Exercices sur le potentiel électrique et le théorème de Gauss

S. Benlhajlahsen

Dans tous les exercices (sauf mention contraire), e représente la charge élémentaire avec e = 1.6 × 10−19 C, ε0 la permittivité du vide avec ε0 ≈8.85× 10−12 F ·m−1 et G = 6.67× 10−11 N · kg−1 la constante de gravitation universelle.

Calcul de champ électrique et de potentielélectrique

I. Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène

Dans le modèle de Thomson de l’atome 1, l’atome est constitué d’unélectron −e supposé ponctuel et d’une charge positive +e mais répartieuniformément ρ = cte à l’intérieur d’une sphère de rayon R (voir figure 1).

OM

r-e

Figure 1

1. Quelle est l’expression de ρ ?2. Calculer, à l’aide du théorème de Gauss, le champ électrostatique

créé par la charge positive, en un point M de l’espace. En déduirele potentiel électrostatique.

3. Déterminer l’énergie potentielle de l’électron soumis exclusivement àl’action de la distribution de charge positive. En déduire la positiond’équilibre stable. On supposera que le mouvement de l’électron nemodifie pas la distribution de charge

4. On donne l’énergie d’ionisation de cet atome : Ei = 13,6 eV. Endéduire R.

II. Potentiel de Yukawa

Une distribution de charges crée un potentiel de Yukawa 2 V dont l’ex-pression en coordonnées sphériques est donnée, pour r > 0, par :

V (M) = e

4πε0rexp

[−ra

]1. ce modèle (dit aussi modèle de plum pudding) fut proposé par J.J. Thomson, qui découvrit l’électron en 1897. Il fut proposé en 1897 avant la découverte du noyau simplifié..2. aussi applée potentiel coulombien écranté

1

avec a = 1.0× 10−10 m = 1.0 A.1. Déterminer le champ électrostatique créé par la distribution.2. Exprimer, à l’aide du théorème de Gauss, la charge Qint(r) contenue

dans la boule de centre O et de rayon r.3. Quelles sont les charges limites pour r � a et r � a ? Quelle distri-

bution de charge simple, le potentiel de Yukawa peut-elle modéliser ?

III. Champ électrostatique créé par undemi-cylindre infini

On considère un demi-cylindre infini selon (Oz), de rayon R et portantla densité volumique de charge ρ > 0 (voir figure 2).

1. Par symétrie, quelle est la direction du champ électrostatique en unpoint M de l’axe (Oz) ?

2. A l’aide du théorème de Gauss, retrouver l’expression du champélectrostatique créé en un point M à une distance r d’un fil recti-ligne infini de charge linéique uniforme λ.

3. En remarquant que cette distribution de charge peut être décompo-sée en un ensemble de cylindre de section infiniment petite, calculerle champ créé par le demi-cylindre chargé en M ∈ (Oz).

z

xy

Figure 2

IV. Charges uniformément réparties entre deuxplans infinis

Entre deux plans infinis et parallèles de cotes z = e2 et z = − e

2 , setrouve une distribution volumique de charge uniforme et égale à ρ (voirfigure 3).

z

O xρ

Figure 3

1. En étudiant les symétries et les invariances, donner la direction de−→E et les coordonnées dont dépend −→E . Déterminer le champ élec-trostatique en tout point de l’espace en appliquant le théorème deGauss.

2. On fait tendre l’épaisseur e vers 0, tout en maintenant constante lacharge totale, si bien que l’on obtient une modélisation surfaciquede charge.Comment pourrait-on définir la densité surfacique de charge σ ? Quedevient le champ électrostatique ? Commenter.

V. Phénomène d’écran dans un plasma

A. préliminaire

1. Rappeler le champ électrique créé par une charge ponctuelle q placéeau centre O d’un repère. On se placera en coordonnées sphériques.

2. Rappeler le lien entre champ électrique −→E et le potentiel électriqueV . Que vaut alors le potentiel dans le cas de la particule ponctuelleprécédente ? On prendra lim

+∞V = 0.

2

B. étude d’un plasma

Un plasma est un milieu neutre macroscopiquement, mais dont lesatomes sont ionisés : il est donc constitué de cations et d’électrons. Il enexiste des naturels (foudre, ionosphère-aurores polaires, étoiles...) et desartificiels (lampes fluorescentes, propulseurs de fusée...).

On considère un ion argon Ar+, placé en O et pris comme origine du re-père d’espace. Du fait de l’attraction coulombienne, on observe un surplusde charges négatives au voisinage de cet ion. Soit V (r) le potentiel élec-trique qui règne en un point M à la distance r de O. On peut montrer queles densités particulaires 3 des charges positives (cation Ar+) et négatives(électrons) sont respectivement

n+ = n0 exp(−eV (r)kBT

)

n− = n0 exp(eV (r)kBT

)

où n0 est la densité particulaire moyenne des électrons et cations, kBla constante de Boltzmann et T la température.

1. On se place en coordonnées sphériques. Le potentiel électrique nedépend que de r. Que peut-on en déduire ? Justifier alors que lechamp électrique peut s’écrire :

−→E = E(r)−→ur

2. Montrer que la densité volumique de charge totale ρ(r) enM a pourexpression :

ρ(r) = −2n0e · sh(eV (r)kBT

)

où sh est la fonction sinus hyperbolique.

3. Calculer le flux du champ électrique φ(r) à travers une sphère derayon r.

4. On s’intéresse à la couche sphérique comprise entre les sphères derayon r et de rayon r+ dr. Quelles est la charge présente dans cettecouche ?

5. En calculant dφ = φ(r + dr) − φ(r), puis en remarquant que1r2 ·

ddr

(r2 dV

dr

)= 1r

d2

dr2 (rV ) , montrer que :

1r· d2

dr2 (rV (r)) = −ρ(r)ε0

On se place dans le cas des hautes températures kBT � eV (r).Simplifier l’expression de ρ(r) et la résoudre en posant f(r) = rV (r).On choisira l’origine des potentiels à l’infini. On fera apparaître unelongueur caractéristique λD =

√ε0kBT2n0e2 , appelée longueur de Debye.

Justifier qu’au voisinage de l’ion central Ar+, le potentiel est laforme suivante :

V ≈ e

4πε0r

6. Calculer le champ électrostatique et en déduire la charge totalecontenue dans une sphère de rayon r.Etudier les cas limites r � λD et r � λD.

7. Pourquoi parle-t-on d’effet d’écran ? Calculer λD pour l’argon pourT = 1.0× 103 K, puis T = 1.0× 104 K. Conclusion.

constante de Boltzmann kB = 1.38× 10−23 J ·K−1

densité moyenne n0 = 3.0× 1021 m−3

3. nombre de particules par unité de volume

3

Condensateurs

VI. Condensateur cylindrique

z

Figure 4 – Ensemble de deux armatures métalliques cylindriques formantun condensateur.

On considère une distribution de charge composée de deux cylindresinfinis et concentriques chargés uniformément en surface avec une densité+σ1 et −σ2 (toutes deux sont des constantes positives) de sorte que l’en-semble est globalement neutre (voir figures 4 et 5).

a

b

+σ1

-σ2

Figure 5 – vue de desssus

1. Si on isole une tranche de hauteur h, comment se traduit la neutra-lité électrique de la distribution de charge ainsi isolée ?

On supposera que cette condition est vérifiée dans toute la suite del’exercice.

2. Déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace àl’aide du théorème de Gauss.

3. On isole par la pensée une tranche de hauteur h (en trait plein surla figure) de cette distribution. Calculer la capacité C de ce conden-sateur puis la capacité linéique définie par Γ = C

h.

VII. Modèle électrique de l’atmosphère

L’état électrique de l’atmosphère peut être modélisé, par beau temps,de la manière suivante : le sol et l’ionosphère (zone de la haute atmsophèrecaractérisée par la présence de particules chargées) forment les armaturesd’un condensateur, l’atmosphère jouant le rôle d’isolant 4. On suppose quele sol porte une charge Q uniformèment répartie en surface. La Terre estassimilée à une boule de rayon R1, l’ionosphère à une sphère de rayon R2.

1. Déterminer l’expression du champ électrostatique −→E créé en unpoint M de l’atmosphère situé dans la zone R1 < r < R2 du centrede la Terre.

2. En déduire la différence de potentiel entre le sol et l’ionosphère.3. Quelle est l’expression de la capacité C du condensateur ainsi

formé ? Calculer C.Données : R1 = 6,4× 103 km, R2 −R1 = 15.0 km

4. Montrer que le condensateur sphérique étudié est équivalent à uncondensateur plan pour lequel on rappelle que la capacité C0 = ε0S

e

où S est sa surface et e son épaisseur.

4. de permittivité égale à celle du vide ε0

4

Champ de gravitation

VIII. Accrétion d’une étoile

On considère une sphère de rayon r et de densité volumique de masseρ uniforme.

1. Rappeler l’expression du champ gravitationnel en un point M situéà la surface de la sphère. Définir un potentiel gravitationnel Vgrav.On posera Vgrav = 0 à l’infini.

2. Calculer le travail d’un opérateur qui amène une particule de massem, initialement à l’infini sur la surface de la sphère de rayon r.

3. Une sphère chargée de rayon R et de densité volumique uniformeρ est constituée par accumulation de particules infiniment petitesqui au départ sont infiniment éloignées les une des autres. L’énergiepotentielle d’interaction est prise nulle dans l’état initial.

(a) Le rayon de la sphère passe de r à r+ dr : une pellicule d’épais-seur dr est amenée de l’infini sur la surface de la sphère.Déterminer la variation d’énergie potentielle dEp associée à cetteopération.

(b) En déduire l’énergie potentielle totale de ce système en fonctionde la charge totale M et de R.

Extraits d’oraux de concours

IX. Electro-érosion (Centrale)

On s’intéresse au procédé d’électro-érosion - electrical discharge machi-ning ou EDM en anglais - qui est une technique d’usinage de pièces pardécharge électrique (voir figure 6). Parmi tous les procédés existants, ons’intéresse à l’électro-érosion par fil - ou wire EDM en anglais. La tech-nique utilise un fil métallique porté au potentiel électrique U qui "traverse"

la pièce métallique raccordé à la masse de potentiel nul. L’ensemble baignedans un liquide diélectrique (ou isolant électrique) qui peut être de l’eaudé-ionisé ou une huile (dont les propriétés électrostatiques sont identiquesà celle du vide pour peu que l’on remplace la permittivité ε0 par ε0εr).

1. Rappeler, à l’aide du théorème de Gauss, la structure du champ élec-trostatique créé par un fil infini de rayon a présentant une chargerépartie uniformément à la surface de celui-ci. On se limitera auchamp créé à l’extérieur du fil.

On se place maintenant dans la situation des figures 7 et 8. Le filmétallique a un rayon a et la partie découpée à une largeur 2b.

2. Sous réserve de quelques approximations, déterminer une expressionsimple du champ électrique créé par le fil métallique en fonction deU , a, b et la distance r entre l’axe du fil et le point considéré (rayondes coordonnées cylindriques d’axe colinéaire au fil).

Si ce champ électrique dépasse une valeur Edécharge = 1.0 × 107 V ·m−1, on observe une décharge électrique à travers le liquide iso-lant qui déteriore localement la pièce métallique sur une zone d’airetypique de quelques µm2.

3. Déterminer la tension minimale Umin pour provoquer la décharge àtravers le liquide isolant.

On donne : a = 2.0 µm, b = 5.0 µm.

4. Donner une estimation du courant correspondant à cette décharge.

5

Figure 6 – photo d’un Wire EDM

Figure 7 – schématisation d’un Wire EDM

fil

pièce métallique à découper

b

a

Figure 8 – vue de dessus d’un Wire EDM. La couleur jaune correspondà un liquide diélectrique.

X. Effet couronne

Dans les lignes à Très Hautes Tensions (T.H.T.), le champ électriqueest si élevé qu’il crée dans l’air ambiant des mini-décharges électriques. Oncherche à estimer la taille minimale de l’isolant dont on doit entourer lescâbles pour éviter ces décharges. Les données sont rassemblées en table ??.

6

(C1)

(C2)

(C3)R

dr

•M

(∆)

1

Figure 9 – schema en coupe descâbles.

Figure 10 – Pylône électrique.

On considère trois câbles parallèles (voir figure 9) d’un pylône (voirfigure 10) supposés infiniment longs, de rayon R et distant de d� R. Cescâbles transportent du courant triphasés. A une abscisse quelconque, lespotentiels des trois câbles {(Ci) | i = 1,2 ou 3} sont respectivement

V1 = Vm cos (ωt)

V2 = Vm cos(ωt+ 2π

3

)V3 = Vm cos

(ωt− 2π

3

)

1. On se place à l’instant t = 0. Quelle est la tension de chacun descâbles ? On se placera dans toute la suite dans cette situationstatique.

2. Redémontrer la forme du champ électrique et du potentiel créé parun fil infini portant uniformément une densité linéique de charge λà une distance r de ce fil.

3. On note λi la densité linéique de charge (uniforme) de chacun descâbles (en les supposant proportionnelles aux potentiels de la ques-tion 1.). On se place en un point M de l’axe (∆) à une distance rde l’axe (C1). Calculer le potentiel créé en M (extérieur aux câbles)par les trois câbles en fonction de λ1. On supposera le potentiel nulà l’infini.

4. Donner alors le lien entre Vm et λ1 puis la norme du champ élec-trique en M sur cet axe (∆). Evaluer numériquement, au voisinagedes câbles, ce champ électrique.

5. Evaluer l’épaisseur minimale emin d’isolant à mettre autour descâbles conducteurs ppur que le champ dans l’air environnant nedépasse pas Edécharge = 20 kV · cm−1.

Eléments de réponses

I

1. La densité volumique de charge est donnée par :

ρ = e

Vsphère= 3e

4πR3

2. Par symétrie et invariance, le champ électrique a pour expression−→E = E(r)−→ur et le potentiel V = V (r). Le flux du champ électriques’écrit :

Φ = 4πr2E(r) = Qint

ε0

Deux cas se présentent :— si 0 < r 6 R, Qint = ρ4

3πr3 donc E(r) = ρr

3ε0= er

4πε0R3 ;— si r > R, Qint = ρ4

3πR3 = e donc E(r) = e

4πε0r2 ;

7

Par intégration, le potentiel électrique vérifie (en le prenant nul àl’infini) :— si r 6 R, V = − er2

8πε0R3 + 3e8πε0R

;— si r > R, V = e

4πε0r;

3. L’électron a une énergie potentielle Ep = −eV . On montre rapide-ment que r = 0 correspond à une position d’équilibre stable.

4. L’énergie d’ionisation est l’énergie qu’il faut apporter pour arracherl’électron de sa position d’équilibre stable pour l’éloigner à l’infinidu noyau. Ainsi,

Ei = E(r → +∞)− Ep(r = 0) = 3e3

8πε0R

On trouve alors :

R ≈ 1.6× 10−10 m

II

1. Le champ électrique est obtenu à partir du gradient du potentielpar :

−→E = −dV

dr−→ur = e

4πε0·[ 1r2 + 1

ra

]· exp

(−ra

)−→ur

2. En appliquant le théorème de Gauss à une sphére de rayon r, onobtient :

Qint = e ·[1 + r

a

]· exp

(−ra

)3. Deux cas se présentent :

— r � a et Qint ≈ e ;— r � a et Qint ≈ 0.

Cette distribution se charge peut correspondre à une charge ponc-tuelle e placée en O et une distribution de charge négative nonuniforme mais globalement de valeur absolue décroissante avec ladistance r.On parle d’effet d’écran car en r 6= 0, on ne ressent pas directementl’effet de celle-ci mais un effet amoindri par la distribution de chargenégative.

III

V

A. préliminaire

1. En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) dans la base (−→ur ,−→uθ ,−→uϕ), lechamp électrique créé par la particule ponctuelle q placée en O

s’écrit :

−→E = q

4πε0r2−→ur

2. Le champ électrique dérive du potentiel V par :

−→E = −−−→grad(V )

Comme −→E est radial, alors V ne dépend ni de θ ni de ϕ ce qui amèneà :

−→E = −dV

dr−→ur

Par intégration, on obtient :

V = q

4πε0r+ cte

Comme on considère le potentiel nul à l’infini, alors :

8

V = q

4πε0r

B. étude d’un plasma

1. En coordonnées sphériques, on peut écrire :

−→E = −∂V

∂r−→ur −

1r· ∂V∂θ−→uθ −

1r sin θ ·

∂V

∂ϕ−→uϕ

Comme V ne dépend que de r, cela prouve que l’on a invariance parrotation autour de O. Ainsi, −→E ne dépend que de r et ∂V

∂θ= ∂V

∂ϕ= 0

donc −→E est radial.Finalement,

−→E = E(r)−→ur

2. La densité volumique de charge est définie par :

ρ = dqdτ

où dq est la charge présente dans le volume dτ entourant le pointM à la distance r du point O. Ce volume contient n+dτ ions Ar+

et n−dτ électrons.On peut alors écrire :

dq = n+edτ − n−edτFinalement,

ρ = dqdτ

= n0e ·[exp

(−eV (r)kBT

)− exp

(eV (r)kBT

)]

= −2n0e · sh(eV (r)kBT

)

3. Si on se place sur une sphère de rayon r, le vecteur surface s’écrit−→dS = r2 sin(θ)dθdϕ−→ur . Le flux du champ électrique à travers de lasphère de rayon r :

φ(r) =∫∫

M∈sphère

−→E ·−→dS

=∫ 2π

ϕ=0

∫ π

θ=0E(r)r2 sin(θ)dθdϕ

= E(r)r2 ·∫ 2π

ϕ=0dϕ ·

∫ π

θ=0sin(θ)dθ

= E(r)4πr2

4. La charge présente dans la couche sphérique de volume 4πr2dr porteune charge dQ = ρ(r) · 4πr2dr.

5. Si on calcule la variation élémentaire de flux entre les sphères derayons r et r + dr, on obtient :

dφ = φ(r + dr)− φ(r)

dφ = Q(r + dr)−Q(r)ε0

dφ = ρ(r) · 4πr2drε0

d(E(r)4πr2

)= ρ(r) · 4πr2dr

ε0

Ainsi,ddr(E(r)4πr2

)= ρ(r) · 4πr2

ε0

Comme E(r) = −dVdr , alors :

1r2 ·

ddr

(r2 dV

dr

)= −ρ(r)

ε0

9

La remarque de l’énoncé amène finalement à :

1r· d2

dr2 (rV (r)) = −ρ(r)ε0

Pour les hautes températures, eV (r)kBT� 1 puis sh

(eV (r)kBT

)≈ eV (r)

kBT.

Finalement,

ρ ≈ −2n0e2V (r)

kBT

En posant f(r) = rV (r), l’équation différentielle devient alors :

d2f

dr2 = f(r)λ2D

avec

λD =√ε0kBT

2n0e2

L’intégration de cette équation différentielle nous donne :

V (r) = V (r)r

= A

r· exp

(− r

λD

)+ B

r· exp

(r

λD

)Comme le potentiel est nul à l’infini, alors B = 0. Pour r � λD,

V ≈ e

4πε0r≈ A

r

soit A = e4πε0

Finalement,

V (r) = e

4πε0r· exp

(− r

λD

)6. Le champ électrique dans le plasma vérifie :

−→E = −dV

dr−→ur

= e

4πε0r·(1r

+ 1λD

)· exp

(− r

λD

)−→ur

Si r � λD,−→E ≈ e

4πε0r2−→ur , on retrouve le champ électrique créé par

l’ion argon central.Si r � λD,

−→E ≈ −→0 .

7. Autour de l’ion central, il se place un surplus d’électrons et beau-coup moins de cations. L’effet du cation va être masqué à longuedistance par ce cortège électronique (−→E nul à grandes distances).C’est pour cela qu’on parle d’effet d’écran.Pour T = 1.0× 103 K, λD ≈ 4.0× 10−8 m et pour T = 1.0× 104 K,λD ≈ 1.3×10−7 m. On comprend que plus la température augmente,plus λD diminue. C’est compréhensible car cet effet d’écran traduitla compétition entre ordre et désordre, soit entre l’énergie organisa-trice eV et l’énergie d’agitation thermique kBT . Plus la températureest élevée, plus les effets de l’ion argon central ont une portée faible.

VI

1. Si l’on considère une tranche de hauteur h, celle-ci est globalementneutre si :

2πh (σ1a− σ2b) = 0

2. En géométrie cylindrique, −→E = E(r)−→ur et le théorème de Gaussdonne :— pour r < a, Qint = 0 puis E(r) = 0 ;— pour r = a, le champ n’est pas défini ;— pour a < r < b, Qint = 2πhσ1a puis E(r) = σ1a

ε0r;

— pour r = b, le champ n’est pas défini ;— pour r > b, Qint = 0 puis E(r) = 0.

10

3. La différence de potentiel entre les armatures positive et négativevaut :

V+ − V− =∫ r=a

r=bdV

=∫ r=a

r=b−E(r)dr

= σ1a

ε0· ln

(b

a

)

Si on note Q = 2πhσ1a la charge de l’armature positive, alors :

C = Q

V+ − V−= 2πε0h

ln(ba

)

VII

On trouve que la capacité de l’atmosphère vaut :

C = 4πε0R1R2

R2 −R1≈ 0.30 F

VIII

1. L’étude des symétries et invariances montre rapidement que −→E =E(z)−→uz . De plus, le plan (xOy) est un plan de symétrie doncE(−z) = −E(z). On se limite dans la suite aux z positifs.L’application du théorème de Gauss donne :— pour z > e/2, E(z) = ρe

2ε0;

— pour 0 6 z 6 e/2, E(z) = ρzε0.

2. Dans cette opération, ρ augmente lorsque e diminue. Notonsσ = lim

e→0ρ · e.

Dans le cas où e→ 0, le champ électrique devient :

— pour z > 0, E(z) = σ2ε0

;— pour z = 0, E n’est pas défini.On retrouve la situation classique du plan infini chargé en surface.

IX

1. Si on considère un fil infini de rayon a chargé inifiniment en sur-face, on peut montrer, en étudiant les symétries et invariances duproblème, que le champ électrique créé a la forme :

−→E (M) = E(r)−→u r

dans un système de coordonées cylindrique d’axe (Oz) confonduavec l’axe central du fil. On prend pour surface de Gauss un cy-lindre de rayon r > a et de hauteur h dont la surface latérale passepar le M où on cherche à calculer le champ −→E .Le théorème de Gauss s’écrit :

Φ = Qint

ε0∫∫cyl

−→E ·−→dS = σ2πah

ε0

E(r)2πrh = σ2πahε0

où σ est la densité surfacique de charge (constante). Ainsi,

E(r) = σa

ε0r

2. Le fil n’est pas infini mais on néglige les effets de bord provenantde la taille finie du fil. Dans ce cas, le champ créé par le fil dans lazone du liquide isolant s’écrit :

E(r) = σa

ε0εrr

11

Que l’on peut relié au potentiel (pour a < r < b) par :

−→E = −−−→grad (V ) = −dV

dr−→u r

qui, par intégration entre r = a et r = b, donne :

V (a)− V (b) =∫ a

r=bdV

U − 0 =∫ a

r=b−−→E ·−→d`

U =∫ b

r=aE(r)dr

=∫ b

r=a

σa

ε0εrrdr

= σa

ε0εrln(b

a

)

Ce qui, finalement, donne un champ électrique :

−→E = U

r ln (b/a)−→u r

3. La décharge existe si E > Edécharge dans tout le milieu liquide. Celanécessite que :

U

b ln (b/a) > Edécharge

puis

U = Edéchargeb ln (b/a) ≈ 45 V

4. Il faut réfléchir au champ de −→j (vecteur densité de courant volu-mique) associé à la décharge. De plus, il faut prendre en comptel’épaisseur h de la pièce à découper.

premier modèle : −→j est uniforme sur un demi-cercle (du fil versla pièce). Dans ce cas, la résistance au passage du courant vautR = 1

γhln(b/a) où γ est la conductivité de l’huile. Cette valeur est

difficile à estimer car elle dépend de l’état chimique du liquide parsuite de la décharge.On en déduit I = Umin/R

second modèle : le courant est localisé sur une section S = 1 µm2.La résistance vaut alors :

R = b− aγS

Valeur obtenue classiquement pour un fil électrique de longueur b−a.

X

1. Si on se place à t = 0, le câble (C1) est au potentiel V1 = Vm, le câble(C2) est au potentiel V2 = −Vm/2 et le câble (C3) est au potentielV3 = −Vm/2.

2. C’est une question de cours sur le théorème de Gauss. Si on consi-dère un fil infini de charge linéique uniforme λ, on peut montrer,en étudiant les symétries et invariances du problème, que le champélectrique créé a la forme :

−→E (M) = E(r)−→u r

Dans un système de coordonées cylindrique d’axe (Oz) confonduavec l’axe central du fil. On prend pour surface de Gauss un cy-lindre de rayon r et de hauteur h dont la surface latérale passe parle M où on cherche à calculer le champ −→E .Le théorème de Gauss s’écrit :

12

Φ = Qint

ε0∫∫cyl

−→E ·−→dS = λh

ε0

E(r)2πrh = λh

ε0

où σ est la densité surfacique de charge (constante). Ainsi,

E(r) = λ

2πε0r

On en déduit alors le potentiel V créé par ce fil infini :

E(r) = −dVdr ⇒ V = − λ

2πε0ln(r) + cte

3. Le fil (C1) créé un potentiel :

V1 = − λ1

2πε0ln(r) + cte1

Le fil (C2) créé un potentiel :

V2 = − λ2

2πε0ln(√

r2 + d2 − rd√

3)

+ cte2

Le fil (C2) créé un potentiel :

V3 = − λ3

2πε0ln(√

r2 + d2 − rd√

3)

+ cte3

Etant entendu que λi sera proportionnel à potentiel au voisinage ducâble (Ci), on doit donc avoir

λ2 = λ3 = −λ1

2

Ainsi, le potentiel total en M vaut :

V = λ1

2πε0ln√r2 + d2 − rd

√3

r

+3∑i=1

ctei

Si on considère le potentiel nul à l’infini alors :

V = λ1

2πε0ln√r2 + d2 − rd

√3

r

Le champ électrique a alors pour mesure :

E(r) = λ1

2πε0·[

1r− 1

2 ·2r − d

√3

r2 + d2 − rd√

3

]

4. Comme le potentiel est continu alors :

V (r = R) = Vm = λ1

2πε0ln√R2 + d2 −Rd

√3

R

A.N. :— Vm ≈ 5,7× 106 V ;— λ1 ≈ 6,8× 10−6 C ·m−1.Au voisinge des câbles, le champ électrique :

E(R) = λ1

2πε0·[ 1R

− 12 ·

2R− d√

3R2 + d2 −Rd

√3︸ ︷︷ ︸

Terme−négligeable−car−d�R

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Ainsi, au voisinage de (C1), on obtient :

Eapprox(R) ≈ λ1

2πε0R≈ 6,15× 106 V ·m−1

Remarque : si on utilise l’expression "exacte", on obtient :

E(R) ≈ 6,21× 106 V ·m−1

5. On se place à une distance r = R + e du centre de l’axe (C1) et onrésout l’inéquation :

E(r) 6 Edécharge

Si on prend l’expression approchée, cela donne :

e >Vm

ln(dR

)Edécharge

−R

= emin ≈ 4,15 cm

Si on utilise l’expression "exacte", on obtient 5 :

emin ≈ 4,32 cm

5. par une résolution numérique

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