Aplicaţii ale formulei Taylor

1) În cazul (i) din teorema IV.28, polinoamele Tn(n) aproximează

punctual funcţia f(x), în sensul că: pentru orice ε > 0 dat, putem în

general să determinăm un polinom Tn(x) a.î. En(x) < ε pentru toţi x din

I. În acest caz eroarea En este practic mai puţin utilă deoarece despre

En(x) nu avem mai multe informaţii decât despre Rn(x).

2) În cazurile (ii) şi (iii) din teorema IV.28 polinoamele Tn(x) dau pe

intervalul I o aproximare globală a funcţiei f(x) în sensul că: pentru

fiecare număr ε > 0 dat, se poate determina un polinom Tn(x) a.î.

En(x) < ε, ∀ x ∈ I.

3) Tipurile de aproximări ale lui f în condiţiile teoremei IV.28 vor fi mai

exact precizate în capitolul “Şiruri şi Serii de funcţii reale”.

4) Teorema IV.28 se foloseşte pentru aproximarea funcţiilor indefinit

derivabile pe un interval I ⊆ R prin şirul corespunzător de

polinoame Taylor.

Exemple:

1°. ( ) ,xf x e x R= ∈ ; ( )f C R∞∈ ; ( )( ) ,n xxf e x R= ∀ ∈ şi x N∀ ∈ ;

( )( )0 1,nf n N= ∀ ∈ . Avem:

( )2 1

1 ... ,1! 2! ! 1 !

n nx x x x xe e

n nξ

+

x R= + + + + + ∀ ∈+

şi fixat ⇒ x R∀ ∈( )

1

lim 01 !

n

n

x en

ξ+

→∞=

+ ⇒ fiecare x R∈ fixat;

lim 1 ... ,1! !

nx

n

x xe x Rn→∞

⎛ ⎞= + + + ∀ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒ 1 ...

1! !

nx x x

n≅ + + +e .

- În particular, pentru x = 1: 1 1lim 1 ...1! !n

en→∞

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

267

- Pentru x ∈ [0,1], să determinăm n ∈ N a.î. prin aproximare

( )1 ...1! !

nx

nx xe

n≅ + + + = T x eroarea En(x) < 0,125 ⇒

( ) ( ) ( )1 11 ... 0,125 1 ! 81! ! 1 ! 8

nx

nx xE x e e n

n n⎛ ⎞

= − + + + < < = ⇒ + <⎜ ⎟ +⎝ ⎠e

pentru n = 3 ⇒ [ ]2 3

1 ,1! 2! 3!

x x x xe x≅ + + + ∀ ∈ 0,1 .

2°. ( ) sin ,f x x x R= ∈ ; ( )f C R∞∈ ;

( )( ) sin ,

2n

xxf x x R∈π⎛ ⎞= + ∀⎜ ⎟

⎝ ⎠x N,∀ ∈ ;

( )( )

( )0

0 ; 2sin

2 1 ; 2n

k

n knfn k

π =⎧⎪= = ⎨1− = +⎪⎩

Avem:

( ) ( ) ( ) ( )3 5 2 1 2 1

1sin ... 1 1 cos3! 5! 2 1 ! 2 1 !

n nn nx x x xx x

n nξ

− +−= − + + + − + −

− + ⇒

Pentru fiecare x R∈ fixat: ( ) ( )2 1

lim lim cos 02 1 !

n

nn n

xR xn

ξ+

→∞ →∞= =

+ ⇒

⇒ ( ) ( )3 5 2 1

1sin lim .. 13! 5! 2 1 !

nn

n

x x xx xn

−−

→∞

⎛ ⎞= − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, în fiecare fixat x R∈

⇒ ( ) ( )3 5 2 1

1sin .. 13! 5! 2 1 !

nnx x xx x

n

−−⎛ ⎞

≅ − + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠.

- În particular: 3

sin3!xx x≅ − cu ( )

3 5

sin6 5nx xE x x x l= − + < ⋅ şi

x ∈ [0,1] cu l =1⇒ ( ) 1 15! 120nE x < = .

268

- Pentru 18

x π= radiani, obţinem:

3

3sin18 18 6 18π π π

≅ −⋅

cu eroarea

( ) ( )5

55

1 1 0, 25! 18 5 3 10nE x π⎛ ⎞< < <⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

1 .

3°. ( ) ( ) ( )ln 1 , 1,f x x x I= + ∈ = − ∞ ; ( )f C I∞∈ ;

( )( ) ( ) ( )

( )

11 1 !, ,

1

nn

x n

nf x I

x

−− −= ∀ ∈

+x N ∀ ∈ 1 ! şi ( )

( ) ( ) ( )10 1 nnf n−= − ⋅ − Avem:

( ) ( ) ( )( )

2 3 11

11ln 1 ... 1 1

2 3 1 1

n nn n

nx x x xx x

n n ξ

+−

++ = − + + + − + − ⋅+ +

;

Pentru [ ]0,1x∈ , găsim : ( ) ( )( )

1

11lim lim 1 0

1 1

nn

n nn n

xR xn ξ

+

+→∞ →∞= − =

+ +⇒

( ) ( )2 3

1ln 1 lim ... 12 3

nn

n

x x xx xn

−

→∞

⎛ ⎞⇒ + = − + + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ şi atunci

( ) ( ) [2 3

1ln 1 ... 1 , 0,12 3

nnx x xx x x

n−⎛ ⎞

+ ≅ − + + + − ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

] cu

( ) ( ) ( ) ( ) 11n n nE x f x T x R x

n= − = <

+.

- În particular pentru n = 9, obţinem:

( ) [ ]2 3 9 1ln 1 ... , 0,1

2 3 9 10x x xx x x+ − + − − − < ∀ ∈

- Pentru x = 1

}1 1 1 1 1879ln 2 1 ... ln 2 0,742 3 10 2520n

− + − − − < ⇒ ≅ ≅

5) Formula lui Taylor se foloseşte în calcularea unor limite, care conduc

la forme nedeterminate 00

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

269

Exemple:

1°. ( )

( )

3 3

3 3

3 30 0 0

3! 3!sin 1 1 1lim lim lim6 3! 6x x x

x xx x xx x x

x x

αα

→ → →

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎝ ⎠= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠=

( ) ( )( )0lim 0 0x

x→

= =α α

2°. 2 30

1 1 2lim 1 ln2x

x lx x x→

+⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥−⎣ ⎦

12 2ln ln ln 1 ln 12 21

2

x

2x x x

xx

++ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−=

( ) ( ) ( )2 3 5 2 3 5 3

31 22 8 24 5 2 8 24 5 12

x x x x x x x x xx x x x xα α⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− + + − − − − + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

β

cu ( )0

lim 0x

xβ→

=

( ) ( )3

3 22 30 0

1 1 1 1lim 1 lim 112 12 12x x

xl x x x xx x

β β→ →

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − + + = − − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

1x

6) Teorema IV.29. (Determinarea punctelor de extrem local)

Fie I ⊆ R interval, f : I → R o funcţie derivabilă de n (n ≥ 2) ori în

0x I∈ cu ( ) ( ) ( ) ( )10 0 0' " ... 0nf x f x f x−= = = = şi ( )

( )0

0nxf ≠ , atunci au

loc situaţiile:

(i) Dacă n este par, atunci 0x I∈ este punct de extrem local pentru

f şi anume:

1) punct de minim local când ( )( )

00n

xf >

2) punct de maxim local când ( )( )

00n

xf <

(ii) Dacă n este impar 0x I∈ nu este punct de extrem local pentru f.

270

Demonstraţie:

În ipotezele teoremei are loc formula lui Taylor cu rest

Peano:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0

110 00

0 0

00

' ...1! 1 ! !

; lim 0 ;!

n nn n

x x

n

x x

x x x xx xf x f x f x f fn n

x xx x x x I

nα α α

−−

→

⎧ − −−= + + + +⎪

−⎪⎨⎪ −+ = = ∀ ∈⎪⎩

+

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0

00 !

nn

x

x xf x f x f x

nα

− ⎡ ⎤⇒ − = +⎣ ⎦ cu

( )( ) ( ) ( )

( )0 0

0

lim 0n nx xx x

f x fα→

⎡ ⎤+ = ≠⎣ ⎦ ⇒

( )0VV x⇒∃ ∈ a.î. ( )( ) ( ) ( )

( )0 0

sign sign ,n nx xf x f x V Iα⎡ ⎤− = ∀ ∈ ∩⎣ ⎦ ⇒

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

00sign sign ;

!

nn

x

x xf x f x f x V

n

⎡ ⎤−⎡ ⎤⇒ − = ⋅ ∀ ∈⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦I∩ .

(i) Dacă n este par ( )0 0,nx x⇒ − > x V I∀ ∈ ∩ şi avem

( ) ( ) ( )( )

00sign sign nxf x f x f− =⎡ ⎤⎣ ⎦ şi rezultă cazurile 1) şi 2)

conform definiţiei punctelor de extrem local (definiţia III.9).

(ii) Dacă n este impar, ( )0nx x− are semn variabil pe V I∩ şi la fel

( ) ( )0f x f x−⎡⎣ ⎤⎦ are semn variabil pe V I∩ , deci 0x I∈ nu

este punct de extrem local (definiţia III.9).

Consecinţa IV.14.

Fie I R⊆ interval 0x I∈ punct interior şi o funcţie derivabilă

de două ori pe I cu f” continuă în

:f I R→

0x I∈ . Dacă ( )0' 0f x = şi ( )0" 0f x >

271

(respectiv ( )0"f x 0< ), atunci 0x este punct de minim local strict pentru f

(respectiv punct de maxim local strict pentru f).

Demonstraţia. Rezultă din teorema IV.29 pentru n = 2.

Observaţie. Condiţia ( )( )

00n

xf ≠ este esenţială în teorema IV.29.

7) Formula lui Taylor permite unele precizări în studiul variaţiei unei

funcţii reale de o variabilă reală.

Dacă [ ]: ,f a b R→ este funcţie de clasă [ ]( )( )2 2 ,C f C a b∈ atunci f

este convexă pe [a,b] (f este concavă pe [a,b] sau f “nu ţine apa”) sau

“f ţine apa”, adică: [ ]0, ,x x a b∀ ∈ avem:

( ) ( ) ( )( )0 0' 0f x f x f x x x≥ + − (respectiv:

( ) ( ) ( )( )0 0' 0f x f x f x x x≤ + − ), şi graficul lui f este situat deasupra

tangentei (respectiv sub tangentă) în orice punct ( )( )0 0, fx f x G∈ .

După formula Taylor cu rest Lagrange de ordin 1 (n=1), avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )200 0 0

' "1! 2!

f x ff x f x x x x x

ξ= + − + − cu ξ situat între şi x

0x de unde rezultă că:

I dacă pe " 0f ≥ [ ],a b atunci f este convexă şi reciproc.

II dacă " 0f ≤ pe [ ],a b atunci f este concavă şi reciproc sau f

concavă pe [ ],a b ( )f⇔ − este convexă pe [ ],a b .

8) Consecinţa IV.15

Un număr real 0x este o rădăcină multiplă de ordinul k al unui polinom

de grad , dacă şi numai dacă, ( )nP X n k≥

( ) ( ) ( ) ( )10 0 0' ... 0k

n n nP x P x P x−= = = = şi ( ) ( )0 0knP x ≠ .

272

Demonstraţie: Dacă 0x R∈ este rădăcină multiplă de ordinul k al

polinomului ( )nP X , avem:

( ) ( ) ( )0 1k

nP x x x Q x= − cu ( )1 0 0,Q x x R≠ ∈ şi prin derivare se obţin

condiţiile din enunţ.

Dacă au loc condiţiile din enunţ, după formula lui Taylor, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0...

! !

k mkk m

n n n

x x x xP x P x P x x x Q x

k m− −

= + + = − 0 1 cu

şi rezultă că ( )1 0 0Q x ≠ 0x este rădăcină multiplă de ordin k.

Exemple:

1°. Pentru determinarea punctelor de extrem local ale funcţiei

( ) 1sin sin 2 ,2

f x x x x= − ∈R este suficient să le determinăm pe cele

din [ ]0,2I Rπ= ⊂ , restul se obţin adaugând perioada 2π .

( ) 2' cos cos 2 0 cos 1 2cos 0f x x x x x= − = ⇔ + − = şi

[ ] 2cos 1,1 2 1 0x y y y= ∈ − ⇔ − + + = cu 1 1y = , 212

y = − ⇒ punctele

critice sunt: 1 0x = , 223

x π= , 3

43

x π= , 4 2x π= . Avem:

( ) ( ) ( )( )

4sin 2sin 2 sin 8sin 2

cos 4cos 2

f x x x f x x

f x x x

⎧ ′′ = − + = −⎪⎨

′′′ = − +⎪⎩

x

I : 1 0x = ( )' 0 0f = , ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 3 0f = ≠ ⇒ 1 0x = nu este

punct de extrem local.

II 4 2x π= : ( )' 2 0f π = , ( )'' 2 0f π = , ( )'" 2 3 0f π = ≠ ⇒ 4 2x π= nu

este punct de extrem local.

273

III 223

x π= : 2' 0

3f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 3'' 3 03 2

f π⎛ ⎞ = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 223

x π= este

punct de maxim local şi 23 4

f π⎛ ⎞ 3=⎜ ⎟

⎝ ⎠ este valoarea maximă a lui f.

IV 343

x π= : 4' 0

3f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 4 3'' 2 03 2

f π⎛ ⎞ = >⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 343

x π= este

punct de minim local şi 43 4

f π⎛ ⎞ 3= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ este valoarea minimă a lui f.

Cum avem ( ) ( )0 2f f π 0= = obţinem: ( )3 1sin sin 24 2

f x x x 34

− ≤ = − ≤ ,

, adică x R∀ ∈ 223

x π= este punct de maxim absolut şi 3

43

x π= este

punct de minim absolut pentru f.

2°. ( ) 6 32 3f x x x= − + Rx, ∈ şi să se determine punctele de extrem

local. Avem: ( ) ( )5 2' 12 3 'f x x x f x 0= − ⇒ = cu 0

1 3

014

x

x

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

puncte

staţionare (critice) ale lui f. ( ) 4" 60 6f x x x= − , ( ) 3"' 240 6f x x= − .

I ⇒ 0 0x = ( )' 0 0f = , ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 6 0f = − ≠ (n = 3 impar) ⇒

nu este punct de extrem local. 0 0x =

II 1 3

14

x = ⇒ 3

1' 04

f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 3

1 9'' 04 4

f ⎛ ⎞ = >⎜ ⎟⎝ ⎠

(n = 2 par) ⇒

1 3

14

x = este punct de minim local cu min 3

1 284

f f ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 .

3°. ( ) 22cos ,f x x x x= + ∈R şi să se determine punctele de extrem

local. Avem:

274

275

0

2

( ) 0' 2sin 2 sinf x x x x x= − + ⇔ = ⇒ = punct critic al f.

( )" 2cosf x x= − + ; ( )"' 2sinf x x= ; ( ) ( )4 2cosf x = x . Avem:

, ( )' 0 0f = ( )'' 0 0f = , ( )'" 0 0f = , ( ) ( )4 0 2 0f = > (n = 4 par) ⇒

este punct de minim local cu 0 0x = ( )min 0 2f f= = .

4°. ( ) sin ,nf x x x x= ⋅ ∈R şi n∈N şi să se determine punctele de

extrem local. Avem:

( ) ( )1 1' sin cos cos sn n n inf x nx x x x x x x n x− −= + = +

( ) ( ) ( )11 0 2

' 0 cos sin 0cos sin 0

nn x n

f x x x x n xx x n x

−− ⎧ = ≥

= ⇔ + = ⇔ ⎨+ =⎩

⇒

( )0 0

1

xxtgx nn

=⎧⎪⇒ ⎨

= − ≥⎪⎩

şi prin metoda grafică 1

2

y tgxxyn

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

se

determină soluţiile '

"k

k

x kx k

α πα π

= +⎧⎨ = − +⎩

cu 20,1,2,...k

π α π⎧ < <⎪⎨⎪ =⎩

Punctele critice (staţionare) ale funcţiei f sunt: 0x , 'kx , "

kx .

Avem:

( ) ( ) ( ) ( )2 1" 1 cos sin cos sin cosn nf x n x x x n x x x x x n x− −= − + + − + =

( )2 2 22 cos sinnx nx x n n x x− ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ şi se obţine:

I ( )( ) ( )1 2 2'

" ' cos ' 0n

kk k

x n n xf x x

n

− + += <

' 0cos ' 0

k

k

xx<⎧

⎨ <⎩ pentru că şi

punctele critice '2kx k πα π α⎛= + < <⎜

⎝ ⎠π ⎞⎟ sunt puncte de maxim local.

II ( )( ) ( )1 2 2"

" " cos "n

kk k

x n n xf x x

n

− + +=

" 0cos " 0

k

k

xx<⎧

⎨ <⎩ unde şi

pentru n par cu ( )" " 0kf x > "kx puncte de minim local, iar

pentru n impar cu ( )" " 0kf x < "kx puncte de maxim local.

III şi calculăm: 0 0x =

( )( ) ( )1 1 1

sin sin ... ! sin !sin2 2 2

n n nnx

nnf x x nC x x n x x nππ π− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠x

de unde avem: ( )( )0 0nf = , ( )

( )10 0nf − = , ..., ( )' 0 0f = şi ( )

( )10 !nf n+ = ⇒ 0x

este punct de minim local pentru n impar.

4°. O noţiune importantă în "Teoria informaţiei" este cea de cantitate

de informaţie notată prin I. Vom considera informaţia ( )I I p= unde

p este probabilitatea de producere a unui eveniment din realitatea

fizică cu ( ]0,1p∈ şi care satisface axiomele (proprietăţile de definiţie):

i1) I este o funcţie monotom descrescătoare,

i2) ( )1 0I = şi ( )0

limp

I p→

= ∞ ,

i3) ( ) ( ) ( ) ( ], , 0,1I pq I p I q p q= + ∀ ∈ .

Proprietăţile i1), i2) rezultă din faptul că informaţia I(p) este cu atât mai

bogată, mai interesantă, cu cât probabilitatea p este mai mică, adică

evenimentul care a generat acea informaţie este mai rar. Proprietatea i3)

exprimă faptul că dacă două evenimente cu probabilităţile p şi q sunt

independente, atunci informaţia cuprinsă în producerea lor simultană (a

cărei probabilitate este pq) este suma informaţiilor cuprinse în producerile

separate ale acelor evenimente.

276

Dacă presupunem că funcţia I se poate prelungi la o funcţie derivabilă

( ): 0,I R∞ → , astfel încât: (i4) ( ) ( ) , 0,I p I p pα α Rα= ∀ > ∈ , atunci în

mod necesar, avem: ( ) lnI p k p= cu k o constantă reală, 0p∀ > , de unde

rezultă: ( ) ( )1'I p Ip

= e , deci ( ) ( ) lnI p I e= p şi notăm ( ) 0k I e= < .

Definiţia naturală, dedusă din consideraţii intuitive, a fost dată de C.

Shannon, pentru cantitatea de informaţie, prin: ( ) 2logI p p= − , luând

prin convenţie 1ln 2

k = − ; unitatea de măsură este bitul (1 bit fiind prin

definiţie 12

I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, adică cantitatea de informaţie dintr-un eveniment cu

probabilitatea 12

).

Dacă se consideră o experienţă în care pot apărea n evenimente cu

probabilităţile 1 21

, ,..., 0 1, 1, , 1n

n i ii

p p p p i n p=

⎛ ⎞< ≤ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , după C. Shannon,

cantitatea de informaţie sau entropia asociată este dată prin:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 21

, ,..., ... logndef

n n ni

H p p p p I p p I p p p=

= + + = −∑ i i şi evident

( ) ( ]1,..., 0, 0,1n iH p p p≥ ∀ ∈ cu 1, 2,...,i n= .

În cazul 2n = , notând 1p p= , 2 1p p= − şi entropia va fi dată prin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21log 1 log 1 ln 1 ln 1

ln 2H p p p p p p p p p= − − − − = − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ .

277

Avem: ( ) ( )1' ln ln 1ln 2

H p p p= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ şi ( ) 1 1 1" 02 1

H pp p

⎛ ⎞= − + <⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

deci valoarea maximă a lui ( )H p este atinsă pentru 12

p = , adică

1 212

p p= = . Cantitatea medie de informaţie într-o experienţă cu două

evenimente posibile este maximă atunci când evenimentele sunt egal

probabile.

Această analiză se poate extinde la cazul experienţelor din realitatea

fizică cu evenimente posibile ([42] pag. 130-131 şi pag 237-238;

[9]; [19]).

( 2n n ≥ )

5. Funcţii convexe. Aplicaţii

Studiul noţiunilor de funcţie convexă şi funcţie concavă impune

introducerea conceptului de mulţime convexă din plan.

În plan considerăm un sistem ortogonal de coordonate carteziene

xOy şi notăm ( ),P x y un punct curent.

Date ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y , ele determină o dreaptă din plan ( )

care conţine segmentul

d

AB . Pentru , după teorema lui Thales

avem:

P AB∀ ∈

[, 0,AP t t ]1BP

= ∀ ∈ şi în plus:

278

(d)

B’’(0,y2)

P’’(0,y)

A’’(0,y1)

P’(x,0) B’(x2,0)A’(x1,0)

P(x,y)

B(x2,y2)

A(x1,y1)

y

0

x

( ) 1 1

2 1 2 1

' ' " "IV.18' ' " "

x x y yAP A P A Pt tBP B P B P x x y y

− −= = = ⇔ = = ⇔

− −

( ) ( )( )

1 2

1 2

1IV.18

1x t x txy t y ty= − +⎧⎪⇔ ⎨ = − +⎪⎩

[ ]0,1∈t ⇔ ,

(IV.18') ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2, 1 , ,x y t x y t x y= − + , [ ]0,1t∀ ∈ şi în concluzie: pentru

,A B∀ puncte din plan un punct P AB∈ , dacă şi numai dacă, coordonatele

sale ( ),x y verifică relaţiile (IV.18).

Definiţia IV.7.

1) Un segment din plan de capete ( )1 1,A x y , ( )2 2,B x y , notat

( ) ( )1 1 2 2, ; ,AB x y x y= ⎡⎣ ⎤⎦ este format din mulţimea punctelor ( ),P x y care

verifică relaţiile (IV.18) sau (IV.18').

2) O mulţime nevidă M din plan ( )2M R⊂ se numeşte mulţime convexă,

dacă ,A B M∀ ∈ , segmentul AB este conţinut în ( )M AB M⊂ .

279

Teorema IV.30 (teorema de caracterizare a mulţimilor

convexe)

Fie M ≠ ∅ , 2M R⊂ . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(i) M mulţime convexă din plan

(ii) ,A B M∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , avem:

( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 21 1 , ,t A tB M t x y t x y M− + ∈ ⇔ − + ∈

(iii) ,A B M∀ ∈ şi ,u v R∀ ∈ cu , avem: 0, 0, 1u v u v≥ ≥ + =

( ) ( )1 1 2 2, ,u x y v x y M+ ∈ .

Demonstraţia: este directă folosind definiţia şi comentariile

precedente. Fie I R⊆ un interval nedegenerat, care poate fi mărginit sau

nemărginit, închis, deschis, sau nici închis şi nici deschis şi o funcţie

. :f I R→

Definiţia IV.8

1) Funcţia f se numeşte funcţie convexă, dacă ,a b I∀ ∈ şi

[ ]0,1t∀ ∈ , avem:

(IV.191) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ .

2) Funcţia f se numeşte funcţie concavă, dacă ,a b I∀ ∈ şi

[ ]0,1t∀ ∈ , avem:

(IV.192) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + ≥ − +⎡ ⎤⎣ ⎦

Teorema IV.31 (teorema de caracterizare pentru funcţii

convexe)

1) Funcţia este funcţie convexă, dacă şi numai dacă

şi

:f I R→

,a b I∀ ∈ ,u v∀ cu [ ], 0,1u v∈ , 1u v+ = , avem:

(IV.19’1) ( ) ( ) ( )f ua vb uf a vf b+ ≤ + 280

2) Funcţia este funcţie concavă, dacă şi numai dacă

şi

:f I R→

,a b I∀ ∈ [ ], 0,1u v∀ ∈ cu 1u v+ = , avem:

(IV.19’2) ( ) ( ) ( )f ua vb uf a vf b+ ≥ +

Demonstraţia este directă din (iii) – teoremă de caracterizare a

mulţimilor convexe din plan (teorema VI.30).

Observaţii

1. Relaţiile (IV.192) şi (IV.19’2) se obţin din (IV.191) şi (IV.19’1)

prin înmulţirea cu (-1). Dacă f este funcţie convexă, atunci (-f)

este funcţie concavă şi invers.

2. Toate proprietăţile funcţiilor concave se obţin din proprietăţile

funcţiilor convexe înlocuind f cu (-f). Vom studia numai

funcţiile convexe.

3. Relaţiile (IV.191), (IV.192), (IV.19’1), (IV.19’2) au interpretări

geometrice folosind graficul unei funcţii reale şi caracterizarea

punctelor unui segment din plan (IV.18).

] (b,0)

[ (a,0)

A

B

P

M

y

x 0 ] (b,0)

[ (a,0)

A

B

P

My

x0

281

Fie ( ) ( ) ( ){ }2,G f x y R y f x x I,= ∈ = ∈ graficul funcţiei f şi

( ), ,A B M G f∈ cu P AB∈ , date prin: ( )( ),A a f a , , ( )( ),B b f b

( )( ),M x f x şi ( ),P x y .

Din (IV.18) pentru [ ] ( )( ) ( ) (

10,1

1x t a tb

ty t f a tf

= − +⎧⎪∀ ∈ ⇒ ⎨ = − +⎪⎩ )b şi cum

, iar P AB∈ ( )M G f∈ şi au abscisele egale cu x, cu ajutorul ordonatelor

acestor puncte: y = f(x) vom caracteriza funcţiile convexe.

Teorema IV.32.

Funcţia cu graficul :f I R→ ( )G f este o funcţie convexă, dacă şi numai

dacă, ( ),A B G f∀ ∈ atunci restricţia graficului lui f la [ ],a b I⊂ se află

sub segmentul ( ) [ ]( ), ,AB f x y x a b⇔ ≤ ∀ ∈ .

Demonstraţia este evidentă prin figurarea în plan a mulţimilor AB

şi . ( )G f

Definiţia IV.9.

1°. Funcţia este strict convexă dacă :f I R→ ,a b I∀ ∈ cu

şi

a b≠

[ ]0,1t∀ ∈ , avem:

(IV.191”) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + < − +⎡ ⎤⎣ ⎦

2°. Funcţia este strict concavă dacă :f I R→ ,a b I∀ ∈ cu

şi

a b≠

[ ]0,1t∀ ∈ , avem:

(IV.192”) ( ) ( ) ( ) ( )1 1f t a tb t f a tf b− + > − +⎡ ⎤⎣ ⎦

282

Exemple:

1°. ( )f x mx= + n cu ,m n R∈ , 0m ≠ este în acelaşi timp convexă şi

concavă:

,a b R∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ ⇒ ( ) ( )1 1f t a tb m t a tb n− + = − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1t ma n t mb n t f a tf b= − + + + = − + .

2°. ( ) 2 ,f x x x= ∈R şi ( ) ( )2 ,g x x f x x R= − = − ∈

,a b R∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 21 1 1 1 )f t a tb t a tb t a tb t f a tf b− + = − + < − + = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

deoarece

( ) ( ) ( )( )2 22 21 1 1t a tb t a tb t t a b− + < − + ⇔ − − <⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 ⇒ f este strict

convexă şi g este strict concavă.

3°. ( ) ,f x x x= ∈R este convexă, dar nu este strict convexă: ,a b R∀ ∈ şi

[ ]0,1t∀ ∈ , avem:

M(1,1)

(1,0)M0

y

x0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1f t a tb t a t b t f a tf b− + ≤ − + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦f x= nu este strict convexă deoarece OM

este pe graficul lui f.

283

y = x

y = x3

0 x

y

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

A(-1,0) (0,-1)

4°. ( ) 3,f x x x R= ∈ nu este nici convexă

şi nici concavă.

Segmentul AB cu ( )1, 1A − − , nu

este în întregime situat deasupra sau

dedesubtul graficului funcţiei

(1,1B )

[ ]1,f− 1 .

Funcţia f este strict convexă pe (0, + ∞) şi

strict concavă pe (- ∞, 0).

5°. , :f R R→ ( )1; 01; 0x

f xx≥⎧

= ⎨− <⎩ nu este nici convexă şi nici concavă,

deoarece segmentul AB de capete ( )1,1A − , ( )1,1B nu este în întregime

situat deasupra sau dedesubtul graficului funcţiei [ ]1,1f− .

y = − 1

(-1,-1)A

y = 1B(1,1)

)

[

0

y

x

6°. Fie o submulţime proprie; funcţia caracteristică a lui A R⊆

( )1;

:0; \A

x AA x

x R Aϕ

∈⎧= ⎨ ∈⎩

nu este nici convexă şi nici concavă.

284

Teorema IV.33 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii

convexe)

Fie . Funcţia f este convexă, dacă şi numai dacă, pentru orice

cu şi

:f I R→

n N∈ 2n ≥ 1 2, ,..., nx x x I∀ ∈ 0it, ∀ ≥ ( )1,...,i n= cu 1 ... 1nt t+ + = ,

avem:

(IV.20) ( )1 1

n n

i i i ii i

f t x t f x= =

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

Demonstraţie:

Presupunem f convexă pe I şi demonstrăm valabilitatea relaţiei (IV.20)

prin inducţie după n. Pentru 2n = relaţia (IV.20) este verificată după

(IV.19’1). Presupunem că (IV.20) este adevărată pentru ( )1k − puncte cu

şi demonstrăm că are loc pentru k puncte. Avem:

unde

1 2k − ≥1

1 1

k k

i i i i k k k ki i

t x t x t x t x t x−

= =

= + = ⋅ +∑ ∑1

1

k

ii

t t−

=

= ∑ şi 1

1

ki

i

tx xt

−

=

= ∑ . Cum f este

convexă şi (IV.20) este valabilă pentru ( )1k − puncte, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

k ki

i i k k k k i k k i ii i

t1

k

i

f t x f tx t x tf x t f x t f x t f x t f xt

−

= =

⎛ ⎞ = + ≤ + ≤ + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

=∑

⇒ proprietatea din (IV.20) are loc pentru n N∀ ∈ cu . 2n ≥

Dacă pentru f este valabilă relaţia (IV.20), atunci f este o funcţie convexă

pe I. Pentru 2n = din (IV.20) se obţine relaţia (IV.191’) deci f este funcţie

convexă pe I

Vom stabili o legătură între clasa funcţiilor reale convexe şi

mulţimile convexe din plan.

Teorema IV.34.

1°. Funcţia este convexă, dacă şi numai dacă supragraficul său,

adică mulţimea:

:f I R→

285

(IV.211) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, ; ;G f x y R y f x x I G f R+ += ∈ ≥ ∈ ⊂

este o mulţime convexă din plan.

2°. Funcţia este concavă, dacă şi numai dacă subgraficul său,

adică mulţimea:

:f I R→

(IV.212) ( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, ; ;G f x y R y f x x I G f R− −= ∈ ≤ ∈ ⊂

este o mulţime convexă din plan.

Demonstraţie:

Vom dovedi numai echivalenţa: f convexă pe I ⇔ ( )G f+ convexă în plan,

deoarece f convexă implică ( )f− concavă.

Fie f o funcţie convexă pe I şi să arătăm că ( )G f+ este o mulţime convexă

din plan. Pentru ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y G f+∀ ∈ şi [ ]0,1t∀ ∈ , notăm:

(*) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2, 1 , ,x y t x y t x= − + y şi cum avem ( ) (1 1 2,y f x y f x≥ ≥ )2 ,

iar ( ) 1 21 ,x t x tx x I= − + ∀ ∈ ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f x f t x tx t f x tf x= − + ≤ − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ≤

( ) ( ) ( )1 21 ,t y ty y x y G f+≤ − + = ⇒ ∈ care este o mulţime convexă din

plan, conform teoremei de caracterizare a mulţimilor convexe (teorema

IV.31).

Presupunem ( )G f+ mulţime convexă din plan şi să dovedim că f

este convexă.

Fie şi ,a b I∈ [ ]0,1t∀ ∈ , notăm 1s t= − şi avem: ( )( ) ( ),a f a G f+∈ ,

( )( ) ( ),b f b G f+∈ şi cum ( )G f+ este mulţimea convexă ⇒

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ), , ;s a f a t b f b sa tb sf a tf b G f++ = + + ∈ ⇒

286

( ) ( ) ( )f sa tb sf a tf b⇒ + ≤ + tocmai (IV.191') ⇒ f este funcţie convexă.

Observaţii:

1) Testarea directă a condiţiilor de caracterizare a unei funcţii convexe:

(IV.191') (din definiţie) sau (IV.191) (din teorema de caracterizare) este de

multe ori greoaie.

2) Se vor prezenta condiţii mai uşor de testat în practică, care folosesc

proprietatea de derivabilitate a unei funcţii.

3) Fie puncte distincte două câte două şi considerăm funcţia: , ,a b c I∈

(IV.22) { }

( )( ) ( ) ( )

11

: ,11

a a

f af x f x f a

r I a R rx x ax

−− → = =

−

care este panta segmentului AM cu ( )( ),A a f a şi ( )( ),M x f x .

4) Monotonia funcţiei f pe I poate fi exprimată prin condiţia ca raportul

sau ( ) 0ar x ≥ ( ) 0ar x ≤ , ,a x I∀ ∈ cu x a≠ .

5) Se va generaliza funcţia raport ( )ar x din (IV.22) considerând

cu a b , , b

, ,a b c I∈

≠ a c≠ c≠ cu care definim:

(IV.23) ( )

( )( )( )

2

2

2

111

, ,111

a f ab f bc f c

R a b ca ab bc c

=

care prin calculul determinanţilor de ordin 3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

, ,a b f c f b c b f a f b

R a b ca b c b c a

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒− − −

287

⇒ (IV.23’) ( ) ( ) ( ), , b br c r aR a b c

c a−

=−

6) Vom caracteriza convexitatea funcţiilor reale prin raportul ( ), , ,R a b c

dat prin (IV.23’). Din definiţia determinanţilor rezultă că

raportul ( ), , ,R a b c este simetric în raport cu variabilele a, b, c.

7) Avem situaţia: a b c< < , dacă şi numai dacă, există a.î.

şi înlocuind în (IV.23’) obţinem:

(0,1t∈ )

tc( )1b t a= − +

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

1, ,1f c f b f a f b

R a b cc a t c a t c a

⎡ ⎤− −= + ⇒⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

(IV.23”) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

1 1, ,

1

t f a tf c f t a tcR a b c

t t c a

− + − − +⎡ ⎤⎣ ⎦=− −

Teoremă IV.35 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii reale

convexe)

Fie interval nedegenerat. Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

: ,f I R I R→ ⊂

(i) f este convexă (respectiv strict convexă)

(ii) puncte distincte (respectiv ( ), , 0, , ,R a b c a b c I≥ ∀ ∈ ( ), , 0R a b c > )

(iii) ( ) ( ) , , ,b br a r c a b c I≤ ∀ ∈ cu (respectiv a b c< < ( ) (b br a r c< ) )

(iv) este monoton crescătoare br b I∀ ∈ ( este monoton strict

crescătoare).

br

Demonstraţie: ([41] pag. 227-229)

(i) ⇔ (ii) după simetria lui R, presupunând a b c< < şi echivalenţa rezultă

din (IV.23”).

(ii) ⇔ (iii) rezultă din egalitatea (IV.23’)

288

(ii) ⇔ (iv) rezultă din (IV.23’)

(iv) ⇔ (iii) este evidentă (definiţia funcţiei crescătoare)

Teorema IV.36 (Proprietăţi ale funcţiilor convexe)

Fie o funcţie convexă, atunci au loc afirmaţiile: :f I R→

I) f este funcţie derivabilă la stânga şi la dreapta în orice punct interior

. b I∈

II) f este funcţie continuă în orice punct interior b I∈ .

Demonstraţie:

I) Fie punct interior, atunci există b I∀ ∈ ,a c I∈ astfel încât ,

deci

a b c< <

[ ],a c I⊂ . După teorema precedentă restricţia funcţiei la ( )

este monoton crescătoare şi mărginită superior de

br ,a c

( )br c ; în aceste condiţii

raportul pentru ( )br x [ ],x a c∀ ∈ are limită la stânga în b, adică există:

( ) ( ) ( ) ( )lim lim 'b sx b x bx b x b

f x f br x f b R

x b→ →< <

−= =

−∈ şi f este derivabilă la stânga în

punctul . La fel se arată că există b I∈ ( )'df b R∈ şi f este derivabilă la

dreapta în punctul b I∈ .

II) Din afirmaţia I), care asigură existenţa ( )'sf b , ( )'df b , rezultă că f

este continuă la stânga şi la dreapta în b I∈ punct interior, deci f este o

funcţie continuă în b I∈ .

Observaţii:

289

1. O funcţie ,:f I R→ I R⊂

interval şi f convexă, funcţia f nu

este totdeauna continuă în

extremităţile intervalului I.

(0,1) (1,1)

0 )

(1,0)(

• •

y

x

2. Exemplu ( ) ( )1; 0, 10; 0,1x x

f xx= =⎧

= ⎨ ∈⎩

f este funcţie convexă pe [ ]0,1 şi este discontinuă în punctele şi

.

0x =

1x =

Teorema IV.37 (Teorema de caracterizare a funcţiilor convexe

cu derivata de ordin I)

Fie o funcţie derivabilă pe intervalul :f I R→ I R⊂ . Următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

(1°). f convexă (respectiv strict convexă)

(2°). (IV.24) ( ) ( ) ( ) ( )'f a x a f a f x+ − ≤ ,a x I∀ ∈ cu x a≠

(respectiv ( ) ( ) ( ) ( )'f a x a f a f x+ − < )

(3°). Derivata este monon crescătoare (respectiv f’ este

monoton strict crescătoare).

' :f I R→

Demonstraţie:

(1°) ⇒ (2°) Presupunem f convexă şi fie ,a x I∀ ∈ cu a x≠ , de exemplu

. Considerăm a x< ,t s I∈ cu a t s x< < < şi avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a

f t f a f s f a f x f ar t r s r x

t a s a x a− −

= ≤ = ≤ =− −

−−

a

de unde prin trecere la limită pentru , rezultă: t →

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'f s f a f x f a f x f a

f a f as a x a x a− − −

≤ ≤ ⇒ ≤− − −

⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'x a f a f x f a f a x a f a f x⇔ − ≤ − ⇔ + − ≤

care coincide cu (IV.24) din (2°).

(2°) ⇒ (3°) Fie ,a x I∈ cu a x< şi după (2°) are loc relaţia

290

(IV.24’) ( ) ( ) ( ) ( )'f x a x f x f a+ − ≤ (în care a xx a→→

)

şi scriind relaţia de forma (IV.24) ( ) ( ) ( ) (' )f a x a f a f x+ − ≤ prin

adunarea lui (IV.24’) cu (IV.24), avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 0 ' '0

x a f a f x f a f xa xx a

⎧ − − ≤⎡ ⎤ ⎧ ≤⎪ ⎣ ⎦ ⇒⎨ ⎨<− >⎪ ⎩⎩

⇒ f’ este funcţie

crescătoare pe [ ],a x şi cum ,a x I∀ ∈ ⇒ f’ crescătoare pe I.

(3°) ⇒ (1°) Presupunem că f’ este monoton crescătoare pe I şi , ,a b c I∀ ∈

cu a după teorema IV.35 cazul (iii), aplicând teorema lui Lagrange,

există t cu şi există s cu b s

b c< <

a t b< < c< < astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'b b

f b f a f c f br a f t f s r c

b a c b− −

= = ≤ = =− −

şi deci:

(iii) ⇔ (i) f este funcţie convexă pe I. ( ) ( )b br a r c≤

Teorema IV.38 (Teoremă de caracterizare a funcţiilor convexe

cu derivata ordin II)

Fie o funcţie derivabilă de două ori pe I, atunci au loc

echivalenţele:

:f I R→

1. f este convexă pe I ⇔ ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I.

2. f este strict convexă pe I ⇔ ( )f x′′ >0, ∀x∈I şi f " nu este identic nulă

pe nici un subinterval nedegenerat J ⊂ I.

Demonstraţie: 1. Pentru f derivabilă de două ori pe I, avem

( )f x′′ ≥0, ∀x∈I ⇔ f ' este monoton crescătoare pe I tocmai (3°) din

teorema precedentă şi cum (3°)⇔ (1°) ⇒ f este funcţie convexă pe I.

291

2. Presupunem f strict convexă pe I şi dovedim că ( )f x′′ >0, ∀x∈I şi f "

nu este identic nulă pe J ⊂ I. Cum f strict convexă pe I ⇔ f ' strict

crescătoare pe I ⇔ ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I. Dacă avem ( )f t′′ ≥0, ∀t∈J cu J ⊂ I

nedegenerat, atunci ( ) ,f x ax b x= + ∀ ∈I şi nu este valabilă ipoteza f strict

convexă pe I ⇒ f " nu este identic nulă pe I.

Presupunem ( )f x′′ >0 pe I şi f" nu este identic nulă pe nici un

subinterval nedegenerat J ⊂ I. Din ( )f x′′ ≥0, ∀x∈I ⇒ f este convexă pe I

şi din teorema precedentă, avem f ' monoton crescătoare pe I. Dacă f ' nu ar

fi strict crescătoare pe I, atunci ar exista a, b ∈ I, a < b şi ( ) ( )f a f b′ ′= ⇒

f ' este funcţie constantă pe [a, b] ⇒ f " ≡ 0 pe [a, b] ceea ce contrazice

ipoteza asupra lui f ". Rezultă că f ' este strict crescătoare pe I şi deci, după

teorema precedentă f este strict convexă pe I.

Teorema IV.39. (Teorema de caracterizare geometrică a

funcţiilor convexe).

Fie f : I → R o funcţie derivabilă. Funcţia f este convexă pe I, dacă şi

numai dacă, tangenta dusă în orice punct al graficului lui f se află sub

grafic (cu excepţia punctului de tangentă).

Demonstraţie: Ipoteza f derivabilă pe I ⇒ graficul lui f are

tangentă în orice punct din I. Fie a∈I, ecuaţia tangentei la graficul lui f în

x = a este: ( ) ( ) ( )y f a x a f a′= + − şi conform punctului (2°) din teorema

de caracterizare a funcţiilor convexe cu derivată de ordin I, avem:

(IV.24.) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f a x a f a f x a x′ I+ − ≤ ∀ ∈ cu a ≠ x ⇒

( )tan g graficy y f≤ = x şi are loc afirmaţia din teoremă deoarece (2°)⇔(1°) f

convexă pe I.

292

Exemple: 1. ⇒ ( ) ( )2

4 12 ;,

0; 0

*RR

x xf x x x f x

x⎧ ∈

′′= ∈ ⇒ = ⎨=⎩

( )f x′′ >0, ∀x ≠0 ⇒ f strict crescătoare.

2. Fie cu 1 20, 0,..., 0nt t t> > > 1 2 ... 1nt t t+ + + = şi n ≥ 2, n∈N, iar

. Să se demonstreze relaţia: 1 20, 0,..., 0nx x x> > >

(IV.25) . ( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 2 1 2... ... nt tn n nt x t x t x x x x+ + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ t

Considerăm f : (0, ∞)→ R cu ( ) lnf x = x care este funcţie

concavă, deoarece ( ) 2

1 0, 0f x xx

′′ = − < ∀ > . Folosind relaţia (IV.20) din

teorema IV.33 de caracterizare a funcţiilor convexe aplicată lui

( ) lnf x = x ⎞⎟ cu x > 0, avem: şi prin

aplicarea exponenţialei ⇒ . Dacă

( )1 1 1

ln ln ln inn n

ti i i i i

i i i

t x t x x= = =

⎛⎛ ⎞ ≥ = ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∏

( )1 1

inn

ti i i

i i

t x x= =

≥∑ ∏ 1 21... nt t tn

= = = = din

(IV.25), avem: 1 21 2

... ...n na n

x x xgM x x x M

n+ + +

= ≥ + + + = .

3. Fie ( ) 1, Rf x x x= − ∈ şi să se arate că f este funcţie convexă iar f ° f

nu este funcţie convexă. La fel şi ( ) [ ]1 sin , 0,g x x x= − ∈ π este funcţie

convexă iar g ° g nu este funcţie convexă.

I. Pentru ∀a, b∈R şi ∀t∈[0,1], avem:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 | | | | 1 ( ) ( )f t a tb t a tb t a t b t f a tf b− + = − + − ≤ − + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇒

( ) 1f x x= − este funcţie convexă pe R.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) 1 | | 1 | | 1 1 | | | |t f a tf b t a t b t a t b− + = − − + − = − + 1−

293

( ) ( )( ) ( ) ( )2; 1

1 1 1 ; 1,2; 1

x xh x f f x f x x x x

x x

− ≥⎧⎪= = − = − − = − ∈⎨⎪

1−

− − ≤ −⎩

o .

Funcţia h este discontinuă în punctele x = -1 şi x =1 ⇒ h este discontinuă

pe R ⇒ h nu este convexă după condiţia II) din teorema care precizează

proprietăţi ale funcţiilor convexe.

Avem şi ( )( ) ( )( ) ( )

1; 1,0 1,

1; , 1 0,1

x

h x x

+ ∈ − ∪ ∞

′ = − ∈ −∞ − ∪

∃ ; 1; 0; 1

h

x x x

⎧⎪

⇒⎨⎪

= − = =⎩

nu are derivate laterale în

orice punct din R.

II. Pentru ( ) [ ]1 sin , 0,g x x x= − ∈ π , avem:

( ) ( ) [ ]cos , sin 0, 0,g x x g x x x g′ ′′= − = ≥ ∀ ∈ π ⇒ este funcţie convexă pe

[0, π].

( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]2

1 sin 1 sin 1 sin

cos 1 sin cos cos cos 1 sin

sin cos 1 sin cos sin 1 sin

x g g x g x x

x x x x x

x x x x

ϕ = = − = − −

′ϕ = − − − = ⋅ −

′′ϕ = − ⋅ − + ⋅ −

o

x

şi ϕ" nu are semn constant pe [0, π]

( ) ( )0 sin1 0; 1 0; sin1 02

g g⎛ π ⎞⎛ ⎞′′ ′′ ′′ϕ = > ϕ = − < ϕ π = > ⇒ ϕ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠o nu este

funcţie convexă pe [0, π].

4. Să se arate că: ln ln ln2

x y x yx yx y x y

+≤ +

+ + pentru ∀x, y∈(0, ∞).

Fie cu t >0 ⇒ ( ) lnf t t t=( )

( )

ln 11 0, 0

f t t

f t tt

′ = +⎧⎪ ⇒⎨

′′ = > ∀ >⎪⎩

f este funcţie convexă

şi după (IV.20), avem: 294

ln ln ln ln ln ln2 2 2 2 2 2 2

x y x y x x y y x y x yx yx y x y

+ + +≤ + ⇔ ≤ +

+ +.

5. Fe ∀x, y∈ R şi ∀n∈N*, să se arate că are loc inegalitatea:

2 2

n n nx y x y+ +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Fie ( ) nf t t= cu t ≥0 ⇒ ( )

( ) ( )

1

21 ;0; 1

n

n

f t nt

n n t nf t

n

−

−

′⎧ =⎪

⎧ 2− ≥⎨ ⎪′′ = ⎨⎪=⎪⎩⎩

⇒ ( ) [ )0 pentru 0,f x t′′ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇒ f este funcţie convexă ⇒

( ) ( )2 2 2

n n nf x f y2

x y x yf++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⇔ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠x y+ .

6. Fie a ≥ 0, n ≥1 şi să se arate că are loc inegalitatea: ( ) 2

01

n nk

kn a a

=

+ ≤∑ .

Fie ( ) ( ) cu şi 0, 1 ln şi Rx xf x a x a a f x a a′= ∈ > ≠ ⇒ =

( ) ( )2ln 0, Rxf x a a x f′′ = ≥ ∀ ∈ ⇒ este funcţie convexă pe R. după

proprietatea (IV.20) avem:

( )0 0

1 11 1

n n

k kf k f k

n n= =

⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑ cu ( ) kf k a= şi

( )

0

11 11 1 2

n

k

n n nkn n=

+=

+ +∑ 2= de unde rezultă: 2

0

11

n nk

ka a

n =

≤+ ∑ ⇔

⇔( ) 2

01

n nk

kn a a

=

+ ≤∑ .

7. Fie ( )1 2 1, ,..., 0,1 cu ...na a a a a an∈ = + + şi să se arate ca are loc

inegalitatea: 1 2

1 2

...1 1 1

n

n

aa a na a a n+ + + ≥

aa− − − −

.

295

Fie ( )1

xf xx

=−

cu x ∈ [0,1) ⇒

( )( )

( )( )

[ )

2

3

11

2 0 pe 0,11

f xx

f xx

⎧ ′ =⎪ −⎪⎨⎪ ′′ = ≥⎪ −⎩

⇒ f este

funcţie convexă.

( ) ( ) ( )1 21 2 ...... nn f a f a f aa a afn n

+ + ++ + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

după (IV.20)

Avem 1 21

1 2

1 ... şi : 1 ...1 1 1

nn

n

aa aa aa a an n n a a a

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − ≤ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔

an

1nn a n⋅ ≤

−1 2

1 2

...1 1 1

n

n

aa aa a a

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

⇔

1 2

1 2

...1 1 1

n

n

aa anan a a a a

≤ + + +− − − −

.

8. Fie cu atunci: 1 20, 0,..., 0nx x x> > >1

1n

ii

x=

=∑

( )2

11

11 , Nppn

i pi i

nx p

x n −=

+⎛ ⎞+ ≥ ∀ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ . Pentru Np∀ ∈ fixat considerăm

funcţia: ( ) 1 p

f t tt

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

cu t > 0 ⇒ ( )1

2

1 1p

f t p t tt t

−⎛ ⎞ ⎛′ = + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

şi

( ) ( ) ( )2 1

2

1 2 11 , 0p ppf t p p t t t f t

t t t

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= − + + + ∀ > ⇒ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

pentru ∀t >0 ⇒ f este funcţie convexă şi după (IV.20), avem:

( )1 1

1 1n n

i ii i

f x f xn n= =

⎛ ⎞ ≤ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

1

1 1 1 1pp n

ii i

n f xn n n x=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ⇔

( )2

11

1 1p pn

ipi i

nx

n x−=

+ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

296

9. Fie ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ cu 1

1n

ii

x=

=∑ să se arate că are loc inegalitatea:

2

1

11 1

n

i i

nx n=

≥− −∑ .

Fie ( ) (1 cu 0,11

f t tt

= ∈−

) ⇒ şi

( )( )

( )( )

( )

2

3

11

2 0, 0,11

f tt

f t tt

⎧ ′ =⎪ −⎪⎨⎪ ′′ = ≥ ∈⎪ −⎩

⇒ f este funcţie convexă şi după (IV.20), avem:

( )1 1

1 1n n

i ii i

f x f xn n= =

⎛ ⎞ ≤ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

1

1 1 11 11

n

i in xn

=

≤ ⇔−−

∑ 2

1

11 1

n

i i

nn x=

≤− −∑ .

5. Reprezentarea grafică a funcţiilor reale de o variabilă

reală.

Fie A ⊆ R o mulţime care se reprezintă printr-o reuniune finită sau

numărabilă de intervale nedegenerate şi disjuncte două câte două, numită

mulţime standard din R şi f : A → R.

A reprezenta grafic funcţia f înseamnă a desena graficul lui f ,

adică a reprezenta mulţimea de puncte Gf = {(x, f(x))| x∈A} într-un sistem

de axe ortogonale xOy în plan. În acest scop vom pune în evidenţă puncte,

drepte şi alte elemente din plan intim legate de variaţia funcţiei f pe A.

După teorema lui Fermat, dacă f este derivabilă pe A, printre soluţiile

ecuaţiei ( ) 0,f x x′ A= ∈ se găsesc punctele de extrem local ale funcţiei f.

Dacă x0∈A este punct interior şi f derivabilă pe V = (x0- α, x0 + α)∈ V(x0)

297

cu V ⊆ A şi α > 0, α∈R, iar ( )0 0f x′ = şi f ′>0 (sau f ′<0) pe (x0- α, x0),

<0 (sau f ′ f ′> 0) pe (x0, x0 + α), atunci x0 este punct de extrem local

strict pentru f (Demonstraţia este directă din definiţia punctelor de extrem

local şi consecinţa teoremei Lagrange care indică intervalele de monotonie

pentru f). Pentru x0∈A, punct interior, cu proprietatea că f este strict

concavă (sau convexă) pe (x0- α, x0) şi f este strict convexă (sau concavă)

pe (x0, x0 + α) se numeşte punct de inflexiune pentru f. Într-o vecinătate

V⊆A suficient de mică a punctului de inflexiune x0∈A, tangenta la graficul

lui f în (x0, f (x0)) traversează o singură dată graficul lui f .

Teorema IV.40.

1] Fie A ⊆ R mulţime standard şi f: A → R o funcţie derivabilă de două

ori. Un punct x0 interior lui A este punct de inflexiune pentru f dacă există

α >0 cu (x0- α, x0 + α)⊆A a. î. f ′′>0 pe (x0 - α, x0) şi f ′′<0 pe (x0, x0+ α)

sau invers.

2] Dacă f este derivabilă de două ori pe A şi x0 punct interior lui A este

punct de inflexiune, atunci f ′′ ( x0) = 0.

Demonstraţia este directă folosind definiţiile şi caracterizările

pentru punctul de inflexiune şi convexitate, respectiv concavitate.

Din teoremă rezultă că punctele de inflexiune pentru f sunt printre soluţiile

ecuaţiei ( x) = 0, x∈A şi semnul lui f ′′ f ′′ pe o vecinătate a unui

asemenea punct precizează în ce situaţie ne aflăm.

O dreaptă (d) din plan de ecuaţie y = mx + n este asimptotă la ( ∞)

la graficul lui f dacă

±

( ) ( )lim 0x

f x mx n→±∞

− + =⎡⎣ ⎤⎦ . Asimptota este oblică

dacă m ≠ 0 şi asimptota este orizontală dacă m = 0.

298

Teorema IV.21.

Dreaptă (d) din plan de ecuaţie y = mx + n este asimptotă la (+ ∞) la

graficul funcţiei f : (a, ∞) → R, dacă şi numai dacă, ( )limx

f xm

x→+∞= şi

cu ( )limx

n f x→+∞

= −⎡ ⎤⎣ ⎦mx ,m n∈R .

Demonstraţie: Din definiţie avem:

( ) ( ) ( ) ( )lim 0 0 lim limx x

f x mx n f xx

f x mx nx x→+∞ →+∞ →+∞

− −− + = ⇔ = = −⎡ ⎤⎣ ⎦ m⇒

( )limx

f xm

x→+∞= . Avem d(yd, yf) = (mx + n) – f (x) cu d(ylim

x→+∞d, yf) = 0

⇒ ( ) ( ),d ff x mx n d y y− = − ⇒ [ n - d(ylimx→+∞

d, yf)] = n ⇒

⇒ n = ( )limx

f x mx→+∞

−⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Fie x0∈A şi f : A – { x0} → R, eventual A interval; dreapta (d) de

ecuaţie x = x0 este asimptotă verticală la graficul lui f dacă

( )0

limx x

f x→

= ±∞ (sau ( )0

0

limx xx x

f x→<

= ±∞ sau ( )0

0

limx xx x

f x→>

= ±∞ ).

Reprezentarea grafică a funcţiei f : A → R, A ⊆ R o mulţime

standard se realizează pe baza unui algoritm care cuprinde următoarele

etape:

Etapa I. Domeniul (mulţimea) de definiţie.

1. Se precizează dacă pe A ⊆ R f este funcţie: pară, impară, periodică.

2. Se determină punctele în care graficul lui f intersectează axele de

coordonate: şi . ( )

0yy f x=⎧⎪

⎨ =⎪⎩ ( )0x

y f x=⎧⎪

⎨ =⎪⎩

3. Se precizează existenţa limitelor ( )limx

f x→−∞

şi ( )limx

f x→+∞

şi avem:

299

α) ( )limx

f x→±∞

= ±∞⇒ s-ar putea să existe asimptote oblice sau orizontale,

după cum ( )limx

f xm

x→+∞= ∈R sau m = 0 şi ( )lim

xn f x

→+∞= −mx⎡ ⎤⎣ ⎦ ∈R.

β) Dacă m∈{- ∞, + ∞} nu avem asimptote nici oblice şi nici orizontale la

graficul lui f.

γ) Dacă ( )0

limx x

f x→

= ±∞ , x0∈A, atunci dreapta x = x0 este asimptotă

verticală şi f : A – { x0}→ R.

Etapa a II-a. Intervale de monotonie şi puncte de extrem local.

1. Se calculează ( ) ,f x x A′ ∈ şi se rezolvă ecuaţia ( ) 0,f x x′ A= ∈ .

2. Semnul lui f ′ pe intervalele din A ne dă monotonia lui f pe aceste

intervale şi precizăm care din soluţiile ecuaţiei ( ) 0f x′ = sunt puncte de

extrem local ( f ′ îşi schimbă semnul pe o vecinătate a unui asemenea

punct).

Etapa a III-a. Intervale de convexitate şi concavitate.

Se calculează ( ) ,f x x A′′ ∈ .

1. Soluţiile ecuaţiei ( ) 0,f x x′′ A= ∈ sunt puncte de inflexiune dacă îşi

schimbă semnul pe o vecinătate a unui asemenea punct.

f ′′

2. Intervalele pe care f ′′ are semnul constant sunt intervalele de

convexitate pentru f ′′ > 0 şi intervalele de concavitate pentru f ′′ < 0.

Etapa a IV-a. Toate rezultatele din celelalte etape se trec în

tabelul de variaţie al funcţiei f∈ C2(A):

a) în prima rubrică orizontală se trec valorile remarcabile x∈A.

b) în a doua rubrică orizontală se precizează semnul lui f ′ pe intervale şi

x∈A cu ( ) 0f x′ = .

300

c) în a treia rubrică orizontală se trec valorile lui f în punctele remarcabile

x∈A şi săgeţile care indică f crescătoare, respectiv descrescătoare pe

intervale.

d) în a patra rubrică orizontală se precizează semnul pentru pe

intervale, x∈A cu

f ′′

( ) 0f x′′ = şi semnul care indică convexitatea lui f

respectiv concavitatea lui f pe intervale.

Etapa a V-a – se trasează graficul lui f, desenând asmptotele,

punctele remarcabile x∈A şi apoi graficul lui f ca o linie continuă dacă

f∈C2(A).

Exemple:

1) . ( ) 2arctg , Rf x x x x= − ∈

I.1. f este impară: ( ) ( ) , Rf x f x x− = − ∈ şi se poate trasa graficul numai

pe R+.

( )limx

f x→+∞

= +∞ , deci graficul lui f admite cel puţin o asimptotă:

( )lim 1x

f xm

x→+∞= = , ( )lim

xn f x

→+∞= −mx⎡ ⎤⎣ ⎦= - π ⇒ dreapta (d) y = x - π

asimptotă oblică la + ∞.

II. ( )2

2

11

xf xx−′ =+

cu ( )f x′ = 0 în x1 = 1 ( şi x2= - 1 ∈R+) şi ( )f x′ < 0,

∀x∈[0, 1], iar ( )f x′ >0, ∀x∈(1, + ∞) ⇒ f descrescătoare pe [0, 1] şi

crescătoare pe (1, + ∞).

301

III. ( )( )22

4

1

xf xx

′′ =+

cu ( )f x′′ =0 în x0= 0 şi ( )f x′′ < 0 pentru x< 0 şi

( )f x′′ > 0 pentru x>0 ⇒ x0= 0 este punct de inflexiune şi f este concavă

pe (- ∞ , 0) şi convexă pe (0, + ∞).

IV.

0x 1 + ∞f '(x)

f (x) f ''(x)

- 0 1

2π

− + ∞ (i) (M) 0 + + +

- - 0 + + +

302

2. ( ) ( )1

2*R

xf x x e

x A

⎧⎪ = +⎨⎪ ∈ =⎩

.

(1,0) (−1,0)

y = x − π

y = x + π

(0,π)

(0,−π)

(π,0) (−π,0) 0

y

x

I.1. A = R – {0}; f nu este nici pară, nici impară.

2. Graficul nu taie Oy; 0

2yx=⎧

⎨ = −⎩ intersecţia cu Ox.

3. ( ) ( ) ( )1

2lim lim lim 1

x

x x x

f x x ef x m

x x→±∞ →±∞ →±∞

+= ±∞⇒ = = = .