CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR.pdf

CAPITOLUL 9

CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELORALEATOARE

9.1. Media; definiţie, proprietăţi

Fie X variabilă aleatoare pe câmpul de probabilitate),,( PKΩ .

DEFINIŢIE : Fie

= )(:

ii

i

xfpx

X , unde ni ,,1 Κ= .

Atunci valoarea medie variabilei aleatoare discrete X este

=

=n

iii xfxXM

1

)()( .

DEFINITIE : Fie

)(:

xfx

X , unde ],[ bax ∈ . Atunci

valoarea medie a variabilei aleatoare continue X este⋅=

b

adxxfxXM )()( .

OBSERVAŢIE : Pentru ∞→n , trebuie ca seria∞

=1

)(i

ii xfx să fie convergentă. Pentru a sau b tinzând către ∞− sau

∞+ , trebuie ca integrala improprie să fie convergentă.

EXEMPLE:

1)

3,05,02,0321

:X , 1,23,035,022,01)( =⋅+⋅+⋅=XM .

2)

= −xexfx

X)(

: , 0≥x , ∞ − =Γ==

01)2()( dxxeXM x .

Proprietăţi ale mediei:

P1. Fie

)(:

i

i

xfx

X , ni ,,1 Κ= . Dacă µλ ≤≤ ix , atunci :

µλ ≤≤ )(XM .

Demonstraţie: =

=n

iii xfxXM

1

)()(

Adunând aceste relaţii pentru valorile indicelui ni ,,1 Κ= , obţinem:

⋅⋅≤⋅≤⋅ )()()( iiii xfxfxxf µλ = =

⋅≤≤⋅n

i

n

iii xfXMxf

1 1

)()()( µλ ,deci

µλ ≤≤ )(XM , deoarece =

=n

iixf

1

1)( .

P2. kkM =)( , adică media unei constante este o constantă.

Demonstraţie:

1:

kX , kkkM =⋅= 1)( .

P3. Media unei constante înmulţită cu o variabilă aleatoare esteegală cu constanta înmulţită cu media variabilei aleatoare.Adică: )()( XMaXaM ⋅=⋅ .

Demonstraţie: Fie

n

n

ppxx

XΚΚ

1

1: , =

=n

iip

1

1, =

⋅=n

iii pxXM

1

)( .

Atunci

⋅⋅⋅

n

n

ppxaxa

XaΚΚ

1

1: .

)()()( 1111 XMapxpxapxapxaXaM nnnn ⋅=⋅++⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅=⋅ ΚΚ .

P4. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare, atunci :)()()( YMXMYXM +=+ .

Demonstraţie: Fie

i

i

px

X : , ni ,,1 Κ= , =

⋅=n

iii pxXM

1

)( ,

=

=n

iip

11 şi fie

j

j

qy

Y : , mj ,,1 Κ= , =

⋅=m

jjj qyYM

1

)( ,

=

=m

jjq

1

1 . Atunci

⋅+

+ji

ji

qpyx

YX : , ni ,,1 Κ= , mj ,,1 Κ= .

+⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=+ === == = ==

m

jj

n

iii

n

i

m

jjij

n

i

n

i

m

jjii

m

jjiji qpxqpyqpxqpyxYXM

111 11 1 11

)()(

)()(1 1

YMXMqypn

i

m

jjji +=⋅+

= =

.

P5. Dacă X şi Y sunt independente, atunci: )()()( YMXMYXM ⋅=⋅ .

Demonstraţie:

⋅⋅

⋅ji

ji

qpyx

YX : , ni ,,1 Κ= , mj ,,1 Κ= .

= ===

⋅===⋅n

i

m

jjj

n

iii

m

jjiji YMXMqypxqpyxYXM

1 111

)()()(

9.2. Dispersia; definiţie, proprietăţi

Fie

−−1,04,04,01,0

2112:X , 0)( =XM . Observăm că

valorile lui X nu diferă mult de medie.

Fie

−−1,04,04,01,0

1000551000:Y , 0)( =YM . Observăm că

valorile lui Y diferă mult de medie.Împrăştierea valorilor lui Y este mai mare decât

împrăştierea valorilor lui X.

Fie

n

n

pppxxx

XΚΚ

21

21: şi fie M(X) media sa. Construim

variabila aleatoare )(XMX −=ξ , numită abaterea variabileialeatoare X de la media sa. Fie m=M(X).

−−−

n

n

pppmxmxmx

ΚΚ

21

21:ξ

OBSERVAŢIE: 0)()()(][)( =−=−=−= mxMmMXMmXMM ξ .

Deci nu putem utiliza media variabilei aleatoare abaterepentru a determina împrăştierea faţă de media sa. Din acest motiv,ca o măsură a împrăştierii valorilor unei variabile aleatoare X faţă demedia sa, vom lua dispersia, notată cu D(X), unde:

)()( 22 ξσ MXD == . Dispersia este media pătratului variabileialeatoare de abatere ξ .

−−−

n

n

pppmxmxmx

ΚΚ

21

222

212 )()()(

:ξ .

)()(2)]([ 2222 XMXXMXXMX +⋅−=−=ξ .Atunci dispersia va fi :

=+−== )()()(2)()()( 222 XMXMXMXMMXD ξ )()( 22 XMXM − .Rezultă astfel că )()()( 22 XMXMXD −= .

EXEMPLE :

1)

−3,04,03,0101

:X , 0)( =XM ;

4,06,001

:2X , 6,0)( 2 =XM

6,0)()()( 22 =−= XMXMXD .

2)

−3,04,03,0

100001000:Y , 0)( =YM ;

6,04,0100

:6

2Y , 600000)( 2 =YM

600000)()()( 22 =−= YMYMYD .

3)

= −xexfx

X)(

: , 0≥x , 1)2()(0

=Γ== ∞ − dxxeXM x

= −xexfxX)(

:2

2 , 0≥x , 2!2)3()(0

2 ==Γ== ∞ − dxexXM x

112)()()( 22 =−=−= XMXMXD .

Proprietăţi ale dispersiei:

P1. Dispersia unei constante este egală cu zero. Adică 0)( =aD ,unde a este o constantă.

Demonstraţie: 0)()()( 2222 =−=−= aaaMaMaD .

P2. Dispersia unei constante înmulţită cu o variabilă aleatoare esteegală cu produsul dintre pătratul constantei şi dispersia variabileialeatoare. Adică: )()( 2 XDaXaD ⋅=⋅

Demonstraţie: −=⋅−⋅=⋅ )()()()( 22222 XMaXaMXaMXaD

)()]()([)( 222222 XDaXMXMaXMa =−=− .

P3. Dacă X şi Y sunt independente, atunci )()()( YDXDYXD +=+

Demonstraţie: =+−+=+ )(])[()( 22 YXMYXMYXD++=+−++= )()(2)()]()([)2( 2222 YMXMXMYMXMYXYXM

)()()()()(2)()( 222 YDXDYMYMXMXMYM +=−−−+ .

Consecinţa 1: ==

=

r

ii

r

ii XDXD

11

)( , unde variabilele iX

sunt independente, ri ,,1 Κ= .Consecinţa 2: )()( XDXaD =+ .Consecinţa 3: Dacă bXaY +⋅= , atunci )()( 2 XDaYD = .Consecinţa 4: Dacă YXZ −= , atunci )()()( YDXDZD += .

Într-adevăr, putem scrie )( YXYXZ −+=−= şi deci)()1()(])1[()()( 2 YDXDYDXDZD −+=−+= şi deci )()()( YDXDZD += .

TEOREMĂ: Fie nXXX ,,, 21 Κ variabile aleatoare cu

aceeaşi medie şi dispersie. Fie

=

= ==n

ii

n

ii

Xnn

XY

1

1 1 , media

aritmetică a veriabilelor iX . Atunci =

=n

iiXD

nYD

1

)(1)( .

Demonstraţie: )(1)(11)(1

21

i

n

ii

n

ii XD

nXDn

nX

nDYD =⋅⋅=

= ==

.

9.3. Abaterea medie pătratică

DEFINIŢIE: Se numeşte abatere medie pătratică a uneivariabile aleatoare X, rădăcina pătrată din dispersia variabileialeatoare.

Abaterea medie pătratică, )(XD=σ , are în principiuproprietăţi corespunzătoare dispersiei.

9.4. Momentele unei variabile aleatoare X

Momentele unei variabile aleatoare sunt valori tipice alevariabilei. Există două tipuri de momente: momente iniţiale şimomente centrate.

DEFINIŢIE: Momentul iniţial de ordinul k al uneivariabile aleatoare X este media variabilei aleatoare kX .

)( kk XMm = , Κ,2,1=k

Cazuri particulare:)(1 XMm = , )( 2

2 XMm = , deci 212)( mmXD −= .

DEFINIŢIE: Momentul centrat de ordinul k al uneivariabile aleatoare X este media variabilei aleatoare ]))([( kXMX − .

]))([( kk XMXM −=µ , Κ,2,1=k

Cazuri particulare:0)]([1 =−= XMXMµ , )()]([ 2

2 XDXMX =−=µ .

În cazul unei variabile aleatoare discrete, fie

n

n

ppxx

XΚΚ

1

1: ,

atunci

n

kn

kk

ppxx

XΚΚ

1

1: şi

−−−

n

kn

kk

ppmxmx

mXΚΚ

1

1 )()(:)( .

Prin urmare =

==n

ii

ki

kk pxXMm

1)( şi

=

−=−=n

ii

ki

kk pmxmXM

1

)(])[(µ ,

nk ,,2,1 Κ= .

În cazul unei variabile aleatoare continue, fie

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ ,

∈∞∪−∞∈

=],[),(

),(),(,0)(

baxxfbax

xf , momentele

vor fi =b

a

kk dxxfxm )( şi −=

b

a

kk dxxfmx )()(µ , nk ,,2,1 Κ= .

Fie F(X) funcţia de repartiţie. Atunci ∞

∞−= )(xdFxm k

k şi

∞

∞−−= )()( xdFmx k

kµ .

Relaţia dintre momentele iniţiale şi cele centrate:

=

−

=

− −=

−=−=−=

k

j

jkjjk

jk

j

jkjjk

kkkk XMmCXmCMmXMXMXM

00

)()1()1(][)]([µ

Dar jkjk mXM −

− =)( . Deci avem: =

−−=j

kjk

jjk

jk mmC

0

)1(µ .

OBSERVAŢIE : Pentru k=2 , obţinem :

022

2111

2202

2

0

22 mmCmmCmCmmC

jjk

jj +−==

=−µ .

Dar 1)1()( 00 === MXMm şi mm =1 .

Atunci )(0 212

2122 XDmmmm =−=+−=µ .

9.5. Funcţia generatoare de momente a unei variabile aleatoare

Funcţia generatoare de momente a unei variabile aleatoarese introduce pentru simplificarea calculului momentelor.

DEFINIŢIE: Se numeşte funcţie generatoare de momentea unei variabile aleatoare X, valoarea medie a variabilei tXe , unde

Rt ∈ .Notăm funcţia generatoare de momente cu RRg →: , dată

de )()( tXeMtg = .

Fie

n

n

pppxxx

XΚΚ

21

21: o variabilă aleatoare discretă,

deci

=

n

txtxtxtX

pppeee

en

ΚΚ

21

21

, iar funcţia generatoare de

momente este =

==n

ii

txtX peeMtg i

1

)()( .

Fie

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ , o variabilă aleatoare continuă,

deci

=

)(xfe

etx

tX , ],[ bax ∈ , iar funcţia generatoare de momente

este ==b

a

txtX dxxfeeMtg )()()( .

Proprietăţi ale funcţiei generatoare de momente:

P1. 1)0( =g

Demonstraţie: 1)1()()0( 0 === ⋅ MeMg t

P2. Dacă nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cufuncţiile generatoare de momente )(,),(),( 21 tgtgtg nΚ , atunci funcţiageneratoare de momente a variabilei aleatoare

nXXXX +++= Κ21 , este )()()()( 21 tgtgtgtg n⋅⋅⋅= Κ .

Demonstraţie:=⋅⋅⋅⋅=== +++ ][)()()( 2121 )( nn tXtXtXXXXttX eeeMeMeMtg ΚΚ

)()()()()()( 2121 tgtgtgeMeMeM n

tXtXtX n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ΚΚ .

P3. Dacă variabila aleatoare X admite momente finite de orice

ordin, atunci ∞

=

⋅=0 !

)(k

k

k

mkttg .

Demonstraţie: Dezvoltăm în serie Taylor (Mc Laurin) pe tXe . Ştim

că ΚΚ +++++=!!2!1

12

kttte

kt .

Atunci tXe va avea forma :

∞

=

=+++++=0

22

!!!2!11

k

kk

kk

tX XktX

ktXtXte ΚΚ .

∞

=

∞

=

∞

=

==

==

0 00 !)()(

!!)()(

k kk

kk

k

k

kk

tX mkttgXM

ktX

ktMeMtg .

P4. Funcţia generatoare de momente este de n ori derivabilă înraport cu t şi k

k mg =)0()( sau ktk mtg ==0

)( |)( .

Demonstraţie:

a) Fie variabila aleatoare discretă

n

n

pppxxx

XΚΚ

21

21: .

=

⋅=n

ii

tx petg i

1

)(

=

⋅⋅=n

ii

txi pextg i

1

)('

=

⋅⋅=n

ii

txi pextg i

1

2)(''

………………………….

=

⋅⋅=n

ii

txki

k pextg i

1

)( )(

Înlocuind pe t cu zero, obţinem:

=

=⋅=n

iki

ki

k mpxg1

)( )0(

b) Fie variabila aleatoare continuă

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ .

=b

a

tx dxxfetg )()(

=⋅=⋅=b

a

b

a

tx mdxxfexgdxxfextg 10 )()0(')()('

==⋅=b

a

b

a

tx mdxxfxgdxxfextg 222 )()0('')()(''

……………………………………………………

==⋅=b

a kkkb

a

txkk mdxxfxgdxxfextg )()0()()( )()(

9.6. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare

Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X sefoloseşte tot pentru calculul momentelor.

DEFINIŢIE: Se numeşte funcţie caracteristică a variabileialeatoare X , valoarea medie a variabilei itXe , adică )()( itXeMtc = ,unde Rt ∈ .

Fie

n

n

pppxxx

XΚΚ

21

21: o variabilă aleatoare discretă,

deci

=

n

itxitxitxitX

pppeee

en

ΚΚ

21

21

, iar funcţia caracteristică este

=

⋅==n

jj

itXitX peeMtc1

)()( .

Fie

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ , o variabilă aleatoare continuă,

deci

=

)(xfee

itxitX , ],[ bax ∈ , iar funcţia caracteristică este

==b

a

itXitX dxxfeeMtc )()()( .

EXEMPLU: Fie

−5,05,011

:X , iar

=

−

5,05,0

itititX ee

e .

Funcţia caracteristică este :)(5,05,05.0)()( itititititX eeeeeMtc +⋅=⋅+⋅== −− .

Dar θθθ sincos iei += şi θθθ sincos ie i −=− , deci putem scrie

2cos

θθ

θii ee −+= şi

iee ii

2sin

θθ

θ−+= .

Astfel, funcţia caracteristică va fi :ttittittc cos)sin(cos5,0)sin(cos5,0)( =+⋅+−⋅= .

Proprietăţi ale funcţiei caracteristice:

P1. Funcţia caracteristică c(t) este o funcţie uniform continuă pe R

P2. 1)0( =c

Demonstraţie: 1)1()()()0( 00 ==== MeMeMc ti .

P3. Dacă nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cufuncţiile caracteristice )(,),(),( 21 tctctc nΚ , atunci funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare nXXXX +++= Κ21 este

)()()()( 21 tctctctc n⋅⋅⋅= Κ

Demonstraţie:=⋅⋅⋅=== +++ ][][)()( 2121 )( nn itXitXitXXXXititX eeeMeMeMtc ΚΚ

=⋅⋅⋅= )()()( 21 nitXitXitX eMeMeM Κ )()()( 21 tctctc n⋅⋅⋅= Κ .

Consecinţa 1: Dacă =

⋅=n

kkk XY

1

λ , Rk ∈λ , unde

nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cu funcţiile

caracteristice )(,),(),( 21 tctctc nΚ , atunci ∏=

=n

kkXY tctc

k1

)()( λ .

Consecinţa 2: Un produs de funcţii caracteristice este tot ofuncţie caracteristică. În particular, dacă c(t) este funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare X , atunci ntc )]([ este tot ofuncţie caracteristică.

P4. Fie )(tcX funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X şi fieXY ⋅= α . Atunci )()( tctc XY ⋅= α .

Demonstraţie: )()()()( tceMeMtc XXititY

Y ⋅=== αα .

P5. Fie variabila aleatoare X şi )(tcX funcţia sa caracteristică. FiebaXY += . Atunci ibt

XY eatctc )()( = .

Demonstraţie:=⋅=== + ][)()()( )()( itbXatibaXititY

Y eeMeMeMtc )(][ )( atceeMe XitbXatiitb = .

P6. Fie variabila aleatoare X şi c(t) funcţia caracteristică. Atunci

∞

=

⋅=0 !

)()(k

k

k

mkittc .

Demonstraţie:

∞

=

∞

=

==

==

00

)(!)(

!)()()(

k

kk

k

kk

itX XMkitX

kitMeMtc

∞

=0 !)(

kk

k

mkit , unde

∞

=

=0 !

)(k

kk

itX Xkite .

P7. )0(1|)]([1 )(0

)( kkt

kkk c

itc

im == =

Demonstraţie:

a) Fie variabila aleatoare discretă

n

n

pppxxx

XΚΚ

21

21: .

=

n

itxitxitxitX

pppeee

en

ΚΚ

21

21

=

⋅=n

jj

itx petc j

1

)(

=

⋅⋅=n

jj

itxj peixtc j

1

)('

………………………….

=

⋅⋅=n

jj

itxkj

kk pexitc j

1

)( )(


=

⋅==⋅=n

jk

kkkkj

kj

kk miXMicpxic1

)()( )()0()0(

Deci )0(1 )(kkk c

im = , nk ,,2,1 Κ= .

c) Fie variabila aleatoare continuă

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ .

=

)(xfee

itxitX

=b

a

itx dxxfetc )()(

⋅⋅=b

a

itx dxxfexitc )()('

…………………………….

⋅⋅=b

a

itxkkk dxxfexitc )()()(


kkb

a

itxkkk midxxfexic =⋅⋅⋅= )()0()(

Deci )0(1 )(kkk c

im = , nk ,,2,1 Κ= .

9.7. Normarea (reducerea) unei variabile aleatoare X

Fie variabila aleatoare X cu mXM =)( şi 2)( σ=XD .

DEFINIŢIE: Variabila aleatoare σ

mXZ −= se numeşte

variabila normată a variabilei aleatoare X (sau redusa variabileialeatoare X).

Proprietăţi ale variabilei normate:

P1. 0)( =ZM

Demonstraţie: 0)(11)( =−=

−=σσσσmXMmXMZM

P2. 1)( =ZD

Demonstraţie: =−=

−= )]()([1)( 2 mDxDmXDZDσσ

11 22 =⋅σ

σ, deoarece

0)( =mD .

9.8. Valoarea mediană

DEFINIŢIE: Se numeşte valoare mediană a variabileialeatoare X numărul Me care satisface relaţia

)()( MeXPMeXP >=< , adică valoarea pentru care variabilaaleatoare X are aceeaşi probabilitate de a fi mai mare şi mai micădecât ea.

Relaţia )()( MeXPMeXP >=< se mai scrie şi sub forma

)(1)( MeFMeF −= sau 1)(2 =MeF sau 21)( =MeF .

Deci Me este soluţia ecuaţiei 21)( =xF . În cazul unei

variabile aleatoare continue

)(:

xfx

X , ],[ bax ∈ , mediana se va

determina din ecuaţia =Me

adxxf

21)( .

EXEMPLU:

Să se determine mediana variabilei aleatoare continue

+ )12(121: x

xX , ]3,0[∈x .

0621][

121)12(

121 22

0=−+=+=+ MeMeMeMedxx

Me .

]3,0[31 ∉−=Me şi 22 =Me . Deci 2=Me .

9.9. Modul (valoarea cea mai probabilă)

DEFINIŢIE: Se numeşte modul (valoarea cea maiprobabilă) a variabilei aleatoare X acea valoare pentru care funcţiade probabilitate )( ixf , pentru variabila aleatoare discretă, respectivdensitatea de probabilitate )(xf este maximă.

OBSERVAŢIE: În cazul variabilei aleatoare continue,maximul funcţiei )(xf se obţine prin rezultatele cunoscute aleanalizei matematice

În cazul variabilelor aleatoare discrete se procedează astfel:

EXEMPLU: Să se determine modul variabilei aleatoarebinomiale.

)(:

xfx

X , nx ,...,1,0= , xnxxn qpCxf −=)( .

Presupunem că funcţia )(xf are o valoare maximă *x .Atunci )()1( ** xfxf <− şi )1()( ** +> xfxf .

Deci obţinem (1) 1)1(

)(*

*

>−xf

xf şi (2) 1)(

)1(*

*

<+xf

xf .

>⋅+−=⋅−

−+−==− +−−−

−

11!)!(!

)!1()!1(!)1(

)(*

*

**

**

111*

*

***

***

qp

xxn

qp

nxnxxxnn

qpCqpC

xfxf

xnxxn

xnxxn

pnpqpxppxnpqx +<++−< )(*** pnpx +<* , deoarece 1=+qp .

qnpxqnpqpxqp

xxn

xfxf −>−>+<⋅

+−=+ ***

*

*

*

)(11)(

)1( .

Deci pnpMoqnp +≤≤− .

9.10. Covarianţa (corelaţia)

Fie variabilele aleatoare X, cu media XmXM =)( şidispersia 2)( xXD σ= şi Y, cu media YmYM =)( şi dispersia

2)( yYD σ= .Calculând dispersia sumei celor două variabile aleatoare

obţinem:=−+−=−−+=+ ])()[(])[()( 222

YXYX mYmXMmmYXMYXD)])([(2])[(])[( 22

YXYX mYmXMmYMmXM −−+−+−= .

DEFINIŢIE: Media )])([( YX mYmXM −− se numeştecovarianţa celor două variabile şi se notează ),cov( YX .

Efectuând produsul, obţinem şi o altă expresie a coverianţei:=+−−=+−−= YXXYYXXY mmYMmXMmXYMmmYmXmXYMYX )()()(][),cov(

YX mmXYM −= )( deoarece XmXM =)( şi YmYM =)( .

OBSERVAŢIE: Dacă X şi Y sunt variabile aleatoareindependente, atunci 0),cov( =YX . Reciproc nu este adevărat.

9.11. Coeficientul de corelaţie

Fie X, Y două variabile aleatoare cu dispersiile 2Xσ şi

2Yσ finite şi nenule şi mediile Xm şi Ym . Fie

X

XmXXσ−=' şi

Y

YmYYσ−=' variabilele aleatoare normate corespunzătoare.

(M(X’)=0, M(Y’)=0, D(X’)=1, D(Y’)=1) .

DEFINIŢIE: Se numeşte coeficient de corelaţie avariabilelor aleatoare X şi Y, coverianţa variabilelor aleatoarenormate X’ şi Y’ şi îl notăm cu ),( YXρ .

)','cov(),( YXYX =ρAvem:

−−==Y

Y

X

X mYmXMYXYXσσ

ρ ,)','cov(),(YXYX

YX YXmYmXMσσσσ

),cov()])([( =−−=

Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie:

P1. Dacă X şi Y sunt independente, atunci 0),( =YXρ .

Demonstraţie: Deoarece 0),cov( =YX în cazul unor variabile

aleatoare independente, şi 0),cov(),( ==YX

YXYXσσ

ρ .

P2. 1),(1 ≤≤− YXρ , pentru orice X şi Y.

Demonstraţie: M(X’)=0, M(Y’)=0, D(X’)=0, D(Y’)=0 , deci 1)'( 2 =XM şi

1)'( 2 =YM .Din egalitatea )'''2'()''( 222 YYXXYX +±=± obţinem :

)''(22)'()''(2)'(])''[( 222 YXMYMYXMXMYXM ±=+±=± .Cum )','cov()''( YXYXM = , obţinem: 0),(1 ≥± YXρ , adică

1),(1 ≤≤− YXρ .

P3. Dacă pentru două constante reale a şi b variabila aleatoare

baXY += , atunci

<−>

=0.1

0,1),(

aa

YXρ .

Demonstraţie: Ştim că bammYM XY −==)( şi 222)( XY aYD σσ == .Atunci vom obţine:

=−−+−−−= )])([()])([(),cov( BambaXmXMmYmXMYX XXYX

=−=−−=−−= ])[()])([()])([( 2XXXXX mXMmXmXaMamaXmXM 2)( XaXaD σ= .

1||||

),cov(),( 2

22

±=====aa

aaaYXYX

X

X

YX

X

YX σσ

σσσ

σσρ .

9.12. Caracteristici ale formei de repartiţie. Simetrie şiasimetrie.

DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X definită de funcţia f(x)este simetrică faţă de valoarea medie m dacă )()( εε +=− mfmf ,oricare ar fi 0>ε .

SIMETRICĂ

ε−m m ε+m

ASIMETRICĂ

ε−m m ε+m

Proprietăţi:

P1. Pentru o repartiţie simetrică, media, mediana şi modul coincid.

P2. Momentele centrate de ordin impar pentru o repartiţie simetricăsunt nule 012 =+kµ .

Coeficienţi utilizaţi pentru măsurarea asimetriei:Coeficientul lui Pearson:

X

XMXMσ

α )()( 01

−= .

Coeficientul lui Fisher: Xσ

µα 32 = .

CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR.pdf

Documents

Transcript of CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR.pdf