CB 2 de PHYSIQUE Mardi 3 mai 2016 (durée : 4h) · PDF file PCSI1, 2 et 3 Stanislas CB 2...

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  • PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2 2015-2016

    CB 2 de PHYSIQUE Mardi 3 mai 2016 (durée : 4h)

    CALCULATRICES AUTORISÉES

    1 Cycle moteur

    Données numériques : VB = 1, 0L, VA = 330mL, T0 = 300K, P0 = 1, 0 bar, m = 10 kg, S = 100 cm2, g = 10N.kg−1, γ = 1, 4. La constante des gaz parfaits est R = 8, 314 J.K−1.mol−1. Les capacités thermiques du gaz seront supposées indépendantes de la température. On rappelle que : R = Cpm − Cvm et γ = CpmCvm avec : Cpm et Cvm : capacités thermiques molaires, respectivement à pression et à volume constants du gaz.

    Les différentes transformations seront supposées réversibles. On imagine un cylindre aux parois diathermanes (perméables à la chaleur), fermé par un piston. Le piston, de masse négligeable, peut glisser sans frottement entre deux cales A et B, sa section est S. Dans l’état initial, le piston est en A, le cylindre renferme un volume VA d’air supposé gaz parfait, de coefficient γ, à la température de l’extérieur : T0, pression P0, (gaz dans l’état 0 : P0, VA, T0).

    On place une masse m sur le piston et on chauffe très doucement le gaz par un moyen approprié, non représenté sur le schéma, jusqu’à ce que le piston décolle juste de la cale A (gaz dans l’état 1 : P1, VA, T1).

    Puis, on maintient le chauffage jusqu’à ce que le piston arrive juste en B (gaz dans l’état 2 : P2, VB, T2), le chauffage est alors arrêté.

    On ôte m et on laisse refroidir l’ensemble jusqu’à ce que le piston décolle juste de B (gaz dans l’état 3 : P3, VB, T3).

    On laisse toujours refroidir jusqu’à la température T0, alors, le piston revient en A (gaz dans l’état 0), le cycle est terminé.

    1. Exprimer les capacités thermiques à pression et à volume constants Cp et Cv du gaz en fonction de n (quantité de matière de gaz enfermé), R et γ, puis en fonction de P0, VA, T0 et γ.

    2. Quelle est la nature de la transformation de 0 à 1 subie par le gaz ? 3. Exprimer la pression P1 et la température T1 en fonction de P0, T0, m, g, S. Faire l’application

    numérique. 4. Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q10 reçue par le gaz au cours de cette

    transformation 0→ 1 en fonction de P0, T1, T0, VA et γ. Faire l’application numérique. 5. Quelle est la nature de la transformation 1 à 2 subie par le gaz ? 6. Exprimer la température T2 en fonction de T1, VA, VB. Faire l’application numérique. 7. Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q21 reçue par le gaz au cours de cette

    transformation 1→ 2 en fonction de P0, T0, T1, T2, VA et γ. Faire l’application numérique.

    1 C. Lacpatia, A. Martin, N. Piteira

  • PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2 2015-2016

    8. Quelles sont les natures des transformations 2 à 3 et 3 à 0 subies par le gaz ?

    9. Exprimer le travail W reçu de l’extérieur par l’air contenu dans le cylindre, au cours du cycle, en fonction de m, g, VA, VB, S. Faire l’application numérique. Commenter son signe.

    10. Tracer l’allure du diagramme de Watt (P, V ) d’un cycle.

    11. Retrouver, d’après le diagramme, le travail W calculé précédemment.

    2 Disques protoplanétaires

    Depuis 1995, des milliers d’exoplanètes ont été découvertes et l’étude des mécanismes de formation d’une ou de plusieurs planètes autour d’une étoile est devenue une partie extrêmement prolifique de l’astrophysique. Le scénario actuellement retenu met en jeu un disque protoplanétaire, une couche fine de poussières en rotation autour de l’étoile naissante. À l’intérieur de ce disque, des phénomènes de sédimentation, d’agrégation, d’accrétion et de collision aboutissent à la formation d’un système pla- nétaire en orbite autour de son étoile. Ce sujet présente quelques aspects de l’étude de ces disques protoplanétaires.

    Données numériques :

    Constante de gravitation universelle G = 6, 7× 10−11 S.I. ; Champ de gravité à la surface terrestre g0 = 9, 8m.s−2 ; Unité astronomique 1U.A. = 1, 5× 1011m ; Année-lumière 1A.L. = 9, 5× 1015m ; Rayon du Soleil RS = 7, 5× 108m ; Masse du Soleil MS = 2, 0× 1030 kg ; Rayon moyen de la Terre RT = 6, 4× 106m ; Masse de la Terre MT = 6, 0× 1024 kg ; Constante d’Avogadro NA = 6, 0× 1023mol−1 ; Constante du gaz parfait R = 8, 3 J.K−1.mol−1.

    Figure 1 – Disques protoplanétaires vus par Hubble

    La figure 2 montre un disque protoplanétaire de l’étoile β Pictoris, imagé par les télescopes du VLT (Very Large Telecscope). Cette étoile est située à 63,4 années-lumière du système solaire et est 1,75 fois plus massive que le Soleil. En 2008, les astrophysiciens ont annoncé avoir détecté une planète, baptisée β Pictoris b, dont l’orbite autour de cette étoile a un rayon égal à 8 à 9 unités astronomiques et dont la période orbitale est de 17 à 21 ans. Cette planète est visible sur l’image de la figure 2 où la ligne en pointillés est la trace de l’intersection du plan moyen du disque avec le plan de l’image.

    2 C. Lacpatia, A. Martin, N. Piteira

  • PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2 2015-2016

    Figure 2 – β Pictoris et son disque vu par la tranche, imagés par le VLT (d’après ESO/A.-M. Lagrange et al.)

    Partie I : Forme du disque

    Un disque protoplanétaire est essentiellement constitué de poussière et de gaz. Sa forme est contrainte par le champ de gravité de l’étoile ainsi que par le champ propre du disque.

    On peut remarquer sur les différentes figures un axe privilégié : l’axe perpendiculaire au plan du disque protoplanétaire. Nous noterons cet axe Oz en prenant z = 0 le plan moyen du disque planétaire (sur la figure 2, z = 0 sur la droite tracée en pointillés par exemple). Pour étudier le disque protoplanétaire, nous introduirons trois repères associés au référentiel de l’étoile :

    — un repère cartésien (Figure 3) d’axe Oz perpendiculaire au plan du disque protoplanétaire. Le plan yOx est le plan moyen du disque protoplanétaire. O est la position de l’étoile assimilée à un point matériel. Ce repère est simplement utilisée pour définir les origines des coordonnées angulaires des autres repères.

    — un repère sphérique (Figure 4) centrée en O. On note (R, θ, φ) les coordonnées sphériques d’un point M de l’espace. L’origine des colatitude θ est l’axe Oz. On note (−→er ,−→eθ ,−→eφ) la base sphérique associée à ce repère au point M.

    — un repère cylindrique (Figure 4) de même axe Oz et de centre O. On note (r, ψ, z) les coordonnées cylindriques d’un point M de l’espace. On note (−→ur,−→uψ,−→uz) la base cylindrique associée à ce repère au point M.

    Figure 3 – Axes du système de coordonnées cartésiennes

    3 C. Lacpatia, A. Martin, N. Piteira

  • PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2 2015-2016

    Figure 4 – Système de coordonnées cylindriques et sphériques. On a représenté ici que le plan (~uz, ~OM)

    Champs de gravité

    1. Champ de l’étoile.

    (a) Considérant les dimensions relatives de l’étoile et sa symétrie sphérique. On peut l’assimiler à un point matériel de masseME situé au point O. Exprimer la force de gravitation

    −−−−−−→ Fetoile→M

    subie par un point matériel M de masse m situé à une distance R de O dans le système de coordonnées sphériques (en utilisant la base sphérique).

    (b) Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle EPgrav(M) et l’exprimer en fonction de G,m,ME et R. On prendra l’origine des potentiels à l’infini.

    (c) Par analogie avec le champ de pesanteur, déduire l’expression du champ de gravitation −→gE(M) créé par l’étoile en un point M situé à une distance R de O.

    (d) Exprimer, dans le système de coordonnées cylindriques (coordonnées r, z et les vecteurs de la base −→er et −→ez ) présenté précédemment la force

    −−−−−−→ Fetoile→M , le champ de gravitation −→gE(M)

    et l’énergie potentielle de gravitation EPgrav(M).

    2. Champ du disque protoplanétaire. Pour estimer ~gD(M), champ gravitationnel propre du disque, on modélise le disque comme une couche cylindrique de masse volumique uniforme ρD, d’épaisseur eD et de rayon RD � eD. Cette dernière hypothèse permet de négliger les effets de bords. La norme de ~gD ne peut dépendre que de ρD, eD et de la constante de la gravitation G soit ‖~gD‖ ∝ ραDe

    β DG

    γ . La constante de proportionnalité est de l’ordre de l’unité. Établir par analyse dimensionnelle les valeurs de α, β et γ.

    3. Comparaison entre les deux champs gravitationnels. On cherche à comparer ‖~gE‖ et ‖~gD‖ afin de déterminer s’ils interviennent tous deux sur la répartition de matière dans le disque.

    (a) Montrer que l’on peut négliger le champ du disque devant le champ de l’étoile pour des rayons inférieurs à un rayon RC à expliciter en fonction de ρD, eD et ME .

    (b) Dans le système solaire, 99,9% de la masse est concentrée dans le Soleil. Si on suppose que la répartition étoile-disque est à peu près identique dans le disque de β Pictoris, sans chercher à déterminer eD, valider l’hypothèse qui consiste à négliger le champ du disque devant le champ de l’étoile. Cette hypothèse sera conservée par la suite.

    Disque de gaz évasé

    On traite le gaz du disque comme un fluide de masse volumique ρ, soumis à un champ de gravité local ~gE(M) et dans lequel règne une pression P . On admet que le champ de pression à