Comentrio sobre o Exemplo 5 da seo 3.2.

Creio que seja interessante comentar: a inteno do autor com o exemplo 5 foimostrar que; para demonstrar a continuidade de uma funo, no preciso nemprovar que ela contnua para qualquer valor de . Basta provar que ela o paraum certo valor restrito a um raio r.

Comentrio sobre a seo 3.3.

Bom, achei interessante registrar. Creio que se criou o conceito de limite para seextender o conceito de continuidade, a fim de tratar casos nos quais a funo noest definida, ou definida em um ponto que a torna descontnua. Mesmo que sejamindefinidas em determinados pontos, a funo pode ter propriedades importantes, e por isso que, penso eu, foi criado o conceito de limite.

Com relao a pergunta que o autor props ao final da observao 3, creio queum mtodo direto seja o mais prtico para mostrar a igualdade.

Se existir r tal que f (x) = g (x) para pr < x < p+r, x 6= p, e se limxp g (x) ,ento

> 0, > 0/0 < |x p| < |g (x) L| < .Considerando = min {r, }, segue que

> 0, |x p| < |g (x) L| < .Mas nesse intervalo, f (x) = g (x) e decorre disso que

> 0, |x p| < |f (x) L| < .Ora, s resta ento concluir que para todo > 0, existe > 0 ( = min {r, })tal que |x p| < |f (x) L| < , o que implica que o limite de f existe nesseintervalo, e ele igual a L. Ou seja,

limxp

f (x) = limxp

g (x) = L.

Isso encerra a questo.

Comentrio sobre o exemplo 7 da seo 3.3.

O autor delegou a tarefa de se demonstrar por induo finita que se limxp fi (x) =Li, 1 i n, ento

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li.

Ento vejamos. O passo base provado na seo 3.6, ento, no vou faz-lo.Digamos agora que a hiptese de induo

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li

seja vlida para n N , e vamos provar com isso que ela implica na veracidadedessa hiptese para n N + 1.

Vejamos:

limxp

Ni=1

fi (x) =Ni=1

Li limxp

Ni=1

fi (x) + limxp

fN+1 (x) =Ni=1

Li + LN+1.

1

2Seja agoraN

i=1 fi (x) = g (x). Pela hiptese de induo,

limxp

g (x) + limxp

fN+1 (x) = limxp

[g (x) + fN+1 (x)] .

Logo,

limxp

[g (x) + fN+1 (x)] = limxp

Ni=1

fi (x) + fN+1 (x) =Ni=1

Li + LN+1

limxp

N+1i=1

fi (x) =N+1i=1

Li.

De forma anloga se prova que

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li.

Seno vejamos: o passo base ser demonstrado na seo 3.6. Ento, seja a hip-tese de induo

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li

vlida para n N . Vamos provar que se essa hiptese for verdadeira, ento tambmser para n N + 1. Seja ento

limxp

fN+1 (x) = LN+1.

Ento, considerando quen

i=1 fi (x) = g (x),

limxp

Ni=1

fi (x) =Ni=1

Li [limxp

Ni=1

fi (x)

]. limxp

fN+1 (x) =

(Ni=1

Li

). LN+1

[limxp

g (x)

]. limxp

fN+1 (x) =N+1i=1

Li.

Pela hiptese bsica, [limxp g (x)] . limxp fN+1 (x) = limxp g (x) .fN+1 (x), e as-sim,

limxp

g (x) .fN+1 (x) = limxp

Ni=1

fi (x) fN+1 (x) =N+1i=1

Li.

Logo,

limxp

N+1i=1

fi (x) =N+1i=1

Li.

Eu acho que isso conclui a questo.

Comentrio sobre o exemplo 11 da seo 3.3.

O autor delegou a tarefa de se demonstrar por induo finita que se fi, 0 i nforem funes contnuas, ento

fi e

fi tambm so.

Ento vejamos.O primeiro passo ser provado pelo autor na seo 3.6, ento resta provar o passo

de induo.

3Ento vejamos. Seja verdadeira a hiptese de induo,

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li =ni=1

fi (p)

e

limxp

ni=1

fi (x) =ni=1

Li =ni=1

fi (p) .

Sejafi (x) = g (x), e

fi (x) = h (x). O que admite-se por hiptese de induo

ento o limite para tais funes em p seria o resultado da aplicao dessa funo emp (ou seja, que so contnuas). O passo de induo consiste em provar que tambmo limite para g (x) + fn+1 (x) e para h (x) fn+1 (x) ser a aplicao dessa funoem p.

Seja ento limxp fn+1 (x) = fn+1 (p). Decorre do passo fundamental a prova doteorema:

limxp

g (x) + fn+1 (x) =ni=1

fi (p) + fn+1 (p)

limxp

n+1i=1

fi (x) =n+1i=1

fi (p) .

Analogamente se prova que

limxp

n+1i=1

fi (x) =n+1i=1

fi (p) .

Comentrio sobre o exemplo 17 da seo 3.3.

O autor delegou a tarefa de se demonstrar a implicao reversa do teorema

limxp

f (x) = L limh0

f (p+ h) = L,

ou seja, provar quelimh0

f (p+ h) = L limxp

f (x) = L.

Vejamos.Minha estratgia ser a seguinte:

1. aplicar a definio ao antecedente da implicao;2. fazer uma mudana de variveis;3. concluir;

Implementao. simples:

limh0

f (p+ h) = L > 0, > 0 :|p+ h| < |f (p+ h) L| < .

Da, seja p+ h = x. Quando h 0, p+ h p. Ou seja, h 0 x p.Prosseguindo no raciocnio,

(|h 0| < |f (p+ h) L| < ) (|x p| < |f (x) L| < ) .Ora, ento

|x p| < |f (x) L| <

4 uma sentena verdadeira, e isso implica, por definio, que

limxp

f (x) = L

tambm verdade.No posso deixar de registrar que, de fato, no encontrei uma resposta elegante.

Isso s seria possvel se fosse encontrado um mtodo de prova independente domtodo aplicado para provar a implicao direta. Isso, eu no consegui elaborar.

Comentrio sobre a seo 3.4.

Creio que valha a pena registrar: com relao ao comentrio logo aps a definiode limites laterais, basta pensar um pouco para chegar a concluso que o autorapresentou.

Se

limxp

g (x) = L > 0, > 0 : p < x < p+ |f (x) L| < p < x < p+ |f (x) L| < lim

xp+g (x) = L.

Sendo g (x) = f (x) em ]p, p+ r[ para algum r, fica claro disso que realmentelimxp g (x) = L limxp+ f (x) = L, como o autor citou. Analogamente semostra o outro caso. Eu vou fazer uma demonstrao mais rigorosa a seguir.

Ele inclusive delegou a demonstrao do teorema dessa seo ao leitor.Vejamos ento se eu sou capaz de faz-lo.Qual a minha estratgia? Explicitar a definio do limite, e aplicar uma proprie-

dade bem conhecida da lgica para concluir.Seno vejamos.

limxp

f (x) = L > 0 > 0x (p < x < p+ |f (x) L| < ) > 0 > 0x (x (]p , p[ ]p, p+ [) |f (x) L| < ) > 0 > 0x (((x ]p , p[) (x ]p, p+ [)) |f (x) L| < ) > 0 > 0x (r |f (x) L| < s |f (x) L| < ) ;(0.1)

sendo r : (x ]p , p[) e s : x ]p, p+ [. Ou seja: limxp f (x) = L se e somentese

> 0 > 0x (p < x < p |f (x) L| < )e

> 0 > 0x (p < x < p+ |f (x) L| < ) ;ou seja, se os limites laterais da funo para x tendendo a p pela direita e pelaesquerda existirem e forem iguais ao prprio limite da funo.

Para quem deseja ver um pouco mais sobre a propriedade utilizada na Eq.0.1, verDiscrete Mathematics and its applications, de Rosen, sexta edio.

Com relao aos comentrios, o item 1 pode ser interpretado como um salto dafuno. O item 2, pode representar uma funo que cresa indefinidamente em umdos lados, ou h um salto em um dos lados. O item 3 escandalosamente simples.

5Comentrio sobre a seo 3.5.

Decidi registrar dois comentrios sobre o primeiro pargrafo dessa seo.Com relao a condio Imf Dg, isto claramente uma condio de existncia:

j que a funo g s pode atuar sobre o resultado da aplicao da f ; se a f levaralgum elemento de seu domnio a um conjunto fora do domnio da g, no havercomposio.

Se bem entendi o que o autor quis dizer sobre a condio 1, ela se verifica se g forcontnua; se g no estiver definida em a; ou se a g no for contnua em a; o mesmoocorrer com a f em p; pois nesse caso, Imf 6 Dg, j que limua g (u) 6= g (a).Comentrio sobre a Prova do Teorema 1. No acredito qur tenha perdidotanto tempo para chegar a essa concluso: se g contnua em a, limua g (u) = g (a),ento,

limxp

g (f (x)) = limua

g (u) = g (a) .

Era s isso!O que o autor se props a fazer foi mostrar que limxp g (f (x)) = g (a), j que

sendo g contnua, segue da observao 1 da seo 3.3 que limua g (u) = g (a) (ouseja, isso era evidente).

Comentrio sobre a Prova do Teorema 2. Bom, sem dvida esse teorema um tanto complicado de entender.

A primeira pergunta que me propus a responder foi: porque f (x) 6= a para|x a| < r? E vi que a observao que o autor registrou poderia auxiliar a responderessa pergunta.

Resolvi registrar esse comentrio porque as consideraes sobre esse teorema metomaram muito tempo. E a bem da verdade devo dizer que no compreendo to-talmente o que o autor quis dizer. Mas o que eu posso dizer sobre o que euentendi.

Ento, vejamos.Eu imaginei que deveria fazer um algoritmo para tentar compreender o problema.A est ele.

1. determinar qual a dvida.2. determinar qual a resposta.

Bom, creio que a dvida j estava bem determinada: porque quando g estdefinida em a mas no contnua nesse ponto, os dois limites so diferentes?

Ok, feito, isso acho que j posso passar prxima etapa, e buscar a resposta.2. determinar qual a resposta.2.1. tentar identificar a diferena que h para o clculo do limite da funo compostaquando g contnua ou quando no est definida em a; e quando est definida eno contnua // visando determinar porque f (x) 6= a nesse ltimo caso para queo limite calculado das duas formas seja igual.2.2. concluir

Ento, vejamos a implementao desse algoritmo. Vou tentar identificar as dife-renas que ocorrem nesses trs casos usando o mesmo exemplo que o autor.

Eu criei uma sequncia de grficos para ilustrar o que ele quis dizer.Nos grficos a seguir, f (x) = 1, e

g (x) =

{x+ 1, se x 6= 13, se x = 1.

6Figura 0.1. Diagrama esquemtico ilustrando o exemplo 7 da seo3.5. O ponto x est se aproximando de p = 3, e u est, de formacorrespondente, se aproximando de 1.

Figura 0.2. Sequncia da aproximao de x a 3 e de u a 1. Verifica-se que g (u) vai se aproximando de 2, mas g (f (x)) fica fixa em 3.

Neles, eu tentei mostrar o que ocorre no caso em que a funo g est definida masno contnua em a = 1. A medida que x p (escolhi arbitrariamente o valor 3para p), f (x) fica fixa em 1, e portanto, g (f (x)) fica fixa em 3. Enquanto isso, amedida que u a, g (u) 2, o que mostra a distino entre os limites.

Seguindo com o meu plano, decidi investigar mais casos. Agora, o caso em queg (u) contnua, ou seja, g (u) = u+ 1.

7Figura 0.3. Caso em que g (u) = u+1 contnua. x 1 f (x) =1, ou seja, x 1 u 1.

Figura 0.4. Sequncia de aproximaes. Verifica-se que g (f (x))2 quando x 1, e da mesma forma, g (u) 2 quando u 1.

Veja que no h problemas, os dois limites convergem para o mesmo valor.Dando sequncia ao plano estabelecido pelo algoritmo, vou investigar agora um

caso em que g (u) no est definida em u = 1;

g :

{R {1} R {2}u u+ 1.

8Figura 0.5. Representao esquemtica do caso em que a funo gno est definida em u = 1.

Figura 0.6. Sequncia de aproximaes (registrei s para mantero padro). No h nem que se falar no valor da funo compostag (f (x)) em x = 1 nesse caso, pois g no est definida em f (x) = 1.

Verifica-se que realmente no h problema: os dois limites so idnticos.Bom, mas para aprofundar meu conhecimento sobre esse tipo de limite, eu decidi

ir um pouco mais longe. Resolvi ver o que ocorria se f (x) = x2 ao invs de f (x) = 1.Ento,

f (x) = x2;

g (x) =

{x+ 1, se x 6= 46, se x = 4.

9Figura 0.7. Representao grfica do limite de funo composta nocaso em que f (x) = x2, e que g (u) est definida mas no contnuaem a.

Figura 0.8. Sequncia da representao, na qual x est mais pr-ximo de 2, e u est mais prximo de 4.

Da primeira vez que analisei essas imagens, pensei ter encontrado uma falha naobservao desse teorema.

Isso porque, como se pode perceber das figuras, a medida que x 2 e f (x) 4,ambas as funes, g (f (x)) e g (u) tendem ao mesmo valor, 5. Isso mesmo sendog (u) definida mas no contnua para u = 4, e mesmo no existindo r tal que

|x 2| < r f (x) 6= 4.

10

S que no me atentei para o seguinte fato: o teorema faz essa exigncia parax 6= 2, pois ele expresso na verdade assim:

r > 0 : 0 < |x p| < r f (x) 6= a.

Em outras palavras, no enunciado do teorema fica claro que x 6= p nesse raio. Enesse teste a funo f (x) = x2 passa com louvor.

Isso foi legal, porque o desafio passou a ser encontrar uma funo f (x) que seencaixe nessa observao.

Bom, ento eu pensei na funo seno, por ser cclica. Ento, nos grficos a seguir,

f (x) = sin (x) ;

g (x) =

{x+ 1, se x 6= 03, se x = 0.

.

Figura 0.9. Grfico no qual tentei encontrar uma nova falha para olimite de funes compostas.

11

Figura 0.10. Sequncia da investigao.

Verifica-se que a medida que a medida que x pi, sin (x) 0, ou seja, u 0, ea medida que u 0, g (u) 1, que o mesmo limite para o qual tende g (sin (x))quando x pi. De fato, a exigncia proposta pelo autor funciona perfeitamente:como no h raio em torno de pi para o qual sin (x) = 0, a funo g (f (x)) nopode ir para o valor que tornaria o limite limxpi sin (x) + 1 diferente do limitelimu0 g (u).

S ento percebi que de fato, o autor fez uma observao muito boa. Se a funono assume o valor f (x) = a para x na vizinhana de p, os dois limites, limua g (u)e limxp g (f (x)) vo coincidir. Eu percebi isso quando vi o grfico do seno. Sendoa funo f diferente de a = f (p) na vizinhana de p, como ela no d saltos,no tem como a g assumir o valor g (a) nesse domnio. E mesmo que assuma empontos diferentes de p, sendo ela contnua a funo g no se sustentaria no valorproblemtico, que poderia tornar os limites limua g (u) e limxp g (f (x)) diferentesnessa regio. De outra forma, se no houver o raio r proposto pelo autor, a f podevai ficar espao suficiente no entorno de p para provocar a diferena dos limites.Ateno para o fato de que, por se tratar de um clculo de limites, no interessa ocomportamento das funes em u = a e em x = p. No consegui imaginar outrocaso que fure o teorema da funo composta que no o do autor. Acho que issoencerra a questo, pelo menos por hora.

Comentrio sobre o Exemplo 5 da seo 3.2.Comentrio sobre a seo 3.3.Comentrio sobre o exemplo 7 da seo 3.3.Comentrio sobre o exemplo 11 da seo 3.3.Comentrio sobre o exemplo 17 da seo 3.3.Implementao.

Comentrio sobre a seo 3.4.Comentrio sobre a seo 3.5.Comentrio sobre a Prova do Teorema 1.Comentrio sobre a Prova do Teorema 2.