CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL 1 - NOTATION COMPLEXE : rappels mathématiques 1.1 Définitions

On associe au point M du plan un nombre complexe z :

( )ℑ;ℜ

• M est l'image du nombre complexe d'affixe z • l'abscisse a représente sa partie réelle • l'ordonnée b représente sa partie imaginaire. • ρ est le module de z et θ son argument

1.2 Expressions du nombre complexe

• forme algébrique (ou rectangulaire) : z = a + j b • forme trigonométrique (ou polaire) : z = [ρ ; θ]

N.B. on utilisera également l'écriture exponentielle : z = θρ je

( )θ+θρ=+= sincos jbjaz

222 ba +=ρab

=θtan

1.3 Opérations sur les nombres complexes Soit deux nombres complexes [ ]11111 ; θρ=+= bjaz et [ ]22222 ;θρ=+= bjaz

• somme : ( ) ( )212121 bbjaazz +++=+ • produit : [ ]212121 ; θ+θρ×ρ=× zz

• quotient :

θ−θ

ρρ

= 212

1

2

1 ;zz

1.4 Nombres complexes remarquables

• Deux nombres complexes conjugués ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées : soit z = a + j b ; son conjugué est z* = a - j b

• j est un nombre complexe dont la partie réelle est nulle et la partie imaginaire égale à 1

j = [1, +π/2] j2 = -1 jj

−=1

M

0

b

a

ℑ

ℜθ

ρ

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2 - NOMBRE COMPLEXE ASSOCIE A UNE GRANDEUR SINUSOIDALE Considérons un signal électrique sinusoïdal représenté par la tension u(t) ou le courant d'intensité i(t).

Posons: ( )ϕ+ω= tu sin2U U représente la valeur efficace de la tension , ω sa pulsation et ϕ sa phase initiale; 2.2 Représentation vectorielle (rappels 1ère) Afin de faciliter les calculs sur les fonctions sinusoïdales on associe à toute grandeur sinusoïdale un vecteur de Fresnel de module proportionnel à la valeur efficace (ou à la valeur maximale), tournant avec une vitesse angulaire constante de valeur ω.

M

0

b

ϕ

origine des phases

U

ω+t = 0

2.3 Représentation complexe Par analogie, si l'on repère le point M dans le plan complexe ( )ℑℜ; , il est possible d'associer à la grandeur sinusoïdale u(t) un nombre complexe noté U tel que : U = [U ; ϕ].

Le module représente donc la valeur efficace et l'argument la phase initiale.

M

0

b

a

ℑ

ℜϕ

U

Exemples : tu ω= sin241 U1 = [4 ; 0]

π

−ω=2

sin222 tu U2 = [2 ; -2π ]

tu ω−= cos253 U3 = [5 ; π]

π

+ω−=3

cos244 tu U4 = [4 ; -3

2π ]

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3 - LOI DES NŒUDS - LOI DES MAILLES

Les lois établies en continu s'appliquent directement aux valeurs instantanées. Dans le cas des circuits linéaires, les propriétés des vecteurs et des nombres complexes permettent d'appliquer ces lois en régime sinusoïdal en utilisant soit la construction de Fresnel soit la représentation complexe :

i

i 2

i 1

i = i1 + i2

I = I1 + I2

u1 u2

u

u = u1 + u2

U = U1 + U2

Exercices

Ex1 - Calculer i = i1 + i2 avec

π

+ω=2

cos22001 ti et

π

+ω=6

7cos21002 ti

Réponses:

I1 = [200; +2π ] = 200 j ; I2 = [100 ; +

67π ] = j50350 −− ; I = j150350 +− = [173; +

32π ]

Ex2 - Calculer i = i1 + i2 + i3 avec

π

−ω=4

sin251 ti ,

π

+ω=2

sin262 ti et

( ti ω= sin223 ) en utilisant la notation complexe et la construction de Fresnel Réponse: I = [6,1; +0,42 rad]

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4 - DIPOLES PASSIFS LINEAIRES 4.1 Impédance et Admittance (rappels 1ère)

u

iD

Soit un dipôle D traversé par un courant d'intensité ( )iti θ+ω= sin2I sous la tension

( utu θ+ω= sin2U ) . On appelle ϕ = (θu - θi) la différence de phase entre la tension u(t) et l'intensité i(t) Définitions :

Impédance : IUZ = , elle s'exprime en ohms (Ω)

Admittance : UI

Z1Y == , elle s'exprime en siemens (S)

Exemples : l'impédance d'un conducteur de résistance R est ZR = R, celle d'un condensateur de

capacité C est Zc = ωC

1 et celle d'une inductance pure (bobine de résistance nulle) ZL = Lω.

4.2 Impédance complexe

Par définition : IUZ =

θ−θ=ϕ== iu;

IUZZ

• Module de Z : impédance Z (réelle) • Argument de Z : différence de phase entre u et i (ou déphasage de u par rapport à i)

Loi d'Ohm en régime sinusoïdal :

U = Z I ou I = Y U 2.3 Dipôles élémentaires (R, L, C) Pour la suite posons : ti ω= sin2I ( )ϕ+ω= tu sin2U

En régime variable, les lois du continu s'appliquent aux valeurs instantanées

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Conducteur de résistance R Loi d'Ohm u = Ri ( ) ( )tt ω=ϕ+ω sin2RIsin2U

En identifiant : RIUZR == et ϕ = 0

Conclusion : ZR = R = [R ; 0]

U = R I ou I = G U ϕ = 0

U

I

Inductance pure L (r = 0) Rappel

Bobine eiu −= r

Loi d'Ohm u

U

U

En identifiant : Z

Conclusion

L, ri

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I

dtdie L−=

= ri - e = dtdiL+

( ) ( )tt ωω=ϕ+ω cos2ILsin2

( )

π

+ωω=ϕ+ω2

sin2ILsin2 tt

ω== LIU

L et 2π

+=ϕ

: ZL = jLω = [Lω ; 2π

+ ]

U = Lω I

ϕ = 2π

+

u

r i e

U

+π /2

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Condensateur parfait de capacité C Rappel

Condensateur

C dq

Loi d'Ohm i

I

I

En identifiant : Z

Conclusion

Exercices Ex 1 - Un dipôlecomplexe I = [25 (

• calculer la Réponse : U = [75 Ex 2 - Une bobinetension sinusoïdale

• Calculer so• Calculer l'i

Réponse : Z = 314

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cu

qi

cC uq = et dt

i =

dt

dui cC=

dtduC=

( ) ( )ϕ+ωω=ω tt cos2UCsin2

( )

π

+ϕ+ωω=ω2

sin2UCsin2 tt

ω==

C1

IU

C et 2π

−=ϕ

: ZC = ω

=ω

−C1

C jj = [

ωC1 ;

2π

− ]

U = ωC

1 I

ϕ = 2π

− U

−π /2

I

d'impédance complexe Z = 3000 j est traversé par un courant de valeur mA); +π/6]. valeur complexe U de la tension aux bornes du dipôle.

(V); 2π/3]

d'inductance L = 1 H et de résistance négligeable (r = 0) est soumise à une de valeur efficace U = 220 V, de fréquence f = 50 Hz. n impédance complexe Z et son admittance complexe Y. ntensité complexe I avec la tension U = [U; 0] comme origine des phases

j ; 314 j ; Y = -3,18×10-3 j

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5 - ASSOCIATION DE DIPOLES PASSIFS 5.1 En série

u1 u2 u3

Z1 Z2 Z3i

U = U1 + U2 + U3 = (Z1 + Z2 + Z3) I

Z = Z1 + Z2 + Z3 5.1 En parallèle

1

2

u

3

Z1

Z2

Z3

i

i

i

i

I = I1 + I2 + I3 = (Y1 + Y2 + Y3) U

Y = Y1 + Y2 + Y3 ou 321 Z

1Z1

Z1

Z++

1=

Exercices Ex 1 - Exprimer l'impédance complexe équivalente ZE du dipôle suivant :

1

2

i

i

i L

R

R

C

• A quelle condition cette impédance complexe est-elle réelle ? • En déduire sa valeur lorsque cette condition est remplie.

Réponses : ZE =(ZC + ZR) // (ZR + ZL) ; ZE réelle si CLR = ; alors ZE = R.

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Ex 2 - Le circuit ci-dessous est alimenté sous la tension sinusoïdale tω= cos2220u , de fréquence f = 50 Hz.

1

2

u

i

i

i LR C2 2 2

R C1 1L1

On donne :

R1 = 50 Ω ; L1ω = 100 Ω ; ω1C

1 = 70 Ω

R2 = 30 Ω ; L2ω = 10 Ω ; ω2C

1 = 60 Ω

• Calculer les impédances complexes Z1 et Z2 des deux branches, puis l'impédance

complexe équivalente Z de l'ensemble. • Calculer les intensités complexes I1 et I2, puis l'intensité complexe I dans la branche

principale • En déduire les expressions des valeurs instantanées i1(t), i2(t) et i(t).

Réponses :

Z1 = 50 + 30 j ; Z2 = 30 -50 j ; Z = 40 -10 j I1 = [3,77 ; -0,54] ; I2 = [3,77 ; +1,03] ; I = [5,33 ; +0,245]

Ex 3 - Calculer l'impédance complexe équivalent ZMN du dipôle MN

Z C

Z L

M

N

Z C

Z o

• En déduire l'expression de l'impédance Zo telle que Zo = ZMN • Exprimer Zo en fonction de R, L et C • A quelle condition Zo = Ro est-elle réelle ?

Réponses : 2oZ = ZC (ZC + 2 ZL) ;

222o C

1-CL2Z

ω= ;

LC21

≥ω

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6 - THEOREME DE THEVENIN -THEOREME DE NORTON (rappels 1ère) Un dipôle actif et linéaire peut être remplacé par un modèle équivalent de Thévenin (modèle série) ou de Norton (modèle parallèle). Les modèles équivalents ont la même caractéristique externe u = f(i) que le dipôle

u

i

Dipôle

actif

M

N

En régime sinusoïdal, nous utiliserons la notation complexe 6.1 Modèle de Thévenin (M.E.T.)

U

I M

N

U o

Z o

• fem Uo égale à la tension à vide aux bornes du dipôle • impédance interne Zo égale à l'impédance vue des bornes du dipôle lorsque toutes

les sources sont éteintes. 6.2 Modèle de Norton (M.E.T.)

U

I M

N

I o Y o

• source de courant d'intensité Io égale à celle du courant de court-circuit du dipôle • admittance interne Yo égale à l'admittance vue des bornes du dipôle lorsque toutes

les sources sont éteintes.

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6.3 Caractéristique courant-tension Les deux modèles étant équivalents, on peut donc écrire l'équation de la caractéristique externe sous la forme u = f(i) avec le M.E.T ou sous la forme i = f(u) avec le M.E.N

• U = Uo - Zo I à partir du modèle de Thévenin • I = Io - Yo U à partir du modèle de Norton

On en déduit les relations : o

o Y1Z = et Uo = Zo Io

Exercices : tous les circuits fonctionnent en régime sinusoïdal Ex 1

U

I M

N

E

Z 1

Z 2 Z

E = [120 (V) ; 0] ; f = 50 Hz ; Z1 = jLω avec L = 12,8 mH ; Z2 = 1/jCω avec C = 50 µF ; Z = 5 + 4j

• Calculer les éléments Uo et Zo du MET du dipôle MN • En déduire la valeur du courant I dans Z.

Réponses : Zo = +4,29j ; Uo = 128 (V) ; I = 6,8 - 11,3j = [13,2 ; -1,03] Ex 2 - Mêmes questions avec le circuit suivant:

U

I M

N

E

R 1

R 3 Z

R 2 R 4

C

E = 50 V ; ω = 5000 rad.s-1 ; R1 = 200 Ω ; R2 = 210 Ω ; R3 = 50 Ω ; R4 = 50 Ω ; C = 2 µF Réponses : Zo = 250 (Ω); Uo = 10 (V) ; I = [31,6 (mA) ; 0,322]

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7 - CIRCUITS R.L.C. SERIE On alimente le circuit RLC série en régime sinusoïdal de fréquence f variable, sous tension u(t) de valeur efficace U constante.

u

i R CL

uR uL uc

7.1 Impédance

Cω

LωRZ jj −+=

−+=

Cω1LωRZ j = R + j X

Module : 222

2 XRCω1LωR +=

−+=Z

Argument : RX

RCω1Lω

tan =−

=ϕ

ZRcos =ϕ

N.B. : Cω1LωX −= est la réactance du circuit, elle s'exprime en ohms

7.2 Résonance d'intensité

La valeur complexe du courant s'exprime par la relation : XR

UZUI

j+== .

Sa valeur efficace I (module de I) est donc égale à : 22 XR

UZU

+==I

Le montage étant alimenté sous la tension efficace U constante, l'intensité efficace I varie donc avec la fréquence f. Elle passe par un maximum Io lorsque l'impédance Z est minimale, c'est -à-dire lorsque la réactance X est nulle, le circuit est alors en résonance.

Condition de résonance : 0Cω1LωX =−= ou LCω2 = 1

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7.3 Courbe de résonance

7.4 Propriétés du circuit à la résonance

• fréquence de résonance : LC2

1o

π=f

• impédance Zo = R

• intensité efficace RU

o =I

Le circuit est donc résistif, le courant i et la tension u sont en phase. Les tensions uL aux bornes de la bobine et uc aux bornes du condensateur sont en opposition de phase et leurs valeurs efficaces sont égales :

Lωo Io = oC

1ω

Io

UU co=Q est le coefficient de surtension aux bornes du condensateur à la résonance :

RL

RC1

CUI o

oo

o ω=

ω=

ω=Q

Par définition on appelle Q facteur de qualité du circuit RLC.

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7.5 Acuité de la résonance : bande passante

Par définition on appelle bande passante à-3 dB, la bande de fréquences telle que 2

II o≥ .

N.B. : oIIlog20=G ou gain (en dB) vaut G = -3 dB lorsque

2I

I o=

• Recherchons les fréquences f1 et f2 telles que 2

II o= (fréquences de coupure à -3 dB)

22 XR

UZUI

+== et

RUIo =

22o

XR

U2R

U2

II

+=== ⇒ X2 = R2

• On trouve donc deux solutions :

RCω

1LωX1

11 +=−= alors X1 > 0 ; le circuit est inductif : ϕ1 = +π/4 (f1 > fo)

RCω

1LωX2

22 −=−= alors X2 < 0 ; le circuit est capacitif : ϕ1 = -π/4 (f2 < fo)

X2 = R2 ou 22

RCω1Lω =

−

LCω2 - 1 = ± RCω ou LCω2 ± RCω- 1 = 0 (2 équations du second degré)

∆ = R2C2+4 LC > 0 (2×2 racines, seules les racines positives sont "physiquement" valables, la pulsation est un nombre positif)

• solutions : 2LC

∆RC2 11+

=π=ω f et 2LC

∆RC-2 22+

=π=ω f

• Largeur de la bande passante :

LR

21 =ω−ω=ω∆ ou L2

R21 π

=−=∆ fff

• Bande passante relative : Q1R

LR

oo×=

ω=

ωω∆

Qff 1

oo=

∆=

ωω∆

Le facteur de qualité Q caractérise donc l'acuité de la résonance.

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Exemple : influence de la résistance du circuit

Exercice : circuit résonant parallèle

u

R

C

L

i

• Exprimer l'admittance complexe Y du circuit RLC parallèle alimenté sous la tension sinusoïdale u de valeur efficace constante U.

• En déduire l'expression de l'intensité efficace I dans la branche principale. • Montrer que I passe par un minimum Io pour une valeur fo de la fréquence. • Que devient ce minimum lorsque R est infinie ?

Réponses :

BGLω1Cω

R1Y jj +=

−+= avec G (conductance) et B (susceptance) en siemens (S)

22 BGUI +=

Io = G.U lorsque B = 0 soit o

o Cω1Lω = ou 1ωCL 2

o =

R infinie, alors Io = 0 (circuit bouchon)

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EXERCICE : circuit RLC série

Un dipôle D est constitué par l'association en série d'une résistance R, d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C. Ce dipôle est alimenté par la tension sinusoïdale u de pulsation ω.

1. La fréquenc On visualise leoscillogrammes

En déduire : • Le déph• La valeu

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e de la tension u est fixe

L i

R u

C

u R

s tensions u et uR à l'oscilloscope. Pour une certaine fréquence f, on obtient les ci-dessous.

R

u

u

CH2

CH1

1 ms / div CH1 : 1 V / div CH2 : 2 V / div

asage de u par rapport à uR. r efficace U de la tension u.

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On mesure à cette fréquence les valeurs efficaces des tensions aux bornes des dipôles : UR = 3,08 V ; UL = 0,97 V ; Uc = 4,91 V

• Représenter les vecteurs de Fresnel associés aux tensions instantanées uR, uL et uc en prenant le courant i comme origine des phases (échelle : 2 cm pour 1 V).

• En déduire la valeur efficace de la tension d'alimentation u et la valeur du déphasage ϕ de la tension u par rapport à l'intensité i du courant.

Exprimer l'impédance complexe Z du dipôle D en fonction de R, L, C et ω.

• Exprimer son module et son argument. • Quel est le déphasage ϕ introduit par le dipôle entre u et i ?

A.N. : On donne R = 1 kΩ ; L = 0,5 H ; C = 1 µF et f = 100 Hz. 2. La fréquence de la tension u est variable On mesure, pour différentes fréquences de la tension u, la tension efficace UR et l'avance de phase ϕ de la tension u par rapport au courant i. Les résultats expérimentaux sont donnés en annexe.

• Relever la fréquence de résonance fo. • Déterminer la valeur efficace Io de l'intensité du courant à la résonance. • Déterminer les fréquences f1 et f2 pour lesquelles la tension UR est celle de la

résonance divisée par 2 . • Préciser la nature résistive, inductive ou capacitive du circuit en fonction de la valeur

de la fréquence. Réponses ϕu/i = -0,9 rad (u en retard par rapport à uR) ; Umax = 7 V et Ueff = 5 V V

Fresnel : U = 5 V ; ϕu/i = - 0,9 rad

ωω+=

C1-LRZ j ;

22

C1-LRZ

ωω+= ;

RC1-L

tan ωω

=ϕ et ZRcos =ϕ

Z = 1622 Ω ; X = -1277 Ω ; ϕu/i = -0,906 rad fo = 225 Hz (résistif) ; f1 = 115 Hz (capacitif) ; f2 = 430 Hz (inductif)

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ANNEXE

UR (V)

f (Hz)

ϕ (°)

f (Hz)

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