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Entscheidungstheorie

– Aufgabensammlung –

Wintersemester 2004/2005

Aufgabe 1

In einer multikriteriellen Entscheidungssituation liege folgende Nutzenmatrix vor:

k1 k2 k3 k4

a1 8 4 9 2

a2 6 4 6 4

a3 8 4 7 5

a) Welche der drei Aktionen sind ineffizient?

b) Welche Bewertungsreihenfolge der drei Aktionen ergibt sich nach der . . .

α) lexikographischen Ordnung mit k1 ≻ k2 ≻ k3 ≻ k4?

β) Körth-Regel?

γ) Methode des Goal-Programming mit den Zielvorgaben up = 10 (p = 1, . . . , 4)?

Aufgabe 2

Gegeben sei ein multikriterielles Entscheidungsproblem mit der Nutzenmatrix

z1 z2 z3 z4

a1 1 2 3 4

a2 2 1 0 3

a3 5 0 2 2

a) Man bestimme die Bewertungsreihenfolgen der Körth-Regel sowie des Goal-Programming

mit uj = maxk

ukj (j = 1, 2, 3, 4).

b) Zeigen Sie, dass sich die in a) mithilfe der Körth-Regel bestimmte Bewertungsreihenfolge

bei einer linearen Transformation der Nutzenfunktion ändern kann.

Aufgabe 3

In einer multikriteriellen Entscheidungssituation liege folgende kardinale Nutzenmatrix vor:

k1 k2 k3 k4

a1 3 9 6 4

a2 7 5 9 4

a3 7 8 5 5

a) Gibt es ineffiziente Aktionen? Wenn ja welche?

b) Man bestimme die Bewertungsreihenfolge nach der lexikographischen Ordnung mit k1 ≻k3 ≻ k2 ≻ k4.

c) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach dem Goal-Programming mit den Zielvor-

gaben uj = maxk

ukj (j = 1, 2, 3, 4)?

1

Aufgabe 4

Gegeben sei das Zielsystem {k1, k2} und die zugehörige Nutzenmatrix

U =

1 4

5 2

3 3

mit den möglichen Entscheidungsalternativen a1, a2, a3.

a) Bestimmen Sie die optimale Entscheidung nach der Körth-Regel.

b) Für welche Zielgewichtungen g1, g2 ≧ 0 mit g1 + g2 = 1 sind die Aktionen a1, a2, a3

jeweils optimal?

Aufgabe 5

Die Regierung eines Landes hat aus vier in die Endauswahl gelangten Bewerbern a1, . . . , a4

den Ort der nächsten Landesgartenschau auszuwählen. Folgende Nutzenmatrix liegt dieser

Auswahl zu Grunde:

k1 k2 k3

a1 3 5 2

a2 5 4 2

a3 5 3 1

a4 4 4 2

Die unter k1 bzw. k2 stehenden Zahlen sind dabei Punktewertungen, die von je einem Gut-

achtergremium über die gärtnerische bzw. städtebauliche Qualität der eingereichten Bewer-

bungen abgegeben wurden (mit 5 als bestmöglicher, . . . , 1 als schlechtestmöglicher Wer-

tung). In der Spalte unter k3 kommt zum Ausdruck, ob die Entfernung eines Bewerbers zum

Ort der letzten Landesgartenschau gering (= Nutzenwert 1) oder hinreichend groß ist (=

Nutzenwert 2).

a) Gibt es ineffiziente Bewerber? Wenn ja, welche? (Diese im Folgenden nicht streichen!)

b) Welche Bewertungsreihenfolge der 4 Orte ergibt sich nach der lexikographischen Ord-

nung unter der Annahme k1 ≻ k2 ≻ k3?

c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge der 4 Orte führt die Anwendung der Körth-Regel?

d) Nehmen Sie an, in der entscheidenden (nicht-öffentlichen) Kabinettssitzung werde zusätz-

lich zu k1, k2, k3 als vierte Zielgröße die Parteizugehörigkeit der Oberbürgermeister der

Bewerberstädte eingeführt; dabei werde den Orten a1 und a4 der Nutzenwert 2 zuge-

ordnet, weil ihr Oberbürgermeister der Regierungspartei angehört, den beiden anderen

Orten dagegen – in denen dies nicht der Fall ist – der Nutzenwert 1. Welche Stadt bekäme

unter dieser Annahme bei Anwendung der Körth-Regel die nächste Landesgartenschau?

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Aufgabe 6

Die Invest GmbH kann kurzfristig einen Auftrag durchführen. Nach Prüfung der Situation

bieten sich 3 Produktionsalternativen an, die sich durch folgende Ergebnismatrix beschreiben

lassen:

Alternative R L G

1 30 50 10

2 60 40 15

3 50 40 10

Dabei bezeichnet R die jeweils benötigte Menge (in ME) des Rohstoffs, L die jeweilige Maschi-

nenlaufzeit (in ZE) und G den jeweiligen Gewinn (in GE). Relevante Ziele sind die Gewinnma-

ximierung (k1), ein möglichst geringer Rohstoffverbrauch (k2) sowie eine möglichst geringe

Maschinenlaufzeit (k3).

a) Erstellen Sie die Nutzenmatrix für den Fall, dass der Nutzen bei k1 durch den Gewinn, bei

k2 durch die Differenz zwischen dem maximalen Rohstoffverbrauch der 3 Alternativen und

dem tatsächlichen Verbrauch und bei k3 durch die nicht beanspruchte Laufzeit gemessen

wird. Bezüglich der Laufzeit ist davon auszugehen, dass maximal 60 ZE zur Verfügung

stehen.

b) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die lexikographische Ordnung mit k1 ≻ k2 ≻ k3?

c) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die Zielgewichtung mit k1 : k2 : k3 = 6 : 2 : 2?

d) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die Körth-Regel?

Aufgabe 7

Zur Durchführung eines bestimmten Auftrages stehen einer Firma drei verschiedene Hand-

lungsalternativen zur Verfügung. Folgende Tabelle gibt an, welche Menge eines Rohstoffs R

dabei verbraucht wird, wie lange eine Maschine M laufen muss beziehungsweise welchen

Gewinn die Firma erwarten kann:

Verbrauch von R Laufzeit von M Gewinn

bei Alternative (in kg) (in Std.) (in 1000 €)

1 40 80 15

2 40 60 10

3 60 40 15

Die Firma ist nicht nur an möglichst hohem Gewinn interessiert (Ziel k1), sondern auch an

möglichst sparsamem Umgang mit dem Rohstoff und der Maschinenzeit (Ziele k2 und k3).

Dabei wird der Nutzen gemessen

• bei k1 durch die angegebenen erwarteten Gewinnwerte (in 1000 €),

• bei k2 durch die nach Durchführung des Auftrags verbleibende Rohstoffmenge (in kg),

wobei vor Durchführung des Auftrags 100 kg von R vorhanden sind,

• bei k3 durch die Differenz zwischen der maximal auftretenden Laufzeit von M (= 80 Std.)

und der bei Alternative i tatsächlich auftretenden Laufzeit (in Std.).

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a) Erstellen Sie die Entscheidungsmatrix.

b) Gibt es ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche?

c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge führt die lexikographische Ordnung mit k1 ≻ k2 ≻ k3?

d) Welche Bewertungsreihenfolge liefert eine Zielgewichtung, wenn für die Ziele eine Dring-

lichkeitsordnung im Verhältnis k1 : k2 : k3 = 8 : 1 : 1 gegeben ist?

e) Welche Handlungsalternative ist optimal nach der Körth-Regel?

Aufgabe 8

Ein Investor erhält per Telefax die Vorlage für die endgültige Auswahl einer von vier Anlage-

alternativen. Dabei wurden durch eine Leitungsstörung bei den Bewertungen der vier Ziele

k1: Sicherheit, k2: Rendite, k3: Flexibilität der Kapitalbindung, k4: Abwägbarkeit des techno-

logischen Risikos zwei Werte nicht übertragen. Die unvollständige kardinale Nutzenmatrix

besitzt die folgende Gestalt

k1 k2 k3 k4

a1 3 4 1 u14

a2 4 3 0 1

a3 5 1 2 1

a4 u41 4 1 2

a) Kann a1 ineffizient sein? Welche Bedingungen sind dann an u14 und u41 zu stellen?

b) Für welche u14 und u41 reduziert sich A auf zwei undominierte Alternativen?

Der Investor gewichtet die vier Ziele im Verhältnis k1 : k2 : k3 : k4 gemäß 1 : 4 : 3 : 2.

c) Bestimmen Sie Φ(ai) für i = 1, . . . , 4 unter Verwendung dieser Zielgewichtung (mit g1 +

· · · + g4 = 1). Für welche Bedingung wird a1 der Alternative a4 vorgezogen?

d) Für welche Bedingung an u14 und u41 wird a1 der Alternative a4 bei Verwendung der

lexikographischen Ordnung vorgezogen, wenn die Reihenfolge der Ziele bezüglich ihrer

Wichtigkeit aus obiger Gewichtung abgelesen wird?

e) Der Investor gibt für alle vier Ziele einen Zielwert von 5 = up vor. Bestimmen Sie unter

der Kenntnis von 0 ≦ u14 = u41 < 2 die Rangfolge aller Alternativen mittels Goal-

Programming. (Fallunterscheidung erforderlich!)

Aufgabe 9

Ein Reiseveranstalter steht vor der Entscheidung, eines von mehreren möglichen Zielgebieten

als Jahresschwerpunkt für den Katalog 2002 festzulegen. Auf einer Skala von 1 (= mangel-

haft) bis 5 (= hervorragend) bewertet er dabei die Zielgebiete a1: Costa Brava, a2: türkische

Riviera, a3: Dominikanische Republik und a4: oberitalienische Seen nach den Zielkriterien k1:

Preiswürdigkeit, k2: Wettersicherheit, k3: Wasserqualität, k4: Umweltverträglichkeit der Anrei-

se sowie k5: Sozialverträglichkeit für die Bereisten wie folgt:

4

k1 k2 k3 k4 k5

a1 3 4 4 3 4

a2 4 5 y 2 2 mit x, y ∈ {1, . . . , 5}.

a3 5 4 x 1 2

a4 2 3 4 4 5

Die Werte in der Matrix lassen sich unmittelbar als Nutzenwerte interpretieren.

a) Gibt es Werte x, y (und falls ja, welche), so dass bei Anwendung der Zielgewichtung mit

g1 = g2 = g4 sowie g3 = g5 = 16 und g1 + · · · + g5 = 1 die Alternative a3 besser

abschneidet als a2?

Der Reiseveranstalter legt im Folgenden die (zu maximierende) Bewertungsfunktion Φ(ai) =

Summe der drei höchsten für die Alternative ai vergebenen Nutzenwerte zu Grunde. (Ma-

thematisch: Bezeichnet man mit ui(1), . . . , ui(5) die gemäß ui(1) ≧ ui(2) ≧ · · · ≧ ui(5)

geordneten Werte der i-ten Zeile der Nutzenmatrix, so gilt Φ(ai) = ui(1) + ui(2) + ui(3).)

b) Für welche x, y bewertet Φ die Alternativen a2 und a3 besser als a1 und a4?

c) Für welche x, y bewertet Φ die Alternativen a2 und a3 schlechter als a1 und a4?

d) Untersuchen Sie (unabhängig von den speziellen Werten in obiger Matrix), ob die Bewer-

tungsfunktion Φ die Eigenschaft „ai dominiert ak ⇒ Φ(ai) > Φ(ak)“ besitzt.

Aufgabe 10

Ein Unternehmer verfügt über einen stetigen Aktionenraum A = [0, 5] ⊂ Ikern-.25mm R

und verfolgt zwei Ziele, k1 und k2. Die Nutzenwerte u1 bezüglich k1 sowie u2 bezüglich k2

werden beschrieben durch die beiden Nutzenfunktionen

u1(a) =

{

a, falls a ∈ [0; 3]

3, sonstund u2(a) = 5 − a.

a) Skizzieren Sie die beiden Funktionen u1(a) und u2(a).

b) Welche Aktionen a ∈ A sind ineffizient?

c) Welche Aktion a ∈ A ist optimal nach der Körth-Regel?

Aufgabe 11

In einer Unternehmung können die beiden Produkte I, II hergestellt werden. Insgesamt muss

die Unternehmung von beiden Produkten zusammen genau 840 Mengeneinheiten produzie-

ren. Ferner sind von Produkt I mindestens 280 Mengeneinheiten zu erzeugen. Pro Mengen-

einheit ist bei Produkt I ein Deckungsbeitrag von 2 €, bei Produkt II ein Deckungsbeitrag von

5 € zu erzielen. Neben dem Ziel k1 der Deckungsbeitragsmaximierung verfolgt die Unterneh-

mung auch noch das Ziel k2, möglichst viele Mengeneinheiten von Produkt I herzustellen.

a) Skizzieren Sie den Aktionenraum.

b) Welche Aktion ist optimal nach der lexikographischen Ordnung, wenn k1 ≻ k2 gilt?

c) Welche Aktion ist optimal nach der Körth-Regel?

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Aufgabe 12

Einem Entscheidungsträger stehen zwei Investitionsalternativen zur Verfügung. Bei der ers-

ten beträgt der Gewinn T€ 2 mit Wahrscheinlichkeit 12 , T€ 4 mit Wahrscheinlichkeit 3

7 sowie

T€ 8 mit der verbleibenden Restwahrscheinlichkeit. Bei der zweiten Alternative stellt sich mit

Wahrscheinlichkeit 34 ein Gewinn von T€ y (mit y ≧ 2) beziehungsweise mit Wahrscheinlich-

keit 14 ein Gewinn von T€ 2 ein. Der Entscheidungsträger geht im Bereich x ≧ 2 (x gemessen

in T€) von folgender Nutzenfunktion aus:

u(x) =4

x+ x.

a) Wie groß muss der Wert y sein, damit beide Alternativen gleich eingeschätzt werden?

b) Ist der Entscheidungsträger im relevanten Bereich x ≧ 2 risikoavers, risikoneutral oder

risikofreudig?

Aufgabe 13

Bei Markteinführung eines neuen Produktes wird ein diskret verteilter Marktanteil X ange-

nommen.

Marktanteil (in %) 10 12 15 18 20

Wahrscheinlichkeit 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2

Mit der auf den möglichen prozentualen Marktanteilen definierten Nutzenfunktion u(x) = x2

5

bestimme man

a) den erwarteten Marktanteil bei Markteinführung,

b) den erwarteten Nutzen einer Markteinführung,

c) das Sicherheitsäquivalent einer Markteinführung,

d) die zu Grunde liegende Risikoeinstellung.

e) Lösen Sie b), c), d) für u(x) = x2 − 5.

Aufgabe 14

Ein Entscheidungsträger erzielt bei einer bestimmten Investition jeweils mit Wahrscheinlich-

keit 0,5 einen Gewinn X von 5 bzw. 2. Für zwei Nutzenfunktionen u1 und u2 mit u1(x) =

ln x, u2(x) = 1 − e−x/2 berechne man jeweils

a) den erwarteten Nutzen obiger Investition,

b) das Sicherheitsäquivalent zu X,

c) das Arrow-Pratt-Maß.

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Aufgabe 15

Bei Markteinführung eines neuen Produktes wird ein Marktanteil X zwischen 10 % und 20 %

angenommen und ferner unterstellt, dass X einer Gleichverteilung im Intervall [10; 20] ge-

nügt. Mit der auf den möglichen Marktanteilen x ∈ [10; 20] definierten Nutzenfunktion u der

Unternehmung mit u(x) = 3√

x berechne man

a) den erwarteten Marktanteil bei Markteinführung,

b) den erwarteten Nutzen einer Markteinführung,

c) das Sicherheitsäquivalent einer Markteinführung,

d) die zu Grunde liegende Risikoeinstellung.

Aufgabe 16

Ein Manager beurteilt mögliche Jahreseinkommen gemäß der Risikonutzenfunktion

u(x) =

{

3 x, falls 0 ≦ x ≦ 2 · 105

x + 4 · 105, falls x > 2 · 105

a) Er hat ein fixes Jahreseinkommen in Höhe von € 250 000 zu vergleichen mit einer gewin-

nabhängigen Entlohnung X, wobei

P(X = 105) = P(X = 2 · 105) = P(X = 6 · 105) = 13

gelte. Welche Entlohnung würde er präferieren, wenn er zwischen beiden wählen könnte?

b) Berechnen Sie für X das Sicherheitsäquivalent s.

Aufgabe 17

Ein Unternehmer stuft eine Aktion, die einen Erlös von € 2 000,– mit einer Wahrscheinlich-

keit von 25 %, einen Erlös von € 400,– mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % und mit der

Restwahrscheinlichkeit keinen Erlös erbringt, als äquivalent ein zu einem sicheren Erlös von

€ 700,–. Sein Konkurrent geht bei derselben Aktion von Wahrscheinlichkeiten von je 40 %

für die beiden Erlöswerte € 2 000,– beziehungsweise € 400,– aus und er wertet die Aktion

als gleich gut wie einen sicheren Erlös von € 1 000,–.

Wie sind Unternehmer und Konkurrent in Bezug auf ihre Risikofreudigkeit in der konkreten

Entscheidungssituation einzustufen?

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Aufgabe 18

Ein Entscheidungsträger beurteile sowohl deterministische Ergebnisse x ≧ 0 als auch Zufalls-

variablen, die nur nicht-negative Werte annehmen können, nach der Nutzenfunktion

u(x) =√

2x + 1 mit x ≧ 0.

a) Bestimmen Sie das Arrow-Pratt-Maß.

Zur Beurteilung stehen Zufallsvariablen Xa an, wobei a ∈ [0; 12] vom Entscheidungsträger

festgelegt werden kann. Xa nimmt den Wert 12 − a mit Wahrscheinlichkeit 2740 und den Wert

12 + 9a mit Wahrscheinlichkeit 1340 an.

b) Berechnen Sie die Nutzenerwartungswerte Eu(Xa) für a = 0, für a = 8 und für a = 12.

c) Bestimmen Sie für a = 8 das Sicherheitsäquivalent zu Xa.

d) Welches a ∈ [0; 12] sollte der Entscheidungsträger optimalerweise wählen?

Aufgabe 19

Für x-Werte im Bereich [0; 50] sei folgende Bernoulli-Nutzenfunktion gegeben:

u(x) =

{

x2

100 , für 0 ≦ x ≦ 10√0,4 x − 3, für 10 < x ≦ 50

a) X sei eine Zufallsvariable mit folgender Verteilung:

mögliche Werte von X 5 17,5 30

zugehörige Wahrscheinlichkeiten 0,4 0,4 0,2Berechnen Sie

• den Erwartungswert von X

• den Nutzenerwartungswert von X

• das Sicherheitsäquivalent zu X.

b) Berechnen Sie die Werte des Arrow-Pratt-Maßes r(x) für x = 5 und für x = 20.

Aufgabe 20

Ein Unternehmer besitze ein Anfangsvermögen a = 105€ sowie eine auf das Endvermögen

x bezogene Risikonutzenfunktion

u(x) =

{

x, für x ≧ 0

1,5 x, für x ≦ 0

Er rechnet mit Jahreseinnahmen mit der Dichtefunktion

f(e) =

{

10−6, falls − 2 · 105 ≦ e ≦ 8 · 105

0, sonst

Wie hoch ist der Nutzenerwartungswert seines Jahresendvermögens?

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Aufgabe 21

Handwerksmeister Harry Harmlos besitzt ein Anfangsvermögen in Höhe von 4 500 000 €

sowie die auf Endvermögenspositionen x bezogene Risikonutzenfunktion

u(x) =

{

3 x, falls x ≦ 0

x, falls x > 0.

Harry Harmlos wird im Planungszeitraum ein (sicheres) Einkommen in Höhe von 500 000 €

erzielen. Zugleich ist er aber auch einem Risiko ausgesetzt, das mit einer Wahrscheinlichkeit

von (insgesamt) 1 % zu finanziellen Schäden führen wird. Gehen Sie vereinfachend davon

aus, dass im Schadensfall nur Schäden in Höhe von 1 000 000 € oder 10 000 000 € möglich

sind, wobei der kleinere Schaden neunmal so wahrscheinlich ist wie der größere.

Die Nepptuna-Versicherungs-AG bietet Harry Harmlos eine Vollversicherung dieses Risikos an.

Wie hoch darf die von der Nepptuna geforderte Versicherungsprämie maximal sein, damit

Harry Harmlos die Versicherung abschließt?

Aufgabe 22

Zwei Aktionen a1 bzw. a2 haben risikobehaftete Einkommen X1 bzw. X2 zur Folge, wobei X1

über dem Intervall [50 000; 100 000] und X2 über dem Intervall [40 000; 120 000] gleichverteilt

sind. Der Beurteilung werde die Risikonutzenfunktion u(x) = ln x zu Grunde gelegt, wobei x

für die Realisationen von X1 beziehungsweise X2 steht.

a) Berechnen Sie das Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion.

b) Bestimmen Sie die Sicherheitsäquivalente von X1 beziehungsweise X2.

c) Welche der Aktionen a1 oder a2 wird präferiert?

d) Was ändert sich am Ergebnis von a), b), c), wenn statt obigem u die Risikonutzenfunktion

u(x) = −2,75 + 8,37 ln x zu Grunde gelegt wird?

Hinweis: Eine Stammfunktion von ln x ist x ln x − x.

Aufgabe 23

Der Invest AG stehen insgesamt drei Produktvarianten A, B, C zur Auswahl. Drei Zustände

z1, z2, z3 werden als möglich erachtet. Bei Produktvariante A rechnet die Invest AG mit

15 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von 50 000 € (bei Eintreten von z1), mit 40 %

Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von 100 000 € (bei z2) und mit 45 % Wahrscheinlichkeit

mit einem Gewinn von 120 000 € (bei z3). Bei Produktvariante B rechnet die Invest AG mit

55 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von 30 000 € (bei z1 oder z2) und mit 45 %

Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von 120 000 € (bei z3). Bei Produktvariante C schließt

die Invest AG einen Lizenzvertrag ab, der einen sicheren Gewinn in Höhe von 100 000 €

garantiert. Für welche Alternative entscheidet sich die Invest AG, wenn sie . . .

a) risikoneutral ist?

b) gemäß der Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = 10 · x − 50 000 entscheidet?

c) die Entscheidungsregel Φ(ai) = ϕ(µi, σi) = 20 · µi − 5 · 10−5 · (µ2i + σ2

i) verwendet?

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Aufgabe 24

Die Invest AG will ein neues Produkt herstellen. Zur Auswahl stehen vier alternative Techno-

logien. Die Unternehmensleitung geht von folgenden Annahmen aus:

• Bei Technologie 1 ist der Gewinn gleichverteilt in [−100 000 €; 500 000 €].

• Bei Technologie 2 ist der Gewinn gleichverteilt in [0 €; 300 000 €].

• Bei Technologie 3 kann ein Gewinn von −100 000 €, 100 000 €, 300 000 € bzw. 500 000 €

mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert werden.

• Bei Technologie 4 entsteht entweder ein Verlust in Höhe von 100 000 € oder ein Gewinn

in Höhe von 250 000 €. Die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn beträgt 0,8.

Wie entscheidet sich die Geschäftsleitung, wenn sie . . .

a) eine risikoneutrale Einstellung einnimmt?

b) die Verlustwahrscheinlichkeit minimieren will?

c) die Entscheidungsregel Φ(ai) = ϕ(µi, σi) = 10−6 · µi − 0,5 · 10−10 · σ2i verwendet?

Hinweis: Die Varianz einer Gleichverteilung in [a; b] beträgt 112 · (b − a)2.

Aufgabe 25

Der Geschäftsführer der Holz-Wurm GmbH, Willi Wurm, legt seinen Entscheidungen die

Bernoulli-Nutzenfunktion

u(x) = 15 −546

ec·x

zu Grunde, wobei c eine noch festzulegende Konstante aus IR \ {0} ist und x in Tausend Euro

(T€) gemessen wird. Des Weiteren sei bekannt, dass Herr Wurm

• eine Alternative a, die einen sicheren Gewinn in Höhe von 2 T€ ermöglicht, mit einem

Nutzen von 5 bewertet und

• indifferent bezüglich obiger Alternative a und einer Alternative b ist, die mit einer Wahr-

scheinlichkeit von p zu einem Gewinn in Höhe von 3 T€ führt und ansonsten zu einem

Gewinn in Höhe von 1 T€.

a) Bestimmen Sie das Arrow-Pratt-Maß zur Bernoulli-Nutzenfunktion von Herrn Wurm. Wel-

cher Einstellung zum Risiko entspricht dieser Zahlenwert?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p?

c) Ermitteln Sie die zu Alternative b gehörende Risikoprämie.

Willi Wurm behauptet, dass das Bernoulli-Prinzip bei Zugrundelegung obiger Nutzenfunktion

mit einer (µ, σ)-Regel verträglich sei.

d) Unter welcher Voraussetzung ist die Behauptung von Willi Wurm zutreffend? Geben Sie

die dann verträgliche (µ, σ)-Regel an.

Aufgabe 26

Ein Unternehmer, dessen Arrow-Pratt-Maß konstant gleich 0,1 ist, könnte eine Investition

durchführen, die zu einem normalverteilten Endvermögen in Höhe von X Geldeinheiten

führt. Bezüglich X sind folgende Momente bekannt: E(X) = 20 und E(X2) = 500. Bestim-

men Sie den Nutzenerwartungswert Eu(X), wenn u(0) = 0 und u ′(0) = 0,1 gilt.

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Aufgabe 27

Gegeben sei die Entscheidungsmatrix

z1 z2 z3 z4 z5

a1 1 1 1 1 1

a2 0 0 2 1 1

a3 1 1 0 0 0

Man bestimme jeweils alle optimalen Aktionen nach der Wald-Regel, der Maximax-Regel,

der Hurwicz-Regel, der Laplace-Regel, der Savage-Niehans-Regel sowie der Krelle-Regel mit

w(u) = 10 u − u2.

Aufgabe 28

Ein Reiseveranstalter hat die Möglichkeit, in einem Hotel für die kommende Saison 0, 1 000,

2 000 oder 3 000 Übernachtungen zu einem Preis in Höhe von € 50,– pro Übernachtung

einzukaufen. Er plant, die Übernachtungen zu einem Stückpreis von € 60,– anzubieten. Leider

ist ihm völlig unklar, wie sich im kommenden Jahr die Nachfrage entwickeln wird. Nehmen

Sie an, dass für die nachgefragte Anzahl der Übernachtungen im kommenden Jahr in diesem

Hotel auch nur genau einer der Werte 0, 1 000, 2 000 oder 3 000 möglich ist.

Wie viele Übernachtungen kauft der Reiseveranstalter ein, wenn er sich am Gewinn orientiert

und . . .

a) extrem pessimistisch ist?

b) extrem opistisch ist?

c) die Hurwicz-Regel verwendet?

Aufgabe 29

Trotz knapper Haushaltsmittel plant die Stadtverwaltung einer süddeutschen Kleinstadt die

Modernisierung ihres Intranets. Der mit der Entscheidungsvorbereitung beauftragte Sachbe-

arbeiter Karl-Otto Rupt holt dazu die Angebote zweier Firmen ein, nämlich der ortsansässigen

Knobel KG sowie der in der Nachbargemeinde angesiedelten Netservice GmbH. Untersuchen

Sie die im Folgenden geschilderte Entscheidungssituation aus Sicht von Konrad Knobel, dem

Geschäftsführer und Komplementär der Knobel KG.

Herrn Knobel ist bekannt, dass Karl-Otto Rupt nur Angebote der Knobel KG und der Netser-

vice GmbH eingeholt hat. Bezüglich des Konkurrenzangebotes geht er davon aus, dass die

Netservice GmbH nur einen der drei möglichen Angebotspreise 20 000 €, 30 000 € oder

40 000 € nennen wird. Leider ist Herrn Knobel völlig unklar, welchen dieser Preise die Nets-

ervice GmbH tatsächlich anbietet. Unterstellen Sie vereinfachend, dass auch Konrad Knobel

genau einen der drei genannten Beträge verlangen wird.

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Auf Grund ihrer knappen Haushaltsmittel wird die Kleinstadt den billigeren der beiden An-

bieter beauftragen. Verlangen beide den gleichen Preis, so wird der Auftrag an die Knobel KG

vergeben, da die ausschreibende Kleinstadt heimische Betriebe unterstützen will. Dieser Um-

stand ist Konrad Knobel bekannt. Erhält die Knobel KG den Auftrag, so entstehen ihr dadurch

Kosten in Höhe von 15 000 €, ansonsten ist ihr Gewinn gleich null.

Welchen Preis wird Konrad Knobel anbieten, wenn er . . .

a) extrem pessimistisch ist?

b) extrem optimistisch ist?

c) jeden der drei möglichen Angebotspreise der Netservice GmbH als gleichermaßen wahr-

scheinlich einstuft?

d) die Hurwicz-Regel mit λ = 12 verwendet?

Aufgabe 30

In einer Entscheidungssituation unter Ungewissheit liege folgende Entscheidungsmatrix vor:

U =

7 4 8 9

5 10 6 11

10 5 7 8

Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der . . .

a) Maximin-Regel?

b) Laplace-Regel?

c) Krelle-Regel mit der Unsicherheitspräferenzfunktion ω(u) = (u − 4)2?

Aufgabe 31

Gegeben sei die Nutzenmatrix

z1 z2 z3 z4 z5

a1 1 7 10 3 c

a2 3 5 10 4 8

a3 4 11 3 8 0

a4 1 8 14 3 2

Bestimmen Sie, einzeln für jede der nachfolgenden Fragen, die kleinste natürliche Zahl c, so

dass a1

a) nach der Maximax-Regel optimal ist.

b) nach der Maximin-Regel optimal ist.

c) nach der Hurwicz-Regel mit λ = 12 optimal ist.

d) nach der Savage-Niehans-Regel optimal ist.

e) ineffizient ist.

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Aufgabe 32

In einer Entscheidungssituation mit drei Handlungsalternativen und vier relevanten Zustän-

den liegt Ihnen folgende Entscheidungsmatrix vor:

z1 z2 z3 z4

a1 9 6 14 12

a2 6 15 8 8

a3 12 9 12 12

Die darin enthaltenen Nutzenwerte werden in Geldeinheiten gemessen.

a) Existieren ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche?

b) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der Savage-Niehans-Regel?

c) Nun sei zusätzlich bekannt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten der ersten drei Zustän-

de gleich groß sind: p1 = p2 = p3 = p < 13 . Außerdem bestehe die Möglichkeit, eine

vollkommene Informationsquelle in Anspruch zu nehmen, die Kosten in Höhe von 2 Geld-

einheiten verursacht. Für welche Werte von p lohnt sich die Inanspruchnahme dieser

Informationsquelle, wenn Sie Ihren Entscheidungen die Bayes-Regel zu Grunde legen?

Aufgabe 33

Gegeben sei die Nutzenmatrix

z1 z2 z3

a1 5 3 3

a2 3 3 4

Zeigen Sie, dass die Hurwicz-Regel für alle λ > 0 Aktion 1 gegenüber Aktion 2 präferiert.

Aufgabe 34

Einem Entscheidungsträger liegt folgende kardinale Nutzenmatrix vor:

z1 z2 z3 z4 z5

a1 1 2 3 4 3

a2 4 3 2 1 4

a3 4 5 0 5 6

a4 1 5 1 5 6

a5 2 2 2 1 3

a6 3 4 0 5 3

Beurteilen Sie die folgenden Aussagen a) bis e) dahingehend, ob sie richtig oder falsch sind.

Alle Antworten sind (verbal oder rechnerisch) zu begründen!

a) Es existiert genau eine dominierte Aktion.

b) Die Hurwicz-Regel bewertet a1 und a2 stets gleich, jedoch nie besser als a3.

13

c) Nach Eliminierung aller dominierten Alternativen ist der Entscheidungsträger bei Anwen-

dung der Wald-Regel bezüglich drei Alternativen indifferent.

d) Nach der Savage-Niehans-Regel präferiert der Entscheidungsträger a3 gegenüber a1.

e) Die Berücksichtigung der Unterlassungsalternative (d.h. keine der Aktionen a1, . . . , a6 durch-

führen) als Aktion a7 verändert die Ergebnisse der Teile a) bis d) nicht.

Aufgabe 35

In einem Entscheidungsproblem mit drei Aktionen und zwei Zuständen lautet die Nutzen-

matrix

U =

1 4

2 1

3 1

.

Beide Zustände werden als gleich wahrscheinlich angenommen, wobei diese Verteilung nur

bedingt vertrauenswürdig ist.

a) Welche Aktion ist optimal nach der 1. Hodges-Lehmann-Regel mit λ = 0,5?

b) Berechnen Sie die Opportunitätskostenmatrix.

c) Berechnen Sie den Erwartungswert der vollkommenen Information.

Aufgabe 36

Gegeben sei folgende Entscheidungsmatrix

z1 z2 z3 z4

a1 21 15 9 6

a2 22 13 5 18

a) Welche Aktion ist optimal nach der Savage-Niehans-Regel?

b) Für welche Werte des Optimismusparameters λ wählt die Hurwicz-Regel a1 aus?

c) Im Folgenden liege eine lineare parzielle Information in Form der beiden Ungleichungen

p1 ≧ p3 und p1 ≧ p4 vor. Bestimmen Sie die in diesem LPI-Modell optimale Aktion.

Aufgabe 37

Gegeben sei folgende Entscheidungsmatrix

z1 z2 z3

a1 7 6 1

a2 3 6 2

a3 0 4 4

a4 1 4 5

a) Über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände sei nichts bekannt. Bestimmen Sie

die Bewertungsreihenfolge der vier Aktionen nach der Savage-Niehans-Regel.

b) Nun sei bekannt, dass Zustand z1 mit Wahrscheinlichkeit 0,2 vorliegt, und dass die bei-

den Zustände z2, z3 gleich wahrscheinlich sind. Berechnen Sie den Erwartungswert der

vollkommenen Information.

14

Aufgabe 38

In einer Entscheidungssituation mit drei Handlungsalternativen und vier relevanten Zustän-

den liegt Ihnen folgende Entscheidungsmatrix vor:

z1 z2 z3 z4

a1 10 8 4 12

a2 6 12 9 7

a3 14 10 2 6

Die darin enthaltenen Nutzenwerte werden in Geldeinheiten gemessen.

a) Existieren ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche?

b) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der Savage-Niehans-Regel?

c) Nun bestehe die Möglichkeit, eine Kosten verursachende vollkommene Informationsquel-

le in Anspruch zu nehmen. Wie hoch dürfen die Kosten dieser Informationsquelle maximal

sein, damit sich ihre Inanspruchnahme lohnt, wenn Sie Ihren Entscheidungen die Wald-

Regel zu Grunde legen?

d) Um die Realisationswahrscheinlichkeiten pj der Zustände zj zu bestimmen, ziehen Sie

einen Experten zurate. Dieser gibt Ihnen folgende Auskünfte:

• z1 ist mindestens so wahrscheinlich wie z2.

• z3 und z4 sind gleich wahrscheinlich.

Betrachten Sie diese Auskünfte als eine lineare partielle Information und bestimmen Sie

die in diesem LPI-Modell optimale Alternative.

Aufgabe 39

Geben Sie eine (2 × 2)-Nutzenmatrix an, bei der EWVI = 0 unabhängig von der Verteilung

der Zustände gilt.

Aufgabe 40

Die Analyse eines Entscheidungsproblems führt zur Entscheidungsmatrix

U =

(c 5 4 10 6

10 3 8 2 6

)

.

Die fünf relevanten Zustände werden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten

1

10,

2

10,

4

10,

2

10,

1

10

für möglich gehalten. Bestimmen Sie den erwarteten Wert der vollkommenen Information

a) für c = 5 und für c = 15.

b) für jeden beliebigen reellen Wert c.

15

Aufgabe 41

Ein risikoneutraler Unternehmer erwägt, ein neues Produkt A einzuführen. Der Verkaufser-

folg dieses Produktes ist nicht sicher: Es ist davon auszugehen, dass Produkt A mit einer

Wahrscheinlichkeit von 25 % einen Gewinn in Höhe von € 100 000,– und mit einer Wahr-

scheinlichkeit von 35 % einen Verlust in Höhe von € 10 000,– generiert. In allen anderen

Fällen (auch bei Verzicht auf eine Produkteinführung) ist der Gewinn gleich null.

Ferner könnte der Unternehmer die Unternehmensberatung Schlau & Berger beauftragen,

eine Marktanalyse durchzuführen. Diese würde Kosten in Höhe von € 5 000,– verursachen

und eine sichere Vorhersage des Gewinns ermöglichen.

a) Sollten Schlau & Berger beauftragt werden?

b) Nehmen Sie nun an, dass der Unternehmer alternativ zu A ein anderes Produkt B ein-

führen könnte, das einen sicheren Gewinn in Höhe von € 10 000,– ermöglicht. Sollte der

Unternehmer nun Schlau & Berger beauftragen?

Aufgabe 42

In einer Entscheidungssituation besteht die Möglichkeit, sich durch Ziehen einer Stichprobe

Informationen über den unbekannten wahren Umweltzustand zu beschaffen. Die Erhebung

dieser Stichprobe würde Kosten in Höhe von € 100 + 15 n verursachen, die vom Stichpro-

benumfang n abhängen. Dieser ist zwischen 1 und 1 000 wählbar, wobei n = 1 000 einer

Vollerhebung gleichkommt und damit vollkommene Information liefert. Für n ≦ 1 000 be-

trägt der erwartete Wert der Stichprobeninformation € − n2

100 + 20 n.

a) Lohnt sich die Inanspruchnahme der Stichprobe vom Umfang 1 000 als vollkommener

Informationsquelle?

b) Welcher Stichprobenumfang ist maximal vertretbar?

c) Bestimmen Sie den optimalen Stichprobenumfang und den mit ihm erreichbaren Netto-

gewinn (das heißt die Differenz von erwartetem Wert der Stichprobeninformation und

den damit verbundenen Kosten).

Aufgabe 43

Die beiden Teenager Max und Moritz möchten gerne (jeweils) eine ihrer Mitschülerinnen als

Freundin gewinnen. Beide finden Julia besonders attraktiv, könnten sich aber auch Verena als

Alternative vorstellen. Da sowohl Julia als auch Verena aus einem konservativen Elternhaus

stammen, kommt für beide (jeweils) maximal ein Freund infrage. Deshalb werden Max und

Moritz erfolglos bleiben, falls sie die selbe Dame umwerben (entspricht einer Auszahlung in

Höhe 0 für Max und für Moritz). Ansonsten, wenn sich also einer der beiden Schüler für Julia

und der andere für Verena entscheidet, werden beide Annäherungsversuche erfolgreich sein.

Da Julia gemeinhin als attraktiver gilt, erreicht der künftige Partner von Julia im letzteren Fall

einen höheren Nutzen (Auszahlung 20) als der Partner von Verena (Auszahlung 10).

16

Interpretieren Sie die geschilderte Situation als ein nichtkooperatives Zweipersonenspiel in

Normalform mit den Spielern Max und Moritz.

a) Erstellen Sie die Auszahlungsmatrizen für Max und Moritz.

b) Ermitteln Sie den Garantiepunkt sowie sämtliche Maximinstrategien von Max und Moritz.

c) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte.

Aufgabe 44

Gegeben sei ein Matrixspiel Γ mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1:

U =

−1 −1 0

1 −2 −1

−1 1 0

a) Bestimmen Sie den unteren und den oberen Spielwert von Γ .

b) Besitzt Γ einen Gleichgewichtspunkt?

c) Bestimmen Sie für für die gemischte Erweiterung Γ E den Spielwert sowie die optimalen

Strategien beider Spieler.

Aufgabe 45

Ein Matrixspiel Γ werde durch folgende Auszahlungsmatrix für Spieler 1 beschrieben:

U =

1 0 p 1

−2 1 −1 2

0 −2 −1 1

a) Bestimmen Sie den unteren und den oberen Spielwert in Abhängigkeit von p ∈ IR.

b) Für welche Werte p besitzt Γ optimale (nicht gemischte) Strategien?

c) Nun sei p = −2. Ist die gemischte Erweiterung Γ E fair?

Aufgabe 46


U =

4 γ 2 5

3 8 1 6

9 8 7 6

Bestimmen Sie alle Werte des reellen Parameters γ, so dass die Partie

a) (a1, b1)

b) (a1, b2)

c) (a3, b4)

einen Gleichgewichtspunkt darstellt.

17

Aufgabe 47


U =

4 3 −1 c

2 −3 −2 −1

0 −3 0 2

a) Gibt es einen Wert c, so dass Γ determiniert ist?

Nun sei bekannt, dass p = (13 , 0, 2

3)T eine optimale gemischte Strategie von Spieler 1 ist.

b) Wie groß ist c?

c) Geben Sie eine optimale gemischte Strategie von Spieler 2 sowie den Spielwert der ge-

mischten Erweiterung Γ E von Γ an.

Aufgabe 48

In einem Nullsummenspiel Γ = (A, B, u) seien B = {b1; b2} und u(a, b1) = 10 a − 5 sowie

u(a, b2) = 2 (5 a − 3)2 − 2 für alle a ∈ A ⊂ IR.

I. Zunächst sei A = {15 ; 2

5 ; 35 ; 4

5 }.

a) Erstellen Sie die Auszahlungsmatrix für Spieler 1.

b) Berechnen Sie den unteren und den oberen Spielwert.

c) Bestimmen Sie ein Paar optimaler Strategien sowie den Spielwert

• falls möglich, im Spiel Γ

• anderernfalls in der gemischten Erweiterung Γ E.

II. Nun sei für A das Intervall [0; 1] zugelassen.

d) Zeigen Sie, dass gilt: u(a, b1) ≦ u(1, b1) ∀a ∈ A und u(1, b1) ≦ u(1, b2)

e) Bestimmen Sie ein Paar optimaler Strategien sowie den Spielwert

• falls möglich, im Spiel Γ

• anderernfalls in der gemischten Erweiterung Γ E.

Aufgabe 49

Gegeben sei ein Matrixspiel mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1:

U =

−2 1 0 u14

−1 −2 2 −3

0 −1 1 0

Bestimmen Sie für jeden möglichen Wert u14 ∈ IR

a) das Indeterminiertheitsintervall von Γ ;

b) einen Gleichgewichtspunkt sowie den Spielwert der gemischten Erweiterung.

18

Aufgabe 50

Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u1, u2) mit

U1 =

(2 −1

−4 7

)und U2 =

(5 −4

−2 0

).

a) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ).

b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u1∗, u2∗).

c) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (u1, u2) = (u1∗, u2∗).

Aufgabe 51

Gegeben sei ein kooperativ gespieltes Bimatrixspiel Γ = (A, B, u1, u2) mit

U1 =

(−2 6

3 −3

)und U2 =

(3 −1

−2 −1

).


b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u1∗, u2∗).

c) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (u1, u2) = (u1∗, u2∗).

d) Welche Auszahlungserwartungswerte ergeben sich, wenn in der gemischten Erweiterung

die Strategien p = (1, 0)T , q = (12 , 1

2)T gespielt werden?

Aufgabe 52


U1 =

(1 2 −1

0 1 1

)und U2 =

(3 1 0

−1 0 1

).


b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u1∗, u2∗) sowie sämtliche (nicht gemischte) Maximin-

strategien der beiden Spieler.

c) Geben Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ an.

d) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (u1, u2) = (u1∗, u2∗).

Auf welche Weise können die resultierenden Auszahlungen erreicht werden?

19

Aufgabe 53


U1 =

(3 2

0 4

)und U2 =

(0 3

4 2

).

a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ .

b) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ).

c) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u1∗, u2∗), geben Sie je eine Maximinstrategie a∗ bzw.

b∗ von Spieler 1 bzw. Spieler 2 an und bestimmen Sie den aus dem Einsatz von a∗ und

b∗ resultierenden Auszahlungsvektor (u1, u2).

d) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (u1, u2) = (u1, u2).

Aufgabe 54


U1 =

0 −6 −4

−7 0 −9

−7 −1 −8

und U2 =

2 2 6

1 −1 c

−2 2 6

.

I) Unterstellen Sie c = 3 und (u1, u2) = (−6, 3).

a) Auf welche Strategien ziehen sich die Spieler bei Scheitern der Verhandlungen zurück?

b) Ermitteln Sie die Nash-Lösung. Durch welches Spielverhalten wird sie erreicht?

II) Nehmen Sie nun c ∈ IR an.

c) Ist die Nash-Lösung (für beliebige (u1, u2)) Pareto-optimal?

Aufgabe 55

Das kooperative Auszahlungsdiagramm eines Bimatrixspiels ist ein konvexes Polyeder mit

den Ecken (20, 20), (20, 60), (40, 130), (60, 20), (60, 120), (120, 60) und (130, 40). Als Konflikt-

punkt wird (u1, u2) = (80, 80) gewählt.

a) Beurteilen Sie – ohne Berechnung der tatsächlichen Nash-Lösung! –, ob die im Folgenden

angegebenen Punkte Nash-Lösungen sind: A = (85, 85), B = (125, 50), C = (70, 110),

D = (100, 100). Begründen Sie Ihre Aussagen!

b) Berechnen Sie die Nash-Lösung (u1, u2).

c) Im vorliegenden Fall kann die Bestimmung von (u1, u2) einfacher durch Lösung der Glei-

chungen u2 = u1 = g(u1) erfolgen, wobei g die Gleichung einer bestimmten Geraden

ist. Wie lautet diese Gerade, welchen Umstand beschreibt sie, und aus welchem Grund ist

dieser Lösungsweg zulässig?

20

Aufgabe 56

Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u1, u2) mit A = {a1; a2} = {1; 2}, B = {b1; b2} =

{1; 2}, u1(ai, bj) = (ai − bj)2 und u2(ai, bj) = (bj − ai)

2.

a) Ist Γ ein

• Konstantsummenspiel?

• Nullsummenspiel?

Beide Antworten sind zu begründen!

b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt sowie sämtliche (nicht gemischten) Maximinstrategien

der beiden Spieler.

c) Geben Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ an.

d) Ermitteln Sie ohne Berechnung (!) die Nash-Lösung und erläutern Sie, warum diese im hier

betrachteten Spiel nicht von der Lage des Konfliktpunktes abhängt.

21

Lösung zu Aufgabe 1

a) a2 (wird von a3 dominiert)

b) α) a1 ≻ a3 ≻ a2

β) a3 ≻ a2 ≻ a1

γ) a3 ≻ a1 ≻ a2


a) Körth-Regel: a1 ≻ a2 ∼ a3; Goal-Programming: a1 ≻ a3 ≻ a2

b) z.B. Transformation uij → uij + 1 führt bei Körth-Regel zu a1 ∼ a3 ≻ a2


a) Alle Alternativen sind effizient.

b) a2 ≻ a3 ≻ a1

c) a2 ∼ a3 ≻ a1


a) a3

b) Unter Verwendung von g1 = g, g2 = 1 − g erhält man

Φ(a1) = g + 4 (1 − g) = 4 − 3 g

Φ(a2) = 5 g + 2 (1 − g) = 2 + 3 g

Φ(a3) = 3 g + 3 (1 − g) = 3

Damit ist . . .

. . . a1 optimal, falls (4 − 3 g > 2 + 3 g) ∧ (4 − 3 g > 3) ⇒ g < 13

. . . a2 optimal, falls (2 + 3 g > 4 − 3 g) ∧ (2 + 3 g > 3) ⇒ g > 13

. . . a3 optimal, falls g = 13 (dann gilt a1 ∼ a2 ∼ a3)


a) a3 und a4 (werden beide von a2 dominiert)

b) a2 ≻ a3 ≻ a4 ≻ a1

c) a2 ∼ a4 ≻ a1 ≻ a3

d) a4


a)U =

10 30 10

15 0 20

10 10 20

b) a2 ≻ a1 ≻ a3

c) a1 ≻ a2 ≻ a3

d) a1 ≻ a3 ≻ a2

22


a)

U =

15 60 0

10 60 20

15 40 40

b) Alle Alternativen sind effizient.

c) a1 ≻ a3 ≻ a2

d) a3 ≻ a1 ≻ a2

e) a3


a) ja; zwei Fälle möglich: u41 ≧ 3 i.V.m. u14 < 2 oder u41 > 3 i.V.m. u14 ≦ 2

b) u41 ≧ 4 i.V.m. u14 ≦ 2

c) Φ(a1) = 2,2 + 0,2 u14; Φ(a2) = 1,8; Φ(a3) = 1,7; Φ(a4) = 2,3 + 0,1 u41

a1 ≻ a4 ⇐⇒ u14 > 12(1 + u41)

d) zwei Fälle möglich: u14 > 2 oder u14 = 2 i.V.m. u41 < 3

e) mit u = u14 = u41: Φ(a1) = 12 − u; Φ(a2) = 12; Φ(a3) = 11; Φ(a4) = 13 − u

vier Fälle möglich: u = 0 ⇒ a3 ≻ a1 ∼ a2 ≻ a4

u ∈ (0, 1) ⇒ a3 ≻ a1 ≻ a2 ≻ a4

u = 1 ⇒ a1 ∼ a3 ≻ a4 ∼ a2

u ∈ (1, 2) ⇒ a1 ≻ a3 ≻ a4 ≻ a2


a) Mit g1 = g2 = g4 = 13 (1 − 2

6) = 29 = g und g3 = g5 = 1

6 = h gilt

Φ(a2) = 259 + 1

6 y

Φ(a3) = 239 + 1

6 x

}

⇒ a3 ≻ a2 ⇐⇒ 23

9+

1

6x >

25

9+

1

6y ⇐⇒ x > y +

4

3,

also für alle (x, y) ∈ {(3; 1), (4; 1), (5; 1), (4; 2), (5; 2), (5; 3)}.

b) Offensichtlich sind Φ(a1) = 12 und Φ(a4) = 13, es muss also Φ(a2) > 13 und Φ(a3) >

13 erfüllt werden. Dies ist nur möglich für x = y = 5.

c) Nun muss Φ(a2) < 12 und Φ(a3) < 12 gelten. Dies ist nur möglich für x, y ∈ {1; 2}.

d) Die Bedingung ist i.A. nicht erfüllt; Gegenbeispiel:

U =

(1 1 1 0

1 1 1 12

)

⇒ Φ(a1) = Φ(a2),

obwohl a1 von a2 dominiert wird.

23


a) Siehe Skizze unten (links).

b) alle a ∈ (3, 5] (werden von a = 3 dominiert)

c) Φ(a) = min{u1(a)/3, u2(a)/5} = min{a3 , 1 − a

5 } (nach Streichung ineffizienter Aktionen)

Φ(a) maximal ⇐⇒ a3 = 1 − a

5 ⇐⇒ a = 158 = 1,875 (siehe Skizze rechts)

5

3 5

u1

u2

1

3

Φ(a)Lösung zu Aufgabe 11

Im Folgenden bezeichne x die Anzahl Mengeneinheiten von Produkt I und y die Anzahl

Mengeneinheiten von Produkt II.

a) Im (x, y)-Koordinatensystem eine Strecke, die die Punkte (280; 560) und (840; 0) verbin-

det.

b) Wegen k1 ≻ k2 ist u1(x, y) = 2 x + 5 y maßgeblich; da II den größeren Deckungsbeitrag

bringt, wird y maximal gewählt ⇒ x = 280, y = 560.

c) Vorgehensweise analog zu Aufgabe 10, wobei u1(x, y) = 2 x + 5 y sein Maximum 3 360

bei x = 280, y = 560 (vgl. b) und u2(x) = x sein Maximum bei x = 840, y = 0 erreicht.

Φ(x, y) = min

{

2 x + 5 y

3 360;

x

840

}

maximal ⇔ 2 x + 5 y

3 360=

x

840⇔ (x, y) = (600, 240)

(Unter Beachtung von x + y = 840.)


a) Eu(Xa1) = 194 = 1 + 3

y+ 3

4 y = Eu(Xa2) ⇐⇒ 3 y2 − 15 y + 12 = 0 ⇐⇒ y = 4

(die zweite Lösung y = 1 entfällt wegen der Bedingung y ≧ 2).

b) u′′(x) = 8x3 > 0 ⇒ risikofreudig


a) E(X) = 15,5

b) Eu(X) = 50,22

c) u−1(y) =√

5 y ⇒ s =√

5 · 50,22 = 15,85

d) s > E(x) ⇒ risikofreudig

e) Lineare Transformation u(x) = 5 u(x) − 5 ⇒ Eu(X) = 5 · 50,22 − 5 = 246,1.

s und die Risikoeinstellung ändern sich bei linearer Transformation von u nicht.

24


a) Eu1(X) = 1,15; Eu2(X) = 0,78

b) u−11 (y) = ey ⇒ s1 = 3,16; u−1

2 (y) = −2 ln(1 − y) ⇒ s2 = 3,03

c) r1(x) = 1x

; r2(x) = 12


a) E(X) = 15

b) Eu(X) =20∫

10

3√

x · 110 dx = 3

10

[23 x

32

]20

10= 11,56

c) u−1(y) = 19 y2 ⇒ s = 14,85

d) s < E(X) ⇒ risikoavers


a) u(250 000) = 650 000 > Eu(X) = 633 333,33 → Fixlohn wählen

b) u(s) = 633 333,33 bei Zweig 1 unmöglich (0 ≦ x ≦ 200 000 ⇒ u(x) = 3 x ≦ 600 000)

⇒ u(s) = s + 400 000 = 633 333,33 ⇒ s = 233 333,33.


Der Unternehmer ist wegen E(X) = 700 = s risikoneutral, der Konkurrent ist wegen E(X) =

960 < 1 000 = s risikofreudig.


a) r(x) = 12 x+1

b) Eu(X0) = u(12) = 5; Eu(X8) = 3 · 2740 + 13 · 13

40 = 6,25; Eu(X12) = 2740 +

√241 · 13

40 = 5,72

c) u−1(y) = 12 y2 − 1

2 ⇒ s = 19,03

d) Eu(Xa) =√

25 − 2 a · 2740 +

√25 + 18 a · 13

40 → maxa

:

∂∂a

Eu(Xa) = 140

(117√

25+18 a− 27√

25−2 a

)= 0 ⇐⇒ 117

√25 − 2 a = 27

√25 + 18 a

⇐⇒ 342 225 − 27 378 a = 18 225 + 13 122 a

⇐⇒ a = 8

Wegen ∂2

∂a2 Eu(Xa)∣∣∣a=8

= − 25676 < 0 liegt ein Maximum vor.


a) E(X) = 15; Eu(X) = 1,5

u(s) = 1,5 bei Zweig 1 unmöglich (0 ≦ x ≦ 10 ⇒ u(x) = x2

100 ≦ 1)

⇒ u(s) =√

0,4 s − 3 = 1,5 ⇒ s = 13,125

b)

r(x) =

{

− 1x

, für 0 ≦ x ≦ 101

2 x−15 , für 10 < x ≦ 50⇒ r(5) = − 1

5 ; r(20) = 125

25


Eu(X) =

800 000∫

−200 000

u(a + e) · f(e) de

=1

1 000 000·

−100 000

∫

−200 000

1,5 · (100 000 + e) de +

800 000∫

−100 000

100 000 + e de

=1

1 000 000·(

1,5 · 100 0002 + 1,5 ·[e2

2

]−100 000

−200 000

+ 100 000 · 900 000 +

[e2

2

] 800 000

−100 000

)

= 397 500


Ohne Versicherung:

X1 =

5 000 000 mit Wahrscheinlichkeit 0,99

4 000 000 mit Wahrscheinlichkeit 0,009

−5 000 000 mit Wahrscheinlichkeit 0,001⇒ Eu(X1) = 5 000 000 · 0,99 + 4 000 000 · 0,009 − 15 000 000 · 0,001 = 4 971 000

Mit Versicherung (wobei Prämie = p): x2 = 5 000 000 − p ⇒ u(x) = 5 000 000 − p

Abschluss ⇐⇒ u(x2) ≧ Eu(X1) ⇐⇒ 5 000 000 − p ≧ 4 971 000 ⇐⇒ p ≦ 29 000


a) r(x) = 1x

b) u−1(y) = ey

Eu(X1) =100 000

∫

50 000

ln x · 150 000 dx = 1

50 000 [x ln x − x]100 00050 000 = 11,21 ⇒ s1 = 73 865,41

Eu(X2) =120 000

∫

40 000

ln x · 180 000 dx = 1

80 000 [x ln x − x]120 00040 000 = 11,24 ⇒ s2 = 76 114,95

c) s2 > s1 ⇒ a2 ≻ a1

d) Lineare Transformation ⇒ es ändert sich nichts.


a) E(XA) = 50 000 · 0,15 + 100 000 · 0,4 + 120 000 · 0,45 = 101 500

E(XB) = 30 000 · 0,55 + 120 000 · 0,45 = 70 500

E(XC) = = 100 000

⇒ A

b) lineare Bernoulli-Nutzenfunktion = Risikoneutralität ⇒ ebenfalls A

26

c) Var(XA) = (50 000 − 101 500)2 · 0,15 + · · · +(120 000 − 101 500)2 · 0,45 = 552 750 000

Var(XB) = (30 000 − 70 500)2 · 0,55 +(120 000 − 70 500)2 · 0,45 = 2 004 750 000

Var(XC) = = 0

damit sind

Φ(A) = 20 · 101 500 − 5 · 10−5 · (101 5002 + 552 750 000) = 1 487 250

Φ(B) = 20 · 70 500 − 5 · 10−5 · ( 70 5002 + 2 004 750 000) = 1 061 250

Φ(C) = 20 · 100 000 − 5 · 10−5 · 100 0002 = 1 500 000

⇒ C


a) E(Xa1) = 12 · (500 000 − 100 000) = 200 000

E(Xa2) = 12 · 300 000 = 150 000

E(Xa3) = 14 · (−100 000 + 100 000 + 300 000 + 500 000) = 200 000

E(Xa4) = −100 000 · 0,2 + 250 000 · 0,8 = 180 000

⇒ a1 ∼ a3

b) Verlustwahrscheinlichkeit P(Gewinn < 0) bei a2 minimal, da dies die einzige Alternative

ohne Verlustgefahr ist (d.h. P(Gewinn < 0) = 0; andere Alternativen: P(Gewinn < 0) > 0).

c) Var(Xa1) = 112 · (500 000 + 100 000)2 = 3 · 1010

Var(Xa2) = 112 · 300 0002 = 7,5 · 109

Var(Xa3) = 14 · [(−300 000)2 + (−100 000)2 + 100 0002 + 300 0002] = 5 · 1010

Var(Xa4) = (−100 000 − 180 000)2 · 0,2 + (250 000 − 180 000)2 · 0,8 = 1,96 · 1010

damit sind

Φ(a1) = 10−6 · 200 000 − 0,5 · 10−10 · 3 · 1010 = −1,3

Φ(a2) = 10−6 · 150 000 − 0,5 · 10−10 · 7,5 · 109 = −0,225

Φ(a3) = 10−6 · 200 000 − 0,5 · 10−10 · 5 · 1010 = −2,3

Φ(a4) = 10−6 · 180 000 − 0,5 · 10−10 · 1,96 · 1010 = −0,8

⇒ a2


a) Lineare Transformation einer exponentiellen Risikonutzenfunktion

⇒ APM = c ohne Rechnung klar.

Zahlenwert: 15 − 546e2c = 5 ⇒ c = ln 54,6

2 ≈ 2

b) p ·(

15 − 546e6

)+ (1 − p) ·

(15 − 546

e2

)= 72,54 p − 58,89 = 5

⇒ p = 63,8972,54 = 0,88

c) π = 0,88 · 3 + 0,12 − 2 = 0,76

d) X ∼ N(µ; σ2); Φ(µ, σ) = µ − σ2


Mit konstantem Arrow-Pratt-Maß, u(0) = 0, u ′(0) = 0,1 ist u(x) = 1 − e−0,1 x eindeutig

festgelegt. Auf Grund der Normalverteilungsannahme gilt weiter s = E(X) − 12 · 0,1 · Var(X),

wobei sich Var(X) gemäß Verschiebungssatz als E(X2) − E2(X) = 500 − 202 = 100 ergibt.

Somit ist s = 20 − 0,05 · 100 = 15 und der Nutzenerwartungsert

Eu(X) = u(s) = 1 − e−0,1·15 ≈ 0,78.

27


Wald: a1; Maximax: a2; Laplace: a1; Savage-Niehans: a1 ∼ a2; Krelle: a1

Hurwicz: Φ(a1) = 1, Φ(a2) = 2 λ ⇒

a1 ≻ a2, für λ < 12

a2 ≻ a1, für λ > 12

a1 ∼ a2, für λ = 12


Es gilt {a1, a2, a3, a4} = {z1, z2, z3, z4} = {0, 1 000, 2 000, 3 000} und für die Nutzenfunktion

u(ai, zj) = 60 · min{ai, zj} − 50 ai (da nur eine Nachfrage ≦ ai bedient werden kann). Also:

U = 1 000 ·

0 0 0 0

−50 10 10 10

−100 −40 20 20

−150 −90 −30 30

a) 0 Übernachtungen

b) 3 000 Übernachtungen

c) Φ(a1) = 0; Φ(a2) = 60 λ − 50; Φ(a3) = 120 λ − 100; Φ(a4) = 180 λ − 150

Wegen Φ(a3) = 2 Φ(a2) und Φ(a4) = 3 Φ(a2) genügt der Vergleich von a1 und a4:

60 λ − 50 > 0 ⇐⇒ λ > 56 ⇒ Entscheidung:

0 Übernachtungen falls λ < 56

3 000 Übernachtungen falls λ > 56

beliebige Anzahl Übernachtungen falls λ = 56


Es gilt {a1, a2, a4} = {z1, z2, z3} = {20, 30, 40} (in T€, wobei die ai den Preisen von Knobel und

die zj den Preisen der Netservice GmbH entsprechen). Ferner ist uij = ai − 15, falls ai ≦ zj

(d.h. Knobel erhält den Zuschlag), sonst ist uij = 0. Also:

U =

5 5 5

0 15 15

0 0 25

a) 20 000 €

b) 40 000 €

c) 30 000 €

d) 40 000 €

28


a) a2 ∼ a3 ≻ a1

b) a2 ≻ a3 ≻ a1

c) a2 ≻ a3 ≻ a1


a) c = 15 (c = 14 auch in Ordnung; dann a1 ∼ a4)

b) Wegen minj u1j = min{1; c} < 3 = minj u2j kann a1 nie optimal sein.

c) Φ(a2) = 132 ; Φ(a3) = 11

2 ; Φ(a4) = 152

Wegen Φ(a4) > Φ(a2) > Φ(a3) genügt ein Vergleich von a1 und a4: Für c ≦ 10 ist

Φ(a1) = 112 < Φ(a4); folglich sind nur Werte c > 10 relevant, so dass Φ(a1) = c+1

2 gilt.

Aus c+12 > 15

2 folgt c > 14, so dass der kleinste Wert für c 15 ist.

d) Wählt man c ≧ 8, so ist Φ(a1) = 5; Φ(a2) = max{6; c−8} > Φ(a1); Φ(a3) = max{11; c} >

Φ(a1); Φ(a4) = max{5; c − 2} ≧ Φ(a1) und damit a1 optimal. Für c ∈ [2; 8) ist Φ(a1) =

max{5; 8 − c} ≦ 6; Φ(a2) = 6; Φ(a3) = 11; Φ(a4) = 6 und damit ebenfalls a1 optimal.

Im Fall c = 1 schließlich ist Φ(a1) = 7 > 6 = Φ(a2), so dass a1 nicht optimal ist. Folglich

ist a1 optimal im Sinne der Savage-Niehans-Regel für alle c ≧ 2, so dass der kleinste Wert

für c 2 ist.

e) Für c ≦ 2 wird a1 von a4 dominiert.


a) Nein, alle Alternativen sind effizient.

b) a2 ∼ a3 ≻ a1

c)EWVI = min{12 p; 12 p + 4 · (1 − 3 p); 8 p} = min{8 p; 4} =

{

4, falls p ≧ 12

8 p, sonst= 8 p, da nach Angabe p < 1

3 .

⇒ Informationsbeschaffung lohnt sich, wenn EWVI = 8 p ≦ 2 ⇐⇒ p ≧ 14 .

Insgesamt: p ∈ [14 ; 1

3)


Φ(a1) = 2 λ + 3 > λ + 3 = Φ(a2) ⇐⇒ 2 λ > λ ⇐⇒ λ > 0


a) Falsch: Es existieren zwei dominierte Aktionen, a5 und a6.

b) Falsch: Es gilt zwar a1 ∼ a2, u.U. aber auch a1 ∼ a2 ≻ a3 (für λ < 13 ).

c) Richtig: a1 ∼ a2 ∼ a4.

d) Falsch: Φ(a1) = Φ(a3) = 3.

e) Richtig: a7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) ⇒ ai ≻ a7 ∀ i = 1, . . . , 6 (auch a) bleibt falsch!).

29


a) a1

b) S =(

2 01 30 3

)

c) EWVI = 1


a) a2

b) Φ(a1) = 15 λ + 6 > 17 λ + 5 = Φ(a2) ⇐⇒ 1 > 2 λ ⇐⇒ λ < 12

c) Zulässige zusammenhängende Träger: {z1}, {z2}, {z1, z3}, {z1, z4}, {z1, z3, z4}

g(ai, pj) p1 p2 p3 p4 p5 min

a1 21 15 15 13,5 12 12

a2 22 13 13,5 20 15 13

a2 ≻ a1


a) a1 ∼ a2 ≻ a4 ≻ a3

b) EWVI = 1,6


a) Nein, alle Alternativen sind effizient.

b) a1 ≻ a3 ≻ a2

c) c ≦ 3

d) a1


Vollkommene Information ist insbesondere dann wertlos, wenn mit bzw. ohne Information

die gleiche Entscheidung getroffen wird, etwa weil nur eine undominierte Aktion existiert,

z.B.

U =

(3 3

5 5

).


a) c = 5 : EWVI = 2; c = 15 : EWVI = 1,6

b) Es ist eine Fallunterscheidung erforderlich.

(I) c < 10: Die Schadensmatrix ist dann

S =

(10 − c 0 4 0 0

0 2 0 8 0

)

und damit

EWVI = min{2,6 − 0,1 c; 2} =

{

2 für 2 ≦ 2,6 − 0,1 c ⇐⇒ c ≦ 6

2,6 − 0,1 c für 2 > 2,6 − 0,1 c ⇐⇒ 6 < c < 10

30

(II) c ≧ 10: Die Schadensmatrix ist dann

S =

(0 0 4 0 0

c − 10 2 0 8 0

)und damit

EWVI = min{1,6; 1 + 0,1 c} =

{

1,6 für 1,6 ≦ 1 + 0,1 c ⇐⇒ c ≧ 6

2 + 0,1 c für 1,6 > 1 + 0,1 c ⇐⇒ c < 6

Da c < 6 im Widerspruch zu Fall (II) c ≧ 10 steht, ist der Zweig 2 irrelevant.

Insgesamt erhalten wir:

EWVI =

2 für c ≦ 6

2,6 − 0,1 c für 6 < c < 10

1,6 für c ≧ 10


a) Mit a1: keine Produkteinführung, a2: Produkt A einführen ist

U =

(0 0 0

100 000 0 −10 000

)

⇒ S =

(100 000 0 0

0 0 10 000

)

und damit EWVI = min{25 000; 3 500} = 3 500 < 5 000. Somit lohnt es sich nicht, Schlau &

Berger zu beauftragen.

b) Nun zusätzlich a2: Produkt B einführen. Dann ist

U =

0 0 0

100 000 0 −10 000

10 000 10 000 10 000

⇒ S =

100 000 10 000 10 000

0 10 000 20 000

90 000 0 0

und damit EWVI = min{32 500; 11 000; 22 500} = 11 000 > 5 000. Nun lohnt es sich, Schlau

& Berger zu beauftragen.


a) Nein: EWVI = − 1 0002

100 + 20 · 1 000 = 10 000 < 15 100 = 100 + 15 · 1 000

b) 100 + 15 n ≦ − n2

100 + 20 n ⇒ n ∈ (20,87; 479,13), also maximal 479.

c) Nettogewinn = − n2

100 + 20 n − 100 − 15 n = − n2

100 + 5 n − 100 → maxn

.

1. Ableitung: − 2 n100 + 5 = 0 ⇔ n = 250; 2. Ableitung: − 2

100 < 0 o.k.

Nettogewinn = − 2502

100 + 5 · 250 − 100 = 525


a) J V

J (0, 0) (20, 10)

V (10, 20) (0, 0)

b) J, V sind Maximinstrategien beider Spieler; Garantiepunkt: (0, 0)

c) (J, V), (V , J)

31


a) u∗ = −1, u∗ = 0

b) Nein

c) a1 streichen; Graphische Lösung: g1(p) = g3(p) ⇔ 2 p − 1 = −p ⇔ p∗ = 13

⇒ p∗ = (0, 13 , 2

3)T , v = g3(13) = − 1

3 . Ferner: ju = 1, jo = 3 ⇒ −q!= − 1

3 ⇔ q∗ = 13

⇒ q∗ = (13 , 0, 2

3)T .


a) u∗: Fallunterscheidung:

I) p > 0 ⇒ u∗ = max{0; −2; −2} = 0

II) p ≦ 0 ⇒ u∗ = max{p; −2; −2} = max{p; −2}

u∗ =

−2, falls p ≦ −2

p, falls −2 < p ≦ 0

0, falls p > 0

u∗: Fallunterscheidung:

I) p ≧ −1 ⇒ u∗ = min{1; 1; p; 2} = min{1; p}

II) p < −1 ⇒ u∗ = min{1; 1; −1; 2} = −1

u∗ =

−1, falls p < −1

p, falls −1 ≦ p < 1

1, falls p ≧ 1

b) u∗ = u∗ = p ⇔ −2 < p ≦ 0 ∧ −1 ≦ p < 1 ⇔ p ∈ (−2; 0] ∩ [−1; 1) = [−1; 0]

c) Nein, da u∗ = −2 ≦ v ≦ −1 = u∗ ⇒ v < 0


a3 dominiert a2 und b2 dominiert b1. Nach Reduktion:

u b2 b3 b4 min

a1 γ 2 5 min{γ; 2}

a3 8 7 6 6

max max{γ; 8} 7 6

Wegen min{γ; 2} ≦ 2 < 6 ⇒ a∗ = a3 und max{γ; 8} ≧ 8 > 6 ⇒ b∗ = b4 ist (a3, b4)

– unabhängig von γ! – einziger Gleichgewichtspunkt. Daraus ergeben sich sofort folgende

Antworten:

a) (a1, b1) ist für kein γ Gleichgewichtspunkt.

b) (a1, b2) ist für kein γ Gleichgewichtspunkt.

c) (a3, b4) ist für alle γ Gleichgewichtspunkt.

32


a) Nein, da u∗ = max{min{c; −1}; −3; −3} ≦ −1 und u∗ = min{4; 3; 0; max{c; 2}} = 0 > u∗

b) b1 streichen, dann a2; Graphische Lösung: g1(13) = 1

3 · 3 − 23 · 3 = −1; g2(

13 ) = − 1

3 ;

g3(13) = c

3 + 43 . Beachte: −1 < − 1

3 , d.h. 1) p∗ kann nicht Schnittpunkt von g1, g2 sein; 2) bei

p∗ = 13 liegt g1 „tiefer“ als g2. ⇒ p∗ im Schnittpunkt von g1, g3: −1 = c

3 + 43 ⇔ c = −7.

c) v = g1(13 ) = −1; ju = 1, jo = 3 ⇒ 3 q − 7 (1 − q) = 10 q − 7

!= −1 ⇔ q∗ = 3

5

⇒ q∗ = (0, 35 , 0, 2

5)T .


a) U =

(−3 6−1 0

1 −23 0

)

b) u∗ = 0, u∗ = 3

c) Wegen u∗ < u∗ gemischte Erweiterung untersuchen; a2, a3 streichen; Graphische Lösung:

−3 p + 3 (1 − p) = 6 p ⇔ p∗ = 14 ⇒ p∗ = (1

4 , 0, 0, 34)T , v = 6 · 1

4 = 32

3 q = 32 ⇔ q∗ = 1

2 ⇒ q∗ = (12 , 1

2)T .

d) u(a, b1) = 10 a − 5 ≦ 10 − 5 = 5 = u(1, b1); u(1, b1) = 5 ≦ 6 = u(1, b2)

e) Aus d) folgt a∗ = 1, b∗ = b1; v = u(1, b1) = 5.


a) u∗ = max{min{u14; −2}; −3; −1} = −1; u∗ = min{0; 1; 0; max{u14; 0}} = 0

⇒ [u∗; u∗] = [−1; 0], unabhängig von u14

b) b3, a2 streichen; Graphische Lösung: g1(p) = −2 p; g2(p) = 2 p − 1; g4(p) = u14 · p.

Beachte: Falls u14 < −2 liegt g4 „tiefer“ als g1 u.u. ⇒ Fallunterscheidung erforderlich.

I) u14 ≧ −2:

g1(p) = g2(p) ⇔ −2 p = 2 p − 1 ⇔ p∗ = 14 ⇒ p∗ = (1

4 , 0, 34)T , v = g1(

14) = − 1

2 ;

ju = 2, jo = 1 ⇒ −q = − 12 ⇔ q∗ = 1

2 ⇒ q∗ = (12 , 1

2 , 0, 0)T .

II) u14 < −2:

g4(p) = g2(p) ⇔ u14 · p = 2 p − 1 ⇔ p∗ = 12−u14

⇒ p∗ = ( 12−u14

, 0, 1−u142−u14

)T

v = g4(1

2−u14) = u14

2−u14

ju = 2, jo = 4 ⇒ −q = u142−u14

⇔ q∗ = −u142−u14

⇒ q∗ = (0, −u142−u14

, 0, 22−u14

)T .


a) Polyeder mit den Ecken (−4, −2), (−1, −4), (2, 5) und (7, 0).

b) u1∗ = −1, u2∗ = −2

c) Pareto-Rand: Gerade zwischen (2, 5), (7, 0) ⇒ up2 = 7 − u1 (wobei 2 ≦ u1 ≦ 7).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = (u1 + 1)(7 − u1 + 2) = −u2

1 + 8 u1 + 9

1. Abl.: −2 u1 + 8!= 0 ⇔ u1 = 4 (2. Abl.: −2 < 0 o.k.); in u

p2 : u2 = 7 − 4 = 3.

33


a) Polyeder mit den Ecken (−3, −1), (−2, 3), (3, −2) und (6, −1).

b) u1∗ = −2, u2∗ = −1

c) Pareto-Rand: Gerade zwischen (−2, 3), (6, −1) ⇒ up2 = 2 − 1

2 u1 (wobei −2 ≦ u1 ≦ 6).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = (u1 + 2)(2 − 1

2 u1 + 1) = − 12 u2

1 + 2 u1 + 6

1. Abl.: −u1 + 2!= 0 ⇔ u1 = 2 (2. Abl.: −1 < 0 o.k.); in u

p2 : u2 = 2 − 1

2 · 2 = 1.

d) E1 = − 12 · 2 + 1

2 · 6 = 2 (= u1); E2 = 12 · 3 − 1

2 · 1 = 1 (= u2)

(Anmerkung: Mit diesen p, q kann also die Nash-Lösung aus c) umgesetzt werden.)


a) Polyeder mit den Ecken (−1, 0), (0, −1), (1, 3) und (2, 1).

b) u1∗ = 0, u2∗ = 0; a∗ = a2, b∗ = b2, b3

c) 2 Gleichgewichtspunkte: (a1, b1), (a2, b3)

d) Pareto-Rand: Gerade zwischen (1, 3), (2, 1) ⇒ up2 = 5 − 2 u1 (wobei 1 ≦ u1 ≦ 2).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = u1 · (5 − 2 u1) = −2 u2

1 + 5 u1

1. Abl.: −4 u1 + 5!= 0 ⇔ u1 = 5

4 (2. Abl.: −4 < 0 o.k.); in up2 : u2 = 5 − 2 · 5

4 = 52 .

Spieler 1 wählt auf jeden Fall a1 (ist sowohl für (1, 3) als auch für (2, 1) erforderlich);

Spieler 2 wählt b1 (→ Punkt (1, 3)) mit W’keit p und b2 (→ Punkt (2, 1)) mit W’keit 1 − p;

dabei wird p so festgelegt, dass p · 1 + (1 − p) · 2 = 54 (= u1) ⇔ p = 3

4 .


a) Γ besitzt keine Gleichgewichtspunkte.

b) Polyeder mit den Ecken (0, 4), (3, 0) und (4, 2).

c) u1∗ = 2, u2∗ = 2; a∗ = a1, b∗ = b2; (u1, u2) = (2, 3)

d) Pareto-Rand: Gerade zwischen (0, 4), (4, 2) ⇒ up2 = 4 − 1

2 u1 (wobei 0 ≦ u1 ≦ 4).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = (u1 − 2)(4 − 1

2 u1 − 3) = − 12 u2

1 + 2 u1 − 2

1. Abl.: −u1 + 2! = 0 ⇔ u1 = 2 = u1 ⇒ u2 = u2 = 3 (2. Abl.: − 12 < 0 o.k.).


a) a1, b3 (die Maximinstrategien; dann sind u1∗ = −6, u2∗ = 3)

b) Pareto-Rand: Gerade zwischen (−4, 6) und (0, 2) ⇒ up2 = 2 − u1 (wobei −4 ≦ u1 ≦ 0).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = (u1 + 6))(2 − u1 − 3) = −u2

1 − 7 u1 − 6

1. Abl.: −2 u1 − 7!= 0 ⇔ u1 = − 7

2 (2. Abl.: −2 < 0 o.k.); in up2 : u2 = 2 + 7

2 = 112 .

Spieler 1 wählt auf jeden Fall a1 (ist sowohl für (−4, 6) als auch für (0, 2) erforderlich);

Spieler 2 wählt b1 (→ Punkt (0, 2)) mit W’keit p und b3 (→ Punkt (−4, 6)) mit W’keit 1−p;

dabei wird p so festgelegt, dass p · 0 − (1 − p) · 4 = − 72 (= u1) ⇔ p = 1

8 .

c) Ja, vgl. Eigenschaft 3 jeder Nash-Lösung.

34


a) Kein einziger der Punkte A–D ist eine Nash-Lösung: A liegt unterhalb und D oberhalb

des Pareto-optimalen Randes; B verletzt die individuelle Rationalität von Spieler 2, C die

von Spieler 1.

b) Pareto-Rand: Gerade zwischen (60, 120) und (120, 60) ⇒ up2 = 180−u1 (60 ≦ u1 ≦ 120).

[u1 − u1] · [up2 − u2] = (u1 − 80)(180 − u1 − 80) = −u2

1 + 180 u1 − 8 0001. Abl.: −2 u1 + 180

!= 0 ⇔ u1 = 90 (2. Abl.: −2 < 0 o.k.); in u

p2 : u2 = 180 − 90 = 90.

c) g ist die Gerade up2 aus Teil b) und beschreibt den Pareto-Rand. Zulässig ist der Ansatz

u1 = g(u1) = 180− u1 ⇒ u1 = 90, u2 = u1 = 90 auf Grund der Eigenschaften 3 (Pareto-

Optimalität) und 4 (Symmetrie) der Nash-Lösung: Wegen Pareto-Optimalität muss u2 =

g(u1) gelten; und die Bedingung u2 = u1 folgt aus der Symmetrie: Das hier betrachtete

kooperative Auszahlungsdiagramm ist symmetrisch um die 45◦-Linie, auf der auch der

Konfliktpunkt liegt. Eigenschaft 4 der Nash-Lösung fordert für solche Fälle, dass auch die

Nash-Lösung auf der 45◦-Linie liegen muss, d.h. u2 = u1.


a) u1(1, 1) + u2(1, 1) = 0 6= 2 = u1(1, 2) + u2(1, 2)

⇒ kein Konstantsummenspiel ⇒ kein Nullsummenspiel

b) (u1∗, u2∗) = (0, 0); Alle Strategien beider Spieler sind Maximinstrategien.

c) 2 Gleichgewichtspunkte: (a1, b2), (a2, b1)

d) (u1, u2) = (1, 1), da dies der einzige Pareto-optimale Punkt ist.

35

C:/Dokumente und … · Aufgabe 4 Gegeben sei das Zielsystem {k1,k2} und die zugehörige...

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