Capitolo 7

Dinamica dei gas. II

7.1 Flussi supersonici

Studieremo ora la dinamica dei gas nel caso di flussi supersonici, che risultasostanzialmente differente da quella dei flussi subsonici, come già accennato nelprecedente Capitolo.Consideriamo le equazioni della gasdinamica ancora nel limite di flussi stazio-

nari (∂/∂t = 0), irrotazionali (∇× u = 0) e barotropici [p = p(ρ)]; tratteremoil caso bidimensionale (x, y), trascurando gli effetti di viscosità e le forze esterne(gravità). Le (6.36) permettono di scrivere il discriminante dell’equazione dellecaratteristiche nella forma:

B2 −AC = c2s¡u2 + v2 − c2s

¢= c2s

¡z2 − c2s

¢con z2 = u2 + v2 a rappresentare la velocità totale del flusso. Appare immedi-atamente chiaro che per i flussi subsonici l’equazione alle derivate parziali è ditipo ellittico, per i flussi supersonici di tipo iperbolico.Questa differenza ha notevoli conseguenze. Si consideri il flusso subsonico

di un aereo: il flusso dell’aria in condizioni stazionarie ha la forma di Fig. 7.1.Trattandosi di un problema ellittico con condizioni al contorno alla superficiedell’aereo, l’effetto di tali condizioni si riflette in tutto lo spazio. Il flusso simodella passando con un graduale frenamento verso il punto di stagnazione sulnaso dell’aereo, scivolando intorno all’ostacolo, fino a ripartire da un punto distagnazione sulla coda. Ciò è garantito dal fatto che la velocità del suono èsufficientemente grande da "prevenire" il flusso permettendogli di adattarsi agliostacoli.Nel caso di flussi supersonici invece il problema è iperbolico e le condizioni

al contorno hanno un effetto limitato alla regione a cui l’informazione può giun-gere propagandosi alla velocità del suono. Così il flusso che corre verso il nasodell’aereo non è "prevenuto" della presenza dell’aereo e vi si accumula al puntodi stagnazione: il rallentamento del flusso avviene in modo quasi discontinuo inuna configurazione di onda di prora (in inglese bow shock) dove il flusso scende

83

84 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.1: Flusso subsonico intorno ad un profilo di aereo

Fig. 7.2: Flusso supersonico intorno ad un profilo di aereo

a velocità subsoniche e quindi segue il profilo dell’aereo con linee di correnteregolari. Si rappresenta schematicamente il processo in Fig. 7.2.

7.1.1 Caratteristiche di Mach

Riprendiamo il problema di flussi stazionari, irrotazionali, barotropici; l’equazionedelle caratteristiche è data dalla (6.43) che, usando le espressioni per i coefficientiA,B,C, diventa: ¡

u2 − c2s¢dy2 − 2uv dxdy +

¡v2 − c2s

¢dx2 = 0

ovvero:c2s¡dx2 + dy2

¢= (vdx− udy)

2. (7.1)

Trasformiamo la velocità a coordinate polari:

u = z cos θ v = z sin θ (7.2)

e indichiamo lo spostamento lungo una traiettoria caratteristica con:

dx = cosχds dy = sinχds . (7.3)

7.1. FLUSSI SUPERSONICI 85

Fig. 7.3: Geometria delle linee di corrente e delle caratteristiche nel caso di unflusso supersonico, bidimensionale e stazionario

La rappresentazione geometrica schematica è data in Fig. 7.3. Definiamo oral’angolo µ:

sinµ ≡ csz=

1

M , (7.4)

doveM è detto numero di Mach.La (7.1) può essere riscritta:

sin2 µds2 = (sin θ cosχ− cos θ sinχ)2 ds2

ossia:sin2 µ = sin2 (θ − χ) → χ = θ ± µ (7.5)

cioè µ è l’angolo tra la direzione del flusso e la direzione della curva caratterstica,come appunto illustrato in Fig. 7.3. In questa rappresentazione le traiettoriecaratteristiche sono dette caratteristiche di Mach e indicano i luoghi geometricidelle onde acustiche emesse da un’ipotetica sorgente che si muova alla velocitàlocale del fluido il cui moto supersonico trascini a valle le perturbazioni acustiche(Fig. 7.4): si hanno tipicamente due caratteristiche, la "caratteristica più"corrispondente al segno + e la "caratteristica meno" corrispondente al segno -nella (7.5). Nel caso tridimensionale invece di due caratteristiche si ha un’interasuperficie, il cono di Mach. Solo materia che sta all’interno delle caratteristichedi Mach o del cono di Mach o sulla sua superficie può essere raggiunta daperturbazioni (informazioni) acustiche emesse dal fluido al vertice del cono.

7.1.2 Invarianti di Riemann per flussi isotermi

Passiamo ora a valutare l’informazione contenuta nelle caratteristiche. Per sem-plicità assumiamo che il flusso sia isotermo, in modo che la velocità del suonosia costante, e ignoriamo gli effetti della gravità, in modo che D = 0. In tal caso

86 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.4: Caratteristiche di Mach e cono di Mach

l’equazione (6.59) si riduce a:

du+tan (θ ∓ µ) dv = 0 sulle caratteristicheµdy

dx

¶±= λ± = tan (θ ± µ) .

(7.6)Usando ancora le definizioni con le coordinate polari, si avrà:

u = cscos θ

sinµv = cs

sin θ

sinµ

possiamo riscrivere l’equazione:

− (sin θ sinµdθ + cos θ cosµdµ)+µsin θ cosµ∓ cos θ sinµcos θ cosµ± sin θ cosµ

¶(cos θ sinµdθ − sin θ cosµdµ) = 0

e con un po’ di algebra si ottiene

sin2 µdθ ± cos2 µdµ = 0

ossiadθ ± cot2 µdµ = 0 . (7.7)

Tale equazione può essere integrata per dare gli invarianti di Riemann, quantitàcostanti lungo le curve caratteristiche:

θ ∓ (µ+ cotµ) = costante sulla traiettoriady

dx= tan (θ ± µ) . (7.8)

7.1.3 Soluzioni col metodo delle caratteristiche

Gli invarianti di Riemann ora definiti (7.8) consentono di trattare i problemi digasdinamica con metodi di geometria differenziale per mezzo dei quali è possibileavere indicazioni fisiche sulle soluzioni disegnando alcuni semplici diagrammi.

7.1. FLUSSI SUPERSONICI 87

Fig. 7.5: Studio geometrico di un flusso stazionario supersonico bidimensionale

Illustriamo la procedura nel caso di un problema ai valori iniziali per un flussosupersonico stazionario, con valori delle grandezze sull’asse x e condizioni alcontorno date ad ogni tempo sui contorni di destra e sinistra (Fig. 7.5).Dai dati iniziali sull’asse x possiamo calcolare l’angolo θ che ogni linea di

corrente fa con l’asse e analogamente l’angolo di Mach µ a cui si propaghereb-bero le onde acustiche emesse sull’asse. Pertanto, dividendo l’asse x in un nu-mero finito di punti griglia, si tracciano le linee caratteristiche "più" e "meno"(dy/dx = tan (θ ± µ)) che emanano dall’asse x, ad esempio la "più" piegataa destra, la "meno" a sinistra. Le linee di flusso sono le bisettrici dell’angolotra le due caratteristiche. Lungo le caratteristiche gli invarianti di Riemanntrasportano l’informazione θ ∓ (µ+ cotµ) = costante. Naturalmente una sin-gola caratteristica non consente di derivare l’evoluzione di θ e µ separatamente.Tuttavia se si considerano le intersezioni tra due caratteristiche, possiamo usaredue invarianti e quindi determinare in quel punto θ e µ. Dalla prima gener-azione di intersezioni (i vertici dei triangoli con base sulla griglia dell’asse x) sipuò poi ripartire con lo stesso metodo con un nuovo insieme di "dati iniziali"per procedere a determinare le caratteristiche del flusso nell’intero piano (x, y).Quando si raggiungono i contorni, il metodo va opportunamente adattato.

In particolare, quando si incontra, come in figura, il "muro" a sinistra con lacaratteristica "meno", in quel punto di griglia le θ e µ vengono determinatecombinando l’invariante di Riemann sulla caratteristica e il valore dato sul con-torno. Da quel punto di griglia si fa quindi ripartire la caratteristica "più" e siprocede come precedentemente.Quando il contorno sia invece libero e quindi non ne sia definita la posizione

(a destra in Fig. 7.5), potremo fare affidamento sul fatto che comunque il flussodeve essere in equilibrio con una pressione esterna ai limiti del nostro dominio diintegrazione. Sulla caratteristica "più" avremo il solito invariante di Riemann;inoltre, con riferimento a Fig. 7.6, ponendo p = ρc2s = pext e usando l’equazione

88 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.6: Caratteristiche e linee di corrente ad una superficie libera

di Bernoulli per un gas isotermo

1

2z2 + c2s ln ρ = costante sulle linee di flusso

dove la linea di flusso da considerare è quella che forma un angolo µ rispetto allacaratteristica, si ottengono z e µ arcsin (cs/z). Dall’invariante di Riemann, notoµ, si ottiene θ e si procede quindi con la definizione della caratteristica "meno".Si noti peraltro che la superficie libera deve corrispondere necessariamente aduna linea di corrente e questo consente di estendere la superficie del contorno.Esempi di applicazione del metodo allo studio di flussi supersonici intorno a

oggetti solidi con particolari strutture possono essere trovati nel testo di Liep-mann e Roshko, Elements of Gasdynamics (1956).

7.2 Onde d’urto (normali)

Abbiamo visto che lo sviluppo nonlineare delle perturbazioni in un gas possonoportare a deformare un profilo regolare in un fronte ripido, quello che vienechiamato un fronte d’onda d’urto. L’onda d’urto è una regione di piccolo spes-sore entro il quale le proprietà dinamiche di un flusso cambiano rapidamente. Daun punto di vista matematico si può trattare questa transizione come una dis-continuità attraverso la quale le variabile fisiche subiscono un salto improvviso,pur rispettandosi ovviamente le leggi di conservazione fondamentali.Si consideri la situazione illustrata schematicamente in Fig. 7.7 di un fronte

d’urto che si propaga con velocità −u1 (da destra verso sinistra) in un mezzoaltrimenti indisturbato con densità ρ1, pressione p1. In figura si è scelto dirappresentare la situazione in un sistema di riferimento in cui il fronte d’urto èa riposo, in cui quindi il gas indisturbato ha un moto apparente a velocità u1(da sinistra verso destra). Dopo aver attraversato il fronte, le grandezze fisichedel gas saranno trasformate in ρ2, p2, u2. In condizioni stazionarie i flussi dimassa, momento ed energia debbono conservarsi attraversando il fronte, per cui

7.2. ONDE D’URTO (NORMALI) 89

Fig. 7.7: Schema di onda d’urto rappresentata nel sistema di riferimento che simuove con il fronte

ρ1u1 = ρ2u2 (7.9)

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

21 (7.10)

1

2u21 +

γp1(γ − 1) ρ1

=1

2u22 +

γp2(γ − 1) ρ2

(7.11)

dove la (7.11) è l’equazione di Bernoulli (6.10) adiabatica e in assenza di forzeesterne; le proprietà del gas, essenzialmente γ, sono considerate invarianti nellatransizione. Queste 3 equazioni scalari (caso unidimensionale) contengono 6variabili, di cui 3 incognite, ρ2, p2, u2. Con alcune trasformazioni algebrichesi ottengono le espressioni per i salti delle grandezze fisiche attraverso l’ondad’urto, le cosiddette equazioni di Rankine-Hugoniot (1870):

ρ2ρ1=

u1u2=

(γ + 1)M21

(γ + 1) + (γ − 1) (M21 − 1)

(7.12)

p2p1=(γ + 1) + 2γ

¡M2

1 − 1¢

(γ + 1)(7.13)

e nel caso di gas perfetti

T2T1=

£(γ + 1) + 2γ

¡M2

1 − 1¢¤ £(γ + 1) + (γ − 1)

¡M2

1 − 1¢¤

(γ + 1)2M21

(7.14)

doveM1=

u1pγp1/ρ1

=u1cs,1

(7.15)

è il numero di Mach del flusso, cioè la velocità con cui il fronte dell’onda d’urto sipropaga nel mezzo indisturbato in unità della corrispondente velocità del suono.Dal punto di vista fisico è chiaro che le onde d’urto compressive si sviluppanoperM1>1, cioè a velocità supersoniche, perché se il fronte si propaga a velocitàsubsonica la sua perturbazione causa normali onde acustiche che lo lascerannoindietro portandosi via energia e quindi indebolendolo: il fronte infine scompare.

90 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Dalla (7.12), perM1>1, risulta che ρ2/ρ1 > 1 ed è crescente al crescere diM1

fino ad una valore asintotico massimo ∼ (γ + 1) / (γ − 1) che per γ = 5/3 èρ2/ρ1 = 4. Quindi il mezzo viene compresso dall’onda d’urto e per aumentarela compressione deve aumentare la velocità dell’onda. Corrispondentemente isalti di pressione e temperatura sono maggiori dell’unità e non hanno limiti,ma possono crescere, in linea di principio, fino all’infinito. Invece per M1 de-crescente verso la regione transonica (M1→1), il rapporto di densità decresceverso l’unità, cioè l’onda d’urto scompare; peraltro la (7.12) non è applicabileperM <1 perché non esistono più transizioni discontinue del tipo assunto.Da questi risultati si comprende l’importanza delle onde d’urto in astrofisica

in quanto comportano compressioni con aumenti di temperatura: condizioniqueste favorevoli all’aumento localizzato di emissione di radiazione. La fisicadelle onde d’urto qui schematizzata trascura peraltro effetti radiativi, viscosie di trasporto di calore che sono invece essenziali nel determinare lo spessoredel fronte d’urto, che ovviamente non sarà fisicamente una discontinuità, even-tualmente anche allargandolo e disperdendolo se le perdite sono grandi. Latrattazione delle onde d’urto radiative è un importante soggetto per problemiastrofisici (si può ad esempio vedere il Capitolo 19 del testo Gas Dynamics diShu, 1992).

7.3 Onde d’urto sferiche, esplosioni di super-nova

L’improvvisa esplosione entro una regione di gas a riposo genera un’onda esplo-siva (blast wave in inglese) che si propaga nel mezzo circostante. Questo è il casodell’esplosione di una bomba nell’atmosfera; in astrofisica lo stesso fenomeno haluogo in occasione di un’esplosione di supernova che propaga un’onda di com-pressione nel mezzo interstellare. Il fronte dell’onda è un fronte d’urto dovele quantità fisiche compiono una transizione discontinua secondo le condizionidi Rankine-Hugoniot. Il gas compresso dall’onda raggiunge temperature moltoelevate e dà origine ad un aumento della luminosità localmente, con emissionedi radiazione termica che può raggiungere la banda dei raggi X. Se il mezzo cir-costante è originariamente uniforme e l’esplosione è isotropa, l’onda mantieneuna simmetria sferica. La Fig. 7.8 presenta le osservazioni nella banda dei raggiX del resto della supernova Tycho esplosa nel 1572.Il modello classico della propagazione di un’esplosione è dovuto indipen-

dentemente a Sedov (1946) e Taylor (1950) e si basa sulla possibilità di trattarel’evoluzione dinamica del fronte con tecnica autosimilare nell’ipotesi che l’espan-sione dell’onda avvenga in modo uniforme, cioè le configurazioni ad ogni temposiano un ingrandimento di quella al tempo iniziale (evoluzione autosimilare).Dai risultati di esperimenti di laboratorio appare che l’approssimazione autosim-ilare è realistica; in effetti Taylor elaborò la sua soluzione in relazione agli effettidell’onda d’urto provocata da un’esplosione atomica e infatti la sua ricerca nonfu pubblicata se non dopo la fine della Seconda Guerra Mondiale.

7.3. ONDE D’URTO SFERICHE, ESPLOSIONI DI SUPERNOVA 91

Fig. 7.8: Immagine a raggi X dell’onda d’urto della supernova di Tycho esplosanel 1572

Si supponga che un’esplosione rilasci istantaneamente un’energia E in unpunto che viene assunto come origine del sistema di riferimento e che propaghiun’onda di compressione sfericamente simmetrica in un mezzo omogeneo di den-sità ρ1. Considereremo la pressione p1 del mezzo esterno trascurabile rispettoalla pressione prodotta dall’onda. Indicando con λ il fattore di scala che definiscel’estensione della perturbazione al tempo t dopo l’esplosione, questo fattoredovrà dipendere solo da t, E e ρ1. La combinazione di queste grandezze che hale dimensioni di una lunghezza è

λ ≡µEt2

ρ1

¶1/5. (7.16)

Sia r(t) il raggio di un guscio all’interno dell’onda di compressione: in unasoluzione autosimilare r(t) deve evolvere come λ, per cui si può introdurre ilparametro di distanza adimensionale:

ξ =r

λ= r

³ ρ1Et2

´1/5(7.17)

che caratterizza ogni guscio sferico indipendentemente dal tempo. Se si indicacon ξ0 il parametro sul fronte d’urto, la sua posizione evolverà nel tempo secondola legge:

rs = ξ0

µE

ρ1

¶1/5t2/5 (7.18)

con velocità di espansione:

us =drsdt

=2

5ξ0

µE

ρ1

¶1/5t−3/5 =

2

5

rst. (7.19)

L’andamento rs ∝ t2/5 fu perfettamente confermato fin dal primo test nuclearenel Nuovo Messico nel 1945. I dati raccolti da Taylor sulla base di un film

92 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.9: Dati dell’esplosione nucleare nel Nuovo Messico (1945) che mostra inscala logaritmica l’andamento previsto dalla (7.18)

7.3. ONDE D’URTO SFERICHE, ESPLOSIONI DI SUPERNOVA 93

dell’espansione dell’esplosione sono illustrati in Fig. 7.9. Pertanto l’assunzionedi autosimilarità appare del tutto valida.Un’esplosione di supernova espelle tipicamente una massa pari a circa 1M¯

con una velocità iniziale di circa 104 km s−1, per cui E ≈ 1051 erg. Il mezzointerstellare in cui si propaga l’onda di compressione ha una densità tipica ρ1 ≈2× 10−24 g cm−3. Assumendo ξ0 dell’ordine dell’unità si ottiene pertanto:

rs(t) ≈ 0.3 t2/5anni pc us ≈ 105t−3/5anni km s−1 . (7.20)

dove il tempo è misurato in anni. Questa relazione comporterebbe che la velocità104 km s−1 è raggiunta solo dopo 100 anni, per cui in effetti prima di taletempo i risultati non sono consistenti. Analogamente va tenuto presente che ilmateriale compresso irraggia una grande quantità di energia, mentre nelle nostreipotesi si assume che tutta l’energia rimanga confinata nel sistema in espansione.I calcoli corretti indicano che le perdite integrate diventano importanti dopocirca 105 anni; per cui di nuovo i risultati non sono validi oltre tale tempo. Lateoria esposta è quindi valida solo per un periodo di tempo limitato tra 100 e100mila anni, che tuttavia appare essere quello più interessante dal punto divista evolutivo dell’esplosione.Passiamo ora a calcolare la struttura dell’onda, usando il riferimento del

punto ove è avvenuta l’esplosione. Siano us la velocità del fronte dell’ondaesplosiva e ρ2, p2, u2 densità, pressione e velocità del flusso nella regione im-mediatamente dietro il fronte; le stesse quantità con l’indice 1 sono quelle delmezzo imperturbato nel quale l’onda si propaga, quindi immediatamente davantial fronte. Applicando le condizioni di Rankine-Hugoniot (7.9), (7.10), (7.11),ricordando però che in esse compaiono le velocità rispetto al fronte dell’urto cheora sono −us + u2 e −us rispettivamente dietro e davanti al fronte, si ottieneper il caso di onda altamente supersonica (M1 À 1):

ρ2ρ1=(γ + 1)

(γ − 1) (7.21)

u2 =2

(γ + 1)us . (7.22)

Nello stesso limite, usando le (7.13) e (7.15), si ottiene:

p2 =2

(γ + 1)ρ1u

2s . (7.23)

Definiamo ora le variabili adimensionali che permettono di condurre le equazionifluide alla forma adimensionale nell’ipotesi di autosimilarità; esse sono:

ρ(r, t) = ρ2ρ0(ξ) = ρ1

(γ + 1)

(γ − 1)ρ0(ξ) (7.24)

u(r, t) = u2r

rsu0(ξ) =

4

5 (γ + 1)

r

tu0(ξ) (7.25)

94 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

p(r, t) = p2

µr

rs

¶2p0(ξ) =

8ρ125 (γ + 1)

³rt

´2p0(ξ) (7.26)

dove per us è stata usata l’espressione (7.19); le variabili adimensionali sonoeguali all’unità sul fronte dell’urto

ρ0(ξ0) = p0(ξ0) = u0(ξ0) = 1 . (7.27)

L’equazione di continuità, l’equazione di Eulero e l’equazione dell’energia nellimite adiabatico sono, in simmetria sferica:

∂ρ

∂t+1

r2∂

∂r

¡r2ρu

¢= 0 (7.28)

∂u

∂t+ u

∂u

∂r= −1

ρ

∂p

∂r(7.29)µ

∂

∂t+ u

∂

∂r

¶log

p

ργ= 0 . (7.30)

Sostituendo le espressioni (7.24-7.26) e considerando che per la (7.17), si ricavache le equazioni della gasdinamica diventano funzioni solo della variabile ξ,consistemente con l’ipotesi di autosimilarità. Ricordando che:

∂

∂t= −2

5

ξ

t

d

dξ

∂

∂r=

ξ

r

d

dξ(7.31)

si ottiene:

−ξ dρ0

dξ+

2

(γ + 1)

∙3ρ0u0 + ξ

d

dξ(ρ0u0)

¸= 0 (7.32)

−u0− 25ξdu0

dξ+

4

5 (γ + 1)

µu02 + u0ξ

du0

dξ

¶= −2 (γ − 1)

(γ + 1)

1

ρ0

µ2p0 + ξ

dp0

dξ

¶(7.33)

ξd

dξ

µlog

p0

ρ0γ

¶=5 (γ + 1)− 4u02u0 − (γ + 1) . (7.34)

Queste equazioni indicano dunque la possibilità di soluzioni autosimilari nellasola variabile ξ definita in (7.17). Rimane dunque da risolvere un sistema diequazioni differenziali ordinarie con le condizioni al contorno (7.27) a ξ = ξ0.Sedov (1946) ha dato una soluzione analitica generale del sistema; l’andamentodi ξ e ρ0 in funzione di u0 risulta:µ

ξ0ξ

¶5= u02

∙5 (γ + 1)− 2 (3γ − 1)u0

7− γ

¸ν1 ∙2γu0 − γ − 1γ − 1

¸ν2(7.35)

ρ0 =

∙2γu0 − γ − 1

γ − 1

¸ν3 ∙5 (γ + 1)− 2 (3γ − 1)u07− γ

¸ν4 ∙γ + 1− 2u0γ − 1

¸ν5(7.36)

con

ν1 =13γ2 − 7γ + 12(3γ − 1) (2γ + 1) ν2 = −

5 (γ − 1)2γ + 1

ν3 =3

2γ + 1(7.37)

7.4. FLUSSI UNIDIMENSIONALI, GETTI ASTROFISICI 95

Fig. 7.10: Variazione delle variabili fisiche dietro il fronte d’urto di un’ondaesplosiva adiabatica per un gas con γ = 1.40

ν4 =13γ2 − 7γ + 12

(2− γ) (3γ − 1) (2γ + 1) ν5 =1

γ − 2 (7.38)

La soluzione del sistema può essere ottenuta facilmente con metodi numerici infunzione della solo parametro γ. In Fig. 7.10 è data la soluzione per il caso γ =1.40. In particolare il valore di ξ0 si ricava dalla condizione che l’energia totaledell’onda esplosiva si conservi (con le limitazioni precedentemente discusse):

E =

Z rs

0

µρu2

2+

p

(γ − 1)

¶4πr2dr (7.39)

che, con l’uso delle relazioni termodinamiche viste all’inizio del precedente Capi-tolo, diventa:

E =32π

25 (γ2 − 1)

Z ξ0

0

£p0 + ρ0u02

¤ξ4dξ = 1 .

L’integrale fornisce il valore di ξ0.

7.4 Flussi unidimensionali, getti astrofisiciNegli ultimi vent’anni le osservazioni radio, e successivamente ottiche e ad altefrequenze, hanno rivelato l’esistenza di fenomeni dinamici che hanno originesia nei nuclei galattici sia nelle regione di formazione stellare e che portanoall’espulsione di flussi continui di gas a velocità supersoniche, in molti casi anche

96 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.11: The radio and optical jet associated with the active galaxy M 87 atdifferent angular resolutions

relativistiche: si tratta dei cosiddetti getti astrofisici. Nelle Fig. 7.11 e 7.12sono riportati alcuni esempi significativi ottenuti con osservazioni radio ad altarisoluzione e con il Telescopio Spaziale Hubble.

L’estensione dei getti extragalattici come M 87 indicano che l’espulsionecontinua deve persistere per tempi & 108 anni conservando una perfetta colli-mazione. Le potenze richieste per mantenere il processo, derivate dalle energiecinetiche dei getti, sono & 103 volte la luminosità della nostra intera Galassia. Ilmodello interpretativo di questa morfologia è basato su una struttura del nucleogalattico attivo formato da un disco di accrescimento intorno ad un buco nerosupermassivo & 108M¯; nel processo di accrescimento parte del materiale vieneespulso da fenomeni di plasma (che vedremo nel seguito) lungo un asse perpen-dicolare al piano del disco. Il disco funge da giroscopio che mantiene la direzionedel getto fissa nel tempo. Trattandosi di accrescimento intorno ad un buco nero,l’energia gravitazionale liberata è molto grande: al limite potrebbe raggiungere,nel caso di un buco nero rotante, a liberare oltre il 40% dell’energia di massadelle particelle. In tal modo possono essere interpretate le potenze iniettate neigetti. Poiché non solo la direzione del getto è costante, ma esso rimane ben colli-mato, occorre immaginare dei processi di confinamento del flusso. Naturalmentese il flusso è altamente supersonico, il moto di espansione laterale che avvieneal più alla velocità sonora diventa trascurabile rispetto al moto longitudinale;tuttavia è verosimilmente anche necessario un confinamento da parte del gas ex-tragalattico che funge da condotto in cui il getto si scava il cammino. Nel caso

7.4. FLUSSI UNIDIMENSIONALI, GETTI ASTROFISICI 97

Fig. 7.12: Jets from star forming regions

dei getti stellari, la situazione è energeticamente meno critica, ma anche in talcaso occorre definire processi di accelerazione del flusso e del suo confinamento.In questo contesto è interessante sviluppare lo studio della propagazione

dei gas compressibili, mentre finora abbiamo parlato di propagazione di per-turbazioni nei gas. Il problema più semplice è quello unidimensionale dellapropagazione di flussi all’interno di tubi di sezione variabile, esempio che co-munque si adatta perfettamente al caso dei getti. Scegliamo un riferimento conl’asse x lungo l’asse del tubo e indichiamo con A(x) il profilo della sezione deltubo nell’ipotesi che comunque le variazioni di tale funzione siano sufficiente-mente lente da poter sempre trascurare la componente della velocità del gastrasversalmente alla sezione del tubo, cosicché il moto risulta unidimension-ale. Consideriamo in particolare un flusso stazionario e adiabatico, per cui leequazioni del moto (continuità, Eulero, energia) sono:

d

dx[ρ(x)u(x)A(x)] = 0 (7.40)

udu

dx= −1

ρ

dp

dx(7.41)

dp

dx= c2s

dρ

dx. (7.42)

Esse possono essere facilmente combinate nella forma:¡1−M2

¢ 1u

du

dx= − 1

A

dA

dx(7.43)

dove M(x) è il numero di Mach lungo il tubo. Questa equazione forniscel’andamento del flusso qualora sia noto A(x), ma è interessante considerarne

98 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

Fig. 7.13: L’ugello di de Laval

il contenuto fisico. Anzitutto si nota che quando il flusso è subsonico du/dx edA/dx sono di opposto segno, per cui un restringimento del tubo produce unaumento della velocità, un allargamento del tubo un rallentamento; si tratta diun risultato di facile interpretazione intuitiva. Invece la situazione si fa menointuitiva quando si passi al caso supersonico: in tal caso du/dx e dA/dx sonoconcordi, e pertanto un allargamento del condotto produce un’accelerazione delflusso e un restringimento un rallentamento. I flussi supersonici hanno eviden-temente un comportamento molto diverso da quelli subsonici.Studiamo ad esempio il caso rappresentato in Fig. 7.13 di un condotto con

una strozzatura: il flusso entra dalla sinistra a velocità subsonica e quindi vieneaccelerato. È possibile continuare ad accelerarlo se oltre la strozzatura il flussoè diventato supersonico e quindi la divergenza del condotto di nuovo porta adun’accelerazione. Ciò richiede dunque che nel punto di minimo della strozzaturasia fissato il punto sonico, cioè il punto in cui avviene la transizione da flussosubsonico a flusso supersonico, il che si ottiene adattando opportunamente ilprofilo della sezione del tubo. L’energia che porta all’accelerazione dei gettisupersonici viene direttamente dalla trasformazione di energia interna del gas inenergia cinetica ordinata del flusso ad opera della strozzatura o ugello. Questotipo di configurazione viene chiamata usualmente ugello di de Laval ed è labase della costruzione degli ugelli degli aerei supersonici. Qualora il profilo nonpermetta una regolare evoluzione del flusso da subsonico a supersonico si puòavere la formazione di onde d’urto in cui il flusso ritorna subsonico in certeregioni per poi riprendere a crescere verso regimi supersonici. Negli ugelli degliaerei questa situazione deve essere evitata per non causare danni alle strutture.Nel caso dei getti astrofisici possiamo immaginare che la situazione che porta

alla formazione dei getti supersonici sia del tipo illustrato in Fig. 7.14 che è stataproposta originariamente da Blandford e Rees nel 1974. Nella regione centraledel nucleo galattico attivo (A) viene rilasciata energia attraverso a qualche mec-canismo che non precisiamo, anche se già abbiamo detto possa essere colle-

7.4. FLUSSI UNIDIMENSIONALI, GETTI ASTROFISICI 99

Fig. 7.14: Modello di Blandford e Rees per l’accelerazione di getti da nucleigalattici attivi (1974)

gato ad un processo di accrescimento su buco nero; tale energia si trasformain energia interna del gas che raggiunge temperature molto elevate. La strut-tura del potenziale gravitazionale e centrifugo è indicata dalle linee tratteggiate.Pertanto il gas tenderà ad espandersi asimmetricamente lungo la direzione diminima resistenza, cioè nella direzione parallela all’asse di rotazione del sis-tema. Si creano dunque due canali in opposti versi che attraversano la galassiaseguendone il profilo di pressione. Se tale profilo ha la forma conveniente si puòrealizzare un flusso continuo che viene accelerato da velocità subsoniche a ve-locità supersoniche. L’ugello in questa situazione non è prodotto dalla forma diun condotto, ma dalla struttura di equilibrio della galassia, essendo la pressioneche genera il confinamento del getto.Trattandosi di getti che possono raggiungere velocità relativistiche, è conve-

niente usare le equazioni relativistiche per la dinamica del fluidi. Richiami-amo brevemente le formule relativistiche nel semplice caso unidimensionale,stazionario e adiabatico.L’equazione di continuità integrata, o conservazione del flusso di massa, è:

J = nuA = costante (7.44)

dove γ è il attore di Lorentz del flusso, n = noss/γ la densità propria numericadi particelle (intese tutte eguali), u è la velocità propria, tale cioè che la velocitàdel flusso per un osservatore esterno diventa v = ucγ−1 e c velocità della luce.La quantità di moto del sistema è:

Q = (wu2 + p)A (7.45)

100 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

dove w = 4p è il flusso di entalpia; la sua evoluzione deriva dall’equazione delmoto in cui le forze di pressione sono legate alla forma del condotto. Infinel’equazione dell’energia, o equazione di Bernoulli, è:

L = wuγcA = costante , (7.46)

che, usando l’equazione di continuità, può essere scritta nella forma:

wγ

n= costante .

Assumendo un’equazione di stato per un gas relativistico

p = Kn4/3 (7.47)

si risolve il sistema usando le costanti del moto J e L:

p = p0γ−4 (p0 pressione sul nucleo galattico)

u =¡γ2 − 1

¢1/2=

"µp0p

¶1/2− 1#1/2

(7.48)

A =1

4

L

cp−3/4p

−1/40

"µp0p

¶1/2− 1#−1/2

.

Risulta pertanto possibile una soluzione in cui la velocità del flusso cresce mono-tonicamente a partire da zero a r = 0, e corrispondentemente la pressione de-scresce monotonicamente dal valore p0 che funziona da valore di stagnazione el’area della sezione del flusso decresce dal valore (matematico) infinito al valoreminimo in corrispondenza a ps = (4/9)p0 per poi riprendere a crescere. Si cal-cola che in questo punto di minimo effettivamente il flusso raggiunge la velocitàsonica, che per gas estremamente relativistico è cs = c/

√3:

ps = (4/9)p0

As = 3√3

L

8p0c

us =1√2, γs =

r3

2(7.49)

vs = uscγ−1s =

c√3.

Ovviamente questa soluzione possiede le caratteristiche del flusso attraversol’ugello di de Laval e rappresenta una trasformazione di energia interna del gasdel nucleo galattico in energia cinetica del flusso unidimensionale supersonico erelativistico del getto.

7.5. FLUSSI IN SIMMETRIA SFERICA, ACCRESCIMENTO E VENTI 101

Fig. 7.15: Dati sulla velocità del plasma solare raccolti dalla missione AdvancedComposition Explorer (2003)

7.5 Flussi in simmetria sferica, accrescimento eventi

Nel paragrafo 4.5 abbiamo discusso il modello di equilibrio della corona solaree in quell’occasione è già stato rimarcato come tale equilibrio corrisponda aduna pressione che non si annulla neppure per r→∞, per cui in assenza di unapressione esterna confinante non esiste una soluzione statica. Parker nel 1958propose che la corona solare fosse in realtà un sistema fuori dall’equilibrio staticoe che dal Sole emanasse un flusso stazionario, che chiamò il vento solare: nel suolavoro calcolò le caratteristiche di questo vento nelle semplici condizioni di flussostazionario isotermo in simmetria sferica. Nel 1959 le sonde russe Lunik 2 e 3furono in grado di misurare effettivamente un flusso di ioni proveniente dal Sole;questo primo dato venne poi definitivamente confermato nel 1961 dall’Explorer10 della NASA e infine nel 1962 il Mariner 2 nel suo viaggio verso Venere fu ingrado di misurare le velocità del flusso variabili tra 400 e 700 km s−1 e associateal moto di rotazione del Sole. In Fig. 7.15 è riportato un esempio dei datidi monitoraggio del plasma del vento solare ottenuti dalla missione AdvancedComposition Explorer.In questo contesto va anche menzionato che fin dal 1952 Bondi aveva pro-

posto una soluzione delle equazioni della gasdinamica per il caso duale di quellodel vento solare, cioè l’accrescimento di materia in simmetria sferica in un campogravitazionale. Questa soluzione fu di fatto un esercizio matematico, perché,come già abbiamo discusso, la situazione fisica realistica deve includere la pre-

102 CAPITOLO 7. DINAMICA DEI GAS. II

senza di momento angolare nel flusso e comporta la formazione di strutturea disco. Nel seguito i due tipi di flusso compariranno in effetti nella stessasoluzione generale del problema gasdinamico.Consideriamo dunque il caso di un flusso stazionario in simmetria sferica in

modo che la velocità u(r) risulta indipendente dal tempo ed è funzione solo dellacoordinata radiale. In condizioni stazionarie la divergenza del flusso di massa ènulla:

d

dr

¡r2ρu

¢= 0 (7.50)

e l’equazione del moto in presenza di una forza gravitazionale dovuta ad unamassa M posta nell’origine risulta:

ρudu

dr= −dp

dr− GM

r2ρ . (7.51)

Per quanto riguarda l’equazione dell’energia seguiamo lo schema di Parker as-sumendo una condizione isoterma; soluzioni per forme più generali dell’equazionedell’energia sono state discusse da Parker nel testo Interplanetary DynamicalProcesses (1963). Abbiamo dunque:

p

ρ= RT = c2s,iso = costante (7.52)

dove cs,iso è la velocità del suono isoterma. Notiamo subito che le equazioniprecedenti sono invarianti al cambiamento di u in −u, il che prova appunto chele soluzioni di vento e accrescimento sferici corrispondono matematicamente allostesso problema. Peraltro questa simmetria non vale quando si passi a soluzionidipendenti dal tempo.Combinando le (7.50-7.52), si ottiene l’equazione:

u

Ã1−

c2s,isou2

!du

dr=2c2s,iso

r− GM

r2(7.53)

che possiede un punto critico per:

u = cs,iso (7.54)

dove il gradiente di velocità in generale diverge se il secondo membro dell’equazionenon è nullo. Si evita la divergenza solo se il flusso diventa sonico a:

r = rs =GM

2c2s,iso(7.55)

perché in tal caso anche il secondo membro dell’equazione si annulla. La (7.53)può essere integrata facilmente:µ

u

cs,iso

¶2− log

µu

cs,iso

¶2= 4 log

r

rs+2GM

c2s,isor+ C (7.56)

7.5. FLUSSI IN SIMMETRIA SFERICA, ACCRESCIMENTO E VENTI 103

Fig. 7.16: Soluzioni per u(r) ottenute dalla (7.56) al variare della costante diintegrazione

dove C è una costante di integrazione. Le soluzioni sono riportate in Fig. 7.16per differenti valori di C.Le soluzioni hanno chiaramente differenti morfologie che possono essere rag-

gruppate in sei classi indicate in figura con numeri romani. Le classi I e II sonochiaramente a doppio valore e quindi non fisiche. Le soluzioni della classe IIIsono supersoniche dovunque e quelle della classe IV subsoniche dovunque. Lesoluzioni V e VI sono le uniche che connettono regioni con flussi subsonici aregioni con flussi supersonici e sono quelle che transitano per il punto sonicor = rs, u = cs,iso; si verifica immediatamente che corrispondono a C = −3.La soluzione che viene specificamente scelta dal flusso dipende quindi dalle con-dizioni iniziali. Il vento solare di Parker corrisponde alla soluzione V: un flussosubsonico a r = 0 supera il valore sonico al punto critico e quindi si propaga oltrecon velocità supersonica. La soluzione di accrescimento sferico di Bondi cor-risponde alla soluzione VI: un flusso supersonico all’infinito rallenta attraversoil punto sonico e tende a velocità nulla per r→ 0.Se si rinuncia alla simmetria sferica, la convergenza o divergenza dei flussi

può condurre a soluzioni per flussi più o meno collimati, con formazione dionde d’urto che possono collegare rami di soluzioni di classi differenti. Lavoridi questo tipo permettono di rappresentare morfologie dei getti extragalattici estellari (Ferrari e Tsinganos, Can. J. Phys., 33, p. 89, 1986).