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Capítulo 2

Leyes básicas de la teoría

electromagnética. Ondas

electromagnéticas

2.1 Las ecuaciones de Maxwell en el espaciolibre

2.1.1 El espacio libre

Llamaremos «espacio libre» a todo medio que satisfaga las siguientes pro-piedades

Homogéneo: ε y µ toman los mismos valores en todos sus puntos

Isótropo: los valores de ε y µ no dependen de la dirección de los campos �Ey �B

No conductor: σ = 0 y, en consecuencia, �j = 0

Sin carga: ρ = 0

No dispersivo: los valores de ε y µ no dependen de la frecuencia de varia-ción de los campos �E y �B

3

4 CAPÍTULO 2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

2.1.2 Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre

En el espacio libre, las ecuaciones de Maxwell se escriben, en forma integral

∮S

�E d�S = 0∮S

�B d�S = 0∮C

�E d�l = − ∂

∂t

∫∫S apoyada

�B d�S

∮C

�B d�l = µε∂

∂t

∫∫S apoyada

�E d�S

con las relaciones constitutivas

�D = ε�E

�B = µ �H

2.1.3 Condiciones de frontera

A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede probar que en la frontera dedos medios que responden a la descripción del espacio libre se verifican lassiguientes identidades

(�D2 − �D1

)· n = 0(

�B2 − �B1

)· n = 0(

�E2 − �E1

)× n = 0(

�H2 − �H1

)× n = 0

dónde los subíndices 1 y 2 hacen referencia al primero y al segundo de losmedios respectivamente.

Las dos primeras de estas condiciones establecen la conservación de lascomponentes normales a la superficie de separación de los medios para loscampos de desplazamiento eléctrico y de inducción magnética. Las dos últi-mas implican la igualdad de las componentes tangenciales de las intensidadesde los campos eléctricos y magnéticos a ambos lados de la frontera.

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN EL ESPACIO LIBRE 5

2.2 Ondas electromagnéticas en el espacio li-bre

2.2.1 Deducción de la ecuación de las ondas electro-magnéticas planas en el espacio libre (repaso deFísica 2)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en superficies y ca-minos convenientemente elegidos se obtiene∮

S

�E d�S = 0 ⇒ ∂Ex

∂x= 0

∮S

�B d�S = 0 ⇒ ∂Bx

∂x= 0

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

las ondas electromagnéticas son transversales

y ∮C

�E d�l = − ∂

∂t

∫∫S apoyada

�B d�S ⇒ ∂Ey

∂x= −∂Bz

∂t

∮C

�B d�l = µε∂

∂t

∫∫S apoyada

�E d�S ⇒ ∂Bz

∂x= −µε

∂Ey

∂t

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

∂2Ey

∂x2= µε

∂2Ey

∂t2

∂2Bz

∂x2= µε

∂2Bz

∂t2

que es la ecuación de una onda electromagnética plana con su campo eléctricopolarizado según el eje y.

La velocidad de propagación se determina fácilmente identificando lasecuaciones anteriores con la ecuación de onda genérica

∂2ψ

∂x2=

1

v2∂2ψ

∂t2

y resulta

µε =1

v2⇒ v =

1√µε


En el vacío

v =1√µ0ε0

=1√

4π × 10−7NA−2 8.854× 10−12 Fm−1= 2.998× 108

m

s

que coincide con la velocidad de la luz.

2.3 Relación entre los campos �E y �B de unaonda electromagnética

Consideremos una onda electromagnética armónica en la que el campo eléc-trico sólo tiene componente y

Ey (x, t) = A cos

[2π

λ(x− vt)

]

En el desarrollo de la ecuación de la onda E.M. hemos obtenido que

∂Bz

∂x= −µε

∂Ey

∂t

y sabemos, además, que

v =1√µε

⇔ µε =1

v2

Para nuestra onda armónica

∂Ey

∂t= A

2π

λv sin

[2π

λ(x− vt)

]

y, por tanto, será

∂Bz

∂x= −µε

∂Ey

∂t

= − 1

v2A2π

λv sin

[2π

λ(x− vt)

]

∂Bz

∂x= −1

vA2π

λsin

[2π

λ(x− vt)

]

Como

∂

∂x

{K cos

[2π

λ(x− vt)

]}= −K

2π

λsin

[2π

λ(x− vt)

]

2.4. ENERGÍAQUETRANSPORTAUNAONDAELECTROMAGNÉTICA7

podemos concluir que

Bz =1

vA cos

[2π

λ(x− vt)

]=

1

vEy

Bz =1

vEy

Análogamente, para una onda electromagnética armónica cuyo campoeléctrico sólo tenga componente z se verifica

By = −1

vEz

Como una onda electromagnética genérica se puede descomponer en unaserie de funciones armónicas, en general se verifica que

B =1

vE

con

E =∣∣∣�E∣∣∣

B =∣∣∣�B∣∣∣

Así pues, los campos eléctrico y magnético de cualquier onda electromag-nética en el espacio libre

• son perpendiculares entre sí

• oscilan con la misma frecuencia y fase

• tienen amplitudes proporcionales

2.4 Energía que transporta una onda electro-magnética

2.4.1 Densidad de energía radiante

Es la suma de las densidades de energía asociadas a los campos eléctrico ymagnético de la onda en cada punto del espacio.


Campo eléctrico uE =1

2εE2

Campo magnético uB =1

2

B2

µ

Onda electromagnética u = uE + uB

Como ya sabemos,

E = vB =B√µε

con lo que resulta

uE =1

2ε

(B√µε

)2

=1

2εB2

µε= uB

y, en consecuencia

u = εE2 =B2

µ

2.4.2 Flujo de la energía electromagnética. Vector dePoynting

La energía neta que por unidad de tiempo (i.e. potencia) atraviesa la unidadde área perpendicular a la dirección de propagación de la onda E.M. es

S =u V

∆t A=

u (v ∆t A)

∆t A

S = u v =1

µB2v = εE2v

o, lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que en una onda E.M. E = vB

S =1

µEB = v2εEB

Como en los medios homogéneos e isótropos, como el espacio libre, esrazonable suponer que la energía «fluye» en la dirección en que se propagala onda, se da carácter vectorial a la densidad de flujo representado por Sdefiniendo

�S =1

µ�E × �B = v2ε�E × �B

que se denomina vector de Poynting.

2.5. REPRESENTACIÓNDELASONDASMEDIANTENÚMEROSCOMPLEJOS9

2.4.3 Irradiancia

El módulo del vector de Poynting oscila con el doble de frecuencia que elcampo de la onda electromagnética

E = E0 cos (ωt− kx)

B = B0 cos (ωt− kx)

S = v2εEB = v2εE0B0 cos2 (ωt− kx)

S =1

2v2εE0B0 [1 + cos (2ωt− 2kx)]

Como los fotodetectores no son capaces de responder a frecuencias tanelevadas, la señal que proporcionan se corresponde con su media temporal.Así pues, se define la irradiancia de la onda E.M. en cada punto del espaciocomo el promedio temporal del módulo del vector de Poynting en ese punto

I = 〈S〉 =⟨1

2v2εE0B0 [1 + cos (2ωt− 2kx)]

⟩

I =1

2v2εE0B0

que también se puede expresar, teniendo en cuenta que E = vB

I =1

2vεE2

0 =1

2

v

µB2

0

I = vε⟨E2⟩=

v

µ

⟨B2⟩

2.5 Representación de las ondas mediante nú-meros complejos

2.5.1 Ondas armónicas (repaso de Física 2)

Una onda escalar, armónica y unidimensional ψ (x, t) se puede expresar devarias formas equivalentes

ψ (x, t) = A cos [k (vt− x)]

ψ (x, t) = A cos

[2π

λ(vt− x)

]

ψ (x, t) = A cos (ωt− kx)

ψ (x, t) = A cos

[2π

(t

T− x

λ

)]


Los parámetros de la onda están relacionados entre si. Su nomenclatura,según la norma UNE 5-100-87 (equivalente a ISO 31/12 de 1987), es comosigue

• Parámetros temporales

— Periodo

T =1

f=

2π

ω=

λ

v

— Frecuencia

f =1

T=

ω

2π=

v

λ

— Frecuencia angular, frecuencia circular o pulsación

ω =2π

T= 2πf

• Parámetros espaciales

— Longitud de onda (periodo espacial)

λ = vT =v

f= 2π

v

ω

— Número de onda (frecuencia espacial)

σ =1

λ=

k

2π=

f

v

— Número de onda angular o número de propagación

k =2π

λ= 2πσ

• Velocidad de propagación de la onda

v = λf =λ

T=

ω

k


2.5.2 Formas de representar los números complejos

Existen tres formas básicas de especificar un número complejo z ∈ C

• Notación algebraica

z = a+ ib

donde

a = Re z

es la parte real de z y

b = Im z

es su parte imaginaria.

• Notación trigonométrica

z = r (cos θ + i sin θ)

donde

r = |z|es el módulo de z y

θ = arg z

es su argumento.

• Notación exponencial

z = reiθ = r exp (iθ)

donde r y θ son los mismos que en la notación trigonométrica.

Las relaciones entre a, b, r y θ resultan obvias cuando el número complejose representa en el plano mediante el diagrama de Argand: a y b son lascoordenadas cartesianas del afijo (el punto de R2 que representa al númerocomplejo) en tanto que r y θ son sus coordenadas polares. El paso de lanotación trigonométrica a la exponencial se realiza entonces aplicando lafórmula de Euler

eiz = cos z + i sin z


Resumiendo, se tiene que

z = a+ ib = r (cos θ + i sin θ) = reiθ

a = Re z = r cos θ

b = Im z = r sin θ

r = |z| =√a2 + b2

θ = arg z = arctanb

a

2.5.3 Algunas propiedades de los números complejos

Se define el conjugado de un número complejo z = a+ib = r (cos θ + i sin θ) =reiθ ∈ C

z∗ = a− ib = r (cos θ − i sin θ) = re−iθ

Operaciones aritméticas con números complejos z1, z2 ∈ C

• Suma

z1 + z2 = (Re z1 +Re z2) + i (Im z1 + Im z2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2)

• Resta

z1 − z2 = (Re z1 −Re z2) + i (Im z1 − Im z2) = (a1 − a2) + i (b1 − b2)

• Producto

z1z2 = |z1| |z2| exp [i (arg z1 + arg z2)] = r1r2ei(θ1+θ2)

• Cociente

z1z2

=|z1||z2| exp [i (arg z1 − arg z2)] =

r1r2ei(θ1−θ2)

• Función exponencial

exp (a+ ib) = ea+ib = eaeib = exp a exp (ib)

• Módulo

|z| = (z z∗)12


• Parte real

Re z =1

2(z + z∗)

• Parte imaginaria

Im z =1

2(z − z∗)

• Exponenciales

ei2π = 1

eiπ = −1

exp(iπ

2

)= ei

π2 = i

exp

(i3π

2

)= ei

3π2 = −i

2.5.4 Representación de una onda armónica medianteun número complejo

Las ondas armónicas se suelen representar mediante números complejos paraevitar, en lo posible, el manejo de senos y cosenos en los cálculos y simplificarasí tanto la notación como los cálculos.

Sea un onda armónica escalar y unidimensional genérica

ψ (x, t) = A cos (ωt− kx)

si tomamos

r = A

θ = − (ωt− kx)

se tiene que

ψ (x, t) = Re[Ae−i(ωt−kx)

]Se escribe entonces

ψ (x, t) = Ae−i(ωt−kx)

sobreentendiendo que la función de la onda se corresponde con la parte realdel número complejo.


2.5.5 Desfase inicial. Amplitud compleja

Si la onda tiene un desfase (retardo) inicial φ, es

ψ (x, t) = Ae−i(ωt−kx−φ) = Aei(kx+φ)e−iωt

se escribe entonces

ψ (x, t) = Ae−iωt

donde

A = Aei(kx+φ)

es la amplitud compleja de la onda, que engloba la amplitud (real) y losdesfases inicial φ y de propagación kx.

2.6 Ondas electromagnéticas en tres dimen-siones

2.6.1 Vector de propagación �k

Se llama vector de propagación o vector de onda (angular) en un punto delespacio al vector que tiene la dirección y sentido de propagación de la ondaen ese punto y módulo igual al número de propagación o número de onda(angular) k.

�k = k uk = kxı+ kyj+ kzˆk

∣∣∣�k∣∣∣ =√k2x + k2y + k2z = k

El retraso de fase que la onda experimenta a medida que se propaga es

�k · �r = k uk · �r

y la ecuación de los frentes de onda, esto es, de las superficies que en cadainstante tienen la misma fase

�k · �r = C

con C una constante cualquiera.

2.6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN TRES DIMENSIONES 15

2.6.2 Representación compleja de una onda armónicaescalar en el espacio de tres dimensiones

ψ (�r, t) = Ae−i(ωt−�k·�r−φ) = Aei(�k·�r+φ)e−iωt

ψ (�r, t) = A (�r) e−iωt

A (�r) = Aei(�k·�r+φ) = Aei(kxx+kyy+kzz+φ)

2.6.3 Representación compleja de una onda electro-magnética armónica en el espacio libre de tresdimensiones

Las ondas electromagnéticas se suelen representar mediante su campo eléc-trico, que para las ondas luminosas se denomina campo óptico. El campoeléctrico es un vector de R3 que tiene tres componentes escalares. En unaonda electromagnética, cada una de estas tres componentes se comporta co-mo una onda, todas ellas con la misma frecuencia y la misma velocidad depropagación, pero con diferentes amplitudes E0i ydesfases iniciales φi. Sepuede escribir, por lo tanto

�E (�r, t) = �E (�r) e−iωt

donde

�E (�r, t) = Ex (�r, t) ı+Ey (�r, t) j+Ez (�r, t) ˆk

y �E (�r) es un vector de amplitudes complejas

�E (�r) = Ex (�r) ı+ Ey (�r) j+ Ez (�r) ˆk= E0xe

i(�k·�r+φx) ı+E0yei(�k·�r+φy) j+E0ze

i(�k·�r+φz) ˆk

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