Problemes sur les mouvements dans un champ newtonien

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique I40. (petites mines 1998). Formulaire sur les ellipses. Pour une ellipse, d’équation en coordonnées polaires par rapport à un foyer

1 cospre

=+ θ

, d'excentricité e, de

paramètre p, de demi-grand axe a, de demi-petit axe b et d'aire A : 2

2 2 2 c ba b c e p A aa a

= + = = = π b

omme n de

e,

epler

onsidérée co de

ier tem

e de

ntre la vi

disposer de sa

ntre

le ré ournant

t au

.

Distance Terre-Soleil : rT = 1,5.1011 m ; TT = 1 an = 3,16.107 s ; masse de la Terre : MT = 6.1024 kg ; rayon de la

Terre : RT = 6,37.106 m ; constante de Cavendish : G = 6,67.10–11 N.m2.kg–2. Le Soleil est considéré c

un astre dont la répartitiomasse est à symétrie sphériqude centre S et de masse MS, très supérieure à celle MT de la Terre. Le référentiel de K(RK) = (S XYZ) centré en S et dont les axes SX, SY et SZ gardent des directions fixes est considéré comme galiléen.

La Terre sera cmme à symétrie sphérique

centre T et on suppose qu'elle nesubit que l'action du Soleil.

On considère dans un premps (question 1 et 2) que

l'orbite terrestre est circulaircentre S et de rayon rT.

1: Etablir la relation etesse angulaire de révolution

ΩA de la Terre sur son orbite, laconstante de gravitation G, rT et MS. En déduire la valeur numérique de MS.

2 : Il est utile detellites de surveillance du

Soleil, placés constamment ele Soleil et la Terre.

On travaillera dansférentiel (R’)=(S xyZ) t

autour de (SZ) par rapporréférentiel de Képler en suivant le mouvement de la Terre, toujours supposé circulaire de rayon rT, tel que T soit constamment sur la droite (Sx).

rT

Soit P un tel satellite, assimilable à un point matériel de masse m. P doit tourner autour de S sur une orbite circulaire, de façon que S, P et T soient constamment alignés. P est donc supposé en équilibre dans le référentiel (R'), en un point tel que xPT de= où ex est le vecteur directeur de l'axe (Sx), voir Figure 1

2-1 : Le référentiel (R') est-il galiléen ? Effectuer le bilan des forces s'exerçant dans ce référentiel sur P, qui y est à l'équilibre, et écrire la condition d'équilibre de P relativement à (R’). En déduire une relation entre MS, MT, rT et d.

2-2 : Résoudre cette équation en d : on utilisera le fait que d et M ; on rappelle que si Tr SMT 1ε , alors . Calculer numériquement la valeur de d à l'équilibre. (1 ) 1α+ ε ≈ + αε

2-3 : Discuter sans calculs de la stabilité de cette position d'équilibre vis à vis d’un petit déplacement orienté vers la Terre.

3 : En réalité, l'orbite de la Terre n'est pas rigoureusement circulaire. 3-1 : Justifier que l'orbite terrestre (trajectoire de son centre T dans le référentiel de Kepler) est cependant plane ; on

supposera dans la suite que ce plan, appelé écliptique, est confondu avec le plan (S XY). La conséquence principale de la non-circularité de l'orbite terrestre est l'inégalité des durées des saisons. Il se trouve

que les dates des solstices d'hiver (de l'hémisphère nord) et d'été coïncident respectivement avec le passage de la Terre au périhélie H (point de l’orbite le plus proche du Soleil) et à l’aphélie E (point de l’orbite le plus éloigné du Soleil) de son orbite : H est supposé être sur l'axe (SX) de (RK).

Les positions des équinoxes de printemps P et d'automne A coïncident aux passages de la Terre sur 1a droite (SY) perpendiculaire à la direction (SX) = (SH).

La durée de l’hiver, qui va du solstice d’hiver à l’équinoxe de printemps, est TH = 89,4 jours solaires moyens de 86 400 s, celle du printemps est TP = 93,2 jours solaires.

3-2 : Représenter l’orbite terrestre sur un schéma où figureront aussi S, H, P, E et A. Pour plus de clarté, on ne craindra pas d'en exagérer l’excentricité.

3-3 : Enoncer et justifier la loi des aires. 3-4 : Soit e l'excentricité de l'orbite terrestre. Montrer que, compte tenu de e << 1, l'aire du secteur SHP de l'ellipse

est voisine de 4ab bcπ − , a et b représentant respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l'ellipse

trajectoire et c la distance du centre au foyer. 3-5 : Etablir alors la relation entre la durée de l’hiver TH, la durée TT de 1’année et l'excentricité e. 3-6 : En déduire la valeur numérique de l'excentricité e de l'orbite terrestre. 3-7 : Donc, durant la « belle saison » (printemps et été) de l'hémisphère nord, la Terre est en moyenne plus éloignée

du Soleil que durant la « mauvaise saison ». Quelle caractéristique du mouvement de la Terre est cause du phénomène des saisons ?

II27. 1) Soit k une constante positive et O un point fixe dans un référentiel galiléen. Un mobile est soumis à la force M

2 rF ukr

= − , où r OM= est le rayon vecteur et rrur

= est le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques.

Montrer que son moment cinétique L est une constante du mouvement. 2) Montrer que le mouvement a lieu dans un plan fixe à préciser.

3) Soit v la vitesse du mobile. Montrer que rv Lek∧= − u est une constante du mouvement.

4) En multipliant scalairement membre à membre la relation précédente par r , déterminer l’équation en coordonnées polaires de la trajectoire. ,r θ

5) On suppose . Dessiner la forme de la trajectoire avec la position de O et le vecteur e1e < .

6) A présent 2 (1 ) rkF u

rrε= − + , où est une longueur constante suffisamment petite. Montrer que ε de u

d r θε=

θ.

Calculer la variation de e pour une variation de θ de 2 . En déduire que la trajectoire est approximativement la même qu’à la question 4, mais qu’elle tourne à chaque révolution d’un angle à préciser.

π

III33. X 1986. On considère une particule P de masse m , animée d'un mouvement de vitesse petite par rapport à celle de la lumière

par rapport à un repère d'origine O. Ce mouvement est dû à un champ de forces ( ) grad ( )F r U r= − dérivant d'un

potentiel central , où r( )U r OP= et r . A l'instant t on note respectivement OP= ( )v t , ( )tγ et ( )p t la vitesse, l'accélération et la quantité de mouvement de la particule P.

Problèmes de mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 2

1. Exprimer la force F et montrer qu’elle est radiale. 2. Montrer que le vecteur moment cinétique L r p= ∧ est conservé au cours du mouvement. 3. En déduire que la trajectoire de P est située dans un plan que l'on caractérisera. Π

4. Montrer que l'énergie mécanique 212

E mv= +U est une constante du mouvement.

5. Calculer L à l'aide des coordonnées polaires dans le plan et en déduire la loi des aires. ,r θ Π

6. Dans toute la suite du problème, le potentiel est de la forme ( )U rrα= − avec . On définit le vecteur de

Lenz

0α >

1 rA p Lm r

= ∧ −α

.

a. Montrer que A est un vecteur constant du plan . Π

b. Montrer que 2

221 2 L EA

m= +

α.

En déduire, lorsque est fixé, une borne inférieure pour l'énergie E . L

c. Calculer A r⋅ et obtenir l'équation polaire de la trajectoire sous la forme ( )1 cospre

θ =+ θ

. Exprimer le

paramètre et l'excentricité e en fonction de m , α , L et E . Placer le vecteur de Lenz Ap par rapport à la trajectoire. d. Discuter la nature de la trajectoire suivant la valeur de E . 7. Dans toute la suite du problème on se restreint au cas des états liés : . La trajectoire est alors une ellipse. 0E <

a. Déterminer son demi-grand axe a et son demi-petit axe b en fonction de , , et E . m α Lb. Pour une valeur fixée de l'énergie , entre quelles limites le moment cinétique L reste-t-il compris ? Calculer sa

limite supérieure en fonction de , et E . E

0L m αc. Préciser la trajectoire pour et pour . 0L = 0L L=d. Calculer la période T du mouvement en fonction de m , α et a .

IV47. Dans un référentiel galiléen lié à un repère cartésien ( , , , )x y zO u u u , un astre de

masse est immobile au point O origine de ce repère. Un mobile P de masse m se meut sous l’action de l’attraction gravitationnelle de l’astre situé en O.

M


1) Montrer que le moment cinétique en O du mobile est conservé et que le mobile se meut dans un plan, qu’on choisira comme le plan ( , , )x yO u u .

On note 1 1 xv v= − u et 2v la vitesse du mobile très loin de O avant et après le passage près de O, b et b les distances entre O et les asymptotes du mouvement,

les coordonnées polaires du mobile à un instant t quelconque, v1 2

,r θ la vitesse à l’instant t , φ l’angle entre les asymptotes.

y

φ

O x θ

r P

2) Donner trois expressions du rapport du moment cinétique à la masse en fonction des coordonnées polaires du mobile à un instant quelconque t , de v , b et de v , b . ( ), ( )r t tθ 1 1 2 2

3) Exprimer l’énergie du mobile. 4) Montrer que v et que b b . 1 2v= =1 2

5) Ecrire la projection sur l’axe Oy de la loi fondamentale de la dynamique en fonction des variables v , t , et r .

En utilisant la relation de la question 2, éliminer r . En déduire :

y θ

1 1sinydv GM

d b v= − θ

θ

6) En déduire que 21 1

tan 2

GMb v

φ =

7) En exprimant la conservation de l’énergie et du moment cinétique entre l’infini et le périastre, position du mobile la plus proche de l’astre, écrire l’équation déterminant la valeur r de r à ce périastre en fonction de b , v , G et M . 0 1 1

8) En réalité, le mobile est une boule de rayon ρ et l’astre une boule de rayon . Tous deux ont la symétrie sphérique.

R

a) Pourquoi l’astre n’est il pas immobile en O ? b) A quelle condition la théorie précédente est-elle quand même approximativement correcte ? c) Si tel est le cas, à quelle condition portant sur r n’y a-t-il pas collision ? 0

9) On tire de la Terre un projectile qui après un voyage complexe frôle Mars. En se plaçant tantôt dans le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil et aux directions des étoiles), tantôt dans le référentiel marsocentrique (lié au centre de Mars et aux directions des étoiles), expliquer comment le phénomène précédent peut être utilisé pour modifier l’énergie du projectile dans le référentiel héliocentrique. Dessiner un exemple d’orientations de v et de v , dans le référentiel marsocentrique, et de la vitesse de Mars, dans le référentiel héliocentrique et préciser s’il s’agit d’une accélération ou d’un freinage dans le référentiel héliocentrique

1 2

Mv

V39. Aller et retour pour Vénus. Masse du Soleil MS = 2.1030 kg ; de la Terre MT = 6.1024 kg ; de Vénus MV = 4,87.1024 kg ; constante de la

gravitation G = 6, 67.10–11 SI ; rayon de l’orbite de la Terre rT = 1,5.1011 m ; de Vénus rv = 1,082.1011 m ; période de la Terre sur son orbite autour du Soleil TT = 1 an ; de Vénus TV ; rayon de la Terre RT =6,37.106 m ; de Vénus Rv = 6,05.106 m.

On considère les référentiels suivants : • le référentiel de Copernic (C), formé par le centre de masse du système solaire et des directions d’étoiles choisies de façon à ce que ce référentiel soit aussi galiléen que possible ; • le référentiel héliocentrique (H), lié au centre du Soleil et en translation par rapport à (C) • le référentiel géocentrique (G), lié au centre de la Terre et en translation par rapport à (C) • le référentiel vénusocentrique (V), lié au centre de Vénus et en translation par rapport à (C) • le référentiel terrestre (T) lié à la Terre. Si un satellite décrit une orbite elliptique autour d’un astre, on appelle périastre sa position la plus proche de l’astre et

apoastre sa position la plus éloignée. 1) Expliquer que moyennant des hypothèses qu’on précisera (G) peut être considéré comme galiléen. 2) On se place dans (H). On considère que la Terre et Vénus y décrivent dans le même sens des orbites circulaires

coplanaires. Calculer leurs vitesses vT et vV. 3) Le voyage aller et retour de la Terre vers Vénus le plus économique se fait en trois temps :

– à l'aller, de durée t1, une demi ellipse de Hohmann, c'est-à-dire une orbite tangente en son aphélie à l'orbite de la Terre et en son périhélie à l'orbite de Vénus ; cette ellipse est décrite dans le même sens que celui dans lequel la Terre et

Vénus tournent autour du Soleil ; - une durée t2 passée en orbite autour de Vénus ; - le retour sur Terre par une autre demi ellipse de Hohmann de durée t3.

3.a) Dessiner de façon qualitativement juste les orbites de la Terre et de Vénus et l’orbite de transfert. Quelle est la longueur du grand axe de l’orbite de transfert ? Donner l'équation numérique en coordonnées polaires de cette orbite de transfert.

3.b) Enoncer en beau langage la troisième loi de Kepler. Calculer en année la période de Vénus sur son orbite autour du Soleil TV.

3.c) Calculer la durée en année t1 de l'aller et celle t3 du retour. 4) A l’instant 0, le Soleil, Vénus et la Terre sont alignés dans cet ordre. La direction correspondante est choisie

comme origine des abscisses angulaires et de Vénus et de la Terre. Vθ Tθ4.a) Exprimer ces abscisses angulaires et en fonction du temps t et de TVθ Tθ T et TV. 4.b) Déterminer les dates t5 propices au lancer d’une mission aller et retour vers Vénus. Quel intervalle de temps t4

sépare deux fenêtres successives de tir vers Vénus ? 4.c) Déterminer les dates t6 propices au départ de Vénus. Calculer la durée t2 en année du séjour minimum en orbite

autour de Vénus et la durée totale du voyage. 5) On se place dans (G). On lance depuis la surface de la Terre un mobile de masse m à la vitesse v0. 5.a) Montrer que pour que ce mobile s’écarte indéfiniment de la Terre il faut que v0 soit supérieur ou égal à une

limite vLT qu’on calculera numériquement. 5.b) Exprimer la vitesse très loin de la Terre v∞ en fonction de v0 et vLT. 6) Soit un satellite sur une orbite elliptique autour d’un astre fixe de masse M. 6.a) Ecrire la conservation de l’énergie et du moment cinétique aux deux extrémités de son grand axe. En déduire que

l’énergie du satellite est égale à l’énergie potentielle qu’il aurait à une distance de l’astre égale à la longueur du grand axe de son orbite.

6.b) En déduire les expressions des vitesses de ce satellite aux deux extrémités de son grand axe. 6.c) En déduire numériquement la vitesse v1 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son aphélie ; 6.d) et la vitesse v2 du véhicule Terre-Vénus sur son orbite de transfert à son périhélie. 6.e) Dans quel référentiel ces résultats sont-ils valables ? 7.a) Calculer la vitesse v1' du véhicule Terre-Vénus par rapport au référentiel géocentrique sur son orbite de transfert

à son aphélie. 7.b) Dans quelle direction faut-il lancer le véhicule ? 8) Calculer la vitesse de lancement v0 depuis la surface terrestre. 9) Quelle est la forme de la trajectoire du véhicule dans le référentiel vénusocentrique au voisinage de Vénus si l’on

n’allume pas les moteurs ? 10) L’atmosphère de Vénus freine le véhicule seulement près du point de cette trajectoire le plus proche de Vénus, le

périvénus, si bien qu’on peut considérer dans un vision simplifiée que le véhicule subit une diminution de sa vitesse au périvénus. Que devient alors sa trajectoire ? Quel est le cas favorable ? Comment est située alors cette trajectoire ?

11) Dans ce cas, montrer que sans utiliser les moteurs fusées on se rapprocherait progressivement d’une orbite circulaire autour de Vénus. Quel défaut présente cette manœuvre et pourquoi faut-il en réalité utiliser les moteurs fusée pour obtenir un orbite stable autour de Vénus permettant d’attendre la durée t2 ? A quel endroit faut-il allumer les moteurs fusée et dans quelle direction faut-il diriger leur jet ?

12) Expliquer qualitativement, mais avec précision, la manœuvre nécessaire pour reprendre la route de la Terre.

VI. L’atome, d’après centrale MP 2005. Le problème qui suit étudie divers modèles de l’atome qui se sont succédés au début du dernier siècle. Dès la fin du

XIXe siècle, des expériences ont mis en évidence la notion d’atome contenant une charge positive, ainsi qu’une charge négative, celle-ci identifiée comme étant constituée d’électrons de charge et de masse . On connaît aussi le nombre de masse A caractéristique de chaque espèce.

e− em

Les valeurs numériques demandées seront calculées avec les données suivantes : ( )9 1

04 1/ 9 10 F m−πε = ⋅ ⋅

Masse de l’électron : 319,1 10 kgem −= ⋅Charge élémentaire : 191,6 10 Ce −= ⋅Célérité de la lumière dans le vide : 8 13 10 m sc −= ⋅ ⋅Constante de Planck : 346,63 10 SIh −= ⋅Masse d’un atome de nombre de masse : A 271,67 10 kgatm A −= × ⋅Les diverses parties sont partiellement indépendantes.

B79. Champ électrique d’une boule uniformément chargée. Une boule de centre O et de rayon a porte une charge Q positive uniformément répartie dans son volume. 1) Déterminer par un argument précis la direction du champ électrique. 2) Exprimer sa grandeur à la distance r de O en fonction de . 0, , ,Q r a ε


3) Déterminer sa valeur maximale quand r varie.

C73. Généralités sur le problème à deux corps. Soit un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses respectives et . On étudie ce système

dans un référentiel R supposé galiléen. On se donne également un point O fixe dans ce référentiel. On appelle am bm

aF et

bF les forces exercées par B sur A et A sur B . On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre les deux particules.

1) Soit C le centre de masse du système . Déterminer, en le démontrant, le mouvement de C dans R . S2) Soit r AB= . Montrer que l’étude du mouvement relatif se réduit à l’étude plus simple du mouvement d’une

seule particule (que l’on nommera mobile fictif) de masse et de vecteur position rµ soumise à la force bF . On donnera l’expression de . µ

3) Dans le cas particulier où , que vaut et où se trouve le centre de masse C ? bm ma µ4) Montrer que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à celle du mobile fictif.

D32. Le modèle de Thomson, ou modèle de l’électron élastiquement lié à l’atome. En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) proposa le modèle suivant pour l’atome

d’hydrogène. • Il est constitué d’une sphère de centre O et de rayon a . • La charge positive e de l’atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de cette sphère. • La sphère est supposée fixe dans un référentiel galiléen auquel on associe le repère orthonormé direct ( ), , ,x y zO e e e .

• L’électron se déplace librement à l’intérieur de la sphère ; on note r OM= son vecteur position. • On néglige l’interaction gravitationnelle devant l’interaction électromagnétique.

1) Quelle est l’expression de la force ressentie par l’électron ? On posera 2

304eka

=πε

.

2) Montrer que le mouvement de l’électron est plan. 3) Donner la loi horaire du mouvement de l’électron pour les conditions initiales suivantes : à , 0t = 0 0 xr r e= et

0 0 zv v e= où xe est le vecteur unitaire de l’axe Ox et ze le vecteur unitaire de l’axe Oz . 4) Tracer l’allure de la trajectoire, le plan de figure étant celui de la trajectoire. 5) En prenant , calculer la fréquence du mouvement et la longueur d’onde associée. Dans quel domaine

du spectre électromagnétique celle-ci est-elle située ? 0,1nma =

E7. Invalidation du modèle de Thomson par l’expérience de Rutherford. L’expérience réalisée en 1909 par Geiger et Marsden et interprétée en 1911 par le physicien néo-zélandais

Rutherford a été une étape capitale dans l’histoire de la physique atomique. Elle consiste à bombarder une mince feuille d’or avec les particules émises par un corps radioactif. On constate que ces particules ressortent de la feuille métallique, la majorité n’étant pas déviées, quelques unes étant déviées : on dit qu’elles sont diffusées. Quelques rares particules sont même rétrodiffusées, c’est-à-dire qu’elle sont déviées d’un angle supérieur à 90 degrés. On se place dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, où la feuille d’or est fixe.

α α

On étudie, pour le moment, la diffusion d’une particule par un atome cible B . La particule α , de masse , arrive de l’infini avec une vitesse

α am

0v (voir figure) et un paramètre d’impact b (distance minimale à laquelle elle passerait à côté de B en l’absence de toute interaction). L’atome cible possède une masse telle que .

Bbm b am m


On néglige toute interaction gravitationnelle. L’énergie potentielle d’interaction entre la particule et l’atome cible B , distants de r , est électrostatique et de forme a priori quelconque : on la note W r et elle est prise nulle à l’infini.

α( )

Dans le cas de l’expérience de Rutherford, les particules cibles étaient datomes d’or (nombre de masse A = méro atomique Z = n considère que ces atomes d’or sont fixes à cause de leurs interactions avecles autres atomes d’or du solide dont ils font partie. On suppose, comme à l’époque, que la partie essentielle de la massede l’atome est liée à sa charge positive. Une particule α est u atome d’hélium ionisé, portant deux charges élémentaires positives et de nombre de masse égal à 4. On admet que l’action d’un atome d’or sur cette particule α est purement électrostatique et qu’elle est plus faible que celle de la seule charge positive de l’atome d’or, les électrons de l’atome d’or compensant la majeure partie de la force exercée par la charge positive de l’atome.

es , nu ). O

n

197 79

Pour montrer que l’existence de particules rétrodiffusées invalide le modèle de Thomson, on cherche une majoration de l’angle de déviation prévu par ce modèle. Le rayon de l’atome est . 0,1nma =

1) Avec les hypothèses précédentes sur le modèle de Thomson, la particule α perçoit une force électrostatique inférieure à une borne ; évaluer numériquement . maxF maxF


12) On donne la vitesse de la particule α incidente : . On suppose qu’une force s’applique à la particule α sur une longueur 2 afin de la faire dévier. Évaluer numériquement une majoration de l’angle de déviation possible.

70 1,6 10 m sv −= ⋅ ⋅ maxF

a

3) Un ivrogne décrit des pas successifs ; chaque pas possède la même longueur a et un sens aléatoire, non corrélé à celui des pas précédents ; quel est l’ordre de grandeur du déplacement de l’ivrogne au bout de pas ? N

4) En pratique, la feuille d’or utilisée comportait environ 400 plans atomiques successifs. Conclure quant à la validité du modèle de Thomson.

F26. Confrontation du modèle de Rutherford à l’expérience. Rutherford propose dans son modèle, par rapport au modèle de Thomson, une répartition différente de la charge

positive : celle-ci est concentrée dans un noyau quasi-ponctuel autour duquel gravitent les électrons. Ze1) Pourquoi peut-on supposer avec une assez bonne approximation le noyau d’or fixe ? La discussion précédente

montre que pour expliquer les déviations constatées, il faut une force plus grande que celle dans le modèle de Thomson. Cette force est plus grande lorsque la particule α est très près du noyau. Expliquer pourquoi on peut alors négliger l’action des électrons et ne considérer que l’action du noyau sur la particule α , comme nous le ferons dans la suite.

2) Montrer que l’énergie potentielle d’interaction de la particule avec le noyau de l’atome , toujours de nature électrostatique, est dans le modèle de Rutherford de la forme . On précisera l’expression de K .

α B( ) /W r K r=

3) Soit r BM= le vecteur position de la particule . On pose α /v dr dt= , ap m v= et l r p= ∧ . Montrer

que le moment cinétique l , exprimé en , de la particule α est constant au cours du temps. Quelle(s) conséquence(s) en déduit-on pour son mouvement ?

B

4) Quelle est la nature de la trajectoire suivie par la particule α ? Pourquoi ? (aucun calcul n’est demandé). La représenter.

5) On peut se passer de l’équation de la trajectoire pour calculer l’angle de déviation en utilisant l’intégrale première du mouvement /ap l m Kr r= ∧ +L .

Montrer que ce vecteur est bien une constante du mouvement. 6.a) Déterminer la direction de L en considérant le passage au plus près du noyau. 6.b) Déterminer les composantes de L sur les axes de la figure précédente quand la particule est très loin

du noyau. ,x y α

6.c) En déduire la relation liant le paramètre d’impact b à l’angle de déviation (défini entre et π ) : φ 0

( )tan /2

b β=φ

avec 20a

Km v

β = .

7) En pratique, l’expérience de Rutherford n’est pas faite avec une seule particule α , mais avec un faisceau homocinétique ; l’unité de surface perpendiculaire à l’axe Bx reçoit J particules par unité de temps.

Un détecteur permet d’étudier la statistique des déviations des particules α . On note l’angle solide sous lequel est vue, depuis la cible, la zone du détecteur comptant les particules déviées d’un angle compris entre

et .

2 sind dΩ = π φ φ

φ dφ + φ7.a) Déterminer le nombre de particules déviées par unité de temps ayant initialement un paramètre d’impact

compris entre b et b , en fonction de J , b et db . /dN dt

db+

7.b) On appelle section efficace différentielle de diffusion la quantité /dN dtdd Jdσ =Ω Ω

. L’exprimer en fonction de

et φ .

β

7.c) Geiger et Marsden obtinrent expérimentalement une section efficace différentielle proportionnelle à ( )41/ sin /2φ . Commenter.

7.d) Montrer que la plus petite distance au cours du mouvement entre le noyau et la particule α est mr( )( )1 1/ sin /2mr = β + φ . Calculer l’ordre de grandeur de pour une particule α notablement déviée et d’énergie

cinétique incidente 5, . mr

3MeV7.e) En réalité, la loi en ( )41/ sin /2φ n’est valable que pour des déviations . Que peut-on en

déduire sur l’interaction entre la particule et le noyau suivant leur distance ? On fera ressortir une distance minimale d’approche que l’on calculera numériquement pour les particules α précédentes dans le cas .

0 150φ < φ = °α

0mr 0φ = φ7.f) Donner l’ordre de grandeur actuel de la taille du noyau atomique. Commenter les résultats précédents.

G29. Modèle semi-quantique de Bohr. Avant de s’intéresser à la structure de l’atome, on avait déterminé que chaque atome (sous le coup d’une excitation)

était capable de rayonner une onde électromagnétique (parfois appartenant au spectre visible). Pour l’atome d’hydrogène, les longueurs d’onde caractéristiques de ces rayonnements vérifient la loi expérimentale de Balmer-

Rydberg 2 21 1

Hnp

Rn p

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜λ ⎝ ⎠1

2 21/ 1/p n n pE E Y L L− = −

p

où n et sont des entiers positifs ( ) et est la constante de Rydberg. On

souhaite retrouver théoriquement ce résultat en s’intéressant à l’atome d’hydrogène.

p n p< HR

1) Dans le modèle de Rutherford, il est possible d’envisager une trajectoire circulaire de rayon R de l’électron autour du noyau fixe. Calculer la vitesse v correspondant à cette orbite en fonction de , , e et R . 0ε em

2) Montrer que la force électrique ressentie par l’électron dérive d’une énergie potentielle que l’on explicitera. En déduire l’énergie mécanique E .

3) On numérote par deux entiers n et deux orbites circulaires distinctes d’énergies mécaniques respectives et . On note et les moments cinétiques respectifs par rapport au noyau. Montrer que

, où Y est une constante que l’on explicitera en fonction de e , et .

p nEpE nL pL

( ) 0ε em4) En tenant compte de résultats connus en 1913 (théorie du corps noir, théorie de l’effet photoélectrique), Bohr a

posé la relation bien connue aujourd’hui : entre énergie et fréquence. De plus, il a posé la condition de quantification du moment cinétique suivante pour les orbites circulaires (où est la constante réduite de Planck et n un entier positif).

p n nE E h− = νL n= ( )/ 2h= π

Montrer que ces deux relations permettent de retrouver la loi expérimentale de Balmer-Rydberg. En déduire une expression de la constante de Rydberg en fonction de , , e , c et . Faire l’application numérique. HR 0ε em

5) Quelle est la différence relative entre la valeur réelle de et le résultat précédent, noté , si l’on tient compte que le noyau n’a pas de raison d’être immobile et si on utilise le formalisme du problème à deux corps ? Faire l’application numérique.

HR R∞

H11. Modèle de Bohr et théorie quantique. Une action en physique, pour un système donné, est une grandeur caractéristique de ce système ayant pour unité celle

de la constante de Planck. Ainsi est appelée une action. On peut déterminer une action en combinant des paramètres pertinents pour la description des phénomènes physiques en jeu. Un système dont l’action caractéristique admet une valeur proche de est un système pour lequel on ne peut plus faire abstraction des phénomènes quantiques. Par contre, si sa valeur est très supérieure à , alors l’étude du système relève de la physique classique.

341, 05 10 SI−= ⋅

1) Rappeler l’unité de cette constante dans le système international. 2) Un circuit oscillant de capacité , d’inductance et parcouru par un courant d’intensité d’amplitude

relève-t-il de la physique quantique ? 1010 F− 410 H−

1mA3) Examinons maintenant l’atome d’hydrogène. Son énergie d’ionisation est . Son spectre, par ailleurs, est

caractérisé par une longueur d’onde minimale . L’atome d’hydrogène relève-t-il de la physique quantique ?

182 10 J−⋅100nmλ =

4) Dans le modèle quantique de l’atome d’hydrogène, de quelle manière décrit-on le comportement de l’électron ? 5) Conclusion : à partir de ces exemples, préciser le rôle joué par les modèles dans les sciences physiques. On se

demandera en particulier si l’on peut dire d’un modèle qu’il est vrai ou faux.

VII31. Tir depuis la Terre. Un mobile P de masse m se meut à proximité de la Terre. Soit O le centre de la Terre supposée sphérique, de

masse et de rayon R . On note vM la vitesse de P , G la constante de Cavendish, r OP= et /u r r= . 1) Définir le référentiel géocentrique et discuter son caractère galiléen. Dans la suite, on se placera dans le référentiel

géocentrique et non dans le référentiel terrestre et on considérera le référentiel géocentrique comme galiléen.


2) Exprimer la force F subie par P . 3) Montrer que le moment cinétique L de calculé en O est une constante du mouvement et que P se meut dans

un plan fixe à préciser. P

4) Montrer qu’à F est associée une énergie potentielle ou que FpE en dérive et exprimer , en convenant que est nul à l'infini.

pE

pE

5) En coordonnées polaires ( , , l’équation de la trajectoire de P est )r θ1 cospre

=+ θ

, où p est une constante

positive et e une constante positive ou nulle. A quelle condition sur e la trajectoire est-elle une ellipse ? 6) Dans ce dernier cas, donner les expressions en fonction de et e des coordonnées polaires de son périgée et de son apogée A .

p 1 1( , )r θA 2 2( , )r θ ′

7) Démontrer que l’énergie est 2GMmEa

= − où 2 est la longueur du grand axe de l'ellipse. a AA′=

On pourra raisonner comme suit. Soient et les vitesses de P en et A . Quelles sont leurs directions ? Exprimer le moment cinétique L en O et l'énergie totale E du mobile P en fonction de m , M , G , et lorsque ce mobile est en et en fonction de , , G , et v lorsqu’il est en A .

1v 2v A ′1r 1v

A m M 2r 2 ′Du point C de la surface terrestre, on lance un projectile avec la vitesse Cv faisant l'angle avec l'horizontale. Ce

projectile retombe sur la surface terrestre en D avec la vitesse γ

Dv faisant l'angle δ avec l'horizontale. Toutes ces grandeurs sont définies par rapport au référentiel géocentrique et non par rapport au référentiel terrestre. Les points C et D sont les données du problème et on recherche les vitesses de lancement et de retombée. On néglige le freinage de l'air.

8) Précisez le plan dans lequel il faut faire le lancement. 9) Donner le tableau de variation de ( )

1 cospre

=+

θθ

. Justifier que la trajectoire est un arc d'ellipse et non de

parabole ou d'hyperbole. Quelle est la relation entre les coordonnées polaires des points C et D, soit et ? En déduire quelle droite porte le grand axe de l'ellipse.

Cθ Dθ

10) Montrer que doit être inférieur à une borne qu'on précisera. Cv Lv11) Exprimer en fonction de . Dv Cv12) Exprimer δ en fonction de . γ13) On étudie les trajectoires possibles pour donné et variable. Montrer que la longueur 2 du grand axe de

l'ellipse est fixée. Cv γ a

14) Se souvenant que l'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à ses deux foyers est égale à 2 , montrer par une construction géométrique que, selon la valeur de l’énergie qu’on a choisi, il peut y avoir deux, une ou zéro trajectoires possibles pour aller de C à D .

aE

15) On suppose désormais que l'un des foyers de l'ellipse est au milieu du segment CD . Montrer que cette procédure est la plus économique parmi les procédures permettant d'atteindre , c'est-à-dire qu'elle rend minimum. D Cv

16) Montrer qu’alors ( )1 1/ sin /2

LC

vv =

+ α, où α est l’angle ( . Tracer sommairement le graphe de

.

),OC OD

( )Cv α17) On rappelle que la tangente en P à une ellipse de foyers et F est perpendiculaire à la bissectrice de l'angle

. Exprimer en fonction de α . F ′

FPF ′ γ18) On veut lancer de la Terre un projectile pour qu’il retombe à 1 km. Quelle valeur de faut-il choisir pour que la

vitesse de lancement soit la plus petite possible ? A quelle vitesse faut-il le lancer ? Faites le calcul numérique. On donne .

γ

210m.sg −=19) On veut lancer de la Terre un projectile pour qu’il retombe aux antipodes. Quelle valeur de choisir ? A quelle

vitesse faut-il le lancer ? Faites le calcul numérique. On donne le rayon terrestre . γ

66, 4.10 mR =

Réponses I. 1)

2 330

2

42.10 kgT

ST

rM

GTπ

= = ; 2-1) non ; ( )2 2 3

10T T

S T T

M rM d rr d

−− + =−

d ;

2-2) 91,5.10 m3T

TS

Md r ; 2-3) probablement instable ; 3-1) voir cours ;

3-2) voir ci-contre ; 3-3) l’aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au

temps ; 3-5)

M⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

14

H

T

T e ; 3-6) e ; 3-7) l’axe des Pôles n’est pas

perpendiculaire au plan de l’écliptique. T= −

π= 0, 0164

S H

P

O

B

A

P

E H

II. 1), 2) et 3) voir cours ; 4) 2

1 cosp Lpe mk

= =+ θ

r ; 5) voir ci-contre ;

Oe

y

x6) y

eep

πε u=∆ ; rotation de πε par révolution. / p

III. 1) en coordonnées sphériques rUF ur

∂= −∂

; 2), 3) et 4) voir cours ;


5) 2zL mr u= θ ; 2 2L drm d= θ = S

t ; 6.b)

2

22mE ; 6.c) p L ; Lα≥ − m= α2 /

2

221 L Ee A ; m

= = +α

A pointe vers

le périhélie ; 6.d) voir cours ; 7.a) 2

a ; Eα= −

2Lb ; 7.b) mE

=−

2

00 ; 7.c) segment dont une

extrémité est en O ; cercle de centre O ; 7.d)

2mL LEα≤ ≤ = −

32 maT . = π

α

ir mb v mb v= = = ; 3)IV. 1) vo cours ; 2) r θ2 1 1 2 2OL m 212

GMmE mvr

= − ; 5) 2 sinydv GMmmdt r= − θ ;

1 12 b vr =

θ ; 6) intégr à

7) 01 0v r + a) a re attiré par le mob ; c) > ρ ;

oir ci-contre.

en au voisinage de la Terre en négligeant les forces de marée dues au

So

er de

2 20 1 12GMr b v− = ; 8) st

ile ; b) m M r R+9) v

V. 1) (G) galilé

−∞ +∞ :

2 2

0

Mv 1v

2v

2v

1v

Mv

Exemple d’accélération Exemple de freinage

TS

V

leil et à la Lune ; 2) 129800m.sTT

vr

= = ; SGM −

13510SV

GMv

r= = =0m.s

V

− ; 3.a) voir figure ; + ; 2 T Va r r

111,2572 101 0,16189 cos

r ×=+ θ

(en mètres) ; 3.b) 3/2

061V TT T= 264anV

T

rr

⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ;

3.c) 3/2

0, 40Tr+ ⎞⎟ =⎟⎟1 3 an2 2T V

T

T rt t

r⎛⎜= = ⎜⎜⎝ ⎠ ; 4.a) 2

VV

tTπθ = et 2

TT

t ;

4.b

Tπθ =

) première fenêtre de tir : 50, 847


1, 34 an1 10,613 1

t = =−

; 4 = =11,584 an1 1

0,613 1

t−

4.c = ; durée totale voyage st t t+ − = ;

;

) 6 1, 4256 mod 1,584t = ; t du an

5.a)

2 1,27 an 6 3 5 2, 07

1211200mv . sT

LTT

GMR

−= = ; 5.b) 2 20 LTv v v∞ = − ; 6.a) 2 2

1 21 2

1 12 2

GMm GMmE mv m

L =

vr r

= − = − ;

mr v mr v= ; 1 1 2 21 2 2GMm G= − Mm

Er r a

= −+

; 6.b) 11

2 1v GM ⎛⎜⎜⎜⎝ ⎠r a⎟= − ⎟⎟ ; ⎞

22

2 1v GMr a

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ;

6.c) 11 − ; 6.d112 27300m.sS

T T Vv GM

r r r⎛ ⎞⎟⎜= − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+

) 12

1 12 37850mSV T V

v GMr r r

⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ; 6.e) dans

érentiel héliocentrique ; 7.a) 11 1 .sTv v v −′ = − = − ; 7.b) tirer dans le direction contraire au m

de la Terre autour du Soleil ; 8)

.s−−

le réf 2500m ouvement

2 2 111500m.sLTv v v −′= + = ; 9) une branche d'hyperbole ; 10) ellipse tangente perbole selon laquelle la sonde

0 1en son périvénus à la branche d'hy est arrivée.

VI.

B. 1) ( ) rE E r u= ; 2) si r a> , 2QE = ; sir a< , 3

QrE =04 aπε

; 3)04 rπε

max 204QEa

=πε

.

C. 1) ment re e uC a un mouve ctilign niforme ; 2) 1 = +µ am ;1 1

a bm m ; 3) µ centre de

mr

asse voisin de B. D. 1) = −

x

z

O

F k ; 2) voir cours ; 3) /k mω = ; 0

0 cos 0 sinz ωωvy t ; 4) voir ci-contre ;

5)

x r t= ω = =

151 2,53 10 Hz2

kfm

= = ⋅π

; 119nmcf

λ = iolet). = (ultrav

E. 1) 2

6max 2

0

2 3,64 10⋅ N4ZeFa

−= =πε

; 2) max22 4,F a 4

max 3 10 radmv

−φ = = ⋅ ; 3) de l’ordre dex Na ;

4) déviation inférieure à 4 3400 4,3 10 8,6 10 rad− −× ⋅ = ⋅ .


noyau est beaucoup p oche ; 2)F. 1) lus prb am m ; 2

0

24ZeK =πε

; 3) voir co

présentée ci-contre ; 6.a) parallèle à l’axe de l’hyperbole ;

6. m v u=

urs ;

4) branche d’hyperbole re

b) a xm Ku+2 20a yL ; 7.a) 2 bdbJ

dt= π ; 7.b)dN

( )

2

4 sddσ β=Ω 4in /2φ

;

7.c) accord avec le modèle de Rutherford ; 7.d) ( )11mr

⎛ ⎞sin /2

⎟⎟⎟⎜ ⎠

⋅ ; 7.e) la lo rce n’est valable q 10 mmr −= ⋅ ; 7.f) oumètres.

G. 1)

⎜= β + ⎟⎜⎝ φ ;

β = i de fo ue si 37142,15 10 m− 0mr r> ; 140 4, 1410− 1510−

2

0 e

em R4

v =πε

; 2) 2

0 04 8perπε πε

2eE ER

= − = − ; 3) 4

2 2032

em eY =π ε

47 1

3 2 30

1, 09 10 m64

eH

m eR =c

−= ⋅π ε

; 5) remplacer par4) em e p

e

m m

pµ =

+, d’où

m m

45, 44 10H e

e p

R R mR m m

∞ −

∞

−

e propre

= − = − ⋅+

.

H. 1) s’exprime en ; 2) périod .J s 72 6T LC= 10 s−π = ⋅ ; énergie de la bobine 2 11 5 10 J

2E Li −= = ⋅ 1 , donc J sET −= ⋅ ⋅ ; 3) s , d’où .

ce rre et s fixe ; galiléen au voisinag nt les forces de

marée ; 2)

173 10 16/ 3 10T c −= λ = ⋅ 346 10 J siWT −= ⋅ ⋅

VII. 1) ntre de la Te directions d’étoile e de la Terre, en négligea

2GMm

F ur

= − ; 3) P fixe se meut dans le plan passant par et perpendiculaire à O OL ;

4) pGMmEr

= − ; 5) 0 1e≤ < ; 6) périgée : 1 10,1pre

θ = =+

; apogée : 2 2,1pre

θ = π =−

; 8) dans le plan

OCD ; 9) grand xe de l’ellipse est la bissectrice de C Dθ = −θ ; le a COD ;

10) 2GMR Cv= ; 12) δ = oyer est à

cercles de centres C et D et de rayon 2a R−

pent en 7)

C Lv v< = ; 11) v ; 14) l’autre f

de deux

se cou 2, 1 ou 0 points ; 1

D γ

l’intersection , qui

4π−αγ = ; 18) C e α est petit,

/4γ π ;

omm

1100m.sCv gx −= ; 19) 0=γ ; 18 km.sRg −=Cv =

Cv

O α

/ 2Lv

π

Corrigé I.

1) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique à la Terre : ( )

( )

32 113 32 2 30

2 3 27 11

4 1,5.102 2.10 kg3,16.10 6,67.10

S T S TT T SA A

TT T

GM M GM rM r MT Gr r −

π ×⎛ π ⎞⎟⎜= Ω Ω = = = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ×

2-1) (R') n’est pas galiléen, car en rotation de vitesse angulaire par rapport à (RAΩ K), qui lui est galiléen avec une bonne approximation. A l’équilibre de P dans (R'), la somme des forces d’attraction du Soleil et de la Terre et de la force centrifuge est nulle :

( )( )

( )

22 2

2 2 3

0

10

T STA

T

T T

S TT

GM m GM mm r d

d r dM r dM d rr d

− + Ω − =−

−− + =−

2-2) ( )

( ) 22 2 2 2

2 3 2 231 1 1 2 1T T

S T T TT T TT

M d d r d d d d d d dM r r rr r rr d

− 3

3T T

dr r

⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜ ⎜= − = − − − ≈ + − − =⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

si on considère que M et d r sont petits. /T SM / T91,5.10 m

3T

TS

Md r

M⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2-3) Si P s’écarte de sa position d’équilibre dans la direction de la Terre, la Terre l’attire davantage, le Soleil l’attire moins et la force centrifuge augmente ; chacun de ces trois effets tend à l’écarter davantage, donc on a l’impression que l’équilibre est instable. En réalité, la force de Coriolis dévie le mouvement et on ne peut pas conclure sans tenir compte de son influence.

3-1) Soit L le moment cinétique orbital de la Terre par rapport à S dans (RK). Comme la Terre n’est soumise qu’à

l’attraction du Soleil, qui est radiale, 0dL r Fdt= ∧ = , donc L est indépendant du temps. Comme L ST mv= ∧ ,

L ST⊥ , donc T se meut dans le plan passant par S perpendiculaire à L , plan qui est fixe dans (RK).

DS : mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 11

3-2) Voir ci-contre 3-3) L’aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps

En effet, l’aire balayée pendant dt est 1 12 2

Ldt2

r dr r vdtm

= ∧ = ∧ =dSS H

P

O

B

A

P

E H

3-4) L’aire du secteur HSP est la différence des aires de OBH et OBSP. L’aire de OBH est le quart de celle de l’ellipse, soit . /4abπL’aire OBSP est approximativement celle bc d’un rectangle dont l’un des cotés

est petit et l’autre est OB . D’où la formule proposée. OS c= b=

3-5) /4 1 14 4

H

H T T

ab bc ab T bc eT T T ab

π − π= ⇒ = − = −π π

.

3-6) 1 89, 40, 0164

4 365,25e ⎛ ⎞⎟⎜= π − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3-7) Les saisons sont dues à ce que les plans de l’équateur et de l’écliptique font un angle de 23°27', d’où un durée du jour maximale le 21 juin dans l’hémisphère nord (pointE) et minimum le 21 décembre (point H). Le schéma ci-contre montre que le Soleil est moins longtemps au dessus de l’horizon du point M de la Terre quand le Soleil est au point H de l’écliptique.

P

M

plan de l’horizon de M

mouvement diurne du Soleil au Solstice d’hiver

équateur

écliptique

H

II.

1) Le théorème du moment cinétique dL OM Fdt= ∧ montre que L est constant, puisque OM est parallèle à F .

2) Comme L OM mv= ∧ , OM L⊥ : le mobile se meut dans le plan passant par O et perpendiculaire à L .

3) r

dv Lde dudtdt k dt

∧= − .

Or 22

r rz r r z

du d du dv k dvu L mr u u L k u u k udt dt d dt dtmrθ θ

θ= = θ = θ = − ∧ = − θ ∧ = θθ

. D’où 0dedt= .

4) rv Le r r u rk∧⋅ = ⋅ − ⋅ ). Soit l’angle (θ ,e r . La composante radiale de la vitesse donne une contribution

nulle au produit mixte : cos v Lrr rkθθ = − . Or L

mθ =rv , d’où 2 2

cos1 cos

L pr r r pmk e mk

θ = − ⇒ = =+ θ

L .

5)


θ −π 0 +π

r 1pe− 1

pe+ 1

pe−

6) Si est petit, on peut tenter un traitement en perturbation en considérant l’équation de la trajectoire trouvée en 4 comme approximativement valable :

ε

( )( )

( ) ( )

22

22 2

0 0

1

1 cos

1 cos cossin cos

122

r zr

x y

y y

kdv u mr uLde du rdt mr u udt k dt k r

d u e d uder p

e d e de u u

Oe

y

x

yp pe ee u up p

θ θ

θ θ

π π

ε− + ∧ θ∧ εθ= − = − θ =

ε θ ε + θ θ=

ε + θ θ ε θ θ∆ = − θ + θ =

ε πε∆ = π × =

∫ ∫ u

Ces intégrales se calculent plus facilement si on observe que sur un intervalle de les valeurs moyennes des fonctions suivantes sont : 2π

cos sin sin2 0x x x= = = ; 2cos 1/2x = .

La variation de e est perpendiculaire à e , donc e garde son module et tourne de

l’angle à chaque révolution. Le mouvement a lieu sur une ellipse de grand axe et d’excentricité constants et qui tourne lentement, de πε par révolution.

/ pπε/ p

III. 1) En coordonnées sphériques, 1 1

0 0sinr

U dU U UF F . F

r dr r rθ ϕ∂ ∂ ∂= − = − = − = = − =∂ ∂θ θ ∂ϕ

2) D’après le théorème du moment cinétique, 0dL r Fdt= ∧ = , donc L est constant au cours du mouvement.

3) L OP mv OP L= ∧ ⇒ ⊥ : P se meut dans le plan Π passant par O et perpendiculaire à L . 4) D’après le théorème de l’énergie cinétique, dEc cF dr dU E E U cste= ⋅ = − ⇒ = + =

zu mru mr u mr uθ= ∧ + θ = θ

.

5) L r ( ) 2r r . D’autre part, pendant dt , le rayon vecteur balaye l’aire 21

2dS .

D’où

r d= θ

2 2L drm d= θ = S

t

6.a) ( ) 2grad / /rF r u r= − −α = −α

22

1 1 1 0r rr z

dA dp du d duL F L u mr u udt m dt dt m dt d mr θ

θ= ∧ − = ∧ − = − ∧ θ − θ =α α θ

, donc A est constant au

cours du temps. En outre p L∧ est perpendiculaire à L , donc fait partie du plan , tout comme Π ru , donc A en fait partie aussi.

6.b) Élevons au carré la relation définissant A :

( ) ( ) ( )( )( )

2 22

2 2

2

2 2 22

2 2

22

2

1 1 12 1

/

2 21 1

2

02

r r

r r r z r

p LA p L u p L u p L um m mm

p L u mv u mv u Lu u mv L L r

L p L EA

m rm m

mA E

L

θ θ θ

= ∧ − ⋅ ∧ − = − ∧ ⋅ +α α αα

∧ ⋅ = + ∧ ⋅ = =

⎛ ⎞α ⎟⎜= − + = +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠α αα≥ ⇒ ≥ −

r

6.c) ( ) ( )( )21 1

r r z rmv Lr LA r p L r r mv u mv u Lu ru r r r

m m mθ

θ θ⋅ = ∧ ⋅ − = + ∧ ⋅ − = − = −α α α mα

.

Prenons la direction de A comme origine des : θ cosA r Ar⋅ = θ . D’où 2 1

1 cosLrm A

=α + θ

qui est de la forme

demandée si (attention, est le paramètre de l’ellipse, et non la quantité de mouvement) et 2 /p L m= α p2

221 L Ee Am

= = +α

.

( )r θ est minimum pour , donc A0θ = pointe vers le périhélie. 6.d) La trajectoire est : • une ellipse si ; 1 0e E< <

• une parabole si ; 1 0e E= =

• une branche d’hyperbole si . 1 0e E> >

7.a) 2

max min 2 2 22 /22

1 1 21 2 /L mp p pa r r a

e e Ee L E mα α α= + = + = = = − ⇒ = −

− + − − α E

2 22

2 2b Lp b ap ba E m mE

α= ⇒ = = − ⇒ =α −

L .

7.b) 2 2

2 202

20 1 0 02 2

L E m mA L L LE Emα α≥ + ≥ ≤ − ≤ ≤ = −

α

2

7.c) Pour , la trajectoire est un segment dont une extrémité est en O. Pour , , la trajectoire est un cercle de centre O.

0L = 0L L= 0e A= =

7.d) Comme la vitesse aréolaire est constante, 2

dS ab Ldt T m

π= = . Or 2

Eaα= − ,

2L ab L

mmE= =

α−, d’où

32 maT = π

α.

IV.

1) 0OdL OP Fdt= ∧ = car F OP . Comme OL OP mv= ∧ , OOP L⊥ , donc P est dans le plan fixe passant

par O et perpendiculaire à OL . 2) . 2

1 1 2 2OL mr mb v mb v= θ = =

3) 212

GMmE mvr

= − .

4) L’énergie est la même à t qu’à t , donc . Le moment cinétique est le même à t qu’à t , donc .

= −∞ = +∞ 1v v= 2 = −∞= +∞ 1 2b b=

5) D’après le loi fondamentale de la dynamique, 2 2 sinyr

dvdv GMm GMmm u mdt dtr r= − ⇒ = − θ .

D’après la conservation du moment cinétique, 1 12 b vr =

θ ; d’où

1 1 1 1

sin siny ydv dvGM d GMdt b v dt d b v

θ θ θ= − ⇒ = −θ

6) Intégrons :

( ) ( ) [ ] ( )01 1 1 1 1 1

sin cos 1 cosy y yGM GM GM

v t v t dv db v b v b v

θ=π+φθ== +∞ − = −∞ = = − θ θ = θ = − + φ∫ ∫ .


Or ( ) ( )1 1 221 1 1 1

2 sin cos sin2 2sin sin 1 cos tan2 1 cos2 cos

2

yGM GMv t v vb v b v

φ φφ φ= +∞ = − φ ⇒ φ = + φ ⇒ = = =φ + φ

7) Conservation de l’énergie entre l’infini et le périastre : 2 21 11 02 2

0

GMmmv mv

r= − . b1 v0 v1

O Conservation du moment cinétique entre ces points : . 0 0 1 1mr v mb v=

Simplifions par m et éliminons : 0v2 21 12

1 200

2b v GMvrr

= − ou

22 2 2 2

1b v 21 0 0 1 0 12 2

1 12 0 GM GMv r GMr r b

v v⎛ ⎞⎟⎜+ − = ⇒ = − + + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

8) a) L’astre n’est pas immobile parce qu’il est attiré par le mobile. b) La théorie précédente est correcte si m M . c) Il n’y a pas de collision si 0r R> ρ +9) Le référentiel marsocentrique est approximativement galiléen, car il n’a guère le temps de changer de vitesse

pendant que le mobile passe près de Mars, soit un parcours de quelques rayons de Mars, alors que Mars change de vitesse sur un parcours d’une fraction du rayon de son orbite autour du Soleil. Mars change la direction de la vitesse, mais non son module, la faisant passer de 1v à 2v .

Si Mv est la vitesse de Mars, dans le référentiel héliocentrique, la vitesse du mobile passe de 1 Mv v+ à 2 Mv v+ tandis que l’énergie potentielle n’a pas le temps de varier. L’énergie acquise est donc

( ) ( ) ( )2 212 1 2 12 M Mm v v v v m v v v⎡ ⎤+ − + = − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ M

1v

2v

Mv

Exemple de freinage

2v

1v

Mv

Exemple d’accélération

V. 1) (G) peut être considéré comme approximativement galiléen au voisinage de la Terre

en négligeant les forces de marée dues au Soleil et à la Lune.

TS

V

2) La loi fondamentale de la dynamique appliquée à la Terre donne 2

2S T T

TTT

GM M vMrr

= , d'où

11 301

116,67259 10 2 10 29800m.s

1,5 10S

TT

GMvr

−−× × ×= = =

×

De même pour Vénus, 11 30

111

6,67259 10 2 10 35100m.s1, 082 10

SV

V

GMvr

−−× × ×= = =

×

3.a) Voir figure.

( )

( )

( ) ( )( )

2 22 2 211 11

/2 1,5 1, 082 0,1621,5 1, 082/2

2 2 1,5 1, 08210 1,257 10 m2 1,5 1, 082

T VT

V T V

T V T V T V

T V T V

a r ra c r cea c r ac r r

b a c r r r r r rpa a r r r r

⎧ = ++ = ⎪⎧⎪ −⎪⎪ ⎪⇒ ⇒ = = =⎨ ⎨− =⎪ ⎪ += −⎪⎩ ⎪⎪⎩− + − − × ×= = = = = = ×

+ + +

L'équation de l'orbite de transfert est 111,2572 10

1 0,16189 cosr (en mètres). ×=

+ θ3.b) Enoncé de la troisième loi de Kepler : pour plusieurs satellites d'un même astre, le carré de la période est

proportionnel au cube du grand axe.

Appliquons cette loi à la Terre et à Vénus : 2 3 3/2 3/21, 082

061264an1,5

V V VV T

T T T

T r rT T

T r r⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ . ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜= ⇒ = = =⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


3.c) Appliquons la troisième loi de Kepler à la Terre et à l'orbite de transfert. et sont égaux à la demi période de

cette ellipse de Hohmann :

1t 3t2 3 3/2 3/2

11 3

2 1 1,0, 40an

2 2 2 2 2 1,5V T T V T

T T T

t r r T r rt t

T r r082 1,5⎛ + ⎞ ⎛ + ⎞ +⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜= ⇒ = = = =⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ×

⎛ ⎞⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠ .

4.a) 2V

V

tTπθ = et 2

TT

tTπθ = .

T(t6+t3)

V(t6)

V(t5+t1) T(t5)

4.b) ( ) ( )5 1 5

15

mod2

1 1 1 mod 1 0,15253mod 1 0,847 mod 12

V T

V T V

t t t

ttT T T

θ + = θ + π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜− = − = − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La première date de tir est 50, 847

1, 34 an1 10,613 1

t . = =−

Deux fenêtres de tir vers Vénus sont séparées par 41

1,584 an1 10,613 1

t . = =−

4.c) ( ) ( )6 3 6

36

6

6 5 1 6

mod 2

1 1 1 mod 1 0, 4 0,5 mod 1 0,9 mod 12

0,9 mod 11,4256 mod 1,5841 1

0,613 13, 010an

T V

V T T

t t t

ttT T T

t

t t t t

θ + = θ + π π

⎛ ⎞⎟⎜ − = − = − =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= =−

> + ⇒ =

La durée en orbite autour de Vénus est t t . 6 5 1 3, 010 1,34 0,4 1,27 ant− − = − − =t+ − = + − =La durée totale de l’aller et retour est t t . 6 3 5 3, 010 0, 4 1, 34 2,07 ans

5.a) La trajectoire doit être une branche d'hyperbole ou une parabole, donc l'énergie 212

TGM mE mvr

= − est

positive ou nulle ; calculons cette énergie au lancement : 11 24

2 10 0 6

1 2 2 6,67 10 6 100 11200m.s2 6, 37 10

T TLT

T T

GM m GMmv v vR R

−−× × × ×− ≥ ⇔ ≥ = = =

×.

5.b) L’énergie a même valeur au lancement et à l’infini : 2 20 0

1 12 2

TLT

T

GM mmv mv v v v

R ∞ ∞− = ⇒ = −2 2 .

6.a) Soit E l'énergie, le moment cinétique, r la distance à l’astre et v la vitesse à une extrémité du grand axe et et les grandeurs correspondantes à l'autre extrémité. Vu la conservation de l’énergie et du moment cinétique :

L 1 1

2r 2v

( )

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1

2 2 2 2 2 21

2

2 2 1 1 2 2 1 21 2

2 12 2

1 21 2

1 1 2 22 2

2

GMm GMm GMm GMmE m mv v E v Er r m r m r

GMm GMmL mr mr v r v r v r E r Er r

GMm r GMm GMmEr r a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= = − ⇒ = + = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⇒ = + = +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= = − = −+

1

v

v

rr r

−

= =

−

6.b) 21 1

1 1

1 2 12 2

GMm GMmv v GMr a r a

⎛ ⎞⎟⎜= − = − ⇒ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠E m ; de même 22

2 1Mr a

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠v G .

6.c) 11 30 11 1

11 1 1 12 2 6,67 10 2 10 10 27300m.s

1,5 1,5 1, 082ST T V

v GMr r r

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − = × × × × × − × =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ +− .

6.d) 11 30 11 1

21 1 1 12 2 6,67 10 2 10 10 37850m.s

1,082 1,5 1, 082SV T V

v GMr r r

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − = × × × × × − × =⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ +−

v −′ = − = − = −

6.e) Ces résultats sont valables dans le référentiel héliocentrique. 7.a) v v . 1

1 1 27300 29800 2500m.sT7.b) Le signe – signifie qu'il faut tirer dans le direction contraire au mouvement de la Terre autour du Soleil. 8) 2 2 2 2

0 1 2500 11200 11500m.sLT1v −′= + = + =v v .

DS : mouvements dans un champ newtonien suivant une conique, page 15 9) La sonde décrit une branche d'hyperbole.

10) Selon l'importance de la diminution de vitesse, la sonde s'écarte du périvénus selon une demi branche d'hyperbole, une demi parabole ou une ellipse. Le cas favorable est celui de l'ellipse. Cette ellipse est tangente en son périvénus, situé au point où s'est produit le freinage précédent, à la branche d'hyperbole selon laquelle la sonde est arrivée.

11) A chaque passage au périvénus, la sonde est freinée ; l'ellipse qu'elle décrit voit donc son énergie diminuer, donc elle garde même périvénus et même direction de son grand axe, l'altitude de l'apovénus diminuant à chaque orbite.

Il faut allumer les moteurs fusée à un apovénus, en dirigeant le jet vers l'arrière de façon à augmenter la vitesse. Cette manœuvre permet d'accroître l'altitude du périvénus, sans changer celle de l'apovénus, donc de mettre fin au freinage par l'atmosphère. Faute de cette manœuvre, la sonde finirait par s'écraser sur Vénus.

12) Il faut accélérer avant que la vitesse de la sonde autour de Vénus ait la direction et le sens de la vitesse de Vénus autour du Soleil, de sorte que le véhicule décrive dans le référentiel vénusocentrique une demi branche d’hyperbole dont l’asymptote soit parallèle à la vitesse de Vénus dans le référentiel héliocentrique. La sonde étant en orbite autour de Vénus, elle peut profiter de la vitesse déjà acquise pour réduire la variation de vitesse au lancement.

vV

Dans la réalité, les orbites Vénus et de la Terre sont faiblement elliptiques et non circulaires ; en outre, elles ne sont pas exactement dans le même plan. Les fenêtres, de tir que nous avons calculées ne sont pas absolument équivalentes.

VI. L’atome, d’après centrale MP 2005. B.

1) Comme cette boule est invariante par rotation autour de toute droite passant par O, son champ électrique est radial et en coordonnées sphériques de la forme ( ) rE E r u= .

2) Appliquons le théorème de Gauss à une sphère de centre O et de rayon r : ( )2

04

Q rE dS r E⋅ = π =

ε∫∫ où

est la charge dans cette sphère. Si r a , ( )Q r > ( )2

04QQ Er

= ⇒ =πε

Q r , fonction décroissante de r ; si , r a<

( ) ( )333

0

43 4

rQ r r Q Ea a

= π ρ = ⇒ =πεQr fonction croissante de r .

3) Le caractère croissant puis décroissant de montre queE est maximum en r a : ( )E r = max 204QEa

=πε

.

C. 1)

2

2

2

2

a a

b b

d OAm Fdtd OBm Fdt

=

=

Comme S est isolé et R galiléen, 0a bF F+ = , donc 2 2

2 2 0a bd OA d OBm mdt dt

+ = . Or a b

a b

m OA m OBOC

m m+=+

.

Donc 2

2 0d OCdt

= : le mouvement de C est un mouvement rectiligne uniforme.

2) Divisons par la première équation de la réponse à la question 1, par la seconde équation et retranchons-les

membre à membre :

am bm2

21 1

ba b

d r Fm mdt

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ où ( )brF F rr

= . Le mouvement relatif est le même que celui du mobile

fictif et 1 1 1a bm m

= +µ

.

3) Si , ; le centre de masse est voisin de B. b am m amµ4) D’après le théorème de l’énergie cinétique,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 2c a a b a a b b b b a bbdE d m v d m v F dr F dr F dr dr F dr d v= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ − = ⋅ = µ r .

Autre justification : si rdrvdt

= , ( ) ( )212c a b

212 rm v C v= + + µE m . Comme le premier terme est constant, la

variation de l’énergie cinétique est celle de l’énergie cinétique du mouvement fictif.

D.

1) 2

304e rF eE kra

= − = − = −πε

.


2) La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en O est égale au moment de la force, qui est nul (force centrale). Le moment cinétique L OM mv= ∧ est donc constant ; or L est perpendiculaire à OM ; donc M est dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à L . O

z

x

3) Si /k mω = , les équations du mouvement sont . Avec les conditions initiales spécifiées, 2 2 20 0x x y y z z+ ω = + ω = + ω = 0

00 cos 0 sinvx r t y z t= ω = = ω

ω.

4) Voir ci-contre.

5) ( )

19 915

33 31 100

1 1,6 10 9 102,53 10 Hz

2 22 4 9,1 10 10

k ef

m ma

−

− −

⋅ ⋅= = = = ⋅π ππ πε ⋅ ×

; 119nmcf

λ = =

(ultraviolet).

E. 1) La force exercée par l’atome d’or est probablement inférieure à celle F 2eE= exercée par sa charge positive,

puisqu’elle est compensée par l’action des électrons ; E est le champ électrique d’une boule de charge Ze et de rayon , calculé dans la partie B : a

( )( )

219 926

max 2 2100

2 79 1,6 10 9 102 3,64 10 N4 10

ZeFa

−−

−

× × ⋅ × ⋅= = = ⋅

πε.

2) Pendant dt , une force dvF mdt

= perpendiculaire à la vitesse v fait tourner cette vitesse d’un angle

( )6 10

max 4max2 2 227 7

2 3,64 10 2 10 4,3 10 rad4 1,67 10 1,6 10

dv Fdtv m

Fds F adv mv mv

− −−

−

⋅ × ⋅φ = = = ⇒ φ = = = ⋅× ⋅ × ⋅

3) Si on ajoute N nombres (ou vecteurs) de module de l’ordre de a et de signe (ou de direction) régi par le hasard, la somme est de l’ordre de Na .

Démonstration : 21 1 1 1

N N N N Ni i j 1 ii i j i j

x x x x x= = = = =

= = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ≠jx x . Or si i j , 0i jx x =

et si i j , = 2i j ix x x a= = 2 . D’où 2 2x Na= x et de l’ordre de Na .

4) D’après le modèle de Thomson, la déviation des particules α devrait être inférieure à 4400 4,3 10 8,6 10 rad− −× ⋅ = ⋅ 3

am

; l’existence de particules rétrodiffusées exige une force beaucoup plus grande.

F. 1) Le noyau d’or est approximativement fixe, car m (question B.3). On ne peut plus invoquer l’action des

autres atomes, car la force exercée par la particule α est plus grande que dans le cas précédent. b

L’action des électrons est négligeable parce que ces électrons sont à des distances de l’ordre de la taille de l’atome, alors que le noyau est beaucoup plus proche.

2) D’après la loi de Coulomb, 2

20

24ZeFr

=πε

u , qui dérive de l’énergie potentielle W r : ( )

2 2

20 00

2 24 44

Ze Ze ZedW F dr dr W Krr

= − ⋅ = − ⇒ = =πε πεπε

22 .

3) Selon le théorème du moment cinétique, dldt

est égal au moment de la force ; ce moment est nul parce que la force

est centrale. Donc l est un vecteur fixe. Le mouvement a lieu dans le plan fixe perpendiculaire à l et passant par B.

2 2a

l dSdt

rm= θ = , où dS est l’aire balayée par le rayon vecteur pendant dt .

4) La trajectoire est une branche d’hyperbole représentée ci-contre dont B est le foyer le

plus éloigné. En effet, c’est une conique, l’énergie 20

12 am v est positive et la force est

répulsive.


5) 22 0r r

a r a z a a ad dp du K d dul m K u m r u m K m K u m K udt dt dt dt dr θ θ

θ= ∧ + = ∧ θ + = − θ + θ =θ

L

6.a) Les deux vecteurs dont L est la somme sont tous deux dirigé selon l’axe de la trajectoire, donc L est parallèle à cet axe.

6.b) 2 20 0 0 .a x a z a x a y a xm v u m v bu m Ku m v u m Ku= − ∧ + = +L

6.c) Le vecteur L , porté par l’axe de la trajectoire, est dirigé selon la bissectrice de l’angle entre les asymptotes. Comme l’angle entre les asymptotes

est , π − φ L fait avec l’axe des x l’angle 2

π − φ et avec l’axe des y l’angle

. En évaluant les deux termes dont la somme donne /2φ L lorsque la particule

est à l’infini vers la droite, on en déduit : α 20 0

tan2

a

y a a

m K Km v l m v b

φ = = =xLL

.

φ

y

xB

L

7.a) Ces particules traverse une couronne comprise entre les cercles de rayons b et b , de surface , donc

leur débit est

db+ 2 bdbπ

2dN bdbJdt= π .

7.b) Le raisonnement qui suit donne une section efficace négative, bien qu’en réalité elle soit positive. Cela est dû à ce que l’énoncé ne tient pas compte, en définissant db et d , de ce que la fonction b est décroissante.

φ ( )φ

( )( )

( )( ) ( )

2

2 2

2 4

/ 22 sin sin

cotan /22 sin /2

cotan /22 sin /2 sin 4 sin /2

dN dtd J bdb bdd Jd J d d

db

b

d

dd

σ π= = =Ω Ω π φ φ φ φ

β= β φ = −φ φ

β φσ β= − = −Ω φ φ φ

b

7.c) La loi expérimentale est en accord avec le modèle de Rutherford, alors qu’elle est contraire au modèle de Thomson.

7.d) D’après la conservation de l’énergie, 20 2

0

12 2 a

a

K KE m . v aa m v

= = ⇒ = = β

On a montré que ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2cotan /2 1 cotan /2

sin /2ab a c a b a c= φ ⇒ = + = + φ =φ

( )11

sin /2mr a c⎛ ⎟⎜= + = β + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ φ

⎞⎠

. Pour une déviation importante, r est de l’ordre de m

( )219 9214

2 6 190 0

2 79 1,6 10 9 102 2,15 10 m4 5,3 10 1,6 10a

Zem v

−−

−× × ⋅ × ⋅

β = = = ⋅πε ⋅ × ⋅

.

7.e) Soit ( )

14 140

12,15 10 1 4, 37 10 msin 150/2mr . La loi de force n’est valable que si r . − −⎛ ⎞⎟⎜= ⋅ + = ⋅⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

r>

− −

0m

7.f) Le rayon du noyau de l’atome est de l’ordre de 10 ou 10 mètres. Dans le cas de l’or, il est plus grand, car est élevé. Le résultat précédent est donc en accord avec ce rayon. Pour les distances plus petites, il faut tenir compte

de l’interaction forte.

14 15

Z

G.

1) La loi fondamentale de la dynamique donne 2 2

200 44 e ee

e v 2ea m vR m RR

= = = ⇒ =πεπε

F m .

2) 2 2 2 2 2

22

0 0 0 00

1 14 2 4 2 4 4 84p p e e

e

e dr e e e e e2

0F dr E E m v m

r R m R R Rr= − ⋅ = = − = − = − = −

πε πε πε πε πεπεdE .

3) 2

2 2 2 2

04e

em Re YL m si R v

E= = = −

πε

4

2 2032

em eY qui donne la relation proposée. =π ε

4) ( ) ( )( )

2 2 2

4 231 19 947 1

3 2 3 334 80

1 1 1

9,1 10 1,6 10 9 101, 09 10 m

64 4 6,63 10 /2 3 10

p nnp np

eH

hc YE Ehc n p

m eRc

− −−

−

⎛ ⎞⎟⎜− = = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜λ λ ⎝ ⎠

⋅ × ⋅ × ⋅= = = ⋅

π ε π× ⋅ π × ⋅

.


5) Il faut remplacer par eme p

e p

m mm m

µ =+

, d’où

314

31 279,1 10 5,44 10

9,1 10 1,67 10p H e

He p e p

m R R mR Rm m R m m

−∞ −

∞ − −∞

− ⋅= ⇒ = − = − = − ⋅+ + ⋅ + ⋅

.

H. 1) s’exprime en . .J s

2) La période propre est 72 6 10T LC −= π = ⋅ s et l’énergie de la bobine 2 11 5 10 J2

E Li −= = ⋅ 1

⋅6 s

⋅

)

, donc

, donc ce circuit n’est pas un objet quantique. 173 10 J sET −= ⋅3) La période de la radiation de est , d’où

qui est de l’ordre de h et montre que l’atome d’hydrogène est un objet quantique.

100nmλ = 7 8 1/ 10 /3 10 3 10T c − −= λ = ⋅ = ⋅18 16 342 10 3 10 6 10 J siWT − − −= ⋅ × ⋅ = ⋅

4) La réponse attendue par l’énonce est qu’on peut représenter l’état de l’électron par sa fonction d’onde ( ,r tψ , qui obéit à l’équation de Schrödinger.

Dans une version plus élaborée, il n’y a pas deux particules, le proton et l’électron, mais plutôt des champs de particules, avec possibilité de création et de destruction de particules : c’est le point de vue de l’électrodynamique quantique, dont les prévisions sur le spectre de l’atome d’hydrogène sont remarquablement vérifiées par l’expérience.

5) Un modèle est une représentation simplifiée d’un problème, qui en facilite le calcul. Il existe des modèles plus ou moins simples et plus ou moins fructueux. Il ne faut pas considérer le modèle de Bohr comme faux, mais comme plus ou moins commode et utile selon la question à laquelle on cherche à répondre. Ceux qui disent le modèle de Bohr est faux croient en général le modèle de la fonction d’onde juste, alors qu’il ne donne qu’imparfaitement le spectre de l’atome d’hydrogène.

Un modèle est faux, s’il implique une erreur comme 2 + 2 = 5 ; il ne l’est pas nécessairement s’il simplifie par trop la réalité.

VII. 1) Le référentiel géocentrique est constitué par le centre de la Terre et les directions d’étoiles fixe. On peut le

considérer comme galiléen au voisinage de la Terre, en ne tenant pas compte de l'action sur le mobile des astres autres que la Terre, ni des forces d’inertie dues au mouvement de translation de la Terre, c’est-à-dire en négligeant les forces de marée.

2) 2GMm

F ur

= −

3) Comme le rayon vecteur et la force sont parallèles, le théorème du moment cinétique donne 0OdL r Fdt= ∧ = et

OL reste constant au cours du temps. Or OL OP mv= ∧ implique que OP est perpendiculaire au moment cinétique,

donc se meut dans le plan fixe passant par O et perpendiculaire à P OL .

4) 2p pGMm GMm

dE F dr dr Err

= − ⋅ = ⇒ = −

5) 0 . Le cas peut signifier, soit une ellipse aplatie réduite à un segment joignant les deux foyers, soit une parabole.

1e≤ < 1e =

6) Le périgée correspond au minimum de , soit ( )r θ 1 10,1pre

θ = =+

. L’apogée correspond au maximum de ,

soit

( )r θ

2 2,1pre

θ = π =−

.

7) Au périgée et à l’apogée, qui sont les extrémités du grand axe, la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur. La conservation du moment cinétique entre ces deux points s’écrit : . 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2L r mv r mv r v r v= = ⇒ =

De même, la conservation de l’énergie s’écrit

21

12 21 2

1 2 22

2

2

1 12 2 2

GMmv Em rGMm GMmE mv mv

r r GMmv E

m r

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜ ⎟= +⎪ ⎜ ⎟⎜⎪ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎪⎪⎪= − = − ⇒ ⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ ⎟= +⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎪⎩

En portant ces expressions dans la conservation du moment cinétique, on obtient :


( ) ( )

2 21 2

1 2

2 21 2 2 1

2 2GMm GMmr E r Em r m r

r r E GMm r r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ = +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = −

soit en utilisant r r ( )(2 21 2 2 1 2 1)r r r r− = − − +

1 2 2GMm GMm

Er r a

= − = −+

.

8) La trajectoire est dans le plan OCD . Si C et D sont diamétralement opposés, le plan de tir est indéterminé. 9) Pour une ellipse, le tableau de variation de r , fonction paire de , est : ( )θ θ

θ −π 0 πr 2r2r 1r

Il y a deux arcs qui joignent C et D , l’un est à l’intérieur de la Terre, l’autre à l’extérieur de la Terre ; ce dernier convient.

Pour une branche d’hyperbole, le tableau de variation est : θ M−θ 0 Mθ r +∞ +∞ 1r

Il n’y a qu’un arc qui joint C à D ; il est à l’intérieur de la Terre, donc ne convient pas. Pour une parabole, il en va de même, avec . Mθ = π

Comme r r , ; le grand axe de l’ellipse est la bissectrice de C D= DCθ = −θ COD .

10) 21 20 02 C C L

GMm GME m . v v vR R

< − < < =

11) D’après la conservation de l’énergie, 2 21 12 2C D

GMm GMmmv mv v v

R R− = − ⇒ =D C

,Cmv Rmv v vθ θ θ θ= = ⇒ =

D

12) D’après la conservation du moment cinétique, L R . Comme et , il en résulte que δ .

, , ,C D D

,cos /C Cv vθγ = ,cos /Dv vθδ = = γUne autre démonstration consiste à remarquer que le grand axe de l’ellipse est un axe de symétrie de la Terre et de la

trajectoire et que les points C et D sont symétriques par rapport à cet axe, donc que les angles et , symétriques par rapport à cet axe, sont égaux.

γ δ

13) Comme 212 2C

GMm GMmE m , si v est fixé, 2 est fixé. v

R a= − = − C a

14) L’un des foyers de l’ellipse est O . Soit F l’autre. D’après la définition bifocale de l’ellipse, ; or si E est fixé, 2 l’est aussi ; F est à l’intersection de deux cercles de centres C et D et

de rayon . Ces deux cercles se coupent en 2, 1 ou 0 points.

′2CF DF a R′ ′= = − a ′

2a R−15) F est sur la bissectrice de ′ COD ; 2 est minimum quand F est la projection de C sur cette

bissectrice, c’est-à-dire quand est au milieu de CD . Alors, l’énergie a CF R′= + ′

F ′21

2 2CGMm GMm

mvR a

− = − est minimum, donc v est minimum. C

O F ′

C

D

/2α16)

( )

( )

2

2 2

sin 2 1 sin2 2

12 2

1 1 12 12 1 sin

1 1/ sin /2

C

C L

LC

CF R a R

GMm GMmE mv

R a

v GM vR av

v

α α⎛ ⎞⎟′ ⎜= = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

= − = −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜= − = −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜⎜ + α⎝ ⎠

=+ α

/2

π

/ 2Lv Cv

αO

17) Comme la normale à l’ellipse en C est la bissectrice de l’angle OCF ,

l’angle entre la verticale OC et la normale à l’ellipse vaut

′12 2 2

π α⎛ ⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝⎞⎠ . Si l’on

fait tourner de 90° cet angle, on obtient l’angle entre l’horizontale et vC (la

tangente à l’ellipse), soit ; d’où γ4

π−αγ = .


18) Comme α est petit, ; /4γ π 1/ 2 / 1 2 / 100m.sT C T Tx R v gR R x gxα −+ = .

Si on raisonne dans le référentiel terrestre, on aboutit à la même conclusion : 02

0

2 20 0

0

10

1 2sin 02

2 sin cos sin2cos

/ 4 1000 10 100m.s

vz gt v t tg

v vx v tg g

v xg

γγ

γ γ γγ

γ π −

= − + = ⇒ =

= = =

= = = × =

sin

19) . Le tir optimum est horizontal (c’est un cas limite plutôt qu’une solution réaliste) ; la vitesse

de lancement est la vitesse de satellisation

0α π γ= ⇒ =6 16, 4.10 10 m.s 8 km.sCv Rg − −= = × = 1 .


Problemes sur les mouvements dans un champ newtonien

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