bkat sxol 2015-2016 papagrigorakis 3 - …...Β Λυκείου – 1 ΔΙΑ Ορισμοί – 1.01...

B Λυκείου Θετικών Σπουδών

4ο ΓΛΧ

2015-2016

Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά

Mαθηματικά Θετικών Σπουδών

Ταξη: Β Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών

Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση

αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της

Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Β Λυκείου –

1 ΔΙΑ

Ορισμοί –

1.01 Σε ο

Α) Δύο

B) Δύο

οποία έχουν

Γ) Δύο

1.02 Για

A)

B) Α

1.03 Έστ

δεν είναι συ

ισχύει OA

ΑΒΓΔ είνα

1.04 Δίν

ώστε ΑΔ Β

σημεία Γ,Δ

1.05 Δίν

ΑΓ . Θεωρο

ΜΛ ΒΑ

.

είναι συνευ

1.06 Δίν

τυχαίο σημε

ΡΑ ΡΓ Ρ

1.07 Τι σ

τετραπλεύρ

|ΟΑ ΟΓ|

–Μαθηματικά

ΑΝΥΣΜΑΤ

– Πράξεις

ορθογώνιο Α

ο ζεύγη ίσων

ο μη συγγραμ

ν ίσα μέτρα.

ο ζεύγη αντίθ

τα σημεία Α

AB ΔΓ Δ

ΑΔ

+ΒΓ

=Α

τω τα σημεία

υνευθειακά. Α

OΓ OB

αι παραλληλό

εται τρίγωνο

ΒΓ

και ΒΕ

Δ ,Ε είναι συ


ούμε τα διανύ

Να αποδείξε

θειακά

εται παραλλ

είο Ρ . Να απ

ΡΒ ΡΔ

συμπεραίνετε

ου ΑΒΓΔ ,στ

|ΟΒ ΟΔ|

γ

ά Θετικών Σπ

ΤΑ

ΑΒΓΔ να σημ

διανυσμάτω

μμικά διανύ

θετων διανυσ

Α,Β,Γ,Δ να

ΔB AΓ

ΑΓ

+ΒΔ

α Α,Β,Γ,Δ π

Αν για κάθε

OΔ

να απο

όγραμμο.

ο ΑΒΓ και τα

ΑΓ

. Να απο

υνευθειακά.

ο ΑΒΓ και το

ύσματα ΜΚ

ετε ότι τα σημ

ληλόγραμμο

ποδειχθεί ότι

ε για τις διαγ

το οποίο ισχύ

για κάθε σημε

πουδών

μειώσετε:

ων.

σματα, τα

σμάτων.

αποδείξετε ό

ου ανά τρία

σημείο O

δείξετε ότι το

α σημεία Δ,Ε

οδείξετε ότι τ

ο μέσο M τη

ΓΒ

και

μεία Κ,Α,Λ

ΑΒΓΔ και

ι

γώνιες ενός

ύει ότι:

είο O ;

ότι:

ο

Ε

τα

ης

Λ

1.

Ρ

ώ

Α

1.

Δ

απ

ση

1.

γι

απ

1.

κα

Α

Ε

1.

Α

Β)

Γ)

1.

Α

Β)

.08 Δίνετα

Ρ της πλευρά

στε: ΡΜ ΑΡ

ΑΒΜΓ είναι π

.09 Δίνετα

Δ ώστε να ισχ

ποδείξετε ότι

ημείο M .

.10 Δίνον

ια τα οποία ι


.11 Εξωτε

ατασκευάζου

ΑΛΚΓ , ΒΓΝΜ

ΕΛ ΚΝ ΜΔ

.12 Στο πα

Α) το AB

συν

) το ΓB

συν

) το ΓΔ

συν

.13 Στο πα

Α) το γ

συνα

) το θ

με συ

αι τρίγωνο Α

άς ΒΓ . Αν M

Ρ ΡΒ ΡΓ , ν

παραλληλόγ


χύει AΔ AΒ

ι: ΜB ΜΓ

νται τα σημεί

ισχύει ότι: A

ι τα σημείαA

ρικά ενός τρ

υμε παραλλη

Μ . Να αποδε

Δ 0

αρακάτω σχή

ναρτήσει των

αρτήσει των


αρακάτω σχή


υναρτήσει τω

ΑΒΓ και τυχα

M είναι σημεί

να αποδείξετ

γραμμο.

ΑΒΓ . Να βρε

Β AΓ

και ν

ΜΔ ΜA

γ

ία Α,Β,Γ,Δ

AΓ ΔΕ ΔΓ

A καιB ταυτ

ριγώνου ΑΒΓ

ηλόγραμμα Α

είξετε ότι

ήμα να γράψ

ν AΔ

, BΓ

,

AΔ

, AB

,

ν AΔ

, BΓ

,

ήμα να γράψ

ε,δ,ζ

ων γ,δ, ε,κ

Α

3

αίο σημείο

ίο τέτοιο,

τε ότι το

είτε σημείο

να

για κάθε

του χώρου,

ΒΕ

Να

τίζονται.

Γ

ΑΒΔΕ ,

ψετε

ΓΔ

ΓΔ

BΑ

ψετε:

Β

Δ

Γ

3

4

Γινόμενο

1.14 Έστ

ΓΔ τετραπ

ΑΓ ΒΔ 2

1.15 Αν

ΑΓ και ΒΔ


1.16 Έστ

ΟΑ α

, Ο

Να εκφράσε

διανύσματα

1.17 Σε έ

ΟΑ α και

πλευρά ΑΒ,

ΓΒ

, ΒΓ

, ΑΒ

γ .

1.18 Δίν

ώστε AΔ x

ότι το Δ είν

1.19 Έστ

σημεία E , Z

ΑΒ α

, ΒΓ

1.20 Αν

να αποδείξε

1.21 Αν

3ΟΑ 4ΟΒ

είναι συνευ

των Α και

1.22 Δίν

σημείο Ρ ώ

αριθμού μ

τωΚ , Λ τα

πλεύρου ΑΒΓ

2ΚΛ

Μ , N είναι

Δ ενός τετράπ

ότι: ΑΒ ΓΔ

τωΟ,Α,Β,Γ,Δ

Β β

, ΟΓ

ετε συναρτήσ

α ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ

ένα παραλλη

ι ΟΓ γ . Ένα

, έτσι ώστε Δ

Β

, ΑΔ

, ΟΔ

,


xAB yAΓ

,

ναι σημείο τη

τω παραλληλ

Z της ΑΓ ώ

βΓ

δείξτε ό

2ΑΛ 3ΒΛ

ετε ότι ΚΛ

για τα σημεί

7ΟΓ

. Nα

θειακά και ό

Β


ώστε να ισχύε

με διάνυσμ

μέσα των πλ

ΓΔ , να αποδε

ι τα μέσα των

πλευρου ΑΒ

2ΜΝ

Δ σημεία τέτ

α 2β

και Ο

σει των α

κα

Δ, ΑΓ, ΒΔ

ηλόγραμμο Ο

α σημείο Δ β

ΔΒ 2ΑΔ . Να

, ΔΓ

συναρτ

ο ΑΒΓ και έν

με x y 1 .

ης ευθείας ΒΓ

λόγραμμο Α

στε 4ΑΕ 4Ζ

ότι το ΕΒΖΔ

2ΜΒ

=ΑΚ

MΛ

.

ία Ο,Α,Β,Γ

δείξετε ότι τ

ότι το Γ βρίσ

ο ΑΒΓ . Να π

ει: ΑΡ

+ 3ΒΡ

μα

λευρών ΑΒ ,

είξετε ότι

ν διαγωνίων

ΓΔ να

τοια ώστε

ΟΔ 2α β

.

αι β

.τα

ΟΑΒΓ είναι

ρίσκεται στη

α εκφράσετε τ

τήσει των α ,

να σημείο Δ

. Να δείξετε

Γ .

ΒΓΔ και τα

ΖΓ ΑΓ . Αν

είναι παρ/μ

+ΑΜ

+ΒΚ

,

ισχύει

α Α,Β,Γ

σκεται μεταξύ

προσδιοριστε

= ΓΡ

ν

ην

τα

ν

μο

,

ύ

εί

1.

3

ότ

1.

ώ

Ν

1.

κα

Ο

Α

1.

δι

Ο

μη

συ

1.

ώ

απ

1.

πα

απ

1.

μέ

αν

1.

κο

A

1.

συ

ότ

.23 Αν για

ΕΒ 5ΑΒ 7

τι τα σημεία

.24 Έστω

στε: 3ΑΔ

= Α

Να αποδείξετε

.25 Δίνον

αι τα σημεία

ΟB 5α β

,

Α,Β,Γ είναι σ

.26 Δίνον

ιανύσματα θ

Ο, τα OA α

η συγγραμικ

υνευθειακά .

.27 Έστω

στε: 3ΑΔ

= Α


.28 Αν O

αραλληλογρ


.29 Δίνετα

έσα Ε και Ζ

ντίστοιχα. Ν

.30 Αν τα

οινό μέσον ν

AB AΓ AΕ

.31 Τα δια

υγγραμικά κ

τι κ λ 0

htt

α τα σημεία Α

ΕΑ 2AΔ 1

Β, Γ, Δ είνα

τρίγωνο ΑΒ

ΑΒ

, 2ΓΕ

=Β

ε ότι τα Δ ,Ε,

νται τα διανύ

Α,Β,Γ ,Ο . Α

ΟΓ 11α 3β

συνευθειακά


έσης ,ως προ

α , OB β , O

κά. Να δείξετ

τρίγωνο ΑΒ

ΑΒ

, 2ΓΕ

=Β

ι τα Δ,Ε,Ζ ε

, O είναι τα

ράμων ΑΒΓΔ

ι ΑΑ ΒΒ

αι παραλληλ

Ζ των πλευρώ


α τμήματα ΑΔ

να αποδείξετε

AΖ 2AΔ

ανύσματαακ

και ισχύει ότι

Δ

ttp://users.sch

Α, Β, Γ, Δ, Ε

10ΕΓ 0

, να

αι συνευθειακ

ΒΓ και τα σημ

ΒΓ

και 5ΑΖ

,Ζ είναι συν

ύσματα α

, β

Αν ΟA 2α

β

, να αποδε

ά και ότι ΒΓ

ία Α,Β,Γ με

ος σημείο ανα

OΓ 3α - 2β

τε ότι τα Α,Β

ΒΓ και τα σημ

ΒΓ

και 5ΑΖ

=

είναι συνευθ

α κέντρα δύο

Δ και Α Β Γ Δ

ΒΓ ΔΔ 4

λόγραμμο Α

ών του ΒΓ κ

ε ότι 2AΕ 2

Δ , ΒΕ και Γ

ε ότι

και β

δεν είν

ι κα λβ 0

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

h.gr/mipapagr

ισχύει ότι

α αποδείξετε

κά.

μεία Δ ,Ε,Ζ

Ζ

= 3 ΑΓ

.

νευθειακά.

β

με α //

β

3β

,

ίξετε ότι τα

2ΑΒ .

αφοράς το

όπου α ,β

Β,Γ είναι

μεία Δ,Ε,Ζ

= 3 ΑΓ

. Να

ειακά

ο

Δ να

4ΟΟ

ΒΓΔ και τα

και ΓΔ

2AΖ 3AΓ

ΓΖ έχουν

ναι


Α

r


1.32 Αν

ΑΒ, ΓΔ αντ

είναι το μέσ

Α) AB

Β) AΓ

Γ) AΔ

1.33 Αν

κέντρου Ο

το σημείο το

ΟΑ ΟΒ Ο

1.34 Δίν

εσωτερικό τ

Αν τα διανύ

ΟA α

και

και 5α

ΟΔ

1.35 Δίν

να ισχύει A

με λ,μ R *

1.36 Δίν

μεταβλητό σ

διάνυσμα α

σταθερό

1.37 Αν κοινό μέσον

AB AΓ A

1.38 Δίν

γεωμετρικό

ώστε να ισχ

A) ΜΑ

Γ) ΜΑ


Ε και Ζ είν

τίστοιχα, τετ

σον του ΕΖ ,

AΓ AΔ

ΒΔ 2ΕΖ

Δ ΒΓ 2ΕΖ

ΑΒ και ΓΔ

που είναι κά

ομής τους να

ΟΑ ΟΔ 2

εται ευθύγρα

του σημείο Δ

ύσματα θέση

ι OB β

, να

α 2β7


AΜ λAB μ

* . Να αποδεί

εται τετράπλ

σημείο Μ . Ν

ΜA 4Μα

τα τμήματα ν να αποδείξ

AΕ AΖ 2A


τόπο των ση

χύει:

Α BΓ

Α ΜΒ ΜΑ


ναι τα μέσα τ

τραπλεύρου

να αποδείξε

4AΚ

είναι χορδές

άθετες μεταξύ


ΟΣ

αμμο τμήμα

Δ τέτοιο ώστε

ης των Α και

α δείξετε ότι A

ο ΑΒΓ και ση

μAΓ

και ΒΜ

ίξετε ότι λ

λευρο ΑΒΓΔ

Να αποδείξετ

ΜΒ 2ΜΓ 3Μ

ΑΔ , ΒΕ καξετε ότι

AΔ

ο ΑΒΓ . Να β

ημείων Μ το

B) ΜΑ

Α ΜΓ

πουδών

των πλευρών

ΑΒΓΔ και Κ

ετε ότι

ς ενός κύκλο

ύ τους και Σ

ότι:

ΑΒ και ένα

ε 2

AΔ ΔB5

ι Β είναι

2AΔ (β α

7

ημείο M ώσ

Μ λAΓ μΒA

12μ .

και ένα

τε ότι το

ΜΔ

είναι

αι ΓΖ έχουν

βρείτε το

ου επιπέδου

Α ΜB

ν

Κ

ου

Σ

α

B .

α)

στε

A

1.

συ

ότ

B)

αρ

κ

δι

1.

κα

Ο

το

1.

εί

ση

Α

1.

ση

1.

Δ

εί

να

δι

1.

το

Α

δι

β

.39 A) T

υγγραμμικά

τι κ λ 0

) Να βρ

ριθμούς κ ,λ,

κα λ(α β)

ιανυσμάτων

.40 Δίνετα

αι σημείο Δ

Οι ΒΔ , ΑΜ τ

ο Ε είναι μέσ

.41 Έστω

ίναι σημείο τ

ημείο τομής τ

ΑΓ 4ΑΣ

.

.42 Δίνετα

ημείο Μ , ώσ

.43 Έστω

Δ ,Ε ώστε ΟΔ

ίναι το σημεί

α εκφράσετε


.44 Στο δι

ου ΒΓ και 3Α

Αν είναι AB

ιανύσματα B

.

Β

Tα διανύσματ

και ισχύει κα

ρείτε μη μηδε

μ έτσι ώστε

μ(α β) 0

α,β

.


στην πλευρά

τέμνονται στ

ο της ΑΜ κα

παραλληλόγ

ης ΑΒ ώστε

των ΑΓ , ΔΕ

αι τετράπλευ

στε: ΜΑ

+Μ

τρίγωνο ΟΑ

1Δ ΔΑ

3

κα

ο τομής των

το διάνυσμα

ΟΑ, ΟΒ

ιπλανό τρίγω

ΑΕ ΕΓ

α

και AΓ

BΖ

και AΖ

σΑ

∆

Ε

Ζ

ατα α

και β

α λβ 0

. Ν

ενικούς πραγ

να ισχύει

για κάθε ζεύ

ΑΒΓ , η διάμε

ά ΑΓ ώστε:

το Ε. Να απο

αι ΒΕ 3ΕΔ

γραμμο ΑΒΓ

ε 3ΑΕ ΑΒ

κ

Ε να αποδείξ

υρο ΑΒΓΔ . Ν

ΜΒ

+ΜΓ

+ΜΔ

ΑΒ . Θεωρούμ

αι 2

ΟΕ ΟΒ3

ευθειών ΑΕ

α ΟΡ συναρ

ωνο είναι το

β

, να εκφρά

συναρτήσει τ

Γ

5

δεν είναι

Να δείξετε

γματικούς

ύγος

εσος ΑΜ

ΓΔ 2ΔΑ .

οδείξετε ότι

.

ΓΔ . Αν Ε

και Σ το

ξετε ότι

Να βρεθεί

Δ

= 0

με σημεία

Β

. Αν Ρ

Ε και ΒΔ ,

ρτήσει των

Δ μέσον

άσετε τα

των α

και

5

6

Συντεταγ

1.45 Δίν

, λ R . Να

Α) Το Α να

Β) Το Α να

1.46 Έστ

σημείο

Α) B όταν

K 0,1

Β) B όταν

κύκλου με κ

1.47 Να

A κ 1,2

προς

A) το Ο

Β) τον

Γ) την

1.48 Αν

διαδοχικές κ

M 1,1 το σ

βρείτε τις άλ

1.49 Έστ

A) Το δ

B) Το

Γ) Το

1.50 Να

3 3α x y

αντίθετα.

γμένες διαν

εται το σημε

βρείτε τις τιμ

α είναι σημε

α είναι σημεί

τω το σημείο

τα A,B είνα

τα A,B είνα

κέντρο το K

βρείτε τα κ ,

B λ 2,λ

Ο 0,0

άξονα x x

ν ευθεία y x

τα σημεία A

κορυφές παρ

σημείο τομής

λλες κορυφές

τω σημείο A

διάνυσμα A

Γ όταν AΓ

Δ όταν 2AΔ

βρείτε τα x,y

,x y και β

νύσματος

ίο 2Α λ 4λ

μές του λ , ώ

ίο του άξονα

ίο μόνο του ά

A 2,3 . Ν

αι συμμετρικ

αι αντιδιαμετ

1,0

,λ R ώστε τ

λ να είναι συ

x

A 3,5 , B 1

ραλληλογράμ

ς των διαγων

ς του.

1,2 . Να

AB

όταν B 3

3, 5

Δ 3ΔΕ

και

y R , ώστε τ

β ( 7, 1)

ν

2λ 3,λ λ 6

ώστε:

α x x .

άξονα y y .

Να βρείτε το

κά ως προς

τρικά σημεία

τα σημεία

υμμετρικά ω

1,7 είναι οι

μμου και

νίων του, να

βρείτε:

3,0

Ε 3, 1

τα διανύσματ

να είναι

6

α

ως

τα

1.

β

να

Α

Γ)

1.

δι

αν

1.

ρί

βρ

ευ

ίσ

1.

Γ

Α

δι

Β)

γι

Γ)

Δ)

ορ

1.

κα

β

άξ

1.

άκ

.51 Δίνον

3, 2 . Ν

α είναι:

Α) u α β

) u κα

, κ

.52 Να βρ

ιανύσματα α

ντίρροπα.

.53 Οι τετ

ίζες της εξίσω

ρείτε τις τιμέ

υθυγράμμου

ση με 3 .

.54 Δίνον

Γ 5,7 και το

Α) Να βρ


) Να βρ

ια τις οποίες

) Να υπολογ

) Να αποδεί

ρθογώνιο στο

.55 Να υπ

αθένα από τα

β 0, 1 , γ

ξονα x x

.56 Να χω

κρα τα σημεί

htt


Να βρεθεί διά

Β)

R Δ)

ρείτε τις τιμές

α (x,1)

και

τμημένες των

ωσης: 2 2x (λ

ές του λ R ,

τμήματος Α


διάνυσμα x

ρείτε τις συντ

AB , BΓ κα


ισχύει: x B

γίσετε το μέτρ

ίξετε ότι το τρ

ο Γ.

πολογίσετε τη

α διανύσματ

2,0 , δ

ωρίσετε το ευ

ία Α(-1,2) κα

Δ

ttp://users.sch

ύσματα α=(-2

άνυσμα u=(x

u α β

u κα λβ

,

ς του x R ώ

β (9,x) να

ν σημείων Α

2λ 3λ 2)x

ώστε το μέσο

ΑΒ να έχει τε

ία A 2,9 , B

x (κ – 2,λ –5

τεταγμένες τω

αι ΑΓ

.

ς των πραγμ

BΓ–2AB

ρο του BΓ–2

ρίγωνο ΑΒΓ

η γωνία που

τα α 2 ,

1, 3 μ

υθύγραμμο τμ

αι Β(3,5) σε τρ


h.gr/mipapagr

2,4) και

x,y) ώστε

, κ ,λ R

ώστε τα

α είναι

και Β είναι

199 0 . Να

ο του

ετμημένη

B 3,4

5) .

ων

ματικών κ,λ

2AB

είναι

σχηματίζει

2 ,

με τον

μήμα με

ρία ίσα μέρη

Α

r

α


1.57 Αν

τιμές του x

Α) α

1.58 Έστ

βρείτε:

Α) σημ

τρίγωνοΜΑ

Β) σημ

να είναι ορθ

1.59 Για

σημεία 1M

3M α 2β,α

1.60 Να

σημεία Α 1


1.61 Να

σημεία Α(κ

Γ (κ, λ),με κ,

1.62 Να

γραμμικός σ

w 3,1

1.63 Να

οποίο είναι

1.64 Να

α 6,8

μ

1.65 Να

α 3 i β j


2α x 5x

R , έτσι ώσ

0

Β) α


μείο M της ε

ΑΒ να είναι

μείο N του x

θογώνιο στο

κάθε ,

α β,α β ,

α 2β είναι

βρείτε τις τιμ

1,0 , 2Β μ ,

ά

α βρείτε για π

κσυνφ,λημφ)

,λR* και 0<

γραφεί το δι

συνδυασμός

βρείτε το μο

ομόρροπο μ

βρείτε διάνυ

με μέτρο τριπ

βρείτε τα α,

y y και α


26,x 9 , ν

τε

α//x x

και

α Α 3,2 , Β

ευθείας y x

ισοσκελές Μ

x x , ώστε το τ

N

R , να εξετάσ

, 2M α β,α

ι συνευθειακ

μές του μR,

3 , Β 5μ,9

ποιες τιμές το

, Β (κημφ - λ

<φ<π, είναι σ

ιάνυσμα u

των v 2,

οναδιαίο διάν

με το α 2i

υσμα β

αντί

πλάσιο του

,β R αν ισχ

α 1 i 2β j

πουδών

να βρείτε τις

α 0

5, 4 . Να

x 1 ώστε το

ΜΑ=ΜΒ

τρίγωνο NΑ

σετε αν τα

α β και

κά

, ώστε τα

9 να είναι

ου φ , τα

λσυνφ) και


2,6 ως

1 και

νυσμα το

j

.

ίρροπο του

α

.

χύει ότι

i j

ς

ο

ΑΒ

ά.

1.

δι

1.

ση

συ

1.

δι

μη

v

u

1.

β

Α

εί

Β)

σχ

Γ)

γ

Δ)

αν

1.

Δ

στ

1.

Γ

μέ

Β

.66 Να βρ

ιανύσματος

.67 Να βρ

ημεία Α 1,0

υνευθειακά.

.68 Να βρ

ιανύσματος

η κυρτή γων

v 10

και είν

u 3, 4

.69 Δίνον

x,2x 1

Α) Να απ

ίναι συγγραμ

) Αν x

χηματίζει το

) Αν x

γ 3i

ως γρα

) Αν x

ντίρροπο του

.70 Έστω

είξτε ότι το δ

τη διχοτόμο

.71 Θεωρο

1, 1 και

έσον του τμή

ΒΔ


α

αν ισχύει


, 2Β μ ,3


v

αν είναι γ

ία με τον ημ

ναι παράλλη


με x R


μμικά για κά

3 να βρε

α

με τον άξ

1 , να γρά

αμμικό συνδι

2 , να βρε

υ α

που να έ

α

, β

, μη μη

διάνυσμα α

α

της γωνίας τ

ούμε τα σημε

13 1

Δ ,3 2

ήματος ΑΓ ε

τεταγμένες το

ότι α α

ς του μR, ώ

, Γ 5μ,9 ν

τεταγμένες το

γνωστό ότι σχ

μιάξονα Ox

ηλο προς το δ

ύσματα α

ι τα διανύσμ

άθε x R

είτε τη γωνία

ξονα x x

άψετε το διάν

ιασμό των α

είτε διάνυσμ

έχει μέτρο

ηδενικά διαν

α β

α β

είναι π

των α

και β

εία Α 3, 4 ,

. Να αποδε

είναι σημείο τ

7

ου

4,8

ώστε τα

να είναι

ου

χηματίζει

, έχει

διάνυσμα

x 1,2 και

ατα δεν

α που

νυσμα

και β

μα

10 .

νύσματα.

παράλληλο

Β 5, 3 ,

είξετε ότι το

της ευθείας

7

8

ΕΣΩΤΕ

1.72 Αν

και τη μέγισ

1.73 Δίν

πα,β

6

,

2α β

και

1.74 Δίν

α β α

1.75 Έστ

και β 1

κ

1.76 Αν

, να βρείτε τ

1.77 Αν

μέτρα και εί

2α β

, α

1.78 Έστ

β 2 α

κα

1.79 Αν

να δείξετε ό

1.80 Αν

α,β π /3

ΕΡΙΚΟ2 2x y 36

στη τιμή του

ονται τα δια

α 2

και

ι 2α 3β α


β

. Να αποδ

τω τα διανύσ

και πα,β

6

α 1

, β 2

το γ

και το

τα διανύσμα

ίναι κάθετα ν

2β

είναι κάθ

τω τα μη μηδ

αι α (α β)

α β

, α β

ότι α 3

κα

α 3(x 1

3 , να βρείτε

ΓΙΝΟΜ

, να βρείτε τ

υ 6x 8y

ανύσματα α

β 2 2

να

α β

ανύσματα α

δείξετε ότι: α

σματα α

και

π. Να βρείτε

2 , πα,β

3

α γ β γ

ατα α

και β

να αποδείξετ

θετα και έχου

δενικά διανύ

. Δείξτε ότι ό

β α 3β

αι β 1

1),2x , β

το x

ΜΕΝΟ

ην ελάχιστη

και β

όπου:

α βρεθούν τα

και β

με

β

β

με α

το α β

, α β γ

έχουν ίσα

τε ότι και τα

υν ίσα μέτρα

σματα α

,β

ότι πα,β

3

και α β

3 ,1 και

:

α

3

0

α.

με

π

2 ,

1.

,

δι

1.

α

x

1.

β

ότ

1.

στ

1.

δι

1.

α

α

1.

Α

σχ

δι

.81 Έστω

2 α β 2


.82 Δίνον

α β 1

, α

// α β

κα

.83 Έστω

β 2

, γ 3

τι α β β γ

.84 Αποδε


.85 Αν α

ιάνυσμα x

ώ

.86 Δίνον

α 1 , β 2,

α β γ .

.87 Έστω

Αν τα διανύσμ

χηματίζουν γ


htt


5 . Να βρείτ

2α β

και α


α,β π 3

. Ν

αι β α x


και α 2β

3γ α 1

είξτε ότι το δ

2β x

β xβ

=(-3,4), β

=(

ώστε x α 5


γ 5 , 2α

τα μοναδιαί

ματα γ 2α

γωνία 2π/3 ν

α

, β

Δ

ttp://users.sch

ατα α

, β

με

ίτε τη γωνία τ

α

ύσματα α

κα


ατα α,β,γ

μ

γ 0

. Να α

διάνυσμα β

για κάθε διά

(2,-5). Να βρ

5 και x β

ύσματα α

, β

3β γ 0

ν

ία διανύσματ

α 4β , δ α

να βρείτε την


h.gr/mipapagr

2πα,β

3

των

αι β

με

x

αν

ε α 1

,

αποδείξετε

είναι κάθετο

άνυσμα x

.

είτε

8 .

, γ

. Αν

να βρείτε το

τα α

, β

.

α β

ν γωνία των

Α

r

ο


1.88 Ανα

δύο κάθετες

οποίες η μια

1.89 Αν

προβολή το

1.90 Έστ

Α) Να

που ισαπέχε

Β) Να

κάθετες μετα

οποίες έχει τ

1.91 Έστ

βπροβ α 4

α β 2 β

1.92 Αν


και p //β

1.93 Να

έχει αναλυθ

οποίες η μία

1.94 Αν

εξίσωση: x

1.95 Σε π


βρείτε την γ

των αξόνων


αλύσετε το δι

ς μεταξύ τους

α έχει τη διεύ

α (2,3)

κα

ου α β

στο


βρείτε το ση

ει από τα Α

αναλύσετε τ

αξύ τους συν

τη διεύθυνση

τωα

, βμη μη

4β

και 4προβ

2

και α

α (1,2)

κα

α p

και q

ώ

και q β

βρεθεί διάνυ

θεί σε δύο κά

α είναι η 4,

1 α β 0

,

(x α) β γ

πλαγιογώνιο

α α

= (1, 2),

γωνία των μο

ν.


ιάνυσμα β

ς συνιστώσες

ύθυνση του α

αι β ( 1,4)

,

α β

.

αΑ( 3,5) , Β(

ημείο Μ του

και Β


νιστώσες, μια

η του MB


αβ β α

να δ

4 β

αι β (3, 4)

ν

ώστε να ισχύο

υσμα δ

με

άθετες συνιστ

2

, να λύσετε ω

γ

ο σύστημα αξ

β

= (3, 0) είν

οναδιαίων δι

πουδών

9,19 σε

ς, από τις

α 5, 3

.

να βρείτε τη

4, 2) :

άξονα yy

AM

σε δύο

α από τις

νύσματα. Αν

δείξετε ότι

να βρεθούν τ

ουν: α p q

δ 40

που

ώσες, από τις

ως προς x

τη

ξόνων τα

αι κάθετα. Ν


ην

ν

τα

q

υ

ς

ην

Να

ν

1.

α

εί

1.

ότ

1.

α

1.

δε

1

1.

Α

απ

ισ

1.

α

1.

οξ

1.

Ν

1.

α

.96 Αν για

α β γ 0

κ

ίναι ομόρροπ

.97 Αν ισχ

τι α β

.98 Αν α

α β α 3

.99 Αν α

είξετε ότι είν

221 α x

.100 Έστω

Αν ισχύει (ΑΒ


σοσκελές με κ

.101 Nα δε

α

1

α προβ β α

.102 Αν τα

ξεία γωνία, δ

.103 Δίνετα

Να λύσετε την

.104 Αν ισχ

α β α β

α τα διανύσμ

και 6 α 3β

πο του α

κα

χύει α β

β α β

.

, β

μη συγγ

αι αδύνατη

2 α β x

ΑΔ διάμεσος

Β ΑΓ)ΑΓ (Α

ι το ΑΒΓ είν

κορυφή το Α

είξετε ότι για

2α

1

α προβ β

α διανύσματα

δείξτε ότι

αι το διάνυσμ

ν εξίσωση x

χύει α β

2αβ

ματα α,β,γ

β 2 γ

να δ

αι αντίρροπο

1· α β

2

, ν

, να αποδεί

γραμικά διαν

η εξίσωση

2

1 β

ς του τριγών

ΑΔ ΒΓ)ΑΒ ν

ναι ορθογώνι

Α .

α κάθε *v N

v

1...

α προβ

α α

και β

σχ

,

σμα α 0

x α· x x

α β 2

να

9

ισχύει:

ειχτεί ότι β

ο του του γ

να δείξετε

ξετε ότι

νύσματα, να

0

νου ΑΒΓ .

να

ιο και

* ισχύει

vα

v

β αβ

χηματίζουν

det ,

8α·α

α δείξετε ότι

9

10 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

http://users.sch.gr/mipapagr

1.105 Aν α 3 ,1 αβ

και β

β 3,2

Α) Να βρείτε τη γωνία των α, β

.

Β) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος

β

στο διάνυσμα α

1.106 Για τις διανυσματικές ακτίνες ΟΑ

=α

,

ΟΒ

=β

και ΟΓ

= γ

των σημείων Α, Β και Γ

ισχύει ότι: α

= β 3

, γ

= 7 και α

+2β

-3 γ

= 0

Α) Δείξτε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Β) Να υπολογίσετε τα α

.β

, α

. γ

, β

. γ

καθώς και την γωνία των α

και β

Γ) Αν για το διάνυσμα x

ισχύουν οι : x

//(

β

- γ

) και ( x

+α

) (β

+ γ

) να δείξετε ότι x

=

214

(β

- γ

) και να βρείτε το x

1.107 Έστω α

και β

δύο μη συγγραμμικά

διανύσματα. Αν ισχύει ότι

αβ |α| α 2 |β| β

να υπολογίσετε την

γωνία των α

και β

και να αποδείξετε ότι η

απροβ β

είναι μοναδιαίο διάνυσμα ομόρροπο του

α

.

1.108 Δίνονται τα διανύσματα , ,

με

1

και 0

Α. Να αποδείξετε ότι:

α.

β. 2

4

και 1

Β . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

σημείων , , για τα οποία ισχύει ότι A

,

,

, καθώς και το είδος του τριγώνου

1.109 Για τα διανύσματα α ΚΑ

, β ΚΒ

,

γ ΚΓ

όπου τα Α, Β, Γ είναι σημεία του κύκλου

με κέντρο Κ και ακτίνα 1 ισχύει ότι α β γ 0

.

Έστω ότι Ε είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του Β

. Να δείξετε ότι:

Α) α β 1

Β) ΕΑ α β

Γ) AB 3

Δ) Το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

1.110 Έστω Ο ένα σημείο αναφοράς και

α ΟΑ

, β ΟΒ

, γ ΟΓ

, δ ΟΔ

, ε ΟΕ

διανύσματα, ώστε α β γ 0

, α β γ 1

.

Να δείξετε ότι: Α)

α β β γ γ α 1

Β) 1

α β β γ γ α2

Γ) α β β γ γ α 3

Δ) Τα διανύσματα α β

και α β

είναι

κάθετα μεταξύ τους.

Ε) Αν φ είναι η γωνία α β

και β γ

και

ω είναι η γωνία των α β

και β γ

τότε

2συνφ 2συνω 1

1.111 Στο διπλανό σχήμα το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο

και ΑΒ 10 . Να υπολογίσετε

τα AB AΓ

, AB ΓΒ

, AB ΑΔ

,

BΓ ΑΔ

, AB ΒΓ

1.112 Στο διπλανό σχήμα το

τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Να αποδείξετε ότι

ΜA ΜΓ ΜB ΜΔ

Α

Μ

Δ Γ

Β


2 ΕΥ

Να βρεθεί η

2.01 Διέρ

παράλληλη

Εφαρμογή:

2.02 Διέρ

κάθετη σε ευ

Εφαρμογή:

2.03 Διέρ

σχηματίζει γ

α) Α (-

β) Α (4

2.04 Είνα

Εφαρμογή:

2.05 Διέρ

παράλληλη

- 2)

2.06 Διέρ

κάθετη σε δ

2.07 Διέρ

δοσμένη γω

Εφαρμογή:

2.08 Απέ

(ε΄). Εφα

d =

2.09 Να

είναι παράλ

και ορίζουν

12 τ.μ.


ΥΘΕΙΑ

η εξίσωση της

ρχεται από σ

σε ευθεία (ε

Α (1, - 1) κα


υθεία (ε΄).

Α (- 1, 1) κ


γωνία φ με τ

- 2, 3) και

4, - 5) και

αι μεσοκάθετ

Α (- 2, 1)

ρχεται από τ

σε διάνυσμα

και ν

=


ιάνυσμα ν

.


ωνία με γνωσ

Α (3,-1) ω

έχει απόστασ

αρμογή:

= 2 από

α βρείτε τις εξ

λληλες προς

ν με τους άξο


ς ευθείας (ε)

σημείο Α (x0,

΄).

αι (ε΄): 2x+y


και (ε΄): 2x+y


τον x΄x. Εφα

φ = 30

φ = 90

τη σε γνωστό

και Β (2

το Α (x0, y0) κ

α ν

. Εφαρμ

(0, 1)

το Α (x0, y0) κ

Εφαρμογή

το Α και σχη

στή ευθεία (ε)

ο45 , (ε) : y

ση d από γνω

(ε΄): 2x+y-1=

ξισώσεις των

την ευθεία

ονες τρίγωνο

πουδών

όταν:

y0) και είναι

- 1 = 0

y0) και είναι

y+1=0

y0) και

αρμογή:

ό τμήμα:

2, 3)

και είναι

μογή: Α (3

και είναι

ή: Α (5, - 2)

ηματίζει

)

2x

ωστή ευθεία

= 0

ν ευθειών που

2x - 3y - 12 =

με εμβαδόν

ι

ι

(3,

και ν

=

υ

= 0

2.

το

2.

ε2

ση

στ

2.

Β

συ

βα

πε

2.

2

Π

2.

αν

A

2.

ση

+y

ση

πρ

2.

2)

y-

τω

2.

δι

εξ

τι

= (- 1, 3)

.10 Διέρχε

ους άξονες τρ

.11 Έστω

2: -x+4y+3=0

ημείο Μ της

την ε2.

.12 Δίνετ

(3, - 2) και Γ

υντεταγμένες

αρυκέντρου

ερικέντρου τ

.13 Να απ

2y2-3xy-2x2=0

Ποια είναι η σ

.14 Nα βρ

ν είναι B 1,2

AM : x 2y

.15 Φωτε

ημείο Σ (2, 3

y+1=0, μετά

ημείο Μ (1, 1

ροσπίπτουσα

.16 Τριγώ

) και οι εξισώ

-1=0 δύο δια

ων πλευρών τ

.17 Σε ένα

ιάμεσος ΒΜ

ξισώσεις x y

ις εξισώσεις τ

εται από το (

ρίγωνο εμβα

οι ευθείες ε1:

και το σημεί

ε1, ώστε το μ

ται τρίγωνο Α

(1, 4). Να βρ

ς του ορθοκέ

του εκκέντρ

του.


0 παριστάνει

σχετική θέση

ρεθούν οι κορ

2 , AΓ : 2x

1

ινή ακτίνα δ

3) και προσπί

την ανάκλασ

1). Να βρεθο

ας και της αν

ώνου ΑΒΓ δίν

ώσεις x-3y+1=

αμέσων του. Ν

του τριγώνου

α τρίγωνο Α

και το ύψος

y 4 0 και

των πλευρών

(-1,2) και σχη

αδού 3 τμ

: 2x - 3y + 1 =

ίο Α (1, - 2). Ν

μέσο του ΑΜ

ΑΒΓ με Α (- 1

ρεθούν οι οι

έντρου του

ρου του και τ

ι η εξίσωση

ει ζεύγος δύο

τους;

ρυφές τριγώ

y 5 και η δ

διερχόμενη α

ίπτουσα στην

σή της διέρχ

ούν οι εξισώσ

νακλώμενης

ίνονται η κορ

= 0 και

Να βρείτε τι

ου ΑΒΓ.

ΑΒΓ είναι A

ς ΓΔ έχουν α

3x y 4 0

ν του τριγώνο

11

ηματίζει με

= 0,

Να βρεθεί

να ανήκει

1, 2),

του

ευθειών.

ώνου ΑΒΓ

διάμεσος

από το

ν ευθεία x

εται από το

σεις της

ακτίνας.

ρυφή Α (1,

ις εξισώσεις

1,1 . Η

αντίστοιχα

0 . Να βρείτε

ου .

1

ε

12

2.18 * Δί

2ε : 2x y

των δύο ευθ

που περνά α

την 2ε στο

2.19 Να

ενός τριγών

έχουν εξισώ

4x 5y 9

2.20 **Σε

εξισώσεις το

είναι αντίστ

βρεθούν οι

του.

2.21 Ένα

ΑΒ στην ευ

συντεταγμέν

τετραγώνου

2.22 Nα

που να διέρ

σχηματίζει μ

τρίγωνο

2.23 Δίν

ΑΒΓ . Έστω

ΒΓ . Αν Δ κ

ΑΒ και ΑΓ

μεσοκάθετο

σημείο.

2.24 Είνα

το ίδιο μέρο

ίνονται οι ευ

3 και το σημ

θειών να βρε

από το Δ κα

B έτσι ώστε

βρείτε την εξ

νου ΑΒΓ , αν

ώσεις 1ε : x

ε τρίγωνο Α

ου ύψους ΑΔ

τοιχα x 2y


α τετράγωνο

υθεία: x y

νες K 1,2 ν

υ.


ρχεται από το

με τους αρνη

εται ορθογώ

ω Μ μεταβλη

και Ε είναι ο

Γ αντίστοιχα

ος του ΔΕ δι

αι τα σημεία

ος της ευθεία

υθείες 1ε : x

μείο Δ 5,2.

θεί η εξίσωση

αι τέμνει την

ΓB AB

ξίσωση της π

ν A 2,3 και

4y 4 0 κ

ΒΓ με Β 1,

Δ και της διχ

4 και x y

νες των άλλω

ΑΒΓΔ έχει τ

1 0 . Αν το

να βρείτε τις

ότι δεν υπά

ο σημείο M(1

ητικούς ημιά

ώνιο και ισοσ

ητό σημείο τη

οι προβολές

α, να αποδείξ

έρχεται από

α 1, 2 και

ας 3x 5y 2

y 0 και

.Αν A η τομ

η της ευθείας

1ε στο Γ κα

πλευράς ΒΓ

ι δύο διαμέσο

και 2ε :

,3 οι

χοτόμου ΑΕ

y 3 . Να

ων κορυφών

την πλευρά

κέντρο K έχ

κορυφές του

ρχει ευθεία

1,2) και να

άξονες

κελές τρίγων

ης πλευράς

του Μ στις

ξετε ότι η

σταθερό

2,1 προς

;

μή

ς

αι

οι

χει

υ

νο

ς

2.

3

2.

ση

3

2.

ευ

το

ευ

2.

τε

3x

πλ

2.

ευ

2.

ζ

πο

η

η

2.

τε

2.

ε

η

Α

πα

Β)

να

Γ)

απ

.25 Να βρ

3,1 ως προς

.26 Να βρ

ημείων, τα οπ

x 2y 4 0

.27 Ένα σ

υθεία y = x. Ν

ου Ρ ως προς

υθεία 7x-y-2=

.28 Το ση

ετραγώνου ,

x-2y-5=0. Να

λευρών του.

.29 Να βρ

υθειών 3x-y+

.30 Έστω

ζ : 5x 12y

ου είναι παρ

η , ε είναι

η και ζ .

.31 Να βρ

ετραγώνου Α

.32 Δίνον

ε : λ 1 x

η : λ 2 x

Α) Να απ

αριστάνουν

) Να βρ

α είναι κάθετ

) Να απ

πό σταθερό σ

htt

ρείτε το συμμ

την ευθεία 2

ρεθεί ο γεωμε

ποία ισαπέχο

0 και 3x 2y

σημείο P του

Να δείξετε ότ

την ευθεία x

=0

ημείο A (3,-1)

του οποίου μ

α βρεθούν οι

ρεθεί η μεσοπ

+1= 0 και -6

οι ευθείες ε

20 0 . Να

ράλληλη αυτέ

διπλάσια απ

ρείτε τις κορυ

ΑΒΓΔ , αν A

νται οι εξισώσ

2λ 4 y λ

3λy λ 4


ευθεία, για κ


τες.


σημείο

ttp://users.sch

μετρικό του σ

2y x 1

ετρικός τόπο

ουν από τις ε

y 6 0

υ επιπέδου κι

τι το συμμετρ

x+2y-1=0 κιν

) είναι κορυφ

μία πλευρά έ

εξισώσεις τω

παράλληλη τ

6x+2y-3=0

ε : 5x 12y

α βρείτε την ε

ές και η απόσ

πό την απόστ

υφές B και Δ

3,3 και Γ

σεις

3λ 2 0

0 με λ R

ι (ε) και (η)

κάθε τιμή του

ς λ , έτσι ώσ

ι η ευθεία η

ΕΥΘΕΙΑ

h.gr/mipapagr

σημείου

ος των

ευθείες

ινείται στην

ρικό σημείο

νείται στην

φή του

έχει εξίσωση

ων άλλων

των

10 0 και

ευθεία η ,

σταση των

ταση των

Δ ,

1,3

και

.

υ λ .

στε οι ευθείες

διέρχεται

Α

r

ς


2.33 Να

2 2α β γα

α β γ

2.34 Να

2λ 3λ 2 x

παριστάνει

σημείο για κ

2.35 Να

(x+y-5)+λ(2

ευθεών που

κάθε λ IR

και 2x+y=7

2.36 Να

xσυν2θ2 + yη

ευθεία που δ

2.37 Να

23λ +λ+2 x


λ IR .

2.38 Να

ευθειών(μ +

μx - (3μ+2)y

2.39 Για

(μ + 1) x - 2

Α) τέμν

2.40 Να

ευθειών 2x

2.41 Να

ανήκει στην

x y 4



2α x γ αβ

0 , παριστά


2x 2λ 3λ 1


κάθε λ IR .


2x+y-7)=0 πα

διέρχεται απ

. Να εξετάσε

7 ανήκουν στ

α αποδειχθεί

ημ2θ2 + συνθ



2x- 5λ +λ+1


βρείτε τον μ

+ 1) x +(μ + 2

y+7=0 να είν

α ποιες τιμές

2μy = λ και (

νονται Β)

υπολογίσετε

22xy 3y

α εξετάσετε α

ν οικογένεια

λ x 3y 4


ότι η εξίσωση

β βγ y 2α

άνει ευθεία


21 y 7λ 12λ


.


αριστάνει οικ


ετε αν οι ευθ

την οικογένε

ότι η εξίσωσ

θ-1=0, θ[0,π



2y+7λ +λ=0


μ, ώστε η γων

)y=0 και

ναι 90

των λ,μR ο

(μ - 1) x - 3y =

ταυτίζοντα

ε την οξεία γ

0

ν η ευθεία x

ευθειών

0 .

πουδών

η:

αβγ 0 με

η

λ 5

ό σταθερό

η

κογένεια

σημείο για

είες x+y=5

εια αυτή.

η

π] παριστάνε

ημείο

η


ημείο για κά

νία των

οι ευθείες

=2λ-1:

αι

ωνία των

1998y 4

ει

άθε

2.

επ

Α

λ

ση

2.

x

δύ

γε

2.

πο

x

2.

Β(

ΒΓ

αν

στ

ΓΕ

2.

βρ

τα

απ

2.

ση

2.

λλ

ση

.42 Να πρ

πάνω στους ο

Α 2 5λ,1

λ,μ R . Στη

ημείο αυτών

.43 Να απ

2 2y 4λy

ύο ευθείες κά

εωμετρικός τ

.44 Να βρ

ου σχηματίζο

3y 5 0 .

.45 Έστω

(0,0) και Γ (6

Γ που τέμνει


την οποία κι

Ε.

.46 Δίνετα

2λ 1 x λ

ρείτε το γεωμ

α οποία διέρχ

πό την 1

.47 Να βρ

ημείων M λ

.48 Να απ

2 2λ 1 x λ

λ 1 x λ

ημείο, τότε α

ροσδιοριστού

οποίους κινο

2λ και Β 6

συνέχεια να

των γεωμετρ


22λx 3λ

άθετες μεταξύ

τόπος του σημ

ρείτε τη διχοτ

ουν οι ευθείε

τρίγωνο ΑΒ

, 0) και ευθεί

τις ευθείες Α

Να βρεθεί η εξ

νείται το σημ

αι η οικογένε

2λ λ 1 y

μετρικό τόπο

χεται μια μόν


2 2λ , 2λ 3 ,


1 y λ κ

21 y λ . έχο

αυτό κινείται

ύν οι γεωμετ

ούνται τα σημ

6 7μ, 3 μ

προσδιορισ

ρικών τόπων

ι η εξίσωση

0 , λ R πα

ύ τους. Να β

μείου τομής

τόμο της οξε

ες 3x y 1

ΒΓ με κορυφέ

ία παράλληλ

ΑΒ και ΑΓ στ

ξίσωση της γ

μείο τομής τω

εια ευθειών

0 , λ R 1

ο των σημείω

όνο ευθεία πο


λ R .

ι αν οι ευθείε

και ζ :

ουν ένα ακρ

ι σε μια ευθεί

13

τρικοί τόποι

μεία

όταν

τεί το κοινό

ν.

αριστάνει

ρεθεί ο

τους

ίας γωνίας

0 και

ές Α(5,3),

λη προς τη

τα Ε και Δ

γραμμής

ων ΒΔ και

1 . Να

ων Μ , από

ου ορίζεται

των

ες ε :

ιβώς κοινό

ία .

3

14

3 ΚΥ

3.01 Να

2 2x y 5 ,


3.02 Να

διάμετρο το

Β (- 3, 5)

3.03 Να

κέντρο το ση

αρχή των αξ

3.04 Να

εγγεγραμμέ

ευθεία x+y -

3.05 Να


ευθείες 3x+y

3x + y - 12 =

3.06 Να


x΄x και y΄y

3.07 Να


y΄y

3.08 Να

το κέντρο το

2x +y+1= 0

και Β (3,0).

3.09 Να

ακτίνα 2 , έ

και εφάπτετ

ΥΚΛΟΣ

βρείτε τις εφ

, που διέρχον

ότι οι εφαπτό

βρεθεί η εξίσ

ο ευθύγραμμ


ημείο (8,- 6)

ξόνων


ένος στο τρίγ

- 6 = 0 με του


πό το σημείο

y+6=0 και

= 0.


ημείο (3, 3) κ


ημείο (- 3, 2)


ου στην ευθε

0 και διέρχετα


έχει το κέντρο

ται στον x x

φαπτόμενες τ

νται από το

όμενες αυτές

σωση του κύκ

ο τμήμα ΑΒ


και διέρχετα


γωνο που σχη

υς άξονες x΄x


ο (2,1) και εφ


και εφάπτετα


, εφάπτεται σ


εία

αι από τα ση

ξίσωση του κ

ο του στην ευ

του κύκλου

A 3,1 και ν

ς είναι κάθετε

κλου που έχε

με Α(1,3) κα


αι από την

κλου που είν

ηματίζει η

x και y΄y.

κλου που

άπτεται στις


αι των αξόνω

κλου που έχ

στον άξονα


ημεία Α(-1, 2)

κύκλου με

υθεία y 2x

να

ες

ει

αι

ει

ναι

ς

ει

ων

χει

ει

)

x

3.

δι

απ

μή

3.

ακ

απ

3.

δι

κέ

3.

ση

3.

x

το

με

3.

x

3.

κύ

3.

το

στ

3.

οπ

ση

.10 Να βρ

ιέρχονται απ

ποκόπτουν α

ήκους 10

.11 Να βρ

κτίνα 4, εφάπ


.12 Να βρ

ιέρχεται από

έντρο πάνω σ

.13 Να βρ

ημεία (-3,4),

.14 Να βρ

y 3 0 , α

ον κύκλο x

εταξύ τους

.15 Βρείτε

2 2y 9 πο

.16 Να βρ

ύκλου 2x y

1,3 και έχε

.17 Να βρ

ου κύκλου 2x

την ευθεία x

.18 Να βρ

ποίοι εφάπτο

ημείο Α(3,4)

htt

ρείτε τις εξισώ

πό τα σημεία

από την ευθεί

ρεθεί η εξίσω

πτεται στον ά

ο (5, 4)


τα σημεία (3

στην ευθεία y

ρεθεί ο κύκλο

(5,0) και 2,9

ρεθούν τα ση

από τα οποία

22 y 3

ε την εξίσωση

υ έχει μέσο τ

ρείτε την εξίσ

2y 25 που δ

ει μήκος ίσο


2 2y 4 πο

x+y=0


ονται στον κύ

και έχουν ακ

ttp://users.sch

ώσεις των κύ

A 1,1 και

εία x 3y 1

ωση του κύκλ

άξονα x΄x κα


3, 1), (- 1, 3) κ

y = 3x-2

ος που περνά

9

ημεία Μ της ε

α οι εφαπτόμ

2 50 , είνα

η της χορδής

το 1,2

σωση της χορ


με 8 μονάδ

ώσεις των εφ

ου είναι παρά

ώσεις των κύ

ύκλο: x2+y2=

κτίνα R=10.

ΚΥΚΛΟΣ

h.gr/mipapagr

ύκλων που

B 3,1 και

6 χορδή

ου που έχει

αι διέρχεται

ου που

και έχει

ά από τα

ευθείας

μενες προς

αι κάθετες

ς του κύκλου

ρδής του

ό το σημείο

δες

φαπτομένων

άλληλες

ύκλων, οι

=25 στο

Σ

r


3.19 Βρε

την αρχή τω

εφαπτόμενα

Α(1,3) και Β

3.20 Θεω

το σημείο Α

που ορίζει σ

3.21 Δίν

σημείο Α(8,

τέτοιο ώστε

3.22 Να

και x2 - 2x +

3.23 Στο

C0 έχει εξίσ

είναι ίσοι. Ν

Α) οι εξισώ

(συναρτήσε

Β) το άθροι

1 2, ,

Γ) οι κ

3.24 Α. Ν

πραγματική

2 2C : x y


και την ακτ

Β Να

του θ τα κέν

βρίσκονται

ρ = 1.

y

0


είτε την εξίσω

ων αξόνων, γ

α τμήματα πο

Β(4,2) να είνα

ωρούμε τον κ

Α (-1,-1). Να β

στον κύκλο χ

εται ο κύκλο

-6). Να βρεί

η απόσταση

αποδειχθεί ό

+ y2 = 0 εφάπ

ο παραπάνω

σωση 2 2x y

Να βρεθούν:

ώσεις των κύκ

ει του ρ)

ισμα των απο

, από το

κοινές εφαπτό

Να αποδείξετ

ή τιμή του θ,

2xσυνθ 2y

κύκλο, του ο

τίνα.


ντρα των παρ

σε κύκλο με

K1



για τον οποίο

ου άγονται α

αι παράλληλ

κύκλο 2x y


χορδή, με μέσ

ος C: x2 + y2 =

ίτε σημείο Μ

η (ΑΜ) να είν

ότι οι κύκλοι

πτονται εσωτ

σχήμα ο πρώ

2 2 και όλ

κλων 1 2C , C

οστάσεων τω

κέντρο Ο

όμενες όλων

τε ότι για κά

η εξίσωση

yημθ 1 , 0≤

οποίου να βρ

ότι για τις διά

ραπάνω κύκλ

κέντρο Ο(0,

K2

...

πουδών

λου με κέντρο

ο τα

από τα σημεί

α μεταξύ του

2 4y 0 κα

ωση ευθείας

σον το Α.

= 4 και το

του κύκλου

ναι ελάχιστη

ι (x-2)2+y2 =

τερικά.

ώτος κύκλος

λοι οι κύκλοι

, ,C

ων κέντρων

ν των κύκλων

άθε

≤θ2π

ρείτε το κέντρ

άφορες τιμές

λων

0) και ακτίνα

xKv

ο

ία

υς

αι

C

4

ι

ν.

ρο

ς

α

3.

λx

3.

(ε

(η

Ν

κά

κι

3.

πο

κα

μή

βρ

Β)

εξ

Γ)

εφ

3.

x

λ

βρ

3.

κύ

βρ

C

τω

3.

σχ

τ.

μη

.25 Αποδε

x+ 21 λ y=

.26 Δίνον

ε) : x+

η) : x


άθε τιμή του

ινείται σε κύκ

.27 Α) Ν

ου εφάπτετα

αι αποκόπτει

ήκους 2 . Έσ

ρήκατε

) Να απ

ξωτερικά.

) Να βρ


.28 Να δε

2 2 y x

R*. Να βρεθ

ρίσκονται τα

.29 Δίνετα

ύκλος C : x

ρείτε το λ ώ

C , χορδή η

ων αξόνων υ

.30 Αν η ε

χηματίζει με

μ τότε να δεί


είξτε ότι για

=1, εφάπτοντα

νται οι ευθείε

y

y

ε ότι οι ευθεί

θR και ότι

κλο.

Να βρείτε την

ι του άξονα

ι από την ευθ

στω 1 2C , C ε


ρεθούν οι εξι

των 1 2C , C

ειχθεί ότι η εξ

0 παριστάν

θεί η γραμμή

α κέντρα αυτ

αι η ευθεία 2 2x y 2λx

ώστε η ε ν

οποία να φα

πό ορθή γων

ευθεία 2

α x

τους άξονες

ίξετε πως α

νύσματα)

κάθε λ[-1,1

ται σε σταθερ

ες

2 και

2 , με θ

ίες (ε), (η) τέμ

ι το σημείο τ

ν εξίσωση το

y y στο σημε

θεία x y 1

είναι οι κύκλ

ι οι 1 2C , C εφ

ισώσεις των κ

ξίσωση

νει κύκλο γι

ή στην οποία

τών των κύκλ

ε : y x 2

22λ y 0 με

να ορίζει στο

αίνεται από τ

νία.

2β y 4α β

ς τρίγωνο με

β . (τα α,β

ε

15

1], οι ευθείες

ρό κύκλο,.

R.

μνονται, για

τομής τους

υ κύκλου

είο A(0, 2)

1 0 τμήμα

λοι που

φάπτονται

κοινών

α κάθε

α

λων

και ο

ε *λ R . Να

ον κύκλο

την αρχή

β

εμβαδόν 8

είναι μη

5

16

3.31 Δίν

C2: 2x 3

Α) Να

Β) Από

Α ανήκει στ

για το οποίο

απόσταση.

Δ) Να

στον C1, Δ σ

3.32 Για

2 2C : x y 2

Α) Να

για κάθε κ

Β) Βρε

των κύκλων

Γ) Να

διέρχονται

3.33 Θεω

την ευθεία ε

Α) Να

έχουν κοινά

Β) Από

τις εφαπτομ

και Β τα σημ

σημείο Μ δι


3.34 Να


την x y 0

3.35 Να

τέτοια ώστε

ε : Ax By

σταθερό κύκ

ονται οι κύκ

2y 2 4

δείξετε ότι δ

ό όλα τα ζεύγ

τον C1 και το

ο τα Α, Β απέ

βρεθεί το ζεύ

στον C2) με τ

κάθε κ R ,

2x 3y 1 κ


R

είτε τον γεωμ

ν.


από δύο στα

ωρούμε τον κ

ε: y=2x+ 5.

δείξετε ότι ο

ά σημεία.

ό ένα σημείο

μένες στον κύ

μεία επαφής

ιαγράφει την


δείξετε ότι η

δύο ευθείες π

0 γωνία o30

δείξετε ότι γ

A B 0

2 22 A B

κλο (απ¨ 2x

κλοι C1: 2x y

δεν έχουν κοι

γη σημείων (

ο Β στον C2, ν

έχουν τη μικ

ύγος σημείων

τη μεγαλύτερ

δίνεται η εξ

(x y 2) 0

ότι η C παρισ


ότι όλοι οι κύ

αθερά σημεία

κύκλο C: 2x

ο κύκλος και

ο Μ της ευθεί

ύκλο και ονο


ν ευθεία ε, η

σημείο.

η εξίσωση 2x

που καθεμιά

o

για κάθε για κ

, η ευθεία

0 εφάπτετα

2y 4 )

2y 1 και

ινό σημείο.

(Α, Β), όπου τ

να βρεθεί αυτ

κρότερη

ν (Γ, Δ) (Γ

ρη απόσταση

ξίσωση

.

στάνει κύκλο

των κέντρων

ύκλοι

α.

2y 4 και

η ευθεία δεν

ας ε φέρνουμ

ομάζουμε Α

ότι, όταν το

ευθεία ΑΒ

2 24xy y

ά σχηματίζει μ

κάθε A,B R

αι σε έναν

το

τό

η.

ο

ν

ν

με

με

R

3.

Α

Β)

πε

Γ)

το

το

3.

x

Α

ση

Β)

κύ

Γ)

εφ

Δ)

πε

3.

(x

με

κο

απ

ρ

3.

κα

άξ

3.

(x

ότ

στ

(w

.36 Δίνον

3 )

Α) Να δε

) Να βρ

ερνά από τα

) Να δε

ο οποίο ισχύε

ου ερωτήματ

.37 Δίνετα

2x 1 y

Α) Να απ

ημείο του κύ

) Βρείτε

ύκλου που ά

) Να βρ


) Να βρ

ερικλείουν ο

.38 Έστω

2x α) (y

ε ρ 0 . Αν η

οινή εφαπτομ


75

(www.m

.39 Να βρ

αθένας από τ

ξονες και στ

.40 Δίνετα

2x 1 3λ)

τι όλοι οι πα

ταθερές ευθεί

www.mathemati

htt


είξετε ότι Μ1Α


σημεία Α, Β,

είξετε ότι κάθ

ει ΜΑ ΜΒ

ος (Β).

αι το σημείο

27 9


κλου

ε τις εξισώσει

γονται από τ

ρείτε την οξεί

ρείτε το εμβα

ι εφαπτόμεν

οι κύκλοι: C

2 21) ρ και

η ευθεία ε : 4

μένη των κύκ

ι α 1 και

mathematica.gr)


τους οποίους

την ευθεία y

αι η οικογένε

2(y 4λ 5) 2

ραπάνω κύκ

ίες, . (απ: 4x-

ica.gr)

ttp://users.sch

ία Α(-2,0), Β(

Α Μ1Β.


Β, Μ1.

θε σημείο Μ

Β, ανήκει στο

A 1,1 και

ι το Α είναι ε

ις των εφαπτ

το Α

ία γωνία των

αδόν του χωρ

νες και ο κύκλ

1C :

2C : 2x (y

4x 3y 2 0

κλων 1C , C

1

ρ5

ή α

ισώσεις των κ

ς εφάπτεται σ

3x 5

4 .

εια κύκλων :

λ5, R2 Να

κλοι εφάπτον

-3y=-29 και 4

ΚΥΚΛΟΣ

h.gr/mipapagr

2,0), Μ1(1,

ου που

(xο,yο) για

ον κύκλο

ι ο κύκλος

εξωτερικό

τομένων του

ν δύο

ρίου που

λος.

2 2α) ρ

0 είναι

2 , να

3 και

κύκλων

στους


νται σε δύο

4x-3y = -21)

Σ

r


3.41 Βρε

εφαπτομένη

2 2x y 1

(απ: 2

y4

3.42 Στο

σχήμα δίνε

ABKS

4 , β

εξίσωση της

(απ: y 2x

(www.mathem

3.43 Να

2 21C : x y

όπου α 0,

3.44 Να


στις ευθείες

3.45 Από

φέρνουμε τη

κάθετη στην


M είναι ο κ

(www.mathem

3.46 Δίν

(C): 2 2x y

α. Να


σε σταθερή

β. Αν

στα σημεία


πραγματικό


είτε την εξίσω

ης ευθείας στ

και 2(x 6)

2x 3 ) (ww

ο διπλανό

εται ότι

βρείτε την

ς ευθείας ε

x )

matica.gr)


22α , C :

κ 1 , εφάπ

βρείτε τις εξ

από το σημε

1( ) : 3x 4y

ό τυχαίο σημ

η MA καθετ

ν ευθεία y

ότι ο γεωμετρ

κύκλος 2x y

matica.gr)

εται η εξίσωσ

2tx – 2ty – 4


κύκλο, το κέ

ευθεία όταν

η ευθεία y

Α και Β έτσι

ξόνων), να π

ό αριθμό t


ωση μιας κοιν

τους κύκλους

2y 9

ww.mathematica

ότι οι κύκλο

2 2(x κα) y

πτονται εξωτε


ίο M 3, 4 κ

2y 0, ( ) : 3x

μείο του ε

τη στον y y

x . Αν AB

ρικός τόπος

2y 32

ση

4 0

ότι για κάθε

έντρο του οπ

το t διατρέχ

2 τέμνει τον

ώστε OA

προσδιορίστε

πουδών

νής εξωτερικ

ς με εξισώσεις

a.gr)

ι

2 2 2(κ 1) α

ερικά.

κύκλων που

αι εφάπτοντ

x 4y 50 0

επιπέδου x

και τη MB

4 να

του σημείου

t R η (C)

οίου κινείτα

χει R.

ν κύκλο (C)

OB

(O είναι

ε τον

κής

ς :

2

ται

0

xy

αι

ι η

3.

κα

το

δι

3.

πα

A

3.

x

πο

κο

3.

x

3.

C

Α

πα

Β

το

Γ

κύ

Δ

ση

κα

3.

C

M

το

.47 Δίνετα

αι το εσωτερι

ο ελάχιστο μή


.48 Αν A

αράσταση τη

AB 1

.

.49 Δίνον

2x 1 y

ου σχηματίζο

οινά σημεία

.50 Να λυ

2 2y 25

.51 ** Δίν

2 2C : x y 4

Α Να βρ

αριστάνει κύ

Να απ

ους παραπάν

Να απ

ύκλους (C) δ

Να βρ

ημείων του ε

ανένας από τ

.52 Δίνετα

2 2C : x y 4

M 3, 4 .Να β

ου κύκλου πο

αι ο κύκλος μ

ικό σημείο το

ήκος της χορ

το M

,B δύο σημε

ης f(x) x

νται οι κύκλο

21 4 . Να

ουν οι εφαπτ

τους. (www

υθεί το σύστη


λ x y 3

ρείτε για ποιε

ύκλο.


νω κύκλους δ


δεν εφάπτετα

ρεθεί ο γεωμε

πιπέδου από

τους παραπά

αι ο κύκλος μ

49 και το εσω

βρεθεί το ελάχ

ου διέρχεται

με εξίσωση: x

ου M 3, 4 .Ν

ρδής του κύκ

εία στη γραφ

2x να αποδ

οι 2 2x y 2

βρείτε την οξ

τόμενες σε έ

w.mathematica.

ημα: x y

ση:

0 (1)

ες τιμές του

ι δύο οποιοιδ

δεν έχουν κο

ι κανένας απ

αι στην ευθεί

ετρικός τόπο

ό τα οποία δε

άνω κύκλους

με εξίσωση:

ωτερικό σημε

άχιστο μήκος

από το M .

17

2 2x y 49

Να βρεθεί

λου που

φική

δειχθεί ότι

2 και

ξεία γωνία

ένα από τα

gr)

5 και

λ R η (1)

δήποτε από

οινά σημεία.

πό τους

ία: y x 2

ος των

εν διέρχεται

ς.

είο του

της χορδής

7

18

4 ΠΑ

4.01 Να

κορυφή το (0

Α) είνα

ημιάξονα Οx

Β) είνα


Γ) είνα


Δ) έχει

Ε(0,-4)

Ε) έχει

4.02 Να

κορυφή το (0

Οx και εφάπ

4.03 Ισόπ

εγγεγραμμέν

κορυφή το Ο

πλευρών του

4.04 Εστω

Α) τις ευθείε

παραβολής κ

αξόνων από

Β) την εξίσω

παράλληλη

4.05 Έστω

χορδή της Α

οποία περνά

Α) AB

τέμνει ο άξο

Β) οι εφ

από το Κ

ΑΡΑΒΟΛΗ


0, 0) όταν:

αι συμμετρική

x και έχει πα


αι από το σημ



άξονα συμμ

εστία Ε (- 2,


0, 0) όταν έχε

πτεται της ευθ

πλευρο τρίγω

νο στην παρ

Ο . Να βρεθο

υ.

ω η παραβολ

ες που διέρχο

και απέχουν

όσταση ίση μ

ωση της εφαπ

στην ευθεία

ω η παραβολ

ΑΒ παράλλη

άει από την ε

B 2 EK , ό

νας x΄x τη δ

φαπτόμενες σ

Η

σωση της παρ

ή ως προς το

αράμετρο p =


μείο (-1,4)


μείο (2, 2)

μετρίας τον Ο

0) και διευθε

σωση της παρ

ει άξονα συμ

θείας y = 4x

ωνο ΟΑΒ εί

αβολή 2y 4

ούν οι εξισώσ

λή 2y 4x .

ονται από τη

ν από την αρχ

με 2

2

τομένης της

y=x–1

λή C : 2y 2p

λη με τον άξ

εστία. Να απ

όπου Κ το ση

διευθετούσα

στα Α και Β δ

ραβολής με

θετικό

= 5

ν άξονα Οx

ν άξονα Οy

Οy και εστία

ετούσα : x= 2

ραβολής με

μμετρίας τον

+ 1

ναι

4px με

σεις των

Να βρείτε

ν εστία της

χή των

που είναι

px και μια

ξονα y y , η

οδειχθεί ότι:

ημείο που


2

4.

πα

4.

ε

Α

κα

Β)

πα

Γ)

τη

έχ

4.

δι

δι

εσ

Ν

εξ

κα

4.

πα

ευ

αυ

4.

δύ

απ

ση

4.

x

y

.06 Να βρ

αραβολής y

.07 Δίνετα

ε : y x 1 .

Α) Να βρ

αι της παραβ

) Να δε

αραβολής στ

) Να δε

ην εστία και

χει την ιδιότη

.08 Ο κύκ

ιπλανού σχή


στία της παρα

Να βρεθούν ο

ξισώσεις του

αι της παραβ

.09 Από τ

αραβολή 2y

υθείες. Να βρ

υτών ευθειών

.10 ** Δίν

ύο χορδές


ημείο.

.11 Να απ

2 2y 6x 1

2y 4x .

htt


2 12x που έ

αι η παραβολ

ρείτε τα κοινά

βολής.

είξετε ότι οι ε

τα A, B είνα

είξετε ότι κάθ

τέμνει την πα

ητα (Γ).

κλος του

ματος

την

αβολής.

οι

κύκλου

βολής.

το σημείο

2 8x γράφ


ν και να απο

εται η παραβ

, , ώστε

ι η διέρχ


1 0 εφάπτε

ttp://users.sch

σωση της χορ

έχει μέσο το

λή 2y 4x κ

νά σημεία A,

εφαπτόμενες

αι κάθετες.

θε ευθεία που

αραβολή σε

y

0

C

2, 3 προς

φονται δύο ε

ώσεις των εφ

οδείξετε ότι ε

βολή C : 2y

ε γωνία

χεται από στ

ι ο κύκλος

εται στην πα

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

h.gr/mipapagr

ρδής της

M 3,2

και η ευθεία

B της ε

της

υ περνά από

δύο σημεία

y

x1

την

φαπτόμενες


ίναι κάθετες

2px και

90 . Να

αθερό

ραβολή

Η

r

.


5 ΕΛ

5.01 Να β

εστίες Ε 4,

άξονα ίσο με

5.02 Να β

κορυφές τα σ

Ν(0,-10).

5.03 Να β

καθεμιάς απ

Α) 24x

Β) 2 9x

5.04 Να β

έλλειψης με

5.05 Ο κύ

β διέρχεται α

με α>β. Να β

5.06 Να α

και 2 2

2

κ x

α+

5.07 Για κ

: 2 x

2 x 2

A) Οι

B) Οι

οποίο κινείτ


ΛΛΕΙΨΗ


,0 , Ε 4,0

ε 10


σημεία Κ(8,0

βρεθεί η εκκε

πό τις ελλείψε

2 9y 36

2 25y 22

βρεθεί η μορ

εκκεντρότητ

ύκλος με κέντ

από τις εστίε

βρεθεί η εκκε


2 2

2

y

β

=1 έχου

κάθε R , δ

y 2

y 2

1 και 2

1 και 2

ται σε έλλειψη


ξίσωση της έλ

και μήκος το

ξίσωση της έλ

0), Λ(-8,0), Μ

εντρότητα κα

εις:

25

ρφή της εξίσω

τα 2

ε2

τρο το Ο (0,

ες της έλλειψη

εντρότητά τη

ότι οι ελλείψε

υν την ίδια ε

δίνονται οι ε

2 :

0

παριστάνο

τέμνονται

η.

πουδών

λλειψης με

ου μεγάλου

λλειψης με

Μ(0,10) και

αι οι εστίες

ωσης της


ης 2

2

x

α+

2

2

y

β=

ης.

εις 2

2

x

α+

2

2

y

β=

εκκεντρότητα

εξισώσεις 1

. Δείξτε ότι:

ουν ευθείες.

σε σημείο, το

19

α

=1

=1

α.

1

ο

5.

ση

5.

εφ

σχ

5.

9x

Α

Β)

5.

ση

απ

απ

βρ

5.

δι

α

5.

εσ

A

B)

όμ

Γ)

βρ

οπ

.08 Να απ

ημείο 1

Μ 21

.09 Να βρ


χηματίζουν μ

.10 Να β

2 2x 16y 1

Α) παράλ

) κάθετε

.11 Να βρ

ημείων M το


πόστασής το

ρείτε τις εστί

.12 Αν ο κ


α β 0 , βρε

.13 Δίνετα

στίες στον άξ

A) Να βρ

) Για πο

μοια με την

) Για τη


ποία είναι πα


2

2 2

1 - λ 6,

1+ λ 1+ λ


της έλλειψη

με τους άξον

ρεθούν οι εφ

144 που είνα

λληλες προς

ες στην ευθεί


ου επιπέδου

ο E 1,0 είν

υ από την ευ

ες της γραμμ

κύκλος κέντρ

τις εστίες τη

είτε την εκκεν

αι η έλλειψη

ξονα x x

ρεθούν οι δυν

οιες τιμές του

22 yx1

9 4 ;

η μικρότερη α

ωση της εφαπ

αράλληλη στ

ι για κάθε

κινείται σε

ισώσεις των

ς 2 29x 4y

νες τρίγωνο ε


αι:

την ευθεία (ε

ία (ε).


των οποίων

ναι ίσο με το

υθεία x 4

μής που θα π

ρου Ο(0, 0) κ

ης έλλειψης x

εντρότητα τη

22 yx

κ 1 2κ

νατές τιμές τ

υ κ η έλλειψ

ακέραια τιμή

πτομένης της

την ευθεία y

19

R , το

ε έλλειψη.

36 , που

εμβαδού 6 τμ

της έλλειψης

ε): x + y = 0

των

η απόσταση

μισό της

0 . Να

προκύψει.

και ακτίνα β

22

2 2

yx1

ς έλλειψης

2

13

με

του κ

ψη είναι

ή του κ να

έλλειψης η

x .

9

μ

η

20

6 ΥΠ

6.01 Ο κ

από τις κορυ

σχήματος, τη

εξίσωση y=-

6.02 Α) ο

υπερβολής

Β) η εστιακή

Γ) η εξίσωσή

Δ) να προσδ

ορθογώνιο β

υπερβολής

Ε) η εκκεντ

6.03 Να β

έχει τις εστίε

προς την αρ

Α) έχει εστι

Β) έχει

ασύπτωτες τ

6.04 Να β


6.05 Να β

εφαπτομένω

είναι παράλ

6.06 Δίνε

p 0 . Να βρ

οποίας η μια

παραβολής ,

OE όπου O

της παραβολ

ΠΕΡΒΟΛΗ

κύκλος με εξίσ

υφές της υπερ

ης οποίας η μ

- 43

x. Να βρε

οι εστίες της

ή της απόστα

ή της

διοριστεί το

βάσης της

τρότητά της.


ες της στον ά

χή των αξόν

ιακή απόστα

εστιακή από

τις y = 43

x κ

βρείτε την υπ

πό τα σημεία

βρεθούν οι ε

ων της υπερβ

λληλες προς τ



α εστία της συ

, και η μια κο

O η αρχή των

λής και της υ

σωση x2 + y2

ρβολής C του

μια ασύμπτω

εθούν:

ση

ξίσωση της υπ

ξονα x΄x συμ

νων και ακόμ

αση (Ε΄Ε)=6 κ

όσταση (Ε΄Ε)

και y=- 43

x

περβολή, η ο

α 3,1 και 9


ολής 22x 4

την ευθεία 3x

βολή με εστία

σωση της υπε

υμπίπτει με τ

ορυφή της με

ν αξόνων. Βρ

υπερβολής

= 16 διέρχετ

υ διπλανού

ωτη έχει

yC

περβολής πο

μμετρικές ως

μα:

και ε= 32

= 20 και

οποία

9,5

ν

2y 100 που

x y 0 .

α E 2p,0 ,

ερβολής της

την εστία της

ε το μέσο του

ρείτε τα σημε

ται

x

ου

υ

ς

υ

εία

6.

υπ

x

2

6.

Μ

κο

ε

Δ

Α

τη

Γ)

N

Δ)

Ν

Ε)

έχ

δι

6.

κλ

M

Α

ε

τη

Β)

ση

Γ)

M

.07 Να βρ

περβολής πο

2x

5+

2y

16=1

.08 Δίνετ

1 1Μ x ,y ένα

ορυφές της. Α

ε στο M τέ

αντίστοιχα

Α) να βρ

ης (ε΄) καθώς

) να βρ

N του ΓΔ

) να απ

Ν είναι μια υ

) να απ

χουν τις ίδιες

ιαφορετικού

.09 Δίνετα

λάδους 1C κ

1 1M x ,y στο

Α) Να γρ

ε στο σημεί

ης ε με του

) Να δε

ημείο μεταξύ

) Αν η

2 2M΄ x ,y , να

htt


ου έχει τις ίδι

ται η υπερβολ

α σημείο της

Αν η κάθετη

μνει τους άξ

εθεί συναρτή

και οι συντ

εθούν οι συν


υπερβολή 1C


ς εκκεντρότη

ς άξονες.

αι η υπερβολ

και 2C και τυ

ον κλάδο 1C

ράψετε την εξ

ο Μ και να

υς άξονες.

είξετε ότι η ε

ύ των κορυφώ

ε τέμνει το


ttp://users.sch

σωση της ισο

ιες εστίες με τ

λή C : 2

2

yxα β

διαφορετικό

ε της εφα

ξονες x x , y y

ήσει των 1x , y

τεταγμένες τω

ντεταγμένες τ

ο γεωμετρικ

1

οι υπερβολέ

ητες, αλλά τις

λή 22

2 2

yxα β

υχαίο σημείο

, 1y 0 .

ξίσωση της ε

βρείτε τα ση

ε τέμνει τον

ών της υπερβ

ον κλάδο 2C

1 2y y 0 .

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

h.gr/mipapagr

σκελούς

την έλλειψη

2

2

y1

β και

ό από τις

απτομένης

y στα Γ και

1y η εξίσωση

ων Γ και Δ

του μέσου

κός τόπος του

ές C και 1C

ς εστίες σε

1 με

ο της

εφαπτόμενης

ημεία τομής

ν x΄x σε

βολής

στο

Η

r

η

υ

ς


7 ΓΕΩ

7.01 Στο

των σημείων

από τις παρα

Α) x 4

Β) 2

Γ) x 2

Δ) 3

7.02 Στο



Α) M 3

Β) M 2

Γ) M ε

Δ) M 3

7.03 Να β

σημείων σε κ

περιπτώσεις

Α) M λ 2

Γ) M ημθ, λ

7.04 Στο



Α) M λ

Β) M

7.05 Να β

σημείων Μ γ

Α(2, 1)


ΩΜΕΤΡΙΚ

επίπεδο να π

ν M x,y για

ακάτω σχέσε

4 και y R

y 1 και x

2 και 2 y

y 3 και 2


ν M x,y για


23, α 4α 1

2κ 1,5 5κ

εφθ, 2 , θ

3,συνθ , θ

βρεθεί ο γεω

κάθε μια από

για κάθε λ,

2,λ 2

2λ 1 για κ


ν M x,y για


2 2λ 2,λ 2

1 1,

λ 1 1 λ

βρείτε το γεω

για τα οποία


ΚΟΙ ΤΟΠΟ

προσδιορίσετ

α τα οποία ισ

εις:

x R

y 2

2 x 4



εις:

1 , α R

, , κ 1,2

π π,

2 2

.

[0,π) ,

μετρικός τόπ

ό τις παρακά

μ, t R

Β) M 2,λ

κάθε θ R , λ



εις:

, λ R

1

, λ R

ωμετρικό τόπ

α ισχύει MA

πουδών

ΟΙ – ΣΥΝΟ

τε το σύνολο

σχύει κάθε μ



πος των

άτω

λ

λ R



1

πο των

2 , όπου

ΟΛΑ ΣΗΜΕ

ο

μια

ο

μια

ο

μια

7.

Α

ση

πα

Β)

ελ

7.

Μ

Β(

7.

Μ

κα

7.

Μ

οπ

x'

7.

ση

κύ

ακ

7.

φέ

ευ

τό

7.

Κ

τέ

γε

7.

M

ΕΙΩΝ

.06 Έστ το

Α) Να βρ

ημείων γι

αραγματικού

) Να βρ

λάχιστα από

.07 Να βρ

Μ για τα οποί

(-1, 0)

.08 Να βρ

Μ για τα οποί

αι Β(3, 1)

.09 Να βρ

Μ των ευθύγρ

ποίων τα άκρ

x και y'y αντ

.10 Να απ

ημεία Μ(2 +

ύκλο και να

κτίνα του.

.11 Από τ

έρνουμε τη Μ

υθεία y=x. Αν

όπο του Μ

.12 Δίνετα

Κ(5,0). Από το

έμνει τον C σ

εωμετρικό τό

.13 Βρείτε

M όταν M η

ο σημείο


α τις διάφορ

ύ

ρείτε το σημε



ία ισχύει ΜΑ


ία ισχύει (ΜΑ


ραμμων τμημ

ρα Α και Β κ

τίστοιχα.


+ 3συνφ, 3ημφ

προσδιορίσε

τυχαίο σημείο

ΜΑ y'y κα

ν (ΑΒ)=4 να

αι κύκλος C:

ο Κ φέρνουμ

στα σημεία Α

όπο των μέσω

ε τη γραμμή

ημθ 1,2 συ

3, 2 1


ρες τιμές του

είο που απ

ων αξόνων.


ΑΜΒ, όπου


Α)=2(ΜΒ) όπ


μάτων ΑΒ μή

κινούνται στο

ι για κάθε φ

φ - 4) βρίσκο

ετε το κέντρο

ο Μ του επιπ

αι τη ΜΒ κάθ

βρείτε το γε

2 2x y 4

με τυχαία ευθ

Α και Β. Να β

ων των χορδώ

όπου ανήκει

υνθ , θ R

21

με R .

των

πέχει


υ Α(1, 0) και


που Α(1, 2)

των μέσων

ήκους 8, των

ους άξονες

R τα

ονται σε

ο και την

πέδου Οχy

θετη στην

ωμετρικό

και σημείο

θεία που

βρείτε τον

ών ΑΒ.

ι το σημείο

1

ν

ν

22

7.14 Να β

σημείων από

κύκλο 2x y

7.15 Να β

το σημείο M

Α) M ε

Β) M 1

7.16 Να β

των χορδών

διέρχονται α

7.17 Να β

των χορδών


7.18 Να β

το σημείο M

7.19 Θεω

γεωμετρικός

του για τα ο

παρακάτω σ

Β) ΜA Α

7.20 Δίνο


ισχύουν: Μ

7.21 Να β

σημείων Μ ,

απόστασης

εξαπλάσιο τη


ό τα οποία οι

2y 4 είναι κ

βρείτε τη γρα

M σε κάθε μια

εφθ,ημθ , θ

1 συνθ,2 η


του κύκλου

από την αρχή


του κύκλου

από το 4,2

βρείτε τη γρα

M όταν 1

Mλ

ωρούμε το τρί

ς τόπος των σ

ποία ισχύει κ

σχέσεις:

ΑΒ 0

Γ)

ονται τα σημ

ο σύνολο των

ΜΑΒ 3 τμ


, των οποίων

από το σημε

ης απόσταση


ι εφαπτόμενε

κάθετες

αμμήC στην

α από τις περ

πR κπ

2

ημθ , θ R


2 2C : x y

ή των αξόνω


2 2x y 169

2

αμμήC στην

2

1 1,

λ λ

για κ

ίγωνο ΑΒΓ .

σημείων M τ

κάθε μια από

Α) ΜA

AB AM A

μεία Α 2, 1

ν σημείων Μ


ν το τετράγω

είο Α 1,0 εί

ης από την ευ

πο των

ες προς τον

οποία ανήκ

ριπτώσεις

π, κ Ζ

2

πο των μέσων

2x 0 , που

ν.

πο των μέσων

9 , που

οποία ανήκ

κάθε *λ R

Να βρεθεί ο

του επιπέδου

ό τις

MΒ 0

AΓ AM 0

) και Β 1,3

Μ για τα οπο

πο των

νο της

ίναι ίσο με το

υθεία y 1

κει

ν

ν

κει

ο

υ

.

οία

ο

7.

το

πε

Α

Β)

7.

βρ

οπ

Α

7.

βρ

τα

7.

βρ

κύ

κύ

7.

βρ

επ

7.

γε

γι

7.

Γ

ση

Μ

.22 Να βρ

ο σημείο M

εριπτώσεις

Α) Mσυ

) Mσυ

.23 Έστω


ποίων ο λόγο

Α 1,2 και

.24 Έστω

ρείτε τον γεω

α οποία ισχύ

.25 Δίνετα


ύκλων που έχ

ύκλου C : α)

.26 Έστω


πιπέδου ώστε

.27 Δίνετα

εωμετρικό τό

ια τα οποία ι

.28 Έστω

Γ 1, 2 . Να β

ημείων Μ γ

ΜΑΒ 3 ΑΒ

ht

ρείτε τη γραμ

σε κάθε μια α

1,εφθ

υνθ

, θ

4,3εφθ

υνθ

τα σημεία A


ος των αποστ

Β 0,1 είναι



ει: 2MA MB

αι ο κύκλος C


χουν ακτίνα

εξωτερι



ε AM AB M

αι το σημείο

όπο των σημε

ισχύει: OM




ΒΓ

ΓΕΩΜΕΤΡ

http://users.sch

μμήC στην ο

από τις επόμ

πθ R κπ

2

π πθ ,

2 2

A 1,2 και


τάσεων από

ι ίσος με 3

Α 1, 2 , Β 0

πο των σημεί

2B 3MA M

2 2C : x y 6

ο των κέντρω

α ρ=2 και εφά

ικά β)

Α 1, 2 , Β


2MA

.

Α 3,0 . Να

είων Μ του

OM 2OA

Α 0,1 , Β 1


ισχύουν:

ΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

h.gr/mipapag

οποία ανήκει

μενες

π,κ Ζ

2

B 0,1 . Να

ων Μ , των

τα σημεία

0,1 . Να

ων Μ για

MB

6x 0 . Να

ων Μ των

άπτονται του

εσωτερικά

3,4 . Να

ων Μ του

α βρείτε το

επιπέδου

7

1,2 και

πο των

Ι

gr

ι

υ


ΓΕΩΜΕΤΡ

7.30 Για

7.32 Για

Α) Να Α και Β στο

Β) Να

7.34 Για

Α) Να

Β) Αν


ΡΙΚΟΙ ΤΟ

7

Α

Β

κάθε κ R

Α)

Β)

7.31

Α)

Β)

κάθε κ R

βρείτε τους γο επίπεδο

βρείτε το ελά

7

Α

Β

α κάθε λ R


Κ είναι το ση


ΟΠΟΙ ΚΑΙ Α

.29 Για κά

Α) Να βρ

) Να βρ

δίνονται τα

Βρείτε το

Να βρείτ

Για κάθε

Να βρείτ

Να βρείτ


γεωμετρικού

άχιστο AB

7.33 Για

Α) Να β

Β) Αν Ο



ημείο Κ 9,12

πουδών

ΑΚΡΟΤΑΤ

άθε κ R δίν

ρείτε τους γεω

ρείτε το μέγισ

σημεία A κ ,

ους γεωμετρικ

τε το ελάχιστο

κ R δίνοντ

τε τους γεωμε

τε το ελάχιστο

σημεία A κ ,

ύς τόπους των

κάθε λ R δ


Ο είναι η αρχ

σημεία Λ 3λ

πο των σημεί

2 να βρείτε

ΤΑ

νονται τα ση

ωμετρικούς τ

στο και το ελ

,κ 1 και Β

κούς τόπους

ο AB

ται τα σημεία

ετρικούς τόπ

ο AB

,κ 1 και Β

ν σημείων

δίνονται τα σ


χή των αξόνω

22λ, - 4λ

3

ίων Λ στο επ

ε το ελάχιστο

ημεία A κ ,κ

τόπους των σ

λάχιστο AB

Β κ 2,2 κ

των Α και Β

α 2 2A κ ,κ

πους των σημ

Β 2κ ,2κ 1

σημεία Λ 4

πο των σημείω

ων να βρείτε

πίπεδο

ο ΚΛ

καθώ

1 και Β κ

σημείων Α κα

Β στο επίπεδο

1 και 2Β κ ,

μείων Α και Β

504λ, - 3λ

4

ων Λ στο επί

ελάχιστο Ο

ώς ο λ R

κ ,κ 2

αι Β στο επίπ

ο

2,κ 1

Β στο επίπεδο

ίπεδο

ΟΛ

καθώς ο

23

πεδο

ο

λ R

3

24

7.37 Για

η ευθεία εγεωμετρικό να βρείτε τη

ευθεία ε

7.39 Για

Α) Να

Β) Να

7.41 Για

Κ 5συνt, 4η

Α) Να

Β) Να

κάθε δ

: 4x 3y 22

τόπο των σηην ελάχιστη

7

Λ

Α

Β

κάθε κ R κ

βρείτε τους γ

βρείτε ελάχι

κάθε κ R

ημt και Θ βρείτε τους γ

βρείτε ελάχι

κ R

7.3

Α)

Β)

7.36

Μ 9 συ

Α) Ν

Β) Ν


2

ημείων Μ στο και τη μέγισ

7.38 Για κ

22Λ 3λ, - 4

3

Α) Να β

Β) να β

και t R δίν


ιστο και το μ

7.40 Για

Α) ΝαΒ) Να

Γ) Να

και t R δίν

2ημt,2συνt


ιστο και το μ

5 Για κάθ

Να βρεί

Αν Λ

Για κάθε

υνκ ,12 ημκ



σημεία

ο επίπεδο στη απόσταση

κάθε κ

4λ

βρείτε τους γ

βρείτε το ελάχ



μέγιστο ΘΚ

α κάθε t R δ

α βρείτε τους α αποδείξετε ό

α βρείτε ελάχ

νονται τα σημ


μέγιστο ΘΚ

κ

κ R

θε κ R δίνον

ίτε το γεωμετ

3,3 να βρ

και λ R

κ και Λ συ

ους γεωμετρικ

ο ελάχιστο κα

η των

και λ R δίν

γεωμετρικούς

χιστο ΛΜ

ημεία Κ ημt

ν σημείων Κ

Κ

καθώς ο t


γεωμετρικούότι τα σημεία

χιστο και το μ

μεία

ν σημείων Κ

Κ

καθώς ο t

R


τρικό τόπο τω

ρείτε το ελάχι

R δίνονται τα

υνλ ,ημλ

κούς τόπους

αι μέγιστο Λ


ς τόπους των

καθώς ο

t, συνt και Θ

Κ και Θ στο επ

R και ο κ

σημεία Κ η

ύς τόπους τωα Α, Κ και Θ

μέγιστο ΘΚ

Κ και Θ στο επ

R και ο κ

κ

htt

ία Μ 9 συν

ων Μ στο επί

ιστο και μέγι

α σημεία


ΛΜ

Μ

Α)

Β)ση

μεία

σημείων Μ κ

και ο λ

Θ 2ημκ 1,2

πίπεδο

R

ημt, συνt κα

ων σημείων ΚΘ είναι συνευ

Κ

καθώς ο t

πίπεδο

R

Μ 9 σ

R

ΓΕΝΙΚ

ttp://users.sch

νκ ,12 ημκ

πίπεδο

ιστο ΛΜ

ν Λ και Μ στ

Μ 9 συνκ ,12

Α) Να βρ

) Για κάημείων Μ απ

και Ν στο επ

R

2συνκ

αι Θ 2ημt 1

Κ και Θ στο ευθειακά

R

συνκ ,12 ημ

ΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

h.gr/mipapagr

το επίπεδο

2 ημκ και

ρείτε το

άθε κ R , πό την

και

πίπεδο

1,2συνt

επίπεδο

μκ

Σ

r

ι


8 ΓΕΝ

8.01 Για

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

παράλληλη

8.02 Σε κ

λ R , περιγ

Α) Να

Β) Τρί

φωτεινών α

Γ) Να


Δ) Να

8.03 Δίν

Α) Να

Β) Αν

σηµείο.

Γ) Αν

μια ευθεία η

8.04 Α


Β Σε τ

B 3,3 , Γ 3

περιφερειακ

Γ Αν

αυτοκινήτο

κινείται το α


ΝΙΚΑ ΘΕΜ


δείξετε ότι

βρεθεί ο πρα

αναλυθεί το

στο διάνυσμ

καρτεσιανό σ

γράφει τη φω

βρείτε τις συ

α πλοία βρίσ

ακτίνων που


πό το πλοίο Μ




γ 1 ,να απ

γ 1 να βρε

η οποία επαλ

Δίνεται η ε

κύκλο και ν

τοπογραφικό

3,5 και Δ 1

κός κυκλικός

θεωρήσουμε

υ K για κάθ

αυτοκίνητο


ΜΑΤΑ

ατα α, β

ισχ

α (-1, 2)

κα

αγματικός αρ

ο διάνυσμα

μα α

σύστημα συν

ωτεινή ακτίν


σκονται στα


ε ποιο από τα

Μ.

ε το εμβαδόν

ση ε : 2λ

ότι για κάθε τ


είτε τον γεωμ

ληθεύει την π

ξίσωση x

α βρείτε το κ

ό σχεδιάγραμ

1,5 παριστά

ς δρόμος που

ε ότι στο ίδιο

θε χρονική στ

K , συναντά

πουδών

χύουν οι σχέ

αι β (2, -2)

ριθμός κ , ώσ

γ (3, -1)

σ

ντεταγμένων

να που εκπέμ

ς του φάρου

σημεία Κ 2

από τα πλοία

α πλοία Κ κα

ν της περιοχή

1 x 2λy λ

τιμή του λ η

ι όλες οι ευθε


παραπάνω εξ

1 x 3

κέντρο και τη

μμα, με καρτ

άνουν τις θέσ

υ να διέρχετα

σύστημα αξ

τιγμή t , t

τον κυκλικό

έσεις 2α 3

στε τα διανύ

σε δύο κάθετε

xOy , η εξίσ

μπει ένας πε

Φ .

2,2 , Λ 1,

α Κ, Λ και Μ

αι Λ βρίσκε

ής που ορίζετ

2λ 2λ γ 0

η εξίσωση πα

είες που ορίζ


ξίσωση

y 3 y 5

ην ακτίνα το

τεσιανό σύστ

σεις τεσσάρω

αι από τους τ

ξόνων του ερ

0 είναι t,

ό περιφερειακ

3β (4, -2)

κ

ύσματα κα

ες συνιστώσε

σωση ευθείας

εριστρεφόμεν

5 και Μ 1,

Μ .

εται πλησιέστ

ται από το φά

0 με λ ,μ R

αριστάνει ευθ

ζονται από τη

ων εκείνων πο

0 . Να απο

υ.

τημα συντετα

ν δήμων. Να

τέσσερις δήμ

ωτήματος B

t 2 , να βρ

κό δρόμο κα

και α - 3β

β και 2α 3

ες, από τις οπ

ς λ 1 x

νος φάρος Φ

,3 . Να βρεί

τερα στη φωτ

άρο Φ και τα

θεία γραμμή

ην ε διέρχο

ου από το κα

οδείξετε ότι η

αγμένων xOy


ους.

, οι συντεταγ

είτε αν η γρα

ι αν ναι, σε π

(-7, 8) .

3β

να είναι κ

ποίες η μία ν

λ 1 y λ

Φ .

ίτε τις εξισώσ

τεινή ακτίνα

α πλοία Λ κ

.

ονται από το

αθένα διέρχετ

η εξίσωση αυ

y τα σημεία

ότι μπορεί ν

γμένες ενός

αμμή, στην ο

ποια σημεία;

25

κάθετα.

α είναι

3 0 , όπου

σεις των

α που

και Μ .

ο ίδιο

ται μόνο

υτή

α A 1,3 ,

να χαραχθεί

οποία

;

5

26

8.05 Σε ο

Α Να

Β Να

8.06 Δίν

x-ψ+1=0. Ν

8.07 Δίν

Αν Α και Β

Α) τις ε

Β) τις σ

Γ) την

και Β .

8.08 Αν

Α τα σ

Β η γω

Γ το δ

8.09 Ενό

η πλευρά Α

σημείο Κ 2

Α Να

Β Να

Γ Να

8.10 Η π

Α. Να

Β. Έστ

σημείο για τ


Γ Να

ορθοκανονικ


βρείτε σημε

εται τετράγω

Να προσδιορί


Β είναι τα ση

εξισώσεις των


ν εξίσωση της

ΡΑ ΡΒ 2Ρ

σημεία Α, Β,

ωνία AΡΒ ε

διάνυσμα v

ός παραλληλ

ΑΔ στην ευθεί

52,

2

.




παραβολή με


τω Ε΄ το συμμ

το οποίο ισχύ

ων αξόνων O


κό σύστημα α

ο τρίγωνο Ο

είο Μ του άξο

ωνο ΑΒΓΔ γι

ίσετε τις συντ

ος C: 2 2x y

ημεία επαφή

ν εφαπτομέν

νες των σημεί

ς παραβολής

ΡΓ 0

και |Ρ

, Γ είναι συν

είναι ο90

ΡΒ ΡΓ

ε

ογράμμου Α

ία 4x y 5

ότι η κορυφή



ε εξίσωση 2y

ότι η εστία τη

μετρικό της ε

ύει 2

ΜΕ Μ

O 0,0 και α


αξόνων Οxy

ΟΑΒ είναι ορ

ονα x x , ώστ

α το οποίο γ

τεταγμένές τω

25 και 1ε

ς των 1ε ,

νων 1ε , 2ε

ίων επαφής Α

που έχει κορ

ΡΑ| 6, |ΡΒ

νευθειακά κα

είναι κάθετο

ΑΒΓΔ , η πλευ

0 . Οι διαγώ

ή Γ έχει συντ

υθείας στην

υθείας στην

αx διέρχετ

ης παραβολή

εστίας Ε ως π

ΜΕ Ε Ε

να απ

κτίνα 2


y δίνονται τα

ρθογώνιο κα

τε τα σημεία

γνωρίζουμε ό

ων κορυφών

, 2ε οι εφα

2ε με τον κύ

Α και Β

ρυφή την αρ

||ΡΓ| 2 3

αι ότι το σημ

ο στο ΑΓ

.

υρά ΑΒ ανή

ώνιοι AΓ , Β

τεταγμένες

οποία ανήκε


ται από το ση

ής είναι το ση

προς τον άξο


ων του παραπ

α σημεία Α 2

αι ισοσκελές.

Α, Μ, Β να

ότι Α(-4,3) κα

ν του καθώς κ

απτόμενες το

ύκλο,να βρεί

χή των αξόν

να δείξετε ό

είο Γ είναι α

ήκει στην ευθ

ΒΔ του παρα

6,2 .

ει η πλευρά Β

ει η διαγώνιο

ημείο Α 2,4

ημείο Ε 2,0

ονα y y . Αν

το σημείο Μ

πάνω κύκλου

htt

2,3 και B 3

είναι συνευθ

αι η μια διαγ

και το μήκος

ου κύκλου απ

ίτε

ων και διέρχ

ότι:

ανάμεσα στα

θεία με εξίσω

αλληλογράμμ

ΒΓ .

ος ΒΔ .

, όπου α R

.

M x,y είν

Μ x,y ανήκ

υ που διέρχο

ΓΕΝΙΚ

ttp://users.sch

3, 2 .

θειακά.

γώνιος του έχ

ς της πλευράς


χεται από τα

α Α, Β

ωση 3x 7y

μου τέμνοντα

R .

ναι ένα οποιο

κει στον κύκλ



h.gr/mipapagr

χει εξίσωση

ς του.

ο Μ 0, 10 .

σημεία Α

27 0 και

αι στο

οδήποτε

λο με κέντρο

σημείο A .

Σ

r


8.11 Δίν

Α. Να

Β. Αν

Γ. Να

κύκλο με κέ

8.12 Δίν

Α. τις ε

Β την

8.13 Δίν

Α Να

Β Να

Γ ΄Εστ

και την μεσ

και Δ .

8.14 Α. Δ

Να δείξετε ό

Β. Έστ

α.

διάφορες τι

β.

ευθεία

x + y + 2 = 0

γ.

ΑΟΒ.

8.15 Το σ

3x y 6

Α Να

Β Να

Γ Να




πθ

2 , να β


έντρο Ο 0,0


ευθείες που δ

ν εξίσωση της




τω M το μέσ

οκάθετο ε αν

Δίνεται η εξί

ότι, για κάθε

τω ότι για του

Να δείξετε

ιμές των μ κα

Να βρείτε τ

0, να ισχύει O

Για τις τιμέ

σημείο Α 7,

0





ση ε : 2x

ότι για κάθε

βρείτε την εξί

ότι για τις διά

και ακτίνα

βολή 2y 4x


ς εφαπτομένη

μεία του επιπ

ότι ο συντελε

ότι η μεσοκά

σο του τμήμα


ίσωση x2 + y2

ε τιμή των μ,

υς πραγματι

ότι, όλοι οι κ

αι λ, έχουν τα

τα μ, λ έτσι, ώ

OA OB

ές των μ, λ πο

5 είναι µία

ξίσωση της ά

ο κέντρο του


πουδών 2y 2xσυνθ

θ η ε παρισ

ίσωση της εφ

άφορες τιμές

α ρ 1 .

x . Να βρείτε

από την εστία

ης της παραβ

πέδου Α 1,1

εστής διεύθυν

θετος του ευθ

ατος ΑΒ κα

α βρείτε την

2 +6μx+8λy =

λ, η παραπά

ικούς αριθμο

κύκλοι που ο

α κέντρα του

ώστε, αν Α, Β

0.

ου βρήκατε σ

κορυφή τετρ

άλλης διαγων

υ τετραγώνου

κύκλου που δ

2yημθ 1


φαπτομένης τ

ς του θ τα κέ

:

α E και απέχο

βολής που είν

και Β 5,3

νσης του δια

θ. τμήματοςΑ

αι Γ , Δ τα

εξίσωση του

= 0, όπου μ, λ

άνω εξίσωση

ούς μ, λ ισχύε

ορίζονται απ

υς σε ευθεία π

Β είναι τα ση

στο ερώτημα

ραγώνου του

νίου του τετρ

υ είναι το ση


0 , 0 θ 2π

ο του οποίου

του κύκλου σ

έντρα των πα

ουν από το

ναι παράλλη

.

ανύσματος A

ΑΒ είναι η

σημεία τομή

υ κύκλου που

λ πραγματικ

παριστάνει κ

ει η σχέση 3μ

πό την εξίσωσ

που διέρχετα

ημεία τομής τ

β να υπολογ

υ οποίου η µί

ραγώνου.

ημείο K 1,3

πό τις κορυφέ

π

να βρείτε το

στο σημείο M

αραπάνω κύ

0,0 απόστα

ηλη στην ευθ

AB

είναι ίσος

ευθεία ε: y

ής του άξονα

υ διέρχεται α

οί αριθμοί δ

κύκλο που δι

μ + 2λ = 0.

ση x2 +y2+6μx

ι από την αρ

του αντίστοιχ

γίσετε το εμβ

ία διαγώνιος

ές του παραπ

ο κέντρο και

M 1,2 .

ύκλων βρίσκο

αση ίση με

θεία y x 1

ς με 12

2x 8 .

α x x με την ε

από τα σημεία

διάφοροι του

ιέρχεται το Ο

x+8λy=0 για

ρχή των αξόν

χου κύκλου μ

βαδόν του τρ

ς βρίσκεται σ

πάνω τετραγώ

27

την ακτίνα

ονται σε

2

2

.

ευθεία ΑΒ

α Μ , Γ

μηδενός.

Ο(0,0).

α τις

νων.

με την

ριγώνου

στην ευθεία

ώνου.

7

28

8.16 Δίν

Α Να

ρ 2 .

Β Να

Γ Αν

του τριγώνο

8.17 Δίν

Α Να

8.18 Δίν

Α Αν

ανήκει σε έλ

Β Να

έλλειψη.

Γ Να

σχηματίζου

8.19 Δίν

(2) με κ ,λ

A) Να

σημείο Α.

B) Να

κέντρο και τ

Γ) Αν

της ευθείας

8.20 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Τι π

Δ) Να

Ε) Να

Στ) Να




Α, Β είναι τ

ου ΜΑΒ .




το σημείο P

λλειψη της ο



υν οι ασύμπτω

ονται οι εξισ

R


βρεθούν οι τ

την ακτίνα σ

τα κ ,λ παίρ

ώστε ο κύκλ



εξετάσετε γι

παριστάνει η




ση 2 2x y



τα σημεία επα

ανύσματα α

ε την γωνία

ος µε εξίσωση

o ox ,y ανή

οποίας να υπ

ξίσωση της ισ


ωτες.

σώσεις λ κ

η εξίσωση (1)

τιμές των κ ,

σαν συνάρτη

ρνουν τις ίδι

ος να εφάπτε

ος 2 21C : x y

ετε την εξίσω

α ποιες τιμές

η 1 για λ

ότι η 1 διέρ

ότι κάθε κύκλ

ωμετρικός τόπ

4x 2y 3

η αυτή παρισ


αφής των πα

καιβ

για τα

(α ,β)

.

η 2 2x y 9

κει στον παρ

πολογίσετε τη

σοσκελούς υπ

ασυμπτώτων

1 x 2 κ


λ R ώστε η

ση των κ ,λ .

ες τιμές και γ

εται της ευθε

2 2 και η εξ

ωση ε της εφ

ς του λ R η

2


λος της 1

πος των κέντ

0 και το σημ


ων του κύκλο

αραπάνω εφα

α οποία ισχύο

Β Να

.

ραπάνω κύκλ

ην εκκεντρότ

περβολής η ο

ν της υπερβο

λ y λ κ

ευθεία για κ

η εξίσωση (2)

.

για τις δύο εξ

είας στο σημε

ξίσωση 2x y

φαπτομένης

η (1) παριστά

σταθερό σημε

εφάπτεται στ

τρων της 1

μείο Μ 2,1

ο με κέντρο το

ου που διέρχο

απτομένων μ

ουν|α| 2

, |

α αποδείξετε ό

λο, να δείξετ

τητα.

οποία έχει τι

ολής του ερω

1 0 (1) κα

άθε κ ,λ R

να παριστά

ξισώσεις, να

είο Α .

2y 2 λ(x

ε του C 1 στ

άνει εξίσωση

είο, το οποίο

την ευθεία ε

.

htt

.

ο σημείο Κ


με τον κύκλο,

β| 3

και |2

ότι: 3α 2β

ε ότι το σημε

ς ίδιες εστίες

τήματος β κα

αι 2 2x y

η οποία διέρ

νει κύκλο το


y 2) 0 (1)

το σημείο του

κύκλου.

και να βρεθ

ε (του πρώτ

ΓΕΝΙΚ

ttp://users.sch

2, 1 και ακ

ο σημείο Μ 2

, να βρείτε το

2α β| 7

β

είο o

5 4M x ,

3 3

ς µε την παρα

αθώς και τη γ

κ 1 x λ


ου οποίου να


)

υ Α 1,1

θεί.

του ερωτήμα


h.gr/mipapagr

κτίνα

2,1 .

ο εμβαδόν

o

4y

3

απάνω

γωνία που

2 y κ 0

σταθερό

βρείτε το

κύκλου και

ατος)

Σ

r


8.21 Δίν

Αν ο κύκλο

Α) Τα δ

Β) Ο κ

Γ) Να

8.22 Η κ

ευθεία με εξ

ε : x 3y 8

Α) Να

να βρείτε τη

Β) Να

Γ) Να

αξόνων και

8.23 Δίν

Α) Απο


Β) Να

διχοτόμος τ

Γ) Να

του προηγο

8.24 Δίν

Δ1) Να

Δ2) Να

Δ3) Nα

εμβαδό 4τμ

8.25 Δίν

Δ1) Να

Δ2) Να

Δ3) Αν

που διέρχετ

Δ4) Να

αξόνων και


ονται τα μον

ς C διέρχετα


κύκλος C έχει


κορυφή Α εν

ξίσωση x 2y

0 .

καθορίσετε τ

ην εξίσωση τη



ι διέρχεται απ

εται η οικογέ

οδείξτε ότι γι

από σταθερό

αποδειχθεί ό

της 1ης και 3ης

βρεθεί η εξί

ούμενου ερωτ




βρείτε τις τι


δείξετε ότι π


Α(4,0) το σημ

ται από το ση


ι Κ το κέντρο


ναδιαία διαν


u,v

είναι κ

ι κέντρο το σ

ότι η ευθεία

νός παραλληλ

y 2 . Επίσης

την πλευρά τ

ης απέναντι

ότι το κέντρο

ξίσωση της π

πό το κέντρο

ένεια λε : (λ

ια κάθε τιμή

ό σημείο.

ότι η ευθεία

ς γωνίας των

ίσωση της εφ

τήματος.

ση (ε) : κx -(

ότι η παραπά

ότι οι ευθείες

ιμές του κ γι

ση 22x 16x

παριστάνει κύ

η ευθεία ε:y=x

μείο που η ευ

ημείο Α.


ο του παραπά

πουδών

νύσματα u,v

μείο Α ( 2 , 2

άθετα, δηλαδ

σημείο Κ(1,-1

y x 2 3

λογράμμου Α

ς, είναι γνωσ

του ΑΒΓΔ η

πλευράς της

ο του παραλλ

παραβολής η

ο Κ του παρα

λ 1)x (λ 1

της παραμέτ

ε της οικογέ

ν αξόνων.

απτομένης τ

(κ+1)ψ + 2=0

άνω εξίσωση

ς με εξίσωση

ια τις οποίες

2x 2y – 16y

ύκλο με κέντ

x-4 είναι εφα

υθεία ε τέμνε

ς των σημείω

άνω κύκλου.

v

και ο κύκλο

2) , να αποδ

δή u v


2 εφάπτετα

ΑΒΓΔ έχει σ

στό ότι μια ε


ς.

λληλογράμμο

η οποία έχει ά

αλληλογράμμ

1)y 2λ 0 ό

τρου λ η λε

ένειας η οπο

της παραβολή

0 , κ Є R.


(ε) διέρχοντα

η παραπάνω

48 0

τρο Κ(4,4) κα

απτομένη του

ει τον άξονα

ων τομής του

ος 2 2C : x y

είξετε ότι :

α ρ 6

αι στο κύκλο

συντεταγμένε

εκ των υπολο

ει στην ευθεί

ου είναι το ση

άξονα συμμε

μου.

όπου λ R


οία διέρχεται

ής η οποία εί


αι για κάθε τ

ω ευθεία σχη

αι ακτίνα ρ=2

υ παραπάνω

x΄x . Να βρε

κύκλου και

2 3u v x

C

ες Α(-4,6) .Η

οίπων πλευρώ

ία (ε) και

ημείο Κ(-3,4)

ετρίας τον xx

και η παραβ

ι ευθεία και ό

από την αρχ

ίναι παράλλ

κάθε τιμή του

τιμή του κ απ

ματίζει με το

2 2

κύκλου.

εθεί η άλλη εφ

της ευθείας Ο

x u 3v y

πλευρά ΒΓ α

ών, ανήκει σ

).

x , κορυφή τη

βολή 2y 4x

ότι όλες οι ευ

χή των αξόνω

ληλη προς τη

υ


ους άξονες τρ

εφαπτομένη τ

ΟΚ όπου Ο η

29

4 0 .

ανήκει στην

τη ευθεία

ην αρχή των

υθείες λε

ων είναι η

ν ευθεία ε

σημείο.

ρίγωνο με

του κύκλου

η αρχή των

9

ν

30

8.26 Δίν

Δ1 Να

Δ2 Να

Δ3 Να

8.27 Δίν

Α) Να

παράλληλες

Β) Να

Γ) Αν

στις 1 2ε ,ε κ

8.28 Δίν

Α) Να

Β) Να

8.29 Δίν

Δ1 Να

το κέντρο το

Δ2 Να

Δ3 Να


8.30 Δίν

Α) Να βρείτ

Β) Αν

Γ) Να

10

8.31 Έστ

Δ1 Να

Δ2 Να

Δ3 Να

περνά από

ονται οι ειθε



βρείτε τον γ

ονται τα μη


ς.


1ε : x y 1

και το κέντρο


υπολογιστού

βρεθούν οι ε



ου και την ακ



νες


τε τις εξισώσ

1 : 2x y


τω Μ(5λ, λ



α βρείτε την

ό το Μο.

είες 21ε : 2λ x


ότι το σημείο

γεωμετρικό τό

μηδενικά δια



0 και 2ε : x

ο του είναι επ

ανύσματα u,

ύν η ακτίνα

εξισώσεις των

ση 2 2x y 4

η (1) παριστά

κτίνα του

ωμετρικός τόπ

ότι οι κC δ

ος 2x y 1

σεις των εφα

6 0 και 2

ξίσωση της έ

3), λIR ση

τα σημεία

ι το σημείο Μ

εξίσωση έλλ

λy 2 , 2ε

ς τέμνονται γ

ο τομής τους

όπο των σημ

ανύσματα u

ς 1ε : u v x

ευθειών 1ε ,ε

x y 5 0 , ν

πί της ευθείας

,v

με u 1,

και το κέντρ

ν εφαπτομέν

4κx 2y 4κ

άνει κύκλο C

πος των κέντ

διέρχονται απ

2 5 και το

πτομένων 1

: 2x y 6

λλειψης που

ημεία σε σύστ

Μ ανήκουν

Μο (1, 1) τη

λειψης C, π

1: 4λx y

λ

για κάθε λ

είναι το Μ

μείων Μ για

u,v

με γωνί

x u v y 5

2ε αν για τα

να βρείτε την

ς ε : 2x y

v 2

και η

ρο του κύκλο

νων που άγον

κ 0 : 1 , με

κC για κάθε

τρων κC γι


ο σημείο A 0

1 2, του κύκ

0 να βρείτε

υ έχει εστίες τ

τημα Οxy.

ν σε ευθεία ε

ης ε, βρίσκετ

που έχει κέντ

με λ R .

R

2

1 1Μ ,

2λ λ

.

α τις διάφορε

ία 0(u,v)=90

5 0 και 2ε

u,v

ισχύει

ν εξίσωση `το

0 .

γωνία των δ

ου 2 2C : x y

νται από το σ

κ R

ε κ R με κ

ια τις διάφορ

σημείο Μ του

0, 6

κλου που διέ

ε σε ποια σημ

τα παραπάνω

ε, της οποία

ται πλησιέστ

τρο το Ο, μι

htt

ς τιμές του λ

0 .

2 : u v x u

ότι u 3, v

ου κύκλου C

διανυσμάτων

(u v 5)x

σημείο A(2,3

12

και να β

ρες τιμές του

υ οποίου να

ρχονται από

μεία τέμνουν

ω σημεία και

ς να βρείτε

τερα στην α

ια κορυφή τ

ΓΕΝΙΚ

ttp://users.sch

λ R

u v y 25

4

C ο οποίος εφ

ν 060 .

2u v y 9

3) προς τον

βρείτε συναρ

1

κ R2


ό το σημείο Α

ν τον άξονα χ

ι μήκος μεγά

την εξίσωσ


της το σημεί


h.gr/mipapagr

0 είναι

φάπτεται

9 0

κύκλο C

ρτήσει του κ

ετε τις

Α

χ΄χ

άλου άξονα

η.

ξόνων.

ίο (2,0) και

Σ

r


8.32 Σε σ

Δ1 Να

·ΣM

= 0 είν

Δ2 Ότα

έλλειψη.

Δ3 Αν

Δ4 Να


8.33 Δίν

Γ1 Να

α) Οι ε

β) Οι ε

Γ2α) Να

Για

β) Να

γ) Να

8.34 Δίν

2 2x y 2

Δ1. Δείξ

Δ2. Για

2C : (x 2)

Δ3. Nα

ερωτήματος

8.35 A) Δ

α) να α

β) Αν

1

Β) Δίν

ερωτήματος


σύστημα Οxψ


ναι ο κύκλος

αν το σημείο

η εξίσωση τη


ξόνων.

ονται οι λε

δειχθεί ότι:

ευθείες λε

ευθείες λε

βρεθεί η τιμ

την τιμή του

βρείτε την α

βρείτε το εμ

ονται τα μη

2 x 2 2

ξτε ότι η εξίσ

α 1, β 1

2(y 2) 6

εξετάσετε αν

ς Δ2.

Δίνεται η α


α, β

μοναδ


ς (ii), να εφάπ


ψ δίνονται τ

ότι ο γεωμετ

ς x 2+ψ2 = 4.

Ν(κ, λ) κινεί

ης έλλειψης

ότι ˆEBΟ =60

: y λ 1 x



ή του λ ώστε

υ λ που βρήκ

απόσταση τω

βαδόν τετρα

μηδενικά δια

22 y

σωση (1) παρ

1 και συν(α,

ν η εστία της

α β 1 x 2

τι όλες οι πα

ιαία διανύσμ

ος 2x κ

πτεται του π

πουδών

α σημεία Ρ(

τρικός τόπος

ίται στον πα

είναι 2 yx

4

0ο όπου Β μια

x 4 και λε

από το σημείο

από σταθερό

ε οι ευθείες να

κατε στο Γ2α)

ν παραλλήλω

αγώνου που έ

ανύσματα

2 0

(1)

ριστάνει κύκλ

1,β)

4

, να α

παραβολής

2 αβ y 4

αραπάνω ευθ

ματα με α,β

2 1y 2 .

10

αραπάνω κύ

2,0) και Σ (2


αραπάνω κύκ

2

14 να βρε

α από τις κορ

λ : 3 λ x y

ο A 0,4 για

σημείο Β του

α είναι παρά

):

ων ευθειών π

έχει τις δύο α

, και η εξ

)

λο ακτίνας

αποδείξετε ότ

2y 8x βρίσ

0 1 . με α

θείες διέρχον

πβ ,

3

να βρ

Να βρείτε τ

ύκλου.

2, 0).

ν Μ(x , ψ) το

κλο να αποδε

είτε τις εστίες

ρυφές του μι

y λ 0 , με

α κάθε πραγ


άλληλες

που προκύπτ

απέναντι πλε

ξίσωση

2

τι ο κύκλος (1

σκεται στο εσ

α

.β R

ται από σταθ


την τιμή του

ου επιπέδου γ

είξετε ότι το (

Ε και Ε΄ και

ικρού άξονα

λ R

ματική τιμή


τουν από τις

ευρές τους στ

1) παίρνει τη

σωτερικό του

θερό σημείο

σωση της ευθ

κ, έτσι ώστε η


(κ

T ,λ2

, λ)

ι την εκκεντρ

της έλλειψη

του λ


λε και λε

τις ευθείες αυ

η μορφή

υ κύκλου C τ

θείας που πα

η ευθεία του

31

ισχύει ΡM

) κινείται σε

ρότητα της

ης και Ο η

ς

λ

υτές

του

ριστάνει η

υ θέματος Α,

1

32

8.36 Δίν

Δ1. Αν

Δ2. Αν

M(x,y) είνα

Δ3. Να

Δ4. Να

συνέχεια να

8.37 Θεω

Α1. Δείξ

σταθερός.

Α2. Αν

ευθεία, δείξτ

Β1. Να

του λ εκτός

Τι συμβαίνε

Β2. Να

8.38 Δίν

Α) το Α

Β) να β

Γ) αν Β

Δ) να β

Ε) να β

Στ) να β

8.39 Δίν


Α Δείξ

Β Αν

α)

β)


α β

, να α

ισχύει ότι α

ι κύκλος , το

βρείτε τα κο

βρείτε τις εφ

α βρείτε το μή

ωρούμε τα δι

ξτε ότι η εξίσ

Ρ(x0, y0) είνα

τε ότι 20x y


της τιμής –2κ

ει όταν λ = -2



Α είναι εξωτε

βρείτε τις εφα

Β, Γ τα σημεί

βρείτε το συμ

βρεiτε τη γων

βρείτε το εμβ

εται η ευθεία

α γ 2, 1

ξτε ότι α 0

επιπλέον γν

Δείξτε ότι |

Να υπολογ

ανύσματα α


22α β 12y


οινά σημεία τ


ήκος της χορ

ιανύσματα α

σωση α.β κ

αι το ίχνος τη

2 20y κ .

η εξίσωση (x

κ. Βρείτε το κ

2κ;

ο κύκλος διέρ

ος 2 2C : x y

ερικό σημείο

απτομένες το

ία επαφής τω

μμετρικό του

νία των εφαπ

βαδό του τριγ

α ε με εξίσωσ

είναι κάθετ

και ότι |β|

ωρίζετε ότι φ

β| 4

γίσετε το μέτρ

2x 1,y 2

ι ο γεωμετρικ

2 64 0 , να

βρείτε το κέν

των δύο παρ

του παραπάν

ρδής που απο

α (x, y) και


ης κάθετης πο

2 2 2y – )

κέντρο και τη

ρχεται από το

4 και το

του κύκλου

ου κύκλου πο

ων προηγούμ

υ Α ως προς τ

πτομένων

γώνου ΑΒΓ.

η α β x

το στην ευθεί

2συνφ

οφ 60 και α

ρο του διανύ

2 και β 2

κός τόπος C


ντρο και την

απάνω γεωμ

νω κύκλου οι

οκόπτει η μια

ι β (συνθ,η


ου φέρνουμε

( )

ην ακτίνα το

ο σημείο Ρ το

σημείο Α(2,4

ου άγονται α

μενων εφαπτ

την ΒΓ

α y 2 0

κ

ία ε , τότε:

α 3,4

τό

ύσματος α

-2

2x 1,y 2 .

1 των σημείω

ότι ο γεωμετ

ν ακτίνα.

μετρικών τόπ

ι οποίες άγον

α από αυτές α

ημθ) , όπου θ

κάθε θ ε (0, π

ε από την αρ

0 παριστάνε

ου κύκλου.

ου ερωτήματ

4). Να δείξετ

από το Α

ομένων να β

και φ η οξεί

ότε:

2β

htt

ων Μ(χ,y) είν

τρικός τόπος

πων 1C και

νται από το σ

από την έλλε

παράμετρος

π/2), όπου κ π

ρχή των αξόν

ει κύκλο για

ος Α2.

ε ότι:

βρείτε την πρ

α γωνία των

ΓΕΝΙΚ

ttp://users.sch

ναι έλλειψη

ς 2C των σημ

2C .

σημείο Α(2,2

ειψη.

ς τέτοια ώστε

πραγματικός

νων στην παρ

κάθε πραγμ

ροβολή του Α

ν διανυσμάτω


h.gr/mipapagr

μείων

2) και στην

ε π

θ 0,2

.

ς αριθμός

ραπάνω

ατική τιμή

Α στη ΒΓ.

ων α

,β

. Αν

Σ

r


8.40 Δίν

Δ1) Να

και τις ακτίν

Δ2) Να

κ 0 εφάπτε

Δ3) Να

8.41 Δίν

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

διεύθυνση τ

8.42 Δίν

ότι:

Α) y

Β) β

Γ) β-y

Δ) β

Ε) Αν



δείξετε ότι π

νες τους συν


εται και στον



βρείτε το ση

βρείτε την π

αναλύσετε τ

του MB

εται μοναδια

β

y //α

y α

2(α y) α y

1 2 α x α


ση 2 2x y

παριστάνει κύ

ναρτήσει του

οι παραπάνω

ν άξονα x΄x;

α κέντρα των

μεία Α( 3,5)

ημείο Μ του

προβολή του


αίο διάνυσμα

y

1 2x 2 α x

πουδών

2x 2 y

ύκλους για κ

κ.

ω κύκλοι εφάπ

ν κύκλων αν

) και Β(4, 2

άξονα yy π

υ διανύσματο

AM

σε δύο

α α

καθώς κ

2 2α x

να

2 0 .

κάθε κ 0 πρ

πτονται στον

νήκουν στην

2) . Τότε:

που ισαπέχει

ος AM

στο M

κάθετες μετα

και τα διανύσ

α αποδειχτεί

ραγματικό αρ

ν άξονα ψ΄ψ

παραβολή y

ι από τα Α κ

MB

αξύ τους συν

σματα β,y

ώ

ότι 1 2x x

ριθμό και να

ψ για κάθε κ

y2=2x

και Β

νιστώσες, μια

ώστε: y 2(α

α βρείτε τα κέ

0. Για ποιε

α από τις οπο

α β) α β

. Ν

33

έντρα τους

ες τιμές του

οίες έχει τη

Να δειχθεί

3

bkat sxol 2015-2016 papagrigorakis 3 - …...Β Λυκείου – 1 ΔΙΑ Ορισμοί – 1.01...

Documents

Transcript of bkat sxol 2015-2016 papagrigorakis 3 - …...Β Λυκείου – 1 ΔΙΑ Ορισμοί – 1.01...