Les changements de numéraire dans la tarification doptions Benjamin Pajot Juin 2010 Promoteur...
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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2
De nombreuses options existent sur le marché
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Achat au prix minimum en T0 ou en T1
Ristourne de (1-ρ) %
Pay-off :
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Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise
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4
La tarification d’une telle option n’est pas toujours simple, à priori
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Rapidité et facilité d’implémentation
Calcul explicite de la sensibilité
Evaluation de l’influence des paramètres
5
Une solution analytique du prix est toujours préférable
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La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages
Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
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Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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Espace de probabilité
Intervalle de temps
Actifs S0, S1, … SN
Sous P :
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Le marché peut se modéliser mathématiquement
Terme detendance
Terme de diffusion
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Bien matériel / virtuel de référence(monnaie, action, indice, … )
Actif négociable
Processus numéraire S0
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Un numéraire est un étalon de valeurs
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Exemple
Numéraire S1 :
Numéraire S2 :
Marché normalisé
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Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier
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Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.)si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0
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La théorie de l’arbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental
Martingales sous Q0
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Pay-off stochastique
Marché A.O.A.
Numéraire S0
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Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale
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Numéraire S1
Numéraire
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Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option
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Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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Espace de probabilité
Théorème de Radon-Nikodyn
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Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn
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Hypothèses :
Filtration
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Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique
Noyau de Girsanov
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Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure
Terme detendance
Terme de diffusion
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La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure
= 0
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Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables
= 0
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Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
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Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
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La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de l’option
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S(T0) n’est pas un actif négociable en T1
S0(t) est un actif négociable en T1
Pay-off
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Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif
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Dynamique de S sous Q
Dynamique de S0 sous Q
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La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre
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Prix de l’option
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L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification
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Dynamique de S/S0 sous Q0
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La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire
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Prix de l’option ESOP
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Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S
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Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
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Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
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Prix de l’option ESOP
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Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile
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Comme la valeur S(T0) est connue la volatilité de l’option devient plus forte
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Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0
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Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
Restent méconnus à l’heure actuelle
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Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification