Question #1 - Polytechnique Montréal · 2019-11-11 · Question #1 –Solution (suite) Question #2...

La poutre suivante est soumise à des poids A, D et E. Elle est soutenue par une corde attachée en B et C et qui passe par une poulie sans friction.

mA mD mE

Question #1

A) Faites le DCL de la barre AE. (20 points)

B) Trouvez la tension dans la corde en fonction de mA, mD, mE, θ et g. (10 points)

C) Quel est le système force-couple équivalent en A en fonction des masses et de θ ? (10 points)

D) Les poids en A et E et la corde qui passe par B et C sont fixes. À quelle position doit se trouver D pour que la poutre reste horizontale ? (10 points)

Question #1 (suite)

A) Faites de DCL de la barre AE (20 points)

B) Trouvez la tension dans la corde en fonction de mA, mD, mE, θ et g. (10 points)

𝐹𝑦 = 0 𝑇 = 𝑔𝑚𝐴 +𝑚𝐷 +𝑚𝐸2𝑠𝑖𝑛𝜃

FAFD FE

T T

20 points de comprehension

10 points de calculs simples

Question #1 – Solution

C) Quel est le système force-couple équivalent en A ? (10 points)

D) À quelle position doit se trouver D pour que la grue reste horizontale ? (10 points)

𝑀𝐴 = 0

𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 = 𝑚𝐴𝑔 +𝑚𝐷𝑔 +𝑚𝐸𝑔 + 2𝑇 𝐹 = 𝑔(1 +1

𝑠𝑖𝑛𝜃)(𝑚𝐴 +𝑚𝐷 +𝑚𝐸)

𝑀𝐴 = 𝑙1𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑙2𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑥𝑚𝐷𝑔 − 𝑙3𝑚𝐸𝑔

=𝑙1 + 𝑙22𝑔(𝑚𝐴 +𝑚𝐷 +𝑚𝐸) − 𝑥𝑚𝐷𝑔 − 𝑙3𝑚𝐸𝑔

𝑀 =𝑙1 + 𝑙22𝑔 𝑚𝐴 +𝑚𝐷 +𝑚𝐸 − 𝑥𝑚𝐷𝑔 − 𝑙3𝑚𝐸𝑔 = 0

x =1

𝑚𝐷

𝑙1 + 𝑙22𝑚𝐴 +𝑚𝐷 +𝑚𝐸 − 𝑙3𝑚𝐸

10 points de résolution de problème


Question #1 – Solution (suite)

Question #2Le bras robotisé ci-dessous permet de maintenir la barre ABC horizontale à laquelle un poids de masse M estaccroché en C. Cet équilibre est réussi à l’aide de deux vérins hydrauliques parallèles (AF et GD) appliquant desforces parallèles à leur direction aux points A et D. La cheville (pivot) en B peut supporter une force maximalede 500 N. On néglige le poids des membrures et des vérins. Les dimensions sont données en mm.

Dimensions : FE=225, EG=300, GDx=180, h=600, FAx=450, AB=225, BC=1000

A) Faire le DCL de la barre ABC, de la barre BDE et du système ABCDE. (20 points)B) Calculer la distance verticale GDy et la distance horizontale BDx. (5 points)C) Calculer la force exercée par le vérin en A en fonction de la masse m. (10 points)D) Déterminer la valeur maximale de la masse m que l’on peut accrocher en C avant que la cheville en B ne

se brise. (10 points)E) Quel vérin exercera la plus grande force ? (5 points)

A B C

D

EF G

BCABFAx

h

FE EG GDx

MGDy

BDx

Question #2 – SolutionA) Faire le DCL de la barre ABC, de la barre BDE et du système ABCDE. (20 points)

20 points de compréhension/schématisation

x

y

A B C

D

E

RA

RD

Mg

Ex

Ey

B

EEx

Ey

RD

Bx

By

A B C

RA

Mg

Bx

By

Question #2 – SolutionB) Calculer la distance verticale entre G et D et la distance horizontale entre B et D. (5 points)

10 points de calculs simplesMM

AB

gBCR

RABBCMgM

A

AB

6.54sin

0sin

D) Déterminer la valeur maximale de la masse m que l’on peut accrocher en C avant que la cheville en B ne sebrise. (10 points)

A B C

RA

Mg

Bx

By

x

y

xx GD

GD

FEABFA

h

FA

h

tan

C) Calculer la force exercée par le vérin en A en fonction de la masse m. (10 points)

mmGDy 240

53

A

F E

θ


A B C

RA

Mg

Bx

By

MRBRBF AxAxx 9.32cos0cos

MRMgBRMgBF AyAyy 4.53sin0sin

10 points de résolution de problèmes

mmABFAGDEGFEBD xxx 30

kgM

MBBB yx

87.62/500

7.6222

Question #2 – SolutionE) Quel vérin exercera la plus grande force ? (5 points)

0)(sincos)(

)(sincos

xDyDx

xAAE

GDEGRGDRBCABFEFAMg

FEFARhRM

A B C

D

E

RA

RD

Mg

Ex

Ey

AD RMR 1.18


cossin)(

cossin)()(

yx

xAxD

GDGDEG

hFEFARBCABFEFAMgR

L’équipe canadienne de bobsleigh vient de terminer une course. Contents de leur résultat, l’équipe est partie boire une bière en oubliant de ranger le bobsleigh dans l’entrepôt.

Le stagiaire de la station hivernale doit alors ramener le bobsleigh depuis la fin de la piste jusqu’à l’entrepôt en poussant avec une force R sur la poignée latérale située vers l’avant et indiquée sur le schéma.

Le centre de masse du bobsleigh de poids P se trouve au point G. La chemin suivi est tel qu’indiqué sur la figure.

Poignée

G

Question #3

DonnéesMasse du bobsleigh : m = 300kgCoefficient de friction entre le sol enneigé et le bobsleigh : µ = 0,1Angles : α = 2°, β = 7°, γ = 9°

α

β

γ

Les angles du schéma sontexagérés pour une meilleurelecture

Question #3 (suite)

A) Faites le DCL du bobsleigh quand il se trouve sur le chemin à plat (entre A et B) (5 points)

B) Calculez en fonction de paramètres de l’énoncé la force que le stagiaire doit appliquer pour arriver à mettre en mouvement le bobsleigh sur la partie AB ? (10 points)

Le bobsleigh est très lourd et le stagiaire fait des pauses sur le chemin pour se relaxer les bras. On étudie comment le bobsleigh se comporte quand il se trouve sur la pente.

C) Faites le DCL du bobsleigh quand il se trouve à l’arrêt sur le chemin en pente (BC, CD ou DE), pendant que le stagiaire prend une pause sans le maintenir (5 points)

D) Sur quel(s) pente(s) le stagiaire peut-il prendre des pauses sans maintenir le bobsleigh et sans que celui-ci ne se mette à glisser ? (10 points)

E) Faites le DCL du bobsleigh quand il se trouve sur le chemin en pente et que le stagiaire se remet à le pousser pour le mettre en mouvement (5 points)

F) Déterminez en fonction de paramètres de l’énoncé la force que le stagiaire doit appliquer pour arriver à mettre en mouvement le bobsleigh sur la partie en pente. (10 points)

G) Le stagiaire ne peut pousser que 700N. À partir de quelle endroit de la pente devra t-il demander de l’aide ? (5 points)

Question #3 (suite)

x

yA)

C)

B) 𝐹𝑥 = 𝑅 − 𝐹1 − 𝐹2 = 0

𝐹𝑦 = 𝑁1 + 𝑁2 − 𝑃 = 0

𝑁1 + 𝑁2 = 𝑃𝑃 = 𝜇𝑠𝑚𝑔

F1 F2

N1N2

R

P





𝐹𝑥 = 𝐹1 + 𝐹2 −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

𝐹𝑦 = 𝑁1 +𝑁2 − 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

D’où, si 𝜇𝑠 > 𝑡𝑎𝑛𝛼 alors le bobsleigh glisse

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 0,03𝑡𝑎𝑛𝛽 = 0,12𝑡𝑎𝑛𝛾 = 0,16

Comme 𝜇𝑠=0,1, alors le stagiaire ne peut prendre de pauses que sur la partie BC

E)

D)




𝐹𝑥 = 𝑅 − 𝐹1 − 𝐹2 − 𝑃𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

𝐹𝑦 = 𝑁1 +𝑁2 − 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

𝑁1 +𝑁2 = 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼𝑅 = 𝑚𝑔(𝜇𝑠𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛼)

R (pour α)= 396NR (pour β)= 650NR (pour γ)= 751N

Il devra demander de l’aide pour la dernière pente, la pente DE.

F)

G)




Question #4Le 23 juin 2013, Nik Wallenda, un funambule américain, a réalisé l’exploit de traverser les gorges de la rivièreLittle Colorado (Grand Canyon) sur un fil long de 426 mètres sans filet ni harnais de sécurité, à 457 mètres dehauteur, le tout en 23 minutes. Pour l’aider à garder son équilibre, il est muni d’une longue perche à laquelledeux poids identiques sont attachés en leur centre. Le but de l’exercice est de calculer le moment d’inertie del’homme avec la perche munie de poids par rapport à l’axe du fil d’équilibre (axe z).

Les deux poids sont des parallélépipèdes rectangles (P1 et P2) tandis que la perche est un cylindre plein (C3).Pour faire simple, Nik est également assimilé à un parallélépipède rectangle (P4). Les dimensions sontreprésentées sur le schéma ci-dessous. La masse des fils rattachant les poids à la perche peuvent être négligés.

Poids : L1=20cm, h1=10cm, e1=5cm, 1=1000kg/m3

Perche : L3=10m, d3=8cm, 3=60kg/m3

Nik : L4=1.8m, h4=1m, e4=10cm, 4=470kg/m3

Autres : - distance entre le fil et le centre de la perche dfp=1.15m - longueur des fils rattachant les poids à la perche Lf=10cm

A) Calculer la masse totale de l’homme avec perche et poids. (5 points)B) Déterminer les coordonnées (x,y) du centre de masse de l’homme avec perche et poids. (10 points)C) Expliquer, en vos propres mots, comment calculer le moment d’inertie total du système au complet par

rapport à l’axe z. (5 points)D) Calculer le moment d’inertie de chacun des éléments par rapport à l’axe parallèle à z et passant par leur

centre de masse respectif. (10 points)E) Déterminer le moment d’inertie total de l’homme avec perche et poids par rapport à l’axe z. (10 points)F) Calculer le rayon de giration de l’homme avec perche et poids par rapport à l’axe z. (5 points)G) Quelle est l’utilité de la perche avec les poids ? Expliquer et justifier en vos propres mots. (5 points)

Question #4 (suite)

y

xz

e4

e1

h1

L1L4

h4

L3

d3P4

P1 P2

C3

dfp

Lf




kgehLm

kgLdm

kgehLmm

P

C

PP

85

34/

1

44444

3

2

323

111121

Partie m (kg) xG (m) yG (m) myG

P1 1 -5 0.91* 0.91

P2 1 5 0.91* 0.91

C3 3 0 0.90 2.7

P4 85 0 1.15 97.75

Total 90

my

mx

14.190

27.102

0

kgmtot 9085311

Le plan (y,z) est un plan de symétrie

A) Calculer la masse totale de l’homme avec perche et poids. (5 points)

B) Déterminer les coordonnées (x,y) du centre de masse de l’homme avec perche et poids. (10 points)

* = dfp - d3/2 - Lf - L1/2

Question #4 – Solution (suite)C) Expliquer en vos propres mots comment calculer le moment d’inertie total par rapport à l’axe z. (5 points)

Le moment d’inertie total d’une pièce est composé de deux termes : le moment d’inertie au centre de massede cette pièce et un terme relié à la distance entre l’axe de référence et l’axe de calcul (théorème des axesparallèles). Une fois le moment total de chaque pièce déterminé, il suffit de faire la somme pour avoir lemoment d’inertie de l’ensemble au complet.

D) Calculer le moment d’inertie de chacun des éléments par rapport à l’axe parallèle à z et passant par leur centrede masse respectif. (10 points)

Pour un cylindre horizontal : mr2/4+mL2/12Pour un parallélépipède : m(L2+h2)/12

5 points de compréhension


Partie ICM (kg.m2)

P1 mP1(0.22+0.12)/12 0.004

P2 mP1(0.22+0.12)/12 0.004

C3 mC3(0.042/4+102/12) 25.001

P4 mP1(0.22+0.12)/12 0.354

Total 25.363

Question #4 – Solution (suite)E) Déterminer le moment d’inertie total de l’homme avec perche et poids par rapport à l’axe z. (10 points)

PartieICM (déjà calculé)

md2 Total (kg.m2)

P1 0.004 mP1*(52+0.912) 25.828 25.8

P2 0.004 mP1*(52+0.912) 25.828 25.8

C3 25.001 mP1*0.902 2.430 27.4

P4 0.354 mP1*1.152 112.413 112.8

Total 25.363 166.499 191.8


F) Calculer le rayon de giration de l’homme avec perche et poids par rapport à l’axe z. (5 points)

5 points de calculs simplesmkm

Ik

tot

tot 46.1⇒90

8.1912

G) Quelle est l’utilité de la perche avec les poids ? Expliquer et justifier en vos propres mots. (5 points)

Le moment d’inertie est la résistance d’un objet à modifier sa vitesse de rotation. En augmentant le momentd’inertie, on arrive à réduire la mise en rotation et donc à garder plus facilement l’équilibre. De plus, si lapersonne perd l’équilibre, elle peut jouer avec son bâton (en lui appliquant un moment) pour rétablir laposition de son centre de masse au dessus du fil et ainsi, retrouver son équilibre..

5 points de compréhension

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