Relacionando lados e ângulos

Até agora trabalhamos com o conceito de arco geométrico. A medida de um arco geométrico é restrita ao intervalo [0, 2π].

A partir de agora vamos atribuir um significado a medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão a fazer sentido, então, medidas de arcos menores que 0 e maiores que 2π.

Para chegar a essa generalização, introduziremos dois conceitos importante: arco trigonométrico e ciclo trigonométrico.

Ciclo trigonométrico

a

b

O A

B

1A’

B’

1

–1

–1

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

Ciclo trigonométrico

No ciclo trigonométrico, o raio é considerado como unidade de medida.

Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é:

C = 2πr = 2π.1 = 2π. Isso significa que

O comprimento de um arco qualquer do ciclo é numericamente igual à sua medida, em radianos.

Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em radianos.

Associando números a pontos do ciclo

A cada número real x, vamos associar a um ponto do ciclo trigonométrico.

a

b

O A

B

A’

B’

+

–Origem

1. Ao número real x = 0, associamos o ponto A, origem do ciclo.

2. A um número real x qualquer associamos um ponto P, final do percurso sobre o ciclo.

3. O ponto P é chamado de imagem de x no ciclo trigonométrico.

B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos irracionais π/2, π, 3π/2 e 2π.

O A

B

+

0

12

3

45

6

π/2

π

3π/2

2π

Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta positiva do ciclo. Corresponde ao intervalo [0, 2π[.

–2π

B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos irracionais –π/2, –π, –3π/2 e –2π.

O A

B

––1

–2

–3

–4–5

–6

–3π/2

–π

–π/2

Os números reais que acabamos de marcar pertencem à 1ª volta negativa do ciclo. Corresponde ao intervalo [–2π, 0[.

B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real 4π/3.

O A

B

+

P

4π/3

4π3

rad = 43

.180º = 240º

B’

A’

Exemplos

Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o quadrante a que pertence a imagem do real –π/4.

O A

B

–P

-π/4

–π4

rad =–14

.180º = –45º

Q

5

Exemplos

Um pentágono regular está inscrito no ciclo trigonométrico conforme figura. Determine os números reais que tem como imagem cada vértice do pentágono.

B’

A’ O A

B

P

R S

PB = BQ = QR = RS = SP =2π

P: π

2–

2π

5=

π

10

Q: π

2+

2π

5=

9π

10

R: 9π10

+2π

5=

13π

10

S: 13π10

+2π

5=

17π

10

Observação

Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede π/2 ou 90º. Veja

B’

A’ A

Bπ/2

0π

3π/2

O

+

Observação

Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede π/3 ou 60º. Veja

A’ A

Pπ/3

0

2π/3

π O

+

4π/3 5π/3

Q

R S

5π/4R

Observação

Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede π/4 ou 45º. Veja

A’ A

Pπ/4

0

3π/4

π O

+

7π/4

Q

SB’

Bπ/2

3π/2

Observação

Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede π/3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo fica:

A’ A

P–7π/3

0

–5π/3

–π O

–2π/3 –π/3

Q

R S–