί ο τύπο

πό τις περιπτ

f ln(2x) x

2(f g)(x) x

(g f)(x) συ

ς f ,g : R R

x και

κάθε x R . Ν

g περιττή

) f(x) f(y) ,

ττή

ν η συνάρτησ

ότε για κάθε

άθε συνάρτη

+ f( x) είναι

αρτήσεις f,g

ετε ότι: Αν οι

ι περιττή ενώ

ιες

2x 1) και

ποδείξετε ότι

x R

ορισμού της σ

1) αν fD

ος μιας συνά

τώσεις:

x 3 , x e

2 x 1 και

2υν x και g(x

7

R έχουν τις

Να δείξετε

x,y R να

ση f : R R

x είναι

ση f : R R

άρτια

με

ι f,g είναι

ώ οι f g ,

ι

συνάρτησης

[0, 5)

άρτησης f

,

g(x) x 1

2x) x

7

R

8

http://users.sc

1.67 Ν

συνάρτηση

(1 x)f(x 1

1.68 Έσ

gg : A R

A) Αν η f ε

B) Αν η f ε

περιοδική μ

1.69 Δε

να ικανοπο

1.70 Bρ

ισχύει ότι f

1.71 Ν

2f x x x

1.72 Αν


1.73 Αν

x R τότε ν

1.74 Ν

Α) Αν

Β) Αν

1.75 Αν

ισχύει: f f

1.76 Έσ

οποία ισχύε


τουλάχιστον

ch.gr/mipapag

α προσδιορι

f : R R αν

1) f(1 x) x

στω συναρτή

με ff A A

είναι άρτια, τ

είναι περιοδι

με την ίδια πε

ειξτε ότι δεν

οιεί τη σχέση

ρείτε τη συνά

xln x f

e

α βρείτε τη σ

2 1 f x 1

ν 2f f(x) e

η f παίρνει

ν ισχύει ότι

να υπολογίσ

α προσδιορι

ν (1 x)f(x

ν ισχύει 2f(x

ν f(x) αx2

f (x) x για

στω η συνάρ

ει ότι f f(x)

ότι η εξίσωσ

ν ρίζα

r

ισθεί ο τύπος


x 1 , x R

ήσεις ff : A

gA . Να απο

τότε η gof ε

ική, τότε και

ερίοδο.

υπάρχει συν

f(x) f(2 x

άρτησης f : 0

f x 1 για κ


1 x για κάθ

2x για κάθε

την τιμή 201

f f (x) 2x

ετε το f 1

ισθεί ο τύπος

1) f(1 x)

21x) f x

x

3x

να βρεθ

κάθε x 2

τηση f : R

2x 1 , x

ση f x 1 έχ

ς της

R

R ,

δειχτεί ότι:

είναι άρτια.

η g f είναι

νάρτηση που

) x , x R

0, R α

κάθε x 0 .

f αν ισχύει ό

θε x R

x R , να

14

x 1 για κάθ

ς της f :

x 1 , x R

2 , x R *

εί ο α R , α

R για την

x R . Να

χει μια

ι

R

αν

ότι

θε

R

αν

1.

f(

f(

1.

f(

f(

να

1.

αν

f

1.

οπ

δε

το

1.

τη

τέ

x

x

f(

1.

ότ

κα

1.

f

γι

.77 Να β

(2004) 1 κα

20(x)f(y) f

.78 Για τ

(x y) f(x)

f(x) 1(x) e κ

α βρείτε την

.79 Να β


x f y f

.80 Έστω


είξετε ότι η C

ουλάχιστον σ

.81 ** Έσ

ην οποία υπά

έτοιοι ώστε α

,1 κα

0, . A

(x)

.82 Για

τι f x f

αι f 1 0 . Ν

.83 Να π

: R 0 R

ια κάθε x R

ΣΥΝΑΡΤ

βρεθεί συνάρ

αι για κάθε x

004 2004f

x y

τησυνάρτηση

f(y) 1e x, y

και 1f(x) e

f

βρεθούν οι σ

, y R ισχύε

xy x y


ότι 2f x 2

fC τέμνει τον

σημεία.

στω f : R R

άρχουν α ,β

αf(x) βf( x)

αι αf(x) βf(

Aν f(3) 4, f

(ww


xy ln

y

γ


προσδιορίσετ

R τέτοιες ώστ

R 0


ρτηση *f : R

x, y 0 ισχύε

2f(xy)

,

η *f : R R

R .Να αποδ

f( x) για κάθ


ύει ότι

xy

ση f : R R

f 3x 0 ,

ν x x σε δύο

R μία συνάρ

πραγματικο

) x 3 για

x) x 3 γι

f( 3) 2 , να

ww.mathem

ση f : 0,

για κάθε x, y

ετε ότι f x

ετε όλες τις συ

τε 1f x

x


*R αν

ει

ισχύει ότι

δείξετε ότι

θε x R και

f : R R

R για την

x R . Να

ρτηση για

οί αριθμοί

α κάθε

ια κάθε


matica.gr)

R ισχύει

y 0,

ln x , x 0

υναρτήσεις

1f x

x


ΜΟ1.84 Ν


f(x) 5

t x x 1

r(x) x 3x 2

1.85 Βρ

k x ln x

1.86 Έσ

γνησίως αύξ

είναι γνησίω

1.87 Α)

να αποδειχθ

Β) Ν

1.88 N

Α) ln

1.89 Γι

52f (x) f x

Α) Απ

Β) Ν

1.90 Ν

xf x 2 x

λύσετε την α


ΟΝΟα αποδείξετε

ων

5 x

31 2

32

φ(x)

ρείτε τη μονο

, g(x) xx


ξουσα. Δείξτ

ως φθίνουσα

) Αν f x

θεί ότι η f εί

α λυθεί η αν

α λύσετε τις

n x 1 x

ια τη συνάρτ

3x για κά

ποδείξτε ότι



x . είναι γνη

ανίσωση 3x2


ΟΤΟε τη μονοτον

eg x ln

e

m x e

) ln x α

1 2x α

οτονία των σ

2x 1x 1

m

τηση f : 0,

τε ότι η g x

α στο 0,

x x3 45 5

ίναι γν. φθίν

νίσωση x3 4

ανισώσεις:

Β) xe

ηση f : R R

άθε x R .

η f είναι γν

νίσωση 2f x

ε ότι η συνάρ

ησίως αύξουσ

2x x 6 2x2

δών

ΟΝΙΑνία των

x

x

e 1

e 1

4 x 3

αν 0 x 2αν x 2

συναρτήσεων

x ln x

0,

1 1

ff x x

1 , x R τό

νουσα.

x x4 5 .

1 x1 x


νήσια αύξουσ

x 1 1

ρτηση

σα και να

2x 5x 6

Α

2

ν

x

ότε

ι:

σα

1.

εί

εξ

1.

ιδ

Επ

δε

1.

ορ

g

φ

1.

φ

δε

1.

συ

ιδ

1.

κα

να

1.

τη

ότ

.91 Δίνε

ίναι γνήσια α

ξίσωση f x

.92 Η συ

διότητα f x

πιπλέον ισχύ

είξετε ότι η f

.93 Έστω

ρισμού το α

g x f x ,

θίνουσα. Δεί

.94 Αν

θίνουσα στο

είξετε ότι f(x

.95 Να α

υνάρτηση f :

διότητα 22f (x

.96 * Η σ

αι για κάθε x


.97 Έστω

ην οποία ότι

τι η f είναι γ

εται ότι η συν

αύξουσα στο

2f x f


x-f y =f

y

ύει ότι «αν α

είναι γν. αύ

ω συναρτήσε

α,β , σύνολο

x α,β κα

ίξτε ότι f g(

f : R R πε

R με f(f(x )

x) x , x R

αποδειχθεί ό

: R R , γνή

2x ) 2xf(6x


x R ισχύει ό

ότι f(x) x ,

ω συνάρτηση

f xf x e

γνήσια αύξου

νάρτηση f ο

0, . Να

3x f x

: (0, ) R

για κάθε x,

α 1 τότε f

ύξουσα στο

εις f,g με κο

τιμών το α

αι η f είναι γ

(x) g f(x)

εριττή και γν

)) x για κά

R

ότι δεν υπάρχ

ήσια φθίνου

8) 4 3x,

f είναι γνησί

ότι: 2x 3f

f5

, για κάθε x

η f , ορισμέν

33 xx e , x

υσα και ότι

9

ορισμένη και

α λύσετε την

έχει την

y 0 .

α 0 ». Να

0,

οινό σύνολο

,β ώστε

γνήσια

x α,β

νησίως

άθε x R , να

χει

σα με την

x R

ίως αύξουσα

f(x)x

,

R

νη στο R για

R . Δείξτε

3f x x

9

ι

α

α

α

10

http://users.sc

1.98 Δί

είναι γνήσια

5 2f x x

1.99 Έσ

γνήσια μον

διέρχεται απ

Α) Ν

Β) Ν

και f 1 x

Δ) Ν

Πόσες ρίζες

1.100 Δί

Α) Ν

αύξουσα.

Β) Ν

3(3x 18)

1.101 Γι

f xf x 2e

Α) Απ

Β) Ν

συνάρτηση

Γ) Ν

Δ) Ν

1.102 Έσ

παίρνει θετι

312f x

f x

Α) Ν

φθίνουσα κ

Β) Λύ

5 3f x x

ch.gr/mipapag

ίνεται η συνά

α αύξουσα σ

2 1 f 1

στω συνάρτη

ότονη και η

πό τα σημεία



2


ς μπορεί να έ


α αποδειχθε


3(7x 12)


x 2 για


α μελετηθεί ω

g x x 2e

α υπολογίσε

α βρείτε το π


ικές τιμές κα

x 1 x για


και να βρείτε

ύστε την ανί

x 3 1

r

άρτηση f : R

στο R . Να λυ

2x x 2

ηση f : R R

γραφική της

α 1, 1 κα

ε ότι είναι γν

ανισώσεις f

ν εξίσωση f x

έχει η εξίσωση

άρτηση f x

ί ότι είναι γν

νίσωση

7x 12

7x 12

5

5 1

ηση f : R R

κάθε x R


ως προς τη μ

xe

ετε το f 1

πρόσημο της

ηση f ορισμ

αι ισχύει

α κάθε x R

ε ότι η f είνα

το f 0

ίσωση

R η οποί

υθεί η ανίσωσ

5x x

R , που είναι

ς παράσταση

αι 1,2


2x 1 1

2x 2 .

η f x 2014

3 xx 5

νησίως

3x 18

3x 18

5

5 1

.



μονοτονία η

f

μένη στο R ,

.

αι γνήσια

ία

ση

η

σα

4

1

.

ι

σα

1.

γν

δι

Α

Β)

κα

Δ)

Ε)

f

1.

μο

ισ

1.

h

Β)

ώ

x

Γ)

υπ

1.

συ

να

τη

σ

1.

τέ

Θ

h

φ

h

.103 Έστω

νήσια μονότο

ιέρχεται από

Α) Να α

) Να λ

αι f 1 x

) Να λ

) Πόσ

x 2014

.104 Να α

ονότονη συν

σχύει f f(x)

.105 Α) Ν

5 3h x x x

) Έστω

στε να ισχύε

R . Αποδεί

) Να λ

πολογίσετε τ

.106 Αν f

υνάρτηση το


ης συνάρτηση

στο 1,0 (m

.107 Έστω

έτοια ώστε f

Θεωρούμε τη

1 xh x

1 x

. N

θίνουσα στο

x 2xh e h e

ΣΥΝΑΡΤ


ονη και η γρ

τα σημεία

αποδείξετε ότ

λύσετε τις αν

2

λύσετε την εξ

σες ρίζες μπορ



3x 0 για


x , x R ε


ει 5 3f x f

ίξτε ότι η f ε


ο f 3

f : R R είν

υ σχήματος,

μονοτονία

ης g x f

mathematica


1f x 0

x

συνάρτηση g

Nα αποδείξε

1,1 και ν

11xh e


η f : R R ,

ραφική της π

1, 1 και

ότι είναι γνήσ

νισώσεις f 2x

ξίσωση 2f x

ρεί να έχει η

ότι δεν υπάρχ

R R για τη

κάθε x R .

τε ότι η συνά


ση f ορισμέν

x f x x


ξίσωση h x

ναι η

f(x)

.gr)

ση f : 0,

0 για κάθε x

g x f h(x

ετε ότι η h εί

να λύσετε τη

111xh e στο


που είναι

αράσταση

1,2

σια αύξουσα

x 1 1

2

εξίσωση

χει γνησίως

ην οποία

άρτηση

αύξουσα.

νη στο R

για κάθε

αύξουσα

3 και να

R

x 0 .

x) όπου

ίναι γνήσια

ην εξίσωση

ο 1,1


1.108 Ν

τις παρακάτ

g(x) 4 x

2r x x 4

x

φ x3x

1.109 Ν


Α) f

Β) f

1.110 Ν


Α) f

Β) f

1.111 Ν


Α) f

Β) f

1.112 Α)

Β. Έσ


παρουσιάζε

1.113 Έσ

Α) Ν

2

2f(xg(x)

1 f

Β) Ν



Ακρ


τω συναρτήσ

x 2 t(x)

4x 5 f : [

1 αν x1 αν x



x 1 2ln

: [ 1, 4) R



2x x 4x

2xx e 2e



xx 2e x

2xx e 2e

)Να δείξετε ό

στω f(x) 9

ότι f(x) 2 γ

ει ελάχιστο

στω f : R R


2

x)

(x) έχει μέγ


ς 2e

Φ(x)1 e


ρότατα

α ακρότατα κ

σεις

34 x 4x

1, 4) R με

22


σεις

x 1 , x 2

με f(x) 2x


σεις

5

x 3


σεις

2 xx 4 2e

xe 3

ότι1

x 2x

x9 80 9

για κάθε x

R συνάρτηση


γιστη τιμή το

μέγιστη τιμή

x

2x

e2013

e

δών

κάθε μιας απ

4x

ε f(x) 2x 1


2,3

1



x 5

αν x 0

x80 . Nα

R και ότι η

η με f(0) 1

ρτηση

1 .

ή της

πό

1

πό

πό

πό

α

f

1.

f(

1.

(

συ

έχ

1.

Α

Β)

1.

Α

Β)

α

1.

A

B)

f

Γ)

f

1.

Α

αύ

Β)

Γ)

5

Δ)

5

.114 Να β

2(x) x (λ

.115 Έστω

2(f(x) g(x

υνάρτηση h

χει μέγιστο το

.116 Αν f

Α) Να β

) Να λ

α) f

.117 Αν f

Α) Να β

) Να λ

α) f 2x

.118 Δίνε

A) Απο

) Να λ

3 3x f

2

) Να β

α β 1 f

.119 Δίνε

Α) Απο

ύξουσα στο π

) Δείξ

) Να λ

3 2x 2x 5

) Να λ

3 α β 1 e

βρεθεί ο λ

1)x 2 να έ

ω οι συναρτή

2) 1 για κ

x f x f

ο οποίο και ν

2f x x 6x

βρείτε το πρό


2x 3 0

2f x x 6x



x 3 0 β

εται η συνάρτ

οδείξτε ότι η

λυθεί η εξίσω

4 3x 3x

2

βρείτε τους α

2α β 1

εται η συνάρτ


πεδίο ορισμο

τε ότι η f πα

λύσετε την αν

22x 4x 10e 5


2α 2β 2 3e 5 α

R , ώστε η σ

έχει ελάχιστο

ήσεις f ,g : R

κάθε x R .

1 x g x

να βρεθεί (m

x 8 , x R ,τ

όσημο του f

νισώσεις

β) f f x

x 8 , x R ,τ

όσημο του f

νισώσεις

β) f f x

τηση f x

f έχει ελάχισ

ωση

6 0

α,β R ώστε

6 0

τηση f x

f είναι γνησ

ού της .

αρουσιάζει ελ

ανίσωση

3 25 x 4x 4

ξίσωση

2αα β 1 e

11

συνάρτηση

ο το 2

R ώστε

Δείξτε ότι η

g 1 x

mathematica)

τότε

x

x 2 0

τότε

x

x 2 0

2

2

x x 2

x x 1

στο το 3

ε να ισχύει

2x35 x e .

σίως

λάχιστο.

22x 8x 8e

α 2β 2 2 0

1

0

12

http://users.s

1.120 Να


Α) f

Γ) f

1.121 Δίν

την οποία ισ

x [1, ) . Ν

1.122 Έσ

1 1 . Αποδε

είναι 1 1 .

1.123 Αν

ιδιότητα f

δείξετε ότι ε

1.124 Να

συνάρτηση

1.125 Να


1.126 Δίν

Α) Nα

Β) Να

Γ) Να

1.127 Να

Α) x 1e ln

Γ) 2x xe

1.128 Nα

2log λ 1

sch.gr/mipap

α εξεταστεί π

ς, είναι 1 1

x 2 ln x 3

x x x 3


σχύει f(f(x))

Να δείξετε ότ

στω ότι η συν

είξτε ότι η η

ν η συνάρτησ

f x 3f x

είναι 1-1

α βρεθεί ο λ

f(x) 4

x λ

α αποδειχτεί

f αν ισχύει 6f


α μελετήσετε



α λύσετε τις ε

n x 2 x Β

2x 1 2e x


log 5λ 5

pagr

ποιες από τις

και ποιες όχ

3 Β) f x

x 4 2004

άρτηση f : [1,

22x 3x 2

τι η f είναι


3F x f x

ση f : R R

2003x 0 ,

R ώστε να

2x αν xλ 8 αν x

ότι δεν είνα

2 2f x f (x)

άρτηση f x

τη μονοτονί

εξίσωση 1

ανίσωση x

εξισώσεις .

Β) 7 5x 2x 3

x 1 Δ) x6

εξίσωση

45λ 5

Συ

παρακάτω

χι:

x 13e 2

4

) R για

2 , για κάθε

1 1

R R είναι

x 2f x 3

έχει την

x R να

α είναι 1 1 η

00

ι 1 1 η

9 x R

2 x ln x

ία της f

x lnx 0

ln x 1

33x x 6

x x x8 10

42λ 1

υνάρτηση 1

α

η

1.

f

δε

1.

Α

Β

2

1.

g

g

1.

Α

Β)

1.

e

1.

Ν

1.

e

1.

f

υπ

4

1:1

.129 Δίνο

2f f (x) x

x R . Nα α

εν είναι 1 1

.130 Δίνε

Α Να α

Να λ

2x - 3x + 2 =

.131 Θεω

: Β R , να

g f είναι 1

.132 Αν ε

Α) Να αποδε

) Να λυθεί

.133 Να α

3e

.134 Αν f

Να λύσετε την

.135 Αν

Α) N

Β) Ν

2x -x 2 3+(x - x)

.136 *** Δ

: 0,1 R μ

πάρχουν 1x ,

1 2f x 2f x

ΣΥΝΑΡΤ


5x 9 και


1

εται η f x



24

3x - 2= ln

x +

ρούμε τις συ


1 τότε η g

είναι xx e

είξετε ότι x

η εξίσωση x


3 τότε

x2f(x)

3

ν εξίσωση 3

xf x e x

Nα δείξετε ότ

Να λύσετε την

3 2+ x - 2x = e

Δίνεται η 1

με f 0 f 1

2,x 0,1 ώ

2 1 .


αρτήσεις f ,g

2g x x x

ι f 3 3 κα

22x ln x

ότι η f είναι

ξίσωση:

2 +1

1

στο 2


ότι αν B f

είναι 1 1

yy e , x,

y .

2x 3x 2 e

ότι αν ισχύει

με , R

x42

3 τότε:

x x2 4 3 3

3x x 1 τότε

τι είναι 1 1

ν εξίσωση:

x+3 3e +(x + 3)

1 συνάρτησ

1 . Να απο

ώστε να ισχύε


g : R R με

xf x 3 ,

ι ότι η g

1 , x 0

1-1

2,

:Α R και

(A) και η

y R τότε

23x x 2e e

R

x3 6

ε

+ 3

ση

οδείξετε ότι

ει

ι


1.137 Βρ


Α) f(x) x

Γ) f(x) lo

Ε) f

1.138 Βρ


Α) f(

Γ) f(

Ε) f(

Στ) f(x) x

1.139 Ν

αν f(x)

1.140 Έσ

f(f(f(x))) 2

ότι f(1) 3,

1 1 και να

1.141 Έσ

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

1.142 Έσ

Α) Ν

Β) Ν

2

2

2λ 1ln

λ 5


ρείτε τις αντί

ων

3x 1

xog 3 10

x 2 x

ρείτε τις αντί

ων

(x) 2x 3

.x 4

x(x) log

1

2

x 1(x)

9x

3 2x 3x 3x

α βρείτε τα κ

1 x , x 1


2x 7 για κά

f(3) 9 . Να


στω η f με




στω f x x



24 λ


ίστροφες των

Β) f(x) 5

Δ) f(x) ln

23 , x 3

ίστροφες των

Β) f

x

x Δ)

, x 0

, x 0

Ζ) f(x) ln

κοινά σημεία

1,0

ηση f ώστε να

άθε x R . Δίν


ν εξίσωση 1f

3f(x) 2x x

ε ότι η f αντ

ν εξίσωση f(x

ν ανίσωση f

ln x

τιμή 1f e

ν εξίσωση

δών

Α

ν

x 2

xn(2 e ) x

ν

f(x) 3x

3x

3 e

3 e

xf(x)

1 x

2n x 1 x

α των 1fC C

α ισχύει

νεται ακόμη


(x) 9 .

x 2 .

τιστρέφεται.

1x) f (x) .

1(5x 6) 1 .

1

Αντίστροφ

x

x

fC

.

1.

υπ

να

1.

Α

Β)

Γ)

άξ

Δ)

(2

αν

1.

ισ

Α

κα

1.

αν

ισ

1.

έχ

αυ

1.

τύ

A

B)

1.

πα

συ

1.

φη

.143 Αν γ

πάρχουν οι σ


.144 Έστω

Α) Να αποδ

) Να λύσετ

) Να βρείτε

ξονες και με

) Να λύσετ

2 32 ημ x) η

νισώσεις: 1f

.145 Για τ

σχύει ότι 3f (

Αποδείξτε η f

αθώς και τα

.146 Οι σ

ντιστρέψιμες

σχύει f g g

.147 Να α

χει μόνο ένα

υτό θα βρίσκ

.148 Θεω

ύπο 5f(x) x

A) f

) Να λ

.149 Να α

αράστασης τ

υμμετρίας τη

.150

για τις συναρ


ότι υπάρχου


είξετε ότι αντ

ε τις εξισώσε

ε τα κοινά ση

την ευθεία y

τε την την εξ

3 2ημ x ημ x

1(x) 3 , και


x) 3f(x) x

αντιστρέφε

τα κοινά ση


ς έχουν σύνο

g f , να δείξ


κοινό σημείο

κεται πάνω σ

ρούμε την συ

x 1 . Να α

11 f

λυθεί η εξίσω


της 5xf x

2x

ην ευθεία y

ρτήσεις f , g

1f g και

υν και οι 1g

ση 3f(x) x

ντιστρέφεται

εις f(x) 12 ,

ημεία της fC

y x

ξίσωση

ημx 2 κα

1f (x 1) x

ση f : R R

0 , για κάθ

εται , να βρε

ημεία των fC

f,g : R R

ολο τιμών το

ξετε ότι f g

ότι αν μια συν

ο με την αντ

στην ευθεία y

υνάρτηση f


13

ωση 1x f (x

ότι η γραφική

x 2x 5

έχει άξο

x

13

: R R ,

ι 1g f ,

1 και 1f

x 2

1f (x) 2

1 με τους

αι τις

x 5

με f R R

θε x R .

είτε την 1f

f και 1fC

είναι

R και

1 1g f

νάρτηση

ίστροφή της

y x

: R R με

ότι

x)

ή

ονα

3

14

http://users.s

ΓΕΝ1.151 Γι

1.152 Δί

x, y R . Να

1.153 Έσ

2f (x) 2f(x)

1.154 Έσ

f x 0 έχε

Α) Ν

Β) Ν

1.155 Γι

Δίνεται επιλ

Α) Ν

Β) Ν

1.156 H

B 2,3 τότε

1.157 Γι

Α) Να δεί

Γ) Nα λύσ

1.158 H

τα σημεία A

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

sch.gr/mipap

ΝΙΚια τη συνάρτ

ίνεται η 1 1



2x) e 1 .


ει μοναδική ρ




λέον ότι ισχύ



συνάρτηση

ε: Α) Αποδε

ια την συνάρ

ίξετε ότι η f

σετε την εξίσ

συνάρτηση

A 5,9 και B




pagr

ΚΕΣ ηση f : R R

1 συνάρτηση

ε ότι: 1f (xy)

τηση f : R

Να βρείτε

ηση f : (0, )

ρίζα, τότε


ν εξίσωση f x

ηση f : R R

ύει η πρόταση

ε ότι η f είν

ν εξίσωση f 4

f : R R εί

είξτε ότι η f

ρτηση f : R

είναι αντιστ

ωση x 4e e

f : R R είν

B 2, 3 τότε:


εξισώσεις f

ανισώσεις αν


f : R (0,

1 1f (x) f

R με σύνολ

την f και

) R με την

αι 1 1

2x f x 3


η: « x 0

ναι περιττή κ

24x 2005

ναι γνήσια μ

είναι γν. αύξ

R είναι γνω

ρέψιμη.

2x 1 x 5

ναι γνήσια μ

αι γν. αύξουσ

1 23 f (x 2

νίσωση 2f x

ι ν όροι

f f f ... x

) για την ο

1(y) , x, y f

λο τιμών το

ι την αντίστρ

ν ιδιότητα: f

2f x 1

ι f x y f

f x 0 » .

και γνήσια αύ

2f 4x 2005

μονότονη κα

ξουσα Β)

ωστό ότι f xe

Β) Να

μονότονη, έχ

σα

2x) 9 και

x 12f x 2

... 2x 1

οποία ισχύει ό

f(R)

1, και γ

ροφη της.

x -f y =f

f x 1

x f y , γι

ύξουσα

5 2f 8x 4

αι η fC διέρχ

Λύστεί την

x f x x γ

βρείτε το f 1

χει σύνολο τι

1 2f x ln

x

27 και f x

ΣΥΝΑΡΤ

1 να βρείτε το

ότι f(x y)

για κάθε x R

xy

για κάθε

ια κάθε x, y

4

χεται από τα

εξίσωση f 3

για κάθε x

1 .

ιμών το R κ

1 2

ln x 4 9


το f 1

f(x) f(y) γι

R ισχύει

x, y 0 Αν

R .

σημεία A 5

1 2f (x 2x

R

και η fC διέρ


ια κάθε

η εξίσωση

,9 και

x) 9

ρχεται από


1.159 Έσ

στη fC τότε

1.160 Έσ


Α Τη

1.161 Α)

B) Ν

κοινά σημεί

1.162 Γι

f(ξ) 0 . Ν

Β) f( x) =

1.163 *Δ

Α. Ν

Γ. Ν

1.164 Έσ


Α) Ν

Γ) Ν

1.165 Ν

1.166 Έσ

συνάρτηση

Α) Ν

Β) N

Γ) Ν


στω η γνησίω

ε να βρείτε το



ην εξίσωση: f

) Αν f γν. α


ία των fC κα


Να αποδείξετε

1f(x)

και f(x

Δίνεται η συν






α λυθεί η εξί



g x f h(x





ως μονότονη

ο λ R ώστε

ηση f : R R

σα να λύσετε

f x 223

ύξουσα στο


αι 1fC .

ηση f : R R

ε ότι: Α)

f(x)x y)

f(y) ,


ι f(x) 0 για

ν ανίσωση: ln

ρτηση f : 0,

α.

ι η f είναι γν

ίσωση f x

ν εξίσωση 33

τηση f : 0,

x) όπου h x

ε ότι η g είν

ε ότι τη μονο

ν εξίσωση h

δών

συνάρτηση

ε 1 1f 2 f

R για την οπ

ε:

R και ox R

ρτηση f x


f(x) 0 για

x R

R R για τη

α κάθε x R .

n f(x) 0 .

0,

νησίως φθίνο

7 5f x f x

33x 1 2x2 3

R τέτο

1 xx

1 x

. Τό

αι περιττή.

οτονία της h

x 2xe h e

f : R R . Α

λ 1e 1 0

ποία ισχύει: f

Β

R , τότε f f(x

34x 13

αντ

ι f(x y) f(x

α κάθε x R

Γ) f(νx

ην οποία ισχ

. Β.

με f 1

ουσα. B)

5 9f x

1

οια ώστε 1

fx

ότε:

11xh e h

Αν τα σημεία

0 .

xf(e x) 8f(

Την αν

o ox x f

ιστρέφεται, ν

x)f(y) για κά

και

ν) f (x) για

χύει: f(x)2

Να δείξ

1 και η συνά

Nα λύσ

1f x 0

x

111xh e στο

α A 1,2 κα

x 1) 2008

ίσωση xf e

o ox x

να βρείτε την

άθε x, y R κ

f(0) 1

κάθε ν Ν

x

2

3e

f (x), για κ

ξετε ότι η f ε

άρτηση g x

σετε την εξίσω

για κάθε x

1,1

αι B 1,3 β

xe για κάθε

x2 e 22

ν 1f καθώς

και υπάρχει

και x R

κάθε x R


xf x 1 η

ωση f x ln

0 . Θεωρούμ

15

ρίσκονται

ε x R . Αν

23 .

και τα

ξ R , ώστε

ως αύξουσα.

η οποία

n e x 0

με τη

5

16

http://users.s

ΟΡΙΟΡΙΟ ΣΤΟ X

1.167 Ν

Α) xlim

Β) xlim

1.168 Ν

Α) xli

Β) xlim

Γ) xlim

1.169 Ν

Α) xlim

Β) xlim

1.170 Ν

x 1lim

2x 1

1.171 Ν

x 2f(x)

1.172 Ν

Α) x 0

6xlim

x

Γ) xlim

sch.gr/mipap

ΙΑ X0


21

2m

x 1 x

ν 1

1

νx (νm

x


2im

3 6 xx 2

3 2

0m x x

2

9

xm

2x x 6x


1m

3 2 3x 2 x

x 2 x

1m

x 3x


1 x 1

x 1

,


2 x 2αν

4x0 αν


3ημx2ημx

2

20

x 2m

x 4

pagr

ετε τα όρια

3

3

x 1

1)x 1 με

1


x 62

81

3 x 9


x 1

1

2x 4x 31


x 1

x 1lim

2 x

ετε το x 0lim f(x

ν x 0

ν x 0

ετε τα όρια:

Β)

2

lim

2x 2

4 2

ε ν Ν*

x 1

x 1

x) αν

1

1.

Α

Β)

1.

xli

1.

Α

Γ)

1.

xli

1.

xli

1.

xli

1.

xli

1.

xli

.173 Να υ

Α) x 1lim

) x 1lim

.174 Να υ

3

ημ πxim

x 1 2

.175 Να υ

Α)

x 1

ημ xlim

ημ(

) x 0lim

.176 Να β

0im

ημx ημ

.177 Να β

0

ημx ημ2im

.178 Αν xl

1im f(x) 5

.179 Αν xl

0im 2

xf(3x)-f(-x

3x

.180 Αν x

2

2 gf(x)im

x

ΣΥΝΑΡΤ

υπολογίσετε

xημ 1

x 1

1 xημ π

1 x


και


x 3 2

(x 1)

Β

2

1 συν 1 σ

x

βρείτε (αν υπ

1x

βρεθεί ο ν

2x ... ημνxx

x 1

f(x) 5lim

f(x) 2

x 0lim

f(x)2

x ν

2

x) ημ2x

x

x 2lim g(x) 7

2

g(x) g(x) x

x 4


τα όρια

1x

12

τα όρια:

x 0

2xlim

συνx 1

τα όρια:

Β) x 0

ημlim

συνx

πάρχουν) τα

2

2x 0

1x ημ

xlimx x

N αν

x28

0 να αποδε

να βρείτε το

, να βρείτε τ

2x x


ημx

συνx

2

2

μ ημ x

x

όρια

είξετε ότι

ο


1.181 Ν

x 1lim f(x)(x

1.182 Ν

xlim f x 0

1.183 Η

ισχύει ότι xl

x 3lim f(x)

1.184 Αν

x 3lim f(x)

1.185 Αν

f x f 1

1.186 Ν

αν

x 1lim f(x)

1.187 Αν

x 1lim

f(x) xx-1

x 1lim 2

f(x)

f (x)

1.188 Aν

x R να απ

1.189 Αν

x 1lim f(x) 2


α βρεθεί το

x 1

g1) lim


0.

συνάρτηση

3

lim f(x) 2x

ν

x 3lim 12f(x)

ν x 2

f(x) 4lim

x-2

x , x R βρ


g(x) 5 κ

ν για τη συν

x2 , να βρε

2

1

x και

x 1lim

ν 2f x 2f x


ν η f: R R

να βρεθεί τ


x 1lim f(x)g(x)

g(x)3

x 1

ε ότι αν xlim f

f είναι άρτι

x 5 4 . Να

2) 4f (x) 9

41 και ισχ

ρείτε το x 1lim

α

x 1lim f(x) κ

και

x 1lim 2f(x)

άρτηση f : R

ίτε τα όρια

1m

2

2

f (x) f(x)

f (x) 3

2x συν x

x 0lim f(x)

=1.

R είναι περιτ

το x 0lim[f(x-1)-

δών

αν

2f x 0, τό

ια στο R και

α βρείτε το

9, να βρεθεί

χύει

1f(x)

και

x 1lim g(x)

) g(x) 4

R R είναι

2

2x

0 για κάθε

ττή με

-f(1-x)]

ότε

ι

το

,

1.

xli

1.

Α

Β)

x

1.

f

Α

Β)

xli

Γ)

xli

1.

οπ

x

ότ

xli

1.

ιδ

Α

ρί

Β)

xli

.190 Αν xl

3im f(x)

.191 Έστω

Α) Να δ

) Αν f

R να δείξ

.192 Έστω

x y f x

Α) Να αποδεί

) Αν ισχύει ό

α

im f x f α

) Αν ισχύει ό

2

f x 2im

x 2

.193 Έστω


R * . Αν xlim

τι α 1 και ν

0

f(ημx)im

x

xl

.194 Έστω

διότητα: f(x)

Α) Αν η

ίζα το 1 να δ

) Αν xl

π4

f(ημx) fim

ημx σ

x 3

f(x) xlim

x-3


δείξετε ότι xli

2 2f (vx) ημ x

ξετε ότι 3v


f y , x, y

ίξετε ότι η f ε

ότι x 0lim f x

α για κάθε α

ότι

x 0

f xlim

x

2012 και xlim


ότι 3f x 2x

0

f(x)m α R

x

να βρείτε τα

x 0

f(f(x))im

x


xf(y) f

y

η εξίσωση f(x


x 1

f(x)lim 2

x 1

(συνx)συνx

2 , να βρεθε

η f με x 0

f(lim

x

x 0

f(vx)im 3v

x

x 2f(vx) ημ

1

η f για την ο

y R .

είναι περιττή

0 , να αποδ

α R

2012 να απ

0

f ημ(x) ηm

x

η f : R R *

2x f x 3ημ

R , τότε να α

2

2x 1

f(x xlim

x 3x

ηση *f : R

για κάθε

x) 0 έχει μο

f είναι 1 1

2 να βρείτε

17

εί το

(x)3

x

v , v 0

μx για κάθε

οποία ισχύει

ή

δείξτε ότι


ημ f(x)0

για την

3x , για κάθε

αποδείξετε

x)

2.

R με την

x, y 0

οναδική

1

το

7

ι

ε

18

http://users.s

ΜΗ ΠΕΠΕΡ

1.195 Ν

Α) x 4

2lim

x 3

Γ) x 4lim

x x

Ε) 2

3x 1

xlim

x

1.196 Ν

Α) 2x 1

limx

Γ) x 1lim

x x

Ε) x 1

xlim

x

1.201 Αν

βρεθούν τα

x 1lim f(x)

στ

1.202 Αν

βρείτε το xlim

1.203 Αν


1.204 Ν

3

x 1

x (λlim

sch.gr/mipap

ΡΑΣΜΕΝΟ

α βρεθούν(α

2 x

3 x 2

5 2x

2x 2 x

2

2

5x 4

3x 3x 1

α βρεθούν(α

x 1

2 x 1

Β)

2x 5x

x x x 1

2

5 x 31 (x 1)

ν 2

f(x)αx

α,β,γ R ώ

το σύνολο τω

ν

2

ημ

f(x)x

x

0m f(x)

για κά

ν 2

2xf(x)

x

4m f(x)

για κά

α βρείτε του

2

3

μ)x (2λ

x 3x

pagr

ΟΡΙΟ ΣΤΟ

αν υπάρχουν

Β) x 1lim

x

4 Δ)

x π

5lim

Στ) x 1lim

(

αν υπάρχουν

) x 0

x 1lim

x

Δ) x 0

3lim

συ

Ζ)x 0

3lim

1

Όρια Π

2

2

βx 2,

x 1γx 5

,x 1

ώστε να υπάρ

ων πραγματι

μ(αx)αν

xx x

αν2 x

άθε α R

x 1 αν

x λ αν

άθε λ R

ς λ,μ R ώσ

μ 1)x 3

2

ΧΟ

ν)τα όρια

2

2

x 3 2

x 2x 1

25 xημx

3

3 x 1

(x 1)

ν)τα όρια

16 4x

23x 2υνx 1

2

3

2x

συν x

Παραμετρι

x 1

x 1

να

ρχει το

ικών

x 0

x 0

να

x λ

x λ

να

στε :

μR

1.

xli

1.

βρ

1.

xli

1.

xli

ικών Συνα

1.

1.

1.

συ

πρ

1.

A

1.

.197 Α) Α

1img(x)

.198 Αν x

ρεθεί το x 1lim

.199 Αν xl

2im f(x)

.200 Αν xl

1

g(x) 2xim

x x

αρτήσεων

.205 Βρεί

.206 Βρεί

.207 Να α

υνάρτηση f(

ραγματικό ό

.208 Nα β

A) 2

2x 2

x xlim

x

.209 Nα β

ΣΥΝΑΡΤ

Αν x 1

h(x)lim

|x 2

2

x 1lim (x 4)

1f(x)

x 2

2x 3lim

f(x)

x 1lim g(x) 3

g(x) 6 4x

x x 1

στο Χο

ίτε το λ R ώ

ίτε τα λ,μ R

αποδειχτεί ότ

2

3 2

x -λxx)

x -3x

ριο στο 1 .

βρεθούν για

x 6

αx

` B

βρεθεί το xlim


| να βρ

)f(x) 3x 2

5 να β

3 να βρεθεί τ

x

ώστε x 9

xlim

(x

R ανx 1

λxlim

τι για κάθε λ

2

3x-1

δεν έχ

κάθε α R

B) 3x 1

xlim

x

2

4

x αm

(x 4)( x


ρεθεί το

να

βρεθεί το

το

2 2

5λ

λ )

μ x 28

x 3 2

λ R η

ει

τα όρια:

x α

7 2

2), α R

Γ Λυκείου –Μαθηματικά Θετικών Σπουδών 19

1.210 Βρείτε τα α,β, R αν 3

x 2

αx βx 6lim 4

x 2

Όριο συναρτησης στο απειρο

1.211 Να υπολογίσετε τα όρια

Α) x

lim x x x x

Β) 2 2

xlim x x 3 x

Γ) 2 2

xlim x x x 2 2x


Α) 2

x

x 2 xlim

x x 2

Β) x x 1

x 2 x 3x

e 3lim

e 3

Γ) 2

2x

x 2x 3 4lim

x 2x 5

Δ) x 0

3 2 log xlim

1 2 log x


Α) 2 2x

x 2ημxlim

x x 3

Β) 2

3x

xσυνx ημxlim

x

1.214 Να υπολογίσετε το x

xx

ln(1 3 )lim

ln(1 2 )

1.215 Να βρείτε το 2

xlim ημ x 1 x

1.216 Να βρείτε το

2

t

ln(t t 1)lim

ln t

1.217 Για την συνάρτηση f : 0, R

ισχύει

x

f xlim l 0,

x

Να βρεθεί το

x

ln f xlim

ln x

Παραμετρικά όρια στο απειρο

1.218 Αν 3 2(λ 1)x (λ μ)x μx 3

f(x) x 1

να

βρεθεί το xlim f(x)

για κάθε λ ,μ R

1.219 Αν 2x 2x 3

f(x) -αx-β x 1

να βρεθούν οι

α ,β R ώστε xlim f(x) 3β 11

1.220 Αν 2f(x) x 2x 3 λx να βρεθεί το

xlim f(x)

για κάθε λ R

1.221 Αν 2f(x) x 4 xημφ συνω με

0 φ ,ω π . Να βρείτε τα φ,ω ώστε x

3lim f(x)

2

1.222 Να βρεθούν οι α ,β R ώστε:

2

xlim x 2x 3 αx β 12

1.223 Για κάθε α 0 , να υπολογίσετε το

x -lim

x x

x xα 2 1α -2 1

,

1.224 Για κάθε α 0 , να υπολογίσετε το

x lim

x x 1

x 1 xα 2α 2

1.225 Να βρεθεί το όριο xlim f(x)

Αν

α β γ 0 με α ,β,γ R και

2 2 2f(x) α x 1 β x 2 γ x 3

1.226 Έστω η 2 2x κ

f x lnx

κ 0 Να

βρείτε τα όρια x 0lim f x

, x lim f x

x lim f(x) ln(x)

.

20

http://users.s

…

1.227 Έσ

ισχύει: 2 2

βρείτε τα

A) x 2

f(x)-lim

x

Γ) 2

x 2

f (x)lim

x

1.228 Ν

2 2f x g x

x R .

1.229 Αν

τότε να απο

1.230 Aν

x R , να α

1.231 Αν

x 3lim f(x)

1.232 Η

στο ox 2 κ

x 2 f x

1.233 Ν

1.234 **Έ

ισχύει 2f x


1.235 Απ

sch.gr/mipap


x f(x) x

-42

B)

)-162

Δ)

α βρείτε ταxl

x 2f x 4


οδείξετε ότι xl

ν 2f x 2f x

ποδειχθεί ότ

ν x 3lim 12f(x)

συνάρτηση

και για κάθε

2x 7x 10


Έστω η συνά

ημf x x

ότι

x

f xlim

x


pagr

ηση f για τη

2 , για κάθε

x 2

f(x)-4lim

x 2

2x 2

f(x)-1 -3lim

x 4

x 0lim f x

, xlim

4g x 5 x

o

2

x xlim f x

ox x

lim f x

xli

2x συν x

τι x 0lim f(x)

2) 4f (x) 9

f έχει πραγ

ε x R ισχύε

0 .Βρείτε το xl

ετε το x 0

xlim

x

άρτηση f γι

x για κάθε

x 12

x

x συlim

x η

ν οποία

x 0 . Να

4

2

3

0

m g x

αν

x , για κάθε

2g x 0 ,

ox

im g x 0

0 για κάθε

1

9 να βρείτε τ

ματικό όριο

ει

x 2lim f(x)

2

2

1x ημ

xx x

α την οποία

x R . Nα

2υν x

1ημx

το

1.

ισ

g

xli

τα

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

στ

γι

1.

x

κά

1.

.236 Δίνο

σχύουν x 2

2lim

(x) f(x) x

2

x 2im 1

h(x)

κ

α x 2limg(x)

,

.237 Βρεί

.238 Να β

.239 Να β

.240 Να β

.241 Να β

.242 Να β

.243 Να β

.244 Να β

.245 Η συ

το ox 2 κα

ια κάθε x R

.246 Για τ

2 2xf x f

άθε x R , ν

.247

ΣΥΝΑΡΤ


2g(x) 42

x 2

ημ(xx 2

(x 2

και για κάθε

x 2lim h(x)

και

ίτε το xlim

βρεθεί το







υνάρτηση f

αι ισχύει x

R . Να βρεθεί


2 2f x ημ

να αποδείξετε


αρτήσεις f , g

2)h(x) 2

2)

ε x R 2 .

ι x 2lim f(x)

2x ημx 1

x

x ημxlim

x ημx

2ημx συim

x

2 2

x 2ημxm

x x

3

xσυνx ηm

x

2x 3m

3 ημx σ

4ημx

3 συm

2

xημx 3συm

x 2x

έχει πραγμα

22 f x x

ί το x 2lim f(x)

.

ση f : R R

x 2xf x

ε ότι: x 0lim f x


g, h ώστε να

2 και

Να βρείτε

x

xx

υν2x

x

3

2μx

3συνx

μxυνx

υνx

2

ατικό όριο

7x 10

ισχύει

2ημ x για

x 0 f 0 .

α

α


ΣΥΝ1.248 Ν


2xf(x) 5x

1.249 Αν

συνεχής, βρ

1.250 Δί

x

αf(α)= lim

εξετάσετε ως

1.251 Αν

2ημ x 2xf(


1.252 Γι

ότι 2f x g

x R . Απ

0x /2

1.253 Μ

ιδιότητα 5f

ότι είναι συ

1.254 **

0 και ισχύε

βρείτε το f(

1.255 Αν

συνεχής, να


ΝΕΧα βρεθεί ο τύ

ς f αν ισχύε

2 ημx (x

ν x 2

f(x)-2xlim

x-2

ρείτε το x 2

xlim


2x 1 2

2x

α α

α 1

γι

ς προς τη συ


2x) f (x) η

ότι η f είνα

ια τις συναρτ

2g x 2f x

ποδείξτε ότι ο

Μια συνάρτησ

x f x x

νεχής στο ox

Αν η συνάρ

ει xxf(x) e

0)

ν 1f x l

x

α δείξετε ότι xl


ΧΕΙΑύπος της συν

ει ότι

x 1)(x 2) ,

x1 και η f

2xf(x)-2x 3fx-2

άρτηση f : 0

ια κάθε α 0

νέχεια τη συ

x R ισχύει ό

2ημ x x x 2

αι συνεχής στ

τήσεις f ,g : R

5 4g x

οι f , g είναι σ

ση f : R R

x x R . Ν

o 0 .

ρτηση f είνα

1 για κάθε

ln x και η f

1

1x 0

f x xlim

x f x

δών

Α νεχούς

x R

είναι

(2)-6x

, R με

0, . Να

νάρτηση f .

τι

2f(x) .Να

το ox 0 .

R R ισχύει

2συν x ,

συνεχείς στο

έχει την


ι συνεχής στο

x R , να

1 είναι

2x1

x

ε

ι

ο

ε

ο

1.

Α

ασ

Β)

1.3f

f

εί

1.

οπ

Α

Β)

Γ)

1.

Α

x l

Β)

1.

x

x

1.

στ

x

.256 Έστω

Α) Να αποδεί

συνεχής στο

) Να εξετάσε

.257 Έστω

3 x 3f x

2x(x) e 1

ίναι συνεχής

.258 Έστω

ποία ισχύει

Α) Να α

) Απο

) Να β

.259 Δίνε

Α) Να υ

lim f x

, x l

) Υπάρχει τ

.260 Η συ

0 1 και ισχ

, y R . Να α

.261 Έστω

το κα

, y R . Δείξτ

α R

ω 3

1x

2f xx

ίξετε ότι αν α

ox α .

ετε τη συνέχε

ω f : R R μ

2xe 1 , για

, x R κα

στο μηδεν


2f(x) 2f(x)



βρείτε το όρι

εται η f x


-lim f x

, x li

ιμή του α ώ

υνάρτηση f

χύει ότι f(xy)


ω ότι η συνάρ

ι ισχύει f x

τε ότι η f είν

2 1x ημ , αν x

xx, αν x

α 0 τότε η

εια της f για

με

α κάθε x R

αι να εξετάσετ

ση f : R R

2) συν x 0

ότι f(x) 1

f είναι συνε

ιο x 0

1lim xf

x

1x

1x

2 2, x

2 1 α, x

τα όρια:

0

im f x

, x lim

ώστε η f να είν

είναι συνεχή

) f(x) f(y)

τι είναι συνε

ρτηση f είνα

x y f x

ναι συνεχής σ

21

x α

x α

f είναι

α α 0

. Δείξτε ότι

τε αν η f

R , για την

, x R

x

εχής στο 0

x 0

0

0

m f x

ναι συνεχής;

ής στο

για κάθε

εχής στο R

αι συνεχής

f y 1 ,

στο R

1

22

http://users.s

Βασικά Θ

1.262 Ν

2

x 1εφ

x 2x


1.263 Ν

2 2κ λx x 1

δύο ρίζες, τι

μάλιστα ισχ

1.264 Έσ

α,β R , β

έχει δύο του

1.265 'Ε

συνάρτηση,

ότι υπάρχει

1.266 Εσ

ώστε f(0)

ox 0,π ,

1.267 Η

και για κάθ


B) Υπάρχο

1.268 Δί

το είν


f(x) 20 α

(α,β)

(α,β) 0,0

ox 0,1

sch.gr/mipap

Θεωρήματα


φx έχει στο δ

ν μια ρίζα


2μ0

x - 1 μ

ις 1 2ρ , ρ

χύει ότι 1

1ρ

στω η εξίσωσ

0 , α β 1

υλάχιστον ρί

στω f : α,β

, ώστε f(α)

ι ox [α,β] ,

στω f : [0,π]

f(π) . Να απ

ώστε of(x )

συνάρτηση

ε x R είνα

ότι: A) Η

ουν άπειροι α

ίνονται οι συ

,

ναι σημείο τη

, αποδείξτε

ν κοινό σημε

xx e g(x)

0

pagr

α

ε ότι η εξίσωσ

διάστημα 12


με κ , λ,μ 0

1,1 για τις

2 2

22

μ -λ1ρ κ

ση 3 2x αx

1 0 . Να απο

ίζες στο 1,

R , συνεχ

2α και f(β)

ώστε of(x )

R συνεχή

οδείξετε ότι υ

oπ

f x2

.


ι f(x) f(x

Η f είναι πε

α R ώστε f

υναρτήσεις μ

ης ευθείας

ε ότι οι ,

είο με τετμημ

21 β (ημx

2

fC

ση

π,

2 2

ση

έχει ακριβώς

οποίες

β 0 , με

οδειχτεί ότι

1

χής

2β . Δείξτε

2ox .


υπάρχει

εχής στο R

2) 0 Να

εριοδική

(α) f(α 2)

με τύπους

. Αν

, με

έχουν έν

μένη

συνx)

1y 20x

gC

ς

η,

ε

να

1.

εί

κα

f

1.

x

1.

f

Δε

7

1.

εξ

απ

1.

ότ

εξ

1.

1

απ

f

1.

συ

f

ώ

1.

συ

ώ

.269 Έστω

ίναι συνεχής

αι f x 0 γ

x f x 0

.270 Η συ

1,2 με f

o 1,2 ώ

.271 Eστω

: α,β R ,

είξτε ότι υπά

0f x f

.272 Αν α

ξίσωση αημx

πόλυτη τιμή

.273 Αν η

τι f x f 2

ξίσωση f x

.274 Αν η

1, 2 με f 2


2o o ox x x

.275 Η συ

υνεχής και υ

γβαf f

β γ α

στε of x x

.276 'Εστ

υνάρτηση. Δ

στε o of x x

ΣΥΝΑΡΤ


στο R και ι

για κάθε x R

για κάθε x

υνάρτηση f

1 f 2 , δε

στε 3f( 1) 4

ω η συνεχής σ

με f f

άρχει ox (α

2f 4f

α,β 0 , να

x β x έχει

δεν υπερβαί

η f είναι συνε

x 0 για κ

0 έχει μία τ


6 , και ακό

ι υπάρχει, ox

2o .


πάρχουν 0

γ1

α

. Να δ

2010ox

ω

είξτε ότι υπά

(S. Banach)

f : 0,1 0

o


η f : R R η

ισχύουν f 4

*R . Δείξτε ότ

*R και βρ


είξτε ότι υπάρ

o4f(2) 7f(x

συνάρτηση

, και γ

α,β) , ώστε


ρίζα της οπ

ίνει τον α β

εχής στο R κ

κάθε x ,δείξτ


η f είναι συν

όμη f 1 f 2

o 1,2 ώστ

: 0, 0

α β γ ώσ

δείξετε ότι υπ

συνεχής

άρχει

)

0,1

ox 0,


η οποία

f 4 0

τι

ρείτε το f 0

ής στο

ρχει

)

α,β .

ότι η

ποίας η

β .

και ισχύει

τε ότι η

ν ρίζα στο R

νεχής στο

2 8 , να

τε

0, είναι

στε

πάρχει ox

ς

τέτοιο 1


1.277 Ν

αν ισχύει

και

1.278 Αν


ox 0,1 ώ

o 1x α x

1.279 Ν

συναρτήσει

2f x 2f x

1.280 *∆

με 2f x 9


1.281 N


την ανίσωση

1.282 Έσ

οποία ισχύε

x 3,3 .


1.283 Βρ


Α) f

Β) f

1.284 Μ

ικανοποιεί τ

μπορούσε η

R

f 0 l


α βρείτε τη σ

ι

ν 1 2α ,α , ...,α

ότι υπάρχει,

ώστε

o 2x α .....

α βρεθούν όλ

ις f : R R α

x ημx 1 ,

∆ίνεται συνάρ

για κάθε x

ότι f x 3 γ

βρείτε το σύ

ς f x 4

η f x 0

στω η συνεχή

ει ότι 24x 9

ον τύπο της


ων

21 x

x , x

3x x συν

Μια συνεχής σ

τη σχέση: f

η f να είναι α

f xe 4x 4

ln 2


συνάρτηση

γι

1994α 0,1 .

ένα τουλάχι

o 1994x α

λες οι συνεχε

αν ισχύει ότι

x R

ρτηση f : R

R και f 0

για κάθε x R

ύνολο τιμών

x 2 x κα

ής συνάρτησ

29 f(x) 36

αν f 0 2

ολα τιμών τω

0 x 1

νx , x 0,π


1 f 2 f

αντιστρέψιμ

f

f x4e 0

δών

, συνεχή στο

ια κάθε

Να

ιστον

997.

είς

ι

R συνεχής

3 . Να

R

της

αι να λύσετε

η f για την

για κάθε

2

ων

/2

f : R R

3 f 4 . Θα

μη;

f

x R

ο

α

1.

υπ

η

1.

πα

g

δι

1.

συ

Έ

0

ω

1.

f

1.

f

1.

γν

x l

απ

ώ

1.

κα

απ

1.

γι

βρ

R

.285 Αν α

πάρχει ox

2oμ x α

.286 Να α

αραστάσεις τ

g x συν2x

ιαστήματος

.287 Οι σ

υνεχείς και ισ

στω ακόμα ό

0,1 . Να απο

ωστε of x

.288 Να β

αν f x

.289 Έστω

1 2 , να α

.290 Αν η

νησίως αύξου

0

lim f x γ


στε of x e

.291 Η συ

αι ισχύει f f


.292 Έστω

ια κάθε x R

ρείτε το f 5

α,β,γ R , ν

π0,

2

ώστε

2oημ x α


των συναρτή

τέμνονται σ

π0,

4

.


σχύει f g g


οδειχθεί ότι υ

ox και og x


24x 5πx π

ω συνεχής συ



υσα στο (0, +

R και x lim

ι υπάρχει μό

ox 1oe ln x

υνάρτηση f

(x) x για κ

ι υπάρχει α

ω f : R R σ

R ισχύει ότι f

να αποδείξετε

2oημ x α

ότι οι γραφικ

ήσεων f x

σε ένα μόνο σ

f,g : 0,1

g f για κάθ

γνησίως φθί

υπάρχει (τε)

ox

όσημο της συ

2π ημx , 0


τι f x 2 ,

η f είναι συν

+ ) με

m f x δ

όνο ένας αριθ

1 .


κάθε x R . Ν

R ώστε f α

συνεχής με f

f x ·f f x

23

ε ότι

3α

2

ές

x και

σημείο του

0,1 είναι

θε x 0,1 .

ίνουσα στο

ox 0,1

υνάρτησης

x 2π

R Z και

x R .

νεχής και

R , να

θμός οx 0

ής στο R

Να

α α

10 9 και

1 . Να

3

24

http://users.s

1.293 Α)

Β) Δί

R , να βρείτ

1.294 Έσ

συνεχής

1.295 Έσ

Α) Απ

Β) Αν

1.296 Έσ

, f 1 f 2

Α) f x 0

Β) Η συνάρ

Γ) Η f δεν

1.297 Έσ

είναι μία συ

1.298 Έσ

Α) Ν

Β) Αν

έχει μια του

β)

1.299 Έσ

x 0

f(x) 3lim

x

Α) Ν

Β) Ν

μόνο σημείο

sch.gr/mipap

) Να αποδείξ


τε την τιμή το

στω g x x

στω f : R R


ν η f είναι σ

στω συνεχής

f 3 f 4 Ν

0 για κάθε x

ρτηση g x

είναι αντιστ


υνεχής συνάρ

στω οι συνεχ

α βρείτε το f

ν f x 0 για

υλάχιστον ρίζ

) g x 0 γ

στω η συνεχή

3 και 2ημ

α βρείτε το σ


ο με τετμημέν

pagr

ξετε ότι η εξί

άρτηση f x

ου α R

2x xημx κα

R συνάρτηση

η f είναι συ

συνεχής στο

συνάρτηση


1, 4 ,

2f x f 1

τρέψιμη.

τηση g(x)

ρτηση ορισμ

χείς συναρτήσ

f 0

α κάθε x 0

ζα στο 0,2

ια κάθε x

ής και γνησίω

μ(x 1) (x

σύνολο τιμών

ι η γραφική π

νη 0x (0,1)

Γεν

ίσωση ln x 2

3

2

x 2 α

x x ln

αι 3x

f x

η, ώστε 2f x

υνεχής στο 0

R και ισχύει

f στο 1, 4

ε ότι:

f 2 έχει μια

β -αx

5 ορι

ένη στο R , ν

σεις f,g : 0,

0, 4 να δείξε

.

0, 4 .


21)f(x) x

ν της h(x) f

παράσταση τ

)

νικές Ασκή

2 x 1 0 έ

21 x 1 α

nα 1 α

3 2x συνx, α

g(x)α α

2 2x ημ x x

ι f α f β

για την οπο

α τουλάχιστο

ισμένη στο α

να δείξετε ότι

R με

ετε ότι: α)

α συνάρτηση

1 για κάθε x

f(x) ln x 3

της συνάρτησ

ήσεις

έχει μοναδικ

αν x 1

αν x 1

μ

αν g(x) 0

ν g(x) 0

2 , x R .

0 να δείξετε

οία ισχύουν:

ον ρίζα στο

α,β . Αν ισχύ

ι υπάρχει οx

g 0 1 κα

Η εξίσω

f : (0,1) R

x (0,1)

3

σης fg(x) e

ΣΥΝΑΡΤ

κή ρίζα

με α R Αν


ε ότι αβ 0 .

f x 0 για

1, 2 .

ύει 4α

f g5

ο [α ,β] ώστ

ι x f(x) g(

ωση x 2 f

R για την οπο

(x) 3 τέμνει τ


ν η f είναι συ

το α R αν

κάθε x 1,

βf(α)

5

τε οf(x ) f(g

(x) x 3f(x

x xf x 2

οία ισχύουν

την ευθεία y


υνεχής στο

η f είναι

4 , f 1 0

όπου f

οg(x ))

x) g(x)

2 x x 2

y x σε ένα


1.300 A)


B) Αν

Δ .

1.301 Έσ

κάθε x R .

1.302 Η

ότι:

Α. η

Β. Aν

Γ. υπ

Δ. f

1.303 Η

ορειβάτης ξ

Την άλλη μέ

επιστρέφει σ

ίδια ώρα κα

1.304 Η

να αποδείξε

ν2f ξ f

1.305 Έσ

A) Αν

B) Ν

1.306

Έσ

Α) Ν

Β) Ν


) Η συνάρτη

ότι θα είναι ε

ν η συνάρτη


Να αποδείξ

συνάρτηση

f είναι 1 1

ν η f είναι γ

πάρχει ox R

1 1

ανάβαση - ό

ξεκινάει την α

έρα ξεκινάει

στη βάση. Ν

αι τις δύο ημέ

συνάρτηση

ετε ότι υπάρ

1 2x f x f


ν η συνάρτη


στω συνεχής


α μελετηθεί ω


ηση f είναι σ

είτε f(α) f(β

ση f είναι σ

ηση f , συνεχ

ξετε ότι η εξίσ

f είναι συν

1

γνήσια μονό

R ώστε of x

όπως και η κ

ανάβαση στι

ι στις 6 το πρ

Να δείξετε ότι

έρες


ρχουν 1 2ξ ,ξ

3 vx ... f x

τηση f : IR

ση f είναι σ



ε ότι 3x f

ως προς τη σ

δών

συνεχής και 1

β) f(γ) είτε

συνεχής και 1

χής στο R κα

σωση f x 0

νεχής στο R ,

ότονη τότε είν

ox

ατάβαση - στ

ις 6 το πρωί κ

ωί την κατάβ

ι υπάρχει ένα

εχής στο α,

α,β ώστε

v

IR ώστε f

συνεχής στο σ

ρτηση f δεν

f : 0,

x 0

συνέχεια η συ

1 1 σε διάσ

ε f(γ) f(β)

1 1 στo Δ ,

αι ισχύει η σχ

0 έχει τουλά

και ισχύει f

ναι γνήσια φ

την ψηλότερ

και χωρίς να

βαση, σε 6 ώ

α τουλάχιστο

,β με f x

11

f xf ξ

2f x f f(x)

σημείο 0x 1


IR για την

υνάρτηση g

στημα Δ . Αν

f(α)

να αποδείξετ

χέση 3f x 4

άχιστον μια ρ

f f(x) x 4

φθίνουσα

ρη κορυφή το

α σταματήσει

ώρες, ακολου

ον σημείο τη

0 , x α,β

1 2f x f

v

4 για κά

1 , να υπολογ

ής στο 1, 2

ν οποία ισχύε

f x ημ

x

α,β,γ Δ μ

τε ότι είναι γ

24f x 6f x

ρίζα στο 0,1

4 2f x για

ου Ολύμπου

βρίσκεται σε

θώντας την ί

ς διαδρομής

. Για κάθε x

3x ... f

v

θε x IR κα

γίσετε το όριο

ει 3f x xf

2

f x2μ 1

x x1

f x

x

με α β γ

γνησίως μονό

3 2x x 2x

1

κάθε x R .

διαρκεί 6 ώρ

σε 6 ώρες στην

ίδια διαδρομ

ς όπου βρίσκε

1 2 3x ,x ,x ,..., x

vx και

αι f 2 1

ο x 1lim f(x)

3x x 0 ,

1 , x 0

, x 0

, x 0

25

, να

ότονη στο

6x 1 για

Να δείξετε

ρες. Ένας

ν κορυφή.

μή,

εται την

vx α,β

13 ημ

x 1

x 0,

5

26

http://users.s

1.307 Δί

Α) Ν

Β) Ν

Γ) Ν

1.308 Γι


1.309 Έσ

3f x 3f x

Α) ότ

Β) ότ

Δ) Ν

Ε) xlim

1.310 **

οποίου τα ά

ορισμού το

Α) Ν

Β) N

1.311 Δί

Η συνάρτησ

f f(x)

f f(x) 2

Για τη συνά

Α) f

Β) Υπ

Γ) f

Δ) υπ

Ε) οι

sch.gr/mipap

ίνεται η συνε


α βρείτε το σ


ια τη συνεχή

ε το και


x x για κά

τι η f είναι 1

τι η f είναι γ


0

f x 1m

x 3

* Αν f είναι

άκρα ανήκου

0,1 και με



ίνονται οι συ

ση f είναι συ

f f(x) 1

f f(x) 1

,

άρτηση g ισχ

x 0 , για κ

πάρχει ω R

1 f 2 f 3

πάρχει μια το

ι f και g δεν

f(0)

pagr

εχής συνάρτη

ε ότι η είνα

σύνολο τιμών



ι να αποδείξε

ηση f ορισμέ

άθε x R . Να

1 1 και να β

γνήσια αύξου


μια συνάρτη

υν στη γραφι

ε f 0 f 1

ε ότι υπάρχει

ε ότι υπάρχει


υνεχής στο R

, για κάθε x

χύει ότι g x

κάθε x R

R ώστε f ω

3 f 4

ουλάχιστον ρ

ν είναι αντισ

f

ηση με

αι αντιστρέψ

ν της συνάρτ

ση

f, ισχύει ότι:

ετε ότι υπάρχ

ένη στο R με


βρείτε τον τύ

υσα.

αι συνεχής στ

ηση, τότε λέγ

ική παράστα

0 .

ι οριζόντια χ

ι οριζόντια χ

f και g για τ

R με f x 0

R .

2f x f 1

2

ρίζα της g σ

στρέψιμες.

f f x

xf x e

ψιμη και να ο

τησης

έχει μο

χει, ένα τουλ

ε σύνολο τιμ

ε ότι

ύπο της αντίσ

Γ) f x

το μηδέν

γοντας χορδή

αση της f . Έσ

χορδή της f

χορδή της f

τις οποίες ισχ

0 , για κάθε x

1 f 2 , για κ

στο 1,2

x ln x ln

g x

1 0

32 x 4

ορίσετε την

οναδική λύσ

λάχιστον

μών το R , γι

στροφής της.

2

xx

f x 3

ή της f εννοο

στω ότι f είν

με μήκος 12

.

με μήκος 1ν

,

χύουν ότι:

x R , f 0

κάθε x R .

x 1

f

xf x e

2x 8 xf(

κ

ΣΥΝΑΡΤ

ση μεγαλύτερ

ώστε

ια την οποία

3 για κάθε x

ούμε ένα ευθ

ναι μια συνεχ

.

, όπου ν 1

1 , f 2009

Ν' αποδειχθε

1f

x(x) ημ x

6

(0,1] f


ρη του ένα

, . Ν

ισχύει ότι

x R

θύγραμμο τμ

χής συνάρτη

1, 2, 3...

2009 και

εί ότι :

6 x 4

κf κ ημ

6


Να

.

μήμα του

ση με πεδίο

6κ

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών μέχρι και τη Β Λυκείου

http://users.sch.gr/mipapagr 14.07

Μ. Π α π α γ ρ η γ ο ρ ά κ η ς

ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Φυσικοί: IN 0,1,2,3... , Ακέραιοι: Z ... 3, 2, 1,0,1,2,3... , Ρητοί: α

Q / α Ζ, β Ζ *β

, Άρρητοι Q

Πραγματικοί R Q Q , ενώ R R ,

Ισχύει: Ν Ζ Q R , Ενώ με Ν*, Ζ*, Q*, R * συμβολίζουμε τα αντίστοιχα σύνολα χωρίς το μηδέν.

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2 2 2α β α 2αβ β

3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β

2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2αγ

2 2α β α β α β

3 3 2 2α β α β α αβ β

22 2α β α β 2αβ

ν ν ν 1 ν 2 ν 3 2 ν 1α β α β α α β α β ... β

ν ν ν 1 ν 2 ν 3 2 ν 2 ν 1α β α β α α β α β ... αβ β με ν περιττο.

2 222 2 2 1α β γ αβ βγ αγ α β β γ γ α

2

3 3 3α β γ 3αβγ α β γ 0 ή α=β=γ Euler

2 22 2 2 2α β γ δ αγ βδ αδ βγ Lagrange

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. Επιτρέπεται να προσθέσω ή να αφαιρέσω από τα δύο μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό 2. Επιτρέπεται να πολλαπλασιάσω, να διαιρέσω και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό, ενώ πρέπει να αλλάξω την φορά της ανισότητας αν αυτός είναι αρνητικός. 3. Επιτρέπεται να υψώσω μια ανισότητα σε δύναμη με περιττό εκθέτη, ενώ πρέπει να έχει θετικούς όρους αν την υψώσω σε δύναμη με άρτιο εκθέτη (αν έχει αρνητικούς όρους και την υψώνω σε άρτιο εκθέτη πρέπει να της αλλάξω τη φορά) 4. Επιτρέπεται να προσθέσω δύο ανισότητες της ίδιας φοράς κατά μέλη 5. Επιτρέπεται να πολλαπλασιάσω δύο ανισότητες της ίδιας φοράς κατά μέλη εφ΄ όσον όλοι οι όροι είναι θετικοί.

6. Αν α,β θετικοί και οι δύο ή αρνητικοί αριθμοί και οι δύο τότε ισχύει η ισοδυναμία 1 1

α βα β

7. Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα: Αν α β και β γ τότε α γ . Η ιδιότητα αυτή μου επιτρέπει να «ενισχύω» μια

ανισότητα με κάτι μεγαλύτερο από το μεγάλο ή κάτι μικρότερο από το μικρό μέλος της.

8. ΙΣΧΥΟΥΝ: 2α β 0 , 2 2α β 2αβ , 1

x 2x

αν x 0 , 1

x 2x

αν x 0 , 22 22 α β α β

9. ΠΡΟΣΟΧΗ! ΔΕΝ ΑΦΑΙΡΟΥΜΕ, ΔΕΝ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΤΑ ΜΕΛΗ ΑΠΟΛΥΤΑ 1. Απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόσταση της εικόνας του αριθμού από την αρχή O του άξονα. 2. Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού x είναι ο ίδιος ο αριθμός.

Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού x είναι ο αντίθετος αριθμός. x αν x>0

x 0 αν x=0x αν x 0

3. x 0 για κάθε x R , 0 0 , x x 22 2x x x

4. x x και x x για κάθε x R ή x x x για κάθε x R και γενικότερα: f(x) f(x) f(x)

5. x θ x θ ή x θ , αν θ 0 x α x α ή x α

6. x θ θ x θ , αν θ 0 x θ x θ ή x -θ , αν θ 0

7. α β α β , αα

β β με β 0 α β α β α β για κάθε α,β R .

8. Η απόσταση δύο αριθμών στον άξονα ισούται με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους: d(α,β) α β

ΠΡΟΣΟΧΗ! Αν x y 0 τότε x 0 και y 0 . Αν 2 2α β 0 τότε α 0 και β 0 . Aν x y 0 τότε x 0 ή y 0

ΡΙΖΕΣ Ορισμός: νν α x x α με ν θετικός ακέραιος, α 0 , x 0

Ιδιότητες: 2ν 2νx x για κάθε x R , νν ν νx x x αν x 0 ,. μ

ν μνx x , x θετικός, μ ακέραιος, ν θετικός ακέραιος και

μν0 0 αν ν ,μ θετικοί ακέραιοι ενώ είναι

μ2μν 2μ 2 ννx x x , x R και ν ,μ θετικοί ακέραιοι

Με α,β 0 και ν ,μ,ρ Ζ ισχύουν ν να α , ν ν να β α β , ν

νν

α αββ

, β 0 , νννα β α β , ν ρ νμ ρ μα α ,

μ νμν μα α

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Για τη λύση του γραμμικού 2x2 συστήματος 1 1 1

2 2 2

α x β y γ

α x β y γ

Σ με τη μέθοδο των οριζουσών βρίσκουμε τις ορίζουσες

1 11 2 2 1

2 2

α βD α β α β

α β , 1 1

x 1 2 2 12 2

γ βD γ β γ β

γ β , 1 1

y 1 2 2 12 2

α γD α γ α γ

α γ και ισχύει ότι

Αν D 0 έχει μοναδική λύση την xx D D και yy D D , Αν D 0 και xD 0 ή yD 0 είναι αδύνατο, ενώ αν

x yD D D 0 τότε είναι αδύνατο ή αόριστο ή έχει άπειρες λύσεις.


http://users.sch.gr/mipapagr M. Παπαγρηγοράκης

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ: Ανοικτό: α,β x R /α x β , Κλειστό α,β x R /α x β ,

α,β x R /α x β , α,β x R /α x β , α, x R /x α , ,α x R /x α , κ.λ.π

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Η απόσταση των σημείων 1 1Α(x ,y ) και 2 2Β(x ,y ) είναι ίση με 2 22 1 2 1(ΑΒ) (x x ) (y y ) .

Το σημείο α,β είναι συμμετρικό ως προς:

τον x x με το α, β , τον y y με το α,β το O 0,0 με το α, β , την ευθεία y x με το β,α

Οι ευθείες 1 1y α x β και 2 2y α x β είναι παράλληλες αν και μόνο αν 1 2α α

Οι ευθείες 1 1y α x β και 2 2y α x β με 1 2α α 0 είναι κάθετες αν και μόνο αν 1 2α α 1

Μια συνάρτηση f λέγεται άρτια αν και μόνο αν για κάθε fx A ισχύει ότι: fx A και f x f x

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον y y

Μια συνάρτηση f λέγεται περιττή αν και μόνο αν για κάθε fx A ισχύει ότι: fx A και f x f x .

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας το O(0,0)

Μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της: Είναι γνήσια αύξουσα αν και μόνο αν για κάθε 1 2x ,x Δ ισχύει ότι: Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x

Είναι γνήσια φθίνουσα αν και μόνο αν για κάθε 1 2x ,x Δ ισχύει ότι: Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x .

Η μονοτονία μιας συνάρτησης καθορίζεται από το πρόσημο του λόγου μεταβολής: 1 2

1 2

f x f xλ

x x

Αν fC είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τότε η γραφική παράσταση της g με :

g x f x c , c 0 προκύπτει από την παράλληλη μετατόπιση της fC κατά c μονάδες πάνω

g x f x c , c 0 προκύπτει από την παράλληλη μετατόπιση της fC κατά c μονάδες αριστερά

g x f x είναι η συμμετρική της fC ως προς άξονα συμμετρίας τον x x .

g x f x είναι η συμμετρική της fC ως προς άξονα συμμετρίας τον y y .

f x αν f x 0g x f x

f x αν f x 0

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 11Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) αx β

a>0

O x

y

a<0

O x

y

a=0

O x

y

Η πολυωνυμική συνάρτηση 2f(x)=αx , α 0 .

O x

y

α>0 x O

y

α<0

Η πολυωνυμική συνάρτηση 3f(x)=αx , α 0 .

O x

y

α>0

O x

y

α<0

y=|x|

O x

y

y=-|x|

O x

y

Η ρητή συνάρτηση af(x)x

, a 0 .

O x

y

α>0

O x

y

α<0

Οι συναρτήσεις xxf )( , |x|xg )( .

y x

O x

y

y x | |

O x

y

y=ημx

y=συνx


M. Παπαγρηγοράκης


ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πολυώνυμο είναι κάθε παράσταση που μπορεί να πάρει τη μορφή: ν ν 1

ν ν 1 1 0P x α x α x ... α x α . με

ν ν 1 1 0α , α , ...α , α σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και x R

Το πολυώνυμο P x 0 έχει ρίζα τορ αν και μόνο αν P ρ 0 δηλ αν και μόνο αν P x (x ρ)π(x) .

Αν P x , Q x δύο πολυώνυμα με Q x 0 τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμα π(x) και υ(x) ώστε : P x Q(x)π(x) υ(x) . Τα

πολυώνυμα π(x) και υ(x) βρίσκονται κάνοντας τη διαίρεση P x : Q(x)

Το πολυώνυμο ν ν 1ν ν 1 1 0P x α x α x ... α x α

είναι το μηδενικό αν και μόνο αν ν ν 1 1 0α =α =... α =α 0 ενώ

δύο πολυώνυμα είναι ίσα αν και μόνο αν οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι. ΤΡΙΩΝΥΜΟ Τριώνυμο είναι κάθε παράσταση που μπορεί να πάρει τη μορφή 2αx βx γ με α 0 .

ΡΙΖΕΣ ΜΟΡΦΗ Δ 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις: 1

β Δx

2α

, 2β Δ

x2α

1 2f(x) α x x x x

Δ 0 Έχει μια διπλή ρίζα την 1,2

βx

2α

22 β

f(x) αx βx γ α x2α

Δ 0 Έχει δύο μιγαδικές ρίζες τις 1

β i Δx

2α

, 2β i Δ

x2α

2

2Δβ

f(x) α x2α 4α

TΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ αx β , α 0

Τιμές του x - 1x +

Πρόσημο του αx β , α 0 ετερόσημο του α 0 ομόσημο του α

Πρόσημο του τριωνύμου 2αx βx γ , α 0

Δ 0

Τιμές του x - 1x 2x +

Πρόσημο του 2αx βx γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α 0 ομόσημο του α

Δ 0

Τιμές του x - ο

βx

2α +

Πρόσημο του 2αx βx γ ομόσημο του α 0 ομόσημο του α

Δ 0

Τιμές του x - +

Πρόσημο του 2αx βx γ ομόσημο του α

Προσοχή!! 1. Αν για κάθε x R είναι 2αx βx γ 0 τότε είναι Δ 0 . Στην περίπτωση αυτή το τριώνυμο 2αx βx γ είναι

ομόσημο του α δηλαδή: 2α αx βx γ 0 για κάθε x R

2. Ισχύει 2αx βx γ 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x αν και μόνο αν ισχύει: Δ 0 και α 0

3. Ισχύει 2αx βx γ 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x αν και μόνο αν ισχύει: Δ 0 και α 0 , κ.λ.π.

4. Το τριώνυμο 2αx βx γ διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε πραγματικό x αν και μόνο αν ισχύει Δ 0

Η συνάρτηση 2f x αx βx γ , α 0 είναι παραβολή με κορυφή το σημείο β β Δ

, f2α 2α 4α

Σχέσεις ριζών συντελεστών: (τύποι Vietta) 1 2β

S ρ ρα

, 1 2γ

Ρ ρ ρα

Ενώ μια εξίσωση που έχει δοσμένες ρίζες 1 2ρ , ρ είναι η 2x Sx P 0

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών:

Γωνία ω

0 o30 ,

π6

o45 , π4

o60 , π3

o90 , π2

180, π 270, 3π2

ημω 0 1

2 2

2

32

1 0 1

συνω 1 3

2

22

12

0 1 0

εφω 0 3

3 1

3 0

σφω

3 1 33

0 0



Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι και αριθμοί:

1. 2 2ημ x συν x 1 ή 2 2ημ x 1 συν x ή 2 2συν x 1 ημ x , x R , εφx σφx 1 , πx R κ , κ Z

2

2. ημx

εφxσυνx

για πx R κπ ,κ : ακέραιος

2

συνxσφx

ημx για x R κπ,κ : ακέραιος

3. ημx 1 , συνx 1 , για κάθε x R , εφx R , σφx R

4. ημ(α β) ημα συνβ συνα ημβ , συν(α β) συνα συνβ ημα ημβ , εφα εφβ

εφ(α β)1 εφαεφβ

5. ημ2α 2ημα συνα , 2 2 2 2συν2α συν α ημ α 2συν α 1 1 2ημ α , 22εφα

εφ2α1 εφ α

6. 2 1 συν2xημ x

2

, 2 1 συν2xσυν x

2

, 2 1 συν2xεφ x

1 συν2x

(Τύποι αποτετραγωνισμού):

7. 22

11 εφ x

συν x , 2

21

1 σφ xημ x

2

α2εφ

2ημα α1 εφ

2

2

2

α1 εφ

2συνα α1 εφ

2

2

α2εφ

2εφα α1 εφ

2

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x 2κπ θ ήημx ημθx 2κπ π θ

με κ Ζ

x 2κπ θ ήσυνx συνθx 2κπ θ

με κ Ζ

εφx εφθ x κπ θ με κ Ζ

σφx σφθ x κπ θ με κ Ζ

Είναι: ημx 0 x κπ, κ Ζ ,

πσυνx 0 x κπ , κ Ζ

2 ,

πημx 1 x 2κπ , κ Ζ

2

πημx 1 x 2κπ , κ Ζ

2

συνx 1 x 2κπ, κ Ζ

συνx 1 x 2κπ π ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ: λύνονται με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου.

1. Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι γα β

2RημΑ ημΒ ημΓ

2. Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι 2 2 2α β γ 2βγσυνΑ

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Οι γωνίες 2κπ ω και ω έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με κ Ζ . Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο συν ω συν ω , και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς

αριθμούς ημ ω ημ ω , εφ ω εφω , σφ ω σφω . Δηλαδή η συνάρτηση f x συνx, x R είναι άρτια, ενώ οι

f x ημx, x R , πf x εφx, x κπ

2 , f x σφx, x κπ είναι περιττές συναρτήσεις.

Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν να πάρουν τη μορφή ο180 ω , π ω ή ο360 ω 2π ω , έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία ω με πρόσημο ή ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο η τελική

πλευρά της γωνίας τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντας ότι π0 ω

2

Οι γωνίες της μορφής ή που μπορούν να πάρουν τη μορφή ο90 ω , π

ω2 ή ο270 ω ,

3πω

2 , εναλλάσσουν

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία ω , δηλαδή το ημίτονο γίνεται συνημίτονο ή αντίστροφα και εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη ή αντίστροφα με πρόσημο ή ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας

τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, θεωρώντας ότι π

0 ω2

ΠΡΟΟΔΟΙ Αριθμητική πρόοδος ονομάζεται η ακολουθία αριθμών 1 2 να , α , ...α , …. στην οποία κάθε όρος προκύπτει από τον

προηγούμενο προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό, (διαφορά), ω .

Ισχύουν: ν 1α =α +(ν-1)ω , ν 1 2 3 ν 1 ν 1ν ν

Σ α +α +α + ... α α α 2α (ν 1)ω2 2

, ενώ αναγκαία και ικανή συνθήκη για να

είναι τρείς αριθμοί α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου είναι η 2β α γ

Γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται η ακολουθία των μη μηδενικών αριθμών 1 2 να , α , ...α , στην οποία κάθε όρος προκύπτει από

τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, (λόγος), λ .

Ισχύουν: (ν-1)ν 1α =α λ ,

ν

ν 1 2 3 ν 1λ 1

Σ α +α +α + ... α αλ 1

εφόσον λ 1 και ν 1Σ να αν λ 1 , ενώ αναγκαία και ικανή

συνθήκη για να είναι τρείς μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου είναι η 2β α γ


M. Παπαγρηγοράκης


ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ονομάζεται η συνάρτηση xf(x) α , 0 α 1 ορίζεται για κάθε x R και παίρνει τιμές στο 0, .

Αν 0 α 1 είναι γνησίως φθίνουσα ενώ αν α 1 είναι γνησίως αύξουσα.

Ορισμός του e: ν

ν

1lim 1 =2,7182818284590452353602874713527...=e

ν

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός x

αlog θ x α θ με 0 α 1 , θ 0

Νεπέριος λογάριθμος λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το e : yln x y e x με x 0 και y R .

Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το 10: ylog x y 10 x με x 0 και y R .

Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως λογάριθμος : για κάθε x R ισχύει: xx ln e ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση αf(x) log x , 0 α 1 ορίζεται στο 0, , έχει τιμές στο IR και είναι η αντίστροφη της xf x α

Αν 0 α 1 είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν α 1 είναι γνησίως αύξουσα ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: --- στις επόμενες ιδιότητες – όπου δεν γράφεται – τα περιεχόμενα των λογαρίθμων είναι θετικά ενώ οι βάσεις θετικές και όχι ένα. ln 1 0 ln e 1 xln e x ln xe x με x 0 P(x)ln e P(x) ln P(x)e P(x) με P x 0

α α αlog (x y) log x log y κα αlog x κ log x α α α

xlog log x log y

y με x 0 , y 0

ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε λογάριθμο: αln x

log xlnα

, γενικότερα ισχύει: αβ

α

log xlog x

log β , 0 α,β 1 , x 0

ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ σε εκθετική συνάρτηση : εκθέτης εκθέτη ln(βάσης)βαση e ή x xlnαα e

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ Οι συναρτήσεις xf(x) α και αf(x) log x με 0 α 1

Είναι αντίστροφες και έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x

(Διπλανά σχήματα) ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Αν 1 1Α(x ,y ) και 2 2Β(x ,y ) τότε 2 1 2 1AB x x ,y y

ενώ το μέσο M του AB είναι το 1 21 2 y yx xM ,

2 2

Αν α (x,y)

, τότε α x i y j

, 2 2|α| x y

, y

λ εφωx

, x 0

Έστω τα διανύσματα 1, 1α (x y )

και 2 2β (x ,y )

. Tότε: Ορίζουμε: 1 1

2 2

x ydet(α,β)

x y

= 1 2 1 2x y y x

1 2 1 2α β α β συν(α,β) x x y y

, α βσυν α,β

|α||β|

, αα ν α προβ ν

Ισχύουν 1, 1α (x y )

2 2β (x ,y )

α β 0

1 2 1 2x x y y 0

1, 1α (x y )

// 2 2β (x ,y )

det(α,β) 0

1 2 1 2x y y x 0

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ε είναι η: Αx Βy Γ 0 με A 0 ή B 0 . Ισχύουν:

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα 1 1A x ,y , 2 2B x ,y είναι 2 1ΑΒ

2 1

y yλ

x x

, 1 2x x

Η ευθεία (ε): Αx Βy Γ 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( Β,Α)

, στο διάνυσμα ε (Β, Α)

και έχει

συντελεστή διεύθυνσης A

λB

, εφόσον Β 0 ενώ είναι κάθετη στο διάνυσμα . p (Α,Β)

Η απόσταση ενός σημείου ο οΜ(x ,y ) από την (ε) είναι: ο ο

2 2

Αx Βy Γd(Μ,ε)

Α Β

Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ με 1 1Α x ,y , 2 2B x ,y , 3 3Γ x ,y είναι: 1

(ΑΒΓ) det(AB,AΓ)2

y=ax

y

1

1 y=logax

O x

α>1

y=ax

y=logax

1

1

O x

y

0<α<1



ΚΥΚΛΟΣ είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οxy τα οποία απέχουν σταθερή απόσταση ρ ,

(ακτίνα του κύκλου), από ένα σταθερό σημείο Κ , (κέντρο του κύκλου). Αν Μ(x,y) αυτά τα σημεία και

ο οΚ(x ,y ) τότε: 22 2o ox x y y ρ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ 2 2x y Ax By Γ 0 με 2 2Α Β 4Γ 0

Τότε έχει κέντρο το σημείο: Α Β

Κ ,2 2

και ακτίνα 2 2Α Β 4Γ

ρ2

Η εξίσωση του κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο είναι: oz z ρ 0 , με oz σταθερός μιγαδικός αριθμός και ρ R .

ΠΑΡΑΒΟΛΗ είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οxy τα οποία ισαπέχουν από μια ευθεία δ ,

(διευθετούσα) και ένα σταθερό σημείο Ε , (Εστία).

Αν Μ(x,y) αυτά τα σημεία και δ: p

x2

, Εp

( ,0)2

τότε: 2d M,δ ME y 2px .

Το πάνω τμήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y 2px , ενώ το κάτω της y 2px

Αν Μ(x,y) αυτά τα σημεία και δ :p

y2

, p

Ε 0,2

τότε: 2d M,δ ME x 2py .

Αυτή η παραβολή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: 21y x

2p

ΈΛΛΕΙΨΗ είναι το σύνολο των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου Οxy τα οποία έχουν σταθερό

άθροισμα αποστάσεων, 2α , από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε (εστίες), ( EE 2γ 2α .

Αν είναι E(γ ,0) , E ( γ,0) τότε: 22

2 2yx

ΜΕ ΜΕ 2Α 1α β

, 2 2 2β α γ .

Αν είναι E(0,γ) , E (0, γ) τότε: 22

2 2yx

ΜΕ ΜΕ 2Α 1β α

, 2 2 2β α γ .

Το πάνω τμήμα της έλλειψης 22

2 2yx

1α β

είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

2 2βy α x

α , ενώ το κάτω της 2 2β

y α xα

, x α,α . Αντίστοιχα ισχύουν για την 22

2 2yx

1β α

Εκκεντρότητα της έλλειψης ονομάζεται ο αριθμός γ

ε 1α

. Όταν γ

ε 1α

τότε η έλλειψη γίνεται ποιο πεπλατυσμένη, ενώ

όταν γ

ε 0α

η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος

ΥΠΕΡΒΟΛΗ είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων , 2α , από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε (εστίες), ( EE 2γ 2α ).

Αν Μ(x,y) αυτά τα σημεία και E ( γ,0) , E(γ ,0) τότε: ΜΕ ΜΕ΄ 2α 22

2 2yx

1α β

, 2 2 2β γ α .

Αν Μ(x,y) αυτά τα σημεία και E (0, γ) , E(0,γ) τότε ΜΕ ΜΕ΄ 2α 2 2

2 2y x

1α β

, 2 2 2β γ α

Το πάνω τμήμα της υπερβολής 22

2 2yx

1α β

είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης:

2 2βy x α

α , ενώ το κάτω της 2 2β

y x αα

, x , α α, , Εκκεντρότητα της

υπερβολής ονομάζεται ο αριθμός γ

ε 1α

.- Αντίστοιχα ισχύουν για την 2 2

2 2y x

1α β

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 22

2 2yx

1α β

είναι οι β

y xα

και β

y xα

ενώ της 2 2

2 2y x

1α β

είναι οι α

y xβ

και α

y xβ

.

Ισοσκελής υπερβολή λέγεται η υπερβολή: 2 2 2x y α .

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ: των παραπάνω καμπυλών στο σημείο τους o oΑ x ,y

ΚΩΝΙΚΗ 2 2 2x y ρ 2y 2px 2x 2py 22

2 2yx

1α β

22

2 2yx

1α β

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 2o oxx yy ρ o oyy p(x x ) o oxx p(y y ) οο

2 2yyxx

1α β

οο2 2

yyxx1

α β

Α(x1,y1)

M(x,y)

ε

Ο x

y

2:

pyδ

2,0

pE

y

x

O

x2=2py p>0

B

A΄ Α

B΄

x

y

)0,(γE O

),( yxM

)0,( γE

y

ax

y

ax

y

x Α΄

Ο

Ν

Μ Λ

Κ

Α

2:

pxδ

0,

2

pE x

M(x,y)

y

P

Α O

p>0

ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis A4 - …...2015 - 2016 M.Ι.Παπαγρηγοράκης...

Documents

Transcript of ckat sxol 2015-2016 papagrigorakis A4 - …...2015 - 2016 M.Ι.Παπαγρηγοράκης...