Teorema Fundamental da Trigonometria

1cossen 22 =θ+θ

Demonstração ...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

Continuação...

)θ1 cos

sen 1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

Continuação...

)θ

sen θ

cos θ

1

Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :

1cossen 22 =θ+θC M P Q D

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

)θCateto Adjacente Cateto O

posto

Hipotenusa

Continuação ...

Cotangente de θ

Secante de θ

Cossecante de θ

Tangente de θ

Cosseno de θ

Seno de θ

Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico

HICO

sen =θ

HICA

cos =θ

COHI

sen1

seccos =θ

=θ

CACO

tg =θ

CAHI

cos1

sec =θ

=θ

COCA

tg1

gcot =θ

=θ

Na Circunferência Trigonométrica

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

Continuação ...

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

Arcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 06

π4

π3

π2

π π3

2ππ2

seno 02

1

2

2

2

31 0 - 1 0

cosseno 12

3

2

22

10 - 1 0 1

tangente

θθ

cos

sen 03

31 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Vamos pensar . . .

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?

Observem a figura ao lado

1) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que o sen α vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

b

hip

.o.csen ==α

2) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que o cos α vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/bc

a

hip

.a.ccos ==α

3) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que a tg α vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c

a

b

.a.c

.o.ctg ==α

4) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que a cotg α vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c b

a

.o.c

.a.cgcot ==α

5) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que tg α .cotg α vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1 1.o.c

.a.c.

.a.c

.o.c

gcot.tg

=

αα

6) Se a = 3b, podemos dizer então, que

sen2 α + cos2 α vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:

sen2 θ + cos2 θ = 1

portanto,

7) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que sec2α - 1vale:

a) tg2α

b) cotg2α

c) - 1

d) 0

e) 1 ( )α

=α⇒

α

=α

α=α

22

22

cos

1sec

cos

1sec

olog,cos

1sec

α=−α⇒αα=

αα−⇒−

α⇒−α 22

2

2

2

2

22 tg1sec

cos

sen

cos

cos11

cos

11sec

( )αα=α⇒

αα=α

αα=α

2

22

22

cos

sentg

cos

sentg

olog,cos

sentg

α−=α=α+α22

22

cos1sen

1cossen

α=−α 22 tg1sec

8) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que cossec2α - 1vale:

a) tg2α

b) cotg2α

c) - 1

d) 0

e) 1( )

α=α⇒

α

=α

α=α

22

22

sen

1seccos

sen

1seccos

olog,sen

1seccos

α=−α⇒αα=

αα−⇒−

α⇒−α 22

2

2

2

2

22 gcot1seccos

sen

cos

sen

sen11

sen

11seccos

( )αα=α⇒

αα=α

αα=α

2

22

22

sen

cosgcot

sen

cosgcot

olog,sen

cosgcot

α−=α=α+α22

22

sen1cos

1cossen

α=−α 22 gcot1seccos

9) Se sen α = b/c, então, calculando o valor de

chegaremos a:

a) a/c

b) b/c

c) a/b

d) b/a

e) 1

α+αα−

αα=

α

+α−α=

cos

1cos.)cos1(.

sen

cosy

cos

11.)cos1(.gcoty α−=α

=α+α22

22

cos1sen

1cossen

α

+α−α=cos

11.)cos1(.gcoty

( )

)coscos1(cos.sen

1y

1cos.)cos1(.sen

1y

2 α−α−+αα

=

+αα−α

=

)cos1(.sen

1y 2 α−

α=

αα

= 2sen.sen

1y

c

by

seny

=

α=

Voltando

a parte teórica

Lei dos Senos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :∧∧∧ ==Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Lei dos Cossenos

Seja um triângulo ABC qualquer

temos :

∧

∧

∧

−+=

−+=

−+=

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) (^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

Continuação ...

Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos :

°−+= 90coscb2cba 222

Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...

0cb2cba 222 −+=

Temos, portanto ... 222 cba +=Teorema de Pitágoras

Gráficos das funções trigonométricas

sen x

y

x

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

•

90°

1

-1

Continuação ...

cos x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0°

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

1

-1

Continuação ...

tg x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

0° 360°

-90° 90°180°

270° 450°

540°

630°

Continuação ...

y

x

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

•

90°

1

-1

cossec x

Continuação ...

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0°

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

sec x

y

x

1

-1

Continuação ...

cotg x

y

x •

•

•

•

•

•

•

•

•

0° 360°

90°

180°

270° 450°

540°

630°

720°

TRIGONOMETRIA APLICADA

• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,“t” dias após 1º de janeiro.

−π+= )80t(365

2sen8,212)t(L

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

Continuação ...

dt2

tsen)x(S

x

0

2

∫

π=

Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394

•Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas.

Continuação ...

• Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit.

Trigonométrica Transformada Trigonometria no

Triângulo Retângulo

I 222 .uba − θsen.b

au = θθ cos.sen1. 2 aa =−

CA

COtg =θ

II 222 .uba + θtgb

au .= θθ sec.1. 2 atga =+

HI

CA=θcos

III 222 . aub − θsec.b

au = θθ tgaa .1sec. 2 =−

HI

CO=θsen

Demonstrando o Caso I ...

=−=−=−=

−=− )sen1.(sensen.sen. 222222

2

222

222222 θθθθ aaa

b

aba

b

abauba

==−= θθ 22 cossen1. aa θcos.a C M P Q D

Trigonometria

Algumas Aplicações

Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra

Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.

São eles: uma distância

um ângulo

Observe a seguir . . .

hd.tgd

htg

.a.c

.o.ctg

=α

=α⇒=α

temos que:

portanto: α= tg.dh

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo αque vale 30°, podemos dizer então que:

metros8675,28h

95773502691,0.50h

30tg.50h

tg.dh

==

°=α=

Exemplo 1

A inclinação de uma rampa

Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

Como poderíamos resolver essa situação?

Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.

Observemos:

6 metros16,4 metros

2 metrosθ

Comprimento total da rampa

solo

6 metros

16,4 metros2 metros

θ

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .

θ 2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Temos em relação ao ângulo θ:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

θ 2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Como:

hip = 16,4 metros

c.o. = 2 metros

121219512195,04,16

2

hip

.o.csen ===θ

Obs.: quando dizemos que arcsen α = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que α = 30°.

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:

sen θ = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo θ, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.

Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.

Encontramos assim, a inclinação da rampa!

2,49121219512195,0

6

7sen

6

sen

o.chip

sen

o.chip.o.chip.sen

hip

.o.csen

==°

=θ

=

θ=⇒=θ⇒=θ

6 metros

θ = 7°

θ 2 metros

16,4 metroship c.o.

c.a.

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que θ é válido para ambos

Como:

Chegamos a conclusão que o

comprimento total da rampa é 49,2 metros

Exemplo 2

Mecânica Geral

ou Trigonometria?

Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros

assuntos.Observemos os exemplos a seguir:

Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo

que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F→

nos eixos das abscissas e das

ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F→

e )y(2F→

.

Analogamente, encontraremos as projeções de 3F→

, encontrando os componentes )x(3F→

e )y(3F→

.

A resultante relativa ao eixo das abscissas

→

)x(Ré obtida

da seguinte maneira:

)x(31)x(2)x( FFFR→→→→

−+=

°=⇔=°==°⇒=α

°=⇔=°==°⇒=α

60cos.FFFF.60cosF

F60cos.

hip

a.ccos

45cos.FFFF.45cosF

F45cos.

hip

a.ccos

Como

3)x(3)x(333

)x(3

2)x(2)x(222

)x(2

=⇒=°==⇒=°=

N20F5,0.4060cos.FF

N70F70,0.10045cos.FFtotanPor

)x(33)x(3

)x(22)x(2

)x(31)x(2)x( FFFR→→→→

−+=

N70R

202070R

)x(

)x(

=

−+=→

→

A resultante relativa ao eixo das abscissas

→

)y(Ré obtida

da seguinte maneira:

)y(34)y(2)y( FFFR→→→→

−−=

°=⇔=°==°⇒=α

°=⇔=°==°⇒=α

60sen.FFFF.60senF

F60sen.

hip

o.csen

45sen.FFFF.45senF

F45sen.

hip

o.csen

Como

3)y(3)y(333

)y(3

2)y(2)y(222

)y(2

=⇒=°==⇒=°=

N4,34F86,0.4060sen.FF

N70F70,0.10045sen.FFtotanPor

)y(23)y(3

)y(22)y(2

)y(34)y(2)y( FFFR→→→→

−−=

N6,25R

4,341070R

)y(

)y(

=

−−=→

→

Colocando )x(R→

e )y(R→

, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,

Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força

Resultante →R , )x(R

→

é o cateto adjacente a α e )y(R→

ocateto oposto a α, então, vale o teorema de Pitágoras para

calcularmos o valor de →R .

( ) ( )

N53,74R

36,5555R

36,5555R

36,6554900R

6,2570R

RRR

cch

2

2

222

2

)y(

2

)x(

2

222

=

=

=

+=

+=

+

=

+=

→

→

→

→

→

→→→

Para o cálculo do ângulo α, temos:

3657,070

6,25

R

R

.a.c

.o.ctg

)x(

)y( ====α →

→

3657,0tg =α

Esse é o valor da tangente do ângulo α.Para calcularmos o valor do ângulo α,temos que encontrar o arctg α, então:

°≅α=α=α

20

3657,0arctgarctg

Concluímos então que a Resultante N53,74R=→

e formaum ângulo °≅α 20 com o eixo x.

Desafio !

Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)

Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13 =

Solução:

Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

)II(y.3h

y.60tghhy.60tgy

h

.a.c

.o.c60tg

)I()y20(.3

3h

)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(

h

.a.c

.o.c30tg

=

°=⇒=°⇒==°

+=

+°=⇒=+°⇒+

==°

metros10y

y220yy320y.3)y20(

y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3

3

y.3h)II()y20(.3

3h)I(

=⇒=⇒−=⇒=+⇒

=+⇒=+

=+=

Igualando o h das equações ( I ) e (II)

Como

metros17h

10.7,1h

y.3h

===

30 metros

17 metros para subir a árvore

17 metros para descer da árvore

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:

De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

segundos20eutosmin5touutosmin333,5t

60

segundos320tsegundos320

2,0

64t

V

stst.V

t

sV

=∆=∆

⇒=∆⇒==∆

∆=∆⇒∆=∆⇒∆∆=

v = 0,2 m/s

Obrigado pela participação de todos!!!

Infelizmente, terminou . . .

Prof. Edson Arnaldo Mendes

Prof. Paulo Alves Rodrigues