CHAMP ÉLECTRIQUE EN RÉGIME STATIONNAIRE

CHAMP ÉLECTRIQUE EN RÉGIME STATIONNAIRE

Théorème de Gauss

1. Fil infini chargé

On considère un fil rectiligne infini chargé avec une charge linéique uniforme λ.

a) Calculer le champ électrique )(MEr

en tout point M de l’espace, puis le potentiel V(M).

b) On considère le système formé par deux fils infinis parallèles à l’axe Oz et distants de 2a. L’un, chargé uniformément avec λ− , passe par le point )0,0,( aA − du plan xOy, l’autre, chargé uniformément avec λ, par le point )0,0,(aB . Déterminer le

potentiel électrostatique ),( θrV en un point M du plan xOy repéré par ses coordonnées polaires ),( θr , tel que ar >> .

En déduire l’équation polaire des courbes équipotentielles, intersection des surfaces équipotentielles avec le plan xOy. Déterminer l’équation polaire des lignes de champ. Tracer l’allure de la carte de champ et des courbes équipotentielles dans le plan xOy.

réponse : a) r

Er

02πελ= b) θ

πελ=θ cos),(

0r

arV ; θ

πελ= cos

20r

aEr et θ

πελ=θ sin

20r

aE , les surfaces équipotentielles sont

des cylindres dont les bases sont des cercles passant par O et dont le centre est sur Ox ; les lignes de champ sont des cercles passant par O et dont les centres sont sur Oy.

2. Modélisation surfacique

On considère une distribution de charges à symétrie sphérique de centre O, de densité volumique de charges en M tel que

rOM =→

:

ε+≥ε+≤≤=ρ

≤≤=ρ

Rr

RrRCte

Rr

r

pour 0

pour

0pour 0

)(

Déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace. Faire tendre ε vers 0 et comparer avec le résultat pour une distribution surfacique uniforme sur une sphère de rayon R.

Énergie

3. Évaluation du rayon d’un noyau atomique (sujet classique) a) Calculer de deux manières différentes l’énergie électrostatique d’une sphère de centre O, de rayon R, portant une charge Q uniformément répartie en volume.

b) On considère deux noyaux supposés sphériques de même rayon R, uniformément chargés en volume : XAZ et Y1

AZ + .

Calculer leur différence d’énergie électrostatique eU∆ en fonction de Z et de R.

A.N : MeV 79,2e =∆U entre B115 et C11

6 : calculer R en fermis (1 fermi vaut m 10 15− ).

réponse : a) R

QU

0

2

e 20

3

πε= b)

R

eZU

0

2

e 20

)12(3

πε+=∆ ; fm 4,3=R

4. Évolution d’un système de quatre charges identiques

On considère quatre charges ponctuelles q situées aux sommets d’un tétraèdre régulier de côté d. On abandonne les charges sans vitesse initiale. Déterminer la trajectoire des charges et la vitesse limite de chaque charge.

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Dipôle électrique

5. Quadrupôle

On considère le système de charges ci-contre et on s’intéresse au champ et potentiel électrostatiques créés en un point M éloigné du système. a) Calculer le moment dipolaire du système, conclure. b) Calculer le potentiel électrostatique V(M).

c) Calculer le champ électrostatique rE M( ) .

d) Déterminer l’équation des lignes équipotentielles dans un plan contenant (AB) et l’équation des lignes de champ. Tracer ces courbes. e) Montrer en utilisant la théorie de Lewis que les résultats trouvés s’appliquent au champ créé par la molécule de 2CO à grande distance de cette dernière.

réponse : a) r rp = 0 b) V M

qa

r( )

( cos )= −2 2

03

1 3

4

θπε

c) Eqa

rr = −3 1 3

4

2 2

04

( cos )θπε

, Eqa

rθ

θ θπε

= − 6

4

2

04

cos sin d) surfaces

équipotentielles : r KV

= −

1 3 21

3cos θ, lignes de champ r K= ′ sin cosθ θ

6. Polarisabilité d’une molécule diatomique

Lorsque une espèce (atome, molécule, ion) est placée dans un champ électrique extérieur Er

, elle acquiert un moment dipolaire

pr

lié linéairement à Er

: [ ]Eprr

αε= 0 , où [ ]α est la matrice polarisabilité.

Dans le cas d’un atome, Eprr

αε= 0 .

a) Donner la dimension de α. Une molécule diatomique d’axe Ox est constituée de deux atomes identiques de centres 1O et 2O distants de r de polarisabilité

individuelle α. On applique un champ électrique extérieur Er

uniforme.

b) Déterminer la polarisabilité //α de la molécule si Er

est parallèle à Ox.

c) Déterminer la polarisabilité ⊥α de la molécule si Er

est perpendiculaire à Ox.

d) En déduire la matrice polarisabilité. On montrera pour b) et c) que la solution telle que les deux atomes possèdent le même moment dipolaire convient.

réponse : a) [ ] 3L=α b)

3

//

21

2

rπα−

α=α c)

341

2

rπα+

α=α⊥ d) [ ]

αα

α=α

⊥

⊥

00

00

00//

Équations locales

7. Charges d’espace (sujet classique) Une cathode cylindrique (potentiel 0c =V ) de rayon 0R est chauffée : elle peut libérer

des électrons avec une vitesse quasiment nulle. Elle est entourée par une anode métallique cylindrique de rayon 0RR >> , de même axe et même hauteur Rh >> que la

cathode. L’anode est portée au potentiel 0a >= VU . On se place en régime permanent.

On note 0>I le courant traversant le dispositif. a) Montrer qu’il existe des charges d’espace entre l’anode et la cathode. Déterminer la charge volumique )(rρ à une distance r de l’axe en fonction de I, r, h et la vitesse )(rv

d’un électron. b) Quelle relation lie )(rv au potentiel )(rV ?

c) On donne le laplacien en coordonnées cylindriques :

2

2

2

2

22

2 11

z

VV

rr

V

rr

VV

∂∂+

θ∂∂+

∂∂+

∂∂=∆ .

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Établir l’équation régissant )(rV . On pose 02

2επ

=Γh

e

mI

où m et e sont respectivement la masse et la valeur absolue de la charge

de l’électron.

Résoudre cette équation en cherchant des solutions sous la forme α= ArrV )(

d) Quelle est l’équation de la caractéristique )(IfU = de ce dipôle ? Pourquoi le système considéré ici constitue-t-il une diode

(diode à vide). e) Calculer la puissance volumique fournie par le champ électrique aux charges en mouvement. En déduire la puissance P absorbée par la diode

réponse : a) )(2

)(rhrv

Ir

π−=ρ b)

m

reVrv

)(2)( = c) 0

d

d1

d

d 2

1

2

2

=Γ−+−

Vrr

V

rr

V ;

3

2=α d) 2

3

UI ∝ si 0>U , I est nul sinon

e) on retrouve UIP =

Analogies avec la gravitation

8. Détection de gisements par gravimétrie

a) On modélise la Terre comme une sphère de rayon R et homogène avec une masse volumique ρ .

Calculer le champ de gravitation 0 G

r

à la surface de la Terre.

b) On considère un gisement correspondant à un défaut d’homogénéité de la Terre : dans une sphère de centre ′O et de rayon ′R , entièrement enfouie dans la Terre à une profondeur Rh ′> , la masse volumique est ρ<ρ′ .

Quelle est alors la variation 0 G

Gδ de la norme du champ de pesanteur au point A situé à la surface de

la Terre, à la verticale de ′O ? Commenter l’influence de ′R et de h.

réponse : b) 2

3

0 Rh

R′ρ

ρ−ρ′=δ

G

G

Compétences fondamentales : >>> Connaître les équations locales qui régissent les champs E

r (M.F et M.G) et V (Poisson) en régime stationnaire, ainsi que

leur version « intégrale » ( Er

à circulation conservative, théorème de Gauss). >>> Connaître les champs créés par une charge ponctuelle ; savoir exprimer les champs créés par des distributions volumiques, surfaciques, linéiques de charge.

>>> Savoir utiliser les symétries / antisymétries planes pour trouver la direction de Er

, les invariances des distributions pour

montrer que Er

ne dépend pas de certaines coordonnées.

>>> Connaître les cas de continuité / discontinuité spatiale des champs, les relations de passage pour Er

.

>>> Connaître l’énergie électrostatique d’une charge ponctuelle dans un champ Er

ainsi que celle d’une distribution de charges.

>>> Connaître les propriétés topographiques de Er

.

>>> Savoir calculer Er

grâce au théorème de Gauss pour des distributions de charge à symétrie cylindrique ou sphérique. >>> Connaître la définition d’un dipôle électrostatique, de son moment dipolaire. Connaître la technique pour trouver le champ créé par un dipôle. Connaître l’expression des actions subies par un dipôle rigide. >>> Savoir établir un tableau d’analogies entre les champs électrique et gravitationnel.