Ch.6 : LE REGIME SINUSOIDALE. -...

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Ch.6 : LE REGIME SINUSOIDALE.

I – Définitions.

1) Les valeurs instantanées.Les valeurs instantanées d'une tension et d'un courant sont des fonctions sinusoïdales du temps :

u = U sin ω tθu et i =I sin ω tθ i

où: Û et Î sont les valeurs maximales de u et i (s'expriment en Volt et en Ampère) ω est la pulsation (s'exprime en radians par secondes rad.s1) θu ou θi sont les phases à l'origine (s'exprime en radians) t est la variable temps. (s'exprime en seconde)

2) Représentation graphique.

3) Pulsation, fréquence et période.

ω = 2 π f et f =1T

soit ω =2 πT

La fréquence f s'exprime en Hertz Hz et la période T en seconde.

Exercice d'application :

Représenter ces trois tensions sur trois repères en concordance de temps…

u1 = 5 sin (314 t)u2 = 5 sin (628 t)u3 = 5 sin (314 t + /2)π

Paramètres constants pour une grandeur sinusoïdale donnée

Période :T

t1

t2 t

u(t)

Û

Û

u

u1 u 1

u2 u 2

2 1

ˆu=Usinωt+θ

sin(0) sin( ) sin(2 ) 0

θωt +θ =0 t =-

ω2 -θ

ωt +θ =2 t =ω

2t -t = =T

ω

t

5

5

u1(t)

20 ms

5 ms 10 ms

t

u(t)

5

5

u3(t)

20 ms

5 ms 10 ms

t

u(t)

5

5

u2(t)

20 ms

5 ms 10 ms

Calibres

voie 1 :

1 V / div

voie 2 :

0,5 V / div

Base de temps :

1 ms / div

Voie 1Voie 2


II Valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale.

Def:L'intensité efficace I du courant sinusoïdal i est égale à l'intensité d'un courant continu qui apporterait la même puissance P, à la même résistance R.

La valeur efficace I du courant sinusoïdal i=I sin ω tθ i est I=I

2.

DEMONSTRATION:

I=I

2⇒ I=I 2 et on écrit alors : i= I 2 sin ω tθi

La valeur efficace U de la tension sinusoïdale u= U sin ω tθu est U=U

2 et on écrit :

...aux notations !"i" ou "u" minuscules pour les valeurs instantanées"I" ou "U" majuscules pour les valeurs efficaces"Î" ou "Û" pour les valeurs maximales.

Rappel: La valeur moyenne d'une grandeur sinusoïdale alternative est toujours nulle.

III Différence de phase entre deux grandeurs sinusoïdales et décalage horaire.

La différence de phase est établie entre deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation.

Définition:La différence de phase entre u et i (respectivement tension aux bornes d'un dipôle et intensité du courant qui le traverse) est = u i .

On peut alors écrire : u= U 2 sin ω t

i= I 2 sin ω t−φ

Exercice d'application :Valeurs efficaces ?fréquence ?période ?déphasage ?

Le décalage horaire … est le décalage dans le temps entre les deux grandeurs déphasées d’un angle φ. τ ↔ φ

T 2↔ π

Exercice d'application :Quel est le déphasage entre u1 (voie 1)et u2 (voie 2)

Réponse := 98,2°φ est négatif car uφ 1 est en retard par rapport à u2

u = 11,3 sin 314tπ6

i = 0,7 sin 314t−π3

u=U 2sin ω tθu

⇒ τ =ϕ

2πT

i t = I sin ω t et I = ⟨[ i t ] ² ⟩

[i t ]2 = I 2[sinω t ]2 = I 2[

1−cos ω t 2 ]=

I 2

2−

I 2cos 2ω t 2

⟨[ i t ] ² ⟩ = ⟨I 2

2−

I 2 cos 2ω t 2 ⟩= ⟨

I 2

2 ⟩− ⟨I 2 cos 2ω t

2 ⟩=I 2

2− 0

enfin I = ⟨[ i t ] ² ⟩ = I 2

2=

I

2

Valeurs efficaces : U = 8 V et I = 0,5 AFréquence : f = 50 Hz ; Période : T = 20 msDéphasage : = φ θu θi = /2π

xO

θU

U

Calibres

voie 1 :

2 V / div

voie 2 :

2 V / div

Base de temps :

1 ms / div

u sur la voie 1

uR sur la voie 2

uC obtenu en

inversant lavoie 2 et en appuyant sur la touche ADD

voie 1

voie 2 R

CG.B.F.~*

COM

uC

uR

u


IV – Représentation de Fresnel.

→Correction du devoir maison (somme de deux grandeurs sinusoïdales)

La méthode de Fresnel consiste à utiliser une nouvelle représentation des grandeurs sinusoïdales, plus simple, permettant l'étude des circuits électriques avec les même lois qu'en régime continu.

1. Intérêt d'une nouvelle représentation.

Expérience : R=1k , C=1µF et u est réglé de façon à ce que f = 100 Hz et Û = 5 V.Ω

Exercice d'application :Valeurs efficaces ?Phases à l'origine ?fréquence ?période ? des trois tensions uR, uC et u.Observations ? En particulier, comparer UR + UC et U : conclusion ?

UR + UC = 4,84 V ≠ U = 3,51 V Il est impossible d'utiliser la loi d'additivité des tensions avec les valeurs efficaces, car il faut tenir compte du déphasage entre les tensions.

→ Observation de la somme de deux grandeurs sinusoïdales dans différents cas à l'aide d'un tableur...(En particulier : cas des tensions en phase et en opposition de phase...)

On constate que la somme de deux grandeurs sinusoïdales dépend de leur amplitude, mais aussi de leur déphasage...

La méthode de Fresnel permet de faire la somme de grandeurs sinusoïdales.

2. Vecteurs de Fresnel.

A chaque grandeur sinusoïdale on associe un vecteur de Fresnel dont la longueur représente la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale et dont l'orientation dépend de la phase à l'origine de la grandeur.

u=U 2sin ω tθu

Exemple:

est la différence de phase entre uφ 1 et u2 : φ = θu1 θu2 . est encore appelé déphasage de uφ 2 par rapport à u1.

→ Observation des vecteurs dans différents cas à l'aide d'un tableur...

Oϕ = π/6

x

U

U1

U2

u1=32 sin ω t

u2=22 sin ω t−π6

Première grandeurAmplitude 2,65 VoltValeur efficace 1,87 VoltPhase à l'origine 0 degrésFréquence 100 Hertz

Deuxième grandeurAmplitude 4,2 VoltValeur efficace 2,97 VoltPhase à l'origine 90 degrésFréquence 100 Hertz

On en déduit :x y

Vecteur 1 1,87 0Vecteur 2 0 2,97Vecteur somme 1,87 2,97

Somme des deux grandeursAmplitude 4,97 VoltValeur efficace 3,51 VoltPhase à l'origine 57,75 degrésFréquence 100 Hertz

30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

temps en millisecondes

ten

sio

n e

n v

olt

1 0 1 2 3 45

4

3

2

1

0

1

2

3

4


Exercices d'application :

Représenter les vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs cidessous (l'intensité des courants est en mA et les tensions en V).

i1=3 2sin ω t

i 2=2 2sin ω t − π

i3=52sin ω t π2

V – Les lois en régime sinusoïdal.

→ Observation des vecteurs et de leur somme accompagnés des courbes dans différents cas à l'aide d'un tableur... La loi des nœuds et la loi des mailles s'appliquent en régime sinusoïdal sur les valeurs instantanées (mais ça n'est pas très utile...) et sur les vecteurs.

Loi des nœuds : ( à chaque instant : i1 + i4 = i2 + i3 ) et

ELLE NE PEUT PAS S'APPLIQUER SUR LES VALEURS EFFICACES !

Loi d'additivité des tensions :

(à chaque instant : u1 + u2 + u3 = u) et surtout

Exercice d'applicationReprendre l'exemple étudié expérimentalement et représenter les vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs uR et uC. Vérifier la loi d'additivité des tensions : UR

UC=U

i4

i2

i1

i3

u1

u2

u3

u

u(t) = 9 × sin ( 628,32 1/ 3 ) × )π Vecteur de Fresnel associé :

Caractéristiques de la tension

Amplitude : 9 VValeur efficace : 6,36 V

Phase à l'origine : 60 degoù : ( 1/ 3 ) radπ

Fréquence : 100 Hz

Vecteur de Fresnel associé

Module : U 6,36 VArgument : uθ 60 degabscisse : x = U cos ( u)θ 3,18 Vordonnée : y = U sin ( u)θ 5,51 V

×t + (

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10109876543210123456789

10

temps en millisecondes

tens

ion

en v

olt

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

I 2

I 1

I 3

I 1I 4=

I 2I3

U1U2

U3=U

u1=8 2sin ω t π

u2=52 sinω t −π4

u3=102 sin ω t π6

1 mA

U1

U3

U 2

2 V

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