LE DERIVATEAPPROCCIO INTUITIVO

. La derivata di una funzione , insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale

RAPPORTO INCREMENTALESia y = f(x) una funzione reale definita in un intorno di x0.Si consideri un incremento x= h (positivo o negativo) di x0.La funzione passer allora dal valore f(x0) a quello di f(x0+h), subendo cos un incremento y = f(x0+h) - f(x0). Si definisce rapporto incrementale della funzione f(x) il rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della variabile indipendente, cio:

RAPPORTO INCREMENTALEBAf(xo+h)f(xo)xoxo+h

Se, quando si fa a tendere a 0 lincremento h, il suddetto rapporto assume un particolare valore limite, tale limite prende il nome di derivata di f in Xo. = f (Xo)

Un modo semplice di capire cos' la derivata guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cio la tangente dell'angolo fra la retta tangente e l'asse orizzontale) della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto (x0,f(x0)).

RETTA TANGENTEFissiamo un punto P su una curva , poi un altro punto P' diverso da P e tracciamo la corda PP; ora basta far scivolare P' sulla curva verso P e quando P' sara' coincidente con P avremo la retta tangente alla curva in P (sono state tracciate delle semirette invece che rette per rendere piu' semplice la figura)

Definizione: si definisce tangente ad una curva in un punto P la posizione limite della retta secante, congiungente P con un altro punto P della curva, al tendere del secondo punto sul primo .

Ora se riprendiamo la definizione di derivata, vediamo che, quando h tende a zero, il secondo punto sulla curva si sposta verso il primo punto fino a coincidere Inoltre il rapporto incrementale e' uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge i due punti sulla curva. Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente angolare della retta tangente alla curva devono coincidere cioe':

Definizione: la derivata di una funzione in un punto e' uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto

SIGNIFICATO FISICOSe f la funzione che d lo spazio in funzione del tempo, derivando si ottiene la velocit.Derivando la velocit rispetto al tempo si ottiene laccelerazione.

INFATTI , Se to listante iniziale e to+h listante finaleVELOCITA MEDIA = Rapporto incrementale

VELOCITA ISTANTANEA:

IN PRATICA I SEGUENTI PROBLEMIDATA UNA CURVA DI EQUAZIONE Y=F(X), COME SI PUO DETERMINARE LEQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE IN UN SUO PUNTO? SE SI CONOSCE LA LEGGE ORARIA DI UN PUNTO MATERIALE, COME SI PUO CALCOLARE LA SUA VELOCITA ISTANTANEA?

SARANNO RISOLTI QUANDO SAPREMO RISPONDERE A QUESTA DOMANDA:COME SI PUO DETERMINARE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE ?

Dalla definizione di derivata si ricava immediatamente che la derivata di una funzione il cui grafico una retta il coefficiente angolare della retta.

DERIVATA DI f(x) = ax2+bx+cIn figuraLa parabola di equazione y = 2x2-3xE la retta tangente nelloriginey=-3x

SI PARTE DAL RAPPORTO INCREMENTALE

SEMPLIFICANDO h

MA QUANDO h TENDE A 0

IL VALORE PRECEDENTE TENDE A

PERTANTO

IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA TANGENTE AD UNA PARABOLA DI EQUAZIONE Y = ax2 +bx + cIn un punto di ascissa xoE UGUALE A

SE UN PUNTO CHE SI MUOVE DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO ,CON LEGGE ORARIA

LA SUA VELOCITA ISTANTANEA E

V =Vo+at

ESERCITAZIONE COL FOGLIO ELETTRONICOCon il foglio elettronico possibile determinare in modo approssimato i valori della derivata di una funzione, come rapporti incrementali corrispondenti a incrementi abbastanza piccoli Fissato un valore di h, dopo aver tabulato i valori della funzione, si calcolano i vari rapporti incrementali con un algoritmo iterativo

Per esempio , i valori di y2/ x si calcolano inserendo nella cella H5 la formula =(C6-C5)/$F$4, che poi deve essere copiata nelle celle successive

Foglio1

APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA

Rapporto incrementale

FUNZIONIPunto inizialeDxRapporti incrementalidella derivata

xy1=2xy2=2x^211.0000Dy1/DxDy2/Dx

122264

2.0000482104

3.00006182144

4.00008322184

5.000010502224

6.000012722264

7.000014982304

8.0000161282344

9.0000181622384

10.0000202002424

11.0000222422464

12.000024288250

13.000026338

Grafico della funzione y = 2x2 e della sua derivataLa derivata ha un andamento rettilineo

Grafico13

0

0.18

0.72

1.62

2.88

4.5

6.48

8.82

11.52

14.58

18

21.78

25.92

y2=2x^2

Foglio1

APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA

Rapporto incrementale

FUNZIONIPunto inizialeRapporti incrementalidella derivata

xy1=2xy2=2x^2y3=sen(x)00.3000

00000.985067355520.64

0.30000.60.180.29552020670.897074222421.84

0.60001.20.720.56464247340.7289481208234

0.90001.81.620.78332690960.495707254524.24

1.20002.42.880.9320390860.218186335525.44

1.500034.50.9974949866-0.078824519126.64

1.80003.66.480.9738476309-0.368794214127.84

2.10004.28.820.8632093666-0.6258206203294

2.40004.811.520.6754631806-0.8269443344210.24

2.70005.414.580.4273798802-0.9541995739211.44

3.00006180.1411200081-0.9962190073212.64

3.30006.621.78-0.1577456941-0.9492491638213.8

3.60007.225.92-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.27941549820.9874313289

6.30000.0168139005-0.0560463349

x

000.9850673555

0.30000.29552020670.8970742224

0.60000.56464247340.7289481208

0.90000.78332690960.4957072545

1.20000.9320390860.2181863355

1.50000.9974949866-0.0788245191

1.80000.9738476309-0.3687942141

2.10000.8632093666-0.6258206203

2.40000.6754631806-0.8269443344

2.70000.4273798802-0.9541995739

3.00000.1411200081-0.9962190073

3.3000-0.1577456941-0.9492491638

3.6000-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.2794154982-20

Foglio1

Foglio2

Foglio3

y2=2x^2

Grafico15

0.6

1.8

3

4.2

5.4

6.6

7.8

9

10.2

11.4

12.6

13.8

Foglio1

APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA

Rapporto incrementale

FUNZIONIPunto inizialeRapporti incrementalidella derivata

xy1=2xy2=2x^2y3=sen(x)00.3000

00000.985067355520.64

0.30000.60.180.29552020670.897074222421.84

0.60001.20.720.56464247340.7289481208234

0.90001.81.620.78332690960.495707254524.24

1.20002.42.880.9320390860.218186335525.44

1.500034.50.9974949866-0.078824519126.64

1.80003.66.480.9738476309-0.368794214127.84

2.10004.28.820.8632093666-0.6258206203294

2.40004.811.520.6754631806-0.8269443344210.24

2.70005.414.580.4273798802-0.9541995739211.44

3.00006180.1411200081-0.9962190073212.64

3.30006.621.78-0.1577456941-0.9492491638213.8

3.60007.225.92-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.27941549820.9874313289

6.30000.0168139005-0.0560463349

x

000.9850673555

0.30000.29552020670.8970742224

0.60000.56464247340.7289481208

0.90000.78332690960.4957072545

1.20000.9320390860.2181863355

1.50000.9974949866-0.0788245191

1.80000.9738476309-0.3687942141

2.10000.8632093666-0.6258206203

2.40000.6754631806-0.8269443344

2.70000.4273798802-0.9541995739

3.00000.1411200081-0.9962190073

3.3000-0.1577456941-0.9492491638

3.6000-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.2794154982-20

Foglio1

Foglio2

Foglio3

GRAFICO di Y=sen(x) e della sua derivataCome si pu osservare la derivata ha landamento di una cosinusoide Confronta relazione tra spazio e velocit nel moto armonicoS= Rsen(t+)V= Rcos(t+)

Grafico11

0

0.2955202067

0.5646424734

0.7833269096

0.932039086

0.9974949866

0.9738476309

0.8632093666

0.6754631806

0.4273798802

0.1411200081

-0.1577456941

-0.4425204433

-0.6877661592

-0.8715757724

-0.9775301177

-0.9961646088

-0.9258146823

-0.7727644876

Foglio1

APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA

Rapporto incrementale

FUNZIONIPunto inizialeRapporti incrementalidella derivata

xy1=2xy2=2x^2y3=sen(x)00.3000

00000.985067355520.64

0.30000.60.180.29552020670.897074222421.84

0.60001.20.720.56464247340.7289481208234

0.90001.81.620.78332690960.495707254524.24

1.20002.42.880.9320390860.218186335525.44

1.500034.50.9974949866-0.078824519126.64

1.80003.66.480.9738476309-0.368794214127.84

2.10004.28.820.8632093666-0.6258206203294

2.40004.811.520.6754631806-0.8269443344210.24

2.70005.414.580.4273798802-0.9541995739211.44

3.00006180.1411200081-0.9962190073212.64

3.30006.621.78-0.1577456941-0.9492491638213.8

3.60007.225.92-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.27941549820.9874313289

6.30000.0168139005-0.0560463349

x

000.9850673555

0.30000.29552020670.8970742224

0.60000.56464247340.7289481208

0.90000.78332690960.4957072545

1.20000.9320390860.2181863355

1.50000.9974949866-0.0788245191

1.80000.9738476309-0.3687942141

2.10000.8632093666-0.6258206203

2.40000.6754631806-0.8269443344

2.70000.4273798802-0.9541995739

3.00000.1411200081-0.9962190073

3.3000-0.1577456941-0.9492491638

3.6000-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.2794154982-20

Foglio1

Foglio2

Foglio3

Grafico12

0.9850673555

0.8970742224

0.7289481208

0.4957072545

0.2181863355

-0.0788245191

-0.3687942141

-0.6258206203

-0.8269443344

-0.9541995739

-0.9962190073

-0.9492491638

-0.8174857196

-0.6126987108

-0.3531811508

-0.0621149706

0.234499755

0.5101673159

0.7402631499

0.9042334813

Foglio1

APPROCCIO INTUITIVO AL CONCETTO DI DERIVATA

Rapporto incrementale

FUNZIONIPunto inizialeRapporti incrementalidella derivata

xy1=2xy2=2x^2y3=sen(x)00.3000

00000.985067355520.64

0.30000.60.180.29552020670.897074222421.84

0.60001.20.720.56464247340.7289481208234

0.90001.81.620.78332690960.495707254524.24

1.20002.42.880.9320390860.218186335525.44

1.500034.50.9974949866-0.078824519126.64

1.80003.66.480.9738476309-0.368794214127.84

2.10004.28.820.8632093666-0.6258206203294

2.40004.811.520.6754631806-0.8269443344210.24

2.70005.414.580.4273798802-0.9541995739211.44

3.00006180.1411200081-0.9962190073212.64

3.30006.621.78-0.1577456941-0.9492491638213.8

3.60007.225.92-0.4425204433-0.8174857196

3.9000-0.6877661592-0.6126987108

4.2000-0.8715757724-0.3531811508

4.5000-0.9775301177-0.0621149706

4.8000-0.99616460880.234499755

5.1000-0.92581468230.5101673159

5.4000-0.77276448760.7402631499

5.7000-0.55068554260.9042334813

6.0000-0.27941549820.9874313289

6.30000.0168139005-0.0560463349

x

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Foglio1

Foglio2

Foglio3

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