cgen sxol 2015-2016 papagrigorakis 5users.sch.gr/.../cgen_sxol_2015-2016_papagrigorakis.pdf6...

ΓΛυκείου

4οΓΛΧ

2015‐2016

M.Ι.ΠαπαγρηγοράκηςΧανιά

[Μαθηματικά] καιΣτοιχείαΣτατιστικής 15.07

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Γενική Παιδεία

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Έκδοση 15.07

Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd

Χανιά 2015

Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου –

1 ΣΥΝ

1.01 Βρ

συναρτήσεω

Γ) x

4xf x

e

Ε) xf x

x

Ζ) f xx

1.02 Να


k x 12

r x x

1.03 Να

των: Α) f

Γ) f

Ε) s

1.04 Να

όταν: Α) f

Β) f x 1

1.05 Ναμε τις γραφι

A) f x 2

Γ) f x l

1.06 Η 3f(x) αx 5

τα σημεία και να λυθεί

Μαθηματικά

ΝΑΡΤΗΣΕ

ρείτε τα πεδία

ων Α) f(x) l

x

2

1

x 1x 1

53 1

α βρείτε τα π

ων: 2

1f x

x

2x x

2x 1

α γίνουν οι γ

1x

x

xx e 2

x ln x

α ορίσετε τις

x ln x 1

2x x 1,

α βρείτε τα κικές παραστά

3 22x x 5x

ln 2 x

γραφική παρ25x β x 1

2, 25 και 1ί η ανίσωση

ά Γενικής Παι

ΕΙΣ

α ορισμού τω2og(9 x ) Β

Δ) f xη

Στ) g x

Η) f(x)

πεδία ορισμού

1ln x 2

x

xφ(x)

ln x

t x log(2

γραφικές πα

Β) p

Δ) g

Ζ) g

συναρτήσεις

1 και g x

, 4 και g x

κοινά σημείαάσεις των συν

2 B f

Γ f

ράσταση της

, α,β R , δ

1,0 . Να βρε

f(x) 0

ιδείας

ων

Β) f(x) 1

2εφxημx ημ2x

2x² 5x

x 4

1 ln x

ύ των

2

2 log x)

αραστάσεις

p x x 1

2g x 1 x

g x 2ημx

ς f g , fg

4 x

x x

α των αξόνωνναρτήσεων

x 2x e 1

x ημ2x

ς συνάρτησης

ιέρχεται από

εθούν οι α, β

x

ν

1

ς

ό

1γρ

f

1ώ

1

ση

1

f

1f

1

2

1y

1

Ν

απ

α

1συ

h

λ

.07 Να βραφικών πα

3x x x κ

.08 Αν f

στε η fC να

.09 Αν

ημείων Α 1,

.10 Αν f

1f(x)

x

κ

.11 Για μ

2x f x

.12 Για μ

1f x 3f

x

.13 Να β

2y λ 2λ x

.14 Δίνε

Να βρεθεί το π

ποδείξετε ότι

fα,β D

.15 Nα ε

υναρτήσεων

2x 1h x e

2λ x x

βρεθούν τα καραστάσεων τ

και 2g x x

f x α x

διέρχεται απ

2f x

x , να

, f(1) και Β

x 1f x

x 1

και 1

fx

μια συνάρτη

x , x R να

μια συνάρτη

2x

, x 0. Ν

βρείτε το λ

x 1 και y

εται η συνάρτ

πεδίο ορισμο

ι f α f β

εξετάσετε την

f x 2x

κοινά σημείατων συναρτή2 1

3 τότε να βρ

πό το M 4, 2

α βρεθεί η απ

1, f( 1)

τότε να απο

1f(x)

ηση f ισχύει

βρείτε τα f

ηση f ισχύει

Να βρείτε το

R αν οι ευ

1 είναι παρ

τηση f x

ού της f και ν

α βf

1 αβ

γ

ν μονοτονία

2 g x

2k x ,

x

μ x x 1

α των ήσεων

ρεθεί το α

πόσταση των

δείξετε ότι

0 , f 1

ο f 2

θείες

ράλληλες

1 xlog

1 x

.

να

για κάθε

των

x ln 1 x

x>0

1

3

4

http://users.s

Όρια - Συν

1.16 Nα

A) xlim

Γ) xlim

1.17 Nα

Α) tlim

1.18 Nα

Α) 3

3x 1

x xlim

x x

Γ) 3

x 1

x 5lim

1.19 Nα

Α) π

x2

σlim

1

Γ) x 3lim

x

1.20 Nα

Α) 2

2x 1

xlim

x

Γ) x 3lim

2 x

1.21 Nα

Α) 3x 0

limx

Γ) x 2lim

2x

x

1.22 Nα

Α) xlim

Γ) xlim

sch.gr/mipapa

νέχεια

α υπολογίσετ2

3

x 9m

x 3

3

1

x 1m

x 1

α υπολογίσετ3 2

2

t 4t 4m

(t 2)(t 3


2

x 2x 2

x 3x 3

2

2

5x 8x 4

x 1


2

υν x

ημ x

2x 9

1 7 x

α υπολογίσετ

4x 3

x 2 2

3 x

6 3 x 1


x

1 1

5 x 1

x 2 x


0

xm

x 3 3

2

x 2m

2 x

agr

τε τα παρακά

B) 2x 3

(xlim

x

Δ) 2

2x 5

xlim

x


4t3)

Β) xl


Β) x 2

xlim

x

Δ) x 2lim


Β) 2x 4

3lim

x

Δ) x 4

x 1lim


Β) xli

Δ) xli


Β) xli

Δ) xli


3 Β)

xl

Δ) xli

άτω όρια: 23)

9

7x 10

2x 15

άτω όρια:

x 2im

2

2

x 5x

x 4

άτω όρια: 5

4

x 32

x 16

3x 3x 2x 2

άτω όρια:

2

x 5

16

1 x 5x 4

άτω όρια:

25

x x x 5m

x 6x 5

21

3 x 3im

x x

άτω όρια: 2

1

x 3x 2m

x 4 x 3

20

x 5 5im

x 4 4

άτω όρια:

x 5

x 5im

x 5

2

2x 4im

2 2x

6

5

5

2

3

5

4

1

Α

Γ)

1

Α

Γ)

1

Α

Ε)

1

Α

Γ)

1

Α

Γ)

1

ΑσυΒ)

ώ

.23 Nα υ

Α) x 1lim

) x 1lim

.24 Nα υ

Α) x 2

x 7lim

x 2

) x 1lim

2xx

.25 υπολ

Α) x 0lim

1 xx

) 2

2x 4

xlim

2x

.26 Nα υ

Α) 2

x 5

x 3lim

2( x

) x 0lim

1 x

.27 Nα υ

Α) x 3lim 2x

) 2x 3

x 1lim

x

.28 Αν f

Α) Να βυνάρτησης ) Να β

στε η συνάρτ

υπολογίσετε 2

2

1 x

x 3 2

Β

2

x 1

x 1

Δ

υπολογίσετε

32

Β

3 2x1

Δ

λογίσετε τα π

x 1 Β

3x 8

7x 4

Σ


x 10

4 3)

Β

1 xx

Γ


2x 9

3x x 3

x 1

9

2

16 xf(x) 4 x

α 2

βρεθεί το πεδ

βρεθεί ο πρα

τηση να είνα

τα παρακάτ

Β) 2x 4

x 2lim

x 1

Δ) 2

x 3

x 9lim

x 3

τα παρακάτ

Β) x 0

x²lim

4 x

Δ) x 3

xlim

x 1

παρακάτω όρ

Β) 2

x 7

xlim

x²

Στ) 2

x 3

xlim

x

τα παρακάτ

Β) 2

x 2

2xlim

x

Γ) x 5lim

2x

5

τα παρακάτ

Β) xlim

2xx 4

x2α x 4

δίο ορισμού

αγματικός αρ

αι συνεχής στ

Ανάλυσ

τω όρια:

2

6

9

3

τω όρια:

²

x² 2

3

1 x 1

ρια:

7x7

4x 3

3

τω όρια:

3x 2

2x

10

5x

τω όρια:

3

x 3m

x 1 2

τότε

της

ριθμός α

το 4

ση


Πράγωγος

1.29 Νσυναρτήσεω

A) f x 2x

B) f x x

Δ) f x 3

Στ) 2f x x

Η) xf x

x

1.30 Νασυναρτήσεω

Α) 2f x

x

Γ) f x 3η

Ε) f x x x

Στ) xf x


A) 2

3

ef x

e

Γ) f x ln

Ε) 1f x η

3

Ζ) f x ημ


Α) f x ημ

Β) f x ln

Δ) f x xe

1.33 Να



ς – Κανόνε

α βρείτε τις πων:

3 2x 3x x

ln x

2ημx συνx

2 xημx e ημx

x2xe

α1

, α


2

1 3

x x

2ημxσυνθ x

2 3x 1 x 2

2

x

x α

e

,α R


x

x

1

1

n(x² e)

3 21ημ x συν

2

μ συν2x


μ 2x συν 2

xe 1x

1x

α βρεθεί η δε

ων 3f x x ln


ες παραγώγ

πρώτες παρα

ln 2

Γ) f x

x Ε) f x

x Ζ) f x

R Θ) f x


Β) f

, θ R Δ) f(

2x ημθ ,

R ` Ζ) f


B) f

Δ) f

2x Στ) f

Η) f


2x 3

Γ) 1f x

2

Ε) f x1

εύτερη παράγ

n x και g(x)

ιδείας

γισης

αγώγους των

2x x ln x

3x 2 x x

2

2

x x 1x

x 1

2x

xx 1

γώγους των

2

x ln xx

x 1

x

x(x)

e 1

R

xημxx

1 εφx

γώγους των

x

4x

ex

1 2e

x εφx

2f x x συν

x ln ln x

γώγους των

x xe e

ημxσυνx

γωγος των

) ln(ημx)

ν

x

x

1ν

x

x

1

συ

x2f

1x

A

B)

1Ν

f

1ώ

1ευ

χρ

Α

Β)

1

όρ

1

όρ

1

1

hli

.34 Αν f

υναρτήσεις σ

R , να απο

2 x g (x) g

.35 Έστω

R

A) Nα α

) Λύσ

.36 Έστω

Να βρείτε: Τις

x 2f x

.37 Βρεί

στε να ισχύε

.38 Η θέυθύγραμμη κ

ρόνου t από

Α) Τη μέση τα

) Τη στιγμια

.39 Αν f

ριο

h 0

f 1lim

.40 Αν f

ριο

x 0

f xlim

.41 Αν f

.42 Να υπ

1 h

0

e eim

h

,

f ,g είναι πα

στο R και ισχ

οδείξετε ότι

2g(x) g x

ω η συνάρτη

αποδείξετε ότ

τε την εξίσωσ

ω η συνάρτη

ς τιμές του α,

3f x , για

ίτε πολυώνυμ

ι P 0 1 , P

έση ενός κινηκίνηση δίνετα

τον τύπο S

αχύτητα του

αία ταχύτητά

2x x x

h f 1

h

xx x e e

1 1

x

x ln x 1 β

πολογίσετε τα

x 1

x 0

e elim

x

,

αραγωγίσιμες

χύει: 1

f(x) g

f (x) f(x)

ηση 2f(x) e

ότι f (x) 4f(

ση 1

f(x) f2

ση f με f x

, ώστε να ισχ

α κάθε x R.

μο P x δευτέ

P 1 6 , P

ητού που εκται συναρτήσ

2t 3t t .

κινητού στο

ά του όταν t

1 να υπολ

e να υπολογ

βρείτε το xlim

α όρια

, x 0

xlim

ς

x

1 1g(x) e

,

x 2xe ,

x)

2xf (x) 2e

αxe , α R

χύει η σχέση

έρου βαθμού

0 3

τελεί σει του

Να βρείτε:

ο 2, 4

3

ογίσετε το

γίσετε το

0

f x 1 1m

x

12

x

5

.

ύ

6

Παράγωγο

1.43 Να

παράστασης

εφαπτόμενες

Α) 2f(x) x

1.44 Αν

να βρείτε τατης g να έχε

των x στα ση

1.45 Αν

βρείτε τις εξιγραφικής παστην ευθεία

1.46 Έσ

x R . Να β

fC , που σχη

1.47 Δίν

Α) Τη γωνία

fC στο σημε

Β) Το σημείπαράλληλη

1.48 Έσ3f(x) x 3x

Α) Να

της γραφική

το ρυθμό μεταυτά. Β) Σττετμημένη ν

1.49 Δίν

xf x αe

Α) τα α,β ώσ

0,1 να είν

Β) την εξίσω

ος –Εφαπτ

α βρείτε τα σ

ς της συνάρτη

ς είναι παρά

6x 1 Β) f

ν 2g(x) x

α α, β έτσι ώσει εφαπτομέν

ημεία με τετμ

ν 31f x x

3

ισώσεις των εαράστασης τη y x 3 .

στω η συνάρ

ρείτε την εξί

ηματίζει με το

νεται η f x

α που σχηματ

είο της A 1, f

ίο όπου η εφστο x´x

στω η συνάρτ2x 3x 10

α βρείτε τα σ

ής παράσταση

ταβολής της

ο σημείο (τουνα βρεθεί η εξ

νεται η συνά

β x 1 x

στε η εφαπτο

ναι παράλληλ

ωση της παρα

τομένη

σημεία της γρ

ησης f στα ο

άλληλες στον

xf x

ln x Γ

αx β ln(x

στε η γραφικήνη παράλληλ

μημένες x 0

2x 2x 1

εφαπτομένωης f, που είνα

ρτηση f x

σωση της εφ

ον x΄x γωνία

2x ln x . Να

τίζει η εφαπτ

f(1) ,με τον

απτόμενη είν

τηση

σημεία όπου η

ης της f , έχε

παραγώγου

υ α ερωτ.) μεξίσωση της εφ

άρτηση f με

R , α,β R

ομένης της C

λη στην y

απάνω εφαπτ

ραφικής

οποία οι

x x όταν

Γ) xe

f xx

1) , x 1 ,

ή παράστασηλη στον άξονα

0 και x 1, 5

, x R , να

ν της αι παράλληλ

2x 3x 1 ,

απτομένης τη

α 135.

α βρείτε :

τομένη (ε) τη

άξονα x x .

ναι

η εφαπτομέν

ει κλίση ίση μ

f στα σημε

ε τη μικρότερφαπτομένης.

R . Nα βρείτε

fC στο σημείο

2x 1

τομένης

,

η α

5

λες

της

ς

νη

με

εία

ρη .

ο

1f

α

γρτε

1

γρ

ση

1πρ

A

τησυ

1πα

Ν

τη

1f

τη

συ

1βρ

εί

1

x

ση

C

.50 Δίνε

2x 2x α

α,β ώστε η y

ραφικής παρετμημένη 2 .

.51 Να α

ραφικής παρ

ημεία που τέ

.52 Αν

ροσδιορίσετε

A 2, 10 να

ης f και η εφαυντελεστή δι

.53 Έστω

αραγωγίσιμη

Να βρείτε την

ης g x f ln

.54 Δίνε

: 0, R

ην εφαπτομέν

υνάρτησης f

.55 Έστω

ρεθούν οι τιμ

ίναι εφαπτομ

.56 Έστω

0 . Αν η f

ημείων Α κα

fC στο Μ 1, f

εται η συνάρ

x β , α,β

3x 1 να ε

ράστασης της


ράστασης τη

μνει τους άξο

3f x αx

ε τα α, β R

ανήκει στη γ

απτομένη τηςεύθυνσης τον

ω ότι η συνάρ

η στο R και

ν εξίσωση της

n(x) στο ox

εται η παραγ

R με 2f x 4

νη της γραφ

στο σημείο A

ω η f x ln

μές των α, β

μένη της fC σ

ω τα σημεία

x εκφράζει

ι Β, να βρείτ

f(1)

ρτηση f με

R . Να υπολ

είναι εφαπτο

ς f στο σημε

ότι οι εφαπτο

ης xf x

x

ξονες είναι πα

2βx 9x 12

ώστε το σημ

γραφική παρ

ς C στο σημεν αριθμό 3

ρτηση f είνα

είναι f 1

ς εφαπτομένη

e

γωγίσιμη συν

34x x ln x

φικής παράστ

A 5, f(5) .

22n x 1 α

ώστε η y 2

στο ox 0

Α ln x,0 κ

ει την απόστα

τε την εφαπτο

Ανάλυσ

ογίσετε τα

ομένη της

είο της με

μένες της

42

στα

αράλληλες

2 , να

μείο

ράσταση C

είο Α να έχει .

αι

2f 1 e .

ης στη γ.π.

νάρτηση

x . Να βρείτε

τασης της

αx β . Να

21x 35 να

και xB 0,e ,

αση των

ομένη της

ση

Μ


Μονοτονί

1.57 Νατα ακρότατα

Α) f

Β) g(

1.58 Νατα ακρότατα

Α) f

Γ) f

1.59 Έσ

α R

Α) Αποδείξτ

B) Να βρείτ

1, f(1) να ε

Γ) Για την τιf ως προς τη

1.60 Δί

2f x κx

Α) Να

θέση ox 1

1.61 Αν

Α) Να

τους οποίους

Β) Αν

ακρότατα τη

1.62 Δίν

Α) Να βρείτ

Β) Να αποδ

1.63 Αν

και q θετικ

έχει τη μέγισ


ία - Ακρότα

α μελετήσετε α κάθε μια απ

4 2x x 8x

2

x

2x xx)

e

α μελετήσετε α κάθε μια απ

x x 6 x

ln x 2x

x

στω η συνάρτ

τε ότι f΄΄ x

τε το α ώστε

είναι παράλλ

ιμή του α πο μονοτονία κ

ίνεται η συνά

λx 3 , x R

α βρείτε τα κ

τοπικό ακρό

ν 3f x αx

α βρείτε τους

ς ισχύει f

ν α=1 και β=

ης f .


τε τα ακρότα

δείξετε ότι 1

ν V r 100p

κές σταθερές,

στη τιμή του


ατα

ως προς τη μπό τις συναρ

5

Γ) f x

ως προς τη μπό τις συναρ

Β) f x

Δ) f(x)

τηση f x e

f x 2

η εφαπτόμεν

ληλη στον x΄

ου βρήκατε, νκαι τα ακρότ

άρτηση f με

R , κ ,λ R .

κ , λ ώστε η f

ότατο ίσο με

2βx 3x 1

ς αριθμούς α

1 f 1 0

0, τότε να βρ

άρτηση f x

ατά της x 1 xxe 2e

p(1 ln r) 1

να αποδείξε

όταν p

rq

.

ιδείας

μονοτονία καρτήσεις:

2 2x (1 x)

μονοτονία καρτήσεις:

2 xx e

2

2

3x

4x 5

x 2e x 5x α

xf΄ x e

νη στο σημεί

x.

να μελετηθεί τατα.

να έχει στη

2 .

1 τότε

α,β R για

0 .

ρείτε τα τοπικ

x xxe 2e

1 , x R

00qr , όπου p

ετε ότι το V

αι

αι

α

ίο

η

κά

p

1θε

ελ

1

Αμο

Β)

ln

1Α

Β)

1πα

εφδι

1

Αμο

Β)

1Α

Β)

1

Αμο

Β)

1f

Ν

f

.64 Έστω

ετικοί πραγμ

λάχιστη τιμή

.65 Δίνετα

Α) Να μεονοτονία κα

) Αν 0

α βn αβ

αβ

.66 Δίνετα

Α) Να βρ

) Να απ

.67 Σε π

αράστασης τ

φαπτομένη έχιεύθυνσης;

.68 Δίνετα


) Να απ

.69 Έστω

Α) Να με

) Να απ

.70 Έστω


) Να απ

.71 Έστω

2x x λx

Να βρείτε για

παίρνει τη μ

ω xf x αe

ματικοί αριθμ

της f είναι

αι η συνάρτη

ελετήσετε τηνι τα ακρότατ

α β , να α

β2


ρείτε τα ακρό


ποιο σημείο τ

της συνάρτησ

χει τον ελάχι




η συνάρτηση

ελετήσετε τη μ






λ, λ R .

ποια τιμή το

μέγιστη τιμή

x xβe , όπο

μοί. Να αποδ

2 αβ .

ηση f x ln

ν f ως προς τα

αποδείξετε ό

ηση f x xe

ότατά της

ι x 11 xe 2

της γραφικής

σης f x x l

ιστο συντελε

ηση xf x

ln

ν f ως προς τα.

ι 20152016 2

η xf x e

μονοτονία τ

ι 3 2e e

η xe

f xx 2

ν f ως προς τα

ι βαe e

α 2 β 2

η

ου λ η ελάχ

ή της.

ου α,β

δείξετε ότι η

1n x

x

τη

ότι

x xe 2e

x 12e

ς 2ln x η

εστή

xn x

.

τη

20162015

x 1 , x R

της f

3 2

2, x 2

τη

22 e

ιστη τιμή της

7

ς

8

Προβλήμα

1.72 Σώακολουθώντ

3x t t 6t

Α Ποτο σώμα βρίΒ ΠόΠοια η θέσηΓ. Ποπρώτα 2sec τ

1.73 Οι αυτοκινήτου

t

1000f(t)

1 e

χρόνος σε μήΝα προσδιοοποία ο ρυθμπωλήσεων γτιμή του.

1.74 Νατρίγωνα, ποακτίνας R, τ

1.75 Εν

km με σταθε

κοστίζουν 02x

2400

lt/h

φορτηγού αν

Α) νααυτής ως συν

Β) βρτο φορτηγό ,Γ) πό

1.76 Δίν

το σημείο τη

το σημείο A

ατα

ώμα κινείται τας τη συνάρ

2t 9t 5 (t

οια η ταχύτηίσκεται στη θότε το σώμα έ και η επιτάχοιο διάστηματης κίνησης τ

ι συνολικές πυ δίνονται απ

10

010

, όπο

ήνες από τηνρίσετε τη χρομός αύξησηςγίνεται μέγιστ

α αποδείξετε υ είναι εγγεγο ισόπλευρο

να φορτηγό δ

ερή ταχύτητα

0,8 €/lt και κ

h . Αν τα υπό

νέρχονται σε

α εκφράσετε τνάρτηση της

ρείτε την ταχύ, ώστε τα έξοόσα είναι τα ε

νεται η ευθεί

ης ευθείας αυ

A 9, 4 τη μικ

σε οριζόντιορτηση θέσης

σε sec, x σε m

τα και η επιτθέση 25m; έχει μηδενικήχυνση αυτή τα διένυσε το στου;

πωλήσεις ενόπό τη συνάρ

ου t 0,20

ν έναρξη τωνονική στιγμής των συνολικτος καθώς κα

ότι από όλαγραμμένα σε έχει μεγαλύ

διανύει καθη

α x km/h . Τ

καταναλώνο

όλοιπα έξοδα

ε 9 € την ώρ

το κόστος τηςς ταχύτητας x

ύτητα που προδά του να είελάχιστα αυτ

ία y 2x 3

υτής το οποίο

κρότερη δυνα

ο άξονα

m)

τάχυνση ότα

ή ταχύτητα. τη στιγμή; σώμα τα

ς μοντέλου τηση

είναι ο

ν πωλήσεων. ή κατά την κών αι τη μέγιστη

α τα ισοσκελήε κύκλο τερο εμβαδό

μερινά 100

Τα καύσιμα

νται με ρυθμ

α του

ρα, τότε:

ς διαδρομής x ,

ρέπει να έχειίναι ελάχιστατά έξοδα;

3 . Να βρείτε

ο απέχει από

ατή απόστασ

αν

η

ή

ό.

μό

ι α,

ε

ση.

1πο

124

1πα

1ση

Ο

1βά

δί

σεΑεπ

συΒ)σηΓ)

1ευ

τα

O

τα

O

( t

Α

O

Β)

E

εί

.77 Απ’

οιο είναι εκε

.78 Από4cm βρείτε εκ

.79 Να β

αραβολής y

.80 Βρεί

ημείο 3, 4

Οx και Oy τ

.81 Η θέάλλεται, με φ

ίνεται από το

ε sec) Α) Να βπιτάχυνση το

υμπεραίνετε ) Να βημείου και το) Σε π

.82 Δίνε

υθύγραμμο τ

α άκρα A κα

Oy και Ox α

αχύτητα u

Ox δίνεται απ

t ο χρόνος σε

Α) Να β

OAB ως συνά

) Ποιο

E t τη στιγμ

ίναι 6 m;

όλα τα ορθο

ίνο που έχει

ό όλα τα ορθοκείνο με το μ

βρεθεί το πλη2x στην ευ

ίτε την ευθεία

και σχηματίζ

ρίγωνο ελαχ

έση ενός υλικφορά προς τα

ον τύπο y t

βρείτε την ταου σημείου ότ

για την κίνηβρείτε την αρο μέγιστο ύψποια στιγμή τ

εται ορθή γων

τμήμα AB μή

αι B ολισθαί

αντίστοιχα. Τ

m2

sec και η

πό την συνάρ

ε sec)

βρεθεί το εμβ

άρτηση του t

ος είναι ο ρυ

ή κατά την ο

ογώνια με εμ

τη μικρότερ

ογώνια με πεμεγαλύτερο ε

ησιέστερο ση

υθεία y 3x

α που διέρχε

ζει με τους η

χίστου εμβαδ

κού σημείου α πάνω, από

5t 20 t

αχύτητα και όταν t 11seησή του τη στρχική ταχύτηψος στο οποίοτο ύψος του

ωνία xOy κα

ήκους 10 m

ίνουν πάνω

Το σημείο B

θέση του στο

ρτηση S t

βαδό E t το

t

υθμός μεταβο

οποία το μήκ

Ανάλυσ

βαδό 264m

η περίμετρο.

ερίμετρο εμβαδόν.

ημείο της

5 .

ται από το

μιάξονες

δού.

που το έδαφος

(t ο χρόνος

την ec. Τι

τιγμή αυτή; ητα του ο φτάνει. είναι 375 m

αι το

m του οποίου

στις πλευρές

κινείται με

ον άξονα

ut, t 0, 5

ου τριγώνου

ολής του

κος του OA

ση

.

ς

m

ς


Γενικές Ασ

1.83 Έστω

σημεία: A(1

Α) Να β

Β) Να β

Γ) Βρεί

τριγώνου πο

Δ) Δείξ

Ε) Να β

Στ) Να υ

1.84 Αν

παράλληλη

Α) Να

Β) Να

1.85 Διν

Α) Τα

Γ) Να

Δ) Να

1.86 Έσ

A) Να

B) Nα

1.87 Έν

sec) να δίνετ

Α) την

Β) τις

1.88 Θεωρο

f 2 f 2

A) Αν η ε

είναι παράλ

συνάρτησης

B) Να βρ


σκήσεις στ

ω η συνάρτη3,e ) και B(

βρεθεί ο τύπο

βρεθεί το σημ

ίτε την εξίσω

ου ορίζει αυτ

ξτε ότι f "(x)

βρεθεί ο ρυθ


ν η εφαπτομέ

στην ευθεία

α βρείτε τον

α αποδείξετε

νεται η συνα

α σημεια όπυ

α βρεθει το f

α βρεθει η εξι

στω ότι f x

α βρείτε την

α βρείτε τα δ

να σώμα κινε

ται από τον τ

ν ταχύτητα τ

ς χρονικές στ

ούμε τη συνά

f 4 f 4

εξίσωση της ε

λληλη στην ευ

ς g στο σημε

ρεθεί η εξίσω


τις Συναρτ

ση f με f(x)

1,e) :

ος της

μείο τομής τη

ση της εφαπτ

τή με τους άξ

f´(x) 4x 1

μός μεταβολ

το 2 1

x 0

elim

ένη ε στη γ

x y 2 0

f 1

ότι η ε εφ

αρτηση f(x)

η fC τεμνει

ef

2

ισωση της εφ

2 x1 x e ,

εξίσωση της

ιαστήματα μ

είται ευθύγρα

τύπο x t t

του κινητού τ

τιγμές που το

άρτηση g µε

4 .

εφαπτομένης

υθεία ε : y

είο B 1,g(1)

ωση της ευθεία

ιδείας

τήσεις

2αx βx) e με

ης fC με τον

τόμενης της

ξονες.

21 4 f(x)

λής του συντε

2x 1 x 3ex


τότε:

φάπτεται στη

ln(2x) . Να

ι τους αξονες

φαπτομενης τ

, x R

εφαπτομένη

μονοτονίας κ

αμμα πάνω σ3 2t 12t 45

τη χρονική σ

ο σώμα είναι

τύπο g x

ς της γραφικ

1 , να απο

, είναι παρά

ας η οποία εφ

α,β R , τη

ν άξονα yy´

fC στο παρα

ελεστή διεύθυ

ράσταση μια

gC με g x

βρείτε :

ς και το διάα

της fC που ε

ης της fC στο

και τα τοπικά

σε άξονα ώστ

5t σε μέτρα (m

στιγμή t

ακίνητο και

f x f x

κής παράστα

δείξετε ότι η

άλληλη στον

φάπτεται στη

ης οποίας η γ

απάνω σημεί

υνσης της εφ

ας συνάρτηση

2f x x 1

αστημα στο ο

είναι παράλλ

ο σημείο της

ά ακρότατα τ

τε η θέση του

m). Να βρείτ

ι την απόστα

x , x 0,

σης της συνά


άξονα x x .

η gC της g

γραφική παρά

ο καθώς και

φαπτόμενης γ

ης f : R R

1 1 στο ση

οποιο η fC ε

ληλη στην y

A 1, f(1) .

της f .

υ την τυχαία

τε:

αση των θέσεω

, f x 0

άρτησης f στ

η της γραφική

στο σημείο Γ

άσταση διέρ

το εμβαδόν

για x 2

στο A 1, f(1

ημείο της B 0

είναι πανω α

2x 3

e

χρονική στι

ων τις στιγμέ

0, ,

το σημείο A

κής παράστασ

Γ 4,g(4) .

χεται από τα

του

1) είναι

0,g(0)

από την y=e

γμή t (σε

ές αυτές

1, f(1)

σης της

9

α

10

1.89 Η Ο ιδιοκτήτηςΤο κόστος γινα επιλεγούνιδιοκτήτης θ

1.90 Δίν

Α) την

Β) τα

1.91 Δίν

Α. Να

Β. Να

Γ. Μεπερίμετρο ΠΔ. ΝαΕ. ΝαΣτ. Να

1.92 Δίν

Α) ΝαΒ) ΝαΓ) ΝαΔ) ΝαΕ) Να

Ε) Να

Στ) Να

1.93 Μί

πλήθους x τ

μονάδα προ

βρεθεί πόσες

πλευρά ΑΔ ος πρόκειται νια τις πλευρέν οι διαστάσθα διαθέσει 1

νονται οι συν

ν εξίσωση τη

α,β ώστε η




ε διαστάσεις Π και το εμβαα βρεθεί το πα βρεθεί για α βρεθεί για


α βρείτε το πα βρείτε τη μα υπολογίσετα προσδιορίσα μελετήσετε


α λύσετε την

ία βιομηχανί

των μονάδων

οϊόντος είναι

ς μονάδες πρ

ορθογωνίου να περιφράξές ΑΒ, ΓΔ είνσεις του οικοπ20 ευρώ για

ναρτήσεις f

ης εφαπτομέν

ε να εφάπ

άρτηση f(x)

τε το όριο xlim

τε την τιμή το

x και f(x) κααδόν Ε του οπεδίο ορισμούποιά τιμή τοποιά τιμή το

άρτηση f(x)

εδίο ορισμούμονοτονία τητε το συντελεσετε το πρόση την f ως προ

ότι xln(x

εξίσωση xln

ία καθορίζει

ν παραγωγή

20€ και επιπ

ροϊόντος θα π

οικοπέδου Αξει τις πλευρέναι 3 ευρώ ανπέδου ώστε ατην περίφρα

2x ln x

νης ε της C

πτεται στη C

29x – x , x

9

f(x)m

f '(x) 3

ου κ R ώστ

ατασκευάζουορθογωνίου ωύ αυτών τωνου x η περίμετου x το εμβαδ

xln(1 x)– x

ύ της f, την f’ς f’ εστή διεύθυνημο της f’ ος τη μονοτο

1) – x ln(x

n(x 1) – x ln

την τιμή πώ

ς σύμφωνα μ

πλέον η βιομ

πρέπει να πα

ΑΒΓΔ μεταβλές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔνά μέτρο, ενώαυτό να έχει αξη;

x 1 και g

fC στο σημεί

gC στο σημείο

R και η συ

3

στε η g να είν

υμε ορθογώνιως συνάρτησν συναρτήσεωετρος γίνεταιδόν γίνεται μ

x ln(1 x)–

’ και την f’’

νσης της εφαπ

ονία και δείξτ2 3x x

1)2 6

2xn(x 1)

2

ώλησης Π x

με τον τύπο:

μηχανία πληρ

αράγει η βιομ

λητών διαστάΔ. ώ για την ΒΓ το μέγιστο εμ

2g x x αx

ίο της A 1, f(

ο της B 2,g(

υνάρτηση g

ναι συνεχής σ

ιο παραλληλση του x. ων. ι μέγιστη. μέγιστο.

2 3x x–

2 6 .

πτομένης της

τε ότι η f έχει3

για κάθε x

3x6

κάθε μονάδ

Π(x) 195

ρώνει φόρο 6μηχανία ώστ

άσεων συνορ

είναι 4 ευρώμβαδόν, με δ

x β , α,β R

(1)

2) .

t 1

g x

lim

στο ox =9

λόγραμμο. Ν

ς Cf στην αρχ

ι ολ. ελάχιστο

x > – 1.

δας προϊόντο

2x3

€ . Το κό

6 € για κάθετε να έχει το μ

ρεύει με ένα π

ώ ανά μέτρο. δεδομένο ότι

R . Να βρείτε

3 2

2

f(x)

f '(x) 3

t 3t 2tt 1

Να εκφράσετε

χή των αξόνω

ο το οποίο ν

ος συναρτήσ

όστος παραγ

ε μονάδα προμέγιστο δυνα

Ανάλυσ

ποτάμι.

Πώς πρέπει ι ο

ε:

, x 9

,x 9

ε την

ων

α βρείτε

ει του

γωγής ανά

οϊόντος. Να ατό κέρδος.

ση


2 ΣΤΑ

2.01 Να

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

ix

1x

2x

3x

4x

5x

ΑΘΡ

ΠΙΝΑΚΑΣ 2

ix

-2 0 1 3 5

ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 3

ix

1 2 3 5

ΑΘΡ

ΠΙΝΑΚΑΣ 4

ix

-5 -3 0 1

ΑΘΡ

ΠΙΝΑΚΑΣ 5

ix iν

1 5 2 3 4 4 5 6 ΑΘ


ΑΤΙΣΤΙΚΗ

α συμπληρωθ

iν

18

10 0

iν

160

iν

12

24

iν

8

iN if

25

50


Η

θούν οι πίνα

if f

0,2 0,16

if

if f

0,05

if f

0,05

0,2

iF if %

ιδείας

ακες

if %

4

if %

15 25 40 15

if %

40

if %

40

iF %

16

60

ΠΙ

ΠΙ

ΠΙ

Π

Π

ΙΝΑΚΑΣ 6

ix

-1 0 2 3

ΑΘΡ 4

ΙΝΑΚΑΣ 7

ix ν

2 5 7 18

ΑΘΡ

ΙΝΑΚΑΣ 8

ix iν

0

10

20

30 5

40

ΑΘ

ΙΝΑΚΑΣ 9

ix iν

10 5 20 30 12 40 Σ

ΙΝΑΚΑΣ 10

ix iν

1 8

2

3 5

4

5

Σύν

iν if %

30

6 40

iν if

0,4 2

if if %

0,15

if if %

30

if iΝ

0,4

10

0,25 15

iN

4 0

iN F

2

60

iN iF

0,6

20

iN iF

0,675

iF if %

0,9

10

1

iF

0,1

iF %

20

iF %

10

60

iF %

% iF %

11

12

2.02 Σε Οι Οι

Οι Πέ Το

Να κάνετε το

2.03 Σε 18 Το Το11 Το

Να κάνετε το

2.04 Έσ

και i1

f2(i

2.05 Έσ

1 2 3 4f , f , f , f

2.06 Έσ

Α) Αν

Β) Αν

2.07 Έσ

δείγμα μεγέθ

Α) Να

Β) Για

2.08 Έσ

δείγμα μεγέθ

Α) Να

μια τάξη Λυι 20 μαθητέςι 18 έχουν το

ι 19 έχουν τοέντε οικογένεο 15% των οικ

ον πίνακα κ

μια πόλη η μ ημέρες είχανο 85% του πλήο πλήθος των

ο 55% του πλή

ον πίνακα κ

στω 1 2x , x ,...

1), i 2,3, 4

στω 1 2 3x , x ,x

στω 1 2 3x , x ,x

ν 2iν i 2i

ν i 2

1f

i 1

,

στω 1 2x , x ,...,

θους ν . Αν

α βρεθεί ο κ

α 15

κ2

να

στω 1 2x , x ,...,

θους ν . Αν

α βρεθεί ο κ

υκείου όπου ς έχουν κανένουλάχιστον 1

ο πολύ 3 αδέειες των μαθηκογενειών τη

ατανομής συ

μικρότερη θεν θερμοκρασήθους των ημν ημερών με θ

ήθους των ημ

ατανομής συ

4., x οι τιμές

4 να βρεθεί

3 4, x οι τιμές

3 οι τιμές μια

, i 1,2,3 ν

i 2,3 να β

5,x με 1x x

ισχύει if 2

βρείτε την F

5,x με 1x x

ισχύει iF %

δεν υπάρχουνα ή 1 ή 2 ή 31 αδερφό

ρφια ητών έχουν 3ην μαθητών έ

υχνοτήτων: ν

ερμοκρασία σία το πολύ 1μερών η θερμθερμοκρασία

μερών η θερμ

υχνοτήτων: ν

μιας μεταβλη

η 1f

ς μιας μεταβλ

ας μεταβλητή

να βρεθεί ο ν

βρεθεί την 1f

2 5x ... x οι

i2κ

, i 1,2,..

3F %

2 5x ... x οι

iκ

, i 1,2,.

Β) Για

υν συμμαθητ3 ή 4 αδέρφι

3 ή 4 παιδιά έχουν 4 τουλ

i i iν , f , f %, N

επί 20 συνεχ15 μοκρασία ήτα 13ήταν διπ

μοκρασία ήτ

i i i iν , f , N , F

λητής Χ ως πρ

λητής Χ ενός

ής Χ ως προς

ν

ι τιμές μιας μ

., 5

Γ) Αν

ι τιμές μιας μ

.., 5 τότε:

1

κ20

να β

τές που να είνα

λάχιστον παι

i i iN , F , F %

χείς ημέρες ή

ταν τουλάχισλάσιο του πλ

ταν 13 ή 15

i i i, f %, F %

ρος την οποί

ς δείγματος. Α

την οποία εξ

μεταβλητής Χ

3N 30 να

μεταβλητής Χ

βρείτε την 2f

ναι αδέρφια

διά

ήταν 10, 11, 1

στον 11 λήθους των η

α εξετάζουμε

Αν 1 2f 2f

ξετάζουμε έν

Χ ως προς τη

βρείτε το μέγ

Χ ως προς τη

α:

15, 13 και 16

ημερών με θε

ε ένα δείγμα

3 43f 4f να

να δείγμα με

ην οποία εξετ

γεθος του δεί

ην οποία εξετ

Στατιστικ

ερμοκρασία

α μεγέθους ν

α βρείτε τις

γέθους ν

τάζουμε ένα

ίγματος.

τάζουμε ένα

κή


http://users.s

Γραφικη π

2.09 Η διπλανό πίνσχετικών συχ

2.10 ΣτΝα κατασκεσυχνοτήτων

2.11 Στο έτος 1980

είναι 180. Ττετραπλάσιεραβδόγραμμ

2.12 Σε επιχείρησης Λυκείου Γ΄ ΚατηγορεργαζόμενοςΣτην Α΄ κατ

αντιστοιχεί σκατηγορίας Α. ΝαΒ. Να

2.13 Σε 900 ατόμων

κυκλικού το

ξανθά μαλλισυμπληρώσεραβδόγραμμ

2.14 Ο αμιας περιοχήδιάγραμμα σΑ το επισκέψεις εΒ τονεπισκέψεις ε


sch.gr/mipapa

παρασταση

βαθμολογία νακα. Να κάνχοτήτων

ο διπλανό πίευάσετε ραβδν

Σε ένα κυκλικ ανάλογα με

Το 14% της αξες σε αξία απμα σχετικών

ένα κυκλικό σε τέσσερις κ

ρία: Πτυχιούς ανήκει σε μτηγορία ανήκ

στους εργαζό είναι εξαπλάα υπολογίσετα μετατρέψετ

ένα κυκλικόν. Το 30% τω

μέα για τα κ

ιά είναι διπλετε τον διπλαμα συχνοτήτ

αριθμός τωνής στα διάφοσχετικών συχ ποσοστό επίετησίως, ν αριθμό τωνετησίως.


agr

η κατανομη

μιας ομάδανετε το διάγρ

ίνακα φαίνοδόγραμμα συ

κό διάγραμμε το μέσο μετα

ξίας των εξαγπό αυτές που συχνοτήτων

ό διάγραμμακατηγορίες.

ύχοι Ανωτάτημία μόνον απκει το 25% τω

όμενους της άσιοι των εργτε τον αριθμότε το κυκλικό

ό διάγραμμαων ατόμων έχ

καστανά μαλλ

λάσια από αυανό πίνακα των.

ν ετήσιων επιορα μουσεία χνοτήτων. Νί τοις εκατό τ

ν μαθητών π

ιδείας

ης συχνοτη

ς φοιτητών σραμμα συχνο

ονται τα βιβλυχνοτήτων κα

α παριστάνοαφοράς. Η γ

γωγών έγινε έγιναν “αερν.

α παριστάνετ Α΄ Κατηγορ

ης Εκπαίδευσπό τις κατηγοων εργαζομέν

Δ΄ κατηγορίγαζομένων τό των εργαζοό διάγραμμα

α, παριστάνετχουν μαύρα

λιά είναι 3α

υτά με κόκκινκαι να κατασ

σκέψεων ενό της χώρας δΝα βρείτε: των μαθητών

που κάνει δύο

ητων

σε ένα μάθημοτήτων και τ

λία που έχει μαι κυκλικό δ

ονται οι εξαγγωνία του κυ

ε “σιδηροδροροπορικώς”. Ν

ται το μορφωρία: Απόφοιτ

σης Δ΄ Κατορίες αυτές. νων της επιχ

ίας είναι 18.της Γ΄ κατηγοομένων κάθεα σε ραβδόγρ

ται το χρώμα μαλλιά. Η γ

ο3 144 . Τα

να μαλλιά. Νσκευάσετε το

ός δείγματοςίνεται από το

ν που κάνει α

ο τουλάχιστο

μα φαίνεται σο πολύγωνο

μια βιβλιοθήδιάγραμμα

γωγές της χώρκλικού τομέα

ομικώς”. Οι μΝα μετατρέψ

ωτικό επίπεδοτοι Γυμνασίο

τηγορία: Κάτ χείρησης. Η γ

Οι εργαζόμεορίας. ε κατηγορίαςραμμα συχνο

α μαλλιών ωνία του

άτομα με

Να ο

ς 80 μαθητώνο διπλανό

ακριβώς δύο

ον

στο

Β

ήκη. Είδο

Ισ

Λογ

Μα

Τα

Εγκυ

ρας μας αξίαα για μέσο μ

μεταφορές ποψετε το κυκλι

ο των 400 εργου Β΄ Κ

τοχοι Μεταπ

γωνία του κυ

ενοι της επιχ

ς. οτήτων.

Χρώμα μαλλιών

Κόκκινα

Μαύρα

Καςτανά

Ξανθά

Σύνολο:

ν

Βαθμός Π

4

5

6

7

8

ος βιβλίων

στορικά

ογοτεχνικά

αθηματικά

αξιδιωτικά

υκλοπαιδικά

ας 97.000.000μεταφοράς “θ

ου έγιναν “οικό διάγραμ

γαζομένων μΚατηγορία: Α

πτυχιακού Τί

υκλικού τομέ

χείρησης της

iν

1

Πλήθος φοιτητών

2

3

7

5

3

Πλήθος βιβλίων

2

30

36

24

18

0 euro κατά θαλασσίως”

οδικώς” ήτανμα σε

μιας Απόφοιτοι

τλου . Κάθε

έα που

Β΄

if % iα

13

ν

14

Ομαδοποί

2.15 Νακλάσεις ίσου

Κλάσεις …-……-……-……-…

2.15.1.1.1

2.16 Η πίνακα: Α) Να καταΒ) Να βρείτε

α)

β) Γ)Το ποσοστ

2.17 Στομαδοποιημέγιναν από τi) Πόii) Να α)τ β)τiii) Πό α)

2.18 Στ σχετικών συΝα βρείτε: i) Το βαθμό

α) το 70% τii) Το ποσοσ

2.19 Τοαπό τις ευθεί

B) Να

2.20 Έν

Δίνεται το π

A) ΝαB) Να

Γ) Αν

ίηση Παρατ

α συμπληρώσυ πλάτους

.. ..

… … … …

βαθμολογία

ασκευάσετε τοε το βαθμό κ

Το 20% των

Το 40% τωντό των μαθη

ο σχήμα είναμένων πωλήστους πωλητέςόσοι είναι οι α κατασκευάτο ιστόγραμμτο πολύγωνοόσοι πωλητές 60000 euro;

ο σχήμα έχουυχνοτήτων μ

κάτω από το

των μαθητώνστό των μαθη

ο πολύγωνο σίες y x 1

α βρεθεί το π

να δείγμα ομ

πολύγωνο if %

α εκφράσετε α βρείτε τα c,

ν 1f % 25 , ν

τηρήσεων

σετε τους πα

ix

6 … … 18

40 μαθητών

ο πολύγωνο άτω από το ο

ν μαθητών

ν μαθητών. τών που έχει

αι το πολύγωσεων σε δεκάς μια εταιρεί πωλητές; άσετε: μα συχνοτήτο αθροιστικώς έκαναν πωλ β) 50000 eu

υμε το πολύγιας βαθμολο

ον οποίο πήρ

ν β) τοητών που πήρ

συχνοτήτων και y x

πλάτος και τα

μαδοποιήθηκ

% το οποίο έχ

το c συναρτή, κ.

να κατασκευά

ρακάτω πίνα

Κλάσεις ..5-.. ..-..

…-23 ..-..

ν σε ένα διαγ

αθροιστικώνοποίο έχει:

ι γράψει: του

ωνο συχνοτήτδες χιλιάδες ίας σε ένα έτο

των ών συχνοτήτωλήσεις κάτω uro; γ) 45000

γωνο αθροισογίας μαθητώ

ρε:

ο 30% των μρε βαθμό μέχ

μιας ομαδοπ13 . A)

α άκρα κάθε

κε σε κ κλάσει

χει σχήμα τρ

ήσει του κ.

άσετε το ιστό

ακες στους οπ

.. ix

γώνισμα φαί

ν σχετικών σ

υλάχιστον 14

των των euro που ος.

ων από: 0 euro;

στικών ών

μαθητών χρι 13

ποιημένης καΝα βρεθε

κλάσης. Γ)

ις, ίσου πλάτ

ριγώνου.

όγραμμα if %

1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100αριθμός πωλητώ

ν

ποίους έχουμ

Κλάσε

… … … 1

ίνεται στο διπ

συχνοτήτων %

4

ατανομής με ί το πλήθος τ

Να βρεθ

τους c.

.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 4

μαθητές

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1 1

με ομαδοποιή

ις .. ..

…-.… …-… …-…

7-…

πλανό

%

Β

5 ισοπλατείτου δείγματο

θεί η συχνότη

8 12

βαθμολογί

3 5

πωλήσεις

ιήσει τρία δεί

ix

… 11 … …

Βαθμός ,

0, 4

4,8

8,12

12,16

16,20

ίς κλάσεις απος.

ητα κάθε κλά

Στατιστικ

16 20

α

7 9

ίγματα σε

μαθητές

4

8

16

10

2

ποτελείται

άσης.

κή

Μ


http://users.s

Μέση τιμή2.20.1.1.1

2.21 Οι

20 λεπτά. Ττουλάχιστον

2.22 Στ

Να βρείτε τα

2.23 ΜιΑ) Να α) β)

γ) Β) Ανμηνιαίος μισ

2.24 Σε

ότι οι 10 πατις υπόλοιπε

παρατηρήσε

2.25 Μιβαθμών των

παιδιών ήτα

2.26 Σε

πήραν αύξηκαθένας. Αν

εργαζόμενοι

2.27 Σε A) Τογίνει ίσος μεB) Γιααυτοί έχουν Γ ) Αν

2.28 Έν

υπαλλήλουςμισθό 3600

Αν προσληφτμήματα δεν


sch.gr/mipapa

ή

ι χρόνοι που

ο 20% κάνειν 16 λεπτά. Ν

ο διπλανό πί

α α, β αν η

ια βιοτεχνία α βρείτε το μ ένας εργαζό προσληφθο

πάρει σύνταν προσληφθεσθός όλων να

20 παρατηρ

αρατηρήσεις ες είχαν υποε

εων αυτών.

ια τάξη έχει ν αγοριών ήτ

αν 14, 5 , να

μια επιχείρη

ση στο μηνιαν η μέση τιμή

ι του κάθε τμ

μια εταιρία ο 20% των υπε τη μέση τιμήα λόγους μείω μέσο μηνιαίν σε όλους το

να εργοστάσι

ς στο Τμήμα Β €. Να βρεθεί

φθούν 2 υπάν μεταβληθού


agr

κάνουν οι μ

ι χρόνους κάΝα βρείτε το

ίνακα φαίνε

μέση βαθμολ

έχει 10 εργαέσο μισθό ότόμενος με 12ύν δύο εργα

αξη ένας με μεί ένας εργαζα είναι 1210

ρήσεις μιας μ

από αυτές είεκτιμηθεί κατ

12 αγόρια κταν 14 , ενώ

βρεθεί το πλ

ηση είναι 50

αίο μισθό 10ή όλων των μ

μήματος.

οι 200 υπάλλπαλλήλων έχεή , ποια θα εωσης του κόσίο μισθό 2800ους υπάλληλο

ιο απασχολεί

Β με μέσο μηί ο μέσος μην

άλληλοι στο Τύν, να βρεθε

ιδείας

μαθητές ενός

άτω από 8 λεο μέσο χρόνο

ται η βαθμολ

λογία είναι 5

αζόμενους μταν: 200 μισθό πζόμενοι ακόμ

μισθό 1190ζόμενος , ποιο

μεταβλητής X

ίχαν εσφαλμτά 10 μονά

και άγνωστο των κοριτσιώ

λήθος των κορ

εργαζόμενο

00 ο καθέναηνιαίων μισθ

ληλοι έχουν ει μέσο μισθόίναι η νέα μέστους απολύ0 € . Να βρεθους δοθεί αύ

ί 5 υπαλλήλ

ηνιαίο μισθό νιαίος μισθός

Τμήμα A , 4ί η νέα μέση

σχολείου να

επτά το 50%ο των μαθητώ

λογία 20 φο

5,9

με μέσο μηνια

πάρει σύνταξμη με μισθό

και προσληος πρέπει να

X βρήκαμε μ

ένα υπερεκτάδες η κάθε μ

αριθμό κοριών ήταν 14,

ριτσιών.

οι στα τμήμα

ας, ενώ στο τθών αυξήθηκ

μέσο μισθό 2ό 1800 € .Αν έση τιμή τουύεται το 15% θεί η νέα μέσξηση 3,5% π

λους στο Τμή

2800 € και ς όλων των υ

4 στο Τμήμα τιμή .

α πάνε από το

% κάνει χρόνών.

οιτητών σε έν

αίο μισθό 12

ξη. 850 ο καθ

ηφθούν τρειςα είναι ο μηνι

μέση τιμή x

ιμηθεί κατά μια. Να βρείτ

ιτσιών. Σε έν875 . Αν η μέ

ατα A και B

τμήμα B πήρκε κατά 70

2500 €. ο μισθός αυτυ μισθού ; των υπαλλήλση τιμή του μοια η νέα μέσ

ήμα A με μέσ4 υπαλλήλουπαλλήλων .

Γ και οι μέσ

ο σπίτι στο σχ

ους κάτω απ

να μάθημα.

00.

ένας.

ς με μισθό 85ιαίος μισθός

60 . Διαπισ

5 μονάδες κτε τη σωστή μ

α διαγώνισμέση τιμή των

. Οι εργαζόμ

ραν αύξηση , να βρείτε π

τών των υπαλ

λων της εταιμισθού . ση τιμή του μ

σο μηνιαίο μ

ους στο Τμήμ

σες τιμές των

σχολείο είναι

πό 12 λεπτά κ

Βαθμός 4 5 6 8

50 ο καθένας του ώστε ο μ

στώθηκε όμω

κάθε μια ενώμέση τιμή των

μα η μέση τιμν βαθμών όλω

μενοι στο τμή

στο μισθό, 5πόσοι είναι ο

αλλήλων αυξ

ιρίας . Οι υπά

μισθού ;

μισθό 2490 €

μα Γ με μέσο

ν μισθών στα

1

από 4 έως

και το 15%

Φοιτητές 2 α 8

β

ας μέσος

ως στο τέλος

ώ οι 9 από ν

μή των ων των

ήμα A

50 ο οι

ξηθεί ώστε να

άλληλοι

€, 6

ο μηνιαίο

α δύο αυτά

15

α

16

2.29 Η

βρεθεί η μέσ

2.30 Σε βαθμολογία17,1 Να βρεθ

2.31 Ο μΕπειδή συγκαποφάσισε νείναι τώρα η

2.32 Οι διαγωνίσματΑ) ΝαΒ) Αν

το μέσο όρο

2.33 Η

Να βρείτε τη

Α) 1t

2.34 Σ’ τετράμηνο ήμονάδες ο καβρείτε πόσοιβαθμολογία

2.35 Έν

2.36 Αν

2.37 Σ

2.38 Να

η μέση τιμή

μέση τιμή 10

ση τιμή των υ

ένα Λύκειο α 17,5 το δεύτθεί η μέση βα

μέσος όρος βκριτικά με τονα δώσει μιαη νέα μέση τι

ι αριθμοί α, βτα. Δίνεται όα βρείτε τουςν οι συντελεσ

των βαθμών

μέση τιμή τω

η μέση τιμή τ

2λ, t λ,...,

ένα Λύκειο φήταν 15. Στοαθένας, ενώ ι μαθητές βελα όλων στο Β’

να δείγμα έχε

ν είναι 5

i=1

x

Στη διπλανή κ


τους είναι x

00 αριθμών

υπολοίπων.;

τα τρία τμήμτερο 27 μαθηαθμολογία τω

βαθμολογίαςους μέσους όρα μονάδα σε όιμή της βαθμ

β, 17 , γ έχουότι το εύρος τς βαθμούς τοστές βαρύτητ

ν του μαθητή

ων παρατηρή

των παρατηρ

ν, t λ

φοιτούν 300ο Β’ τετράμηνοι υπόλοιπολτίωσαν τη β’ τετράμηνο έ

ει μέγεθος ν

ix 3 και 5

i=

κατανομή να

τε το πλήθος

ln2004ν

είναι 24 και

ματα της Πρώητές και μέσηων μαθητών

ς 1ου τετραμήρους άλλων μόλους τους μολογίας

υν διαταχθεί των βαθμών υ μαθητή. τας των βαθμ

ή.

ήσεων 1 2t , t ,.

ρήσεων:

Β) 1λt ,

0 μαθητές κανο, ένας ορισι μείωσαν τηβαθμολογία τέγινε 17.

8 , 8

i 1

(2x

52i

1

x 23 , να


ν των παρα

ι η μέση τιμή

ώτης Τάξης έη βαθμολογί της Πρώτης

ήνου 20 μαθημαθημάτων ημαθητές, εκτό

σε αύξουσα είναι 2, η διά

μών είναι 0,

ν..., t μιας με

2 ν,λt ,..., λt

αι η μέση βαθσμένος αριθμη βαθμολογίατους και πόσ

ix 6) 752 κ


τε τη μέση τι

ατηρήσεων x

ή των 60 πρώ

έχουν: Το πρία 18,2 το τρ τάξης

ητών ενός τμήη βαθμολογίός από δυο μ

σειρά και είνάμεσος και η

5 0,7 1

εταβλητής Χ

Γ) 1λt κ , λt

θμολογία τουμός μαθητών α τους κατά σοι την χειρο

και S 2 . Ν

τε τα 5

i=1

x

μή

1 2x ln2, x

ώτων από αυ

ρώτο 25 μαθηρίτο 23 μαθητ

ήματος στη σία θεωρήθηκεμαθητές που ε

ναι οι βαθμοη μέση τιμή 1

1 και 0,8

ενός δείγματ

2 νt κ ,..., λt

υς στα Μαθη αύξησε τη βα 2 μονάδες οτέρευσαν, αν

Να βρείτε η

ix 10 και

3ln

2 , 3x

υτούς είναι 1

ητές και μέσητές και μέση

στατιστική εε χαμηλή, ο κείχαν εικοσά

οί ενός μαθητ16.

8 αντίστοιχα

τος μεγέθους

κ

ηματικά στο Ααθμολογία το κάθε μαθητν γνωρίζουμ

x και το 8

i

5

i

i=1

2x 3x3459

ν4

ln , , x3

Στατιστικ

16 . Να

η βαθμολογία

ίναι 14,4. καθηγητής άρια. Ποια

τή σε τέσσερα

α να βρείτε

ς ν είναι x .

Α’ του κατά 4 τής. Να ε ότι η μέση

82i

1

x .

2

ix iv 3 3 4 2 5 9 2

ν 1ln

ν

, αν

κή

α

α

ν

2σσΑΒ


http://users.s

Διάμεσος

2.39 Να

2.40 Ναένα διαγώνι

2.41 Αν

αυτούς είναι

2.41.1.1.1

2.42 Στ

αθροιστικές

μέση τιμή 5,

2.43 Σ’ έσε 200 ερωτήστην ερώτησΑ) Να εκτιμήΒ) Να εκτιμή

2.44 Οι

2.45 Τομαθητής δεν

υπερβαίνει τ

2.46 Δίν

δείγματος (τ

2.47 Το

ανάστημα μ

2.48 Να

ΠΙΧρόνo

8 9

10 11

010

2030

4050

6070

8090

100

Fi%


sch.gr/mipapa

α βρείτε τη δ

α βρείτε τη δισμα αν τα π

ν η μέση τιμή

ι οι 0, 1, 5,

ο διπλανό πί

σχετικές συχ

, 5

ένα τεστ πήρήσεις. Η βαθμση. Ο επόμενοήσετε γραφικήσετε το ποσ

ι παρατηρήσε

ο μέσο ύψος τν έχει ανάστη

τα 180 cm.

νεται ο αριθμ

των 9 αριθμ

ο μέσο ύψος τ

μικρότερο των

α βρείτε το α

ΙΝΑΚΑΣ 1 oς Μαθητέ

5 7 8 7

0 4 8

βαθμός


agr

ιάμεσο των χ

ιάμεσο των βολύγωνα αθ

ή πέντε αριθμ

21 , να βρείτ

ίνακα φαίνο

χνότητές τους

ραν μέρος 10μολογία είναος πίνακας δκά τη διάμεσσοστό των μα

εις ενός δείγμ

των 30 μαθητημα μικρότερ

μός α R κα

μών) είναι x

των 30 μαθητ

ν 160 cm. Ν

α 0,1,2 ώ

ΠΧρό

89

1011

ς

12 16 20

ς

ιδείας

χρόνων φαίν

βαθμών των ροιστικών σχ

μών είναι διπ

τε τον πέμπτο

ονται οι τιμές

ς. Να βρείτε

0 μαθητές πραι 1 ή 0, ανάλδείχνει τα απσο. αθητών που έ

ματος είναι

τών και μαθηρο των 160 c

αι επιπλέον

64 κ αι ισχ

τών μιας τάξ

Να αποδείξετε

ώστε οι αριθμ

ΠΙΝΑΚΑΣ 2 νος Μαθητ

8 7 9 6 0 10 1 3

010

2030

4050

6070

8090

100

0

Fi%

νονται στους

μαθητών τηςχετικών συχν

πλάσια της δ

ο αριθμό.

ς μιας μεταβλ

τους α, β, γ

ροκειμένου ολογα αν ο μαποτελέσματα

έγραψαν από

4, 8, 3, x, α,

ητριών μιας cm. Να αποδ

8 διαδοχικο

χύει α 50,

ξης είναι 170

ε ότι η διάμε

μοί α - 2, α

τές

ΠΧρό

89

1011

4 8 12

βαθμός

ς παραπάνω

ς Α΄ Λυκείουνοτήτων είνα

διαμέσου δ

λητής Χ με τι

γ αν η διάμε

ο καθένας νααθητής απαντ της βαθμολο

ό 80 ως 110

24 2x, 5 κ

τάξης είναι δείξετε ότι η δ

οί περιττοί ακ

,80 , να βρε

0 cm Υποθέτο

εσος του δείγ

2 31, α 1, α

ΠΙΝΑΚΑΣ 3 όνος Μαθη8 30 9 25 0 35 1 10

16 20

Fi%

πίνακες.

υ του κάθε τμαι τα παρακά

με 0 δ 5

ις αντίστοιχε

εσος είναι 6

α απαντήσει τάει ή όχι ογίας

και έχουν δ

170 cm Υποδιάμεσος του

κέραιοι. Αν η

θεί η διάμεσο

ουμε ότι καν

γματος δεν υπ

1 , να έχου

Χρ

τές

0

10

20

30

40

50

60

70

8090

100

3 6 9

μήματος πουάτω

και οι τέσσε

ες

και η

x23579

Βαθμοί

60,80

80,100

100,120 120,140 140,160 160,180

8 . Βρείτε τ

οθέτουμε ότι κυ δείγματος δ


σος του δείγμ

νένας μαθητή

περβαίνει τα

υν διάμεσο δ

ΠΙΝΑΚΑΣ 4ρόνος Μαθ

8 39 2

10 411 1

9 12 15 1

βαθμός

1

υ πήραν σε

ερις από

ix iF % 2 10

3 30

5 α

7 β 9 γ

Συχνότη5 20

26

30

15

4

η x και το α

κανένας δεν

του

ματος

ής δεν έχει

α 180 cm.

δ 1

4 θητές 30 20 40 10

8

17

α

18

Τυπική Απ

2.49 Οι στο διπλανό

2.50 Ένμία νέα τιμή

τυπική απόκ

2.51 Ρω

κυμαίνονταντέσσερις μαθ

μια λογοτεχν

2.52 Η

για τις δεκαε

2.53 Αν

2.54 H τ

x η μέση τιμ

2.55 Έσ


Α) τη Β) την

2.56 Θε

πλήθος αριθ

Α. Η

2.57 Τέσ

A) Να

B) Αν

Γ) Aν

1 2 3x , x , x , x

απόκλιση τω

πόκλιση

ι χρόνοι αναμό πίνακα. Να

να δείγμα μεή της μεταβλη

κλιση του νέο

ωτήθηκαν 40

ν από 0 έωςθητές πάνω α

νική σειρά δ

μέση τιμή κα

εννέα τιμές ι

ν για ένα σύν


μή, δείξτε ότι

στω t1, t2, …,t

κλιση s1 = 2, ε

μέση τιμή τον τυπική από

εωρούμε 1α τ

θμών που έχο

μέση τιμή τω

σσερις αριθμ


ν η διακύμαν

ν στους παρα

4 5 6x , x , x τέτ

ων 10 αριθμώ

μονής σε στάα βρείτε την τ

εγέθους ν 3ητής και δημ

ου δείγματος

0 μαθητές ενό

ς και 20 . Οκαπό 16 και δ

δωρεάν , πόσα

αι η διακύμα

ισχύει 19

i 1

x

νολο παρατη

κλιση μιας με

ι 1 2t t ...

100 οι τιμές μ

ενώ οι υπόλο

ου συνόλου, όκλιση s του

το πλήθος αρ

ουν διακύμαν

ων 1 2α α αρ

μοί x, y,z, w

ότι x 1 κα

νση των τεσσ

απάνω τέσσερ

τοιους ώστε ών.

άση λεωφορετυπική απόκλ

35 έχει μέση μιουργούμε έ

ς.

ός Λυκείου π

κτώ μαθητές αδέκα πάνω απ

α τουλάχιστο

ανση των 20

2ix x 79 ,

ηρήσεων ισχύ

εταβλητής Χ

vt =x .

ιας μεταβλητ

οιπες έχουν μ

υ συνόλου.

ριθμών που έ

νση 22s και τη

ριθμών είναι

με x y z

αι w 5

σάρων αριθμώ

ρις αριθμούς6

i

i 1

x 38

κ

είων 20 ατόμκλιση.

τιμή x και τένα δείγμα μ

πόσα λογοτεχ

απάντησαν κπό 12 . Αν γ

ον βιβλία πρ

τιμών ενός

, να βρεθεί η

ύει ότι ν

i 1

x

είναι ίση με

τής. Οι πρώτ

μέση τιμή 2x

έχουν διακύμ

ην ίδια μέση

ι x και η δια

w έχουν μέ

ών είνα 52

ν

ς προσθέσουμ

και 6

2i

i 1

x

μων φαίνετα

τυπική απόκεγέθους ν

χνικά βιβλία

κάτω από 4 για τους 2 πο

ρέπει να έχει

δείγματος εί

εικοστή τιμή

2i 88 , s

το μηδέν. Αν

τες 20 παρατη

2 = 20 και s2 =

μανση 21s και

τιμή x . Να

ακύμανση του

έση τιμή 3, δ

να βρείτε του

με και άλλου

244 να βρε

ι Χρόν

1,33, 55,77,9

λιση s . Παίρ36 . Να βρεθ

α έχουν διαβά

, είκοσι μαθηου διαβάζουν

διαβάσει κά

ίναι x 6 κα

ή.

7 , x 2 , να

ν 1 2 vt , t , ..., t

ηρήσεις έχου

= 5. Να βρείτ

ι μέση τιμή x

α αποδείξετε ό

υς είναι 2s

ιάμεσο 3 και

υς αριθμούς y

υς 6 αριθμού

είτε την μέση

νος

3 5 7 9

ρνουμε την μθεί η μέση τιμ

άσει . Οι απ

ητές κάτω απν ποιο πολύ

άποιος για να

αι 2s 4 , αν

α βρεθεί το v

είναι οι τιμ

υν μέση τιμή

τε:

. Όμοια θεω

ότι:

2 21 1 2 2

1 2

α s α sα α

ι εύρος 4.

y και z .

ύς τους

η τιμή και την

Στατιστικ

Μαθητές 6 8 4 2

μέση τιμή ωςμή και η

αντήσεις

πό 8 , τους δοθεί

α κερδίσει;

ντίστοιχα. Αν

v

ές της x και

1x = 10 με

ωρούμε 2α το

ν τυπική

κή

ς

ν


http://users.s

CV

2.58 Σε

2.59 Έν

να βρείτε το

2.60 Οι

πόσοι είναι ο

2.61 Στσχετικών συχσε ένα μάθημΔίνεται ότι 2

Α) ΝαΒ) ΝαΓ) Ναομοιογενές ω

2.62 Σε Α. Αντων υπαλλήλ

Β. Θε

α) 34600000 ευ

β) γ) μέσος μισθόςκάνει η εταιρ

2.63 Τα

μαθητές. Σε

αS 2, 5 και

A) ΑπB) Να

2.64 Θε

, Μ τον στα

0,1α 0,1β221 s α


sch.gr/mipapa

ένα δείγμα ι

να σύρμα μήκ

συντελεστή

ι βαθμοί των

οι μαθητές το

ο διπλανό σχχνοτήτων τημα. Η βαθμο20 μαθητές έ

α αποδείξετε α βρείτε τη δα εξετάσετε αως προς την

μια εταιρείαν οι εργάτες ελων (εργατώ

εωρούμε ότι η

Αν η τυπικήυρώ ,τότε να

Να εξετάσετ Η εταιρεία ς των υπαλλήρεία.

α δύο τμήματ

ένα κοινό δι

ι του B είναι

πό τις βαθμολα βρείτε την τ

εωρούμε το δ

αθμικό μέσο τ

0,1γ

β γ δ να


agr

ισχύει ότι x

κους 20 c

μεταβολής τ

μαθητών εν

ου τμήματος

χήμα δίνεταιης βαθμολογίολογία κυμαίέχουν βαθμό

ότι ο αριθμόιάμεσο. αν το δείγμα βαθμολογία

α ο μηνιαίος είναι τετραπλών και στελεχ

η εταιρεία έχ

ή απόκλιση τ βρείτε τον α

τε αν υπάρχεαποφασίζει νήλων ,να μην

τα της Γ΄ τάξη

ιαγώνισμα, η

ι βS 1, 5 ,ενώ

λογίες των δτυπική απόκ

δείγμα α, β,

του δείγματο

0,1δ και s

βρείτε τα μ

ιδείας

4s 0 . Να

cm κόβεται σ

των 1 2, , ...

ός τμήματος

ς;

ι το πολύγωνίας μιας ομάίνεται από 0ό μικρότερο τ

ός των μαθητ

των 80 μαθη.

μισθός των ελάσιοι σε αρχών) της εται

χει ν υπαλλήλ

των μισθών εαριθμό των υπ

ει ομοιογένεινα αυξήσει κν υπερβαίνει

η ενός λυκείο

η τυπική από

ώ η μέση βαθ

δύο τμημάτωνκλιση της βαθ

γ, δ με α β

ος με αντίστο

s τη τυπική α

, s, CV

βρείτε το συ

σε δέκα κομμ

10., .

ς έχουν μέση

νο αθροιστικάδας μαθητών0 έως 20 . του 6 .

τών είναι 80

ητών είναι

εργατών είναριθμό από ταιρείας.

λους με μισθ

είναι 140 ευρπαλλήλων π

ια στους μισκατά α ευρώ ει τα 900 ευρ

ου έχουν:το τ

όκλιση της βα

θμολογία τω

ν, ποια έχει τθμολογίας όλ

β γ δ . Ον

οιχους συντε

απόκλιση του

Fi%

υντελεστή μετ

μάτια με μήκη

τιμή 12 και

κών ν

αι 750 € ενώ στελέχη της

θούς ix ,όπου

ρώ και το άθπου απασχολε

θούς των υπατους μισθούςρώ. Να βρείτε

τμήμα A έχε

αθμολογίας τ

ων δύο τμημά

τη μεγαλύτερλων των μαθ

νομάζουμε μ

λεστές στάθμ

υ δείγματος .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 4

ταβολής.

η 1 2, ,...,

CV 0,25 .

ώ των στελεχ εταιρείας ,να

υ i 1,2,..., v

θροισμα των εί η εταιρεία

αλλήλων. ς των εργατώε την μέγιστη

ει 18 μαθητέ

των μαθητών

άτων είναι η

ρη ομοιογένεθητών της τάξ

τον αριθμη

μισης

. Αν μ Μ 2

8 12


10 Αν 10

i 1

. Αν ν

2i

i 1

x

χών είναι 110να βρείτε το μ

v .

τετραγώνωνα.

ών ,έτσι ώστεη αύξηση ,πο

ές και το τμή

ν του τμήματ

ίδια.

εια; ξης αυτής.

ητικό μέσο το

21 και

1

16 20

2i 2 90 ,

3060

00 € μέσο μισθό

ν τους είναι

ε ο νέος ου μπορεί να

ήμα B 22

τος A είναι

ου δείγματος

19

,

α

ς

20

2.65 Οι 2s 4 . Να β

1 2 νx , x ,..., x

2.66 Έσ

μέση τιμή 8

1 2A , A ,...,A

2.67 Έσ

βρείτε πόσεςνα είναι ομο

2.68 Ταεργοστάσιο σΝα βρείτε: τηκαι τον συντ

2.69 Η

αντίστοιχα.

Β) πό

2.70 Οι

Α) ναΒ) πρΓ) ανατόμων

2.71 Δεί

σειρά είναι :

Α) Να

αν προστεθε

2.72 Δίν

ιστόγραμμαΑ ΝαΒ ΝαΓ ΝαΔ Να


βρείτε το συν

αν ελαττώσ

στω ευθεία (ε

8 και τυπική

9A .

στω 1 2x , x ,...

ς μονάδες -τοοιογενές.

α χρόνια εργασχηματίζουνη διάμεσο, τητελεστή μετα


Αν για τις εν

όσες μονάδες

ι σημερινές η

α βρεθεί η μέσριν πόσα χρόν το άθροισμα

ίγμα μεγέθου

3, s 1, 5, μ


εί σε κάθε μια

νεται ότι 2F %

α α συμπληρωθα βρεθούν μέα βρεθούν μέα εξετασθεί α

εις 1 2x , x ,...

ντελεστή μετα

σουμε κάθε μ

ε) : y=-3x+2

ή απόκλιση 2

ν., x οι παρα

ουλάχιστον-

ασίας ενός δν το διπλανόη μέση τιμή, αβολής ύστερ

αι ο συντελεσ

ννέα τιμές ισ

τουλάχιστον

ηλικίες κάποι

ση σημερινή νια από σήμα των τετράγ

υς 10 έχει εύμ, μ, μ 1, μ

ότι μ δ

α από τις παρ

% 30 και το

θεί ο πίνακαέτρα απόλυτηέτρα σχετικήαν το δείγμα

ν, x ενός δείγ

αβολής των π

μια κατά 20%

και τα σημεί


ατηρήσεις ενό

πρέπει να αυ

είγματος εργό πολύγωνο α την τυπική αα από 5 χρό

στής μεταβολ

σχύει ότι: 9

i 1

ν πρέπει να α

ιων ατόμων έ

τους ηλικία μερα το δείγμγωνων των σ

ύρος R , μέση1, 10, 11, μ

Β) Να

ρατηρήσεις τ

ο παρακάτω

ς κατανομήςης διασποράς διασποράς είναι ομοιογ

Y cX c

γματος μεγέθ


% και μετά π

ία της 1A , A

ε το συντελεσ

ός δείγματος

υξήσουμε την

γαζομένων σαθροιστικών απόκλιση όνια.

λής των 10 τ

2i

1

x x 3 αυξηθεί κάθε

έχουν 1CV

μα των ηλικιώσημερινών ηλ

η τιμή μ , τυμ 5 R

βρείτε τα μ,

του παραπάν

πολύγωνο σ

ς. άς. ς. γενές.

θους ν έχουν

ων 1 2y , y ,..

ροσθέσουμε

2 9A ,...,A με τ

στή μεταβολή

ς που έχουν μ

ν κάθε μια α

σε ένα συχνοτήτων

τιμών ενός δε

3975 να βρεί

ε τιμή του δε

0,05 ενώ πρ

ών τους ήτανλικιών είναι

πική απόκλι

s, R Γ) Να

νω δείγματος

συχνοτήτων α

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0

Ni

ν μέση τιμή x

ν., y που προ

σε κάθε μια

τετμημένες x

ής των τεταγ

μέση τιμή και

από τις παρατ

ν.

είγματος είνα

ίτε: Α)

είγματος ώστ

ριν από 16 χ

ν για πρώτη 1604 να βρε

ση s και οι τ

α βρείτε τον

ς αυτό θα μετ

από

6 12 18

χρόνια εργασία

x 3 και δια

οκύπτουν απ

το 1,6

1 2 9x , x ,..., x π

γμένων των σ

αι διακύμανσ

τηρήσεις ώστ

αι x 80 κα

τη δέκα

τε να γίνει ομ

χρόνια είχαν

φορά ομογενεθεί το πλήθο

τιμές του κατ

ελάχιστο φυ

τατραπεί σε

Στατιστικ

8 24 30

ας

ασπορά

πό τις

που έχουν

σημείων

ση 4. Να

τε το δείγμα

αι CV 25%

τη τιμή

μοιογενές

ν 2CV 25%

νές; ος των

τά αύξουσα

σικό κ που

ομοιογενές .

κή


http://users.s

Κανονική

2.73 Οι

παρατηρήσεπαρατηρήσε

2.74 Η

βαθμό το πονα να εξετά

2.75 Τακατανομή. Δ

πόσα άτομα

2.76 Οι

παρατηρήσεΑ) ΝαΒ) Να

2.77 Έσ

–περίπου- RΑ) Να

Β) Να

Γ) Να

2.78 Έν

Αν 10

i

i 1

x

2.79 Η

μηχανή, όταδείγματος εί

Α) ΝαΓ) Θεβρέθηκαν 15

2.80 Έντων βιδών ω

το 95% περί

cm τότε Α) Να

Β) Αν

ελαττωματικΓ) Σε

ελαττωματικ


sch.gr/mipapa

κατανομή


εων είναι μεγεων από 20 ε


ολύ 12 και 5άσετε αν το δε

α νούμερα τωΔέκα άτομα φ

φοράνε παπ


εις είναι μικρα βρείτε κατάα εξετάσετε α

στω μεταβλητ

R 36 και CVα υπολογίσετ


α βρείτε τη μ

να δείγμα έχε

2, 4 και 10

i 1

διάρκεια ζωή

αν λειτουργείίναι 20 και 2

α εξετάσετε αεωρούμε μια 5 ηλεκτρικές

να μηχάνημαως προς το μή

ίπου των βιδ

α βρείτε το π

ν μία βίδα έχ

κή. Να βρείτε ποιοτικό έλε

κές. Η πρότα


agr

ή

εις μιας μετα

γαλύτερες τοεως 35

200 μαθητώ

5 μαθητές τοείγμα των βα

ων παπουτσιώφοράνε παπο

πούτσια από

εις μια μεταβ

ρότερες του 1ά προσέγγισηαν το δείγμα

τή Χ η οποία

V 20% τε το ποσοστό

ότι αν οι τιμ

μικρότερη τιμ

ει μέγεθος ν=0

2i

1

x 4,86 τ

ής (σε χιλιάδ

ί κανονικά, 200 ηλεκτρικ

αν το δείγμα συσκευή ελας συσκευές πο

α κατασκευάζήκος τους, είν

δών που κατα

οσοστό των

χει μήκος μικ

ε το ποσοστόεγχο 10000 β

αση: «Το μηχά

ιδείας

αβλητής X α

υ 30 και το

ών σε ένα δια

υλάχιστον 1αθμών είναι

ών ενός δείγμούτσια με νο

νούμερο 37

βλητής X με

18 και 128 μη το εύρος το των παρατη

α παίρνει θετ

ό των ατόμω

μές της Χ αυ

μή του ω , ώσ

=10 και η μετ

τότε να βρείτ

δες ώρες) ενό

ακολουθεί κκές συσκευές

είναι ομοιογαττωματική όου έχουν διά

ζει βίδες. Ότναι κανονική

ασκευάζει το

βιδών που έχ

κρότερο ή ίσο

ό των ελαττωβιδών που κα

άνημα παρο

ακολουθούν τ

84% μεγαλύ

αγώνισμα είν

16 . Να βρείτομοιογενές.

ματος 400 αούμερο τουλά

7 έως 43

εγέθους 800

μεγαλύτερες ου δείγματοςηρήσεων είνα

τικές τιμές, α

ων που η τιμή

υξηθούν κατά

στε το δείγμα

ταβλητή ακολ

τε το συντελε

ός δείγματος

κανονική ή π έχουν ζωή το

γενές. όταν έχει διάάρκεια ζωής κ

ταν το μηχάνή με μέση τιμ

ο παραπάνω

χει μήκος μετ

ο των 5, 4 cm

ωματικών βιδατασκευάζει

ουσιάζει πρόβ

την κανονική

ύτερες του 15

ναι περίπου

τε πόσοι μαθ

ατόμων ακολάχιστον 43 κ

ακολουθούν

του 36 . ς. αι ομοιογενές

ακολουθεί τη

ή τους είναι μ

ά ω 0 , ο C

α να γίνει ομ

λουθεί την κ

εστή CV

8000 ηλεκτρ

περίπου κανοουλάχιστον

άρκεια ζωής κκάτω από 17

νημα λειτουρμή x (σε cm)

μηχάνημα έχ

ταξύ 5,8 cm

m ή μεγαλύτε

δών. ι το μηχάνημ

βλημα λειτου

ή κατανομή.

5 να βρείτε τ

κανονική. Εκ

ητές έχουν β

λουθούν περίκαι 64 άτομα

ν την κανονικ

ς.

ν κανονική κ

μεταξύ 24 κα

V θα μειωθε

οιογενές.

ανονική κατ

ρικών συσκευ

ονική κατανο22

κάτω από 177 , εξετάστε α

ργεί σωστά, ηκαι τυπική α

χουν μήκος μ

m και 6 cm

ερο ή ίσο των

μα, 45 βίδες

υργίας» είνα

. Αν το 2, 5%

το ποσοστό τω

κατό μαθητέ

βαθμό από 8

ίπου την κανα το πολύ 37

ική κατανομή

κατανομή κα

αι 42

εί

τανομή.

υών που παρ

ομή. Η διάμε

7 . Αν στο δείαν η μηχανή

η κατανομή σαπόκλιση s

μεταξύ 5,6 c

ν 6,6 cm τότ

βρίσκονται

αι Σωστή ή Λ

2

% των

ων

ές έχουν

έως 16 και

νονική 7 . Να βρείτε

ή. Είκοσι

αι έχει εύρος

ράγει μια

εσος του

ίγμα έχει βλάβη.

συχνοτήτων (σε cm). Αν

cm και 6, 4

τε θεωρείται

άθος;

21

22

3 ΠΙΘ

Δειγματικ

3.01 Σ’ (Λ). Να βρεθΑ) ΕπΒ) ΕπΓ) Επ

3.02 Μβρεθούν 2 ελΑ) ΤοΒ) Τα

3.03 Δύτελειώνουν αγώνες ανεξα) Τοβ) Τα γ) Πόδ) Τι

Ερωτή

3.04 * Ραντίστοιχα ααυτού είναι: Δ.

3.05 * ΕΟ δειγματικΑ. Ω = Κ, Σ

3.06 * Έαποτέλεσμα

Α. Α Β.

3.07 * ΤΗ φράση «το

Α. α Α΄. παραπάνω.

ΘΑΝΟΤΗΤ

κός χώρος

ένα κουτί υπθεί ο δειγματπιλέγουμε τυχπιλέγουμε τυχπιλέγουμε τυχ

Μια δισκογραλαττωματικάο δειγματικό α ενδεχόμενα

ύο ομάδες Ο1

ποτέ με ισοπξαρτήτως σειο δειγματικό α ενδεχόμενα

όσους αγώνε παρατηρείτε

ήσεις πολλαπλ

Ρίχνουμε μιαανά δύο έδρε Α. Ω = 3. Ω = 1,1, 1,2,

Ελέγχουμε δικός χώρος Ω τ

. Β. Ω

Έστω Α = 1, της ρίψης εί

Β. Α΄.

Τα Α και Β είο Α πραγματ

Β. α

ΤΕΣ

- Ενδεχόμ

πάρχουν 4 ομτικός χώρος τχαία ένα μολχαία ένα μολχαία ένα μολ

αφική εταιρείά CD ή όταν χώρο Ω. α: α) Αβ) τουλγ) το πο

1, Ο2 παίζουνπαλία). Νικήράς. Να βρείχώρο Ω των α: i) Ακ

ii) τουλς το πολύ θαε για τα ενδε

λής επιλογής

α φορά έναν ες του και κα

, 1,3, 2,1, 2,2,

ιαδοχικά βιβτου πειράματ= ΚΚ, ΚΣ.

3, 5 και Β = ίναι ο αριθμό

Γ. Β.

ίναι ενδεχόμετοποιείται»

Α΄ - Β.

μενα

μοιόμορφα μτου πειράμαλύβι. λύβι, το τοπολύβι και μετά

ία ελέγχει ταέχουν ελεγχθ

Ακριβώς 2 ελαλάχιστον 2 ελολύ 2 ελαττω

ν μεταξύ τουήτρια θεωρείίτε: αποτελεσμάκριβώς μία νλάχιστον μίαα είχε μία τέτοεχόμενα β(ii)

κύβο ο οποίοαταγράφουμε

Β. Ω = 1, 2, 2,3, 3,3.

βλία μέχρι νατος είναι Γ. Ω = ΚΚ

2, 4, 6 δύο ός 3 τότε πρα

Δ. Α

ενα ενός πειρδιατυπωμένη

Γ. α

μολύβια 1 κόατος στις ακόλ

οθετούμε ξανά επιλέγουμε

α compact disθεί 4 CD. Να

αττωματικά Cλαττωματικάωματικά CD

ς σε μια σχοίται η ομάδα

άτων των αγώνίκη της ομάδα νίκη της ομοια ποδοσφα και β(iii);

ος έχει καθένε το αποτέλε2, 3.

Ε. 1

α βρούμε ένα

Κ, ΣΣ. Δ. Ω

ενδεχόμενα αγματοποιείτ

Α Β.

ράματος τύχη σε γλώσσα

Α΄ Β.

όκκινο (Κ), 1 λουθες περιπ

νά στο κουτί ε άλλο ένα (χ

sks (CD) πουα βρείτε:

CD, ά CD, .

ολική ποδοσφα που θα νική

ώνων της συνδας Ο1, άδας Ο1. αιρική συνάν

ναν από τουςσμα. Ο δειγμ

Γ. Ω = 11,2, 2,1, 1,3, 3

α κακοτυπωμ

Ω = Κ, ΣΚ, Σ

της ρίψης ενται το ενδεχό

Ε. Β΄ Α

χης και α έναα συνόλων είν

Δ. α Α

πράσινο (Π)πτώσεις: (μας

και μετά επιλχωρίς επανα

υ παράγει. Ο

φαιρική συνάήσει σε δύο α

νάντησης.

ντηση;

ς αριθμούς 1,ματικός χώρο1,1, 2,2, 3,3. 3,1.

μένο (Κ) ή δύ

ΣΣ. Ε. Κ,

νός ζαριού μιόμενο

Α΄.

α αποτέλεσμαναι ισοδύναμ

Α. Ε. κ

), 1 μαύρο (Μς ενδιαφέρει

ιλέγουμε άλλατοποθέτηση)

Ο έλεγχος στα

άντηση (οι ααγώνες στη σε

, 2, 3 γραμμέος Ω του πειρ

ύο σωστά τυπ

,ΣΣ.

μια φορά. Αν

α του πειράμμη με την

κανένα από τ

Στατιστικ

Μ), 1 λευκό το χρώμα)

λο ένα ).

αματά όταν

αγώνες δεν ειρά ή σε δύο

ένους ράματος

πωμένα (Σ).

ν το

ατος αυτού.

τα

κή

ο


http://users.s

Ερωτή

3.08 ΟΧαρακτηρή

Α Β

Γ Δ Α

(Γ Δ) Α

Ερωτη3.08.1.1.1

Ερωτή

3.10 Σπίνακα γράγια τα ενδεενός πειράμγράφονταιισχυρισμοίγλώσσα τωαποτέλεσμααυτού). Ανκατάλληλαστήλης Α μστήλης Β.


sch.gr/mipapa

ήσεις «Σωστό

Οι παρακάτωήστε κάθε μια

Β Α

Β Γ =

Α = Α (Γ

ησεις συμπληρ

3.09 Συπίνακα βάζοΒ τον χαρακ(σωστό) ή Λβάλατε Λ (λσυμπληρώστη σωστή σχτο δεξιό μέλαντίστοιχης

ήσεις αντιστοί

Στη στήλη Α τάφονται ισχυεχόμενα Α καματος. Στη σι ισοδύναμοιί διατυπωμένν συνόλων (wα του πειράμντιστοιχίστε α κάθε στοιχεμε ένα μόνο τ


agr

- Λαθος»

ω σχέσεις αναα από αυτές

Γ Β

= Β Β Γ

Δ) Α = Β

ρωσης

υμπληρώστε οντας στη στκτηρισμό Σ Λ (λάθος). Όπλάθος) στε στη στήληχέση διορθώνλος της ς ισότητας.

ίχισης

του υρισμοί αι Β στήλη Β ι νοι στη w ένα ματος

είo της της

1 2 πρ3 κα4 5 πρ6 7 8 9

ιδείας

αφέρονται στως (Σ) ή (Λ)

Δ Γ

Γ Δ = Α

Β Δ =

τον τήλη

που

η Γ ντας

Α Α

Α

Α

Α΄ Α

Α΄ Α

Ω΄ = Ω

(Α΄)΄ =

Α Β

΄ = Ω

Αν Α

Α΄ Α

Α΄ Α

(Α΄)΄ =

Αν Α

Σ

Το Α δεν πραγ Ένα τουλάχιστραγματοποιείτα Πραγματοποιοαι το Β. Το Α πραγματ Κανένα από ταραγματοποιείτα Πραγματοποιε Το Β πραγματο Πραγματοποιε Πραγματοποιε

το διπλανό δ

Γ Γ Δ

Α Β = Β

= Δ

Α = A

= Α

= Α

Α = Ω

Α =

Ω

= Ω

= Β Α

Ω

Β τότε Α

Α = Ω

Α =

= Α

Β τότε Α

Στήλη Α

γματοποιείται. τον από τα Α και. ούνται συγχρόν

τοποιείται. α Α και Β δεν αι. είται μόνο το Αοποιείται είται μόνο το Αείται μόνο το Β

ιάγραμμα το

Δ Α Γ

Α Β = Β

(Γ Β

Β = Β

Β = Α

αι Β

νως και το Α

ή μόνο το Β.

Α. Β.

ου Venn.

Δ Β

Β

) Α = Γ

Α) w A

Β) w (A

Γ) w ( A΄ -

Δ) w (A

Ε) w (A

Ζ) w A΄

Η) w (A

Θ) w (Α Ι) w Β

Κ) w (Α

Λ) w (Β Μ) w (B

Ν) w (AΞ) w (A΄

Ω

A Γ

Στήλη Β

B΄)

- Α)

Β)

Β)

B)΄

Β ) (Α΄

Β΄)

Α΄)

A)΄

B)΄

Β)

2

B

Γ Δ

Β)

23

24

ΠΙΘΑΝΟΤ

Ισοπίθανα

3.11 Έσ

τυχαία ένα σΑ) στο

3.12 Ρίχ

3.13 Έσ

όπου: Α το ε

3.14 Σε

πιθανότητα

βρείτε: Α) Β) Γ)

3.15 Η

επέλεξαν το βόλεϋ είναι

3.16 Ένπιθανότητα:

3.17 Σένα μάθημαβαθμό:

3.18 ΣΑν εκλέξουΑ) λιγόΓ) Κάτ

ΤΗΤΕΣ

α ενδεχόμε

στω τα σύνολ

στοιχείο του ο Α και όχι σ

χνουμε δύο ζ

στω το σύνολ

ενδεχόμενο η

ένα Λύκειο

να είναι μαθ

το πλήθος ό το πλήθος τ την πιθανότ

Α΄τάξη Λυκε

βόλεϋ. Επιλέ0, 4 να βρείτ

να κουτί περι: Α) Β) Γ)

Στο διπλανό πα. Αν εκλέξοΑ) 8 Β) Το

Γ) ΤουΔ) 5 ή

Στο διπλανό πυμε τυχαία ένότερο από 2τω από 15 απ

ενα

λα: Ω 1, 2,

Ω , να βρείτστο Β Β)

ζάρια μαζί Ν

λο Ω 1,0,

η εξίσωση 2x

οι μαθητές τ

θητής της Α τ

όλων των μαθτων μαθητώντητα να είνα

είου έχει 50

έγουμε τυχαίτε: Την

ιέχει 2 άσπρενα είναι δύνα είναι η πνα είναι κα

πίνακα έχουουμε τυχαία έ

πολύ 6

υλάχιστον 5ή 7

πίνακα έχουνα μαθητή το0 απουσίες πουσίες

3, 4,5 , Α

ε τις πιθανότσε ένα το π


1,2 . Εκλέγο

2x λ 0

ης Α τάξης ε

τάξης είναι 0

θητών του Λν της Β τάξης αι ένας μαθητ

αγόρια και κ

ία ένα άτομοπιθανότητα

ες και 3 κόκκύο κόκκινες πρώτη άσπρηαι οι δύο άσπ

με τη βαθμολένα φοιτητή

με τις απουσου τμήματος

Β) ΤοΔ) Το

ω Ω/ω

τητες να ανήπολύ από τα

ν πιθανότητ

ουμε τυχαία

έχει δύο ρίζε

είναι 54 . Αν

0, 36 και η π

Λυκείου τής που εκλέξ

κορίτσια. Το

ο. Αν η πιθαν να είναι κορ

κινες σφαίρες

η και η δεύτεπρες

ολογία μιας ονα βρείτε τη

σίες των μαθη να βρείτε τηουλάχιστον ουλάχιστον

4 , B ω

ήκει: Α και Β

α να φέρουμ

ένα λ Ω ,

ες άνισες

εκλέξουμε τυ

ιθανότητα ν

ξαμε τυχαία

ο 20% των αγ

νότητα να είνρίτσι και να μ

ς. Βγάζουμε δ

ερη κόκκινη

ομάδας φοιτην πιθανότητ

ητών ενός τμην πιθανότητ10 απουσίες23 απουσίες

Ω/ω περιττ

με 6 στο ένα

να βρείτε τη

υχαία ένα μα

να είναι της Β

μαθητής της

γοριών και τ

ναι αγόρι καμην επέλεξε β

διαδοχικά δύ

ητών σε α να έχει

Β

4

5

6

7

μήματος. τα να έχει: ς ς.

τός . Αν εκλ

α και 5 στο

ην πιθανότητ

αθητή του Λυ

Β τάξης είναι

ς Γ τάξης.

τα 25

των κο

αι να μην επέβόλεϋ

ύο σφαίρες. Ν

Βαθμός

4

5

6

7

Απουσίες

0,10

10,20

20, 30

30, 40

Πιθανότητε

λέξουμε

άλλο

τα του Ρ Α

υκείου η

ι 0, 34 . Να

ριτσιών

έλεξε το

Να βρεθεί η

Φοιτητές

2

6

8

4

Μαθητές

5

10

20

15

ες

Λ


http://users.s

Λογισμός

3.19 Έσ

i) P A B

ii) η πιθανότ

3.20 Αν

P Β P Α

3.21 Αν

τότε βρείτε τ

3.22 Θε

2P A

3 , P

3.23 Αν

να υπολογίσ

3.24 Αν


3.25 Αν

3.26 Αν


3.27 Αν

P A 2P Β

3.28 Δύ

βρεθεί η πιθα

3.29 Εσ

και Ρ Β β

P A B


sch.gr/mipapa

Πιθανοτή

στω Α, Β ενδε

P A P A

τητα να πραγ

ν Α,Β ενδεχ

13

να βρεθ

ν Α,Β ενδεχ

τις πιθανότητ

εωρούμε τα ε

1P A B

4

ν για δύο ενδ

σετε την πιθα


ε την πιθανότ

ν 3 2

Ρ(Α ) Ρ(Α




Β 1 και 2P

ύο συμπληρω

ανότητα του

στω A, B δύο

β . Να βρεθού

P A B


agr

των

εχόμενα ενός

A B , P A

γματοποιηθε

όμενα ενός δ

θούν οι πιθα


τες P A B

ενδεχόμενα A

14

. Να βρείτε

δεχόμενα A,

ανότητα P A

δεχόμενα A,

τητα P Β Α

25Α) 6

να β

δεχόμενα A,

τητα P Β

δεχόμενα A,

P A B 1

ωματικά ενδε

υ καθενός

ο ενδεχόμενα

ύν οι πιθανό

P A

ιδείας

ς δειγματικού

A B P B

εί ένα μόνο α

δειγματικού

ανότητες P A


και P A

A,B ενός πει

τις πιθανότη

B ενός δειγμ

A B


Α

βρείτε τις P A



να υπολογίσ


α ενός δειγμα

ότητες:

B P A

ύ χώρου Ω .

P A B

από τα ενδεχ

χώρου Ω κα

A , P Β , P

χώρου Ω κα

B .

ιράματος τύχ

ητες: P A ,

ματικού χώρ


A και P A



σετε τις πιθα


ατικού χώρο

A B

Να αποδειχ

.

χόμενα A, B

αι ισχύουν Α

Α Β και

αι ισχύουν P

χης, με πιθαν

P B , P A

ρου Ω ισχύου

ρου Ω ισχύου

ρου Ω ισχύει

ρου Ω ισχύει

νότητες P Α

ύ χώρου έχου

ου Ω για τα ο

θεί ότι:

είναι P A

Α Β , P A

P Α Β .

1P A B

4 ,

νότητες τέτοι

B .

υν: P A B

υν: 1P A

2

: 3P A B

ότι: P A

Α Β , P Β

υν γινόμενο

οποία ισχύου

P B 2P

5P Β

12 κ

, 1P A

3 ,

ιες ώστε: P A

25

, P A

12

, P A B

1 3Ρ Α

3P Α ,

Α , P A

πιθανοτήτω

υν A B Ω

2

A B .

και

2P B

3 ,

3A B

4 ,

11P Β

10

56

να

Β να

B

ων 29

. Να

Ω , Ρ Α α ,

25

,

26

3.30 Αν

P A B

3.31 Αν

και P A Β

Α) P A Β

3.32 Δίν

1P(A B)

4

πραγματοπο

3.33 Δίν

P(A B) P

3.34 Να

διαδοχικοί ό

3.35 Έσ

ισχύει ότι: Ρ

3.36 Έσ

Να πραγματ

συγχρόνως κ

Α) ένα

Γ) κα

Ε) μό

3.37 Έσ

1P A B

6

Α) Γ. «

Β) Δ:

3.38 Έσ

1Ρ Β

2 . Ν

ν A, B ενδεχ

A B

ν A,B είναι

2Β

15 , να βρ

Β) P

νονται δύο ε

, P(A B)4

οιηθεί μόνο έ

νονται τα εν

(A B) 0, 5


όροι αριθμητ

στω Α,Β δύο

Ρ Α Ρ Α

στω Α,Β δύο

τοποιείται το

και τα δύο εί

α τουλάχιστο

ανένα από τα

όνο ένα από τ


16

. Να βρεθο

«Πραγματοπ

«Δεν πραγμ

στω Α,Β δύο


χόμενα ενός

16

, να βρείτε

ενδεχόμενα

ρείτε τις

A Γ) P

ενδεχόμενα A

120

και P

ένα από τα εν

νδεχόμενα A

5 και P A

ότι αν οι πιθ

τικής προόδο


2Ρ Α Ρ Β


ο Α είναι 15

ίναι 16

. Να β

ον από τα Α

α Α και Β

τα Α και Β


ούν οι πιθανό

ποιείται ένα

ατοποιείται


ν πιθανότητα



ενός δειγματ

B Δ) P

A και B ενό

1B A

2 .

νδεχόμενα Α

,B,Γ του ίδι

0,8 . Να β

θανότητες P

ου , τότε τα εν


Β . Να αποδ


, Να μην πρ

βρείτε την πι

και Β


ότητες των εν

μόνο από τα

ούτε το A ο


α να μην πρα

ύ χώρου Ω κ

τητα P A

τικού χώρου

P A Β

ός δειγματικο

Να βρείτε τ

Α και Β .

ιου δειγματικ

βρείτε την P

P(A), P A B


ατικού χώρου

δείξετε ότι το


ραγματοποιε

ιθανότητα να

Β) το π

Δ) μόν

ΣΤ) Το Α

ύ χώρου Ω τ

νδεχομένων.

α A και B ».

ούτε το B ».


αγματοποιεί


B .

Ω και ισχύο

Ε) P A

ού χώρου Ω

την πιθανότη

κού χώρου Ω

B .

B , P(B) , είνα

Α,Β είναι ισοπ

υ Ω με μη μη

Α είναι βέβ

υ Ω για τα ο

είται το Β είν

α πραγματοπ

πολύ ένα από

νο το Α

Α ή να μην

τέτοια, ώστε


ίται κανένα

2P A B

3

ουν οι ισότητ

A Β

για τα οποία

ητα του ενδεχ

Ω για τα οπο

αι με τη σειρ

πίθανα.

ηδενικές πιθ

βαιο ενδεχόμ

οποία ισχύει

ναι 35

και να

ποιείται: :

ό τα Α και Β

πραγματοπο

1Ρ Α

3 , Ρ


από τα Α κ

23

και

τες 1P A

6

α ισχύουν:

χομένου να

οία ισχύει :

ρά που δίνον

θανότητες, γι

μενο και το Β

ι ότι η πιθανό

α πραγματοπ

οιείται το Β

1Ρ Β

4 και

ι ότι: Ρ Α Β

και Β


16

, 1P A

6

νται ,

ια τα οποία

Β αδύνατο.

ότητα::

ποιούνται

ι

1Β

4 και

ες


http://users.s

3.39 Αν

ότι: Α) P

3.40 Έσ

Να μην πρα

Να πραγματ

Να βρείτε τη

3.41 Στη

μπάσκετ και

πιθανότητα:Α) ΝαΒ) ΝαΓ) ΝαΔ) Να

3.42 Απ

μπάσκετ καιπιθανότητα:Α) ΝαΒ) ΝαΓ) Να

3.43 Στη

στην πενθήμΑ) ΝαΒ) Να

3.44 Σε έχει κινητό κ

είναι 15

, να

3.45 Η

πήγαν την πκορίτσι και ν

έχει πάει στη


sch.gr/mipapa

ν Α, Β ενδεχό

A B P

στω Α,Β δύο

αγματοποιείτ

τοποιείται μό


η Γ τάξη ενό

ι το 20% με τ

: α μην ασχολεα μην ασχολεα ασχολείταια ασχολείται

πό τους 50 μ

ι καθένας ασ: α μην ασχολεα ασχολείταια ασχολείται

η Γ τάξη ενό

μερη εκδρομήα είναι αγόρια είναι κορίτ

ένα σχολείοκαι Η/Υ. Επ

βρείτε την π

Β τάξη ενός Λ

προηγούμενηνα μην έχει π

ην συναυλία


agr


A P B


ται κανένα α

όνο ένα από

τα να πραγμ

ός Λυκείου τ

το ποδόσφαι

είται με το μείται ούτε μει με το μπάσκι με ένα το πο

μαθητές της

σχολείται με τ

είται με το πι με το ποδόσι με το ποδόσ

ς Λυκείου υπ

ή της τάξης τι και να μην τσι ή να μην

ο το 50% τωνπιλέγουμε τυχ

πιθανότητα ν

Λυκείου έχει

η μέρα σε μιαπάει στην συ

.

ιδείας

ειγματικού χ

Β)


πό τα Α και

τα Α και Β

ματοποιείται

το 40% των μ

ιρο και με το

πάσκετ ε το ποδόσφακετ και να μηολύ από τα π

Γ τάξης ενός

το ποδόσφαι

οδόσφαιρο σφαιρο και μσφαιρο αλλά

πάρχουν 15

τους. Επιλέγο έχει πάει εκδέχει πάει εκδ

ν μαθητών έχχαία ένα μαθ

να μην έχει Η

ι 40 αγόρια

α συναυλία. Εναυλία είναι

χώρου Ω τέτ

P A B


ι Β είναι 14

Β είναι 23

ένα το πολύ

μαθητών ασχ

ο μπάσκετ. Επ

αιρο ούτε με ην ασχολείταπαραπάνω α

ς Λυκείου οι

ιρο ή το μπάσ

με το μπάσκετά όχι με το μπ

αγόρια και

ουμε τυχαία δρομή δρομή.

χει κινητό τηθητή. Αν η

Η/Υ ούτε κιν

και κορίτσια

Επιλέγουμε τι 30% , να βρ

τοια, ώστε P

P A P


ύ από τα Α κ

χολείται με τ

πιλέγουμε τυ

το μπάσκετ αι με το ποδόθλήματα.

ι 20 ασχολού

σκετ. Επιλέγ

τ πάσκετ

20 κορίτσια

ένα άτομο. Ν

ηλέφωνο ή δεη πιθανότητα

νητό.

α. Τα 25

των

τυχαία ένα άρείτε την πιθ

A B P A

B


και Β

ο ποδόσφαιρ

υχαία ένα μα

όσφαιρο

ύνται με το π

ουμε τυχαία

α. Τα 45

των


εν έχει Η/Υ κα να έχει κιν

αγοριών κα

άτομο. Αν η πανότητα να

A P B , να

ι ότι η πιθανό

ρο, το 30% μ

αθητή, να βρε

ποδόσφαιρο,

α ένα μαθητή

αγοριών συ

ν πιθανότητ

και το 25% τνητό και να μ

αι το 20% τω

πιθανότητα ν είναι αγόρι

2

αποδειχθεί

ότητα:

με το

εθεί η

, οι 40 με το

, να βρεθεί η

μμετείχαν

α:

των μαθητώνμην έχει Η/Υ

ων κοριτσιών

να είναι και να μην

27

η

ν Υ

28

Παραμετρ

3.46 Αν

2x

Ν Α2

3.47 Αν


3.48 Εν

του κ με κ

3.49 Έσ

P A P B

τέτοιος ώστε

P A , P Β

3.50 Έσ

ενδεχομένων

αριθμός. Να

3.51 Έσ

1 2 3ω ,ω ,ω

και οι πιθαν

3.52 `Εσ

Να υπολογίσ

3.53 Έσ

3 4P κ

7 7

ρικές

ν Ω δειγματι

4, x

P B6

ν A,B ασυμβ

ότι 1 1

λ4 2

να μη αμερόλ

κ 1, 2, 3,..., 6

στω Ω ένας δ

P Γ 1 ό

ε P A P Β

, P Γ και

στω 1Ω ω ,ω

ν του ικανοπ

α βρεθούν:

Β) οι πιθ

στω 1Ω ω ,

και Β= 1ω ,

νότητες 2P(ω

στω ο δειγμα

σετε τις πιθα

στω ν θετικός

κ 1

κ 1, 2,

ικός χώρος ε

x6

, με A, B σ

βίβαστα ενδε

ληπτο ζάρι εί


δειγματικός χ

όπου P A ,

1Β

3θ , P Β

P A B .

2 3ω ,ω ένας

ποιούν τις σχ

Α)

θανότητες τω

2 3 4ω ,ω ,ω ο

3ω . Αν ισχύ

4),P(ω ).

ατικός χώρος

ανότητες: Ρ

ς ακέραιος κα

, 3,...,ν . Να υ

Β)

Γ)

ενός πειράμα

συμπληρωμα


ίναι έτσι φτια

ε τη πιθανότ

χώρος και A

P Β , P Γ

5Β P Γ

4

δειγματικός

χέσεις 1ω

P 2

οι πιθανότ

ων ενδεχομέν

ο δειγματικό

ύουν : Ρ Α

ς Ω 0,1, 2,

0 και Ρ Α

αι ο δειγματ


την πιθανό

την πιθανό

ατος τύχης με

ατικά ενδεχόμ

ς δειγματικο

αγμένο ώστε

τητα εμφάνισ

A,B,Γ ενδεχ

οι πιθανότη

θ4

και P Γ

ς χώρος του ο

2 3ω ω2P 7P

τητες 1ω ωP ,P

νων 1Α ω ,

ός χώρος ενό

1κ

, Ρ Β

3,..., 10 και

Α , όπου A

τικός χώρος Ω

Α) την

ότητα P A

ότητα P Β

ε ισοπίθανα α

μενα, να βρε

ού χώρου Ω

ε η εμφάνιση

σης κάθε αρι

χόμενά του ξέ

ητες των ενδ

P Α θ , ν

οποίου οι πιθ

θ και 1ω

6P

2 3ω,P ,

2,ω , Β ω

ς πειράματο

2κ 12κ

και

ι οι πιθανότη

0, 2, 4,..., 1

Ω 1,2,3,...


όταν Α 1

του ενδεχομ

απλά ενδεχό

εθούν τα P A

με 2P A λ

κάθε αριθμο

ιθμού.

ένα ανά δύο,

εχομένων Α

να υπολογίσε

θανότητες ωP

2 3ω ω3P 4P

2 3ω ,ω , Α

ς τύχης και τ

ι 41

P(ω )3

ητες P κ

0

.,ν . Δίνοντα

P 0 ,

1,2 ,

μένου Β x

όμενα με Ν Ω

A και P B

2 , 2P B 7λ

ού κ να είν

, ώστε

Α,Β,Γ και υπ

ετε τις πιθαν

iω, i 1, 2, 3

5θ , όπου

Β και Α

τα ενδεχόμεν

κ3κ

, να βρεθ

κ1, κ 1,2

3

αι οι πιθανότ

x Ω/x 3


Ω 30 και

.

2 6λ 2 , να

ναι ανάλογη

πάρχει θ 0

νότητες

3 των απλών

υ θ φυσικός

Β .

νά του Α=

θεί ο κ R *

2,..,10

τητες

ες

α

η

ν

Α


http://users.s

Ανισότητε

3.54 Αν

Α) 0

Δ) P(

E) 2P

3.55 Έσ

Α) Τα

3.56 Έσ

3P A B

3

3.57 Έσ

Α) Να

3.58 Έσ

3.59 Έσ

τα A , B δεν

3.60 Έσ

1P(A B)

6

3.61 Έσ


3.62 Έσ

Α) 3Ρ

3.63 Αν

0 α β 1

3.64 Αν

P B .


sch.gr/mipapa

ες

ν Α,Β είναι εν

P(A)P(A )

(A B) P(A

P(A B) P(

στω A , B δύο

α ενδεχόμενα

στω A, B ενδ

3335

, P A P

στω A , B δύο

α εξετάσετε α


στω A , B δύο

ν είναι ασυμβ

στω A , B δύο

1)

2

στω A , B δύο

ότι: 1

P(A6

στω Α,Β,Γ ε

Ρ Γ 2Ρ Α

ν Α,Β ενδεχ

, να αποδειχ

ν A, B συμπ


agr

νδεχόμενα εν

14

Β) 12

A) P(A Β)

A) P(B) 2


α A και B δ

δεχόμενα ενό

6P B

7 . Ν


αν τα A , B ε



βίβαστα



5B)

6

νδεχόμενα ε

Β Ρ Α


χθεί ότι β α

πληρωματικά

ιδείας

νός δειγματι

2P(A)

P(A) P(Β

2P(A B)


εν είναι ασυμ


Να βρείτε τις π


ίναι ασυμβίβ





νός δειγματι

Β 3Ρ Α

δειγματικού χ

α Ρ Α Β

ά ενδεχόμενα

ικού χώρου Ω

2P(A ) 1

) 1 Ρ Α


μβίβαστα


πιθανότητες


βαστα Β)

ύ χώρου με Ρ




ικού χώρου

Β

χώρου Ω κα

Ρ Α Β

α και 225P A

Ω , να αποδε

Γ) P(A

Β

ου Ω με P(A

Β)

, ενός πειρά

ς των ενδεχομ

ου Ω με P(A

Να απο

1Ρ Α

3 , Ρ

ου Ω με P(A

ου Ω με P(A

ου Ω με 2P(A

Ω τέτοια, ώσ

Β)


.

A 8 29P

είξετε ότι:

A B) P(A)P

1A)

2 , P(B)

1 6P(A B

ματος τύχης

μένων A B

A) 0,32 , P(

δείξετε ότι: 0

3Α Β .

4

1A)

2 , P(B )

1A)

2 , P(B )

A) 3P(B) κ

στε Γ Α Β

Ρ Α Β Ρ

P A α και

A P B , ν

P(B) P((A

23

. Αποδε

B) 3

ς για τα οποία

, A B

(B) 0,78 .

0,1 P(A B

Δείξτε ότι 5

12

1)

2 . Να απ

23

. Να απ

και 2P(A )

Β . Να αποδε

Ρ Α Ρ Β

ι P(Β) β , όπ

να βρεθούν ο

2

Β) ).

είξτε ότι:

α ισχύει

B) 0, 32

5 3Ρ Β

2 4

οδείξετε ότι

ποδείξετε ότι:

3P(B) . Να

ειχθεί ότι

Γ

που

οι P A και

29

30

Γενικές ασ

3.65 Ένπιθανότητα Α) να είναι άσπρες

3.66 Σε

διακοπές σε

καλοκαίρι σ

3.67 ΜέΕπιλέγουμε βρείτε : Α) Τις Α: Γ: ¨

Β) Τις

3.68 Έσ

Ρ Α Β είν

3.69 Σε

Επιλέγουμε έτσι ώστε η π

3.70 Έσ

ότι P A B

3.71 Έσ

μηδενικές πι


3.72 Έσ

Ρ Β 1 ln

3.73 Έσ

μηδενικές πι


3.74 Έσ


σκήσεις στ

να κουτί περι δύο κόκκινε

μια έρευνα π

«νησί», Το

σε «νησί» και

έσα σε ένα κοτην μία μπά

ς πιθανότητε ¨Οι μπάλες π¨Από τις μπά

ς πιθανότητε

στω A,B δύο

ναι ρίζες της

ένα εκτροφε

στην τύχη ένπιθανότητα τ

στω A,B ενδ

και ότι

στω A, B ενδ

ιθανότητες τ

ότι τα ενδεχό

στω Α, Β ενδ

n κ 1 όπου

στω A, B ενδ

ιθανότητες τ

ότι τα ενδεχό

στω A, B ενδ

ότι αν P A

τις πιθανότ

ιέχει 3 άσπρε

ες Β) να είνα

που έγινε με

50% θα πάει

ι σε «βουνό»

ουτί υπάρχουάλα μετά από

ες των ενδεχοπου επιλέξαμάλες που επιλ

ες των ενδεχο


ς εξίσωσης: 2

είο αλόγων υ

να άλογο. Νατο άλογο που


ι ισχύει P A


ων στοιχειωδ

όμενα Α και


υ κ Ν * , λ


ων στοιχειωδ

όμενα A και


B P A B

τητες

ες και 2 κόκκ

ι η πρώτη άσ

ταξύ των μα

ι το καλοκαί

ενώ τρείς μα

υν 5 μπάλεςό την άλλη μέ

ομένων: με ήταν του ίλέξαμε οι κόκ

ομένων : Α


2 3x 2x 1

υπάρχουν 4ν

α βρείτε πόσυ επιλέξαμε ν


P B .

ός πεπερασμ

δών ενδεχομ

ι Β είναι συμ


Ν . Να απ


δών ενδεχομ

ι B είναι συμ


B τότε P A

κινες σφαίρες

σπρη και η δ

αθητών μιας τ

ίρι διακοπές

αθητές δεν θα

ς από τις οποέχρι να μείνο

ίδιου χρώμακκινες ήταν π

Β,Β Γ,Γ


1 3x 1 0

ν θηλυκά κα

α θηλυκά κανα είναι θηλυ

ού χώρου Ω

μένου δειγμα

μένων. Αν P

μπληρωματικ




μένων. Αν P

μπληρωματικ


A P B

ς. Βγάζουμε δ

εύτερη κόκκι

τάξης έδειξε

σε «βουνό»Τ

α πάνε πουθε

οίες οι 3 είναουν στο κουτ

ατος.¨ Β: «Στπερισσότερες

Α , Α Β

υ Ω . Αν οι π

0 , να βρείτε τ

αι 2ν 2ν 4 αι πόσα αρσευκό , να είνα

με P(A B)


A P A

κά.

ώστε: 2P A

ι κ 1, λ 0


B P A

κά.


διαδοχικά δύ

ινη Γ) ν

ότι Το 50%

Το 10% θα π

ενά. Πόσα ά

αι άσπρες κατί μπάλες του

το κουτί έμεινς από τις άσπ

΄.

πιθανότητες


4 αρσενικά ά

ενικά άλογα υαι η μέγιστη .

1 και P(A

υ Ω , ενός πει

B και P B

A 1 P A

0 και ότι ln


B και P B


ύο σφαίρες. Ν

να είναι και

θα πάει το κ

πάει διακοπές

άτομα έxει η τ

αι οι 2 κόκκιυ ίδιου χρώμ

νε μόνο μία πρες.

Ρ Α , Ρ Α

ητα Ρ B

άλογα με νυπάρχουν στ.

A) P(B) 1 .


P A B

3 4λ κα

eP A B

2


P A B



Να βρεθεί η

οι δύο

αλοκαίρι

ς το

τάξη;

ινες. ματος. Να

μπάλα.»

Β ,

Ν * .

το εκτροφείο

Nα δειχθεί

χης με μη

, να

αι

3 2e e

ln2

χης με μη

. Να

χης. Να

ες

ο


http://users.s

4 ΣΥΝ

4.01 Η αριθμό των π Δεν Η Το Τοπαιδί Οι Να συμπληρ

4.02 Μι

συνόλου της

Α) ΝαΒ) Να

α το δείγμα

4.03 Α)

Β) Έντων βαθμών α) β) νέους μέσου

γ)

0 λ 5 , να

4.04 Δίν


Α) Να

Β) Να

Γ) Να

4.05 Έσ

τιμές τις α, 0

να βρεθούν


sch.gr/mipapa

ΝΔΥΑΣΤΙΚ

ανάλυση τωνπαιδιών τωνν υπήρχαν υμέση τιμή τωο ποσοστό τωο ποσοστό τω

ι υπάλληλοι πρωθεί ο πίνα

ια βιομηχανί

ς παραγωγής

α βρείτε το μέα βρείτε αν υ

α της παραγω

Να αποδείξ

να σχολείο έχν στο Α τμήμ Να βρείτε τ Αν φύγουν ς των βαθμώ

Αν για τα τμ

α βρείτε ποιο


εις ενός δείγμ



α βρείτε το ση


0, γ, β, 3 . Αν

οι αριθμοί α


agr

ΚΕΣ ΑΣΚΗ

ν δεδομένωνν υπαλλήλωνυπάλληλοι μεων παιδιών πων υπαλλήλωων υπαλλήλω

που είχαν τρκας σχετικών

ία παράγει τ

ς της με αντίσ

έσο κόστος ανυπάρχουν τ

ωγής γίνεται

ξετε ότι 2s χει δύο τμήμαα είναι 9 ενώτο μέσο όρο τ δύο μαθητέςών των τμημά

μήματα Α κα

ο από τα δύο

άρτηση f x

ματος με τυπ

ότι f x

ότι η f είνα

ημείο x στο

τηση f με f

ν η f είναι σ

α,β,γ και ο σ

ιδείας

ΗΣΕΙΣ

ν που προέκυν μια εταιρείαε πέντε ή περπου είχαν οι υων που είχαν ων με ένα παι

ρία παιδιά ήτν και σχετικώ

τα προϊόντα

στοιχο κόστο

νά μονάδα πτιμές του α ,

ι ομοιογενές

κ2 2i i

i 1

x f x

ατα στην Γ τώ ο μέσος όροτων βαθμών ς από το τμήμάτων.

αι Β ισχύουν

τμήματα έχε

31t x

πική απόκλισ

23ν x 2x x

αι γνήσια φθί

οποίο η f έχ

3x αx

x

συνεχής στο

συντελεστής

υψαν από στας έδειξε ότι:ρισσότερα παυπάλληλοι τ ως και δύο πιδί ήταν ίσο μ

ταν τριπλάσιών αθροιστικ

A,B,Γ,Δ σε

ος 14, 12, 10,

προϊόντος της για τις οπο

ς.

.

άξη τα Α καιος των βαθμώτου τμήματομα Α με βαθ

ν αντίστοιχα

ει μεγαλύτερ

32t x ...

ση s 0 και μ

22x s x

ίνουσα στο Rχει το μέγιστ

2 2 3x α x αx αβ

α και η μετ

μεταβολής τ

τατιστική έρε: αιδιά ης εταιρείας παιδιά ήταν με αυτό των

ιοι από αυτοκών συχνοτή

ε ποσοστό 10

, 8 € ανά μο

ς παραγωγήςοίες, αν το κό

ι Β με 10 και ών και στα δος Β μό 11 και ο έ

ότι κ

2i i

i 1

x f

ρη ομοιογένε

3νt x , x

μέση τιμή x .

R

το ρυθμό μετ

, x α

x α

με

ταβλητή X έ

των παρατηρ

ευνα η οποία

υπολογίστηκ80% υπαλλήλων

ύς που είχαντων.

0% , 20% , 30

νάδα προϊόν

. όστος κάθε π

5 μαθητές ανδύο τμήματα

ένας πάει στο

85 , 0 κ

ια βαθμών.

R όπου 1t

.

αβολής.

ε α 0 , β 1

έχει μέση τιμ

ρήσεων της με

α είχε ως αντι

κε ότι ήταν 1

που δεν είχα

ν τέσσερα πα

0% , 40% επί

ντος.

προϊόντος α

αντίστοιχα. Ο είναι 10.

ο τμήμα Β, ν

10 και λ

i 1

1 2 ν, t , ..., t οι

1 και η μετα

μή και διάμεσ

μεταβλητής x

3

ικείμενο τον

1,65

αν κανένα

αιδιά

ί του

υξηθεί κατά

Ο μέσος όρος

α βρείτε τους

2i i

1

x f 148 ,

αβλητή x με

σο ίσες με 1 ,

x .

31

ς

,

32

4.06 Δίν

αντίστοιχα ε

Α) Να

ομοιογενές.

Β) Να

Γ) Αν

δείγματος.

∆) Να

υποθέσουμε τιμών του δε

4.07 ∆ίν

των παρατη

σημείο B 1,

A. Να

Β. Ανα. Ναβ. Να

4.08 Δίνμε τιμή 20 .

Α) Απ

Β) Να

Γ) Αν


Δ) Ναπαρατηρήσε

μεταβολής 1

4.09 Θε

ν ν νM x ,f(x

1 2M ,M ,...,M

A) Βρ

στα σημεία M

Β) Αν

τετμημένων

Γ) Αν


ενός δείγματ


α βρείτε τα α

ν είναι γνωστ


ότι η καμπύείγματος.


ρήσεων ενός

f(1) είναι π

α δείξετε ότι

ν η συνάρτησα βρείτε την α βρείτε την

νονται οι αρ

ποδείξτε ότι η


ν 2s είναι η δ

ν 2s και να

α αποδείξετε εις με τιμή 2

10% .

εωρούμε τη σ

ν ) της γραφ

νM είναι 40

ρείτε τη μέση

1 2M ,M ,...,M

ν 21x 401

των σημείων

ν 2 2ν 1x x 80

άρτηση f x

τος με x 0 .

τε το συντελε

ακρότατα της

τό ότι x slim f

οσοστό των π

ύλη κατανομή

άρτηση f x

ς δείγματος μ

παράλληλη σ

το δείγμα είν

ση f έχει ελάμέση τιμή καεξίσωση εφα

ριθμοί 13 , 19

η μέση τιμή

ότι k 4

i

i 1

(t

διακύμανση


ότι το σύνολ20 χρειάζετα

συνάρτηση f

φικής της πα

1 .

τιμή των συν

νM

2 22x 401

ν 1 2M ,M ,...,

02 να βρείτε

2xx s x

2

Aν η γραφικ

εστή μεταβολ

ς f στο R .

x 1 να υπ


ής του δείγμ

210 s x x

μεγέθους ν (μ

στην ευθεία y

ναι ομοιογεν

άχιστη τιμή ίαι την τυπικήαπτομένης στ

9 , 21 , 27 . Σ

x των κ 4

42

i 1

x) (

των τεσσάρω

ότι 2

2 4 ss

k 4

λο 13 , 19 , 2αι να προσθέσ

με 5f x

2

ράστασης, µε

ντελεστών δι

2ν... x 4

ν,M .

ε το εύρος του

x 1 όπου x

κή παράστασ

λής CV του

πολογίσετε τη

εων του δείγμ

ατος είναι πε

x x 11 , x

με x 0, s 0

y 1821 , τότ

νές και ότι η

ίση με 1 τότή απόκλιση. το σημείο B .

Συμπληρώνο

αριθμών είν

2i(t x)

ων αριθμών 2

4

21 , 27 , δεν εσουμε σε αυτ

25x ln 2

2 κα

ε 1 20 x x

ιεύθυνσης τω

2401 2500

υ δείγματος

x και s η μέσ

ση της f διέρ

δείγματος κα

η μέση τιμή x

ματος που πε

ερίπου κανο

R όπου x η

0 ). Αν η εφα

τε:

f παρουσι

τε:

.

υμε το σύνολ

ναι ίση με τη

και 2s είναι

είναι ομοιογτό, ώστε να γ

ι τα σημεία M

ν... x . Αν

ων εφαπτομέ

ν , να βρείτε

των τεταγμέ

ση τιμή και η

ρχεται από το

αι να εξετάσε

x και την τυπ

εριέχονται στ

νική καθώς κ

η μέση τιμή κ

απτομένη της

ιάζει ελάχιστ

λο των αριθμ


ι η διακύμαν

ενές και να βγίνει ομοιογε

1 1 1M x , f(x )

ν η μέση τιμή

νων της γρα

ε την τυπική

νων των σημ

Γεν

η τυπική από

το A 1,1 τό

ετε αν το δείγ

πική απόκλισ

το διάστημα

και το εύρος

και s η τυπικ

ς καμπύλης τ

το.

μών με κ πα

των τεσσάρων

νση των κ

βρείτε πόσεςενές με συντε

, 2 2M x , f(

ή των τετμημ

αφικής παράσ

απόκλιση τω

μείων 1M ,M

νικές Ασκήσει

όκλιση

τε:

γμα είναι

ση s του

1,5 εάν

R των

κή απόκλιση

της f στο

αρατηρήσεις

ν αριθμών

4 αριθμών,

ς ελεστή

2(x ) , … ,

μένων των

στασης της f

ων

2 νM ,...,M

ις

f


http://users.s

ΣΥΝΔΥΑΣ

4.10 Ρίχδειγματικός

Χ x, y

Y x, y

Να βρείτε τι

4.11 Αν

τότε

Α) Να

Β) Αν

4.12 Έσ


Α) Να

Β) Να

Γ) Να

4.13 Σε Διαπιστώσαπερίπου κανΑ. ΝαΓ. Να

∆. Αν

Ε. Αν

60kg ;

4.14 Σε

άλλα είναι σ

επιλέξουμε σ

ρούχα είναι

Α) Νακαι την κατηΒ) Να α) β) γ)


sch.gr/mipapa

ΣΤΙΚΕΣ: Α

χνουμε δύο ζ χώρος αυτού

Ω/το σημεί

Ω/το σημεί

ις πιθανότητε

ν Ω 1,2,3,

α βρείτε τις π

ν Ε λ Ω/

στω ο δειγματ

εις P A , P




κάποια σχολαμε ότι το βάρνονική. α βρείτε τη μα εξετάσετε ε

ν το άθροισμ

ν επιλέξουμε

μια βιοτεχνί

σακάκια και

στην τύχη σα

ο90 , τότε:

α κάνετε τον ηγορία» και α βρείτε τις π σακάκι ή μα σακάκι και ή μόνο παν


agr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ζάρια και σηύ του πειράμ

ίο x,y ανή

ίο x,y ανή

ες: P X , P

, 4,5 είναι ο

πιθανότητες τ

/λ θέση τοπι

τικός χώρος

B , P A B

τε τη μέση τιμ

ότι η διακύμ

ότι η πιθανό

λική τάξη πήρος τους κυμ

μέση τιμή, τη εάν το δείγμα

μα όλων των

τυχαία ένα μ

ία έχουμε 20

δεν υπάρχει

ακάκι είναι 4

πίνακα καται να παραστήπιθανότητες ναύρο ρούχο. άσπρο ρούχντελόνι ή μόν

ιδείας

ΣΕ ΟΛΗ Τ

μειώνουμε τματος τύχης,

κει στην ευθε

κει στην γρα

Y , P X Y

ο δ.χ. ενός πε

των απλών ε

ικού ακροτά

Ω και δύο ε

, P A B

μή και τη διά

μανσή τους ε

ότητα να πρα

ήραμε ένα δεμαίνεται από

διάμεσο το α είναι ομοιο

βαρών είναι

μαθητή, ποια

00 ρούχα άσ

άλλο είδος ρ

40% και η γω

ανομής συχνήσετε γραφικνα αγοράσει ο. νο άσπρο ρού

ΤΗΝ ΥΛΗ

τις ενδείξεις τ θεωρούμε τα

εία y 2x-1

αφική παράσ

Y

ειράματος τύ

ενδεχομένων

άτου της f x

ενδεχόμενά τ

.

άμεσό τους.

είναι 2 1s

2

αγματοποιηθ

είγμα μαθητό 45 kg έως 7

εύρος και τηογενές.

ι 1800kg να

α η πιθανότη

σπρα και μαύ

ρούχου. Αν υ

ωνία του κυκ

νοτήτων για κά ι:

ύχο.

τους σε ένα δα ενδεχόμενα

σταση της y

ύχης με P 2

ν του Ω 3 2x -6x 9x

του A, B , με

2P A B

θεί μόνο το ε

ών και το εξε75 kg και η κ

η διασπορά τ

βρείτε το μέ

ητα το βάρος

ύρα από τα ο

υπάρχουν 50

κλικού διαγρ

τη μεταβλητ

διατεταγμένοα:

2x

2P 1 και

x 2 , να βρ

ε P A P B

1P A B

2

ενδεχόμενο A

ετάσαμε ως πατανομή των

των βαρών

γεθος του δε

ς του να είνα

ποία μερικά

0 άσπρα σακ

ράμματος πο

ή Χ:"είδος ρο

ο ζεύγος. Αν

ι 1P κ

κ γ

ρεθεί η P E

1B

2 . Θεωρ

18

A είναι ίση μ

προς το βάρον βαρών του

είγματος.

αι μεταξύ 50

ά είναι παντε

κάκια , η πιθ

ου αντιστοιχε

ούχου ως πρ

3

Ω ο

για κ 2 ,

.

ρούμε τις

με s 2

ος τους. υς είναι

kg και

λόνια και τα

ανότητα να

εί στα μαύρα

ος το χρώμα

33

α

α

34

4.15 Έσ

Εκλέγουμε έ


4.16 Θε

ώστε: f A

Α) 0

Β) f Ω

Γ) f A

4.17 Α)

Β) Έσ

α)

β)

γ)

4.18 Δίν

Α) Να

Β) Έσ

στοιχειωδών


4.19 Δίν

Α. Να

Β. Αν

Γ. Αν

των θετικών

α)

β)

4.20 Έσ

2f x 4x P

Α) Να

Β) Αν

x x να βρείτ

στω Ω 0,1,

ένα απλό ενδ

ράσταση της

εωρούμε ένα

1α

P Aα β

f A 1 γι

Ω 1

A B f A

Να εξετάσετ

στω τα ενδεχό

f P(A B)

Αν A B τ

Αν P A


α μελετήσετε

στω Ω ο δειγ

ν ενδεχομένω

ότι το B είνα


α εξετάσετε τ

ν A και


ν ημιαξόνων


να αποδείξε

στω A,B δύο

2A Β ln

α βρείτε τη δ


τε την πιθαν

, 2,3, 4,5 έν

δεχόμενο λ

ς να έχει στ

δειγματικό χ

2β

P Aα β

ια κάθε A

A f B όταν

τε τη συνάρτ

όμενα A κα

e 1

τότε P B e

12

τότε 1 2

άρτηση f x

την f ως πρ

γματικός χώρ

ων του και A

αι βέβαιο ενδ

άρτηση f x

ην f ως προ

A B να απ

ένη στη καμπ

τότε:


ετε ότι f P(A


2 x P A Β

εύτερη παρά

ένη της γραφ

νότητα P B

ας δειγματικ

Ω . Αν f x

το σημείο τη

χώρο Ω και

A για κάθε A

Ω

ν A B .

τηση f x e

ι B ενός δειγ

P Ae P A

2f P(A B)

21 ln x

ρος τη μονοτ

ρος ενός πειρ

A, B δύο ενδε

δεχόμενο και

ln x x , x

ος τη μονοτον


πύλη της f σ

τα P A .

ln(A B)


, με x 0

άγωγο της f

φικής παράστ

A

κός χώρος πο

3 2x 2λx

ς με τετμημέ

τις πιθανότη

A Ω με α

.

xe x , x R

γματικού χώρ

P Be

2 e

1 , x R

τονία και τα α

ράματος τύχη

εχόμενά του

ι το A αδύνα

0 και τα εν

νία.

ι: P(A)

ln PP(B)

στο ox P(A

(4e)2

για A


τασης της f

ου αποτελείτα

2λ x 1 2λ

νη , εφαπτ

ητες 1P , 2P . Ο

0 και β 0

ως προς τη μ

ρου Ω . Να α

ακρότατα.

ης, με μη μη

υ για τα οποία

ατο ενδεχόμε


P(A) P(B)

) είναι παρά

B .

υ Ω και η συ

στο σημείο

αι από ισοπί

λ , να βρείτε

όμενη παράλ

Ορίζουμε μια

0 . Να αποδε

μονοτονία.


δενικές πιθα

α ισχύει η σχ

ενο.

Α, Β ενός δειγ

άλληλη στη

υνάρτηση

ox 1 είναι

Γεν

ίθανα ενδεχό

τη πιθανότη

λληλη στον ά

α συνάρτηση

είξετε ότι:

τι:

ανότητες των

χέση f P(A)

ιγματικού χώ

διχοτόμ

παράλληλη


όμενα.

ητα η

άξονα x x .

η f τέτοια

P B . Να

ώρου Ω .

μο της γωνίας

στον άξονα

ις

α

ς


http://users.s

4.21 Έσ2x

f(x)

Α) Να

Β) Να

4.22 Έσ

δείγματος. Α. Να

Β. Να

Γ. Αν

4.23 Έσ

f x xP A

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

Δ) Αν

4.24 Δίν

Α) Αν

α,β Ν * .

Β) Έσ

ενδεχόμενα,

41g(x) x

12

E λ Ω/

4.25 Θε


και Γ , ικανο

Α) Να

Β) Να


sch.gr/mipapa

στω A , B δύο

xP(A ) P(Ax 1

3P(B)

2



στω Α ένα ενδ



ν 4P A

8

στω τα ενδεχό

P BA

x 1




ν ο ρυθμός με



στω Ω = α,

, όπου τα α,β

31(λ 1)x

3


εωρούμε τα α

ύ χώρου Ω , ώ

οποιούν τις σ


α εξετάσετε α


agr


A)αν x 1

αν x 1

ότι P(A) P

μέση τιμή και

δεχόμενο του


ότι: 2 1s

8

28

να αποδ

όμενα A κα

εδίο ορισμού

παράγωγο f

ότι η f είνα

εταβολής της

άρτηση f(x)

ένη της fC σ

α β 3α-β ,

2 3

β έχουν τις τ

22x 2001

η g είναι γνη

ασυμβίβαστα

ώστε P(Α)

σχέσεις P(A)

τε τις πιθανό

αν υπάρχει το

ιδείας


1

1 η οποία είν

1P(B)

2

ι τη διάμεσο

υ δ.χ. Ω και

αι τη διάμεσο

22P(A) 1

δείξετε ότι το

ι B ενός δειγ

ύ της f

f x

αι γνησίως αύ

ς f ως προς

2αx βxx 2

μ

στο σημείο τη

β 8α-β,

2, δει

τιμές που προ

με xR, λ

ησίως αύξου

α ανά δύο ενδ

Ρ(Β) Ρ(Γ)

2) P(B) P(


ο όριο x 1

xlim


ναι συνεχής σ

των αριθμών

ι P A , P A

ο των παρατη

18

ο δείγμα δεν


ύξουσα στο x για x 2

με x R 2

ης A 3,f(3)

ιγματικός χώ

οκύπτουν απ

Ω , και το εν

υσα στο R . N

δεχόμενα Α

1 . Οι πιθαν

2(B) P(A) κ

νδεχομένων A2x 20P(B)x

x 5P(A)

ου και η συνά

στο ox 1 .

ν: P(A), P(B

A , P , P

ηρήσεων.

είναι ομοιογ

ρου Ω με A

1,

είναι 1 , να

.

είναι η ευθε

ώρος που απο

πό το ερώτημ

νδεχόμενο

Nα βρεθεί η π

Α,Β και Γ , δ

νότητες πραγ

και P A B

A, B και Γ.

3.

άρτηση

), P(A B),

P Ω οι παρα

γενές.

,B και η


ία ε: y 7x

οτελείται από

μα α). Θεωρο

πιθανότητα τ

ιάφορα του κ

γματοποίηση

P(Γ) 0,2

P(A B)

ατηρήσεις εν


ότι P A P

x 12 , να βρ

ό ισοπίθανα

ούμε την συν

του ενδεχομέ

κενού , του ί

ης των ενδεχο

2.

3

νός

B

είτε τα

απλά

νάρτηση

ένου E .

ίδιου

ομένων Α,Β

35

36

4.26 Έσ

f x P(A)


Α) Να

Β) Αν

Γ) Αν

4.27 Δίν

Α) Να

Β) Αν

x 2 και τυ

καμπύλη της

Γ) Αν

8f P(A B)

4.28 Έσ3x

f(x) P(A3

στον άξονα

Α) Να

Β) Να

4.29 Έσ

3λf(x) x

3

Α) Να

Β) Να

Γ) Αν

Δ) Για

παραγώγου

Ε) Να

4.30 Δίν

δύο διαδοχικ

συνάρτηση

στω συνάρτησ

f x P(B)

της γραφική


ν το σημείο K

ν

x 1

f x P(Alim


α μελετήσετε

ν οι τετμημέν

υπική απόκλι

ς f στα σημε

ν A, B δύο ε

13 0 .

στω A , B εν2x

A) P(B)2

x x .



στω το ενδεχό

21 3x

2 16



ν η συνάρτησ

α την τιμή το

της συνάρτη



κών ρίψεων

f να είναι συ

ση f παραγω

x P A B

ής παράστασ

ότι P A B

1K 0,

4

ανή

A) f x P(B

x P(A)

άρτηση f x

την f ως πρ

νες των σημε

ιση s 3 να

εία 1 2A ,A ,..

ενδεχόμενα ε

δεχόμενα εν

xP(A B)

ότι P A B

ότι: 2x 1

f (xlim

x

όμενο Α και

x 2, με λ

ότι P A

f (x) και την

ση f παρουσ

ου λ που βρή

ησης f καθώ


άρτηση f με

ενός αμερόλ

υνεχής στο σ

ωγίσιμη στο

P A B με

σης της f στο

0

κει στη γραφ

B) 83

, να α

31x 2

3

ρος τη μονοτ

είων 1 1A x , f

βρείτε τη μέσ

10.,A

ενός δειγματ

ός δειγματικ

1 . Αν η εφα

0 .

x)2P(A)

x

Α΄ το αντίθε

λ 0

12

και P A΄

ν .

σιάζει ακρότα

ήκατε στο πρ

ώς επίσης και

ότητες P Α

3f(x)2αx

ληπτου ζαριο

σημείο με τετμ

R τέτοια ώσ

ε A,B μη κεν

ο σημείο εί

φική παράστ


x ,

τονία και τα α

1f(x ) 2 2A x

ση τιμή των



απτομένη στη

P(B)

ετο του, με P

12

.

ατα για 1x

ροηγούμενο

τα ακρότατα

και P A΄ .

3 2

α β

3βx x

ού, αντίστοιχ

τμημένη ox

στε

νά ενδεχόμεν

ίναι παράλλ

αση της f , ν

τι P A B

ακρότατα.

2 2, f(x ) ,…, A

συντελεστών

με 1P A

2

Ω και η συνά

η καμπύλη τη

P A P A΄

P A και x

ερώτημα να

α της παραγ

αν x 1

1 αν x 1

χα. Να βρείτε

1

να ενός δειγμ

ηλη στην ευθ

να αποδείξετε

56

και P B

10 10 10A x , f(x

ν διεύθυνσης

12

να αποδείξ

άρτηση

ης f στο ox

. Δίνεται ακό

2x P A΄ να

βρείτε το είδ

ώγου.

1

1 όπου α,β ε

ε την πιθανό

Γεν


θεία y x 1

ε ότι P A

13

0 ) έχουν μέσ

ς των εφαπτό

ξετε ότι

1 είναι πα

όμα η συνάρ


δος της μονο

είναι τα απο

ότητα του ενδ


ρου Ω . Αν η

1 τότε:

12

ση τιμή

όμενων στην

αράλληλη

ρτηση

ε ότι λ 1 .

οτονίας της

οτελέσματα

δεχομένου, η

ις

η


http://users.s

4.31 Έσ

xP B΄

x 1

Α) Να

Β) Να

Γ) Να

4.32 Δίν

δειγματικός

A) Να

B) Αν

ακροτάτων τ

α)

β)

γ)

4.33 Έσ

Α) Να

Β) Έσ

απόσταση απ

Γ) Έσ

τεταγμένων

Δ) Έσ

όπου κ είνα

ενδεχόμενα.

4.34 Έσ

1 2 νx , x ,..., x

2g x 4x

τότε: Α Να

Β ΝαΓ Επμεταξύ 1,7

Δ Αυ

ώστε το δείγ


sch.gr/mipapa

στω A, B δύο

1, P A B


α βρείτε το ρυ


νονται οι συν

χώρος Ω εν

α βρείτε τις ε

ν τα A, B είν

της f και P(

Να αποδείξ





στω το σημείο

πό το B

στω 1 1K x , y

των σημείων

στω η ευθεία

αι στοιχείο το


στω X μια ποσ

οι παρατηρή

3x x 10


α εξετάσετε απιλέγουμε στηκαι 2, 3 αν η

υξάνουμε κά

γμα να είναι ο


agr


xx 1

, x


υθμό μεταβο

ελάχιστη τιμ

ναρτήσεις f ,

νός πειράματ

εξισώσεις των

ναι ενδεχόμε

7(A B)

12 ,

ξετε ότι P A



τηση f x x

εξίσωση της

ο B 10,0 . Ν

1y , 2 2K x , y

ν είναι 11 , ν

η παράλλ

ου δειγματικ


σοτική μεταβ

ήσεις με μέση

s , x R . Α

μέση τιμή x

αν το δείγμα ην τύχη μια πη κατανομή θ

θε παρατήρη

ομοιογενές.

ιδείας

α ενός δειγμ

0,1 .


ολής της P A

μή της P A

,g με f(x)

τος τύχης.

ν εφαπτομένω

ενα του Ω με

, τότε:

B 0 .

ητα να μην π

ητα να πραγμ

2x 2 , x R


Να βρείτε το

2y , … , νK

να βρείτε τη μ

ληλη στην εφ


ητα του ενδεχ

βλητή ως προ

η τιμή x και

Αν η g x πα

και την τυπ

είναι ομοιογπαρατήρησηθεωρηθεί καν

ηση κατά την


νδεχομένων A

A B όταν x

B .

3 274x x x

2

ων των fC ,C

ε P(A) P(B

πραγματοποι

ματοποιείται

ης ε , της C

σημείο M τ

ν νx , y σημ

μέση τιμή x

απτομένη ε

Ω 0,1,2,..., 2

χομένου Δ: η

ος την οποία

ι τυπική από

αρουσιάζει γ

ική απόκλισ

γενές. η από τις ν πνονική;

ν ίδια ποσότη

ου Ω για τα

A B , B A

1x

2

x 2001 και

gC στο κοινό

B) , με πιθανό

ιείται κανένα

ι ακριβώς έν

f στο σημείο

της εφαπτομέ

εία της εφαπ

των τετμημέ

ε η οποία δι

20 ο οποίος

η ευθεία η

α εξετάζουμε

όκλιση s . Θεω

για x 1 ελά

ση s .

αρατηρήσεις

ητα λ 0 . Ν

οποία ισχύου

, A B ΄ .

3g(x) 3x

ό τους σημείο

ότητες τις θέσ

α από τα A,B

α από τα A,

ο A 1,f(1)

ένης ε το ο

πτομένης εένων τους.

ιέρχεται από

ς αποτελείται

να διέρχεται

ένα δείγμα μ

ωρούμε τη σ

άχιστο με ελ

ς. Ποια η πιθ


υν P A΄ 1

25x 11x

2

ο.

σεις των τοπι

B .

B .

οποίο απέχει

. Αν η μέση

ό το σημείο αι από ισοπίθ

ι από το σημ

μεγέθους ν κ

συνάρτηση

λάχιστη τιμή

θανότητα να

ν μικρότερη τ

3

1 x ,

2009 και ο

ικών

ελάχιστη

τιμή y των

20, κ 4 ,

θανα απλά

είο B 10,0

και

g 1 1

βρίσκεται

τιμή του λ

37

.

38

4.35 Στσυχνοτήτωνβαθμών σε κΑ) ΝαΒ) Να α) β)

if %

γ) δ) ένας μαθητή ε) Α

4.36 Έσ

ενδεχόμενα.

η f να μην

4.37 Α)

Β) Οι κυλικείο. Δίν Α)

Β)

ισχύει ότι 21t

κανο-νική κτουλάχιστον

4.38 Τ

ομαδοποιήπίνακα. ΈσΑ) ν

Β) ΝΓ) ΝΔ) Ε

ελάχιστη θε

το σχήμα είνν που αναφέρκλάσεις ίσου α βρείτε το c α κατασκευά το ιστόγραμ το κυκλικό δ

Να βρείτε τηΑν δοθεί έπαής για να πάρΑν επιλέξουμ

στω Ω 0,1,

Εκλέγουμε έ

έχει τοπικά

Να αποδείξ

ι μαθητές τηςνεται ότι το δ να βρείτε τη

Για s 10

2 2 22 ν, t ,..., t 4

ατανομή. Ανν 120 euro

Τις ελάχιστες

ήσαμε σε πέντστω ότι η διάμα βρείτε το π

Να συμπληρώΝα εξετάσετε Επιλέγουμε τυ

ερμοκρασία

ναι το πολύγωρεται σε ομαδ πλάτους c. άσετε: μμα συχνοτήτδιάγραμμα σ

η διάμεσο αινος στο 2,5ρει έπαινο; με τυχαία έν

, 2, 3, 4,5,6,7

ένα απλό ενδ

ακρότατα.

ξετε ότι 2s ς Γ τάξης ξόδδείγμα των πη μεγαλύτερη

i) αν t

404000 να βρ

ii) Έστω ότν επιλέξουμε

θερμοκρασίε

τε κλάσεις πλμεσος είναι πλάτος c των

ώσετε τον πίν αν το δείγμαυχαία μια ημ

μικρότερη α

ωνο σχετικώνδοποίηση τω

των σχετικών συχ

5% των μαθη

να μαθητή, πο

,8,9 ένας δ

δεχόμενο λ

ν2 2i

i 1

t x

.

εψαν ετησίωποσών που ξόη τιμή της τυ

1 2 ν, t , ..., t εί

ρείτε πόσους

τι τα ποσά ποε τυχαία ένα

ες για 200 σ

λάτους c όπ13 και η μέσν κλάσεων

νακα α είναι ομοιομέρα. Να βρε

από o15 C

ν ων

χνοτήτων

ητών με την κ

οια είναι η π

δειγματικός x

Ω . Αν f x

ως κατά μέσοόδεψε κάθε μυπικής απόκλ

ίναι τα ποσά

ς μαθητές έχε

ου ξόδεψαν μαθητή, να β

συνεχείς ημέρ

ως φαίνεται ση τιμή 11 .

ογενές είτε την πιθα

-0,1

0,4

-2

αριθμός μαθητώ

ν

καλύτερη βαθ

πιθανότητα ν

xώρος που α

3 2x x 2λx

όρο 100 eurμαθητής είναλισης

ά του ξόδεψα

ει η τάξη.

οι μαθητές τηβρείτε την πι

ρες τις

στο διπλανό

ανότητα να εί

2 6

θμολογία, τι

να έχει βαθμό

ποτελείται α

2 6x λ , να

o αγοράζονται ομοιογενές

ν οι ν μαθη

ης Γ τάξης ακιθανοτητα αυ

ό

ίχε

,

12-

Συνολο

Γεν

10 14

βαθμοί

ι βαθμό πρέπ

ό από 10 έως

από ισοπίθαν

α βρείτε την π

τας διάφορας.

ητές του σχολ

κολουθούν πυτός να ξόδε

ix iν

6 30


18 22

πει να έχει

ς 17;

να απλά


α είδη από το

λείου και

περίπου την εψε

if % iF %

40

ις

%

cgen sxol 2015-2016 papagrigorakis 5users.sch.gr/.../cgen_sxol_2015-2016_papagrigorakis.pdf6...

Documents

Transcript of cgen sxol 2015-2016 papagrigorakis 5users.sch.gr/.../cgen_sxol_2015-2016_papagrigorakis.pdf6...