1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4

• Utilisation du vecteur potentiel A et potentiel scalaire Φ.

• Equation d’Helmohtz pour Ψ :

• Changements de variables :

ikzeA

Adivk

i

AikAdivgradk

iE

ArotB

))((

)(

02²

z

ik

0wx 0wy lz w0 : waist l : longueur de diffraction

(1)

(2)

(3)

(4)

²0kwl

1.c. Correction paraxiale (Davis) 2/4• L’équation d’Helmohtz pour Ψ devient :

Avec s=w0/l

• Décomposition en série de Ψ car w0>>λ et s<<1 :

• Si on ne prends que les deux premiers ordres de Ψ pour les intégrer dans l’équation ci-dessus on obtient :

0²

²²2

²

²

²

²

si

........² 4420 ss

02²

²

²

² 00

i

0²

²2

²

²

²

² 022

i

Ordre 0 : tous les termes en s0

Ordre 2 : tous les termes en s2

1.c. Correction paraxiale (Davis) 3/4

• Pour l’ordre zéro, on retrouve bien l’équation paraxiale pour Ψ0.

Solution du mode fondamental :

Avec : et

²)(exp0 QPi

21i

Q iQiP ln ²²²

2

0

²4

²41²)²(

rz

z

z

R

iliQ

2

2

0

1.c. Correction paraxiale (Davis) 4/4

• On considère le champ électrique d’un faisceau laser tel que donc on peut réduire l’équation (2) :

=>

• On effectue un changement de variable sur l’équation :

=>

• La composante transverse de E implique seulement les puissances paires de s alors que la composante longitudinale, les puissances impaires de s.

1̂eAA

321 ˆ²

ˆ²

ˆ²

²exz

A

k

iexy

A

k

ieikA

x

A

k

iE

33

21 ˆ²

ˆ²

²ˆ²

²² e

Ase

AseA

AsikE

• Résultat satisfaisant les équations de Maxwell• Utilisation du vecteur Hertz: qui satisfait

l’équation d’Helmholtz, on exprime et en fonction de

• est polarisé linéairement à partir de Zx on peut déduire les composantes Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz

2.a. Résultat exact vectoriel

B

EZ

Z

).(²

²

²Z

t

Z

cE

t

Z

cB

Z

• Les calculs de résolution se font de manière spectrale (transformée de Fourrier) et on pose une condition limite en z=0 tel que Zx soit une gaussienne.

• Les résultats montrent que contrairement à l’approximation paraxiale scalaire pour une polarisation linéaire en x les composantes Ey et Ez ne sont pas nulles

2.a. Résultat exact vectoriel

2.b. Mise en évidence du paradoxe 1/2

• Equation de propagation de E :

(a)

Avec

• Or pour trouver cette solution on a supposé divE=0 et en général on suppose que Ex dépend de x,y,z =>divE≠0

• Mise en évidence du second paradoxe :

0*²2

EKc

E

ikzx eE

00

iK

2.b. Mise en évidence du paradoxe 2/2

• On obtient l’équation d’Helmohtz pour ψ à partir de (a):

• Approximation paraxiale :

• Maintenant nous allons voir comment faire pour éviter les 2 approximations qui ont été faites : divE et

Kc

wk

zik

2

²2²

zk

z

²

²

Kc

kz

ikT

2

²2²

zk

z

²

²

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 1/3

• On suppose un champ se propageant selon z :

• D’après Maxwell on a :

• Si maintenant on calcule les termes réels de cette équation.

zzTikz

zzT aFFeaEEE ˆˆ

EKc

wErotrot

2

)(

EKc

wEEdivgrad

2

)(

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 2/3

• On effectue les changements de variables habituels, on obtient ensuite des équations pour le mode transverse (ξ,η) et longitudinal (ζ) en fonction de F ζ et .

• Si on décompose en série de s, F ζ et

F

F

....

....²)3(3)1(

)2()0(

FssFF

FsFF

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 3/3

• Les équations finales permettent de résoudre le paradoxe pour les 2 premiers ordres => E n’est que transverse.

• Pour les ordres supérieurs, une petite composante longitudinal apparaît.

• Il existe une procédure pour calculer les ordres supérieurs de la correction.

2.d. Comparaisons des différentes approximations

• :

• :

exact

PSA

EE

EE

.

.

PVA

PSA

EE

EE

.

.

0

PSA : Approximation paraxiale ScalairePVA: Approximation paraxiale Vectorielle

• à:

exact

PSA

EE

EE

.

.

PVA

PSA

EE

EE

.

.

100

2.d

PSA : Approximation paraxiale ScalairePVA: Approximation paraxiale Vectorielle

• Pour les approximations sont acceptables

• Pour les approximations sont imprécises

• On est dans le cas lorsqu’on focalise un faisceau gaussien avec une lentille de très forte convergence, pour l’utilisation des lasers semis conducteurs pour lesquels le waist est comparable à la longueur d’onde

2.d Conclusions

100

100

100

3.a Cas de la polarisation croiséeI. Modèle 2D connu

Polarisations et incidence de Brewster– Faisceau incident polarisé P linéairement– P: il y a un champ électrique dans le plan d’incidence– Angle de Brewster

– Coefficient de réflexion:

221

)21tan(

)21tan(

Rp

3.a Cas de la polarisation croiséeII. Modèle 3D

Faisceau incident polarisé linéairement

et très fortement focalisé

On est dans le cas 0

Le faisceau comporte des composantes

en x,y et z

• Les calculs et l’expérience montrent que si on se place à incidence de Brewster avec un faisceau Gaussien « exact » polarisé P, il existe alors un faisceau réfléchit polarisé P et S

Preuve que le faisceau incident n’est pas polarisé strictement linéairement

Dans le cas 0

TEM01 TEM10

3.a Cas de la polarisation croiséeII. Modèle 3D

3.a Modèle 3D Polarisation radiale

• Le rayon réfléchit obtenu est la composition d’une onde TEM10 et TEM01 d’énergies différentes

Permet des focalisations en un point plus net qu’avec d’autres polarisations