Campi elettromagnetici LA

CAPITOLO 1

Propagazione elettromagnetica nelle strutture cilindriche chiuse 1.0 – Introduzione

Ci riferiremo spesso a due equazioni vettoriali di Maxwell1:

c i

j

j

ωµωε

∇ × = −∇ × = +

E H

H E J

In queste equazioni:

• x y zx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂i i i è l’operatore nabla;

• E è il fasore del campo elettrico; • H è il fasore del campo magnetico; • i

J è il fasore della densità di correnti impresse.

Siccome sappiamo che ogni quantità vettoriale può essere scomposta nelle sue tre componenti relative agli assi

x x y y z zE E E= + +E i i i

x x y y z zH H H= + +H i i i

allora possiamo dire che dalle due equazioni vettoriali scritte sopra possiamo trarre 6 (cioè 3+3) equazioni scalari. L’utilizzo dei fasori deriva dal fatto che le quantità da noi utilizzate variano in maniera sinusoidale: ciò significa che possiamo associare ad un campo tempo variante

( )( ),

,

t P

t P

e

h (funzioni del tempo t e del punto P)

un fasore tempo invariante che dipende soltanto dalla pulsazione2:

( )( )ω

ω

E

H (funzione della sola pulsazione).

1.1 – Strutture cilindriche: generalità

Vi sono vari modi in cui un segnale si può propagare:

• propagazione libera (cioè nello spazio libero). Esempio: due antenne comunicanti poste a una certa distanza d e in contatto visivo fra di loro. Questo tipo di comunicazione, affascinante e molto utilizzata, ha alcuni inconvenienti: l’attenuazione dello spazio libero è infatti molto

1 Sono equazioni formulate nel dominio delle frequenze. 2 Ci si può interrogare sul senso di questa operazione e obiettare che, nella realtà, non trasmetteremo mai segnali puramente sinusoidali, in quanto essi non trasmettono alcuna informazione. Tale obiezione cade però di fronte al fatto che la nostra è soltanto un’approssimazione: i segnali sinusoidali sono infatti spessissimo utilizzati per creare le portanti, righe dello spettro attorno alle quali viene concentrato il segnale; tuttavia, mentre la portante si trova generalmente a frequenze molto elevate [GHz, THz], la banda di frequenza del segnale a questa associato è spessissimo molto stretta e parecchio inferiore se facciamo un confronto [qualche KHz di banda << GHz, THz della portante]. Fatte queste ipotesi, l’approssimazione che facciamo per lo studio del campo elettromagnetico consente dunque di confondere l’oscillazione modulata con il segnale sinusoidale della portante. E ora, siccome il segnale è puramente sinusoidale, possiamo davvero passare nel mondo dei fasori.

consistente e quindi, a garantire la bontà del collegamento, servono antenne molto potcon elevati guadagno e direttivitàtrasmettenti due segnali completamente diversi e indipendentital punto che un ricevitore, nelle vicinanze, finisce per ottenere un segnale fortemente disturbato e indistinguibile rispetto a quelli che si volevano trasmettere. L’entità di questo problema è così notevole, e le applicazioni che si basano sulla propagaztalmente pervasive, che si è presto sentita la necessità di regolare e centellinare lo spettro delle frequenze tramite l’istituzione di norme molto severe;

• propagazione guidata (cioè forzata

supporto fisico per trasmettere un segnale. Facciamo un esempio: prendiamo una struttura cilindrica molto particolare

- un “nucleo” dielettrico

e una certa permeabilità magnetica

- un “rivestimentodielettrico riflettendo l’onda che si sta trasmettendo.

Abbiamo detto che il cavo è una struttura

• non omogeneo; • privo di sorgenti: ciò significa che lo studio di una struttura cilindrica riguarda una zona

molto diversa da quella in cui è avvenuta l’alimentazione (cioè l’introduzione del campelettromagnetico);

• le cui proprietà geometriche ed elettromagnetiche (e quindi la distribuzione spaziale dei valori dei parametri costitutivi [conducibilità]) sono invarianti rispetto ad una direzione dello spazio, chiamata assiale (o direzione di propagazione

tale direzione sono identicheSi faccia attenzione che quella di struttura cilindrica è un’astrazione: non è assolutamente detto che essa debba essere geometricamente

3 Ma posti in frequenze simili. 4 Si noti che non è possibile stabilire in maniera assoluta se un materiale è un buon conduttore o è un buon isolante: tutto dipende infatti dalla natura del segnale e dalla sua frequenza. Si ha infatti:

1c

ωε≫ buon conduttore

Si ricorda, a tal proposito, che c è la conducibilità elettrica del materiale scelto.5 0ε si riferisce al vuoto; r

ε è invece la permettività elettrica

considerazioni possono essere fatte con la permeabilità magnetica.6 Inoltre, le condizioni al contorno e di continuità imposte al campo elettromagnetico sono le stesse su ogni piano perpendicolare a tale direzione.

i, a garantire la bontà del collegamento, servono antenne molto pote direttività. Abbiamo inoltre il problema delle

trasmettenti due segnali completamente diversi e indipendenti3 possono “darsi fastidio” a tal punto che un ricevitore, nelle vicinanze, finisce per ottenere un segnale fortemente disturbato e indistinguibile rispetto a quelli che si volevano trasmettere. L’entità di questo problema è così notevole, e le applicazioni che si basano sulla propagaztalmente pervasive, che si è presto sentita la necessità di regolare e centellinare lo spettro delle frequenze tramite l’istituzione di norme molto severe;

forzata). La propagazione elettromagnetica guidata si sersupporto fisico per trasmettere un segnale. Facciamo un esempio: prendiamo una struttura cilindrica molto particolare, cioè un cavo; la sua struttura comprende

un “nucleo” dielettrico4, caratterizzato da una certa permettività elettrica

e una certa permeabilità magnetica 0 rµ µ µ= ;

rivestimento” conduttore4, che forza il segnale a rimanere all’interno riflettendo l’onda che si sta trasmettendo.

struttura cilindrica; con questo termine si intende un mezzo:

privo di sorgenti: ciò significa che lo studio di una struttura cilindrica riguarda una zona molto diversa da quella in cui è avvenuta l’alimentazione (cioè l’introduzione del camp

le cui proprietà geometriche ed elettromagnetiche (e quindi la distribuzione spaziale dei valori dei parametri costitutivi ε [permettività elettrica], µ [permeabilità magnetica],

ducibilità]) sono invarianti rispetto ad una direzione dello spazio, chiamata direzione di propagazione) della struttura. Ciò significa che tutte le sezioni normali a

tale direzione sono identiche6. Si faccia attenzione che quella di struttura cilindrica è un’astrazione: non è assolutamente detto

geometricamente cilindrica. È sufficiente, infatti, che presenti una direzione

ile stabilire in maniera assoluta se un materiale è un buon conduttore o è un buon isolante: tutto dipende infatti dalla natura del segnale e dalla sua frequenza. Si ha infatti:

buon conduttore 1c

ω ε≪ buon

è la conducibilità elettrica del materiale scelto.

è invece la permettività elettrica relativa, la quale dipende dal materiale us

considerazioni possono essere fatte con la permeabilità magnetica. Inoltre, le condizioni al contorno e di continuità imposte al campo elettromagnetico sono le stesse su ogni piano

i, a garantire la bontà del collegamento, servono antenne molto potenti e . Abbiamo inoltre il problema delle interferenze: antenne

possono “darsi fastidio” a tal punto che un ricevitore, nelle vicinanze, finisce per ottenere un segnale fortemente disturbato e indistinguibile rispetto a quelli che si volevano trasmettere. L’entità di questo problema è così notevole, e le applicazioni che si basano sulla propagazione di segnali talmente pervasive, che si è presto sentita la necessità di regolare e centellinare lo spettro

). La propagazione elettromagnetica guidata si serve di un supporto fisico per trasmettere un segnale. Facciamo un esempio: prendiamo una struttura

la sua struttura comprende , caratterizzato da una certa permettività elettrica 0 r

ε ε ε= 5

il segnale a rimanere all’interno del

si intende un mezzo:

privo di sorgenti: ciò significa che lo studio di una struttura cilindrica riguarda una zona molto diversa da quella in cui è avvenuta l’alimentazione (cioè l’introduzione del campo

le cui proprietà geometriche ed elettromagnetiche (e quindi la distribuzione spaziale dei [permeabilità magnetica], c

ducibilità]) sono invarianti rispetto ad una direzione dello spazio, chiamata direzione

Ciò significa che tutte le sezioni normali a

Si faccia attenzione che quella di struttura cilindrica è un’astrazione: non è assolutamente detto cilindrica. È sufficiente, infatti, che presenti una direzione

ile stabilire in maniera assoluta se un materiale è un buon conduttore o è un buon isolante:

buon dielettrico

, la quale dipende dal materiale usato. Le stesse

Inoltre, le condizioni al contorno e di continuità imposte al campo elettromagnetico sono le stesse su ogni piano

privilegiata7; a riprova di quanto appena detto, nella funa struttura cilindrica generica. Si osservi che non vi è nulla di geometricamente cilindrico e che, anzi, la forma della struttura è irregolare e conduttori e più dielettrici

La presenza di una direzione privilegiata ci permette di scrivere il campo in maniera particolare, per certi versi semplificata, e di trascurare le variazioni che si hanno lungo la direzione che in tale direzione si ha un’attenuazion

dove γ (costante di propagazione) è

γ α β= +

che dipende fortemente dalla frequenza alla quale si lavora.Dunque, l’espressione del campo è:

(e E k

D’altronde, sappiamo che esso si può scrivere anche scomponendocartesiane ortogonali:

Se raggruppiamo quelle che si

(componente trasverasale), si ha:

t ze= +e e k

7 Negli esempi che faremo in seguito, la direzione privilegiata è quella che coincide con l’asse con la struttura cilindrica. Inoltre, tale direzione coincide con quella che prima abbiamo detto 8 La costante di attenuazione, espressa in valori naturali, si misura (come quella di fase) in data in unità logaritmiche: a questo proposito si ha

dB m 20 log 20 log m 8,69 mα α α= = ⋅ = ⋅

9 Cioè quello che la direzione assiale (cioè quella privilegiata della struttura) “buca” perpendicolarmente.10 Si noti che anche z

e dipende da 1 2,x x

stessa sezione otteniamo due risultati diversi. Nonostante dunque

significa che sia invariante sul piano trasversale.

; a riprova di quanto appena detto, nella figura sottostante vediamo una sezione di una struttura cilindrica generica. Si osservi che non vi è nulla di geometricamente cilindrico e che, anzi, la forma della struttura è irregolare e resa piuttosto complicata dalla presenza di più

La presenza di una direzione privilegiata ci permette di scrivere il campo in maniera particolare, , e di trascurare le variazioni che si hanno lungo la direzione

si ha un’attenuazione esponenziale che va col termineze γ−

un numero complesso

jα

γ α ββ

= +

= costante di attenuazione = costante di fase

(8)

che dipende fortemente dalla frequenza alla quale si lavora. l’espressione del campo è:

( ) ( ) ( )parte trasversale attenuazione

1 2 1 2 1 2

parte assiale

, , , ,t z

x x z x x E x x e−

= +

e E k

D’altronde, sappiamo che esso si può scrivere anche scomponendo quest’ultimo

x y ze e e= + +e i j k

Se raggruppiamo quelle che si riferiscono al piano trasversale9, sostituendo

dove ( ) ( )

( ) (

γ ω

γ ω

−

−

=

=

1 2

1 2

,

,

z

t t

z z

x x e

e E x x e

e E

k k

in seguito, la direzione privilegiata è quella che coincide con l’asse con la struttura cilindrica. Inoltre, tale direzione coincide con quella che prima abbiamo detto

La costante di attenuazione, espressa in valori naturali, si misura (come quella di fase) in data in unità logaritmiche: a questo proposito si ha

1 m 1 110 10 dB m 20 log 20 log m 8,69 me e

αα α α− − − = = ⋅ = ⋅

Cioè quello che la direzione assiale (cioè quella privilegiata della struttura) “buca” perpendicolarmente.

1 2x x : se, cioè, valutiamo questa componente del campo in due punti d

stessa sezione otteniamo due risultati diversi. Nonostante dunque ze sia chiamata la “componente assiale” ciò non

significa che sia invariante sul piano trasversale.

igura sottostante vediamo una sezione di una struttura cilindrica generica. Si osservi che non vi è nulla di geometricamente cilindrico e che,

complicata dalla presenza di più

La presenza di una direzione privilegiata ci permette di scrivere il campo in maniera particolare,

, e di trascurare le variazioni che si hanno lungo la direzione z, sapendo che va col termine

( )attenuazione

zx x z x x E x x e

γ ω−

quest’ultimo lungo le direzioni

, sostituendo x ye e+i j con t

e

)γ ω z (10)

in seguito, la direzione privilegiata è quella che coincide con l’asse z di un sistema solidale con la struttura cilindrica. Inoltre, tale direzione coincide con quella che prima abbiamo detto assiale o di propagazione.

La costante di attenuazione, espressa in valori naturali, si misura (come quella di fase) in 1m− . Tuttavia essa e spesso

Cioè quello che la direzione assiale (cioè quella privilegiata della struttura) “buca” perpendicolarmente.

: se, cioè, valutiamo questa componente del campo in due punti diversi della

sia chiamata la “componente assiale” ciò non

1.2 - Modi

Per definizione, un modo è un’onda elettromagnetica11 (soluzione particolare delle equazioni di Maxwell) che soddisfa le condizioni al contorno12 su ogni sezione trasversale della struttura cilindrica e che si propaga nella direzione assiale di quest’ultima. È lecito quindi presumere che tali soluzioni dipendano dalla coordinata assiale z tramite un fattore di propagazione strutturalmente analogo a quello della propagazione libera: e, infatti, ad ogni modo è associata una particolare costante di propagazione γ , oltre che a quattro particolari equazioni di modo. Quindi, due particolari modi i e j saranno caratterizzati da:

costante di propagazione

campo elettrico (trasversale)

campo elettrico (assiale)

campo magnetico (trasversale)

campo magnetico (assiale)

modo

i

ti

zi

ti

zi

i E

H

γ→ → → → →

E

k

H

k

costante di propagazione

campo elettrico (trasversale)

campo elettrico (assiale)

campo magnetico (trasversale)

campo magnetico (assiale)

modo

j

tj

zj

tj

zj

j E

H

γ→

→ → → →

E

k

H

k

La sovrapposizione di tutti i modi dà origine alla vera soluzione dell’espressione dei campi nella struttura cilindrica. In particolare a caratterizzare il vero campo elettromagnetico sarà una combinazione lineare delle equazioni di modo13:

( ) ( ) ( ) ( )

( )combinazione lineare

parte trasversale attenuazione

1 2 1 2 1 2 1 2

1parte assiale modo

, , , , lim , ,N

z

t z n nN

n

x x z x x E x x e a x x zγ ω−

→∞ =

= + =

∑e E k e

( ) ( ) ( ) ( )


parte trasversale attenuazione

1 2 1 2 1 2 1 2

1parte assiale modo

, , , , lim , ,N

z

t z n nN

n

x x z x x E x x e a x x zγ ω−

→∞ =

= + =

∑h H k h

La rappresentazione tramite le funzioni di modo ha una vantaggio nascosto: spesso, infatti, non è necessario trovare tutti gli infiniti modi per caratterizzare e ed h . Anzi, a volte ne basta soltanto uno (che chiameremo modo fondamentale). Vogliamo ora studiare la propagazione elettromagnetica nelle strutture cilindriche facendo uso delle equazioni di Maxwell omogenee, nell’ipotesi di mezzo normale14

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

, , , , ,

, , , , ,

cx x z j x x x x z

x x z j x x x x z

ωε

ωµ

∇ × =∇ × = −

h e

e h

dove c

cjε εω

= − è la permettività elettrica complessa.

Come si vede, dobbiamo andare a sostituire all’interno delle equazioni soprascritte le espressioni di ( )1 2

, ,x x ze e ( )1 2, ,x x zh . Risulta anzitutto conveniente scomporre l’operatore Nabla in due

11 Le soluzioni delle equazioni di Maxwell che hanno interesse in relazione alla propagazione guidata sono quelle aventi il carattere di onde elettromagnetiche che si propagano lungo l’asse della struttura. 12 Ed, eventualmente, di continuità. 13 Non si conosce una funzione? La si scompone in una combinazione lineare di funzioni più semplici! È questo un approccio molto comune per risolvere problemi ingegneristici molto raffinati dal punto di vista matematico. 14 Cioè spazialmente non dispersivo, stazionario, lineare ed isotropo.

parti, mettendo bene in evidenza la parte riguardante la sezione trasversale (variabili 1 2,x x ) e

quella concernente la variabile z:

(Nabla) x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂i j k

assiale

trasv.

t t x y

z x y

∂ ∂ ∂∇ = ∇ + ⇐ ∇ = +∂ ∂ ∂k i i

Detto questo, andiamo effettivamente a sostituire i campi all’interno del sistema: z z

t z t ze e E eγ γ− −= + = +e e k E k

z z

t z t zh e H eγ γ− −= + = +h h k H k

cj

j

ωεωµ

∇ × =∇ × = −

h e

e h

Otteniamo:

( ) ( )( ) ( )

z z z z

t z c t z

z z z z

t z t z

e H e j e E e

e E e j e H e

γ γ γ γ

γ γ γ γ

ωε

ωµ

− − − −

− − − −

∇ × + = +∇ × + = − +

H k E k

E k H k

Raccogliamo i termini esponenziali: Sfruttiamo ora la scomposizione, poco fa esaminata, dell’operatore Nabla nelle sue due parti:

( ) ( )

( ) ( )

z z

t t z c t z

z z

t t z t z

H e j E ez

E e j H ez

γ γ

γ γ

ωε

ωµ

− −

− −

∂ ∇ + × + = + ∂

∂ ∇ + × + = − + ∂

k H k E k

k E k H k

Quindi applichiamo la proprietà distributiva nei termini a sinistra dell’uguale, per ottenere:

( ) ( )( ) ( )

z z

t t t t z c t z

z z

t t t t z t z

H e j E e

E e j H e

γ γ

γ γ

γ ωε

γ ωµ

− −

− −

∇ × − × + ∇ × = +

∇ × − × + ∇ × = − +

H k H k E k

E k E k H k

A questo punto marchiamo chiaramente quali siano le parti che si riferiscono alla sezione trasversale e quelle che invece riguardano la direzione z…15

parte assiale parte trasversale trasv. assiale

parte assiale parte trasversale

trasv. assiale

t t t t z c t z

t t t t z t z

H j E

H j H

γ ωε

γ ωµ

∇ × − × + ∇ × = +

∇ × − × + ∇ × = − +

H k H k E k

E k E k H k

… ed ora uguagliamole16!

assiale (campo elettrico)

assiale (campo magnetico)

trasversale (campo magnetico)

trasversale (campo elettrico)

t t c z

t t z

t t z t

t t z c t

j E

j H

E j

H j

ωεωµ

γ ωµγ ωε

∇ × = →∇ × = − → × + × ∇ = → × + × ∇ = − →

H k

E k

k E k H

k H k E

15 Si presti attenzione che ci sono dei prodotti vettoriali di mezzo, quindi non è immediato associare tE alla

componente trasversale, né fare l’associazione tra il pedice z e la direzione di propagazione della struttura! 16 Si fa uso della proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale

t z t zH H∇ × = − ×∇k k

Attenzione al cambio di segno effettuato!

( ) ( )( ) ( )

z z

t z c t z

z z

t z t z

H e j E e

E e j H e

γ γ

γ γ

ωε

ωµ

− −

− −

∇ × + = +

∇ × + = − +

H k E k

E k H k

Se ora prendiamo l’ultima equazione (trasversale, campo elettrico), ed esplicitiamo il termine tE ,

otteniamo:

t t z c tH jγ ωε× + ×∇ = −k H k E

( )t t z t

c

jHγ

ωε× + × ∇ =k H k E

Giunti a questo punto, sostituiamo il tutto nell’equazione gemella a quella poco fa elaborata e cioè:

t t z tE jγ ωµ× + × ∇ =k E k H

Si ha:

( )t t z t z t

c

jH E jγ γ ωµ

ωε

× × + × ∇ + × ∇ =

k k H k k H

Distribuiamo i termini tra parentesi, in modo da mettere in evidenza i prodotti vettoriali tripli17:

t t z t z t

c c

j jH E jγ γ ωµ

ωε ωε

× × + × ∇ + × ∇ =

k k H k k H

( )( ) ( )( )2

t t z t z t

c c

j jH E jγ γ ωµ

ωε ωε× × + × × ∇ + × ∇ =k k H k k k H

A questo punto sviluppiamo i prodotti tripli18:

( )2

t

c

j γωε

⋅ ×k k H ( )( ) ( )t t z

c

jHγ

ωε− ⋅ × + ⋅ × ∇H k k k k ( )( )t z t z t

H E jωµ− ∇ ⋅ × + × ∇ =k k k H

2

t t z t z t

c c

j jH E jγ γ ωµ

ωε ωε− − ∇ + × ∇ =H k H

Moltiplichiamo per il termine cjωε+ da entrambe le parti:

2 2

t t z c t z c tH j Eγ γ ωε ω µε+ ∇ + ×∇ = −H k H

A destra dell’uguale compare il termine 2

cω µε− , che poniamo prontamente pari a 2σ (19):

2 2

cσ ω µε= −

Indi per cui abbiamo:

( )2 2

t t z c t zH j Eγ σ γ ωε− = − ∇ − × ∇H k

Facendo la stessa cosa con l’altra equazione si ottiene la formula a questa duale:

( )2 2

t t z t zE j Hγ σ γ ωµ− = − ∇ + × ∇E k

Abbiamo quindi un bel sistema in cui compaiono le componenti trasversali in funzione di quelle assiali:

( )( )

2 2

2 2

t t z c t z

t t z t z

H j E

E j H

γ σ γ ωε

γ σ γ ωµ

− = − ∇ − × ∇

− = − ∇ + × ∇

H k

E k

Le equazioni trovate (cioè queste ultime assieme al sistema di 4 equazioni assiali/trasversali) sono le equazioni fondamentali per lo studio della propagazione nelle strutture cilindriche. Si noti che esse valgono in generale per qualunque andamento dei parametri costitutivi , ,cµ ε sul piano trasversale. È inoltre importante ricordare che la costante di propagazione γ che compare in queste equazioni dipende solo dalla pulsazione e non dalla coordinata z.

17 Attenzione alle parentesi: se non venissero specificate, il prodotto vettoriale triplo non avrebbe alcun senso. 18 Si ha ( ) ( ) ( )× × = × ⋅ − × ⋅u v w u w v u v w . Una volta sviluppato il prodotto, fortunatamente alcuni termini se ne vanno. 19 Si ricordi che σ è la costante di propagazione intrinseca del mezzo. La costante c, invece, è la conducibilità del mezzo (non la si confonda con la velocità della luce, che in questa sede chiameremo

0v ).

Sulla base delle componenti assiali , z zE H i modi di una struttura cilindrica si classificano come

segue: • modi trasversali elettromagnetici (TEM), aventi e

z zE H entrambi nulli e, quindi,

completamente privi di componenti assiali; • modi trasversali elettrici (TE), aventi 0 e 0

z zE H= ≠ e, di conseguenza, campo elettrico solo

trasversale; • modi trasversali magnetici (TM), aventi 0 e 0

z zE H≠ = e , di conseguenza, campo

magnetico solo trasversale; • modi ibridi, aventi 0 e 0

z zE H≠ ≠ . Per i modi ibridi si fa una sotto-classificazione:

o modi quasi-TEM: in cui e z t z tE E H H≪ ≪ ;

o modi HE: in cui z z

H E≫ ;

o modi EH: in cui z zE H≫ .

I modi TEM, TM e TE sono molto importanti e comodi: in loro presenza, le equazioni fondamentali per lo studio della propagazione nelle strutture cilindriche si semplificano moltissimo. Per avere delle strutture in cui ho modi puramente TE, TM, TEM, è necessario che si soddisfino alcuni requisiti:

• le strutture devono essere cilindriche; • le strutture devono essere omogenee20, 21.

1.3 - Le equazioni di Helmholtz e le loro condizioni al contorno

Nel caso di regione omogenea, i parametri , ,cµ ε (e, di conseguenza, 2σ ) sono costanti rispetto a

1 2,x x e si ha:

( )1 2, , 0x x z∇ ⋅ =e

Scindendo nelle componenti trasversali e assiali sia il Nabla che il campo elettrico otteniamo:

0z z

t t ze E e

z

γ γ− −∂ ∇ + ⋅ + = ∂

k E k

Da cui, applicando le proprietà del prodotto scalare:

0z z z z

t t z t t ze E e e E e

z

γ γ γ γγ− − − −∂ ∇ + ⋅ + = ∇ ⋅ − = ∂

k E k E k

La stessa cosa si può fare per il campo magnetico; otteniamo: 0z z

t t ze H eγ γγ− −∇ ⋅ − =H k

Abbiamo quindi ricavato queste due relazioni22:

t t z

t t z

E

H

γγ

∇ ⋅ =∇ ⋅ =

E k

H k

20 Se infatti avessi un mezzo non omogeneo (con tanti conduttori ma, soprattutto, tanti diversi dielettrici) dovrei andare ad applicare le equazioni di continuità

1 2E Eτ τ= e 1 2H Hτ τ=

su ogni superficie di separazione fra i dielettrici stessi: ciò comporterebbe l’esistenza di una e z z

E H e la violazione

delle condizioni necessarie per avere un modo TEM, TE o TM. 21 Si noti che non è presente alcun vincolo sulla natura aperta o chiusa della struttura. 22 In particolare, si ha

per 0 0

per 0 0

z t t

z t t

E

H

= → ∇ ⋅ == → ∇ ⋅ =

E

H

Ora, se applichiamo all’equazione

( )2 2

t t z t zE jγ σ γ ωµ− = − ∇ + × ∇E k H

l’operatore t∇ (da entrambe le parti), abbiamo23:

( ) ( )2 2

t t t t z t t zE j Hγ σ γ ωµ− ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ × ∇E k

Sviluppando il tutto, notiamo che il termine ( )t t zj Hωµ∇ ⋅ × ∇k se ne va…

( ) ( )2 2 2 0t t t z t z t t t z

E j H Hγ σ γ ωµ− ∇ ⋅ + ∇ = ∇ ⋅ ∇ × − ⋅ ∇ × ∇ =E k k

Se ora inseriamo all’interno dell’equazione la relazione,

t t zEγ∇ ⋅ =E k

e dividiamo per γ , otteniamo

( )2 2 2 0z t zE Eγ σ− + ∇ =

e, dualmente,

( )2 2 2 0z t z

H Hγ σ− + ∇ =

Quelle che abbiamo trovato sono due equazioni differenziali scalari, del secondo ordine (aventi ciascuna 2∞ soluzioni); ponendo 2 2 2

ck γ σ= − riconosciamo che tali equazioni sono equazioni di

Helmholtz omogenee! 2 2

2 2

0

0

t z c z

t z c z

E k E

H k H

∇ + =∇ + =

A questo punto, per risolvere il problema di Maxwell, si può prima di tutto trovare le e z z

H E da

queste equazioni e, quindi, sostituire tutto quanto nelle relazioni che restituiscono le componenti trasversali in funzione di quelle scalari. Tuttavia, necessiterò di opportune condizioni al contorno per definire una soluzione univoca24,25: tali condizioni al contorno sono

• per i conduttori elettrici perfetti: componente tangente del campo elettrico pari a zero tra dielettrico e conduttore 0τ =e ; tale condizione si traduce in

o 0zE = per i modi TM26

o 0zH

n

∂=

∂ per i modi TE27

o costanteΦ = per i modi TEM28

23 Nella nuova relazione trovata compare l’operatore

2

t t t∇ ⋅ ∇ = ∇

(Laplaciano) 24 Soluzione univoca di un’equazione differenziale = integrale generale + condizioni al contorno. 25 In realtà poi mi servirebbero anche le costanti di propagazione γ , alle quali saranno associati un certo comportamento assiale di e E Hz z , ma per ora non ci preoccupiamo di questo aspetto, che esamineremo meglio in

seguito. 26 Infatti sul contorno del conduttore elettrico perfetto vale che

( )2 2t t z t z

E j Hγ σ γ ωµ− = − ∇ + × ∇E k [condizione TM, 0Hz = ] ( )2 2t t z

Eγ σ γ− = − ∇E

Quindi (formula inversa):

2 2

t zt

Eγ

γ σ

∇= −

−

⋅E

Se ora troviamo quel che accade nella direzione tangente, scopriamo che:

2 2t

Ezγτγ σ

∂⋅ = −

∂−E τ (cioè l’annullamento di z

E comporta l’annullamento di t τ⋅ =E τ e )

27 Caso duale al precedente (v. nota 26).

• per i conduttori magnetici perfetti: componente tangente del campo magnetico pari a zero tra dielettrico e conduttore 0τ =h ; tale condizione si traduce in

o 0zE

n

∂=

∂ per i modi TM29

o 0z

H = per i modi TE30

o 0n

∂Φ =∂

per i modi TEM

1.4 – Modi TEM

Le equazioni di Maxwell nei fasori sostengono che:

ωεωµ

∇ × =∇ × = −

t t c z

t t z

j E

j H

H k

E k

Tuttavia sappiamo che, per i modi TEM, si ha 0z zE H= = , quindi le equazioni di prima

diventano: 0

0

t t

t t

∇ × =∇ × =

H

E

Il ché significa che tH e t

E sono irrotazionali e, di conseguenza, conservativi. Ciò impone

l’esistenza di una quantità chiamata potenziale: potenziale scalare magnetico

potenziale scalare elettrico

t t

t t

= ∇ Ψ = −∇ Φ

H

E (31)

La ragione del segno diverso sta nel fatto che le equazioni



t t z t

t t z c t

E j

H j

γ ωµγ ωε

× + ×∇ = → × + ×∇ =− →

k E k H

k H k E

diventano, per il modo TEM,



t t

t c t

j

j

γ ωµγ ωε

× = → × =− →

k E H

k H E

da cui:

28 Specificheremo più avanti il senso di questa affermazione. 29 Infatti vale la

( )2 2t t z t z

E j Hγ σ γ ωµ− = − ∇ + × ∇E k [condizione TM, 0Hz = ] ( )2 2t t z

Eγ σ γ− = − ∇E

Da cui:

2 2 2 20

t t z t t zE E

γ γγ σ γ σ

= − ∇ ⇒ = − ∇ =− −

⋅ ⋅E E n n

D’altronde è abbastanza comprensibile che la componente tangente e il versore n (normale) siano ortogonali (e il loro prodotto scalare sia nullo)!

30 Caso duale al precedente (v. nota 28).

31 Ora che abbiamo definito il potenziale scalare elettrico, possiamo chiarire meglio il significato delle due condizioni al contorno:

( ) ( )0 sui contorni dei c.m.p , costante sui contorni dei c.e.pn

∂Φ = Φ =∂

Queste due condizioni ci dicono che: • in ogni piano trasversale il contorno di ogni conduttore elettrico perfetto è una linea equipotenziale;

• la superficie di un conduttore magnetico perfetto impone che la componente dell’intensità di campo elettrico normale ad esso sia nullo.

t t

t tc

j

j

γω µ

γω ε

= × = − ×

H k E

E k H

Il meno presente in queste equazioni lo si “tira dietro” anche nella formulazione del potenziale. Si noti che queste equazioni forniscono la stessa informazione: si ha infatti

µη η ε± = × = t t

cH k E

Qualche pagina fa abbiamo scritto che, se 0

zE = , allora

0t t

∇ ⋅ =E

Quindi, se ora applichiamo ambo i lati l’operatore Nabla trasversale alla formula del potenziale scalare elettrico, otteniamo

2 20 0t t t t t t

∇ ⋅ = −∇ ⋅ ∇ Φ = −∇ Φ = ⇒ ∇ Φ =E

Quindi il potenziale scalare soddisfa l’equazione di Laplace in due dimensioni. Giunti a questo risultato, notiamo che – sempre per quanto riguarda i modi TEM – le equazioni

( )( )

2 2

2 2

t t z c t z

t t z t z

H j E

E j H

γ σ γ ωε

γ σ γ ωµ

− = − ∇ − × ∇

− = − ∇ + × ∇

H k

E k

si semplificano tantissimo diventando:

( )( )

2 2 2

2 2 2

0

0

c t t

c t t

k

k

γ σ

γ σ

= − =

= − =

E E

H H A questo punto ci possiamo chiedere a che condizioni queste due equazioni vanno davvero a zero; tale scenario si ha:

• se tE e t

H sono nulli, ma questo è un caso banale, relativo a una situazione in cui la

propagazione avviene lungo un sistema di conduttori elettrici (ed, eventualmente, magnetici) perfetti, cilindrici e con generatrici fra loro parallele, immersi in un mezzo omogeneo32;

• se 2 2γ σ= (33,34) il ché prevede che , ,cµ ε debbano essere costanti in ogni punto. 1.5 – Ricapitolando: analisi di una struttura cilindrica chiusa

Consideriamo una struttura cilindrica generica rivestita da un conduttore (e quindi chiusa).

32 Infatti all’interno di un conduttore elettrico (o magnetico) perfetto il campo elettromagnetico è nullo. Pertanto, anche in questo caso il mezzo in cui il campo elettromagnetico ha sede è effettivamente omogeneo. Strutture cilindriche di questo tipo, purché contenenti almeno due conduttori elettrici, si dicono linee di trasmissioni uniformi a più fili e hanno grande importanza tecnica. Con un solo conduttore, si diceva, non posso avere il campo, in quanto il potenziale scalare elettrico è costante

( )1 2 1, (costante)x xΦ = Φ

Ciò significa che il gradiente di questa quantità è nullo e, dato che

t t= −∇ ΦE

la presenza di un solo conduttore non permette l’esistenza di una componente tE , non è possibile trasmettere

l’informazione. 33 Ricordiamo che σ è la costante di propagazione intrinseca del mezzo, pari a 2

cω µε− .

34 Ma dobbiamo stare attenti al fatto che il termine ( )γ ω è funzione della pulsazione!

La struttura conterrà, oltre al conduttore esterno (generalmente detto anche freddo), altri conduttori, responsabili di quella differenza di potenziale in grado di veicolare l’informazione.

Se la struttura regge il modo TEM35 allora

TEMγ σ= ±

In tal caso, dunque, dobbiamo risolvere una sola equazione scalare 2 0t

∇ Φ =

invece che 6. A tale equazione vanno associate le condizioni al contorno

( )( )

0 sui contorni dei c.m.p

costante sui contorni dei c.e.p

n

∂Φ = ∂Φ =

Nel caso TEM non è presente la componente assiale del campo elettrico, né del campo magnetico: i due campi sono dunque pari alle componenti trasversali seguenti36

z

t te γ−=e E

z

t te γ−=h H

Se la struttura sorregge il modo TM allora dobbiamo prendere l’equazione di Helmholtz

( )2 2 2 0t z zE Eγ σ∇ + − =

A tale equazione vanno associate alcune condizioni al contorno, le quali sono 0 sui conduttori elettrici perfetti

0 sui conduttori magnetici perfetti

z

z

E

E

n

=∂

= ∂

Per ogni modo si ricavano quindi le componenti trasversali in funzione di quelle assiali:

( )( )

2 2

2 2

t t z

t c t z

E

j E

γ σ γ

γ σ ωε

− = − ∇

− = − × ∇

E

H k

Se la struttura sorregge il modo TE allora dobbiamo prendere l’altra equazione di Helmholtz (quella duale)

( )2 2 2 0t z zH Hγ σ∇ + − =

A tale equazione vanno associate alcune condizioni al contorno, le quali sono

0 sui conduttori elettrici perfetti

0 sui conduttori magnetici perfetti

z

z

H

n

H

∂ =∂

=

Per ogni modo si ricavano quindi le componenti trasversali in funzione di quelle assiali:

35 Il fatto che la struttura cilindrica sia chiusa non è però una condizione necessaria: il modo TEM è guidato anche nelle strutture cilindriche aperte. 36 Un’altra ovvia conseguenza, abbastanza intuitiva ma fin’ora poco trattata, è che non vi è dispersione di potenza del segnale al di fuori della struttura. Vi è, sì, attenuazione, ma non certamente dispersione: basti vedere l’espressione del flusso del vettore di Poynting

( )* 2 dS z

t t

S

e α− ×

∫∫ E H k

La presenza del versore k ci suggerisce che tale vettore è normale sia ad E che ad H (e quindi va tutto in direzione assiale).

( )( )

2 2

2 2

t t z

t t z

H

j H

γ σ γ

γ σ ωµ

− = − ∇

− = × ∇

H

E k

1.6 – Effetto di taglio dei modi TE e TM

Come si nota dalla trattazione appena fatta, invece di risolvere le famigerate equazioni di Maxwell (molto belle ed eleganti, ma scomode per fare i calcoli) ci basta risolvere:

• 1 equazione di Laplace (nel caso TEM); • 1 equazione di Helmholtz (nei casi TE e TM).

Le equazioni di Helmholtz hanno un’infinità numerabile di soluzioni (modi)37:

( )1 21 1

lim lim , i

N Nz

i i i iN N

i i

a a x x eγ−

→∞ →∞= =

= =∑ ∑e e E

Definita la geometria della struttura e la frequenza di lavoro, la sommatoria si risolve esaminando i vari modi. L’autovalore38 della funzione di Helmholtz è:

2 2 2 0 modi TE, TM

0 modi TEMck γ σ

≠= − =

Facciamo l’ipotesi che la struttura sia omogenea (e che quindi σ sia costante in tutta la struttura) e che vi sia assenza di perdite39: ciò significa che ad ogni 2

ck corrisponde un preciso 2γ . Si avrà

dunque 2 2 2 2

2

= modi TE, TM

modi TEM

c c c

c

k kσ ω µεγ

σ ω µε

= ± + ± −= = ± = ± −

Osserviamo ora l’equazione 2 2

c ckγ ω µε= ± −

La quantità γ sarà a questo punto puramente reale [puramente immaginaria] se il termine sotto radice è maggiore di zero [minore di zero]. Infatti:

2 2

2 2

Re

Im

c c

c c

k

k

ω µεγ

ω µε

>= <

La γ detta la legge di propagazione del nostro modo; infatti essa compare all’interno dell’espressione del campo elettrico…

( ) ( ) ( ) ( )γ ω− = +

parte trasversale

1 2 1 2 1 2

parte assiale

, , , ,z

t zx x z x x E x x ee E k

… che diventa, per ogni modo i:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , , iz

i ti zix x z x x E x x e

γ− = + e E k

Considerando una struttura che non supporta il modo TEM (il quale si propaga sempre), se il parametro γ è puramente reale allora il modo si attenua40 (l’esponenziale porta tutto verso lo

37 Si ricordi che ad ogni

iE è associata una

iγ .

38 In algebra lineare, un autovettore di una trasformazione lineare è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore può cambiare quindi solo per moltiplicazione di uno scalare, chiamato autovalore (cfr. Wikipedia). 39 E dunque è lecito scrivere:

cjσ ω µε= ± .

zero). Se, viceversa, la costante esprimere il tutto in funzione della pulsazione dato che, in ultima analisi, la costante di propagazione è proprio funzione di

2 2

2 2

Re

Im

c c

c c

k

kγ

=

Quindi, in ultima analisi, esiste un effetto di propaghi o meno dipende dalla pulsazione; esistono infatti alcuni valori di comportamento di una certa struttura: in particolare la

ωc

fa da “spartiacque” fra l’avvenuta e modo. Quindi:

• il modo TEM si propaga sempre• i modi TE e TM non si propagano sempre, ma soltanto al di sopra

di una certa pulsazione cω

quando α , cioè la parte reale di spazio alla parte immaginaria infatti che, per un certo modo

propagazione è possibile solo dove

0α = ):

Qui 0, 0β α> = e il segnale si propaga Ogni modo ha la sua propria pulsazione di taglio: in base alla sua entità si differenziano i modi in superiori (quelli con c

ω “alta”) e inferiori

40 Il modo si attenua nonostante non vi siano perdite

perfettamente spiegabile.

e, viceversa, la costante γ è immaginaria, allora il modo si propaga.esprimere il tutto in funzione della pulsazione dato che, in ultima analisi, la costante di

one è proprio funzione di ω .

2 2

2 2Im

c c

c c

k

k

ω µεω µε

>

<

⇒γ

µεω

γµε

< ∈> ∈

, Re

, Im

c

c

c

c

k

k

esiste un effetto di filtraggio passa-alto intrinseco e o meno dipende dalla pulsazione; esistono infatti alcuni valori di

comportamento di una certa struttura: in particolare la pulsazione di taglio

µε= c

c

c

k

fa da “spartiacque” fra l’avvenuta e la manca propagazione di un certo

il modo TEM si propaga sempre (v. figura a fianco); i modi TE e TM non si propagano sempre, ma soltanto al di sopra

cω , quando si dicono soprataglio, ovvero

, cioè la parte reale di γ , si è annullata per lasciare spazio alla parte immaginaria β . Nei grafici sottostanti vediamo infatti che, per un certo modo i avente frequenza di taglio ci

ω , la

propagazione è possibile solo dove 0i

β > (e, di conseguenza,

e il segnale si propaga Qui 0, 0α β> = e il segnale è attenuato

Ogni modo ha la sua propria pulsazione di taglio: in base alla sua entità si differenziano i modi in inferiori (con c

ω “bassa”).

nonostante non vi siano perdite: sembra assurdo, eppure – vedremo più avanti

è immaginaria, allora il modo si propaga. Possiamo ora esprimere il tutto in funzione della pulsazione dato che, in ultima analisi, la costante di

, Re

, Im

e il fatto che un modo di o meno dipende dalla pulsazione; esistono infatti alcuni valori di ω che discriminano il

e il segnale è attenuato

Ogni modo ha la sua propria pulsazione di taglio: in base alla sua entità si differenziano i modi in

vedremo più avanti – questo è

Dobbiamo ora spiegare come sia possibile che un modo entrante in una struttura cilindrica, e avente una pulsazione inferiore a quella critica, non riesca ad raggiungerne la fine e apparentemente – scompaia.

Per andare al nodo della questione è

( )( )

2 2

2 2modi TM

t t z

t c t z

E

j E

γ σ γ

γ σ ωε

− = − ∇

− = − × ∇

E

H k

… dividere per 2 2 2

ck γ σ= − …

2t t z

c

j

k

ωε= − × ∇H k

… e sostituire t zE∇ e t z

H∇ , ricavati dalle prime espressioni:2

ck

γ− = ∇E

Otteniamo:

2

c ct t

c

j k

k

ωε= − × −H k E

Da cui:

ct t

jωε

γ= ×H k E

t t

cj

γωε

= ×H k E

t tj

× =k E H

t TM tZ× =k E H

La TM

Z e la TEZ sono delle impedenze e si comportano in maniera completamente diversa in base

alla natura di γ : • se Imγ ∈ allora TM

Z e TEZ

comportano alla stregua di resistenze elettriche;• se Reγ ∈ allora TM

Z e TEZ

e quindi entrambe reattive (

riflettono indietro la potenza. Ecco svelato il segreto: i modi non scompaiono, bensì vengono riflettuti indietro.

Dobbiamo ora spiegare come sia possibile che un modo entrante in una struttura cilindrica, e avente una pulsazione inferiore a quella critica, non riesca ad raggiungerne la fine e

Per andare al nodo della questione è sufficiente prendere le equazioni…

t t z

t c t z

E

j Eγ σ ωε− = − × ∇H k

((

2 2

2 2modi TE

γ σ γ

γ σ ωµ

− = − ∇

− = × ∇

2

ct t z

c

Ek

ωε= − × ∇H k

2t t z

c

jH

k

ωµ= × ∇E k

, ricavati dalle prime espressioni:

t t zE− = ∇E

2

ct t z

kH

γ− = ∇H

2

c ct t

j k

γ

= − × −

H k E 2

2

ct t

c

kj

k

ωµγ

= × −

E k H

ct t

ωεγ

= ×H k E t t

jωµγ

= − ×E k H

t t= ×H k E

t tj

γωµ

− = ×E k H

t t

cj

γωε

k E H t t

jγ

ωµ× =k H E

t TM tZ× =k E H t TE t

Z× =k H E

sono delle impedenze e si comportano in maniera completamente diversa in base

TEZ sono impedenze reali (l’unità immaginaria

comportano alla stregua di resistenze elettriche;

TE sono impedenze immaginarie (l’unità immaginaria sopravvive)

e quindi entrambe reattive ( TMZ diventa capacitiva e TE

Z induttiva), questo significa che

la potenza. Ecco svelato il segreto: i modi non scompaiono, bensì vengono

Dobbiamo ora spiegare come sia possibile che un modo entrante in una struttura cilindrica, e avente una pulsazione inferiore a quella critica, non riesca ad raggiungerne la fine e –

))

2 2

2 2

t t z

t t z

H

j H

γ σ γ

γ σ ωµ

− = − ∇

− = × ∇

H

E k

t t zH

t t

E k H

t tE k H

t tE k H

t tk H E

sono delle impedenze e si comportano in maniera completamente diversa in base

sono impedenze reali (l’unità immaginaria si semplifica) e si

sono impedenze immaginarie (l’unità immaginaria sopravvive)

induttiva), questo significa che

la potenza. Ecco svelato il segreto: i modi non scompaiono, bensì vengono

Quindi, quando siamo sottotaglio, la impedenza reattiva e riflette41; viceversa, soprataglio, la parete di impedenza è reale e quindi il segnale può propagarsi. In definitiva la migliore o peggiore propagazione dipende sia dal tipo di materiale scelto, sia dalla frequenza (e quindi dalla pulsazione) di propagazione. C’è poi da dire che, nei materiali realiesserelo teoricamente (cioè α è semplicemente

α≪ in regime di sottotaglio). Inoltre, non esiste quella discontinuità così marcata presente grafico sia α che β , come in figura

Nei materiali reali le curve sono più dolci. Infine, non è vero che non vi sono perdite; per questo bisogna avere:

• buoni dielettrici m mc ≪

• ottimi conduttori42 m mc ≫

Le perdite introducono un contributo nella costante di fase e, inoltre, sono responsabili del cosiddetto effetto pelle. Se consideriamo una struttura cilindrica ctrasversalmente omogenea, possiamo stare sicuri che non vi è alcuna componente del campo all’interno del conduttore stesso. I conduttori reali, invece, soffrono di uno in cui il campo non è zero (da qui la scelta di non solo il campo si dissipa nel conduttore, ma vi è anche un accumulo di energia di propagazione, oltre ad un’alterazione della costante di attenuazione.Per ora, tuttavia, non ci curiamo di questo e consideriamo materiali ideali. 1.7 – Qualche precisazione sul vettore di propagazione

Abbiamo detto che 2

ck è l’autovalore della funzione di Helmholtz; esso è pari a:

costante di propagazione (in direzione assiale) del modoTale autovalore entra in gioco se consideriamo il

Le componenti di tale vettore non sono totalmente scorrelate fra loro; precisamente, gradi di libertà: ricordiamo infatti che

41 L’eventualità che il segnale venga rispedito indietro è molto indesiderabile oltre che potenzialmente pericolosa: in circuiti funzionanti a centinaia di GHz, con segnali di decine di W (e, tutto. 42 Ad esempio l’oro, oppure il platino.

Quindi, quando siamo sottotaglio, la sezione trasversale si comporta come una parete di ; viceversa, soprataglio, la parete di impedenza è reale e quindi il

segnale può propagarsi. In definitiva la migliore o peggiore propagazione dipende sia dal tipo di e scelto, sia dalla frequenza (e quindi dalla pulsazione) di propagazione.

nei materiali reali, α e β non sono mai veramente a zero dove dovrebbero è semplicemente β≪ quando siamo soprataglio e, viceversa,

non esiste quella discontinuità così marcata presente se sovrapponiamo in un unico , come in figura:

Nei materiali reali le curve sono più dolci. Infine, non è vero che non vi sono perdite; per questo

m mε ω≪

m mε ω≫

Le perdite introducono un contributo nella costante di fase e, inoltre, sono responsabili del . Se consideriamo una struttura cilindrica costituita da conduttore perfetto,

trasversalmente omogenea, possiamo stare sicuri che non vi è alcuna componente del campo all’interno del conduttore stesso. I conduttori reali, invece, soffrono di uno

a qui la scelta di skin effect per nominare questo fenomeno). Quindi non solo il campo si dissipa nel conduttore, ma vi è anche un accumulo di energia di propagazione, oltre ad un’alterazione della costante di attenuazione.

o di questo e consideriamo materiali ideali.

vettore di propagazione

è l’autovalore della funzione di Helmholtz; esso è pari a:2 2 2

ck γ σ= −

propagazione costante di propagazione(in direzione assiale) del modo intrinseca del mezzo

se consideriamo il vettore di propagazione s (per le onde piane!).

x y zs s s= + +s i j k

Le componenti di tale vettore non sono totalmente scorrelate fra loro; precisamente, gradi di libertà: ricordiamo infatti che

L’eventualità che il segnale venga rispedito indietro è molto indesiderabile oltre che potenzialmente pericolosa: in circuiti funzionanti a centinaia di GHz, con segnali di decine di W (e, quindi, molto potenti), rischiamo di bruciare

sezione trasversale si comporta come una parete di ; viceversa, soprataglio, la parete di impedenza è reale e quindi il

segnale può propagarsi. In definitiva la migliore o peggiore propagazione dipende sia dal tipo di e scelto, sia dalla frequenza (e quindi dalla pulsazione) di propagazione.

non sono mai veramente a zero dove dovrebbero quando siamo soprataglio e, viceversa, β è

se sovrapponiamo in un unico

Nei materiali reali le curve sono più dolci. Infine, non è vero che non vi sono perdite; per questo

Le perdite introducono un contributo nella costante di fase e, inoltre, sono responsabili del ostituita da conduttore perfetto,

trasversalmente omogenea, possiamo stare sicuri che non vi è alcuna componente del campo all’interno del conduttore stesso. I conduttori reali, invece, soffrono di uno spessore di penetrazione

per nominare questo fenomeno). Quindi non solo il campo si dissipa nel conduttore, ma vi è anche un accumulo di energia di

è l’autovalore della funzione di Helmholtz; esso è pari a:

costante di propagazione intrinseca del mezzo

(per le onde piane!).

Le componenti di tale vettore non sono totalmente scorrelate fra loro; precisamente, si hanno due

L’eventualità che il segnale venga rispedito indietro è molto indesiderabile oltre che potenzialmente pericolosa: in quindi, molto potenti), rischiamo di bruciare

2 2 2

x y zs s sσ = + +

Quindi si può asserire che:

( )2 2 2 2

z x ys s s σ= − + +

Ed ecco quindi i due gradi di libertà! Se ora poniamo:

( )2 2 2 2

c t x yk γ γ γ= − = − +

( costante di propagazione in direzione trasversalet

γ = )

Abbiamo che 2 2 2

ck γ σ= −

2 2 2

tγ γ σ− = −

2 2 2

tσ γ γ= +

Ma d’altronde abbiamo detto che43… 2 2 2

x y zs s sσ = + +

… dunque: 2 2 2 2 2 2

x y z ts s s γ γ σ+ + = + =

Se ora imponiamo che la propagazione avvenga unicamente lungo la direzione z (modo TEM), e cioè che la costante di propagazione 2

tγ = 2 2

x ys s+ sia pari a zero44, abbiamo:

2 2γ σ= Nei modi TM e TE ciò non avviene e tutte e tre le componenti del vettore di propagazione s sono diverse da zero: la propagazione – in tal modo – si eserciterebbe in tutte le direzioni, ma fortunatamente la presenza di un conduttore periferico può rendere chiusa la nostra struttura e salvarci da questo inconveniente.

43 Viene citata la relazione pitagorica delle onde piane: possiamo infatti trattare il campo elettromagnetico come sovrapposizione di onde piane. 44 Non vi è propagazione lungo le direzioni del piano trasversale.

Esempi notevoli di strutture cilindriche chiuse

1.8 – Lastra planare ideale

determinare l’insieme completo dei modi

ricavare le espressioni del campo elettrico e magnetico:

Le prime osservazioni che possiamo fare sono le seguenti:

• la struttura è omogenea;

• esistono due conduttori elettrici perfetti (un primo conduttore, ad esempio quello inferiore,

lo si assume a massa e lo si chiama

conduttore caldo46).

Possiamo immediatamente concludere che tale struttura regge il modo TEM

pulsazione di taglio pari a zero e quindi si propaga sempre e comunque

sono un’infinità numerabile (come vedremo più avanti).

Chiamiamo ora 1φ il potenziale presente lungo la retta

quello riscontrabile lungo y = 0 (in corrispondenza

Siccome possiamo dire con sicurezza che

Questo implica immediatamente che esista una componente trasversale del campo

45 Omogenee, perché per ipotesi non vi sono sorgenti.46 Per questo, in generale, una linea ad m+

“conteggio” dei fili. 47 Se i potenziali alle ordinate 0 e b sono diversi, vuol dire che il gradiente sarà sicuramente diverso da zero (in caso

contrario φ sarebbe costante).

CAPITOLO 1bis


Una lastra planare ideale

e cilindrica circondata da:

• due conduttori elettrici perfetti;

• due conduttori magnetici perfetti.

Il mezzo, sede del campo elettromagnetico,

occupa una regione rettangolare che

consideriamo indefinitamente estesa in

direzione z e stante all’interno di:

0

0

≤ ≤ ≤ ≤

Vogliamo analizzare analiticamente questa

struttura e, per farlo, potremm

risolvere direttamente le equazioni di

Maxwell45; tuttavia ci interessa maggiormente

determinare l’insieme completo dei modi, in modo da poterli poi sommare tutti quanti per

ricavare le espressioni del campo elettrico e magnetico:

( )1

lim i

nz

i ti zn

i

a E eγ−

→∞ =

= +∑e E k

( )1

lim i

nz

i ti zn

i

a H eγ−

→∞ =

= +∑h H k

Le prime osservazioni che possiamo fare sono le seguenti:

esistono due conduttori elettrici perfetti (un primo conduttore, ad esempio quello inferiore,

lo si assume a massa e lo si chiama conduttore freddo; l’altro diventa immediatamente il

Possiamo immediatamente concludere che tale struttura regge il modo TEM

pulsazione di taglio pari a zero e quindi si propaga sempre e comunque. I modi TE e TM, invece,

no un’infinità numerabile (come vedremo più avanti).

il potenziale presente lungo la retta y = b (nei pressi del conduttore caldo) e

in corrispondenza del conduttore posto a massa).

Siccome possiamo dire con sicurezza che 1 0φ φ≠ , allora si ha

( ), 0x yφ∇ ≠ (47)

Questo implica immediatamente che esista una componente trasversale del campo

Omogenee, perché per ipotesi non vi sono sorgenti.

m+1 conduttori è detta ad m fili: trascuriamo infatti il conduttore freddo nel

sono diversi, vuol dire che il gradiente sarà sicuramente diverso da zero (in caso


lastra planare ideale è una struttura chiusa

e cilindrica circondata da:

due conduttori elettrici perfetti;

due conduttori magnetici perfetti.

Il mezzo, sede del campo elettromagnetico,

occupa una regione rettangolare che

consideriamo indefinitamente estesa in

e stante all’interno di:

0

0

x a

y b

≤ ≤≤ ≤

Vogliamo analizzare analiticamente questa

struttura e, per farlo, potremmo tentare di

risolvere direttamente le equazioni di

; tuttavia ci interessa maggiormente

, in modo da poterli poi sommare tutti quanti per

esistono due conduttori elettrici perfetti (un primo conduttore, ad esempio quello inferiore,

; l’altro diventa immediatamente il

Possiamo immediatamente concludere che tale struttura regge il modo TEM, il quale ha

I modi TE e TM, invece,

(nei pressi del conduttore caldo) e 0φ

del conduttore posto a massa).

Questo implica immediatamente che esista una componente trasversale del campo.

fili: trascuriamo infatti il conduttore freddo nel

sono diversi, vuol dire che il gradiente sarà sicuramente diverso da zero (in caso

Inoltre, abbiamo dato per ipotesi che non vi siano sorgenti (v. nota 1), il che ci porta ad affermare:

( )2 , 0x yφ∇ =

Detto questo, poniamo il potenziale sul conduttore freddo pari a 0:

( ),0 0xφ =

Assegniamo invece il valore 1 al potenziale sul conduttore caldo:

( ), 1x bφ =

Per cercare di semplificare il problema facciamo quindi l’ipotesi di lavoro che il potenziale

dipenda solo da y(48). Per cui:

0x

φ∂ =∂

Questa condizione è chiaramente valida sia lungo la retta x = 0, sia lungo x = a, allorché si ha:

( )0, 0yx

φ∂ =∂

( ), 0a yx

φ∂ =∂

Abbiamo quindi tutte le conduzioni al contorno:

( )( )

( )

( )

( )2 2 2

2

2 2 2

condizioni sul potenziale nei conduttori

potenziale invariante rispetto alle

assenza di sorgenti

,0 0

, 1

0, 0

, 0

, 0 cioè 0

x

x

x b

yx

a yx

x yx y y

φφ

φ

φ

φ φ φφ

=

=

∂ = ∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + = =

∂ ∂ ∂

L’integrale generale dell’equazione differenziale 2

20

y

φ∂ =∂

ha la seguente forma:

( ) 1 2y c y cφ = +

Tuttavia sappiamo che

( ), 0 0x yφ = =

( ), 1x y bφ = =

Dunque già abbiamo le seguenti informazioni

1 20 0c c= ⋅ + 1 2

1 c b c= ⋅ +

20c =

1

1c

b=

le quali ci fanno concludere che il potenziale ha la seguente distribuzione49:

( ) 1 2

yy c y c

bφ = + =

Sappiamo poi, dalla teoria di base dell’elettromagnetismo, che:

( ) ( )φ= −∇, ,t tx y x yE

Se separiamo la relazione appena scritta nelle componenti x e y otteniamo:

48 Questo è un metodo di risoluzione molto comune ogniqualvolta si disponga di un teorema che garantisce l’unicità

della soluzione cercata. Se, in base all’ipotesi fatta, si ottiene una soluzione, per il teorema di unicità essa è l’unica. La

correttezza dell’ipotesi si verifica dunque a posteriori. 49 Si nota la dipendenza lineare rispetto alle y.

y

x

( ) ( ), ,x x y y x y

x y x yE E

x y

φ φ ∂ ∂+ = − + ∂ ∂

i i i i

Tuttavia sappiamo che il potenziale è invariante rispetto ad x, per cui si annulla immediatamente

la relativa derivata parziale:

( ),t x xE x y E= i( ),

y y

x yE

x

φ∂+ = −

∂i

( ),x y

x y

y

φ ∂ + ∂

i i

( ) ( ),,

t y y y

x yE x y E

y

φ∂= = −

∂i i

Capiamo quindi che il campo è diretto lungo l’asse delle y, e

precisamente verso la direzione negativa di tale asse50.

Calcoliamoci numericamente a quanto è pari questo campo

elettrico trasversale sapendo che ( ) yy

bφ = :

( ) ( ), 1,

t y y y y

x yE x y E

y b

φ∂= = − = −

∂i i i

Una volta trovato il campo elettrico (in direzione trasversale), possiamo trovare immediatamente

quello magnetico tramite la relazione:

t z tη± = ×H i E

( ),t z y

c

x y

y

φµε

∂± = × − ∂

H i i

( ),t z y

c

x y

y

φµε

∂± = − ×

∂H i i

1ct x

b

εµ

=H i∓

Quindi abbiamo già finito di analizzare il modo TEM:

( ), TEM z

TEM tx y e

γ−=e E

( ), TEM z

TEM tx y e

γ−=h H

Siccome sappiamo che, per i modi TEM, si ha 2 2γ σ=

jγ σ ω µε= ± = ±

possiamo infine dire, sostituendo, che51,52: j z

TEM y

e

b

ω µε−

= −e i

j z

cTEM x

e

b

ω µεεµ

−

= ±h i

Il modo TEM, come sappiamo, ci fa molto comodo perché si propaga sempre; tuttavia non è il solo

ad esistere in tale struttura e, anzi, nel nostro esempio l’energia si distribuisce anche fra tutti gli

50 Si faccia riferimento alla relazione scritta poco dopo: ha segno negativo. 51 Teniamo soltanto il segno meno nella relazione jσ ω µε= ± .

52 Notiamo che il legame fra i campi e ed h è statico: risulta quindi possibile sostituire questo componente con un

circuito a costanti concentrate.

E

(infiniti) modi di tipo TE e TM. L’unico modo per ottimizzare la nostra distribuzione energetica è

quello di porre sottotaglio tutti i modi “superflui”. Vediamo, anzitutto, quali sono questi modi.

Scriviamo le equazioni di Helmholtz:

2 2

2 2

0

0

t z c z

t z c z

E k E

H k H

∇ + =∇ + =

⇒

2 22

2 2

2 22

2 2

0

0

z zc z

z zc z

E Ek E

x y

H Hk H

x y

∂ ∂+ + = ∂ ∂

∂ ∂ + + = ∂ ∂

Dopodiché analizziamo le condizioni al contorno.

MODI TM

( )( )

( )

( )

(sopra e sotto) condizioni sul campo elettrico (nullo) nei conduttori elettrici perfetti

condizioni riferite ai conduttori magnetici perfetti (ai lat ci , )

0, 0

, 0

, 0

, 0

0

z

z

z

z

E x

E x

E yx

E yx

b

a

==

∂ = ∂∂ =∂

on direzione tangentex

MODI TE

( )( )

( )

( )

(ai lati)condizioni sul campo magnetico (nullo) nei conduttori magnetici perfetti

condizioni riferite ai conduttori elettrici per (soprafetti , co e sotto)

0

, 0

, 0

, 0

, 0

0z

z

z

z

H y

H y

H xy

H b

a

xy

=

=

∂ = ∂ ∂ =∂

n direzione tangentey

Si tratta ora di risolvere le equazioni differenziali di Helmholtz; per farlo, useremo il metodo di

separazione delle variabili (v. oltre).

MODI TE

Supponiamo che zH si possa esprimere come il prodotto di una funzione X (della sola x) e di una

funzione Y (della sola y):

( ) ( ) ( ),z

H x y X x Y y=

Una volta separate le nostre variabili, mettiamo l’equazione 2 2

2

2 20z z

c z

H Hk H

x y

∂ ∂+ + =

∂ ∂

nella forma:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 22

2

22

2 22

2 2

non dipende da non dipende da , ,quindi facendo quindi facendo

ddsi ha

si ha dd

0

z z

c

X y Y xH x y H x y

x yX x

Y xY yX yx

y

X YY X k XY

x y

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂+ + =∂ ∂

Dopodiché, con qualche passaggio matematico:

2 22

2 20

c

X YY X k XY

x y

∂ ∂+ + =∂ ∂

2 22

2 2 c

X YY X k XY

x y

∂ ∂= − −∂ ∂

2 22

2 2

dipende solo da dipende solo da

1 1c

x y

X Yk

X x Y y

∂ ∂= − −∂ ∂

Siccome x e y sono due variabili indipendenti, poniamo la quantità sopra pari ad una costante che

chiameremo 2

xk :

2 22 2

2 2

1 1c x

X Yk k

X x Y y

∂ ∂= − − = −∂ ∂

Ora si ha53: 2

2

22 2 2

22 2 2

2

1

ove 1

x

y x c

c x y

Xk

X xk k k

Yk k k

Y y

∂ = − ∂ + = ∂ = − + − ∂

≜

Gli integrali generali delle equazioni nel sistema soprastante sono:

( ) ( ) ( )3 4cos sin

x xX x c k x c k x= +

( ) ( ) ( )5 6cos sin

y yY x c k y c k y= +

Ora tiriamo fuori le condizioni al contorno. Le abbiamo scritte anche prima, ma ora dobbiamo

esprimerle con le nuove funzioni X e Y:

( ) ( )( ) ( )

( )

, 0 0

, 0 0

1, 0

0 0

0

z

z

z

H y X

H y X

H xy X

x

x a a

y

= ⇒ =

= ⇒ =

==∂⇒

∂

=

=

( )

( )

d0

d

1, 0

0

z

y b

Y

y

H xy X

=

∂ = ⇒∂

=( )d

0d

Y b

y

=

Imponendo ( )0 0X = :

( ) ( ) ( )3 40 cos 0 sin 0 0x xX c k c k= ⋅ + ⋅ =

30c =

Imponendo ( ) 0X a = :

( )

( )0

3cos

xX a c k a

=

= ⋅ ( )4sin 0

xc k a+ ⋅ =

( )4sin 0xc k a⋅ =

Le soluzioni sono quindi54:

, 0x

mk m

aπ= ∈ −ℕ

Ora passiamo alle altre due condizioni, ovvero a

53 Queste relazioni richiamano anche le equazioni di stampo “pitagorico” viste alla fine del capitolo scorso:

2 2 2 2

c tk γ γ σ= − = −

2 2 2

tγ γ σ+ =

54 E qui finalmente capiamo perché sono un’infinità numerabile (1∞ valori). Con m = 0 ci riconduciamo al modo TEM.

( )d 00

d

Y

y=

che ci fa avere

( )5

dcos 0

dy

c ky

⋅ ( ) ( )

6

0

sin 0 0y

Y

c k+ ⋅ =

( ) 6 6

d dsin 0 0

d dc c

y y= = ⇒ 6

0c =

e all’altra condizione

( )d0

d

Y b

y=

che ci porta a scrivere55

( ) ( )6 6

dsin sin 0

dy y

c k b c b k by

⋅ = − ⋅ = ⇒ , y

nk n

bπ= ∈ℕ

Ora possiamo valutare zH nei modi TE:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 6, cos sin cos sin

z x x y yH x y X x Y y c k x c k x c k y c k y = = + + =

( )3

0

cosx

c k x

=

= ( )4 5 6

0

sin cos siny

m nc x c y c k y

a b

π π

=

+ +

=

( ) ( )4 5 ,sin cos ,

z m n

m nc c x y H x y

a b

π π =

≜

Ricordando ora le espressioni, valide per i modi TE, che mettono in funzioni le componenti assiali

con quelle trasversali (v. capitolo 1)…

( )( )

2 2

2 2

t t z

t t z

H

j H

γ σ γ

γ σ ωµ

− = − ∇

− = × ∇

H

E k

… che nel nostro caso diventano…

( ) ( )

( ) ( )

2

, ,

2

, ,

t tc m n z m n

t tc m n z m n

k H

k j H

γ

ωµ

= − ∇

= × ∇

H

E kz

=k i

… possiamo immediatamente ottenere:

( ) ( )

( ) ( )

4 5 4 52 2

, ,

4 52 2

, ,

sin cos sin cos

sin cos

t

t t x y

c m n c m n

t z t z x y

c m n c m n

m n m nc c x y c c x y

k a b k x y a b

m nj c c x y jk a b k x y

γ π π γ π π

ωµ π π ωµ∇

∂ ∂ = − ∇ = − + ∂ ∂

∂ ∂ = × ∇ = × + ∂ ∂

H i i

E i i i i

4 5sin cos

t

m nc c x y

a b

π π

∇

( )

( )

4 5 4 52

,

4 5 4 52

,

sin cos sin cos

sin cos sin cos

t x y

c m n

t z x y

c m n

m n m nc c x y c c x y

k x a b y a b

m n m nj c c x y c c x yk x a b y a b

γ π π π π

ωµ π π π π

∂ ∂ = − + ∂ ∂

∂ ∂ = × + ∂ ∂

H i i

E i i i

55 E anche questa volta abbiamo un’infinità numerabile di valori.

Scriviamo quindi così la componente tangente del campo elettrico:

( )4 5 4 52

,

sin cos sin cost z x y

c m n

j c c x y c c x yk x a b y a b

ωµ π π π π ∂ ∂= × + = ∂ ∂ E i i i

( )4 5 4 52

,

cos cos sin sinz x y

c m n

m m n n m nj c c x y c c x yk a a b b a b

ωµ π π π π π π = × − + =

i i i

( )4 5 4 52 2

, ,

cos cos sin sinc m n c m n

m m n n m nj c c x y j c c x yk a a b k b a b

ωµ π π π ωµ π π π = − × + × =

… applichiamo il prodotto

( )4 5 4 52 2

, ,

cos cos sin sinc m n c m n


ωµ π π π ωµ π π π = − + −

Considerazioni assolutamente analoghe possono essere fatte anche per i modi TM: ancora una

volta quel che se ne deduce che i modi

coppia di valori (m,n), sono un infinità numerabile

per gli n).

CONCLUSIONI E OSSERVAZIONI

• se abbiamo una lastra planare si ha la seguente relazione per

Helmholtz:

2 2 2 2 2 2

c x yk k kγ σ γ= − = + = + = −

Si nota la proporzionalità inversa rispetto ad

lastra planare;

• 2

ck concorre, per ogni generico modo, a determinare la rispettiva pulsazione di taglio:

Come si nota, le pulsazioni di taglio (TE, nell’esempio) sono

• 2

ck fa la sua comparsa anche all’interno della costante di propagazione:

( ,c m nγ ω µε ω µε

• può essere interessante andare a

vedere quale sia la più piccola

pulsazione di taglio, fra tutte

quelle dei vari modi (escluso,

chiaramente, quello fondament

TEM). Non bisogna fare molti

sforzi: basta porre m = 0 ed

( )1,0

1c a

πωµε

=

56 I suddetti valori sono i più piccoli assumibili da

Scriviamo quindi così la componente tangente del campo elettrico:

4 5 4 5sin cos sin cos

t z x y


ωµ π π π π ∂ ∂ = × + = ∂ ∂ E i i i

… sviluppo delle derivate…

4 5 4 5cos cos sin sin

z x y


ωµ π π π π π π = × − + =

i i i

( )( )

4 5 4 52 2

, ,

cos cos sin sinz x z y

c m n c m n


ωµ π π π ωµ π π π = − × + × =

i i i i

… applichiamo il prodotto vettoriale ai versori…

( )4 5 4 52 2

, ,

cos cos sin siny x

c m n c m n



i i


volta quel che se ne deduce che i modi TE(m,n) e TM(m,n), ciascuno dei quali è individuato da una

), sono un infinità numerabile (pari a 2∞ ciascuno, ovvero

E OSSERVAZIONI:

se abbiamo una lastra planare si ha la seguente relazione per l’autovalore della funzione di

(

2 2

2 2 2 2 2 2

c x y t m n

m nk k k

a b

π πγ σ γ = − = + = + = −

Si nota la proporzionalità inversa rispetto ad a e b, cioè alle dimensioni geometriche della

concorre, per ogni generico modo, a determinare la rispettiva pulsazione di taglio:

( )

2 2

,

c

c m n

m n

k a b

π π

ωµεµε

+ = =

Come si nota, le pulsazioni di taglio (TE, nell’esempio) sono 2∞ (stessa cosa per il caso TM);

fa la sua comparsa anche all’interno della costante di propagazione:

)

2 2

2 2 2

, c c cc m n

m nk

a b

π πγ ω µε ω µε = − = + −

può essere interessante andare a

vedere quale sia la più piccola

pulsazione di taglio, fra tutte

quelle dei vari modi (escluso,

chiaramente, quello fondamentale

TEM). Non bisogna fare molti

= 0 ed n = 1(56)

I suddetti valori sono i più piccoli assumibili da m ed n.

sin cos sin cost z x y


ωµ π π π π = × + =

E i i i

cos cos sin sinz x y


ωµ π π π π π π = × − + =

i i i

( )cos cos sin sinz x z y


ωµ π π π ωµ π π π = − × + × =

i i i i

( )cos cos sin siny x



i i


, ciascuno dei quali è individuato da una

ciascuno, ovvero 1∞ per gli m e 1∞

l’autovalore della funzione di

)2 2 2 2 2 2

.t m n

, cioè alle dimensioni geometriche della

concorre, per ogni generico modo, a determinare la rispettiva pulsazione di taglio:

(stessa cosa per il caso TM);

fa la sua comparsa anche all’interno della costante di propagazione:

c c cγ ω µε ω µε

La banda f = ( )1,0

0,2

cω

π

è detta banda di

essa esiste soltanto il modo TEM. In questa banda

sono le dimensioni lineari a

a finire nell’unico modo (TEM

campi dinamici risonanti e l’energia si suddivide anche fra di essi

1.9 – Guida rettangolare ideale58

Siamo in assenza di perdite, quindi

(

cioè alla costantedi fase intrinseca deldielettrico in assenza

di perdite

1c m n

k

jω

γ β ω µεω

=

= = ± −

Le condizioni al contorno sono in parte

diverse da quelle della lastra planare:

MODI TM

( ) ( ) ( ) ( )

condizioni sul campo elettrico (nullo)

stesse condizioni, ma riferite ai c.e. p

, , 0

, ,

0

0 0

z z

z z

E x bE x

aE y E y

= =

= =

MODI TE

( ) ( )

( ) ( )

∂ ∂= =∂ ∂

∂ ∂ = = ∂ ∂

condizioni riferite ai c.e.p , con dire

0

, , 0

, , 0

0z z

z z

H x H xy y

H yx x

b

H a y

57 Modificando le dimensioni della struttura, in ogni caso, la propagazione del modo TEM non viene perturbata. Tale

modo, infatti, è privo di effetti di taglio e, più in generale, le grandezze cara

dipendono solo dal mezzo e non dalla geometria della struttura cilindrica.58 In questo paragrafo, come in quello precedente, faremo l’ipotesi di assenza di sorgenti.

è detta banda di unimodalità del sistema, in quanto all’interno di

essa esiste soltanto il modo TEM. In questa banda – tanto più grande quanto più piccole

a e b della sezione trasversale della struttura

TEM) esistente57; per frequenze superiori a

e l’energia si suddivide anche fra di essi.

La guida rettangolare ideale si differenzia dalla lastra planare

ideale per la presenza di un unico ed avvolgente conduttore

elettrico perfetto. Avendo soltanto un conduttore (e non due

o più), non abbiamo il modo TEM, bensì un’infinità

numerabile di modi TE e TM.

La curva di dispersione è simile a quella del caso precedente:

differisce, appunto, per la sola assenza del modo TEM (v.

figura sottostante).

Siamo in assenza di perdite, quindi

)2

,c m n

ω

Le condizioni al contorno sono in parte

diverse da quelle della lastra planare:

condizioni sul campo elettrico (nullo) nei conduttori elettrici perfetti

stesse condizioni, ma riferite ai c.e. perfetti ai l tia

condizioni riferite ai c.e.p , con dire

stesse condizioni riferite ai conduttori elettrici

(sopra e sotto), , 0

, , 0

y

Modificando le dimensioni della struttura, in ogni caso, la propagazione del modo TEM non viene perturbata. Tale

modo, infatti, è privo di effetti di taglio e, più in generale, le grandezze caratteristiche della sua propagazione

dipendono solo dal mezzo e non dalla geometria della struttura cilindrica.

In questo paragrafo, come in quello precedente, faremo l’ipotesi di assenza di sorgenti.

del sistema, in quanto all’interno di

tanto più grande quanto più piccole

sezione trasversale della struttura – tutta l’energia va

; per frequenze superiori a ( )1,0

2

cω

π, invece, si hanno

si differenzia dalla lastra planare

di un unico ed avvolgente conduttore

soltanto un conduttore (e non due

o più), non abbiamo il modo TEM, bensì un’infinità

La curva di dispersione è simile a quella del caso precedente:

differisce, appunto, per la sola assenza del modo TEM (v.

(sonei conduttori elettrici perfetti pra e sotto)

condizioni riferite ai c.e.p , con direzione tangente

elettrici ai perfetti lati

y

Modificando le dimensioni della struttura, in ogni caso, la propagazione del modo TEM non viene perturbata. Tale

tteristiche della sua propagazione

Cambiano, di conseguenza, anche le

• per un generico modo TE si ha:

• per un generico modo TM si ha:

I risonatori (come questo) sono componenti molto particolari, in quanto sono gli unici a violare i

principi espressi dal teorema di Poynting e dal teorema di unicità; in particolare,

mantengono costantemente l’uguaglianza

energia elettrica energia magnetica

e quindi si autosostengono.

Le condizioni per la risonanza sono intimamente legate alla geometria della struttura

condizioni al contorno che abbiamo si può dimostrare

possono propagare soltanto i modi risonanti. Ne deduciamo che è importante scegliere le

dimensioni giuste della guida in modo da poter trasmettere i segnali voluti.

Poiché il TEM non esiste, il TE1,0

è il modo fondamentale

a cui è possibile la propagazione elettromagnetica nella guida rettangolare

cresce al diminuire delle dimensioni lineari della sezione

59 Mentre vi è un’attenuazione lungo z. 60 Sono gli effetti della presenza di una parete reattiva. Se infatti consideriamo il modo TE , il c.e.p. funziona come una

sorta di cortocircuito, allo stesso modo in cui

aperto:

61 Fermo restando che la risonanza si ha solo per determinate frequenze.62 Se a ≥ b. 63 Questo particolare rende le guide rettangolari degli elementi intrinsecamente passa

trasmettono il segnale (al contrario delle strutture che sostengono il modo TEM)!64 A frequenze relativamente basse (1 Ghz ca.), affinché la fre

deve essere dell’ordine dei centimetri, cosicché i circuiti in guida risultano pesanti, ingombranti e costosi.

Cambiano, di conseguenza, anche le espressioni delle componenti:

per un generico modo TE si ha: ( ) ,costante

cos cosz m n

m nH C x y

a b

π π =

per un generico modo TM si ha: ( ) ,costante

sin sinz m n

m nE D x y

a b

π π =

Notiamo immediatamente che i modi TE e TM hanno, in

direzione x ed y, un andamento sinusoidale rispetto a

variabili spaziali59.

Si ha quindi una situazione come quella in figura a fianco,

dove il campo elettrico è stato fotografato in corrispondenza

di tre istanti 1 2 3, e t t t . Si vede che si ha

implica per il campo elettromagnetico, detto

presenza di nodi e di ventri; il campo, inoltre, rimane

racchiuso all’interno di un inviluppo (anch’esso sinusoidale).

Quel che accade, che è anche il motivo per cui vi è

stazionarietà, è che il campo si “palleggi” da una parte

all’altra della guida senza mai uscire60.


principi espressi dal teorema di Poynting e dal teorema di unicità; in particolare,

mantengono costantemente l’uguaglianza

energia elettrica energia magneticae m

U U→ = ←

Le condizioni per la risonanza sono intimamente legate alla geometria della struttura

condizioni al contorno che abbiamo si può dimostrare che nella guida d’onda rettangolare si

i modi risonanti. Ne deduciamo che è importante scegliere le


è il modo fondamentale62 e 1,0f rappresenta la frequenza minima

a cui è possibile la propagazione elettromagnetica nella guida rettangolare

cresce al diminuire delle dimensioni lineari della sezione trasversale64.

ti della presenza di una parete reattiva. Se infatti consideriamo il modo TE , il c.e.p. funziona come una

sorta di cortocircuito, allo stesso modo in cui – fatte identiche ipotesi – un c.m.p. si comporterebbe alla stregua di un

che la risonanza si ha solo per determinate frequenze.

Questo particolare rende le guide rettangolari degli elementi intrinsecamente passa-

trasmettono il segnale (al contrario delle strutture che sostengono il modo TEM)!

A frequenze relativamente basse (1 Ghz ca.), affinché la frequenza di taglio sia minore di quella di lavoro, la guida


H C x y

;

E D x y

.

Notiamo immediatamente che i modi TE e TM hanno, in

, un andamento sinusoidale rispetto a tali

una situazione come quella in figura a fianco,

dove il campo elettrico è stato fotografato in corrispondenza

. Si vede che si ha stazionarietà: ciò

per il campo elettromagnetico, detto in risonanza, la

; il campo, inoltre, rimane sempre

racchiuso all’interno di un inviluppo (anch’esso sinusoidale).

Quel che accade, che è anche il motivo per cui vi è

campo si “palleggi” da una parte

.


principi espressi dal teorema di Poynting e dal teorema di unicità; in particolare, i risonatori

energia elettrica energia magnetica

Le condizioni per la risonanza sono intimamente legate alla geometria della struttura61; con le

che nella guida d’onda rettangolare si

i modi risonanti. Ne deduciamo che è importante scegliere le


rappresenta la frequenza minima

a cui è possibile la propagazione elettromagnetica nella guida rettangolare63. Questa frequenza

ti della presenza di una parete reattiva. Se infatti consideriamo il modo TE , il c.e.p. funziona come una

un c.m.p. si comporterebbe alla stregua di un

-alto, in quanto non sempre

quenza di taglio sia minore di quella di lavoro, la guida


Tenendo presente che questa volta

ancora le relazioni:

• sulla pulsazione ( ),c m nω = =

• sulla costante di propagazione

Le guide d’onda di questo tipo vengono utilizzate per circuiti di potenza, linee di alimentazione,

antenne Horn65. Per ogni banda di lavoro, inoltre, esistono dimensioni obbligatorie di

funzionamento della guida.

1.10 – Guida circolare

come in figura a destra.

Il resto della trattazione, invece, è ben

differente rispetto ai paragrafi precedenti

dobbiamo infatti adottare un sistema di

riferimento a coordinate cilindriche e

formulare le nuove condizioni al

contorno.

L’equazione di Helmholtz da risolvere è:

( ) ( )2 2, , 0t z c zE r k E rϑ ϑ∇ + =

Sviluppando il Laplaciano (ricordando di essere in un sistema di coordinate cilindriche)

otteniamo:

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Le condizioni al contorno, invece,

65 Si tratta di antenne fortissimamente direttive spesso utilizzate per le comunicazioni66 Si nota da tali relazioni che la linea di separazione fra il dielettrico e il conduttore è una circonferenza di raggio

Tenendo presente che questa volta per i modi TM e TE non può essere né

2 2

c

m n

k a b

π π

µεµε

+ = =

sulla costante di propagazione ( )

2 2

2 2 2

, c c cc m n

m nk

a b

π πγ ω µε ω µε = − = + −

questo tipo vengono utilizzate per circuiti di potenza, linee di alimentazione,

. Per ogni banda di lavoro, inoltre, esistono dimensioni obbligatorie di

La guida circolare è una struttura cilindrica chiusa ad un solo

conduttore. Senza troppo dilungarci nelle solite

considerazioni, abbiamo:

• 2∞ modi TE;

• 2∞ modi TM;

• siamo privi del modo TEM.

Dunque anche questa volta, per pulsazioni inferiori a

di taglio del modo fondamentale (che è anche la pulsazione

di taglio minima minω ), nulla si propaga nella struttura:

dunque anche questa volta abbiamo curve di dispersione

invece, è ben

differente rispetto ai paragrafi precedenti;

dobbiamo infatti adottare un sistema di

riferimento a coordinate cilindriche e

formulare le nuove condizioni al

L’equazione di Helmholtz da risolvere è:

, , 0

ando il Laplaciano (ricordando di essere in un sistema di coordinate cilindriche)

2 22

2 2 2

1 10z z z

c z

E E Ek E

r r r r ϑ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

sono66:

( )

( )

, 0 modi TM

, 0 modi TE

z

z

E a

Ha

r

ϑ

ϑ

=∂ = ∂

Si tratta di antenne fortissimamente direttive spesso utilizzate per le comunicazioni Terra

Si nota da tali relazioni che la linea di separazione fra il dielettrico e il conduttore è una circonferenza di raggio

non può essere né m = 0 né n = 0, valgono

2 2

2 2 2

c c c

m n

a b

π πγ ω µε ω µε = − = + −

questo tipo vengono utilizzate per circuiti di potenza, linee di alimentazione,

. Per ogni banda di lavoro, inoltre, esistono dimensioni obbligatorie di

cilindrica chiusa ad un solo

conduttore. Senza troppo dilungarci nelle solite

Dunque anche questa volta, per pulsazioni inferiori a quella

di taglio del modo fondamentale (che è anche la pulsazione

), nulla si propaga nella struttura:

dunque anche questa volta abbiamo curve di dispersione

ando il Laplaciano (ricordando di essere in un sistema di coordinate cilindriche)

Terra-satellite.

Si nota da tali relazioni che la linea di separazione fra il dielettrico e il conduttore è una circonferenza di raggio a.

Facciamo nuovamente l’ipotesi di lavoro della separazione delle variabili: immaginiamo dunque

che il campo elettrico zE possa essere espresso attraverso il prodotto di due funzioni una (R)

dipendente unicamente dal raggio r e l’altra (Θ ) dipendente da solamente dall’angolo ϑ :

( ) ( ) ( ),zE r R rϑ ϑ= Θ

Detto questo, l’equazione di Helmholtz diventa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

2 2 2

1 10

cR r R r R r k R r

r r r rϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ∂ ∂ ∂Θ + Θ + Θ + Θ =∂ ∂ ∂

Ora eseguiamo le derivate parziali e dividiamo per RΘ : 2 2

2

2 2 20

c

R R Rk R

r r r r ϑ∂ Θ ∂ ∂ ΘΘ + + + Θ =∂ ∂ ∂

2 22

2 2 2

1 1 10

c

R Rk

R r rR r r ϑ∂ ∂ ∂ Θ+ + + =∂ ∂ Θ ∂

Moltiplicando per 2r si ha: 2 2 2

2 2

2 2

10

c

r R r Rk r

R r R r ϑ∂ ∂ ∂ Θ+ + + =∂ ∂ Θ ∂

2 2 22 2

2 2

parte espressa in funzione della sola parte espressain funzionedella sola

1c

r

r R r Rk r

R r R r

ϑ

ϑ∂ ∂ ∂ Θ+ + = −∂ ∂ Θ ∂

Poiché i due membri di questa equazione sono funzioni di due diverse variabili indipendenti,

ciascuno di essi dev’essere uguale ad una costante, che indicheremo con 2h :

equazione armonica 2 2

2 2

2 2

1 1 h h

ϑ ϑ∂ Θ ∂ Θ− = ⇒ = −

Θ ∂ Θ ∂

Le possibili soluzioni dell’equazione armonica sono

( ) ( )1cosc hϑ ϑΘ =

( ) ( )2sinc hϑ ϑΘ =

(o una combinazione lineare di queste)

Per ragioni fisiche, il campo elettrico zE dev’essere una funzione del punto ad un solo valore.

Poiché i due insiemi di coordinate ( ), , r zϑ e ( ), 2 , r m zϑ π+ , con m intero e diverso da zero,

individuano lo stesso punto, si ha la seguente periodicità:

( ) ( )2mϑ ϑ πΘ = Θ +

Ovvero:

( ) ( ) ( )( )1 1cos cos 2c h c h mϑ ϑ ϑ πΘ = = +

( ) ( ) ( )( )2 2sin sin 2c h c h mϑ ϑ ϑ πΘ = = +

Questo porta anche la costante h ad assumere valori interi (altrimenti si “sballa” la periodicità e

non compare più un termine additivo multiplo di 2π ).

Detto questo si ha: 2 2

2 2 2

2 c

r R r Rk r h

R r R r

∂ ∂+ + = −∂ ∂

Moltiplichiamo per R e dividiamo per 2r : 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 10

c c

R R h R R hRk R R k

r r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = + + − = ∂ ∂ ∂ ∂

L’integrale generale di questa equazione differenziale è:

In questa relazione:

• ( )n cJ k r è la funzione di Bessel ordinaria di prima specie e di ordine

• ( )n cY k r è la funzione di Bessel ordinaria di seconda specie (o funzione di Neumann) di

ordine n.

In definitiva, questa è la forma di

( ), cosz n c n cE r R r c h c J k r c Y k rϑ ϑ ϑ= Θ = +

Abbiamo quindi un’infinità numerabile di modi definiti da

1.11 – Cavo coassiale67

Sfruttiamo quindi la proprietà per la quale si ha

se siamo in assenza di sorgenti. In coordinate cilindriche, questa relazione diventa:

A questa relazione dobbiamo aggiungere le condizioni al contorno

circonferenze di raggio 1R e 2

R che sono le demarcazioni fra

Tenendo presente che sia le condizioni al contorno che il potenziale, per simmetria del problema,

sono indipendenti dall’angolo ϑ , l’equazione

1 1r

r r r r

φ φ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

L’integrale generale è, quindi:

67 Il cavo coassiale può degenerare in una

68 Tali condizioni sono indipendenti dall’angolo

( ) ( ) ( )3 4n c n cR r c J k r c Y k r= +

è la funzione di Bessel ordinaria di prima specie e di ordine

è la funzione di Bessel ordinaria di seconda specie (o funzione di Neumann) di

zE

( ) ( ) ( ) ( ) (1 3 4, cos

z n c n cE r R r c h c J k r c Y k rϑ ϑ ϑ = Θ = +

Abbiamo quindi un’infinità numerabile di modi definiti da ck e h.

Un cavo coassiale ha una struttura come quella in figura.

Notiamo immediatamente che sono presenti due conduttori,

uno interno (caldo) e uno di rivestimento

significa che la struttura sorregge il modo TEM

modo fondamentale). Esisterà poi la solita infinità di modi TE

e TM.

MODO TEM

Per analizzare tale modo dobbiamo, utilizzando le coordinate

cilindriche, trovare un’espressione per il potenziale

Sfruttiamo quindi la proprietà per la quale si ha

( )2 , 0trφ ϑ∇ =

In coordinate cilindriche, questa relazione diventa:

2

2 2

1 10r

r r r r

φ φϑ

∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂

A questa relazione dobbiamo aggiungere le condizioni al contorno

che sono le demarcazioni fra il conduttore e il dielettrico:

( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

, 1

, 0

R R

R R

φ ϑ φ

φ ϑ φ

= =

= =


, l’equazione di Laplace diventa:

02

2 2

1 1

r r r r

φ φϑ

=

∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂

le derivate da parzialidiventano ordinarie

1 d d0 0

d dr

r r r

φ = ⇒ =

( ) 1 2lnr c r cφ = +

Il cavo coassiale può degenerare in una stripline, avente forma schematizzabile nella sottostante figura:

Tali condizioni sono indipendenti dall’angolo ϑ .

è la funzione di Bessel ordinaria di prima specie e di ordine n;

è la funzione di Bessel ordinaria di seconda specie (o funzione di Neumann) di

)z n c n cE r R r c h c J k r c Y k r

truttura come quella in figura.

otiamo immediatamente che sono presenti due conduttori,

uno di rivestimento (freddo): questo

significa che la struttura sorregge il modo TEM (che è anche il

Esisterà poi la solita infinità di modi TE

Per analizzare tale modo dobbiamo, utilizzando le coordinate

cilindriche, trovare un’espressione per il potenziale φ .

In coordinate cilindriche, questa relazione diventa:

A questa relazione dobbiamo aggiungere le condizioni al contorno68, riferibili alle due

il conduttore e il dielettrico:


le derivate da parzialidiventano ordinarie

0 0=

, avente forma schematizzabile nella sottostante figura:

Imponendo le condizioni al contorno si ha:

1 1 2

1 2 2

ln 1

ln 0

c R c

c R c

+ = + =

Facciamo ora qualche calcolo:

21

1

2 1 2

1

ln

ln

cc

R

c c R

− = = −

⇒

21

1

2 22 2

1 1

1

ln

ln ln

ln ln

cc

R

R Rc c

R R

− = = −

⇒

21

1

2 22

1 1

1

ln

ln ln1

ln ln

cc

R

R Rc

R R

− =

− = −

⇒

21

1

2

12

2

1

1

ln

ln

ln

ln1

ln

cc

R

R

Rc

R

R

− = =

−

⇒

21

1

21

2

1

ln

1

ln1

ln

cc

R

cR

R

− = = −

⇒

21

1

2 22

22 1

1

1

ln

ln ln

ln ln ln

cc

R

R Rc

RR RR

− =

= = −

⇒

2

2

11

1

22

2

1

ln1

ln

ln

ln

ln

R

RR

cR

Rc

RR

− = =

⇒

22

11

21

1

22

2

1

ln ln

ln ln

ln

ln

RR

Rc

RR

R

Rc

RR

−=

=

⇒

2 1 21

21

1

22

2

1

ln ln ln

ln ln

ln

ln

R R Rc

RR

R

Rc

RR

− − = =

⇒

11

21

1

22

2

1

ln

ln ln

ln

ln

Rc

RR

R

Rc

RR

− = =

⇒

12

1

22

2

1

1

ln

ln

ln

cRR

Rc

RR

− = =

La funzione cercata è dunque:

( )2

2 21 2

2 2 2 2

1 1 1 1

lnln ln ln1ln ln

ln ln ln ln

RR r R rr c r c r

R R R RR R R R

φ − +−= + = + = =

Ora possiamo finalmente ricavare tE e t

H :

22 2

22

2 2 2

1 1 1

lnd d 1 dln

d d dln ln lnt t r r r r

R rR

r RRrrR R Rr r r

R R R

φφ − = −∇ = − = − = − = − =

E i i i i

22

2

2 2 2

1 1 1

ln ln ln

r r

r

R r

r Rr rR R RR R R

−= = − =

i i

i

1t z tη

= ± ×H i E = 2 2 2

1 1 1

1 11 1 1

ln ln ln

r

z z rr r rR R RR R R

ϑη η η± × = ± × = ±

i

i i i i

Quindi questa è l’espressione tempo-variante dei campi69:

( ) z

t t rr e σ±=e E i

( ) z

t tr e σ

ϑ±=h H i

69 Si ricordi che, per il modo TEM, si ha 2 2 γ σ γ σ= ⇒ = ±

MODI TE e TM

Abbiamo 2∞ modi TM e 2∞ modi TE, tutti con frequenza di taglio diversa da zero. La curva di

dispersione appare quindi molto simile a quella delle altre strutture cilindriche: avremo una

banda di unimodalità (in cui è presente il solo modo TEM) e una banda (illimitata a destra) di

multimodalità. L’unico modo (nel caso volessimo lavorare a frequenze maggiori con il solo modo

TEM) per aumentare la banda di unimodalità, la cui estensione dipende dalle caratteristiche

geometriche del cavo, è quello di costruire un cavo più piccolo.

CAPITOLO 2

Propagazione e.m. nelle strutture cilindriche aperte e nelle strutture non omogenee 2.1 – Generalità: i modi radianti in strutture aperte omogenee senza perdite Abbiamo già più volte sottolineato nel capitolo precedente che, se la struttura è chiusa1 e non vi sono perdite, tutta l’energia e l’informazione si propagheranno dall’ingresso all’uscita della guida d’onda. Se la struttura, invece, è aperta2, potremmo avere qualche problema:

• se la trasmissione risulta unimodale3 (e quindi siamo fra la frequenza della continua e la prima frequenza di taglio c

ω , corrispondente al primo modo superiore), allora il discorso è

analogo a quello fatto per le strutture chiuse; • se la trasmissione consta di più modi, nessuno ci garantisce che essi arriveranno intatti

all’uscita! Dunque risulta naturale voler decurtare i modi superiori; vale infatti la legge pitagorica per la quale

2 2 2

assialetrasv.

tγ γ σ+ =

Inoltre abbiamo che: 2 2

t ckγ = −

dove 2

ck è sicuramente reale. Ciò porta a dire che, se siamo soprataglio4, possiamo scrivere

t cjkγ = −

Siccome la parte trasversale è diversa da zero, la struttura propagherà anche in quella direzione5. Tale situazione è assolutamente da evitare6, perché comporta:

• uno spreco di potenza; • pericoli per la salute umana, se si fosse esposti a lungo alle irradiazioni; • un abbassamento repentino della qualità del segnale trasmesso.

Dobbiamo quindi iniziare a parlare di modi radianti. I modi TE e TM di una struttura omogenea aperta hanno infatti il comportamento asintotico di onde che si propagano in direzione radiale con costante di fase c

k e costante di attenuazione nulla (v. oltre). Essi non sono guidati e non possono

essere confinati in una regione di dimensioni finite trasversalmente all’asse della struttura. Una struttura omogenea aperta possiede pertanto un’infinità continua di tali modi radianti7, che nel loro insieme costituiscono il campo di radiazione della struttura medesima.

1 Ed è quindi rivestita da un conduttore esterno, il quale riflette il segnale verso l’interno della struttura cilindrica ed impedisce l’irraggiamento verso l’ambiente circostante. 2 L’esempio più comune è quello di linea di trasmissione ordinaria (studiato a Propagazione L-A). 3 Il che significa che si trasmette soltanto il modo TEM, il quale è intrinsecamente assiale e sicuramente non si irraggia. Quando infatti abbiamo introdotto questo particolare modo, e ci siamo focalizzati sui requisiti necessari per poterlo reggere, mai si è specificato che si necessitasse di struttura chiusa! 4 Quindi i modi superiori ci sono eccome e cω ω> ! 5 Il che equivale a dire che irraggiamo in ogni direzione del generico piano xy contenente una generica sezione trasversale. Insomma, irraggiamo ovunque. 6 Ovviamente ci stiamo riferendo al caso della guida d’onda, ovvero della trasmissione elettromagnetica convogliata lungo una struttura: in tale contesto non vogliamo alcuna dispersione lungo altre direzioni che non siano quelle assiali della struttura. Se, invece, è di un’antenna che abbiamo bisogno, questo caso è assolutamente favorevole e desiderato. 7 Un modo radiante di ampiezza finita trasporta potenza infinita in direzione dell’asse della struttura. Ciò significa che un modo radiante non può essere eccitato singolarmente con ampiezza finita, ma solo con ampiezza infinitesima.

Domanda: possiamo ricavare i campi elettrici e magnetici tempoutilizzando la solita combinazione

( ) (combinazione lineare

1 2 1 21

, , lim , ,N

n nN

n

x x z a x x z→∞ =

= ∑e e

La risposta è negativa: infatti i modi radianti decadono con fattore

distanza (cioè per r → ∞ ), alcuni di loro Procediamo alla nostra valutazione matematica, tenendoindichiamo con A la quantità z

E

nostra equazione di Helmholtz:

Possiamo scrivere questa relazione nel nostro sistema di riferimento: essa ha il seguente aspetto

Considerando il comportamento asintotico, ovvero quello che si ha

termine proporzionale a 21r

che si trova a primo membro:

Questa è un’equazione di Bessel di ordine 0 rispetto alla sola variabile L’integrale generale di questa equazione, per all’infinito, è (omettendo la dimostrazione):

Si ha, inoltre, che c t t tjk j jα β β= + =

Per poter quindi esprimere il campo radiante, dobbiamo abbandonare i coefficienti

per le strutture chiuse e utilizzare nuovi coefficienti

nota 7); inoltre, siccome abbiamo detto che visommatoria con un integrale. Ecco qual è quindi il nuovo aspetto del nostro ca

8 E quindi non numerabile. 9 Nelle espressioni seguenti non abbiamo considerato il modo TEM, il quale non rientra nell’ambito di questo ragionamento e può essere scritto nella u

Se impostiamo un sistema di coordinate cilindriche centrato sulla nostra struttura aperta, chiamando centro e ψ l’angolo che individua i puntiraggio r (vedi figura), vogliamo quindi poter trovare i campi elettrici e magnetici in funzione delle coordinate

( ),zr ψE H

Domanda: possiamo ricavare i campi elettrici e magnetici tempo-utilizzando la solita combinazione lineare dei modi?


1 2 1 2

modo

, , lim , ,n n

x x z a x x ze e

( )1 2 1 2, , lim , ,

N

Nn

x x z a x x z→∞ =

= ∑h h

La risposta è negativa: infatti i modi radianti decadono con fattore 1

r

, alcuni di loro scompaiono.

Procediamo alla nostra valutazione matematica, tenendo conto di tutti questi particolari

z (per un modo TM) o zH (per un modo TE), abbiamo sempre la

2 2 0t cA k A∇ + =

Possiamo scrivere questa relazione nel nostro sistema di riferimento: essa ha il seguente aspetto2 2

2

2 2 2

1 10

c

A A Ak A

r r r r ψ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

il comportamento asintotico, ovvero quello che si ha r → ∞che si trova a primo membro:

22

2

10

c

A Ak A

r r r

∂ ∂+ + =∂ ∂

Questa è un’equazione di Bessel di ordine 0 rispetto alla sola variabile r.

di questa equazione, per r → ∞ e fatta l’ipotesi di regolarità del campo all’infinito, è (omettendo la dimostrazione):

( ) ( )1

1, cjk rA r c e

rψ ψ −≃

c t t tjk j jα β β ( costante di attenuazione nulla: t

α =

( ) ( )1

1, tj r

A r c er

βψ ψ −≃

Per poter quindi esprimere il campo radiante, dobbiamo abbandonare i coefficienti

per le strutture chiuse e utilizzare nuovi coefficienti ( )n ca k , che sono ampiezze infinitesime (v.

abbiamo detto che vi è un’infinità continua8 di modi, dobbiamo sostituire la sommatoria con un integrale. Ecco qual è quindi il nuovo aspetto del nostro ca

Nelle espressioni seguenti non abbiamo considerato il modo TEM, il quale non rientra nell’ambito di questo ragionamento e può essere scritto nella usuale maniera.

rdinate cilindriche centrato struttura aperta, chiamando r la distanza dal

i punti sulla circonferenza di ndi poter trovare i campi

ici in funzione delle coordinate: ( ),

zr ψH

-varianti “complessivi”


1 2 1 21

modo

, , lim , ,N

n nn

x x z a x x z=∑h h

1

r (v. oltre) e, a grande

conto di tutti questi particolari. Se (per un modo TE), abbiamo sempre la

Possiamo scrivere questa relazione nel nostro sistema di riferimento: essa ha il seguente aspetto

→ ∞ , possiamo trascurare il

e fatta l’ipotesi di regolarità del campo

0= ). Quindi:

Per poter quindi esprimere il campo radiante, dobbiamo abbandonare i coefficienti na utilizzati

, che sono ampiezze infinitesime (v.

di modi, dobbiamo sostituire la sommatoria con un integrale. Ecco qual è quindi il nuovo aspetto del nostro campo radiante9:

Nelle espressioni seguenti non abbiamo considerato il modo TEM, il quale non rientra nell’ambito di questo

2 2

2 2

0

0

( )

( )

c

c

k z

R c c

k z

R c c

a k e dk

a k e dk

σ

σ

∞ − ++

∞ − ++

=

=

∫

∫

e E

h H

(10)

Quindi, ricapitolando: • se esiste il modo TEM (che è sempre guidato), l’espressione del campo è:

( ) ( ) σσ ∞ − +−= + = + +∫

2 2

10

parte guidata parte radiante parte guidata parte radiante

, ( ) ck zz

TEM R TEM c t z ca x y e a k E e dke e e E E k

( ) ( ) σσ ∞ − +−= + = + +∫

2 2

10

parte guidata parte radiante parte guidata parte radiante

, ( ) ck zz

TEM R TEM c t z ca x y e a k H e dkh h h H H k

• se abbiamo meno di due conduttori, invece, abbiamo solo le Re e R

h già espresse sopra.

Il nostro obiettivo, visto che vogliamo creare una struttura guidata e non un’antenna, è chiaramente quello di rendere la componente guidata TEM molto più consistente della parte radiante:

parte guidata parte radiante

TEM Re e≫

parte guidata parte radiante

TEM Rh h≫

I modi radianti non esistono sempre ma soltanto da una certa frequenza in poi11, come già abbiamo visto per i modi TE e TM delle strutture cilindriche chiuse. La pulsazione di taglio, per ognuno dei modi radianti (individuati da m ed n), è:

( )( ),

,

c m n

c m n

kω

µε=

Al solito, se si lavora a frequenze inferiori da quella di taglio, dove

( ) ( ), ,c m n c m nk µεω>

allora si è in regime di sottotaglio e il modo viene ostacolato dalla presenza di una parete reattiva, che rispedisce tutto il campo indietro. In caso contrario, con

( ) ( ), ,c m n c m nk µεω<

siamo soprataglio e il modo (m,n) si può propagare tranquillamente. Si capisce chiaramente che, una volta definita la frequenza di lavoro, non ha senso considerare i modi sottotaglio nella formula che determina i campi elettrico e magnetico: possiamo dunque operare un saggio cambio di estremi nell’integrale in c

k

( )0

... dck

ω µε∞

∫

2.2 – Fibre ottiche: un esempio di guide d’onda aperte non omogenee Dopo tutte le considerazioni fatte può sorgere il dubbio su come facciano a funzionare le fibre ottiche. Esse sono strutture aperte senza alcun conduttore (quindi ci possiamo scordare i modi

10 +E e +H sono, per l’onda progressiva (da qui il pedice +), le funzioni di modo ottenute risolvendo le equazioni di

Helmholtz con le rispettive condizioni al contorno (diverse per zE e z

H , come sappiamo dal capitolo 1), ovvero

t zE+E k e

t zH+H k

Esisterebbero anche le −E e −H (onda regressiva), ma non le consideriamo a r → ∞ .

11 D’altronde, l’integrale presente all’interno delle espressioni dei campi è in ck , termine che concorre – come si vede

poco dopo – all’interno dell’espressione della pulsazione di taglio cω .

TEM): vuol quindi dire che abbiamo soltanto i modi radianti? Eppure la propagazione del campo avviene ed in maniera molto efficiente!in sordina: la non omogeneità della sezione trasversale.

Una fibra ottica coinvolge ben tre dielettrici

dielettrica

La costante dielettrica del intermedia è quella del

dell’aria. Come può quindi il campo propagarsi all’interno di tale fibra, districandosi fra questi tre diversi dielettrici? Anche questa volpiane elementari. Quando una radiazione, viaggiante in un certo mezzo, incontra un secondo materiale, possono infatti accadere diverse eventualità. CASO 1: due mezzi a contatto, il mezzo 2 è

In questo caso si ha la cosiddetta mezzi funge da parete reattiva e rispedisce tutto all’interno del mezzo 1, rispettando la legge della riflessione ( i r

ϑ ϑ= ).

CASO 2: due mezzi a contatto, il mezzo 1 ha una

In questo secondo caso l’onda incidente viene in parte riflessa (e quindi rispedita nel mezzo 1) e in parte rifratta (con un angolo ≠ costanti dielettriche in gioco13) all’

certo angolo (detto angolo critico) anche in questo caso si ha la riflessione totale.

12 In realtà le parti coinvolte sono di più: oltre al e il jacket). 13 Si veda la legge di Snell.

ε ε ε>> >>2 1 0

TEM): vuol quindi dire che abbiamo soltanto i modi radianti? Eppure la propagazione del campo efficiente! Il segreto sta in un particolare che fin’ora è rimasto un po’

della sezione trasversale. Una fibra ottica coinvolge ben tre dielettrici

• l’aria (esterna), con costante dielettrica

• il cladding, un dielettrico di rivestimento, con costante dielettrica 1

ε ;

• il core, un dielettrico interno, con costante dielettrica

La costante dielettrica del core è la maggiore di tutte; quella intermedia è quella del cladding, mentre la più piccola è la

Come può quindi il campo propagarsi all’interno di tale fibra, districandosi fra questi tre diversi dielettrici? Anche questa volta la giustificazione del fenomeno viene dalla teoria delle onde

Quando una radiazione, viaggiante in un certo mezzo, incontra un secondo materiale, possono infatti accadere diverse eventualità.

CASO 1: due mezzi a contatto, il mezzo 2 è un c.e.p. e quindi ha 20ε =

In questo caso si ha la cosiddetta riflessione totale, in quanto la linea di demarcazione fra i due mezzi funge da parete reattiva e rispedisce tutto all’interno del mezzo 1, rispettando la legge della

CASO 2: due mezzi a contatto, il mezzo 1 ha una ε maggiore di quella del mezzo 2.

In questo secondo caso l’onda incidente viene in parte riflessa (e quindi rispedita nel mezzo 1) e in ≠ da quello di incidenza e dipendente dal rapporto fra le due

) all’interno del mezzo 2. Se però l’angolo di incidenza

) anche in questo caso si ha la riflessione totale.

In realtà le parti coinvolte sono di più: oltre al core e al cladding esistono due rivestimenti ancora più esterni (il

TEM): vuol quindi dire che abbiamo soltanto i modi radianti? Eppure la propagazione del campo Il segreto sta in un particolare che fin’ora è rimasto un po’

Una fibra ottica coinvolge ben tre dielettrici12: l’aria (esterna), con costante dielettrica 0

ε ;

, un dielettrico di rivestimento, con costante

, un dielettrico interno, con costante dielettrica 2ε .

è la maggiore di tutte; quella , mentre la più piccola è la 0

ε

Come può quindi il campo propagarsi all’interno di tale fibra, districandosi fra questi tre la giustificazione del fenomeno viene dalla teoria delle onde

Quando una radiazione, viaggiante in un certo mezzo, incontra un secondo

, in quanto la linea di demarcazione fra i due

mezzi funge da parete reattiva e rispedisce tutto all’interno del mezzo 1, rispettando la legge della

maggiore di quella del mezzo 2.

In questo secondo caso l’onda incidente viene in parte riflessa (e quindi rispedita nel mezzo 1) e in

da quello di incidenza e dipendente dal rapporto fra le due Se però l’angolo di incidenza i

ϑ supera un

) anche in questo caso si ha la riflessione totale.

esistono due rivestimenti ancora più esterni (il buffer

La fibra utilizza la riflessione totale per imbrigliare un’onda elettromagnetica

Di riflessione in riflessione, il fascio di onde giunge a

2.3 – Modi ibridi guidati nelle guide aperte non omogenee

Ripercorriamo per sommi capi il percorso compiuto fin’ora: quando cerchiamo di caratterizzare la propagazione all’interno di una guida circondata da un conduttore (anche se spesso non conviene introdurlo per ragioni di prezzo e di rigidità della struttura) possiamo stare certi che lapropagazione è guidata. Se la guida, invece, è aperta, allora si necessita di risonanzatrasmissione del segnale. Il modo TEM è sicuramente guidato: dunque, finché siamo sotto la frequenza di taglio del primo modo superiore, sicuramente la propagaNelle strutture aperte, invece, i modi sopratagliorisulta quindi opportuno alzare la pulsazione di taglio

struttura. Quando il mezzo in cui il campo ha sede è trasversalmente non omogeneo, la determinazione del campo elettromagnetico presenta maggiori difficoltà. Nella maggior parte dei casi di interesse tecnico il mezzo non omogeneo è costituito da più regioni omogenee

14 Le frecce indicano in realtà la direzione del vettore d’15 A tal fine, per il campo elettrico ogni c.e.p. funge da cortocircuito, mentre ogni c.m.p. costituisce un aperto.

riflessione totale per imbrigliare un’onda elettromagneticamostrate due onde

• l’onda d’incidenza troppo piccolo e viene rifratta (e persa per sempre);

• l’onda a

e viene riflessa all’interno del Di riflessione in riflessione, il fascio di onde giunge a destinazione.

Modi ibridi guidati nelle guide aperte non omogenee

il percorso compiuto fin’ora: quando cerchiamo di caratterizzare la propagazione all’interno di una guida circondata da un conduttore (anche se spesso non conviene introdurlo per ragioni di prezzo e di rigidità della struttura) possiamo stare certi che lapropagazione è guidata. Se la guida, invece, è aperta, allora si necessita di risonanza

Il modo TEM è sicuramente guidato: dunque, finché siamo sotto la frequenza di taglio del primo modo superiore, sicuramente la propagazione è guidata.

modi soprataglio sono un problema in quanto sono risulta quindi opportuno alzare la pulsazione di taglio min

ω tramite un rimpicciolimento della

mezzo in cui il campo ha sede è trasversalmente non omogeneo, la determinazione del campo elettromagnetico presenta maggiori difficoltà. Nella maggior parte dei casi di interesse tecnico il mezzo non omogeneo è costituito da più regioni omogenee, aventi pa

diversi, separate da superfici di discontinuità.Esaminiamo, a questo proposito, non omogenea come quella in figura;dielettrico molto denso in una regione limitata dielettrica 1

ε ) e, attorno, N –

materiali con costanti dielettriche via via inferiori (se procediamo in senso antiorario in figura):

• dielettrico 2 2 1ε ε< ;



• … etc… • dielettrico N 1N N

ε ε −< .

Le frecce indicano in realtà la direzione del vettore d’onda e le linee la “passata” direzione di tale vettore.A tal fine, per il campo elettrico ogni c.e.p. funge da cortocircuito, mentre ogni c.m.p. costituisce un aperto.

riflessione totale per imbrigliare un’onda elettromagnetica; in figura vengono mostrate due onde14:

l’onda b ha un angolo d’incidenza troppo piccolo e viene rifratta (e persa per sempre);

a supera l’angolo critico e viene riflessa all’interno del core.

il percorso compiuto fin’ora: quando cerchiamo di caratterizzare la propagazione all’interno di una guida circondata da un conduttore (anche se spesso non conviene introdurlo per ragioni di prezzo e di rigidità della struttura) possiamo stare certi che la propagazione è guidata. Se la guida, invece, è aperta, allora si necessita di risonanza15 per la

Il modo TEM è sicuramente guidato: dunque, finché siamo sotto la zione è guidata.

sono un problema in quanto sono modi radianti: tramite un rimpicciolimento della

mezzo in cui il campo ha sede è trasversalmente non omogeneo, la determinazione del campo elettromagnetico presenta maggiori difficoltà. Nella maggior parte dei casi di interesse

aventi parametri costitutivi separate da superfici di discontinuità.

una struttura generica omogenea come quella in figura; è presente un

in una regione limitata (costante 1 regioni illimitate di

con costanti dielettriche via via inferiori (se procediamo in senso antiorario in figura):

onda e le linee la “passata” direzione di tale vettore. A tal fine, per il campo elettrico ogni c.e.p. funge da cortocircuito, mentre ogni c.m.p. costituisce un aperto.

La sezione trasversale della guida, dicevamo, può essere suddivisa in queste N porzioni omogenee, limitate o illimitate, la generica delle quali (i-esima) avrà parametri costitutivi

( ) ( ) ( ) costante dielettrica , permittività magnetica , costante di fase intrinsecai i i i i

ε µ β ω ε µ= .

Nella struttura appena descritta non avremo sicuramente i modi TEM, ma solo modi ibridi. I modi ibridi16 si propagano in direzione assiale con la solita legge (che va con ze γ− ), ma trasversalmente si comportano in maniera differente da regione a regione (vedremo come). Per trovarli dobbiamo risolvere le ormai familiarissime equazioni di Helmholtz

2 2

2 2

0

0

t z c z

t z c z

H k H

E k E

∇ + =∇ + =

abbinate, questa volta, ad una lunga serie di condizioni al contorno, una per ogni superficie di discontinuità (cioè per ogni zona di confine fra le varie regioni): tali condizioni al contorno sono quelle già esaminate in precedenza, con l’aggiunta di quelle riguardanti l’uguaglianza delle componenti tangenti dei campi e ed h a cavallo delle varie zone.

1

1

1 2

1 2

...

etc...

e e

h h

e e

h h

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

+

+

+ +

+ +

= = =

=

Quel che dovremmo fare, a questo punto, è scrivere tante equazioni di Helmholtz quante sono le regioni tenendo presente tutte le condizioni al contorno appena descritte. Il problema sta nel fatto che, pur rimanendo costante, fra tutte le regioni, ( ) assenza di perditej jγ α β β= + = , abbiamo

bisogno di definire la quantità 2

ck per ogni singola zona. Dunque dobbiamo ricavarci17

( )2 2 2 2 2 2 2regione ci ic i i i

i k γ ω σ ω µ ε β β β∀ = − = − = −

Ebbene, affinché i modi risultino guidati (altrimenti non si riuscirebbe a trasmettere nulla), si deve avere che:

• 2 0cik < i

β β⇒ > nelle regioni i illimitate18;

• 2 0cik > i

β β⇒ < nelle regioni i limitate19.

D’altronde, un’altra condizione per la quale i modi presenti all’interno della zona limitata siano guidati (e cioè trasversalmente confinati), prevede che i campi associati a tali modi debbano decadere esponenzialmente per r → ∞ in tutte le regioni illimitate. Pertanto, se la regione i-esima è illimitata, dev’essere

reale immaginarioci ti ci

jk kα= ⇒

Da qui 2 0cik <

il ché porta immediatamente a sostenere che iβ β> (20).

16 Ricordiamo che i modi ibridi sono quelli né trasversi elettrici, né trasversi magnetici (v. capitolo 1). In strutture del genere i modi sono ibridi perché le condizioni al contorno accoppiano le componenti del campo (non lo dimostriamo). 17 Dal punto di vista pratico, il problema diventa parecchio oneroso. 18 Nella nostra struttura sono le regioni i = 2, 3, …, N. 19 Nella nostra struttura è la sola regione i = 1. 20 Questo è un risultato simile a quello che si trova per le onde piane evanescenti: se la costante di fase in una direzione è superiore a quella intrinseca, in una direzione perpendicolare a quest’ultima l’andamento del campo è attenuato.

Ciò implica anche che, essendo valida la seguente relazione

anche la costante di propagazione trasversale è puramente immaginaria. Ricapitolando, affinché la struttura possa sostenere modi ibregione omogenea, limitata in senso trasversale, in cui l’andamento del campo (sempre in senso trasversale) è di tipo ondulatorio (ovvero la costante di propagazione trasversale è puramente immaginaria); questa regione deve avere lacostituiscono la guida. A questa porzione della nostra strutturaall’insieme delle regioni illimitate in cui il campo si attenua esponenzialmente in senso asintotico sul piano trasversale si dà invece il nome di

Dunque il campo è guidatofianco, con una coquelle pulsazioni

massima costante di fase riscontrabile fra le regioni illimitate

In caso contrario, il modo risulta Se chiamiamo inferiore) per la quale il modo appare guidato o meno

accorgiamo di avere un secondo parametro chiave (oltre a quello della pulsazione di taglio, già esaurientemente esaminato nel capitolo precedente) utile per tracciare la curva di dispersione (v. figura a destra), la quale ha due andamenti diversi in base a se ci troviamo:

( )( ) 1

Mβ ω β

β ω β

<

< min

fra e c

ω ωɶ

oppure

( )( )

β ω β

β ω β

>

< 1

M sopra ωɶ

Dunque, risulta conveniente far crescere di che i modi presenti siano in propagazione guidata.L’utilizzo di un materiale dielettrico ha molti vantaggi rispetto all’uso dei conduttori:

• è molto meno costoso; • è flessibile; • è miniaturizzabile; • può lavorare a frequenze altissime;• vi sono dispersioni e perdite (dovute

soprattutto se paragonate a quelle dei conduttori. 21 È curioso notare che tale auspicio va in direzione opposta rispetto a quello che ci facevamo sempre nel capito1bis), in cui cercavamo di tagliare fuori più modi superiori possibili in modo da riservare tutta l’energia per il modo TEM.

anche che, essendo valida la seguente relazione 2 2

ti cikγ = −

la costante di propagazione trasversale è – sempre all’interno della regione illimitata

Ricapitolando, affinché la struttura possa sostenere modi ibridi guidati, deve esistere almeno una regione omogenea, limitata in senso trasversale, in cui l’andamento del campo (sempre in senso trasversale) è di tipo ondulatorio (ovvero la costante di propagazione trasversale è puramente

deve avere la massima costante intrinseca tra quelle che A questa porzione della nostra struttura si dà il nome di

all’insieme delle regioni illimitate in cui il campo si attenua esponenzialmente in senso asintotico sul piano trasversale si dà invece il nome di rivestimento (cladding).

Dunque il campo è guidato (e avviene la situazione in figura a fianco, con una continua riflessione totale quelle pulsazioni ω tali per cui:

(massima costante di fase riscontrabile fra le regioni illimitate

M

β β ω β

→ < < ←

In caso contrario, il modo risulta radiante. Se chiamiamo ωɶ la pulsazione di discrimine (nelinferiore) per la quale il modo appare guidato o meno

accorgiamo di avere un secondo parametro chiave (oltre a quello della pulsazione di taglio, già esaurientemente esaminato nel capitolo precedente) utile per

ispersione (v. figura a destra), la quale ha due andamenti diversi in base a se

ɶ

Dunque, risulta conveniente far crescere di molto la frequenza di lavoro21, in modo da essere sicuri che i modi presenti siano in propagazione guidata. L’utilizzo di un materiale dielettrico ha molti vantaggi rispetto all’uso dei conduttori:

lavorare a frequenze altissime; vi sono dispersioni e perdite (dovute alla presenza di una conduttività soprattutto se paragonate a quelle dei conduttori.

È curioso notare che tale auspicio va in direzione opposta rispetto a quello che ci facevamo sempre nel capito1bis), in cui cercavamo di tagliare fuori più modi superiori possibili in modo da riservare tutta l’energia per il modo

sempre all’interno della regione illimitata –

ridi guidati, deve esistere almeno una regione omogenea, limitata in senso trasversale, in cui l’andamento del campo (sempre in senso trasversale) è di tipo ondulatorio (ovvero la costante di propagazione trasversale è puramente

massima costante intrinseca tra quelle che si dà il nome di nucleo (core);

all’insieme delle regioni illimitate in cui il campo si attenua esponenzialmente in senso asintotico

(e avviene la situazione in figura a all’interno del core) per

( ) 1

costante di

fase del coreβ β ω β

→ < < ←

la pulsazione di discrimine (nel senso di estremo inferiore) per la quale il modo appare guidato o meno, ci

accorgiamo di avere un secondo parametro chiave (oltre a quello della pulsazione di taglio, già

, in modo da essere sicuri

L’utilizzo di un materiale dielettrico ha molti vantaggi rispetto all’uso dei conduttori:

alla presenza di una conduttività 0c ≠ ) bassissime,

È curioso notare che tale auspicio va in direzione opposta rispetto a quello che ci facevamo sempre nel capitolo 1 (e 1bis), in cui cercavamo di tagliare fuori più modi superiori possibili in modo da riservare tutta l’energia per il modo

2.4 – Ortogonalità dei modi

L’analisi dei campi elettrici e magnetici tramite i modi ci porta spesso a descrivere tali campi non nella loro formulazione “completa” (la famosa sommatoria)

ma, appunto, attraverso i modi che in un certo istante si eccitano all’interno della struttura stessa. Vorremmo quindi avere la capacità di studiare un modo per volta (essendo sicuri che tali modi non si influenzano fra di loro nella propagazione), sia perché spesso alcune soluzioni modali esistono indipendente dalle altre, sia perché sotto tale conequalizzare, modulare e/o demodulare i modi Quest’indipendenza che i modi esercitano l’uno rispetto all’altro viene chiamata vediamo ora sotto quali condizioni se ne può parlare. Consideriamo due modi TE o TM distinti, individuati da due indici interi (che essi siano contemporaneamente eccitati in una data guida. Si indichino con

autovalori dei due modi e con mγ ,

In queste condizioni, la potenza complessa trasportata dalla guida vale

cmn z zP S S

( * e t te h sono le componenti riferite alla sezione trasversale

In regime di onda puramente progressiva si ha:

γ γ γ

γ γ

− − −

− −

= + × + ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ +

+ × ⋅

∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫

1( ) ( ) ( ) d

2

1 1 d d

2 2

1 d

2

cm cn

cnm

t t t t z

S

z z z

t t z t t z

S S

P z P z

z z

t t z

S

P z

P z e e e e S

e e S e e S

e e S

E E H H i

E H i E H i

E H i

m m n n

n m

c m n m n

m m n n

n m

La presenza dei termini incrociati22

γ γ γ− − −× ⋅ × ⋅∫∫ ∫∫

( ) ( )

potenza trasportata dal modo

1 1 d e d

2 2

cnm cmn

z z z

t t z t t z

S S

P z P z

e e S e e SE H i E H in m m n* *n m m n

grazie alla presenza del modo

indica che l’esistenza di un certo modo può influire profondamodi, anche sotto il profilo della potenza

22 Che hanno a tutti gli effetti la struttura formale di una potenza.

e magnetici tramite i modi ci porta spesso a descrivere tali campi non nella loro formulazione “completa” (la famosa sommatoria)

( )1 21

lim , i

nz

k in

i

a x x eγ−

→∞ == ∑e e

ma, appunto, attraverso i modi che in un certo istante si eccitano

Vorremmo quindi avere la un modo per

volta (essendo sicuri che tali modi non si influenzano fra di loro nella

sia perché spesso alcune soluzioni modali esistono indipendente dalle altre, sia perché sotto tale conequalizzare, modulare e/o demodulare i modi in maniera più semplice e immediataQuest’indipendenza che i modi esercitano l’uno rispetto all’altro viene chiamata vediamo ora sotto quali condizioni se ne può parlare.

riamo due modi TE o TM distinti, individuati da due indici interi (che essi siano contemporaneamente eccitati in una data guida. Si indichino con

, nγ le rispettive costanti di propagazione.

In queste condizioni, la potenza complessa trasportata dalla guida vale: **

d d2 2

t tcmn z z

S S

P S S××= =∫ ∫

e he hi i

sono le componenti riferite alla sezione trasversale

In regime di onda puramente progressiva si ha: γ γ γ γ

γγ γ γ

γ γ

− − − −

−− − −

− −

= + × + ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ +

+ × ⋅

∫∫ ∫∫

* *

**

*

( ) ( )

(

( ) ( ) ( ) d

1 1 d d

2 2

d

cm cn

cnm

z z z z

t t t t z

zz z z

t t z t t z

S S

P z P z

z z

t t z

P z

P z e e e e S

e e S e e S

e e S

E E H H i

E H i E H i

E H i

m n m n

m m n n

n m

* *c m n m n

* *m m n n

*n m

γγ −−+ × ⋅∫∫

*

) ( )

1 d

2

cmn

zz

t t z

S

P z

e e SE H im n*m n

22, γ γ γ− − −× ⋅ × ⋅∫∫ ∫∫

*

( ) ( )

potenza trasportata dal modo potenza trasportata

1 1 d e d

2 2

cnm cmn

z z z

t t z t t z

S S

P z P z

n

e e S e e SE H i E H in m m n* *n m m n

dal modo

grazie alla presenza del modo grazie alla presenza del modo m n

indica che l’esistenza di un certo modo può influire profondamente sulle caratteristiche degli altri modi, anche sotto il profilo della potenza23.

Che hanno a tutti gli effetti la struttura formale di una potenza.

e magnetici tramite i modi ci porta spesso a descrivere tali campi non

alcune soluzioni modali esistono indipendente dalle altre, sia perché sotto tale condizioni posso e immediata.

Quest’indipendenza che i modi esercitano l’uno rispetto all’altro viene chiamata ortogonalità:

riamo due modi TE o TM distinti, individuati da due indici interi (m ed n) e si supponga che essi siano contemporaneamente eccitati in una data guida. Si indichino con 2

mk e 2

nk gli

le rispettive costanti di propagazione.

sono le componenti riferite alla sezione trasversale S)

= + × + ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ +

( ) ( ) ( ) d

d dt t z t t z

P z e e e e S

e e S e e SE H i E H i

+ × ⋅

dt t ze e SE H i

γ−× ⋅ × ⋅

*

d e dz

t t z t t ze e S e e SE H i E H in m m n

dal modo

nza del modo

m

m n

mente sulle caratteristiche degli altri

Quello che invece sarebbe desiderabile avere è la seguente equazione

( ) ( )1

N

c cii

P z P z=

=∑

(senza termini “misti” ortogonalità) la quale è verificata se

, P 0 cmn

m n∀ ≠ = (con m e n indici di due modi generici)

Tale eventualità accade24 quando sussiste questa relazione per gli autovalori riferiti ai nostri modi m ed n

2 2

c ck k≠m n ortogonalità

Solo in questo caso i modi hanno interesse applicativo, in quanto veicoli indipendenti di trasporto di potenza (cioè di informazione). È interessante notare che questa condizione coincide con quella per la quale due modi si dicono non degeneri: due modi si dicono non degeneri se, a una data frequenza, hanno diverse costanti di propagazione. Deduciamo immediatamente che si ha:

non degenerazione ⇒

⇐ ortogonalità (25)

Capiamo immediatamente che i modi TEM sono degeneri, visto che hanno tutti quanti lo stesso autovalore: questo significa che è necessario ortogonalizzarli. Come fare? Ripercorriamo la strada battuta fin’ora per sommi capi. Anzitutto si prende la struttura tridimensionale in questione, si verifica che è effettivamente cilindrica e se ne esamina più precisamente la tipologia (è aperta o chiusa? È omogenea?); successivamente si cercano i modi risolvendo le equazioni di Laplace/Helmholtz e si determinano, per ogni modo m, le cm

k , mE , m

H e mγ . Fatto questo si confrontano le varie cm

k : se 2 2, c c

n m k k∀ ≠ ≠m n

allora i modi non sono degeneri e quindi sono ortogonali e si ha

( ) ( )1

N

c cii

P z P z=

=∑

Se siamo più sfortunati, dobbiamo trovare dei parametri alternativi a ma e m

γ (chiamiamoli mb e

mγ ′ ) che ci forniscano una rappresentazione formalmente equivalente, ma con l’aggiunta

dell’ortogonalità tanto agognata. Alla fine di tutto il procedimento avremo quindi:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 1

vecchia rappresentazione (non ortogonale) nuova rappresentazione (ortogonale)

lim , lim ,i i

N Nz z

k i k iN N

i i

a x x e b x x eγ ω γ ω′− −

→∞ →∞= =

= =∑ ∑e e e

2.5 – Eccitazione di una guida e discontinuità

Completando le proprietà di completezza ed ortogonalità degli insiemi di modi delle strutture omogenee si possono dare semplici soluzioni ad alcuni importanti problemi relativi al

23 E questa situazione rappresenta delle insidie profonde: in presenza di perdite, infatti, si può avere il fenomeno di

trasferimento di potenza chiamato conversione di modo (che avviene ad es. se cmnP aumenta molto a scapito di cn

P , che

diminuisce drasticamente - e cioè, in pratica, se il modo n si svuota per alimentare il modo m). 24 Lo si può dimostrare ma non lo faremo. 25 Significa che la non degenerazione è condizione sufficiente, ma no necessaria, per l’ortogonalità tra due modi TE o TM.

comportamento elettromagnetico delle guide d’onda. Un esempio tipico è costituito dalle condizioni di eccitazione della guida, di cui si darà ora un cenno semplificatoSupponiamo che la nostra guida d’onda sia eccitata da un insieme di sorgenti, rappresentato da una rete elettrica monoporta attiva connessa alla guida nella sezione d’imboccper il teorema di equivalenza le sorgenti possono essere descritte mediante le distribuzioni di campo trasversale t

e e th , da esse

generate sul piano z = 0 (27). Si indichino ora con tn

E e tnH le

componenti trasversali delle funzioni relative all’n-simo modo della guida e si supponga che in quest’ultima, di ciascun modo, risulti eccitata la sola componente progressivaGrazie alla completezza dell’insieme dei modi, l’intensità di campo elettrico trasversale in una sezione generica della guida può rappresentarsi nella forma:

Ponendoci in z = 0 abbiamo:

Ora dobbiamo imporre che gli na

di Poynting associato alla generica interazione fra il modo t t z n tn t z n t t z m t t z

n nS S S S

dS a dS a dS a dS× ⋅ = × ⋅ = × ⋅ = × ⋅∑ ∑∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫e H i E H i E H i E H i* * * *m m n m m m

Questa relazione ci consente di ricavare esplicitamente in maniera immedeccitazione (cioè le ampiezze complesse) dei singoli modi:

× ⋅ = × ⋅∫∫ ∫∫ t t z m t t z

S S

e H i E H i

In tale relazione t

e si considera come un dato del problema, in quanto esprime la condizione al

contorno imposta dalla sorgente, mentre

della struttura, determinate sulla base dell’equazione degli autovalorcontorno imposte dalla sezione trasversale della struttura. Il numeratore, cioè

26 Nel senso che non ci si occuperà del problema di determinare

sorgente, la cui risoluzione richiede l’applicazione della teoria dei potenziali.27 Sia in tale piano che su quello che appartiene necessario chiamare in causa tutti i modi. In tutti gli altri punti, dove la struttura è effettivamente cilindrica, si può “sfrondare” e parlare semplicemente di campo elettrico e mag28 Come avviene se, ad esempio, la guida è eccitata al finito e illimitata nel verso positivo dell’asse

comportamento elettromagnetico delle guide d’onda. Un esempio tipico è costituito dalle condizioni di eccitazione della guida, di cui si darà ora un cenno semplificatoSupponiamo che la nostra guida d’onda sia eccitata da un insieme di sorgenti, rappresentato da una rete elettrica monoporta attiva connessa alla guida nella sezione d’imboccper il teorema di equivalenza le sorgenti possono essere descritte mediante le distribuzioni di

, da esse

le

componenti trasversali delle simo modo

della guida e si supponga che in quest’ultima, di ciascun modo, risulti eccitata la sola componente progressiva28.

zza dell’insieme dei modi, l’intensità di campo elettrico trasversale in una sezione generica della guida può rappresentarsi nella forma:

( ) nz

t n tnn

z a eγ−=∑e E

( )t n tnn

z a=∑e E

na “combinino” solo modi ortogonali; calcoliamo quindi il vettore

di Poynting associato alla generica interazione fra il modo m e n:

l'integrale va a zero per ogni , quindi e lasciare gli unici membri che sopravvi

t t z n tn t z n t t z m t t z

n nS S S S

m n

dS a dS a dS a dS

≠

× ⋅ = × ⋅ = × ⋅ = × ⋅∑ ∑∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫e H i E H i E H i E H i* * * *m m n m m m

Questa relazione ci consente di ricavare esplicitamente in maniera immedeccitazione (cioè le ampiezze complesse) dei singoli modi:

=

× ⋅ = × ⋅∫∫ ∫∫

abbiamo detto che in questo caso

t t z m t t z

S S

m n

dS a dSe H i E H i* *m m m

× ⋅=

× ⋅

∫∫

∫∫

t t z

Sm

tm t z

S

dS

adS

e H i

E H i

*m

*m

si considera come un dato del problema, in quanto esprime la condizione al

contorno imposta dalla sorgente, mentre e

tn tnE H sono le funzioni di modo del generico modo

della struttura, determinate sulla base dell’equazione degli autovalorcontorno imposte dalla sezione trasversale della struttura. Il numeratore, cioè

si occuperà del problema di determinare te nella sezione z = 0 sulla base dei dati relativi alla

sorgente, la cui risoluzione richiede l’applicazione della teoria dei potenziali.

Sia in tale piano che su quello che appartiene all’utilizzatore cade la definizione di struttura cilindrica ed è quindi necessario chiamare in causa tutti i modi. In tutti gli altri punti, dove la struttura è effettivamente cilindrica, si può “sfrondare” e parlare semplicemente di campo elettrico e magnetico.

Come avviene se, ad esempio, la guida è eccitata al finito e illimitata nel verso positivo dell’asse

comportamento elettromagnetico delle guide d’onda. Un esempio tipico è costituito dalle condizioni di eccitazione della guida, di cui si darà ora un cenno semplificato26. Supponiamo che la nostra guida d’onda sia eccitata da un insieme di sorgenti, rappresentato da una rete elettrica monoporta attiva connessa alla guida nella sezione d’imbocco (coordinata z = 0); per il teorema di equivalenza le sorgenti possono essere descritte mediante le distribuzioni di

zza dell’insieme dei modi, l’intensità di campo elettrico trasversale in una

“combinino” solo modi ortogonali; calcoliamo quindi il vettore

l'integrale va a zero per ogni , quindi possiamo togliere la sommatoriae lasciare gli unici membri che sopravvivono,

t t z n tn t z n t t z m t t z

S S S S

dS a dS a dS a dS× ⋅ = × ⋅ = × ⋅ = × ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫e H i E H i E H i E H i* * * *m m n m m m

ovvero e t maE

m

Questa relazione ci consente di ricavare esplicitamente in maniera immediata i coefficienti di

si considera come un dato del problema, in quanto esprime la condizione al

sono le funzioni di modo del generico modo

della struttura, determinate sulla base dell’equazione degli autovalori e delle condizioni al contorno imposte dalla sezione trasversale della struttura. Il numeratore, cioè

= 0 sulla base dei dati relativi alla

all’utilizzatore cade la definizione di struttura cilindrica ed è quindi necessario chiamare in causa tutti i modi. In tutti gli altri punti, dove la struttura è effettivamente cilindrica, si può

Come avviene se, ad esempio, la guida è eccitata al finito e illimitata nel verso positivo dell’asse z.

viene detto integrale di ricoprimento

invece, gioca il ruolo di fattore di normalizzazione ed è proporzionale alla potenza complessa trasportata dal modo n-esimo. Gli n

a ora hanno un significato e, per determinarli, ho bisogno appunto di sapere com’è fatta la

rete di alimentazione; il punto chiave sta nel fatto che tali coefficienti costituiscono progetto e, quindi, non qualcosa di aleatorio e misterioso chel’opportunità di amplificare (o, viceversa, di decurtare) alcuni modi, affidando ad essi particolari valori di n

a scelti in sede di progetto: e questo è un modo molto efficace ed elegante di spo

avanti gli indesiderati modi superiori nelle strutture provviste di modo TEM (v. figura sottostante).

2.6 – Discontinuità e problema dell’irraggiamento

Abbiamo visto che nella sezione della sorgente (non verrebbero eccitati nelle ascisse a partire da effetti considerata come cilindrica

presenti tutti i modi e che, di conseguenza, si avrà anche il problema dell’irraggiamento

assiale della struttura cilindrica ha l’effetto di eccitare tutti i modi della struttura necessari a sostituire un insieme completo (ai fini di soddisfare

29 Se si eccitano tutti i modi, si ecciteranno anche quelli radianti.30 Ad esempio la giunzione tra due linee di trasmissione di sezioni trasve

t t z

S

dS× ⋅∫∫e H i*m

integrale di ricoprimento tra il campo delle sorgenti e il modo n-esimo; il denominatore,

tn t z

S

dS× ⋅∫∫E H i*m

invece, gioca il ruolo di fattore di normalizzazione ed è proporzionale alla potenza complessa

ora hanno un significato e, per determinarli, ho bisogno appunto di sapere com’è fatta la

rete di alimentazione; il punto chiave sta nel fatto che tali coefficienti costituiscono e, quindi, non qualcosa di aleatorio e misterioso che va calcolato. Abbiamo

l’opportunità di amplificare (o, viceversa, di decurtare) alcuni modi, affidando ad essi particolari scelti in sede di progetto: e questo è un modo molto efficace ed elegante di spo

avanti gli indesiderati modi superiori nelle strutture provviste di modo TEM (v. figura

Discontinuità e problema dell’irraggiamento

Abbiamo visto che nella sezione della sorgente (z = 0) sono presenti tutti i modi (anche quelli che non verrebbero eccitati nelle ascisse a partire da 0z += , dove la struttura può essere a tutti gli

cilindrica). Questo significa anche che in tale sezione “cripresenti tutti i modi e che, di conseguenza, si avrà anche il problema dell’irraggiamento

Situazioni analoghedescritta si verificano di regola in corrispondenza di tutte le sezioni di discontinuità, cioè di quelle posizioni in cui la geometria della sezione trasversale cambia in maniera bruscaIn via del tutto generale si può affermare cioè chedeviazione da una perfetta invarianza

assiale della struttura cilindrica ha l’effetto di eccitare tutti i modi della struttura necessari a un insieme completo (ai fini di soddisfare le condizioni al contorno); nel caso di

Se si eccitano tutti i modi, si ecciteranno anche quelli radianti. Ad esempio la giunzione tra due linee di trasmissione di sezioni trasversali differenti).

esimo; il denominatore,

invece, gioca il ruolo di fattore di normalizzazione ed è proporzionale alla potenza complessa

ora hanno un significato e, per determinarli, ho bisogno appunto di sapere com’è fatta la

rete di alimentazione; il punto chiave sta nel fatto che tali coefficienti costituiscono specifiche di

va calcolato. Abbiamo di conseguenza l’opportunità di amplificare (o, viceversa, di decurtare) alcuni modi, affidando ad essi particolari

scelti in sede di progetto: e questo è un modo molto efficace ed elegante di spostare in

avanti gli indesiderati modi superiori nelle strutture provviste di modo TEM (v. figura

= 0) sono presenti tutti i modi (anche quelli che , dove la struttura può essere a tutti gli

). Questo significa anche che in tale sezione “critica” sono presenti tutti i modi e che, di conseguenza, si avrà anche il problema dell’irraggiamento29.

analoghe a quella appena descritta si verificano di regola in corrispondenza di tutte le sezioni di discontinuità, cioè di quelle posizioni in cui la geometria della sezione trasversale cambia in maniera brusca30. In via del tutto generale si può affermare cioè che qualunque deviazione da una perfetta invarianza

assiale della struttura cilindrica ha l’effetto di eccitare tutti i modi della struttura necessari a le condizioni al contorno); nel caso di

propagazione multimodale questo dà luogo in genere a trasferimenti di potenza attiva tra i modi in propagazione, fenomeno noto col nome di conversione di modo. Tale fenomeno può dare luogo a distorsione del segnale nel caso in cui lungo la guida si verifichino ripetutamente trasferimenti di potenza tra il modo utilizzato per la trasmissione e altri modi che risultino contemporaneamente in propagazione.

CAPITOLO 3

Strutture cilindriche con conduttori elettrici imperfetti

3.1 – Analisi perturbativa Fin’ora abbiamo utilizzato conduttori perfetti e dielettrici perfetti; in pratica, ci siamo posti nel caso ideale di assenza di perdite. Chiaramente in natura non esistono né gli uni né gli altri1 e ciò rende la situazione molto più complicata perché si rende necessario tenere conto della presenza di campo elettromagnetico all’interno dei conduttori stessi2. Il metodo classico (per strutture ideali) prevedeva che:

1. si scegliesse il mezzo trasmissivo (struttura cilindrica), caratterizzato da dielettrico ideale3 e conduttori perfetti4;

2. si calcolassero i modi i ovvero le quantità , , , , i zi ti zi tiE H iγ ∀E H

3. si considerasse la relazione ( )z

eγ ω−

riguardante la coordinata assiale z. Ciò consisteva nell’analizzare la costante

( ) ( ) ideale

ideale

ideale

0, Im soprataglio

0, Re sottotaglioj

α γγ α ω β ω

β γ= ∈ →

= + → = ∈ →

Introducendo le perdite, la costante

realeγ è sempre maggiore di zero, anche quando la stessa

frequenza di taglio è zero! In particolare si ha:

( ) ( ) ( )

NOTA: perdite nei perdite nei le perdite provocanoconduttori dielettrici cambiamento di fase

reale ideale m d

reale immaginaria

jγ γ α ω α ω β ω= + + + ∆

In questo capitolo rimuoveremo dunque l’ipotesi di assenza di perdite ed applicheremo il cosiddetto metodo perturbativo per l’analisi di strutture reali. Il metodo perturbativo (e il modello qualitativo della propagazione lungo la struttura con conduttori imperfetti), cui ci si atterrà nel seguito, si regge sulle seguenti considerazioni:

1 Ci limitiamo ai buoni conduttori (oro, platino, rame, etc…) e ai buoni dielettrici (aria, terreno, vetronite, teflon, duroid, alluminia, etc…), pur tenendo presente che nessun materiale a priori si pone in una di queste due categorie: si tenga presente che

c ω ε≪ buon dielettrico c ωε≫ buon conduttore

Dunque sceglieremo il materiale che ci interessa esaminando i parametri , ,cε ω . Vale inoltre la relazione:

tan tancδ

ωε= dove δ è l’angolo di perdita

2 Una risoluzione rigorosa del problema in termini analitici in questi casi è assolutamente fuori questione, salvo rare eccezioni di strutture aventi un grado elevato di simmetria, quali strutture piane uniformi e strutture a simmetria di rotazione. Tuttavia, sotto certe ipotesi semplificative, è ugualmente possibile svolgere alcune considerazioni di carattere generale, da cui si può trarre un quadro qualitativo della struttura e una valutazione approssimata al prim’ordine delle costanti di propagazione dei suoi modi. 3 Costante dielettrica 0 rε ε ε= , c = 0. 4 c = +∞ .

1. Se un conduttore ha conducibilità elettrica elevata, il campo elettromagnetico al suo interno è apprezzabilmente diverso da zero solo in uno strato adiacente alla superficie che lo limita, il cui spessore è legato allo spessore di penetrazione. pari a5:

l’interno del conduttore6! 2. Il campo elettromagnetico, salvo che nei

immutato al caso ideale (csuperficie dei conduttori stessi, il quale assume valori piccoli ma finiti. Ciò richiede che

sia piccolo rispetto alle dimensioni reali della zona dielettrica.3. Risulta possibile trascurare la componente assiale, in quanto all’interno dei conduttori reali

vi è praticamente solo propagazione lungo il piano trasversale. Quindi, se indichiamo con s il vettore di propagazione, e lo scindiamo n

si ha

ad es. con un modo TEMdielettrico

La costante di propagazione trasversale del campo nei punti interni ai conduttori è espressa da

Se ora estraiamo la radice di questa quantità otteniamo:1

m mjk

δ+≈ ≈

4. I contorni dei conduttori sul piano trasversale sono curve regolari aventi in ogni punto raggio di curvatura grande rispetto allo spessore di penetrazione

5. Abbiamo detto poco fa che

dielettrica. Non solo: vogliamo che esso sia piccolo anche rispetto allo spessore dei conduttori9.

5 Nella relazione seguente, mµ è la permeabilità magnetica del conduttore reale e 6 È proprio questo fatto a rendere i calcoli molto più complicati: non si può infatti né parlare di uniformità, né di modi TEM, ma soltanto di modi ibridi. 7 Quindi tutto è uguale a ciò che abbiamo detto nel capitolo precedentmodo “classico” senza preoccuparci delle perdite.8 Localmente, all’interno dei conduttori si ha un’onda piana che si propaga in un mezzo omogeneo nella direzione normale al contorno.

Se un conduttore ha conducibilità elettrica elevata, il campo elettromagnetico al suo

o è apprezzabilmente diverso da zero solo in uno strato adiacente alla superficie che lo limita, il cui spessore è legato allo

Quest’ultimo è

mδ

ωµ=

Il fatto che, in una piccola parte del conduttorecampo sia diverso da zeroperpendicolarità del vettore campo elettricorispetto alla superficie del c.e. reale (v. figura). Esiste infatti una componente che va verso

Il campo elettromagnetico, salvo che nei punti interni al conduttor)m

c = +∞ 7, fatta eccezione per il componente di

superficie dei conduttori stessi, il quale assume valori piccoli ma finiti. Ciò richiede che

sia piccolo rispetto alle dimensioni reali della zona dielettrica. Risulta possibile trascurare la componente assiale, in quanto all’interno dei conduttori reali vi è praticamente solo propagazione lungo il piano trasversale. Quindi, se indichiamo con

il vettore di propagazione, e lo scindiamo nelle sue tre componenti cartesiane ortogonali

x y zs s s= + +s i j k

= =

≠ad es. con un modo TEM

0dielettrico

0

x y

z

s s

s conduttore

x z

y z

s s

s s

≫

≫

La costante di propagazione trasversale del campo nei punti interni ai conduttori è

( )2 2

m t m mjk jγ ωµ ε= − ≈

Se ora estraiamo la radice di questa quantità otteniamo: 1

(costante intrinseca del conduttore)m m

m

j σδ+≈ ≈

I contorni dei conduttori sul piano trasversale sono curve regolari aventi in ogni punto raggio di curvatura grande rispetto allo spessore di penetrazione8. Abbiamo detto poco fa che

mδ deve essere piccolo rispetto alle dimensioni reali della zona

dielettrica. Non solo: vogliamo che esso sia piccolo anche rispetto allo spessore dei

è la permeabilità magnetica del conduttore reale e mε la sua costante dielettrica.

È proprio questo fatto a rendere i calcoli molto più complicati: non si può infatti né parlare di uniformità, né di modi

Quindi tutto è uguale a ciò che abbiamo detto nel capitolo precedente: potremo andare a lavorare con i modi in modo “classico” senza preoccuparci delle perdite.

Localmente, all’interno dei conduttori si ha un’onda piana che si propaga in un mezzo omogeneo nella direzione

2

m mcωµ

in una piccola parte del conduttore, il campo sia diverso da zero, dipende dalla non perpendicolarità del vettore campo elettrico rispetto alla superficie del c.e. reale (v. figura).

una componente che va verso

punti interni al conduttore, rimane praticamente , fatta eccezione per il componente di e tangente alla

superficie dei conduttori stessi, il quale assume valori piccoli ma finiti. Ciò richiede che m

δ

Risulta possibile trascurare la componente assiale, in quanto all’interno dei conduttori reali vi è praticamente solo propagazione lungo il piano trasversale. Quindi, se indichiamo con

elle sue tre componenti cartesiane ortogonali

conduttore x z

y z

s s

s sγ σ= ±

La costante di propagazione trasversale del campo nei punti interni ai conduttori è quindi

(costante intrinseca del conduttore)

I contorni dei conduttori sul piano trasversale sono curve regolari aventi in ogni punto

deve essere piccolo rispetto alle dimensioni reali della zona

dielettrica. Non solo: vogliamo che esso sia piccolo anche rispetto allo spessore dei

la sua costante dielettrica.

È proprio questo fatto a rendere i calcoli molto più complicati: non si può infatti né parlare di uniformità, né di modi

e: potremo andare a lavorare con i modi in

Localmente, all’interno dei conduttori si ha un’onda piana che si propaga in un mezzo omogeneo nella direzione

In breve, il campo si propaga: • nel dielettrico con funzioni di modo praticamente immutato rispetto al caso ideale; • in corrispondenza della superficie dei conduttori penetra all’interno secondo la direzione

normale (e con costante di propagazione m

σ ).

Dobbiamo quindi andare ad esaminare cosa succede modo per modo. Si noti che è importante, a tal proposito, che i modi siano ortogonali: se ciò non fosse non sarebbe possibile andare ad occuparci singolarmente di ognuno di essi e, anzi, ogni modo influenzerebbe gli altri in maniera sensibile10. Inoltre, è necessario dare una verosimile rappresentazione delle funzioni11:

( ) ( ) ( )reale ideale m djγ γ α ω α ω β ω= + + + ∆

• ( )mα ω dovuta alla potenza dissipata nei conduttori

• ( )dα ω dovuta alla potenza dissipata nel dielettrico

• ( )β ω∆ dovuta all’accumulo di energia EM nei conduttori12

Riferiamoci alla figura accanto, la quale rappresenta una sezione trasversale di un conduttore:

• P è un punto all’interno del conduttore stesso; • P0 è un punto che si trova sulla superficie del conduttore; • n è il versore normale alla superficie; • τ è il versore tangente alla superficie;

• z è la coordinata della direzione lungo la quale avviene la propagazione (individuata dal versore k );

• stJ è la componente di densità di corrente superficiale relativa al piano trasversale

(sezione) sul quale stiamo lavorando; •

ztJ è la componente di densità di corrente superficiale relativa alla direzione di

propagazione. La densità di corrente superficiale presente nel punto

0P dipende, nel caso ideale, dal

componente13 ( )0Pτh :

( ) ( ) ( ) ( )somma dei due componenti vettoriali

0 0 0 0

s st szP J P J P Pτ= ⋅ + ⋅ = ×J τ k h n

(14)

La presenza di tale densità di corrente genera, sempre in 0P :

• una densità di corrente assiale pari a ( )0 0 0 d d

s szP l J l⋅ =J k

• una densità di corrente trasversale15 pari a ( )0 d d

s stP z J z⋅ =J τ

9 In questo modo, partendo da un qualunque punto di contorno e muovendosi in direzione della normale, si può sempre pervenire a punti interni al conduttore in cui il campo elettromagnetico è praticamente nullo. 10 … rendendo il quadro di insieme impossibile da districare! 11 Sono tutte funzioni che dipendono dalla pulsazione ω (cioè dalla frequenza di lavoro). 12 Oltre all’effetto Joule. 13 Componente del campo magnetico tangente alla superficie del conduttore nel punto P0.

14 Il tutto è anche dovuto al fatto che, per i conduttori elettrici perfetti, vale 0Hzn

∂ =∂

[?].

15 Attraverso un elemento di linea dz preso in direzione assiale.

Quando il generico conduttore ha una conducibilità finita (e quindi non è perfetto), queste correnti16 sono distribuite all’interno del conduttore con densità finita, anziché essere puramente superficiali. Giunti a questo punto, sapendo che con le perdite il campo decade assieme a17

t mjke e eγγ − −− = =n nn

possiamo scrivere18

( ) ( ) ( )1

0 0m m

j

jk

z z ze n e P e e P eδ+−

−≈ =n

n

( ) ( ) ( )1

0 0 m m

j

jk

t t tn P e P eδ+−

−⋅ ≈ ⋅ = ⋅n

ne τ e τ e τ

Se ora ci ricordiamo del fatto che:

cc= ⋅j e (equazione del trasporto)

Possiamo trasformare le due equazioni di prima in modo da ricavare l’espressione esatta delle correnti superficiali19:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

1

0

0

0 0

d d d d d d d1

m m msz s m m

j

z zze n ec

J l P l l c n l c n l e Pj

P eδ δ∞ ∞ +−

= ⋅ = = ≈+∫ ∫

n

J k

( ) ( ) ( ) ( )0

0

0 0

0

1

d d d d d d d1

m m mst s m

j

tt tm

cJ z P z z c n z c nn P e z P

j

δ δ∞ ∞ +−= ⋅ = = ≈ ⋅

+⋅ ⋅∫ ∫

n

e τ e eτJ τ τ

Possiamo a questo punto combinare le due relazioni appena scritte in quanto, lo ricordiamo,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )somma dei due componenti vettoriali 1

0 0 0 0 0 0+

1 1 1m m m m m m

s st sz t z t

c c cP J P J P P e P P

j j j

δ δ δ=

= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≈+ + +

J τ k e τ τ k e

La superficie del conduttore si comporta quindi come una buona parete di impedenza. Ponendo per definizione

1s

m m

jZ

c δ+

≜ (impedenza superficiale del conduttore)

si ha:

( ) ( )0 0

1s t

s

P PZ

≈J e

( ) ( )0 0t s sP Z P≈e J

Ricordando poi che (l’abbiamo scritto non molto tempo fa): ( ) ( )0 0sP Pτ= ×J h n

Possiamo quindi scrivere

( ) ( )0 0 t sP Z Pτ≈ × ⇒e h n ( ) ( )0 0

1t

s

P PZ

τ × ≈h n e

16 Le quali sono legate all’intensità del campo magnetico h e, dunque, restano praticamente immutate per ipotesi. 17 Nota che c’è n al posto del solito k che scrivevamo nei capitoli 1 e 2: tutto però torna se consideriamo che il campo elettrico si propaga nel piano trasversale (sul quale giace n) e non nella direzione assiale (individuata da k). 18 Ricordiamo che

1 (costante di propagazione intrinseca del conduttore)

m m

m

jjk σ

δ+≈ ≈

19 Nelle due relazioni che seguono, l’estremo superiore di integrazione dovrebbe essere mmδ , essendo m un numero

tale che, ad una distanza dalla superficie pari a mmδ , il campo risulti praticamente estinto. Questo fatto autorizza, dal

punto di vista puramente matematico, a porre all’infinito tale estremo, senza che praticamente il valore dell’integrale cambi.

la quale, in virtù delle proprietà del prodotto vettoriale può essere scritta nel seguente modo ( ) ( ) ( )0 0 0t s sP Z P Z Pτ τ× ≈ × × =n e n h n h

( ) ( )0 0t sP Z Pτ× ≈n e h

3.2 – Considerazioni energetiche: potenze attive

La presenza di un campo elettromagnetico all’interno dei conduttori dà luogo ad effetti energetici consistenti in una dissipazione di potenza attiva e in un accumulo di energia elettromagnetica in eccesso rispetto al caso ideale. La potenza attiva dissipata per effetto Joule per unità di lunghezza vale:

2

0 0

1d ( ) d

2 2m

mL s s

S

cP S R P= ⋅ ≈∫∫ ∫

*e e Jℓ

ℓ (20)

(mS è la sezione trasversale dei conduttori)

Se facciamo uso delle relazioni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

0 0

0 1

0 0

m m

m

m m

j

jkj

z z z

j

jk

t t t

e n e P e e P en P e

n P e P e

δδ

δ

+−−+−

+−−

≈ =≈ ⇐

⋅ ≈ ⋅ = ⋅

nn

n

nn

e e

e τ e τ e τ

Possiamo scrivere

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2

0 0 0 0d d d

2 2 2m m m

m m m

j j

m m mL

S S S

c c cP S P P e e S P P e S

δ δ δ+ −− − −

= ⋅ = ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫n n n

* * *e e e e e e

Se ora scomponiamo la superficie

mS nelle sue dimensioni (e quindi “sciogliamo” l’integrale

doppio in due integrali semplici, uno calcolato su ℓ , che è il contorno della regione occupata dai conduttori, e l’altro calcolato sulla direzione normale n) otteniamo:

2

0 0 0 0 0 0

0

d ( ) ( ) d ( ) ( ) d2 4

mm m mL

c cP e n P P P P

δ δ∞ −= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

n* *e e e e

ℓ ℓ

ℓ ℓ

Per quanto riguarda l’energia immagazzinata, si ha che quella di tipo magnetico è molto maggiore rispetto a quella di tipo elettrico:

( ) ( )e mU z U z≪

Essa è inoltre pari a:

*( ) d d4 4

m m

m mm t t

S S

U z S Sµ µ

= ⋅ ≈ ⋅∫∫ ∫∫*h h h h

A questo punto possiamo procedere come nel caso della potenza dissipata: si trova

( ) ( ) ( )2

2*

0 0 0 0 0 0 0 0

0

1 1 1 d ( ) ( ) d d d

4 8 2mm

m m m t t s

m m

U e n P P P P Pc

δµ µ δω δ

∞ −= ⋅ ≅ =∫ ∫ ∫ ∫

n*h h h h J

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ

Quindi, brevemente, abbiamo che:

1

2m L

U Pω

≅

20 Enunciamo la seconda uguaglianza senza dimostrarla.

Dalle equazioni di Maxwell scritte per un solo modo, procedendo come per il calcolo del vettore di Poynting e prendendo la parte reale21, si ottiene

( )

α ω × ⋅ ⋅ = + × ⋅ ∫∫ ∫∫ ∫

ℓ

ℓ

0

potenza potenza complessiva potenzaceduta al conduttoredissipata nel dielettrico(vettore di Poynting)

12 ( )Re d d Re d

2 2 2m

lmld

t tt t

S S

PP z P

S c S* *

*e h e ek e h n

(22)

( )α = +2ld lm

P z P P

Questa legge ha l’aspetto di un principio di conservazione dell’energia. A questo punto possiamo formulare una relazione tra potenza attiva (e da qui l’operatore di parte reale) in una z qualsiasi e nella sezione di alimentazione (z = 0):

( )

* *2

esce questotermine che è la

parte reale di potenza 0 alla coordinata 0

( ) Re d Re d2 2

m m

z

zt t t tz z

S S

eP z

P z S S e

γ

α

−

−

=

× × = ⋅ = ⋅ ⋅ ∫∫ ∫∫e h E H

i i

(23)

2( ) (0) zP z P e α−= Derivando questa espressione rispetto all’ascissa z:

2d d( ) (0)

d d

zP z P ez z

α−=

( )αα α α−= − = − = − +2

( )

d( ) 2 (0) 2 ( )

d

z

ld lm

P z

P z P e P z P Pz

Essendo negativa la derivata, percepiamo che c’è una diminuzione della potenza, dovuta alla somma delle potenze attive

ldP dissipata nel dielettrico e

lmP ceduta alla zona occupata dai

conduttori24. Ecco quindi meglio svelato dove stava il principio di conservazione dell’energia. 21 DIMOSTRAZIONE Equazioni di Maxwell per un solo modo:



t t z t

t t z c t

E j

H j

γ ωµγ ωε

× + × ∇ = →× + × ∇ = − →

k E k H

k H k E

* * * *

* * * * *

moltiplichiamo per

coniughiamo e moltiplichiamo per

t t t t t t z t

t t t c t t t z t

j E

j H

γ ωµγ ωε

→ × = ⋅ − ∇ × ⋅

→ − × = − ∇ × ⋅

H E H k H H H k

E E H k EE E k

(si è fatto pesante uso della proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale) Facendo uso di identità vettoriali e delle



t t c z

t t z

j E

j H

ωεωµ

∇ × = →∇ × = − →

H k

E k

Otteniamo:

( )( )

2* * *

2* *

= +

= +

t z t t z t c z

t z t t t z z

E E j E

H H j H

ωε

ωµ

∇ × ∇ ×

∇ × ∇ ×

H H k

E E k

Ponendo ora * j jγ α β γ α β= + ⇒ − = − + , sottraendo la * * * * *

t t c t t t z tj Hγ ω ε− × = − ∇ × ⋅E H k E E E k

dalla * * *

t t t t t z tj Eγ ωµ× = ⋅ − ∇ × ⋅E H k H H H k

e sfruttando le

( ) ( )2 2* * * * * = + = +t z t t z t c z t z t t t z zE E j E H H j Hωε ωµ∇ × ∇ × ∇ × ∇ ×H H k E E k

Si ha:

( ) ( )* * * *2t t t t z z t

c j H Eα ω µ ε× ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ∇ × −* *E H k E E H H E E E H k

Di questa quantità dobbiamo prendere la sopraccitata parte reale. 22 Omettiamo la dimostrazione per alleggerire l’aspetto matematico. 23 L’uscita del termine esponenziale è dovuta al fatto che siamo passati dai campi tempo continui ai fasori.

Ma questo ha anche un risvolto ancora più interessante: poco fa abbiamo visto che si ha ( )2 ( )

ld lmP z P Pα− = − +

Ma ciò significa anche che

( )α α

α ω += = +

2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

d m

ld lm ld lmP P P P

P z P z P z

E dunque possiamo velocemente calcolare, col bilancio di potenza, la parte reale della costante di propagazione nel caso con perdite! D’altronde, notiamo anche che la forma del principio di conservazione dell’energia viene ereditata anche dalla costante di attenuazione del modo:

dielettrico conduttore

d mα α α= +

Dove:

α ω

α ω

× ×⋅ ⋅ = = × × ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= = × × ⋅ ⋅

∫ ∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

ℓ ℓ

ℓ ℓ* *

0 0

*

Re d Re d

2 2( )

Re d Re d

2 2

d d2 2

( )

Re d Re d2 2

m m

m m

m m

t t t t

m

t t t tz z

S S

S S

d

t t t tz z

S S

S S

c S c S

S S

*

* *

* *

E H e hn n

E H e hi i

E E e e

E H e hi i

Pare evidente, dunque, che tale strumento ha una grande efficacia. 3.3 – Considerazioni energetiche: potenze reattive

Dalle equazioni di Maxwell scritte per un solo modo, procedendo come per il calcolo del vettore di Poynting25 e prendendo la parte immaginaria, si ottiene:

β ω × ⋅ = ∫∫2 ( )Re d

2m

t t

S

S*e hk

( )2 2

*

0

12 d Im d

4 4 2m

t t z t t z

z t t z

S

h eS e hω µ ε

⋅ − ⋅ − = + + + ⋅

∫∫ ∫* *

*h h e e

h e τℓ

ℓ

Dividendo entrambi i membri per

2 × ⋅ ∫∫Re d

2m

t t

S

S*e hk

si ha:

( )

β β

ω µ ε

β

∆

⋅ − ⋅ − + + ⋅ = +

× × ⋅ ⋅

∫∫ ∫

∫∫ ∫∫

ℓ

ℓ

0

2 2

*

0

12 d Im d4 4 2

2Re d 2Re d2 2

m

m m

t t z t t z

z t t zS

t t t t

S S

h eS e h

S S

* *

*

* *

h h e eh e τ

e h e hk k

24 Entrambe per unità di lunghezza. 25 La dimostrazione è la stessa della nota 21.

E quindi:

0

componentecostante di faseaggiuntivache si avrebbe

in un materialeideale

... ...

2 2

S

P Pβ β β= + ∆ = +

∫∫ ∫∫ℓ

Anche questa volta emerge tutta la potenza del metodo perturbativo. 3.4 - Conclusioni

Ecco, per punti, come funziona quindi il metodo perturbativo.

• Si assume la struttura ideale e si calcolano i modi ortogonali. • Se i modi non hanno tutti autovalori distinti [es. i modi TEM hanno tutti ( )id

γ ω σ= ], si

deriva una nuova base di modi ortogonali mediante combinazione lineare della base di partenza.

• Dal bilancio delle potenze attive e reattive si ottiene la correzione alla costante di propagazione utilizzando le funzioni della struttura ideale.

Tale metodo è ingegneristicamente molto furbo, ma fisicamente un po’ scorretto.

4.1 – Generalità e definizione di rete elettrica

Immaginiamo di voler implementare

30 30,5 GHz

(v. figura affianco), grazie ad un frequenza interessata.Sulla carta tutto sembra andare bene; se però provo a far funzionare questo circuito nella realtà, il funzionamento risulta essere completamente sballato.Come mai?Il

solo ed esclusivamente nel caso in cui in realtà avviene eccome! Quindi, mentre per frequenze piccole (alte lunghezze d’onda) possomantenere la “vecchia” rappresentazione mediante i componenti a costanti concentrate, ad alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) devo utilizzare una diversa rappresentazione.È quindi necessario creare uno strumento che caratterizzi queste strutture da vista circuitale e, cosa non meno importante, trovare adeguati strumenti di misura (che non siano a costanti concentrate come voltmetri e amperometriquella della lunghezza d’onda!). Il primo passo per raggiungere questo scopo è quello di definire il concetto di

la k-esima) un piano trasversale arbibocca) della guida k-esima; la sezione trasversale relativo piano di riferimento si chiama S, dai conduttori esterni alle N strutture cilindriche fino alle intersezioni di queste coi piani di bocca si chiama rete elettrica a N porte fisiche. Per ogni porta fisica si hanno poi molte ortogonali che trasportano (in tante parti) il segnale quindi, la porta fisica stessa). In tale struttura, il campo elettrico e magnetico trasversali saranno dunque esprimibili come sovrapposizione

CAPITOLO 4

Reti elettriche

e definizione di rete elettrica

implementare un filtro passa-banda che funzioni nell’intervallo di frequenze 30 30,5 GHz∼ e scegliamo di progettarlo a costanti concentrate(v. figura affianco), grazie ad un risonatore

frequenza interessata. Sulla carta tutto sembra andare bene; se però provo a far funzionare questo circuito nella realtà, il funzionamento risulta essere completamente sballato. Come mai? Il nodo della questione è che questo circuito funzionerebbe bene

solo ed esclusivamente nel caso in cui non vi fosse propagazione all’interno dei componenti, cosa che in realtà avviene eccome! Quindi, mentre per frequenze piccole (alte lunghezze d’onda) possomantenere la “vecchia” rappresentazione mediante i componenti a costanti concentrate, ad alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) devo utilizzare una diversa rappresentazione.È quindi necessario creare uno strumento che caratterizzi queste strutture da vista circuitale e, cosa non meno importante, trovare adeguati strumenti di misura (che non siano a costanti concentrate come voltmetri e amperometri, i quali hanno dimensioni paragonabili a

sso per raggiungere questo scopo è quello di definire il concetto di Si consideri una superficie chiusa della quale agiscono delle sorgenti note (ed eventualmente nulle) e sulla quale le condizioni al contorno imposte al campo elettromagnetico siano 0

t=e o 0

t=h in tutti i punti, salvo che

in un certo numero N di regioni nelle

e/o th sono diversi da zero: attraverso queste

porzioni di superficie la zona racchiusa all’interno è accessibile per mezzo di altrettanto strutture cilindriche chiuse di qualunque natura. Fissato su una di queste generiche (ad esempio

trasversale arbitrario, si assuma questo come piano di riferimento

esima; la sezione trasversale S(k) della k-esima struttura cilindrica che giace sul relativo piano di riferimento si chiama porta fisica. La porzione di spazio delimitata dalla superficie

strutture cilindriche fino alle intersezioni di queste coi piani di porte fisiche.

Per ogni porta fisica si hanno poi molte porte virtuali (o elettriche), rappresentate da tutti i modi ortogonali che trasportano (in tante parti) il segnale attraversante la relativa struttura cilindrica

. In tale struttura, il campo elettrico e magnetico trasversali saranno dunque esprimibili come sovrapposizione di modi della stessa:

che funzioni nell’intervallo di frequenze scegliamo di progettarlo a costanti concentrate

risonatore che funzioni alla

Sulla carta tutto sembra andare bene; se però provo a far funzionare questo circuito nella realtà, il funzionamento risulta

nodo della questione è che questo circuito funzionerebbe bene all’interno dei componenti, cosa che

in realtà avviene eccome! Quindi, mentre per frequenze piccole (alte lunghezze d’onda) posso mantenere la “vecchia” rappresentazione mediante i componenti a costanti concentrate, ad alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) devo utilizzare una diversa rappresentazione. È quindi necessario creare uno strumento che caratterizzi queste strutture da un nuovo punto di vista circuitale e, cosa non meno importante, trovare adeguati strumenti di misura (che non siano

, i quali hanno dimensioni paragonabili a

sso per raggiungere questo scopo è quello di definire il concetto di rete elettrica. Si consideri una superficie chiusa S all’interno

agiscono delle sorgenti note (ed eventualmente nulle) e sulla quale le condizioni al contorno imposte al campo elettromagnetico

in tutti i punti, salvo che

di regioni nelle quali te

sono diversi da zero: attraverso queste

porzioni di superficie la zona racchiusa all’interno è accessibile per mezzo di altrettanto strutture cilindriche chiuse di qualunque

sato su una di queste generiche (ad esempio piano di riferimento (o piano di

esima struttura cilindrica che giace sul . La porzione di spazio delimitata dalla superficie

strutture cilindriche fino alle intersezioni di queste coi piani di

, rappresentate da tutti i modi la relativa struttura cilindrica (e,

. In tale struttura, il campo elettrico e magnetico trasversali saranno

Le funzioni di modo sono sempre definite a meno di un fattore moltiplicativo complesso arbitrario. In seguito, al fine di rimuovere ogni indeterminazione, si farà esclusivamente uso di funzioni di modo normalizzate, per le quali cioè tale costante arbitraria è univocamente fissatatal maniera, le funzioni di modo normalizzate vengono a dipendere soltanto dalle caratteristiche

della guida, e quindi nella rappresentazione data poco fa soltanto le

note a priori3 perché dipendenti dal regime elettrico. Nella figura a destra vediamo un esempio meno generico e più caratterizzato, ovvero quello di una connessione a T di una guida: si vedono tre strutture cilindriche afferire all’interno di un’unica superficie chiusa S (il centro dell’intersezione); ad ogni struttura cilindrica corrisponde una porta fisica con una propria sezione trasversale e dei propri modi. Se

1 Fissando l’origine della coordinata assiale per la struttura cilindrica

assumendo come verso positivo di ( )kz quello diretto dal piano di rifer

anche intensità d’onda incidenti alla porta k

2 Un’implicazione interessante delle reti elettriche è che una qualsiasi onda associata ad una qualunque porta dipende da tutti i modi afferenti alla rete elettrica. 3 Tuttavia gli ( )k

ja potrebbero essere comunque noti visto che rappresentano il modo con il quale viene alimentata la

struttura, aspetto che viene presumibilmente fissato in sede di progetto. Dunque, il problema è trovare i

saranno funzione di tutti gli ( )kja e delle sorgenti presenti nella rete.

( )

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1parte incidente parte riflessa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1parte incidente parte riflessa

kk kk k

j j

kk kk k

j j

Mz zk k k k k

t j tj j tjj

Mz zk k k k k

t j tj j tjj

a e b e

a e b e

γ γ

γ γ

−+ −

=

−+ −

=

= +

= +

∑

∑

e E E

h H H

Le varie quantità sono da leggersi così:

• ( )kS indica una ben precisa porta fisica;

• ( )kn è il versore normale alla porta fisica

(orientato verso la direzione positiva);

• ( )0

kz = è il piano di riferimento della guida

• ( )kja è il coefficiente dell’onda incidente del modo

k-sima porta fisica1,2;

• ( )kjb è il coefficiente dell’onda incidente

j alla k-sima porta fisica1,2;

• ( )kM è il numero di modi presenti alla porta fisica

Le funzioni di modo sono sempre definite a meno di un fattore moltiplicativo complesso seguito, al fine di rimuovere ogni indeterminazione, si farà esclusivamente uso di

per le quali cioè tale costante arbitraria è univocamente fissatatal maniera, le funzioni di modo normalizzate vengono a dipendere soltanto dalle caratteristiche

della guida, e quindi nella rappresentazione data poco fa soltanto le ( )kja

perché dipendenti dal

Nella figura a destra vediamo un esempio meno generico e più

quello di una connessione a T di una guida: si vedono tre strutture cilindriche afferire all’interno di un’unica

(il centro dell’intersezione); ad ogni struttura cilindrica corrisponde una porta fisica con una propria sezione

le e dei propri modi. Se

Fissando l’origine della coordinata assiale per la struttura cilindrica k-esima sul piano di bocca della porta fisica e

quello diretto dal piano di riferimento verso la rete, allora le

k-esima e le ( )kjb intensità d’onda riflesse alla medesima porta.

Un’implicazione interessante delle reti elettriche è che una qualsiasi onda associata ad una qualunque porta dipende da tutti i modi afferenti alla rete elettrica.

potrebbero essere comunque noti visto che rappresentano il modo con il quale viene alimentata la

struttura, aspetto che viene presumibilmente fissato in sede di progetto. Dunque, il problema è trovare i

e delle sorgenti presenti nella rete.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

parte incidente parte riflessa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

parte incidente parte riflessa

k kk kj j

k kk kj j

z zk k k k k

t j tj j tj

z zk k k k k

t j tj j tj

a e b e

a e b e

γ γ

γ γ

+ −

+ −= +

e E E

h H H

ndica una ben precisa porta fisica;

è il versore normale alla porta fisica k-esima

della guida k-esima;

onda incidente del modo j alla

onda incidente riflessa del modo

di modi presenti alla porta fisica k.

Le funzioni di modo sono sempre definite a meno di un fattore moltiplicativo complesso seguito, al fine di rimuovere ogni indeterminazione, si farà esclusivamente uso di

per le quali cioè tale costante arbitraria è univocamente fissata: in tal maniera, le funzioni di modo normalizzate vengono a dipendere soltanto dalle caratteristiche

e ( )kjb sono quantità non

esima sul piano di bocca della porta fisica e

imento verso la rete, allora le ( )kja si chiamano

alla medesima porta. Un’implicazione interessante delle reti elettriche è che una qualsiasi onda associata ad una qualunque porta dipende

potrebbero essere comunque noti visto che rappresentano il modo con il quale viene alimentata la

struttura, aspetto che viene presumibilmente fissato in sede di progetto. Dunque, il problema è trovare i ( )kjb , i quali

facciamo l’ipotesi che questi modi siano ortogonali, avremo – ad ogni porta fisica – una porta elettrica per ognuno di essi. Abbiamo poi delle discontinuità, tutte racchiuse nella superficie S: in quei punti cade la definizione di struttura cilindrica e si eccitano tutti i modi. 4.2 – Analisi della rete elettrica

Si consideri ora una situazione in cui sono note tutte le intensità d’onda incidenti, cioè la componente del campo elettromagnetico che si propaga verso la rete in ciascuna delle strutture cilindriche afferenti alla rete stessa. In queste condizioni il campo elettromagnetico nei punti della rete si può considerare dovuto a due insiemi di sorgenti libere:

• le sorgenti impresse ( ) ( ) elettriche e magnetichei iJ M , che agiscono all’interno della rete;

• un sistema di correnti superficiali localizzate sui piani di bocca, che rappresentano le sorgenti equivalenti ai generatori esterni liberi4 cui si deve l’eccitazione delle onde incidenti. Si ha che essi sono pari a

+ += =

= × = × ∑ ∑( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

k kM Mk k k k k k k k

s j tj s j tjj j

a aM E n J n H

Di conseguenza, non deve destare stupore il fatto che sia possibile esprimere5 una qualunque componente del campo e.m. tramite una combinazione lineare di:

"interne"

, i iJ M

( ) ( )

"esterne"

,k k

s sM J

Vediamo ora come sia lecito, tramite i parametri introdotti fino ad ora, dare della rete una descrizione alle porte, cioè mediante i valori dell’intensità dell’onda anziché tramite l’intera distribuzione del campo elettromagnetico. Tale scopo sembra arduo da realizzare, ma siamo avvantaggiati dal fatto che i nostri fenomeni hanno entità lineare, cosa che ci permette di applicare la sovrapposizione degli effetti6; inoltre, possiamo applicare il teorema di equivalenza per rappresentare il campo elettromagnetico attraverso le correnti elettriche e le correnti magnetiche. Anzitutto introduciamo il vettore delle onde riflesse nel caso di rete elettrica a n porte (ognuna

avente ( )iM modi, ovvero ( )iM porte virtuali associate):

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )1 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

riferiti alla porta 1 riferiti alla porta 2 riferiti alla porta

, , ..., , , , ..., , ..., ..., ..., , , ..., n

n n n

M M M

n

b b b b b b b b b

=

b

Questo vettore ha al suo interno ( )

1

Mi

Ti

N M=

=∑ chiaramente ≥ n (ed è = solo in condizioni di unimodalità)

elementi7.

Introduciamo poi il funzionale vettoriale lineare ( ),j

m kF , il quale dipende da come è fatta la rete

elettrica8 e cioè, più precisamente: • dal modo j sul quale ci stiamo concentrando;

4 Liberi significa che esistono indipendentemente dalla natura e dal comportamento della rete, in quanto imposti dall’esterno. 5 Tramite il teorema di equivalenza, che fra poco verrà citato. 6 In questo modo riusciamo a esprimere il campo entrante/uscente da una porta fisica come sovrapposizione delle relative onde. 7

TN è anche il numero di onde riflesse e di onde incidenti della rete.

8 E anche dalla frequenza di lavoro.

• da quale porta si sta esaminando in un certo istante (parametro m); • dalla porta k, dalla quale proviene l’onda che influisce su m (e sul modo j).

Facciamo poi l’ipotesi che i modi siano ortogonali e che sia stata applicata la normalizzazione convenzionale di cui si parlava qualche pagina fa, ovvero che si abbia:

Onde progressive: ( ) ( )( ) ( )

( )

* 0 se d

1 se k

k k k

tj tj

S

j kS

j k+ +

≠× = =

∫∫ E H n (9)

Onde regressive: ( ) ( )( ) ( )( )( )

* 0 se d

1 se k

k k k

tj tj

S

j kS

j k− −

≠× − = =

∫∫ E H n

Allora la seguente è l’espressione del campo elettrico tangente alla porta fisica m costituito da tutte le onde riflesse “uscenti” da tale porta m:

( ) ( )

funzionale vettorialelineare che dipende

dalla struttura della rete

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1 1

bisogna sovrapporre tutti i modiche formano l'onda riflessa

uscente dalla porta

m kM Mm m m k m k

t j tj j jj j

m

b a− −= =

= =∑ ∑e E F

( )

( )

1questa f

questa quantità dipende dalla strutturadella rete elettrica e dalle onde incidentie tiene conto quindi dei contributi di tutte

le altre porte le sulla porta

, N

m

i ik

k m

G=

+ ∑ J M

unzione ci esplicita il contributodelle correnti elettriche (e magnetiche) presenti all'interno della rete elettrica

(sorgenti impresse e ), ovvero ci dicecome i generatori influscono su una certa

i iJ M

porta

E di conseguenza, per la normalizzazione nuovamente illustrata poco fa, si ha:

( ) ( )( ) ( )( )( )

* 0 se d

1 se k

k k k

tj tj

S

j kS

j k− −

≠× − = =

∫∫ E H n

( )

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( )

1

enunciata poc'anzi

d d

m

m m

Mm m m m m m m m

t tn j tj tn njS S

S b S b− − − −=

× ⋅ − = × ⋅ − = ∑∫∫ ∫∫e H n E H n

Ovvero, esplicitando:

( )

( ) ( ) ( , ) ( )* ( )

1 1l'onda riflessa

dell' -simo mododipende dalle onde incidenti dei modi afferenti a tuttedella porta

le guide/porte fisiche della rete elettrica

d

k

m

N Mm k m k m m

n j j tnk j S

nm

b a S−= =

= × ⋅ − ∑∑ ∫∫F H n

( ) ( )* ( )

e da tutti i generatori liberi interni alla rete

, d

m

m m m

i i tn

S

G S− + × ⋅ − ∫∫ J M H n

Procedendo in maniera analoga, si dimostra che ogni intensità d’onda riflessa è esprimibile come una combinazione lineare di tutte le intensità d’onda incidenti, più un termine noto, che dipende solo dalle correnti impresse. Se chiamiamo a e b i vettori delle intensità d’onda incidenti e riflesse e d quello dei termini noti, si può giungere alla seguente relazione matriciale

= +b Sa d (10) dove:

• b, a e d sono vettori di lunghezza T

N ;

• S è una matrice T

N ×T

N (11) detta matrice di diffusione della rete elettrica. Tale matrice12,

strutturalmente assimilabile ma concettualmente diversa rispetto alle matrici circuitali, è quella di forma canonica delle equazioni che esprimono i vincoli che la rete impone alle grandezze delle porte.

9 Leggasi: il flusso del vettore di Poynting associato a ciascun modo vale 1. 10 S, a, d e b contengono numeri complessi. 11 La rete ha solo N porte fisiche, ma è descritta come rete elettrica a NT porte, perché NT è l’ordine della matrice di diffusione. Dal punto di vista fisico questo non sorprende: ciascun modo, essendo ortogonale agli altri, rappresenta un vincolo indipendente di scambio di potenza e di informazioni tra le rete ed il mondo esterno. 12 Che dipende dalla normalizzazione adottata nel definire le funzioni di modo e dalle posizioni arbitrariamente scelte per i piani di bocca delle porte. Per una stessa rete, quindi, possono esistere più matrici di diffusione.

4.3 - La matrice di diffusione e le sue proprietà

La matrice di diffusione è una scoperta, relativamente recente, di grande potenza per l’analisi delle reti elettriche. Essa è sempre definibile, anche nei casi – per così dire – “classici” dei circuiti a costanti concentrate (e basse frequenze), mentre con i “vecchi” parametri ammettenza/impedenza non saremmo andati molto lontani a frequenze elevate. Facciamo l’ipotesi di sopprimere le correnti impresse (e cioè i generatori liberi) presenti nella rete13. Questo comporta che:

, i iJ M ⇒ 0=d

La nostra relazione diventa quindi: =b Sa

Possiamo dunque scrivere che:

1 11 1 12 2 1...

T TN Nb S a S a S a= + + +

2 21 1 22 2 2...

T TN Nb S a S a S a= + + +

…

1 1 2 2...

T T T T T TN N N N N Nb S a S a S a= + + +

Se ora mettiamo nella matrice S i termini appena scritti otteniamo…

12 1

21 2

1 2

11

22

..

...

...

... ... ...

.

.

..

T

T

T TT T

N

N NN N

NS S

S S

S

S S

S

S

=

S

I termini sulla diagonale principale vengono detti riflettenze; il motivo di questo nome è facile da capire: ogni termine

kkS (con k indicante un preciso modo di una precisa porta, fra gli

TN

possibili modi della nostra rete elettrica) ci dice quanto, del particolare modo individuato da k(14), ritorna (e quindi si riflette) sotto forma dello stesso modo e presso la stessa porta15. Tutti gli altri termini, che regolano lo scambio di energia dei modi fra le varie porte, vengono detti trasmettenze. Supponiamo ora di eccitare la componente progressiva del solo modo j-esimo nella sola guida k-esima, cioè:

( )0

k

ja ≠ ( )0 per o

s

ra r j s k≠ ≠ ≠

Ciò significa andare a vedere che succede nella rete se vi è soltanto quella particolare onda incidente (alla porta fisica k); da dove uscirà questa informazione? Ritornerà indietro, riflettendosi, tutta alla porta k? Oppure verrà trasmessa anche alle altre? Se a tale modo corrispondono il p-esimo elemento del vettore a e il p-esimo elemento del vettore b(16) (e quindi la p-esima porta elettrica), e se all’m-esimo modo della guida l-esima corrispondono i q-esimi elementi dei medesimi vettori (ovvero la q-esima porta virtuale), allora si ottiene:

13 Cioè di fare in modo che, lanciando l’onda regressiva di un qualunque modo che interessa della struttura, tale onda non subisca riflessione all’estremità opposta alla porta fisica della rete. Ciò accade, in particolare, se la guida è di lunghezza infinita. 14 Ci stiamo riferendo alla prima k del pedice di S, cioè alla posizione p (v. nota 16) e al numero della porta elettrica. 15 Questa volta parliamo della seconda k del pedice di S. Per il resto, le considerazioni sono le stesse della nota 14. 16 Perché non il j-esimo, direte voi? Perché i vettori a e b hanno una numerazione differente da quella dei modi di

ciascuna porta. Ad esempio, ecco dove si trova ( ) 0k

jb ≠ (in rosso) nel vettore b

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1

riferiti alla porta 1 riferiti alla porta 2 riferiti alla p

posizi

orta k

one

, , ..., , , , ..., , ..., ..., ..., , ..., , ..., ..., , ..., ..k

p

kk k

M M Mjb b b b bbb b b=b

( ) ( )( )

( )1 2

riferiti alla porta

., ..., , , ..., n

n n n

M

n

b b b

( )

( )

( ) ( )( )

0

notazione che esplicitanotazione che esplicita la posizione , dei modiin maniera chiara all'interno dei vettori e

il modo , e la porta , senza specificare la porta f

i

l

qmqp k

pj a i p

q p

m j l k

bbS

aa= ∀ ≠

= =

a b

( )

isicabensì la porta elettrica!

(17)

Tale parametro Spq indica “quanto” del modo incidente di posizione generica p nelle matrici a e b

va a finire nel modo di posizione q delle stesse matrici18, ovvero quanto della porta elettrica p – in condizione di adattamento – fluisce nella porta elettrica q. Quindi:

• la trasmettenza, che ha le dimensioni di un guadagno19, si determina eccitando il modo q e misurando l’onda riflessa che finisce p. Essa va calcolata una volta che abbiamo creato adattamento, cioè che abbiamo annullato tutte le onde incidenti presso tutte le altre porte elettriche chiudendo queste ultime su carichi che non riflettono alcunché (carichi adattati20);

• la riflettenza è un caso particolare di trasmettenza, calcolato utilizzano una sola porta elettrica; in pratica (sempre dopo aver creato adattamento) si guarda quanto dell’informazione inviata nella porta elettrica p viene riflesso verso la stessa porta.

Se la matrice S è simmetrica (e quindi il mezzo di cui è costituita la rete è reciproco)

12 2111

22

1 1

21 12 2 2

1 1 2 2

...

...

... . .... ...

...

.

T

T T

T

T T

T T T T

N N

N

NN N

N

N N N

S S S S

S S S S

S S S S

S

S

S

= =

= = = = =

S ovvero pq qpS S=

non è necessario calcolarsi tutti gli elementi, ma soltanto quelli21 all’interno del triangolo disegnato sulla soprastante matrice (poi basta “ribaltare”). Per quanto riguarda il significato fisico degli elementi di d, si supponga di non eccitare alcuna onda progressiva nelle strutture afferenti alla rete. Risulterà quindi:

17 Quindi, ad esempio, se

1 12 2b S a=

allora si ha

112

2

bS

a=

Ripetendo le nostre considerazioni, tale parametro S indica “quanto” del modo incidente di posizione 2 nelle matrici a

e b va a finire nel modo di posizione 1 delle stesse matrici. Se 12S era pari ad 1 significava che tutta l’informazione

del modo 2 (entrante) era andata a finire nel modo 1 (uscente). 18 Se p = q si tratta di una riflettenza; altrimenti stiamo lavorando con una trasmettenza. 19 O meglio, il significato di un guadagno, perché il guadagno è adimensionale. 20 Quindi non bisogna pensare, erroneamente, che “isolare” le altre porte significhi chiuderle su un aperto o su un cortocircuito. Noi vogliamo assorbire tutta la potenza, quindi vogliamo adattare (non chiudere, né aprire): un aperto, infatti, avrebbe – eccome! – generato una riflessione. 21 Il numero di elementi in questione è pari a:

2

1 1

( ) ( )T TN N

T T T T T

j j

N N N j N N j= =

− − = − −∑ ∑

invece che a 2

TN .

0=a E quindi avremo:

=b d Gli elementi di d rappresentano pertanto i contributi alle intensità d’onda riflesse generati dalle sorgenti impresse

iJ e

iM .

Se il generico elemento-riflettenza 0ppS = , allora la p-esima porta elettrica si dice adattata. Se tutte

le strutture afferenti alla rete sono adattate alle estremità per tutti i modi che si considerano, una porta adattata non dà luogo a riflessione del modo incidente su di essa. 4.4 – Variazione del piano di riferimento

Spesso conviene spostarci lontano dalla rete elettrica, in modo da tenere a debita distanza le pericolose discontinuità presenti presso la superficie S ove si congiungono tutte le guide d’onda afferenti alla rete. Abbiamo però visto che i parametri della matrice di diffusione, i quali mettono in relazione le onde che si propagano da e per la rete, sono influenzati dalla coordinata z riferita a dove abbiamo posto il piano di bocca: “spostarci lontano” da esso significa voler variare tale ascissa z, cosa che si ripercuote sui termini

ijS ; essi contengono, infatti, le espressioni dei fasori del

campo e.m. viaggianti coi modi (i quali dipendono proprio da z). Fin’ora abbiamo usato quelle riferite alla coordinata z = 0:

( ) ( ) ( )0

, , 0k k

tj tjx y z = =E E

Tuttavia, siccome tutte le guide afferenti alla rete elettrica sono in realtà strutture cilindriche

(almeno fino alle discontinuità che tanto temiamo), possiamo scrivere ( )ktjE in una formulazione

più generica dipendente da z: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0, ,

k k

jzk k

tj tjx y z e

γ−=E E

Non dobbiamo quindi rifare i calcoli daccapo: ci “basta” calcolare le nuove quantità

tE e

tH

postmoltiplicando quelle calcolate nell’ascissa z = 0 (del piano di bocca) per il termine esponenziale contenente il relativo parametro ( )k

jγ .

Vediamo come queste variazioni si ripercuotono sulle relazioni matriciali introdotte nel paragrafo scorso. Chiamiamo:

• ( )0

kz = le ascisse dei vecchi piani di riferimento relazione: b = Sa

• ( )kl− le ascisse dei nuovi piani di riferimento relazione: I I I=b S a

Supponiamo poi che non ci siano perdite e che, dunque jγ β= ± (22)

Questo fa sì che, una volta che per ogni modo siamo a conoscenza della k

γ , sia immediatamente

possibile riscrivere le espressioni degli elementi di a e b:

, conk

k

jI

k kk k kjI

k k

a a el

b b e

ϑ

ϑ ϑ β−

==

=

Ricordando poi che 22 In tal caso si ha solamente una variazione di fase; questo, tuttavia, non risulta essere poi così “innocuo” come può sembrare, perché può comportare diverse variazioni nel comportamento circuitale. Una variazione di fase di π , infatti, può far variare il comportamento da uno di tipo induttivo ad uno di tipo capacito.

q

qp

p

bS

a=

diventa evidente che

2k k

k

k k

jI jq q jI

qp qp qpI j j

p p

b b e eS S S e

a a e e

ϑ ϑϑ

ϑ ϑ

− −−= = = =

In forma matriciale tutto questo diventa ϑ ϑ

ϑ ϑ

−

−

⋅ = ⋅ ⋅

⋱ ⋱

1 10 0

0 0N NT T

j j

I I

j j

e e

e e

b S a

dove 1 10 0

0 0N NT T

j j

j j

e e

e e

ϑ ϑ

ϑ ϑ

− −

− −

= ⋅ ⋅

IS S⋱ ⋱

4.5 – Significato energetico dei coefficienti ( )k

ma e ( ) k

mb

Vogliamo mostrare che i parametri ( )k

ma e ( ) k

mb sono dimensionalmente delle potenze. Anzitutto

ammettiamo di aver stabilito un regime di ortogonalità fra i modi23; dopodiché possiamo intuitivamente (ma a ragione) scrivere che:

( ) ( ) ( )

potenza attiva parte entrante parte uscenteassociata al modo nella rete attraverso dalla rete attraversodella porta fisica il modo alla porta il modo alla porta

k k k

m m m

mk m k m k

P P P+ −= −

Utilizzando l’espressione del vettore di Poynting, e sfruttando le normalizzazioni scelte

onde progressive: ( ) ( )( ) ( )

( )

* 0 se d

1 se k

k k k

tj tj

S

j kS

j k+ +

≠× = =

∫∫ E H n

onde regressive: ( ) ( )( ) ( )( )( )

* 0 se d

1 se k

k k k

tj tj

S

j kS

j k− −

≠× − = =

∫∫ E H n

si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

escplicitiamo le formule in funzione di

*( ) ( ) ( )*1 1 d d

2 2

k k k kk km m

z

k kj z j zk k k

m tm tm tm tm

S S

P z z S e e Sβ β− +

+ + + + + = × ⋅ = × ⋅ = ∫ ∫e h n e h n

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2( )

2* * ( )

1 normalizzazione

1 1 d d

2 2 2

k ktm tm

k k k kk km m

k

mk k k kj z j zk k k

m tm m tm tm tm m

S S

aa e a e S S a

β β

+ +

− ++ + + +

=

= × ⋅ = × ⋅ = ∫ ∫

e h

E H n E H n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

esplicitiamo le formule in funzione di

*( ) ( ) ( )*1 1 d d

2 2

k k k kk km m

z

k kj z j zk k k

m tm tm tm tm

S S

P z z S e e Sβ β+ −

− − − − − = × ⋅ − = × ⋅ − = ∫ ∫e h n e h n

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2( )

2* * ( )

1 normalizzazione

1 1 d d

2 2 2

k ktm tm

k k k kk km m

k

mk k k kj z j zk k k

m tm m tm tm tm m

S S

bb e b e S S b

β β

− −

+ −− − − −

=

= × ⋅ − = × ⋅ − = ∫ ∫

e h

E H n E H n

23 Non vogliamo avere a che fare con conversioni di modo, né abbiamo intenzione di calcolarci tutti i termini misti fra le potenze dei vari modi.

Dunque:

2 2( ) ( ) ( )

potenza potenzadisponibile riflessa

1

2

k k k

m m mP a b

= −

La dimensione di ( )k

ma e ( )k

mb è W , dunque

2 2( ) ( )e k k

m ma b si misurano in W (potenze).

In una rete passiva, in cui si ha

=b Sa e d = 0 in assenza di effetti dissipativi, si ha la conservazione della potenza, ovvero:

P+ = P− potenza totale che entra nella rete = potenza totale che esce dalla rete

In termini di onde incidenti e riflesse questo significa che, facendo un bilancio energetico dell’intera rete elettrica che tenga conto di quel che accade in tutte le

TN porte virtuali, si ha:

P− = 2

1

TN

qq

b=∑ =

2

1

TN

pp

a=∑ = P+

Dunque la rete semplicemente “ricombina” le energie, senza assorbirne neanche un po’. Se, invece, la rete è sottoposta a perdite, si ha

P P+ −>

e viene dissipato quindi il termine che manca da P− per ristabilire l’uguaglianza (che si ha in

assenza di perdite) con la potenza entrante24. 4.6 – Parametri S in una rete priva di perdite

In una rete senza perdite si ha questa relazione fra i componenti dei vettori a e b(25):

* *

1

( ) 0TN

p p p pp

a a b b=

− =∑

In forma matriciale, questa diventa: T T− =* *a a b b 0

1 1

* *

1 1... ... ... ... 0

T T

T T

N N

N N

a b

a a b b

a b

⋅ − ⋅ =

T* T*a a b b

⋮ ⋮

⋮ ⋮

Sfruttando le relazioni: T* T* T*e anche= =b Sa b a S

Si ha: T T− =* *a a b b 0 T T* T*− =*a a a S Sa 0

24 Questo implica anche che i parametri di S non possono essere progettati a piacimento: bisogna che essi sottostiano al principio di conservazione dell’energia. Il numero di parametri indipendenti, all’interno di S, è infatti

1( 1)

2T T

N N + su 2

TN

25 Ricordiamo che tali elementi sono complessi, quindi ha senso coniugarli.

Ora raccogliamo, stando attenti a non violare le proprietà delle moltiplicazioni fra matrici

Dunque, in assenza di perdite, si deve avere:

Questo fissa un netto legame fra gli elementi L’ultima relazione scritta si traduce infatti nelle due seguenti condizioni scalarisolo per le reti passive, che hanno cioè

1)

In questa relazione è nascosto il principio di conservazione dell’energia: in pratica ci viene detto che, se entra 1 W attraverso una porta elettritutto quello che fuoriuscirà dalla nostra rete (attraverso tutte le porte elettriche) sarà ancora pari ad 1 (v. figura). La rete, dunque, non crea (né dissipa energia) ma semplicemente la ridistribuisce.

2) ∑

, stando attenti a non violare le proprietà delle moltiplicazioni fra matrici

( )T T*− =*a I S S a 0

Dunque, in assenza di perdite, si deve avere: T*− =I S S 0

T*=I S S Questo fissa un netto legame fra gli elementi delle varie colonne della matrice di diffusione. L’ultima relazione scritta si traduce infatti nelle due seguenti condizioni scalari

, che hanno cioè d = 0):

1) 2

1

1 1,TN

qi Tq

S i N=

= ∀ =∑

+ + + =2 2

1 2... 1

Ti i N iS S S

(gli elementi delle varie colonne prese singolarmente, se sommati, sono pari ad 1)

In questa relazione è nascosto il principio di conservazione dell’energia: in pratica ci viene detto che, se entra 1 W attraverso una porta elettrica della nostra rete passiva, allora la somma di tutto quello che fuoriuscirà dalla nostra rete (attraverso tutte le porte elettriche) sarà ancora pari ad 1 (v. figura). La rete, dunque, non crea (né dissipa energia) ma semplicemente la ridistribuisce.

*

1

0 1, e TN

qi qm Tq

S S i N i m=

= ∀ = ≠∑

, stando attenti a non violare le proprietà delle moltiplicazioni fra matrici:

delle varie colonne della matrice di diffusione. L’ultima relazione scritta si traduce infatti nelle due seguenti condizioni scalari (valide sempre e

1 1,qi TS i N

+ + + =2

... 1i i N i

i elementi delle varie colonne prese singolarmente, se sommati, sono pari ad 1)

In questa relazione è nascosto il principio di conservazione dell’energia: in pratica ci viene detto che, se entra 1 W attraverso

ca della nostra rete passiva, allora la somma di tutto quello che fuoriuscirà dalla nostra rete (attraverso tutte le porte elettriche) sarà ancora pari ad 1 (v. figura). La rete, dunque, non crea (né dissipa energia) ma semplicemente la ridistribuisce.

CAPITOLO 5

Linee di trasmissione

5.1 – Generalità

Le linee di trasmissione sono strutture cilindriche aperte o chiuse che contengono più conduttori (e quindi se il mezzo è omogeneo possono reggere il modo TEM, come diremo fra poco). Sono molto diffuse per la trasmissione di segnali a basse e medie frequenze; inoltre, nei circuiti integrati a microonde, sono utilizzate per realizzare circuiti a costanti distribuite. Una prima distinzione fra le varie linee di trasmissione coinvolge:

• linee TEM1: quando il mezzo sede del campo è omogeneo; • linee quasi-TEM: quando il mezzo sede del campo non è omogeneo .

Qualche esempo di linea di trasmissione (che analizzeremo meglio): • il cavo coassiale, formato da 2 conduttori e avente mezzo omogeneo2. Il cavo

coassiale ha al suo centro un singolo conduttore di rame (detto anima); un dielettrico (generalmente in polietilene o PTFE) garantisce l'isolamento tra il centro del conduttore ed uno schermo di metallo intrecciato (maglia). Lo schermo di metallo aiuta a bloccare le interferenze. Il segnale viaggia come campo elettromagnetico tra l'anima e la maglia;

• la stripline, linea di trasmissione TEM che consiste in una striscia conduttiva posta tra due piatti paralleli che hanno la funzione di piani di massa. La striscia può essere sufficientemente rigida da essere sospesa in aria o può essere "compressa" tra due strati di dielettrico. Questo tipo di linea di trasmissione è più difficile da fabbricare, ma offre alcuni vantaggi per applicazioni speciali, cioè per realizzare filtri e accoppiatori;

• la microstriscia (“sbilanciata”), che può essere fabbricata usando la tecnologia per i circuiti stampati (PCB) e che è spesso utilizzata per i circuiti a microonde. Consiste in una striscia di conduttore separata dal conduttore di massa (cioè quello freddo) da un substrato dielettrico. Viene utilizzata per antenne, filtri, divisori di potenza ed è un componente economico, leggero e molto compatto; i suoi punti deboli sono tuttavia l’incapacità di convogliare segnali ad alta potenza e le notevoli perdite. Inoltre, le microstrisce non sono schermate e possono irraggiare o dare adito a fenomeni di cross-talking;

• la guida coplanare (“bilanciata”), che è simile alla microstriscia, solo che questa volta il conduttore caldo è circondato sullo stesso piano da due conduttori freddi (collegati quindi a massa). Permane, rispetto alla microstriscia, un substrato di dielettrico che sorregge sia il conduttore caldo che i due conduttori di massa che lo affiancano.

1 Se la propagazione è di tipo TEM sappiamo che i campi Et e Ht sono statici e quindi si ha:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1, , ,

t t tE P t E P t t E P P t= ≠ = ≠

2 Detto questo, chiaramente capiamo che si tratta di una linea TEM.

Uno dei quesiti che ci porremo in questo capitolo è il seguente: è possibile dare una rappresentazione circuitale della sezione trasversale delle nostre linee di trasmissione? In direzione assiale, lo sappiamo già, non possiamo farlo, perché abbiamo propagazionpossono delineare le proprietà della sezione trasversale in termini di tensioni e di correnti?

Scopriremo che ciò è possibile solo se:diametro della sezione trasversale

Inoltre, i modi oltre quello TEM devono necessariamente essere sottotaglio. 5.2 – Descrizione circuitale della propagazione TEM

Nel caso delle linee di trasmissione ci troviamo in generale rispetto a quello studiato nei capitoli 1 e modo TEM, non possiamo semplicemente dire che si ha

perché non abbiamo soltanto l’onda progressiva, bensì anche quella regressiva Siano ora

dal generatore (A+ ); esse possono essere trova

causa le condizioni al contorno

Si ha infatti, ricordando le equazioni di Maxwell:

e

h k

(cosicché 0t t

∇ × =E e t t= −∇ ΦE ) possiamo affermare che

3 In molti casi pratici è costituito da uno schermo che circonda tutti gli altri conduttori o da un piano metallico molto esteso posto a massa. 4 Nel caso m = 1 (linea di trasmissione ordinaria

soltanto della sua geometria.

ei quesiti che ci porremo in questo capitolo è il seguente: è possibile dare una rappresentazione circuitale della sezione trasversale delle nostre linee di trasmissione? In direzione assiale, lo sappiamo già, non possiamo farlo, perché abbiamo propagazion

le proprietà della sezione trasversale in termini di tensioni e di correnti?

( )( )

?? z

z⇔

Ie

h V

Scopriremo che ciò è possibile solo se: diametro della sezione trasversale σ λ≪ lunghezza d’on

Inoltre, i modi oltre quello TEM devono necessariamente essere sottotaglio.

Descrizione circuitale della propagazione TEM

caso delle linee di trasmissione ci troviamo in generale rispetto a quello studiato nei capitoli 1 e modo TEM, non possiamo semplicemente dire che si ha

γ σ= ± perché non abbiamo soltanto l’onda progressiva, bensì anche quella regressiva (v. figura).

ora A− e A+ le costanti complesse che dipendono dal carico (

); esse possono essere trovate conoscendo il potenziale scalare

cost sui c. e. p.

0 sui c. m. p.n

Φ =∂Φ =∂

Si ha infatti, ricordando le equazioni di Maxwell:

( )( )1

z z

t t

z z

t t

A e A e

A e A e

σ σ

σ σ

η

− ++ −

− ++ −

= − + ∇ Φ

= − − × ∇ Φ

e

h k

Osserviamo ora la figura a sinistra: il conduttore di pedice 0, che ha tutti i suoi punti a potenziale nullo, si dice conduttore di riferimento

Il sistema di m+1 conduttori (dei quali soltanto due sono raffigurati) in esame, una volta fissato il conduttore di riferimento, si dice trasmissione a m fili4. Poiché il campo elettromagnetico è nullo all’interno dei conduttorassiale del campo magnetico è nulla ovunque

= −∇ Φ ) possiamo affermare che l’integrale

to da uno schermo che circonda tutti gli altri conduttori o da un piano metallico molto esteso posto a

ordinaria) il potenziale risulta indipendente dal regime elettrico della linea ed è funzione

ei quesiti che ci porremo in questo capitolo è il seguente: è possibile dare una rappresentazione circuitale della sezione trasversale delle nostre linee di trasmissione? In direzione assiale, lo sappiamo già, non possiamo farlo, perché abbiamo propagazione. E poi: si

le proprietà della sezione trasversale in termini di tensioni e di correnti?

lunghezza d’onda

Inoltre, i modi oltre quello TEM devono necessariamente essere sottotaglio.

caso delle linee di trasmissione ci troviamo in uno scenario più generale rispetto a quello studiato nei capitoli 1 e 2: quando parliamo di modo TEM, non possiamo semplicemente dire che si ha

perché non abbiamo soltanto l’onda progressiva, bensì anche quella

le costanti complesse che dipendono dal carico ( A− ) e

e conoscendo il potenziale scalare Φ e tirando in

Osserviamo ora la figura a sinistra: il conduttore i suoi punti a potenziale

conduttore di riferimento (o di terra)3. 1 conduttori (dei quali soltanto

due sono raffigurati) in esame, una volta fissato il conduttore di riferimento, si dice linea di

Poiché il campo elettromagnetico è nullo all’interno dei conduttori e la componente assiale del campo magnetico è nulla ovunque

to da uno schermo che circonda tutti gli altri conduttori o da un piano metallico molto esteso posto a

) il potenziale risulta indipendente dal regime elettrico della linea ed è funzione

0

d

ii

P

t

PL

⋅∫ e τ ℓ

(τ è il versore tangente alla linea iL )

è indipendente dalla scelta di iP e 0

P (la cui posizione poteva essere scelta a piacere all’interno dei

rispettivi conduttori, dato che la parte di integrale associata alla porzione di iL all’interno dei

conduttori non dà contributo) e della linea iL ( 0

t t∇ × =E ci suggerisce che il campo è

conservativo, cioè irrotazionale). Di conseguenza tale integrale dipende unicamente dall’ascissa z nonché dal pedice i. Infatti, considerate le due diverse linee, i

L e iL′ , che congiungono i due

conduttori in figura, si può scrivere:

( )′

′ Λ′

⋅ − ⋅ = ∇ Φ ⋅ = ∇ × ∇ Φ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫∫ℓ ℓ ℓ0 0 Stokes

funzionedella sola

d d ( ) d d 0

i ii i

P P

t t t t t

P P SL Lz

f z f z Se τ e τ τ n

( Λ è la linea chiusa che unisce tutti i percorsi disegnati in figura; S è la superficie chiusa individuata da tale linea chiusa)

Il che vuol dire, in pratica: 0 0

d d

i ii i

P P

t t

P PL L

′

′′

⋅ ≡ ⋅∫ ∫e τ e τℓ ℓ

(non dipendenza da iP e 0

P e dal percorso)

L’integrale

( )iV z =

0

d

ii

P

t

PL

⋅∫ e τ ℓ

rappresenta dunque la tensione sul conduttore i-esimo rispetto al conduttore di riferimento (pedice 0) sul piano trasversale considerato (e raffigurato nella pagina scorsa). Sostituendo:

( )z z

t tA e A eσ σ− +

+ −= − + ∇ Φe

Si ha:

( ) ( ) ( )( ) ( )0

d

ii

P

z z z z z z

i t i i

PL

V z A e A e A e A e A e A eσ σ σ σ σ σ− + − + − ++ − + − + −= − + ∇ Φ ⋅ = − + −Φ = + Φ∫ τ ℓ

Ponendo allora:

i iV A+ += Φ

i iV A− −= Φ

(compare il pedice i perché chiaramente ogni conduttore ha un suo potenziale rispetto al conduttore 0 di riferimento)

Si ha ( )i

V z = z z

i iV e V eσ σ− ++ −+

dove e i iV V+ − hanno il significato di fasore rispettivamente della componente progressiva e

regressiva della tensione del conduttore i-esimo rispetto a massa. Per ogni ascissa z posso quindi definire un vettore delle tensioni:

( )( )

( )

( )( )

( )

1

2

tensione tra conduttore 1 e conduttore di riferimento 0

tensione tra conduttore 2 e conduttore di riferimento 0

tensione tra conduttore e conduttore di riferimento 0m

V z

V z

V z m

←

← = ←

V⋮ ⋮

Facciamo ora un ragionamento analogo, ma per le correnti.Sulle superfici dei conduttori scorrono correnti assiali le cui densità lineari possono calcolarsi tramite le ben note condizioni al contorno relative ai conduttori elettrici perfetti. Si noti che queste

figura), bensì dipende dall’ascissa Si ha infatti:

funzione

della sola

d d ( ) d d d 0

i i i i

t t t t e t

l l l l S

l l g z l l g z S′ ′

⋅ − ⋅ = ∇ Φ ⋅ + ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫h τ h τ n n

deriva dal segno meno (che ora è diventato +)

(S è la superficie chiusa racchiusa dalla linea chiusaDunque abbiamo appena dimostrato

rappresenta davvero una corrente.

h k

sostituiamo e otteniamo: 1 1

( ) ( ) d ( ) dz z z z

i t tI z A e A e l A e A e lσ σ σ σ

η η− + − +

+ − + −= − − −∇ Φ ⋅ × = − ∇ Φ ⋅

Se ora prendiamo l’espressione del potenziale

mettiamo in evidenza la dipendenza dadall’alimentazione, possiamo formulare

( )potenziale in direzione la gometria e le

trasversale della sezione trasversale

1 2 1 2, ,x x F x xΦ = Φ

Facciamo ora in modo che le funzioni

essere definite sul piano trasversale, soddisfino le seguenti condizioni al contornogenerico conduttore:

2 0 (Laplace)

1 sul contorno del conduttore

0 sul contorno degli altri conduttor

t j

j

j

F

F j

F i j

∇ =

= = ≠

Assegnando questi valori6, abbiamo introdotto una l’espressione del potenziale ( 1 2

,x xΦ

5 Volevo fare un gioco di parole, chiedo perdono.

Facciamo ora un ragionamento analogo, ma per le correnti. scorrono correnti assiali le cui densità lineari possono calcolarsi

en note condizioni al contorno relative ai conduttori elettrici perfetti. Si noti che queste sono le uniche correnti assiali, dal momento che al’interno dei conduttori non c’è campo e quindi neanche corrente, e all’esterno è nulla la componente assiale delLa corrente totale trasportata dal conduttore generico può ottenersi dalla legge di circuitazione:

( ) d

i

i t

l

I z l= ⋅∫ h τ

Come abbiamo già fatto per le tensioni, mostriamo che questo integrale non dipende dalla scelta del percorso chi

, bensì dipende dall’ascissa z. salta fuori dal prodotto vettoriale

(Stokes

funzionedella sola

d d ( ) d d d 0

i i i i

t t t t e t

l l l l Sz

l l g z l l g z S′ ′

⋅ − ⋅ = ∇ Φ ⋅ + ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫τ h τ n n

(che ora è diventato +): è pari a ‒n

ficie chiusa racchiusa dalla linea chiusa5 scelta)Dunque abbiamo appena dimostrato

( ) d

i

i t

l

I z l= ⋅∫ h τ

Ricordando ora che

( )1 z z

t tA e A eσ σ

η− +

+ −= − − × ∇ Φh k

( )il segno scappa fuori per

la proprietà anticommutativadel prodotto vettoriale

1 1( ) ( ) d ( ) d

i i

z z z z

i t t

l l

I z A e A e l A e A e lσ σ σ σ

η η− + − +

+ − + −

−

= − − −∇ Φ ⋅ × = − ∇ Φ ⋅∫ ∫k τ n

iamo l’espressione del potenziale Φ in un generico punto avente coordinate

mettiamo in evidenza la dipendenza dalle caratteristiche geometriche ed eformulare questa espressione:

) ( )

numero diconduttori

caldi

parte riguardantepotenziale in direzione la gometria e le caratteristiche parte dipendente

trasversale della sezione trasversale dall'alimentazione

1 2 1 21

, ,m

j jj

x x F x x=

Φ = Φ∑

Facciamo ora in modo che le funzioni ( )1 2,

jF x x , che devono soddisfare l’equazione di Laplace e

essere definite sul piano trasversale, soddisfino le seguenti condizioni al contorno

0 (Laplace)


0 sul contorno degli altri conduttori

F j

F i j= ≠

1, 2, ..., j m=

, abbiamo introdotto una normalizzazione. Ora )1 2

,x x per ogni conduttore:

Volevo fare un gioco di parole, chiedo perdono.

scorrono correnti assiali le cui densità lineari possono calcolarsi en note condizioni al contorno relative ai conduttori elettrici perfetti. Si noti che queste

sono le uniche correnti assiali, dal momento che al’interno dei conduttori non c’è campo e quindi neanche corrente, e all’esterno è nulla la componente assiale del campo elettrico. La corrente totale trasportata dal conduttore generico può

dI z l

Come abbiamo già fatto per le tensioni, mostriamo che questo integrale non dipende dalla scelta del percorso chiuso i

l (v.

salta fuori dal prodotto vettoriale ×k τ

) 2

0 !!

d d ( ) d d d 0t t t t e t

l l l l S

l l g z l l g z S

=

⋅ − ⋅ = ∇ Φ ⋅ + ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

scelta)

( ) ( ) d ( ) d

i i

z z z z

i t t

l l

I z A e A e l A e A e lσ σ σ σ− + − ++ − + −= − − −∇ Φ ⋅ × = − ∇ Φ ⋅∫ ∫τ n

in un generico punto avente coordinate ( )1 2,x x e

caratteristiche geometriche ed elettriche e

parte dipendentedall'alimentazione

, che devono soddisfare l’equazione di Laplace e

essere definite sul piano trasversale, soddisfino le seguenti condizioni al contorno per ogni

1, 2, ..., j m

Ora possiamo conoscere

( )( )( )

( )

2

1 2

1 2 1 1 2

1 2 2 1 2

1 2 1 2

, 0 (Laplace)

, per le , conduttore 1

, per le , conduttore 2

, per le , conduttore

t

m

x x

x x x x

x x x x

x x x x m

∇ Φ =

Φ = Φ ∈

Φ = Φ ∈Φ = Φ ∈

⋮

(7)

Fatte queste precisazioni sul potenziale, la nostra 1

( ) ( ) d

i

z z

i t

l

I z A e A e lσ σ

η− +

+ −= − ∇ Φ ⋅∫ n

diventa

1

1( ) ( ) d

i

mz z

i t j jjl

I z A e A e F lσ σ

η− +

+ −=

= − ∇ Φ ⋅

∑∫ n

Ricombinando i termini:

1

1( ) ( ) d

i

mz z

i t j j

j l

I z A e A e F lσ σ

η− +

+ −=

= − ∇ ⋅ Φ

∑ ∫ n

Moltiplicando e dividendo per ε (8):

1

1( ) ( ) d

i

mz z

i j t j

j l

I z A e A e F lσ σ εεη

− ++ −

=

= − Φ ∇ ⋅

∑ ∫ n

Se per definizione poniamo: d

i

t j ij

l

F l Cε ∇ ⋅∫ n ≜

Si ha:

1

1( ) ( )

mz z

i j ijj

I z A e A e Cσ σ

εη− +

+ −=

= − Φ∑

5.3 – La matrice capacità

Per comprendere il significato dei parametri ij

C si consideri una

situazione statica in cui il conduttore j-esimo sia mantenuto al potenziale costante di 1 V, mentre i rimanenti siano a potenziale zero

(v. figura). In queste condizioni non si hanno componenti assiali del campo elettrostatico, mentre la distribuzione del campo trasversale, identica su ogni piano perpendicolare all’asse, è descritta dal potenziale adimensionale j

F definito, come abbiamo visto, da 2 0 (Laplace)

1 per il conduttore

0 per gli altri conduttori

t j

j

j

F

F j

F i j

∇ =

= = ≠

1, 2, ..., j m=

6 In pratica, trovandoci sul conduttore j, abbiamo azzerato tutti i potenziali tranne quelli di tale conduttore j. Se siamo sul

conduttore 1, quindi, avremo semplicemente 1Φ , e tutti gli altri termini 22

F Φ , 33

F Φ , etc…. sono tutti azzerati.

7 Da qui pare ancora più evidente che le funzioni F dipendono soltanto dalla geometria della struttura: bisogna infatti vedere dove si estendono i conduttori, che forma hanno e che spazio occupano nella sezione trasversale per poter avere l’espressione completa di ( )1 2,x xΦ . Nel sistema appena mostrato, il potenziale ha un diverso valore, dipendente dall’alimentazione, in base a in quale

conduttore ci troviamo (ovvero dove ci troviamo - e il dove dipende chiaramente dalla forma). 8 Questa costante ci permetterà di distinguere fra casi TEM e casi non-TEM: nel caso TEM, infatti, è costante e possiamo portarla fuori dall’integrale.

Il campo elettrostatico trasversale è cioè 1V

t t jF= −∇ ⋅e (9)

È allora evidente per il teorema di Gauss 1V

Teorema di Gauss

1V d

t j

i

F

ij ij

t j t

l

C C qF l

ε ε ε

−∇ ⋅⋅

∇ ⋅ ⇒ − ≡∫ n e≜ ≜

che 1VijC ⋅ rappresenta la carica per unità di lunghezza posseduta dal conduttore i-esimo nella

situazione considerata (cioè quando tutti i conduttori sono azzerati tranne il conduttore j-esimo, che sta a 1 V). Poiché poi il solo conduttore j-esimo è a potenziale positivo, e gli altri a potenziale nullo, si avrà:

0jj

C >

(cioè il conduttore j-esimo ha carica positiva quando è l’unico ad essere messo a 1 V)

0ijC ≤ ( i j≠ )

(cioè i conduttori diversi da j hanno carica negativa quando il conduttore j è l’unico ad essere messo ad 1 V)

Inoltre, per il teorema di reciprocità10 (essendo il mezzo lineare e isotropo, e quindi reciproco), dev’essere:

ij jiC C=

Infine, si osservi che, poiché il sistema di conduttori in esame si suppone isolato (cioè nient’altro si suppone esistere nello spazio se non i conduttori stessi), la sua carica totale dev’essere nulla, cioè:

0

0m

iji

C=

=∑

Ne deduciamo che, nella matrice 0C (simmetrica, perché abbiamo detto che ij ji

C C= ) formata da

tutti i coefficienti C

11 12 1

21 22 2

0

1

m

m

m mm

C C C

C C C

C C

=

C

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

i termini positivi 0jj

C > stanno tutti sulla diagonale, mentre tutti gli altri (i 0ijC ≤ ) sono negativi.

Inoltre, si ha che:

1

m

jj ijii j

C C=≠

≥∑

Quest’ultima proprietà e le caratteristiche già illustrate della matrice capacità (grazie ad esse la matrice è iperdominante), costituiscono la condizione necessaria e sufficiente affinché una data matrice m x m di numeri reali possa interpretarsi come matrice capacità di una linea a m fili11. Torniamo ora alla nostra relazione:

1

1( ) ( )

mz z

i j ijj

I z A e A e Cσ σ

εη− +

+ −=

= − Φ∑ (12)

9 jF è adimensionale; il suo corrispondente potenziale fisico è 1V

jF ⋅ .

10 In soldoni: se il mezzo a è reciproco rispetto al mezzo b, l’effetto che le sorgenti di a hanno sul campo provocato da b è uguale a quello che le sorgenti di b hanno sul campo provocato da a. 11 Questo fatto ha grande importanza in sede di progetto perché consente di giudicare se una matrice capacità ottenuta come risultato di un procedimento di sintesi corrisponde o meno a una linea a più fili fisicamente realizzabile.

Siccome ci ricordiamo che

i iV A+ += Φ

i iV A− −= Φ

Allora si ha:

1 1 1

1( ) ( )

z zm m mz z

i j ij ij j ij jj j j

e eI z A e A e C C V C V

σ σσ σ

εη ηε ηε

−− +

+ − + −= = =

= − Φ = −∑ ∑ ∑

5.4 – Equazioni dei telegrafisti

Se ora ricordiamo il risultato al quale siamo giunti nel paragrafo scorso

( )iV z = z z

i iV e V eσ σ− ++ −+

unitamente a ciò che siamo, dopo tanta fatica, riusciti a dire sulle correnti

1 1

( )z zm m

i ij j ij jj j

e eI z C V C V

σ σ

ηε ηε

−

+ −= =

= −∑ ∑

e definiamo i seguenti due vettori

1 1

2 2

m m

V V

V V

V V

+ −

+ −+ −

+ −

= =

V V⋮ ⋮

allora possiamo scrivere, compattamente:

( )

( ) 0 0

1 1

z z

z z

z e e

z e e

σ σ

σ σ

ηε ηε

−+ −

−+ −

= +

= −

V V V

I C V C V

Quindi si può costruire anche un vettore di correnti I, contenente tanti elementi quanti sono i conduttori (meno quello di riferimento). Siccome abbiamo calcolato le tensioni e le correnti grazie alla conoscenza di t

E e tH , risulta dunque possibile, per un modo TEM, calcolare i vettori I e V se

si è a conoscenza dei modi della struttura. Se ora deriviamo rispetto a z:

1

0

0

d ( )( )

d

d ( )( )

d

zz

z

zz

z

σηε

σηε

− = − =

VC I

IC V

(13)

Essendo:

jσηε ωµε= c

jσ ωηε ε

= +

12 Mettiamo una sommatoria in i ambo i lati:

0 0 1 1 0

0

1 1( ) ( ) ( ) 0

m m m m mz z z z

i j ij j iji i j j i

I z A e A e C A e A e Cσ σ σ σ

εη εη− + − +

+ − + −= = = = =

=

= − Φ = − Φ =∑ ∑∑ ∑ ∑

Se

0

0 1

( ) ( ) ( ) 0m m

i i

i i

I z I z I z= =

= + =∑ ∑

Allora, portando di là dall’uguale, scopriamo che sul conduttore freddo circola la corrente:

( )0

1

( )m

i

i

I z I z=

= −∑

13 L’invertibilità di 0C è garantita dalla sua iperdominanza.

Possiamo scrivere:

σηε

σηε

− = − − =

1

0

0

d ( )( )

d

d ( )( )

d

zz

z

zz

z

VC I

IC V

⇒

ω µε

ωε

− = −

= − +

0

0

1

0

0 0

d ( )( )

d

d ( )( )

d

zj z

z

z cj z

z

L

G

VC I

IC C V

( )

0

0 0

d ( )( )

d

d ( )( )

d

zj z

z

zj z

z

ω

ω

= − = − +

VL I

IG C V

con

1

0 0

0 0

c

µε

ε

− =

=

L C

G C

(equazioni dei telegrafisti) Come si vede, in tali equazioni sono spuntate fuori delle nuove quantità:

• la matrice induttanza caratteristica: 1

0 0µε −=L C

• la matrice conduttanza caratteristica: 0 0

c

ε=G C

Le equazioni dei telegrafisti costituiscono una particolare formulazione che si può dare alle equazioni di Maxwell quando si considerano i soli modi TEM. Di fatto le equazioni dei telegrafisti sono equivalenti alle equazioni di Maxwell in quanto forniscono le stesse informazioni, poiché dalla descrizione del comportamento elettromagnetico della struttura in termini di tensioni e di correnti si può risalire a quella in termini di campo elettromagnetico e viceversa. Osservando i vettori di tensione e di corrente

( )

( ) 0 0

1 1

z z

z z

z e e

z e e

σ σ

σ σ

ηε ηε

−+ −

−+ −

= +

= −

V V V

I C V C V

possiamo inoltre definire:

• la matrice impedenza caratteristica: 1

0c ηε −=Z C

• la matrice ammettenza caratteristica: 1

0

1c cηε

−= =Y C Z

Dunque si ha, in un regime qualsiasi:

( )( ) ( )

z z

z z

c

z e e

z e e

σ σ

σ σ

− ++ −

− ++ −

= +

= −

V V V

I Y V V

Insomma, stanno rispuntando fuori tutte le quantità che già conoscevamo per lo studio dei circuiti “classici”. D’altronde, giunti a questo punto, è facile notare che il parallelismo con le equazioni di Maxwell è fortissimo: effettuando infatti le seguenti sostituzioni

“Nuove” quantità

( )( )0

0

0

d

dz

z

z

c

ε

µ

→ ∇ ×

→

→

→→→

I h

V e

C

G

L

“Vecchie” quantità

rispuntano tali e quali le equazioni già viste nei corsi di Fisica. 5.5 – I modi TEM in una linea a m conduttori

Mettiamo ora insieme le relazioni:

1) per le componenti trasversali del campo elettrico e magnetico:

( )( )1

z z

t t

z z

t t

A e A e

A e A e

σ σ

σ σ

η

− ++ −

− ++ −

= − + ∇ Φ

= − − × ∇ Φ

e

h k

2) che legano la tensione con le costanti complesse che dipendono dal carico e dal generatore:

i iV A+ += Φ

i iV A− −= Φ

3) che esprimono il potenziale in base all’alimentazione e alle caratteristiche geometriche

della rete:

( ) ( )1 2 1 21

, ,m

j jj

x x F x x=

Φ = Φ∑

Otteniamo:

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

1 2

1

,

1,

mz z

t t j j

j

mz z

t t j j

j

A e A e F x x

A e A e F x x

σ σ

σ σ

η

− ++ −

=

− ++ −

=

= − + ∇ Φ = − − × ∇ Φ

∑

∑

e

h k

1

1

1

jj

jj

VVm

z z

t j j t jj

VVm

z z

t j j t jj

A e A e F

A e A e F

σ σ

σ σ

η

−+

−+

− ++ −

=

− ++ −

=

= − Φ + Φ ∇

= − Φ − Φ × ∇

∑

∑

e

h k

Siamo quindi giunti all’espressione del campo elettrico e magnetico per i modi TEM in una linea a m conduttori

( )1

mz z

t j j t jj

V e V e Fσ σ−+ −

=

= − + ∇∑e

( )1

1 mz z

t j j t jj

V e V e Fσ σ

η−

+ −=

= − − × ∇∑h k

Si noti che, come conseguenza di queste ultime equazioni, il campo elettromagnetico risulta espresso come sovrapposizione di onde TEM del tipo:

( )z z

tj j j t jV e V e Fσ σ− +

+ −= − + ∇e

( )1 z z

tj j j t jV e V e Fσ σ

η− +

+ −= − − × ∇h k

Una qualunque di queste onde non è esprimibile come combinazione lineare delle rimanenti. Si può quindi affermare che una linea a m fili è capace di sostenere m modi trasversali tra loro linearmente indipendenti.

5.6 – Potenza trasportata dal campo

Dal momento che gli unici componenvettore di Poynting (che è perpendicolare a questi) ha la sola componente assiale, cioè la potenza fluisce solo in quella direzione. La potenza complessa che attraversa un piano trasversale all’a

1 1( ) d ( ) ( ) ( )

2 2c t t j j cj

S

P z S V z I z P z= × ⋅ = =∫∫e h k

5.7 – Linee a più fili con conduttori imperfetti

Per rappresentare accuratamente il comportamento reale delle strutture, l’analisi precedente va naturalmente raffinata. Una prima ovvia misura consiste nel tener conto del comportamento imperfetto dei conduttori. Si noti che in tal caso i risultati ottenuti sono solo approssimati perché, in presenza di perdite nei conduttori, i modi non sono più rigorosamente TEM

14 È comunque intuitivo il fatto che, se permane il parallelismo con le equazioni di Maxwell e le relazioni fondamentali che regolano il funzionamento dei circuiti a costantutti indipendenti, possiamo calcolare separatamente la potenza di ognuno di essi tramite le formule in cui compaiono i componenti dei vettori delle tensioni e delle correnComunque sia, sostituendo le seguenti equazioni nell’espressione del vettore di Poynting

la dimostrazione rigorosa è la seguente (S la sezione trasversale del mezzo 1 1 1

( ) d d d2 2 2

c t t t t t t

S S S

P z S f z g z S f z g z S= × ⋅ = ∇ Φ × × ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ ⋅ ∇ Φ∫∫ ∫∫ ∫∫*

e h k k k

Abbiamo raccolto nelle funzioni f(z) e g(z), per comodità:

Siccome Φ e Φ * sono funzioni armoniche (= Laplaciano nullo), si

t t t t t

S S l

∇ Φ ⋅∇ Φ = ∇ ⋅ Φ∇ Φ = Φ∇ Φ∫∫ ∫∫ ∫

Se ora teniamo conto del fatto che, all’interno dei conduttori, il potenziale è costante (lo portiamo fuori dall’integrale) esostituiamo nella relazione della potenza:

Siccome poi

( ) ( )j j

f z V zΦ =

Arriviamo finalmente a dire che:

Potenza trasportata dal campo

Dal momento che gli unici componenti non nulli del campo elettromagnetico sono trasversali, il vettore di Poynting (che è perpendicolare a questi) ha la sola componente assiale, cioè la potenza

a potenza complessa che attraversa un piano trasversale all’asse può esprimersi nella forma:

*

1 1

1 1( ) d ( ) ( ) ( )

2 2

m m

c t t j j cjj j

P z S V z I z P z= =

= × ⋅ = =∑ ∑∫∫*

e h k

Linee a più fili con conduttori imperfetti: circuito equivalente

Per rappresentare accuratamente il comportamento reale delle strutture, l’analisi precedente va Una prima ovvia misura consiste nel tener conto del comportamento

imperfetto dei conduttori. Si noti che in tal caso i risultati ottenuti sono solo approssimati perché, in presenza di perdite nei conduttori, i modi non sono più rigorosamente TEM

caso di linee di trasmissione ordinarie comportamento non ideale dei conduttori sono suscettibili di una semplice interpretazione circuitale.A fianco vediamo il circuito equivalente per il caso di conduttori perfetti:

comunque intuitivo il fatto che, se permane il parallelismo con le equazioni di Maxwell e le relazioni fondamentali che regolano il funzionamento dei circuiti a costanti concentrate e se – come abbiamo detto – i modi TEM sorretti dalla struttura sono tutti indipendenti, possiamo calcolare separatamente la potenza di ognuno di essi tramite le formule in cui compaiono i componenti dei vettori delle tensioni e delle correnti. Alla fine, sommando tutto, si trova la potenza complessiva.Comunque sia, sostituendo le seguenti equazioni nell’espressione del vettore di Poynting

( )( )1

z z

t t

z z

t t

A e A e

A e A e

σ σ

σ σ

η

− ++ −

− ++ −

= − + ∇ Φ

= − − × ∇ Φ

e

h k

la sezione trasversale del mezzo interposto fra i conduttori):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (** * *1 1 1( ) d d d

2 2 2c t t t t t t

S S S

P z S f z g z S f z g z S= × ⋅ = ∇ Φ × × ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ ⋅ ∇ Φ∫∫ ∫∫ ∫∫e h k k k

, per comodità:

( )

( ) ( )1

z z

z z

f z A e A e

g z A e A e

σ σ

σ σ

η

− ++ −

− ++ −

= +

= − −

* sono funzioni armoniche (= Laplaciano nullo), si ha:

( )Stokes

* * *

0

d d d

j

m

t t t t tjS S l

S S l=

∇ Φ ⋅∇ Φ = ∇ ⋅ Φ∇ Φ = Φ∇ Φ∑∫∫ ∫∫ ∫ n

(jl è il contorno del conduttore j-esimo)

Se ora teniamo conto del fatto che, all’interno dei conduttori, il potenziale è costante (lo portiamo fuori dall’integrale) e

( ) ( )* *

0

1( ) d

2j

m

c j tj l

P z f z g z l=

= Φ ∇ Φ∑ ∫ n

e ( ) ( )

*

( )( ) d d

j j

j

j t t

l l

I zI z g z l l

g z

= ∇ Φ ⋅ ⇒ = ∇ Φ ⋅

∫ ∫n n

( ) ( )

( )*

* *

0

1( ) d

2j

j

m

c j tj l

V

I z

P z f z g z l=

= Φ ∇ Φ∑ ∫ n

ti non nulli del campo elettromagnetico sono trasversali, il vettore di Poynting (che è perpendicolare a questi) ha la sola componente assiale, cioè la potenza

sse può esprimersi nella forma:

( ) d ( ) ( ) ( )P z S V z I z P z (14)

Per rappresentare accuratamente il comportamento reale delle strutture, l’analisi precedente va Una prima ovvia misura consiste nel tener conto del comportamento

imperfetto dei conduttori. Si noti che in tal caso i risultati ottenuti sono solo approssimati perché, in presenza di perdite nei conduttori, i modi non sono più rigorosamente TEM. Limitatamente al

caso di linee di trasmissione ordinarie m = 1, gli effetti del comportamento non ideale dei conduttori sono suscettibili di una semplice interpretazione circuitale. A fianco vediamo il circuito equivalente per il caso di

comunque intuitivo il fatto che, se permane il parallelismo con le equazioni di Maxwell e le relazioni fondamentali che i modi TEM sorretti dalla struttura sono

tutti indipendenti, possiamo calcolare separatamente la potenza di ognuno di essi tramite le formule in cui compaiono i ti. Alla fine, sommando tutto, si trova la potenza complessiva.

interposto fra i conduttori):

)* * *( ) d d dc t t t t t t

S S S

P z S f z g z S f z g z S= × ⋅ = ∇ Φ × × ∇ Φ ⋅ = ∇ Φ ⋅ ∇ Φ∫∫ ∫∫ ∫∫

Se ora teniamo conto del fatto che, all’interno dei conduttori, il potenziale è costante (lo portiamo fuori dall’integrale) e quindi

*

( ) d d

j j

j t t

l l

I z g z l l = ∇ Φ ⋅

∫ ∫n n

• i parametri 0C , che inglobano nella loro formulazione gli indesiderati accoppiamenti

capacitivi fra i conduttori del circuito,

• trovati i 0C possiamo calcolare la conduttanza

corrente attraverso il dielettrico che avvolge i conduttori)

• … e l’induttanza 0L (che si riferisce alle

calcolando le definizioni che abbiamo già visto:

In regime puramente progressivo si ha poi:

V z I z Z I z I z

Come sappiamo, una volta che abbiamo in mano facciamolo:

*1Re

2P VI= =

In presenza di piccole perdite nei conduttori, si può ritenere che gli elementi

circuito equivalente, i quali sono legati alla distribuzione di campo rrimangano praticamente immutati. Come sappiamo, la presenza di campo all’interno dei conduttori dà luogo a una dissipazione di potenza attiva e a un accumulo di energia magnetica. Questi effetti si possono interpretare circuitalmente attribuendo ai conduttori una resistenza per unità di lunghezza interna per unità di lunghezza i

L

1

2R I P

21

4i mL I U

Questo, quindi, è il nuovo circuito equivalente:

Ricordiamoci poi le espressioni della costante di fase e di attenuazione che abbiamo calcolato quando abbiamo studiato il metodo perturbativo:

• costante di attenuazione m

α

, che inglobano nella loro formulazione gli indesiderati accoppiamenti

capacitivi fra i conduttori del circuito, vengono calcolati utilizzando la relazione d

i

ij t j

l

C F lε∇ ⋅∫ n≜

siamo calcolare la conduttanza 0G (che incarna il trascurabile passaggio di

corrente attraverso il dielettrico che avvolge i conduttori)…

0 0

cG C

ε=

(che si riferisce alle proprietà auto-induttive del circuito)

calcolando le definizioni che abbiamo già visto:

0

0

LC

µε=

In regime puramente progressivo si ha poi:

( ) ( ) ( ) ( )0

1c

c

V z I z Z I z I zY C

ηε= = =

Come sappiamo, una volta che abbiamo in mano V e Z, è facile calcolare la potenza attiva. Dunque

2*

2 2* *

1 1Re Re

2 2

1 1 1Re Re Re

2 2 2

c c

c c c

Z II Z I

VY V Y V Y V

== = = =

In presenza di piccole perdite nei conduttori, si può ritenere che gli elementi

circuito equivalente, i quali sono legati alla distribuzione di campo rrimangano praticamente immutati.

Come sappiamo, la presenza di campo all’interno dei conduttori dà luogo a una dissipazione di potenza attiva e a un accumulo di energia magnetica. Questi effetti si possono interpretare

nte attribuendo ai conduttori una resistenza per unità di lunghezza

iL definite dalle relazioni

2

LR I P= (potenza attiva dissipata)

2

i mL I U= (energia magnetica accumulata)

Questo, quindi, è il nuovo circuito equivalente:

Ricordiamoci poi le espressioni della costante di fase e di attenuazione che abbiamo calcolato quando abbiamo studiato il metodo perturbativo:

2

2

1 1

2 2 2 ReRe

Lm

cc

R IP R

P ZZ Iα = = =

, che inglobano nella loro formulazione gli indesiderati accoppiamenti

vengono calcolati utilizzando la relazione

(che incarna il trascurabile passaggio di

induttive del circuito), sempre

alcolare la potenza attiva. Dunque

2 2

c c cVY V Y V Y V

In presenza di piccole perdite nei conduttori, si può ritenere che gli elementi 0 0 0, , G C L del

circuito equivalente, i quali sono legati alla distribuzione di campo relativa al caso ideale,

Come sappiamo, la presenza di campo all’interno dei conduttori dà luogo a una dissipazione di potenza attiva e a un accumulo di energia magnetica. Questi effetti si possono interpretare

nte attribuendo ai conduttori una resistenza per unità di lunghezza R e un’induttanza

Ricordiamoci poi le espressioni della costante di fase e di attenuazione che abbiamo calcolato

• costante di fase

2

2

114

1 2 ReRe

2

im i

cc

L IU L

P ZZ I

ωβ ω ω∆ = = =

Ora abbiamo tutti gli elementi per esprimere sia R che iL :

1

2 Rem

c

R

Zα = ⇒ 2 Re

m cR Zα=

1

2 Re

i

c

L

Z

ωβ∆ = ⇒ 2Re

i cL Z β

ω= ∆

Inoltre, abbiamo tutti gli elementi per modificare la costante di propagazione: senza perdite γ σ= ± con perdite m

jγ σ α β= + + ∆

5.8 – Linee a più fili con conduttori imperfetti: analisi dei modi

I modi di una linea a più fili con conduttori reali (a basse perdite) possono essere determinati con il seguente procedimento. Le funzioni di modo di m onde TEM linearmente indipendenti sono:

η

= −∇∀ =

= − × ∇ 1, ..., 1

tj t j

tj t j

F

j mF

E

H k

dove 2 0 (Laplace)

1 per il conduttore

0 per gli altri conduttori

t i

i

i

F

F i

F l i

∇ =

= = ≠

Il problema è che i modi così ricavati sono tutti degeneri e quindi non ortogonali. Dobbiamo quindi impegnarci per trovare una m-upla di modi TEM della linea che siano due a due mutuamente ortogonali anche in presenza di conduttori imperfetti. Dato che le espressioni dei campi elettrico e magnetico (trasversali) poco fa espresse costituiscono un insieme completo, facciamo la scelta di riesprimere le stesse quantità, ma con dei coefficienti diversi qi

x :

1

1

mq

t qi tii

mq

t qi ti

i

x

x

=

=

=

=

∑

∑

E E

H H

Se ipotizziamo il fatto che il campo abbia una legge di dipendenza dalla coordinata assiale del tipo ze γ−

si ha la seguente espressione per i campi associati:

1

1

q

q

mzq

t qi tii

mzq

t qi ti

i

e x

e x

γ

γ

−

=

−

=

=

=

∑

∑

e E

h H

In queste espressioni il termine

q mq mqjγ σ α α= + +

è la costante di propagazione incognita da determinarsi per realizzare la situazione auspicata in cui i modi non siano degeneri.

Il vettore qx dei coefficienti qi

x ha un significato fisico ben preciso: esso rappresenta il vettore

delle tensioni associate alle , q q

t tE H sul piano z = 0 (15). Tali coefficienti vanno determinati in

maniera tale che: • in presenza dei modi p, q (con p diverso da q) la potenza attiva dissipata sia nel dielettrico

sia nei conduttori uguagli la somma di quelle che competono ai due modi singolarmente considerati e che un’analoga condizione valga per la potenza complessa trasportata lunga l’asse della linea: in pratica, ciò significa che la presenza di un modo non deve interferire con un altro modo in termini di potenza. Traducendo queste poche righe in matematica si ha:

termine incrociato per la potenza complessa ( )*1 d 0

2

qp p q

c t t

S

P S= × ⋅ =∫∫e h n

termine incrociato per la potenza dissipata nei conduttori ( )*1d 0

2

qp p q

L s s s

l

P R l= ⋅ =∫J J

termine incrociato per la potenza dissipata nel dielettrico ( )* d 02

qp p q

d t t

S

cP l= ⋅ =∫∫e e

• in presenza del solo modo q (potenza qP ) tra le potenze attive dissipate nel dielettrico e nei

conduttori e la potenza attiva trasportata valga una condizione del tipo

2 2

q q

d Lq q q

P P

P Pα = +

perdite neiperdite nelconduttoridielettrico

2 0q q q

d L qP P Pα+ − =

Senza scendere nei dettagli (la dimostrazione è infinita), combinando le condizioni di annullamento dei termini incrociati, si ottiene il seguente sistema:

T

0 0

T

0 0

T

0 0

1 1 1Re 0

2

1 1 1Re 0

2

1 1 1Re 0

2

q L q q

p L q q

L q q

αη ε

αη ε

αη ε

+ − =

+ − =

+ − =

x G P C x

x G P C x

M G P C x

(M è la matrice contenente, per colonne, i vettori px )

Ne deduciamo che il generico vettore qx deve essere la soluzione del problema agli autovalori

0 0

1 1 1Re 0

2L q q

αη ε

+ − =

G P C x

15 Infatti se prendiamo le

1

1

q

q

mzq

t qi tii

mzq

t qi ti

i

e x

e x

γ

γ

−

=

−

=

=

=

∑

∑

e E

h H

e poniamo z = 0 l’esponenziale diventa pari ad 1 e si ha

1

1

mq

t qi tii

mq

t qi ti

i

x

x

=

=

=

=

∑

∑

e E

h H

A questo punto passiamo alla rappresentazione matriciale dei modi TEM “modificati”: in presenza del modo p e indicando con p

V + e pV − le ampiezze complesse della componente

progressiva e regressiva del modo p-esimo, le distribuzioni di tensioni e correnti sui conduttori in presenza di questo modo si scrivono:

( ) ( )( ) ( )

p p

p p

z z

p p p p

z z

p p p c p

z e e

z e e

γ γ

γ γ

− ++ −

− ++ −

= +

= −

V V V x

I V V Y x

Il regime elettrico più generale sarà allora:

( ) ( )

( ) ( )1

1

n

pp

n

pp

z z

z z

=

=

=

=

∑

∑

V V

I I

In forma matriciale si ha:

( ) ( )( ) ( )

Γ Γ

Γ Γ

−+ −

−+ −

= +

= −c

z

z

z z

z z

V M e V e V

I Y M e V e V

con Γ

1 0

0

p

m

z

z

z

e

e

e

γ

γ

γ

−

−−

−

=

ze

CAPITOLO 6

Linee di trasmissione, parte seconda

6.1 – Dalla propagazione TEM alla propagazione quasi-TEM

Nel capitolo precedente si sono studiate le linee di trasmissione a più fili come strutture capaci di

sostenere onde trasversali elettromagnetiche e si è visto che del loro comportamento si può dare

una descrizione circuitale rigorosa. In particolare si è messo in evidenza che soluzioni TEM delle

equazioni di Maxwell possono esistere solo se il dielettrico interposto tra i conduttori perfetti è

omogeneo. Questa condizione è dunque necessaria anche per la validità del circuito equivalente

della linea.

Ahimè, in molti casi di interesse tecnico si è condotti a considerare strutture cilindriche la cui

configurazione è simile a quella delle linee di trasmissione propriamente dette, ma che non

possono sostenere modi TEM poiché per esse la condizione di omogeneità del dielettrico risulta

violata. Queste guide si diranno d’ora in avanti strutture quasi-TEM.

L’affinità strutturale tra le due classi di mezzi trasmissivi, TEM e quasi-TEM, fa intuire una

fondamentale somiglianza del comportamento, almeno sotto certe ipotesi limitative, e in

particolare suggerisce la possibilità di applicare anche alle strutture quasi-TEM i concetti circuitali

propri delle linee di trasmissione. In generale ciò risulta possibile grazie alla capacità delle

suddette strutture di sostenere modi quasi-TEM, i quali a frequenze sufficientemente basse

godono di proprietà analoghe a quelle dei modi TEM propriamente detti, ovvero:

• frequenza di taglio pari a zero;

• distribuzione trasversale di campo che approssima una distribuzione statica;

• componenti assiali delle intensità di campo piccole rispetto a quelle trasversali.

In queste condizioni è possibile definire tensioni e correnti su ogni sezione trasversale con

incertezza trascurabile e quindi estendere alle strutture quasi-TEM il concetto di descrizione

circuitale.

6.2 – Linee di trasmissione non omogenee

Consideriamo una linea di trasmissione a m fili più massa,

costituita da m + 1 conduttori elettrici1 perfetti in un mezzo

non omogeneo; in figura, infatti, si vede la presenza di due

dielettrici: uno di colore bianco (costante 0

ε ) e l’altro di

colore rosa (costante 0 1

ε ε ). La linea tratteggiata è quella

delle linee di forza del campo magnetico2, le frecce

raffigurano invece il campo elettrico. Si nota che soltanto queste ultime passano attraverso il

mezzo rosa: ci aspettiamo dunque, rispetto al caso semplicemente TEM, una uguale relazione per

il campo magnetico (il mezzo è omogeneo rispetto ad H) e un differente problema per il campo

elettrico (il mezzo non è omogeneo rispetto ad E).

Per semplificare la trattazione si supporrà di avere un mezzo privo di perdite (c = 0) e di lavorare

ad una pulsazione relativamente bassa. Prendiamo le stesse relazioni già viste nel capitolo 1:

1 m dev’essere almeno pari ad 1. 2 Che è evidentemente solenoidale.





t t c z

t t z

t t z t

t t z c t

j E

j H

E j

H j

ωεωµ

γ ωµγ ωε

∇ × = →∇ × = − → × + × ∇ = → × + × ∇ = − →

H k

E k

k E k H

k H k E

In queste condizioni (siamo sempre nella banda di frequenze relativamente verso i valori bassi) si

dimostra che esistono soluzioni tali per cui si ha:

0

0

t z

t z

E

H

E

H

≫ ∼

≫ ∼ 0

0

t t

t t

E E

H H

≃

≃ (appr. al second’ordine)

(dove 0 0 e

t tE H sono i termini noti dello sviluppo di Mac Laurin)

Sostituendo nelle prime due equazioni del sistema soprastante, e ipotizzando di trovarci presso la

continua (ω = 0), si ha:

ωεωµ

∇ × =∇ × = −

0

0

t t c z

t t z

j E

j H

H k

E k

0

0

0

0

t t

t t

∇ × =∇ × =

H

E

Questo sistema di equazioni è analogo a quello valido per un modo TEM a frequenza qualsiasi.

D’altra parte, questa condizione è fra quelle richieste per poter parlare di conservatività e

introdurre i potenziali:

0t tφ= −∇E (φ potenziale scalare elettrico)

0t tψ= ∇H (ψ potenziale scalare magnetico)

Essendo il mezzo privo di sorgenti, si ha (dalle equazioni di Maxwell):

( ) 0ε∇ ⋅ =e

0∇ ⋅ =h

Siccome in un regime quasi-TEM si ha3:

0

j z

te β−

e E≃

0

j z

te β−

h H≃

Sostituiamo e otteniamo:

( )00j z

te βε −∇ ⋅ =E ( ) ( )0

0j z

t z te βε −∇ + ∇ ⋅ =E

00

t tε∇ ⋅ =E

( )00j z

te β−∇ ⋅ =H ( ) ( )0

0j z

t z te β−∇ + ∇ ⋅ =H

00

t t∇ ⋅ =H

Se ora ci ricordiamo delle espressioni dei potenziali

0t tφ= −∇E

0t tψ= ∇H

si ha immediatamente:

00

t tε∇ ⋅ =E

00

t t∇ ⋅ =H

0t t

εφ−∇ ⋅∇ = 0t t

ψ∇ ⋅ ∇ =

2 10

t t tφ ε φ

ε∇ + ∇ ⋅ ∇ = 2 0

tψ∇ =

Ne consegue che ψ è soluzione dell’identico problema di valori al contorno che si avrebbe per il

potenziale scalare magnetico di un campo TEM (in senso rigoroso) in dielettrico omogeneo,

3 Ricordiamo che, se non ci sono perdite, si ha:

jγ β=

mentre φ soddisfa un problema diverso. In altre parole, mentre

modo magnetica di un’onda TEM che si potrebbe propagare lungo la struttura in esame se il

dielettrico fosse omogeneo, questo non è vero per

6.3 – Calcolo delle tensioni

A questo punto dobbiamo ripetere il ragionamento già effettuato nel capitolo 5, trattandolo però

(j z j ze E e jβ β− −× × + × × ∇ = ×k k E k k k H

A questo punto ci ricordiamo dell’identità vettoriale

e dell’assenza di perdite

e scriviamo: j z j ze j E e jβ β− −

Se ora integriamo entrambi i membri tra

termine contenente zE dà valore nullo in quanto abbiamo spe

otteniamo: o o

i ii i

P P

P PL L

j e l j e lβ ωµ− ⋅ = × ⋅∫ ∫

j z j zj e l j e lβ ββ ωµ− −− ⋅ = × ⋅

Se ora poniamo

(per definizione e con l’aggiunta del termine esponenziale

per tenere conto del

possiamo scrivere:

j V z j e l− = × ⋅

Se ora deriviamo rispetto a z:

soddisfa un problema diverso. In altre parole, mentre 0t

H coincide con la funzione di


dielettrico fosse omogeneo, questo non è vero per 0t

E .

etere il ragionamento già effettuato nel capitolo 5, trattandolo però

dal punto di vista dei modi quasi

Consideriamo dunque un regime

elettrico associato ad un solo modo

quasi-TEM puramente progressivo che si

propaga lungo la linea.

Prendiamo la terz

famoso sistema

t t z tγ ωµ× + × ∇ =k E k H

e moltiplichiamo vettorialmente ambo i

lati per j ze β−k :

) 0

j z j z

t t z te E e jβ βγ ωµ− −× × + × × ∇ = ×k k E k k k H

A questo punto ci ricordiamo dell’identità vettoriale

( )t t× × = −k k a a

jγ β=

( ) 0

j z j z

t t z te j E e jβ ββ ωµ− −− − ∇ = ×E k H

Se ora integriamo entrambi i membri tra iP e

0P lungo la linea

iL , tenendo conto del fatto ch

dà valore nullo in quanto abbiamo specificato che nel caso quasi

0

0

t z

t z

E

H

E

H

≫ ∼

≫ ∼

0 d d

o o

i ii i

P P

j z j z

t t

P PL L

j e l j e lβ ββ ωµ− −− ⋅ = × ⋅∫ ∫E τ k H τ

0 d d

o o

i ii i

P P

j z j z

t t

P PL L

j e l j e lβ ββ ωµ− −− ⋅ = × ⋅∫ ∫E τ k H τ

( ) do

ii

P

j z

t i

PL

e l V zβ− ⋅ ≈∫ E τ


tenere conto della propagazione in direzione assiale)

( ) 0 d

o

ii

P

j z

i t

PL

j V z j e lββ ωµ −− = × ⋅∫ k H τ

coincide con la funzione di


etere il ragionamento già effettuato nel capitolo 5, trattandolo però

dal punto di vista dei modi quasi-TEM.

Consideriamo dunque un regime

elettrico associato ad un solo modo

TEM puramente progressivo che si

propaga lungo la linea.

Prendiamo la terza equazione del nostro

0t t z tE jγ ωµ× + × ∇ =k E k H

e moltiplichiamo vettorialmente ambo i

, tenendo conto del fatto che il

cificato che nel caso quasi-TEM si ha


la propagazione in direzione assiale)

( )( ) 0

d d d

d d

o

ii

P

j z

i t

PL

j V z j e lz z

ββ ωµ − − = × ⋅

∫ k H τ

( )( ) 0

d d d

d d

o

ii

P

j z

i t

PL

j V z j e lz z

ββ ωµ − − = × ⋅

∫ k H τ

Derivando l’esponenziale esce fuori un jβ− :

( )

0

1 1

d d d

d d

o

ii

P

i j z

t

PL

V zjj jj e l

z z

ββ β ωµ −

− −

− = − ⋅ × ⋅ ∫ k H τ

( )0

applicata la permutazione ciclicadel prodotto misto

d d

d

o

ii

P

i j z

t

PL

V zj e l

z

βωµ −= × ⋅∫ τ k H

( )0

d d

d

o

ii

P

i j z

t

PL

V zj e l

z

βωµ −= − ⋅∫H n dato che ×τ k = ‒ n

Si consideri ora la struttura resa omogenea e siano4:

• 0

C la sua matrice capacità (elementi ikC ) e

• 1

0 0 0 0µ ε −=L C (elementi

ikL ) la sua matrice induttanza.

Poiché la t

H è la stessa che avremmo in un modo TEM (abbiamo detto che le cose non cambiano

per il campo magnetico), si ha (senza dimostrazione) che:

0

siccome

0 01

d d

t to

i ki

P m

t ik tkP lL

l L lµ≅

=

⋅ = ∑∫ ∫H H

H n H τ

Quindi così diventa l’espressione della derivata:

( )0 0

1 1

d d d

dk k

m mi j z j z

ik t ik tk kl l

V zj e L l j L e l

z

β βω ω− −

= =

= − = −∑ ∑∫ ∫H τ H τ

Ponendo ora:

( ) d

k

j z

k t

l

I z e lβ−≈ ⋅∫ H τ

(teorema d’Ampére con l’aggiunta del termine esponenziale

per tenere conto della propagazione in direzione assiale)

otteniamo:

( )

( )

( )01 1

d d

dk

k

m mi j z

ik t ik kk kl

I z

V zj L e l j L I z

z

βω ω−

= =

≈ − = −∑ ∑∫ H τ

In forma vettoriale si ha:

( ) ( )0

d

d

zj z

zω≈ −

VL I

Quindi, a partire da una linea quasi-TEM e per quanto riguarda le tensioni, ci siamo ricondotti ad

una linea TEM: fatte le dovute ipotesi (basse frequenze, etc…), insomma, le relazioni che

riguardano il caso TEM (dielettrico omogeneo) possono approssimare quelle che concernono il

caso quasi-TEM (dielettrico non omogeneo).

4 Le matrici di seguito elencate sono le stesse del capitolo 5!

6.4 – Calcolo delle correnti

Procediamo ora al calcolo delle correnti: prendiamo la quarta equazione del sistema

t t c z

t t z

t t

t

z t

t z c t

j E

j H

E

j

j

H

ωεωµ

γ ωγ

µωε

∇ × =∇

× +

× = − × + × ∇

× ∇=

= − k H k

H k

E k

k E k H

E

e ripetiamo lo stesso identico ragionamento del paragrafo 6.3, moltiplicando vettorialmente ambo

i lati per j ze β−k :

t t z c t

j

j z j zeHe jβ β

β

γ ωε −

=

−

× + ×

× = ×

∇ −k H k k Ek

Chiaramente vale ancora l’identità vettoriale

( )t t× × = −k k a a

e quindi:

( )j z j z

t t z c te j H j eβ ββ ωε− −× × + × × ∇ = − ×k k H k k k E

( )j z j z

t t z c te j H j eβ ββ ωε− −− − ∇ = − ×H k E

Se ora integriamo entrambi i membri tra iP e

0P lungo la linea

iL , tenendo conto del fatto che il

termine contenente zE dà valore nullo in quanto abbiamo specificato che nel caso quasi-TEM si ha

0

0

t z

t z

E

H

E

H

≫ ∼

≫ ∼

e della relazione espressa nel paragrafo 6.3

( ) d

k

j z

k t

l

I z e lβ−≈ ⋅∫H τ

otteniamo:

i

j z

t t z

L

e j Hβ β−− + ∇H d do o

i ii

P P

j z

c t

P PL

l e j lβ ωε−⋅ = − × ⋅∫ ∫τ k E τ

( )

d do o

i ii i

i

P P

j z j z

t c t

P PL L

I z

j e l j e lβ ββ ω ε− −− ⋅ = − × ⋅∫ ∫H τ k E τ

( )

applicata la permutazione ciclica

do

ii

P

j z

i c t

PL

j I z j e lββ ω ε−= × ⋅∫ τ k E

( ) ( ) do

ii

P

j z

i c t

PL

j I z j e lββ ω ε−= − ⋅∫ E n dato che ×τ k = ‒ n

Giunti qui, deriviamo rispetto a z:

( ) ( )d d d

d d

o

ii

P

j z

c t

PL

j I z j e lz z

ββ ω ε− = − ⋅

∫ E n

( ) ( )d d d

d d

o

ii

P

j z

c t

PL

I zj j j e l

z z

ββ β ω ε− = − − ⋅ ∫ E n

( )

0

0

siccome

d d

d

o

i

t ti

P

j z

c t

P

L

I zj e l

z

βω ε−

≅

= − − ⋅

∫E E

E n

Adesso facciamo una cosa furba: riabilitiamo le condizioni al contorno relative al potenziale

scalare elettrico φ , che possiamo esprimere così

1

m

k kk

Fφ φ=

=∑

essendo kF una funzione adimensionale delle coordinate trasversali definita come segue

2 1



t k t t k

k

k

F F

F k

F i k

εε

∇ = − ∇ ⋅ ∇

= = ≠

(k = 1, 2, …, m) (5)

Quindi sfruttiamo la

0t tφ= −∇E

e riscriviamo:

( ) ( )0

d d d

d

o o

i ii i

P P

j z j z

c t c t

P PL L

I zj e l j e l

z

β βω ε ω ε φ− −= − − ⋅ = − ∇ ⋅∫ ∫E n n

( )1

d d

d

o

ii

P mj z

c t k kkPL

I zj e F l

z

βω ε φ−

=

= − ∇ ⋅ ∑∫ n

( )1

d d

d

o

ii

Pmj z

k c t kk PL

I zj e F l

z

βω φ ε−

== − ∇ ⋅∑ ∫ n

D’altra parte

( ) 0 d do o

i ii i

P P

j z j z j z

i t t k

P PL L

V z e l e l eβ β βφ φ− − −≈ ⋅ = −∇ ⋅ =∫ ∫E τ τ

e (v. capitoli addietro)

d

i

ik t k

l

C F lε= ∇ ⋅∫ n

Di conseguenza:

( ) ( )1

d

d

m

ik kk

I zj C V z

zω

=

= − ∑ (k = 1, 2, …, m)

Che diventa, in notazione matriciale:

( )d

dj z

zω= −ICV (6)

In conclusione, la propagazione quasi-TEM lungo un sistema di conduttori in dielettrico non

omogeneo privo di perdite può essere descritta in via approssimata in termini di tensione correnti

dalle equazioni dei telegrafisti del tipo

5 Notiamo come questa volta gli Fk debbano soddisfare una equazione di Laplace non omogenea (cosa che non

accadeva nel capitolo 5). 6 Ricordiamo che la matrice capacità è stata ottenuta a partire dalla funzione potenziale in condizioni di mezzo non

omogeneo; la matrice induttanza, invece, è stata calcolata in condizioni di mezzo omogeneo.

( ) ( )0

d

d

zj z

zω= −

VL I ( )d

dj z

zω= −ICV

e quindi formalmente identiche a quelle valide per la propagazione TEM in senso stretto in un

mezzo omogeneo privo di perdite. La differenza sostanziale tra i due casi consiste nel fatto che,

mentre la matrice induttanza resta la stessa, la matrice capacità deve essere calcolata tenendo

conto della disomogeneità del mezzo. A parte questo, tutte le considerazioni svolte in precedenza

a proposito del comportamento circuita delle linee e più fili in regime TEM continuano ad essere

valide per le linee non omogenee nel campo di funzionamento quasi-TEM.

Anche in questo caso, le equazioni dei telegrafisti testé illustrate sostituiscono a tutti gli effetti le

equazioni di Maxwell ai fini della descrizione dei modi.

Infine, è ancora possibile descrivere un circuito equivalente per la propagazione quasi-TEM inteso

nello stesso senso già discusso nel capitolo scorso (vedremo meglio questo aspetto più avanti).

6.5 – Determinazione (della costante di propagazione) dei modi quasi-TEM

Consideriamo il nostro sistema a m+1 conduttori; ormai, giunti fino a questo punto, il concetto di

modo presumibilmente ci esce dalle orecchie, così come la dipendenza da ze γ−

Lo scopo che ci prefiggiamo è proprio quello di trovare delle soluzioni alle equazioni

( ) ( )0

d

d

zj z

zω= −

VL I

( ) ( )ω= −d

d

zj z

z

ICV

che abbiano dalla coordinata assiale una dipendenza del tipo:

( ) 0

zz e γ−=V V

( ) 0

zz e γ−=I I

con 0V e

0I vettori costanti (calcolati in z = 0, e da qui lo 0 al pedice) da determinarsi.

Sostituendo queste relazioni direttamente all’interno delle equazioni dei telegrafisti si ha:

( ) ( )0

d

d

zj z

zω= −

VL I ( )d

dj z

zω= −ICV

( )0 0

d

d

ze j zz

γ ω− = − V L I ( )0

d

d

ze j zz

γ ω− = − I CV

0 0 0

z ze j eγ γγ ω− −− = −V L I 0 0

z ze j eγ γγ ω− −− = −I CV

0 0 0jγ ω=V L I

0 0jγ ω=I CV

Sostituiamo la seconda equazione nella prima:

00 0

j jωγ ω

γ =

CVV L

2 2

0 0 0γ ω= −V L CV 2 2

0 0 00γ ω+ =V L CV

( )2 2

0 00

mγ ω+ =I L C V

Questa equazione risolvente rappresenta in realtà un sistema di m equazioni lineari omogenee in

m incognite (gli elementi del vettore 0V ). Poiché soltanto le soluzioni diverse dalla ovvia (cioè

quella nulla, 00=V ) hanno interesse, si deve imporre che γ sia tale da rendere soddisfatta

l’equazione:

( )2 2

0det 0

mγ ω+ =I L C

Questa equazione algebrica di grado 2m in γ ammette 2m soluzioni distinte e opposte a due a due.

Essendo la struttura priva di perdite per ipotesi si può porre:

ωγ β= + = ±p

j jv

( pv è la velocità di fase)

Per cui si ha:

( )2 2

0det 0

mγ ω+ =I L C

22

02det 0m

pv

ω ω

− + =

I L C

0 2

1det 0m

pv

− =

L C I

Si noti che ai due valori opposti ( ± ) corrisponde la stessa soluzione, cioè la stessa distribuzione di

tensioni. Si può allora affermare che una linea a m fili con dielettrico non omogeneo è in grado di

sostenere m modi quasi-TEM linearmente indipendenti e aventi in generale costanti di

propagazione distinte.

Inoltre, notiamo che gli inversi dei quadrati delle velocità di fase di tali modi, cioè

2

1

pv

sono gli autovalori della matrice 0L C , e quindi dipendono esclusivamente dalle caratteristiche

della linea e non dalla frequenza, in accordo col carattere quasi-TEM dei modi stessi.

Dal punto di vista intuitivo, è facile rendersi conto della ragione della diversità delle velocità di

fase dei modi quasi-TEM (questo aspetto ha un risvolto importantissimo: in virtù della

p

j jv

ωγ β= ± = ± diversa per ogni modo quasi-TEM

i modi quasi TEM avranno diverse costanti di propagazione, quindi non saranno degeneri e non ci

sarà quindi bisogno di normalizzarli). Essendo il dielettrico non omogeneo, l’energia trasportata

dal generico di tali modi si ripartisce in diverse misure tra le varie regioni dielettriche, le cui

velocità di fase intrinseche sono diverse. Poiché in realtà la velocità del modo dev’essere unica, ci

si può aspettare intuitivamente che l’effettiva velocità di propagazione dell’energia sia una media

pesata delle velocità di quest’ultima nelle varie regioni omogenee (frazioni di riempimento).

Poiché per un modo trasversale la velocità di propagazione dell’energia coincide con la velocità di

fase pv , la stessa conclusione vale per pv :

1

N

p k pkk

v w v=∑≃

(k

w sono i pesi dati alle varie velocità di fase)

Quindi gli m modi quasi-TEM hanno diverse configurazioni di campo elettromagnetico, il ché

implica che vi siano diverse ripartizioni dell’energia: a seconda di come saranno distribuite le

tensioni e le correnti avremo infatti delle sezioni con potenza massima e delle sezioni con potenza

nulla. L’altro effetto di queste ripartizioni sta nel fatto che i conduttori si accoppieranno a livello

capacitivo e potremo quindi avere interferenza fra i segnali che si propagano.

Sia ora piv la velocità di fase del modo i-esimo e ix l’autovettore di

0L C corrispondente

all’autovalore 21

piv. Per definizione si ha:

0 2

10m i

pv

− =

L C I x

Se ora confrontiamo con

( )2 2

0 00

mγ ω+ =I L C V

capiamo che si può assumere:

0 p piv v i= =V x

L’autovettore ix assume allora il significato di vettore delle tensioni sul piano z = 0 in presenza del

solo modo i-esimo e fissa, quindi, i valori delle tensioni e delle correnti sui conduttori nella sezione

di alimentazione in presenza del solo modo i-esimo7.

Siccome, ricordiamo, si ha

0 0

jγ ω=I CV p

j jv

ωγ β= ± = ±

0 0

p

j jv

ω ω± =I CV

0 0pv= ±I CV

allora

0 p piv v pi iv= = ±I Cx

Insomma, grazie al principio di sovrapposizione degli effetti, alla fine possiamo esprimere il

campo quasi-TEM della linea come somma di m onde del tipo:

0 p piv v i= =V x ( )ω ω− +

+ −

= +

pi pi

j z j zv v

i i i iz V e V eV x

0 p piv v pi iv= = ±I Cx ( )ω ω− +

+ −

= −

pi pi

j z j zv v

i pi i i iz v V e V eI Cx

In altre parole, se poniamo: 1 0

0

p

m

z

zz

z

e

e

e

γ

γ

γ

−

−−

−

=

Γe

10

0

p

pj

pm

v

v

v

=

v

(matrice con gli esponenziali) (matrice delle velocità di fase)

1

111 1

1

mp

p m

m pm mm

xx x

x x x

= x xx

M ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮

(gli autovettori tutti affiancati)

Le soluzioni prendono la seguente forma:

( ) ( )( ) ( )

z z

z z

z e e

z e e

−+ −

−+ −

= +

= −

Γ Γ

Γ Γ

V M V V

I CMv V V

Queste relazioni sostituiscono le

7 Inoltre, tale autovettore fissa le condizioni al contorno per il potenziale scalare elettrico.

( )

( ) 0 0

1 1

z z

z z

z e e

z e e

σ σ

σ σ

ηε ηε

−+ −

−+ −

= +

= −

V V V

I C V C V

e ne costituiscono l’estensione a un dielettrico non omogeneo. La differenza fondamentale fra i

due casi consiste nel fatto che in dielettrico non omogeneo si hanno in generale tante diverse

velocità di fase quanti sono i conduttori della linea.

Se ora (hp: regime d’onda puramente progressivo) sostituiamo la

( ) −+= ⋅ zz e Γ

I CMv V ⇒ ( ) − − − −+=1 1 1 zz e Γ

I C M v V

nella

( ) −+= ⋅ zz e Γ

V M V

abbiamo:

( ) ( )1 1 1z z− − −=V Mv M C I

Per cui le espressioni delle matrici impedenza e ammettenza caratteristica sono:

impedenza caratteristica 1 1 1

c

− − −=Z Mv M C

ammettenza caratteristica ( )−− − − − −= = =1

1 1 1 1 1

c cY Z Mv M C CMvM (8)

Inoltre, si ha:

c=CMv YM

Se sostituiamo questa quantità nel sistema

( ) ( )( ) ( )

z z

z z

z e e

z e e

−+ −

−+ −

= +

= −

Γ Γ

Γ Γ

V M V V

I CMv V V

ci spunta fuori questa formulazione, più consueta per noi abituati alle formule

dell’elettromagnetismo classico:

( ) ( )( ) ( )

z z

z z

c

z e e

z e e

−+ −

−+ −

= +

= −

Γ Γ

Γ Γ

V M V V

I YM V V

Per confronto, nel caso di dielettrico omogeneo e conduttori perfetti, valgono le:

( )( ) ( )

z z

z z

c

z e e

z e e

σ σ

σ σ

−+ −

−+ −

= +

= −

V V V

I Y V V

Si passa quindi da un caso all’altro eseguendo le sostituzioni z ze eσ− −⇔ Γ

M z ze eσ ⇔ ΓM

cioè mettendo in conto il fatto che, anziché avere un unico fattore di propagazione, se ne hanno m,

ognuno associato ad una specifica distribuzione di tensioni sui conduttori, rappresentata dal

vettore ix (cioè dall’i-esima colonna di M).

Ricordiamo che le considerazioni fatte fin’ora valgono soltanto a frequenze basse: oltre una certa

pulsazione limite lim

ω , infatti, i termini della serie di Mac Laurin di grado superiore a 1 iniziano ad

avere influenza: 2 4

0 2 4

prima li trascuravamo;ora iniziano a farsi sentire!

...t t t t

R R

ω ωω ω

+ + +

E E E E∼

R

ω il più piccolo dei raggi di convergenza della serie

8 Attenzione all’ordine delle matrici!

Questo è quel che si ha nella curva di

Qui il modo è quasi-TEM (guidato)

6.6 – Linea TEM associata ad un modo quasi

In un mezzo omogeneo e privo di perdite, la propagazione di un modo TEM in senso proprio è

caratterizzata da due grandezze: velocità di fase e impedenza d’

Se 0

µ µ= è la permeabilità magnetica del nostro mezzo, che ha anche costante dielettrica relativa

rε , esse sono espresse così:

• velocità di fase v

• impedenza d’onda η

Si consideri ora il generico (i-esimo) modo quasi

omogeneo. Se piv è la velocità di fase di questo modo, si può ovviamente scrivere:

0pi

eff

i

vv

ε=

Dunque la velocità di fase del modo quasi

supponiamo che esso si propaghi in un mezzo omogeneo di permettività relativa pari a

Analogamente possiamo definire per il modo quasi

A questo punto si supponga, per fissare le idee, che nella struttura non omogenea (

TEM) sia eccitato il solo modo

progressiva. Il regime elettrico della linea è allora espresso dai vettori di tensioni e di correnti:

Questo è quel che si ha nella curva di dispersione:

TEM (guidato) Qui vi sono modi ibridi (dispersivi)

e modi radianti

Linea TEM associata ad un modo quasi-TEM


caratterizzata da due grandezze: velocità di fase e impedenza d’onda.

è la permeabilità magnetica del nostro mezzo, che ha anche costante dielettrica relativa

0

0 0

1 1p

r r

vv

µε µ ε ε ε= = = ,

0v = velocità della luce;

0 0

0 r r

µ ηµηε ε ε ε

= = = , 0

η = impedenza intrinseca del vuoto.

esimo) modo quasi-TEM di una linea a più fili con dielettrico non

è la velocità di fase di questo modo, si può ovviamente scrivere:

eff dove

2

0eff

i

pi

v

vε

=

(permettività efficace)

Dunque la velocità di fase del modo quasi-TEM coincide con quella di un modo TEM se

supponiamo che esso si propaghi in un mezzo omogeneo di permettività relativa pari a

Analogamente possiamo definire per il modo quasi-TEM una impedenza d’onda efficace

0 0

0

eff

i eff effi i

µ ηηε ε ε

= =

A questo punto si supponga, per fissare le idee, che nella struttura non omogenea (

TEM) sia eccitato il solo modo i-esimo con ampiezza unitaria e regime d’onda puramente

. Il regime elettrico della linea è allora espresso dai vettori di tensioni e di correnti:

( )

( )

pi

pi

j zv

i i

j zv

i pi i

z e

z v e

ω

ω

−

−

=

=

V x

I Cx

Qui vi sono modi ibridi (dispersivi)


è la permeabilità magnetica del nostro mezzo, che ha anche costante dielettrica relativa

velocità della luce;

impedenza intrinseca del vuoto.

TEM di una linea a più fili con dielettrico non

è la velocità di fase di questo modo, si può ovviamente scrivere:

)

TEM coincide con quella di un modo TEM se

supponiamo che esso si propaghi in un mezzo omogeneo di permettività relativa pari a eff

iε .

mpedenza d’onda efficace nella forma:

A questo punto si supponga, per fissare le idee, che nella struttura non omogenea ( modi quasi-

esimo con ampiezza unitaria e regime d’onda puramente

. Il regime elettrico della linea è allora espresso dai vettori di tensioni e di correnti:

A queste equazioni sono associate delle funzioni di modo trasversali che si indicheranno con

itH . Si prenda ora in esame la struttura omogenea associata e le si attribuisca il valore di

permettività relativa (costante)

sostenere un modo TEM la cui fun

modo quasi-TEM. La velocità di fase in questa struttura omogenea è ovviamente uguale a

cosicché i due modi considerati, TEM e quasi

lo stesso vettore delle correnti (i zI

Indicata con ciZ la matrice impede

Z C L L

Il vettore di tensioni associato con la propagazione del modo TEM nella struttura omogenea è

dunque espresso da:

( ) ( )ci i pi i i iZ I L Cx x V

I due modi considerati, TEM e quasi

danno anche luogo all’identico regime di correnti e di tensioni sui conduttori della linea; essi

differiscono fisicamente soltanto per la funzione di modo elettrica.

Questo ci apre interessanti scenari

calcolo dei modi nelle linee quasi

omogeneo ( modi quasi TEM)…

… il vettore delle tensioni e delle correnti

tensioni e correnti delle tre seguenti

TEM):

A queste equazioni sono associate delle funzioni di modo trasversali che si indicheranno con

. Si prenda ora in esame la struttura omogenea associata e le si attribuisca il valore di

permettività relativa (costante) eff

r iε ε= . Come già detto, questa struttura può certamente

sostenere un modo TEM la cui funzione di modo magnetica coincide con quella (

La velocità di fase in questa struttura omogenea è ovviamente uguale a

cosicché i due modi considerati, TEM e quasi-TEM, hanno lo stesso th e quindi per la

( ) d

k

j z

k t

l

I z e lβ−≈ ⋅∫ H τ

)zI .

la matrice impedenza caratteristica della linea omogenea, si ha:

ηη ε

µ−= = =1

0 0 0

0

ieff

ci ieff eff pivZ C L L


2

0( ) ( )pi pi

j z j zv v

ci i pi i i iz v e e z

ω ω− −

= = =Z I L Cx x V

I due modi considerati, TEM e quasi-TEM, oltre ad avere la stessa funzione di modo magnetica,


differiscono fisicamente soltanto per la funzione di modo elettrica.

Questo ci apre interessanti scenari per quanto riguarda la complessità dei metodi adottati per il

nelle linee quasi-TEM. Infatti, se abbiamo 3 linee accoppiate in dielettrico non

modi quasi TEM)…

il vettore delle tensioni e delle correnti che le descrive è la sovrapposizione dei vettori di

sioni e correnti delle tre seguenti strutture equivalenti (con dielettrico omogeneo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

z z z z

z z z z

= + +

= + +

V V V V

I I I I

A queste equazioni sono associate delle funzioni di modo trasversali che si indicheranno con itE e

. Si prenda ora in esame la struttura omogenea associata e le si attribuisca il valore di

. Come già detto, questa struttura può certamente

zione di modo magnetica coincide con quella (it

H ) relativa al

La velocità di fase in questa struttura omogenea è ovviamente uguale a piv ,

e quindi per la

nza caratteristica della linea omogenea, si ha:


oltre ad avere la stessa funzione di modo magnetica,


per quanto riguarda la complessità dei metodi adottati per il

nfatti, se abbiamo 3 linee accoppiate in dielettrico non

è la sovrapposizione dei vettori di

(con dielettrico omogeneo modi

( )( )

1 2 3

1 2 3

z z z z

z z z z

= + +V V V V

I I I I

CAPITOLO 7

Esempi di calcolo di linee di trasmissione

7.1 – Linea di trasmissione ordinaria con dielettrico non omogeneo

La linea di trasmissione ordinaria si ha quando m = 1, cioè quando abbiamo un solo conduttore caldo e un conduttore freddo (per un totale di m + 1 = 2 conduttori). In questo caso si ha che la matrice

1

111 1

1

mp

p m

m pm mm

xx x

x x x

= x xx

M ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮

che è notoriamente pari ad m x m, è pari a 1= M .

Dunque le

( ) ( )( ) ( )

z z

z z

c

z

z

−+ −

−+ −

= +

= −

Γ Γ

Γ Γ

V M e V e V

I YM e V e V

diventano:

( )

( ) 1

p p

p p

j z j zv v

j z j zv v

c

V z e V e V

I z e V e VZ

ω ω

ω ω

−

+ −

−

+ −

= + = −

Come è facile immaginare, tutte le matrici si riducono a scalari e una simile sorte tocca anche a

0 0, e L C C . Si ha:

0 00

0

LC

µ ε=

Possiamo inoltre calcolarci velocemente la velocità di fase dell’unico modo quasi-TEM:

0 02 2

1 10 0m

p p

L Cv v

− = ⇒ − =L C I

2 0 00 0

0 00

1

p p

C CL C v v v

C CL C µ ε= ⇒ = = =

Ne consegue dunque che: 2

2

0 0

000

eff

p

v v C

v CCv

C

ε

= = =

Possiamo ora trovare le espressioni anche:

• della costante di fase: 0

0

p p

Cj j

v v v C

ω ω ωγ β β= ± = ± ⇒ = ± =

• dell’impedenza caratteristica: 0

0 0

1 1c

p

LZ

v C C v CC= = =

certa costante dielettrica efficace): capiamo immediatamente che, se vogliamo alte impedenze, dobbiamo disporre di un conduttore stretto e alto. Non possiamo tuttavia scendere troppo ccon le dimensioni1, perché in tal caso cade il modello di linea di trasmissione quasi-TEM, in quanto la larghezza del conduttore diventa paragonabile alla lunghezza d’onda. Sfruttando questo principio possiamo costruire degli

7.2 – Linee simmetriche a due fili

Un caso particolare di linee accoppiate di grande interesse tecnico è costituito dalle linee simmetriche a più fili. La sezione trasversale di una struttura di questo genere possiede un asse di simmetria.

Se siamo sotto la pulsazione limite (oltre la quale scompare l’approssimazione quasisosteniamo m = 2 modi quasi-TEM aventi velocità di fase

v

1 Un limite tecnologico sembra essere w/h

L’impedenza caratteristica, per questo tipo di linee di trasmissione, ha in genere un valore minimo di 20 Ω e un valore massimo attorno ai 100 Ω . Dall’espressione di

dipende dalla capacità C

dipende dalle caratteristiche geometriche del conduttore (larghezza w, altezza sinistra vediamo come essa varia

rapporto wh

(ad ogni curva corrisponde una

certa costante dielettrica efficace): capiamo immediatamente che, se vogliamo alte impedenze, dobbiamo disporre di un conduttore stretto e alto. Non possiamo tuttavia scendere troppo con l’impedenza e

, perché in tal caso cade il modello di , in quanto la larghezza

del conduttore diventa paragonabile alla lunghezza

Sfruttando questo principio possiamo costruire degli adattatori di impedenza

Sempre limitatamente al caso di strutture quasiconduttori (m = 1), gli effetti del comportamento non ideale dei conduttori sono suscettibili di una semplice interpretazione circuitale (v. figura affianco).

Linee simmetriche a due fili

Un caso particolare di linee accoppiate di grande interesse tecnico è costituito dalle linee simmetriche a più fili. La sezione trasversale di una struttura di questo genere possiede un asse di

e siamo sotto la pulsazione limite (oltre la quale scompare l’approssimazione quasiTEM aventi velocità di fase

01

1

p

eff

vv

ε= 0

2

2

p

eff

vv

ε=

w/h = 0,2.

L’impedenza caratteristica, per questo tipo di linee di trasmissione, ha in genere un valore

e un valore massimo attorno ai . Dall’espressione di

cZ capiamo che essa

C la quale, a sua volta, dipende dalle caratteristiche geometriche del

, altezza h). Nel grafico a essa varia in funzione del

(ad ogni curva corrisponde una

certa costante dielettrica efficace): capiamo immediatamente che, se vogliamo alte impedenze,

i impedenza (v. figura a destra).

Sempre limitatamente al caso di strutture quasi-TEM a due = 1), gli effetti del comportamento non ideale

dei conduttori sono suscettibili di una semplice interpretazione circuitale (v. figura affianco).

Un caso particolare di linee accoppiate di grande interesse tecnico è costituito dalle linee simmetriche a più fili. La sezione trasversale di una struttura di questo genere possiede un asse di

e siamo sotto la pulsazione limite (oltre la quale scompare l’approssimazione quasi-TEM)

espressi si ha inoltre l’uguaglianza

Esaminato questo scenario, capiamo bene il motivo della struttura simmetrica delle matrici induttanza e capacità (entrambe 2 x 2):

Secondo quanto abbiamo detto nel capitolo scorso, la velocità di fase dei due modi quasila linea può sostenere sono legate agli autovalori della matrice:

0L C

Questa matrice è del tipo

con:

I suoi autovalori sono dunque:

Mentre gli autovettori sono:

1 1

1

1

= = =

x V

Affiancando tali autovettori otteniamo immediatamente la matrice

Non è finita qui; possiamo ricavare anche l

( )1

11 12 11 12

1 1pv

a b L L C C= =

+ + +

11

22C

Anche questa volta possiamo disegnare un circuito equivalente, che però deve tenere conto:

• della presenza di due conduttori (invece che di uno solo) e dal conseguente accumulo di energia magnetica su ognuno di essi (vedi le due induttanze

ed 22L , che poniamo essere uguali dato che i due

conduttori sono indistinguibili sia dal punto di vista fisico che da quello elettromagnetico, così come sono uguali i termini incrociati

12L =L

• dalla presenza di tre contributi

capacità intrinseca del primo conduttore

intrinseca per il secondo conduttore

mutua fra i due conduttori. Per gli stessi motespressi si ha inoltre l’uguaglianza

11C =

22C .

Esaminato questo scenario, capiamo bene il motivo della struttura simmetrica delle matrici induttanza e capacità (entrambe 2 x 2):

= =

11 12 11 12

21 22 12 11

C C C C

C C C CC

11 12 11 12

0

21 22 12 11

L L L L

L L L L

= =

L

Secondo quanto abbiamo detto nel capitolo scorso, la velocità di fase dei due modi quasila linea può sostenere sono legate agli autovalori della matrice:

11 11 12 12 11 12 12 11

11 12 12 11 11 11 12 12

L C L C L C L C

L C L C L C L C

+ + = + +

L C

a b

b a

a = 11 11 12 12L C L C+

b = 11 12 12 11L C L C+

( )( )11 12 11 12a b L L C C+ = + +

( )( )11 12 11 12a b L L C C− = − −

( )1 10z= = =x V e (2 2

1

1z

= = = −

x V

Affiancando tali autovettori otteniamo immediatamente la matrice M: 1 1

1 1

= −

M

possiamo ricavare anche le velocità di fase per i due modi

( )11 12 11 12

1 1

L L C C+ +

(2

11 12 11 12

1 1pv

a b L L C C= =

−

Anche questa volta possiamo disegnare un circuito valente, che però deve tenere conto:

della presenza di due conduttori (invece che di uno solo) e dal conseguente accumulo di energia magnetica su ognuno di essi (vedi le due induttanze

11L

amo essere uguali dato che i due

conduttori sono indistinguibili sia dal punto di vista fisico che da quello elettromagnetico, così come sono

21L );

contributi capacitivi: 11C ,

capacità intrinseca del primo conduttore, 22C , capacità

intrinseca per il secondo conduttore, =12 21C C , capacità

fra i due conduttori. Per gli stessi motivi poco fa

Esaminato questo scenario, capiamo bene il motivo della struttura simmetrica delle matrici

Secondo quanto abbiamo detto nel capitolo scorso, la velocità di fase dei due modi quasi-TEM che

)0= = =

per i due modi:

)( )11 12 11 12

1 1

L L C C− −

Inoltre, siamo già in grado di calcolare le correnti per i due modi:

( )1 1 10

pz v= = =I Cx

( )2 2 20

pz v= = =I Cx

Notiamo immediatamente che: • il modo avente pedice 1…

( )1

10

1z

= =

V

… impone su entrambi i conduttori la stessa ten

1x ha due 1 al suo interno);

• il modo avente pedice 2…

( )2

10

1z

= = −

V

… impone su entrambi i conduttori la stessa tensione e la stessa corrente in modulo, ma in opposizione di fase (dovuto al

Per via delle simmetrie instauratemodo pari, mentre il modo col pedice 2 è il In presenza del solo modo pari (d’ora in poi useremo il pedice

(

E E E

E E E

V

I

dove

1E

pE

Zv C C C C C

= = =

Si noti che in presenza del solo modo pari

Questa è una condizione al contorno notevole, pari a quella che presenza del modo pari: stiamo infatti studiando la cosiddetta 2 Lo zero è l’unico numero che cambiato di segno dà sé stesso!

grado di calcolare le correnti per i due modi:

( )( )11 12

1 1 1

12 1111 12 11 12

1p

C Cz v

C CL L C C

= = =

+ + I Cx

( )( )11 12

2 2 2

12 1111 12 11 12

1p

C Cz v

C CL L C C

= = =

− − I Cx

( )( )(1

11 12 11 12

10z

L L C C= =

+ +I

… impone su entrambi i conduttori la stessa tensione e la stessa corrente (infatti il vettore ha due 1 al suo interno);

( )( )( )2

11 12 11 12

10z

L L C C= =

− −I

… impone su entrambi i conduttori la stessa tensione e la stessa corrente in modulo, ma in opposizione di fase (dovuto al ‒1 all’interno di

2x ).

Per via delle simmetrie instauratesi all’interno del circuito, diremo che il modo con pe, mentre il modo col pedice 2 è il modo dispari.

In presenza del solo modo pari (d’ora in poi useremo il pedice E di even) si

( )

( )

1

1

11

1

pE pE

pE pE

j z j zv v

E E E

j z j zv v

E E E

E

z e V e V

z e V e VZ

ω ω

ω ω

−

+ −

−

+ −

= +

= −

V

I

( )( )( )

11 12 11 12 11 12

11 12 11 12

1

pE

L L C C L L

v C C C C C

+ + += = =+ +

Si noti che in presenza del solo modo pari la distribuzione del potenziale scalare elettrico è simmetrica rispetto all’asse di simmetria della sezione trasversale, perché tali sono le condizioni al contorno imposte ad esso. Si ha infatti:

( ) (, ,x y x yφ φ= −

( ) (, ,x y x yx x

φ φ∂ ∂= − −∂ ∂

Se poniamo x = 0:

( ) ( )0, 0, 0y yx x

φ φ∂ ∂= − =∂ ∂

(2)

Questa è una condizione al contorno notevole, pari a quella che avremmopresenza del modo pari: stiamo infatti studiando la cosiddetta linea del modo

Lo zero è l’unico numero che cambiato di segno dà sé stesso!

1

1

1

1

−

)11 12

12 1111 12 11 12

1

1

C C

C C

sione e la stessa corrente (infatti il vettore

)11 12

12 1111 12 11 12

1

1

C C

C C

−

… impone su entrambi i conduttori la stessa tensione e la stessa corrente in modulo, ma in

all’interno del circuito, diremo che il modo con pedice 1 è il

ha:

la distribuzione del potenziale scalare elettrico è simmetrica rispetto all’asse di simmetria della sezione trasversale, perché tali sono le condizioni al contorno imposte

), ,x y x y

), ,x y x y= − −

avremmo (sempre con la sola linea del modo pari, non la linea

complessiva in cui troviamo anche il modo dispari) parte di destra) con un conduttore magnetico perfetto. La cosa semplifica molto i calcoli nell’analisi elettromagnetica perché, in presenza di un modo pari, lcomportano in modo analogo e dunque basta analizzarne soltanto una In maniera perfettamente analoga possiamo prendere in considerazione il secondo modo quasiTEM (quello dispari, pedice O da

(

(

O O O

O O O

V

I

dove OZ è pari a:

1O

pO

Zv C C C C C

= = =

Si noti che in presenza del solo modo dispari la distribuzione del potenziale scalare elettrico è

Questa è una condizione al contorno notevole, pari a quelpresenza del modo dispari: stiamo infatti studiando la cosiddetta complessiva in cui troviamo anche il modo parte di destra) con un conduttore Nel caso più generale, il regime elettrico della linea a due fili sarà la sovrapposizione dell’onda pari e dell’onda dispari. Indicando con

( )1V z V z V z= +

( )2V z V z V z= −

le tensioni e le correnti sui due fili e riscrivendo le matrici relative a tale caso generico

3 Questo metodo non è valido solo in questo caso, ma ogni volta che individuiamo una simmetria in una certa struttura. 4 Vedi nota 2. 5 Abbiamo derivato rispetto ad y, non rispetto ad

complessiva in cui troviamo anche il modo dispari) se sostituissimo metà struttura (ad esempio la parte di destra) con un conduttore magnetico perfetto. La cosa semplifica molto i calcoli nell’analisi elettromagnetica perché, in presenza di un modo pari, le due metà della struttura si comportano in modo analogo e dunque basta analizzarne soltanto una3.

In maniera perfettamente analoga possiamo prendere in considerazione il secondo modo quasiodd). In sua sola presenza si ha

( )

)

1

1

11

1

pO pO

pO pO

j z j zv v

O O O

j z j zv v

O O O

O

z e V e V

z e V e VZ

ω ω

ω ω

−

+ −

−

+ −

= + −

= − −

( ) ( )( )

11 12 11 12 11 12

11 12 11 12

1

pO

L L C C L L

v C C C C C

− − −= = =− −

Si noti che in presenza del solo modo dispari la distribuzione del potenziale scalare elettrico è antisimmetrica rispetto all’asse di simmetria della trasversale, perché tali sono le condizioni al contorno imposte ad esso. Si ha infatti:

( ) (, ,x y x yφ φ= − −

( ) (, ,x y x yy y

φ φ∂ ∂= − −∂ ∂

Se poniamo x = 0:

( ) ( )0, 0, 0y yy y

φ φ∂ ∂= − =∂ ∂

(4)

Questa è una condizione al contorno notevole, pari a quella che avremmo (sempre con la sola : stiamo infatti studiando la cosiddetta linea del modo

complessiva in cui troviamo anche il modo pari) se sostituissimo metà struttura (ad esempio la conduttore elettrico perfetto5.

Nel caso più generale, il regime elettrico della linea a due fili sarà la sovrapposizione dell’onda pari e dell’onda dispari. Indicando con

( ) ( )E OV z V z V z= + ( ) ( ) ( )1 E OI z I z I z= +

( ) ( )E OV z V z V z= − ( ) ( ) ( )2 E OI z I z I z= −

1

1

1

=

x 2

1

1

= −

x


Questo metodo non è valido solo in questo caso, ma ogni volta che individuiamo una simmetria in una certa

, non rispetto ad x!

metà struttura (ad esempio la parte di destra) con un conduttore magnetico perfetto. La cosa semplifica molto i calcoli

e due metà della struttura si

In maniera perfettamente analoga possiamo prendere in considerazione il secondo modo quasi-

Si noti che in presenza del solo modo dispari la distribuzione del potenziale scalare elettrico è antisimmetrica rispetto all’asse di simmetria della sezione trasversale, perché tali sono le condizioni al contorno imposte

), ,x y x y

), ,x y x y= − −

la che avremmo (sempre con la sola linea del modo dispari, non la linea

sostituissimo metà struttura (ad esempio la

Nel caso più generale, il regime elettrico della linea a due fili sarà la sovrapposizione dell’onda


Questo metodo non è valido solo in questo caso, ma ogni volta che individuiamo una simmetria in una certa

1 2

1 1,

1 1

= = −

M x x

C p= =Z Mv M C

possiamo esprimere così le seguenti relazioni:

( ) (1 2

E

V z V zV z =

( ) (1 2

O

V z V zV z =

Esse consentono di trovare le componenti pariviceversa.

Si noti che i modi pari e dispari potevamo tranquillamente averli anche in una struttura TEM simmetrica (v. figura): in tal caso, però, le costanti di propagazione del modo pari e dispari saTEM

Quasi

7.3 – Linea simmetrica alimentata e caricata

Quando la linea, anziché essere illimitata in direzione assiale, è alimentata e caricata al finitocondizioni al contorno (cioè di alimentazione e di carico) ad essa imposte dal mondo esterno si esprimono matematicamente come equazioni lineari tra le grandezze

( )1V z V z V z= +

( )2V z V z V z= −

sulla sezione iniziale e terminale. Queste equazioni danno luogo a condizioni al contorno sulle tensioni e correnti dei modi pari e dispari. Le linee dei modi pari e dispari possono essere studiate separatamente allo scopo di determinare

( )

( ) 1

pE pE

pE pE

j z j zv v

E E E

j z j zv v

E E E

E

z e V e V

z e V e VZ

ω ω

ω ω

−

+ −

−

+ −

= +

= −

V

I

Una volta note, in ogni z, le tensioni e correnti, siamo in grado di esprimere completamente il regime elettrico della linea a due fili. In conclusione, i concetti di linea del modo pari e del modo dispari consentono di ricondurre qualsiasi problema relativo a una linea simmetrica a due fili a un problema di gran lunga più semplice, relativo a due linee a un filo tra loro disaccoppiate salvo che nelle sezionalimentazione e di carico. Per chiarire questo discorso si studierà ora il regime elettrico di una linea simmetria a due fili una semplice situazione circuitale

1 1

1 1

0

0

pE

p

pO

v

v

=

v C

1 1 1 1

2

E O E O

C p

E O E O

Z Z Z Z

Z Z Z Z

− − − + − = = + +

Z Mv M C

possiamo esprimere così le seguenti relazioni: ) ( )1 2

2

V z V z+ ( ) ( ) (1 2

2E

I z I zI z

+=

) ( )1 2

2

V z V z− ( ) ( ) (1 2

2E

I z I zV z

−=

Esse consentono di trovare le componenti pari e dispari di un dato regime elettrico della linea e

Si noti che i modi pari e dispari potevamo tranquillamente averli anche in una struttura TEM simmetrica (v. figura): in tal caso, però, le costanti di propagazione del modo pari e dispari sarebbero state uguali. TEM

E Oβ β=

Quasi-TEM E O

β β≠

Linea simmetrica alimentata e caricata non all’infinito

Quando la linea, anziché essere illimitata in direzione assiale, è alimentata e caricata al finitocondizioni al contorno (cioè di alimentazione e di carico) ad essa imposte dal mondo esterno si esprimono matematicamente come equazioni lineari tra le grandezze

( ) ( )E OV z V z V z= + ( ) ( ) ( )1 E O

I z I z I z= +

( ) ( )E OV z V z V z= − ( ) ( ) ( )2 E O

I z I z I z= −

sulla sezione iniziale e terminale. Queste equazioni danno luogo a condizioni al contorno sulle tensioni e correnti dei modi pari e dispari. Le linee dei modi pari e dispari possono essere studiate separatamente allo scopo di determinare i rispettivi regimi elettrici tramite le

1

1

1

1

pE pE

j z j z

E E E

j z j zv v

E E E

z e V e V

z e V e V

ω ω

+ −

+ −

( )

( ) 1

pO pO

pO pO

j z j zv v

O O O

j z j zv v

O O O

O

z e V e V

z e V e VZ

ω ω

ω ω

−

+ −

−

= +

= −

V

I

, le tensioni e correnti, siamo in grado di esprimere completamente il regime elettrico della linea a due fili.

concetti di linea del modo pari e del modo dispari consentono di ricondurre qualsiasi problema relativo a una linea simmetrica a due fili a un problema di gran lunga più

relativo a due linee a un filo tra loro disaccoppiate salvo che nelle sezion

Per chiarire questo discorso si studierà ora il regime elettrico di una linea simmetria a due fili .

11 12

12 11

C CC

C C

=

)I z I z

)I z I z

e dispari di un dato regime elettrico della linea e

Si noti che i modi pari e dispari potevamo tranquillamente averli anche in una struttura TEM simmetrica (v. figura): in tal caso, però, le costanti di propagazione del modo pari e dispari

Quando la linea, anziché essere illimitata in direzione assiale, è alimentata e caricata al finito, le condizioni al contorno (cioè di alimentazione e di carico) ad essa imposte dal mondo esterno si

sulla sezione iniziale e terminale. Queste equazioni danno luogo a condizioni al contorno sulle tensioni e correnti dei modi pari e dispari. Le linee dei modi pari e dispari possono essere studiate

i rispettivi regimi elettrici tramite le

1

1

1

1

pO pO

pO pO

j z j zv v

O O O

j z j zv v

O O O

z e V e V

z e V e V

ω ω

ω ω

+ −

+ −

= + −

= − −

, le tensioni e correnti, siamo in grado di esprimere completamente il

concetti di linea del modo pari e del modo dispari consentono di ricondurre qualsiasi problema relativo a una linea simmetrica a due fili a un problema di gran lunga più

relativo a due linee a un filo tra loro disaccoppiate salvo che nelle sezioni di

Per chiarire questo discorso si studierà ora il regime elettrico di una linea simmetria a due fili in

Il numero A si suppone, com’è lecito, reale e positivo.Calcoliamoci subito cosa accade nella sezione d’alimentazione con tensioni e correnti:

( ) ( ) ( )+= = =1 2

0 0 2 00

2 2E

V VV A

Poiché la linea è adattata, tensioni e correnti dei modi pari e dispari sono espresse da

EV z Ae

OV z Ae

Siccome siamo bravi, possiamo immediatamente ogni filo:

( ) ( ) ( ) (1 E OV z V z V z A e e

−= + = +

( ) ( ) ( )1

1 1Ej z

E O

E O

I z I z I z A e eZ Z

β− = + = +

Trovati questi valori possiamo esprimere la potenza attiva trasportata dalla lin

1somma delle potenzeriferite a ciascun

modo

m

i

P P V I V I=

= = + = +∑

Oppure, ragionando filo per filo priva di perdite; dunque non ci dà alcun fastidio estrarre la parte reale per calcolare la potenza trasportata singolarmente dai due fili) FILO 1

* 2

1 1 1

1 1 1 1Re Re2 2

P V I A e e e e= = + + =

2 1 1 1 1Re

2E E E Ej z j z j z j z

E E O O

Ae e e e e e e e

Z Z Z Z

β β β β− + + − = + + + =

( )2 21 1 1 1 1 1Re Re 1 cos cos

2 2 2E Oj z

E O E O E O

A Ae z P z

Z Z Z Z Z Z

β β+ − = + + + = + + − =

6 Non vi sono perdite e dunque la costante di propagazione è semplicemente:

Vediamo la situazione in figura affianco. La linea si suppone illimitata nel verso positivo dell’asse alimentata nella sezione tramite un generatore di tensione ideale di forza elettromotrice avente generatore è connesso al filo 1, mentre il filo 2 è a massa.

si suppone, com’è lecito, reale e positivo. Calcoliamoci subito cosa accade nella sezione d’alimentazione con tensioni e correnti:

+= = =2 0

2 2

AV A ( ) ( ) (−

= = =1 20 0

02 2

O

V VV A

Poiché la linea è adattata, tensioni e correnti dei modi pari e dispari sono espresse da

( ) Ej z

EV z Ae

β−= ( ) Ej z

E

E

AI z e

Z

β−=

( ) Oj z

OV z Aeβ−= ( ) Oj z

O

O

AI z e

Z

β−=

Siccome siamo bravi, possiamo immediatamente calcolarci il regime elettrico che si instaura su

)OE j zj zV z V z V z A e e

ββ −−= + = + ( ) ( ) ( )2 E OV z V z V z A e e= − = −

1 1OE j zj z

E O


ββ − = + = +

( ) ( ) ( )2 E OI z I z I z A e e= − = −

Trovati questi valori possiamo esprimere la potenza attiva trasportata dalla lin

2* *

1

somma delle potenzeriferite a ciascun

modo

1 1 1 1

2 2 2

m

i E E O O

E O

AP P V I V I

Z Z=

= = + = +

∑

(la linea trasporta soltanto potenza attiva perché è adattata e priva di perdite; dunque non ci dà alcun fastidio estrarre la parte reale per calcolare la potenza trasportata singolarmente dai due fili), si ha:

( )* 21 1 1 1Re Re2 2

O OE Ej z j zj z j z

E O

P V I A e e e eZ Z

β ββ β− −− − = = + + =

1 1 1 1O O O OE E E Ej z j z j z j zj z j z j z j z

E E O O

e e e e e e e eZ Z Z Z

β β β ββ β β β− + + −− + + − = + + + =

((2 21 1 1 1 1 1Re Re 1 cos cos

2 2 2E O

E O E O E O

A Ae z P z

Z Z Z Z Z Zβ β

= + + + = + + − =

Non vi sono perdite e dunque la costante di propagazione è semplicemente:

E Ejγ β=

O Ojγ β=

Vediamo la situazione in figura affianco. La linea si suppone illimitata nel verso positivo dell’asse z e alimentata nella sezione z = 0 tramite un generatore di tensione ideale di forza elettromotrice pari a 2A e avente pulsazione ω . Il generatore è connesso al filo 1, mentre il filo 2 è a massa.

Calcoliamoci subito cosa accade nella sezione d’alimentazione con tensioni e correnti: ) += = =

0 0 2 0

2 2

AV A

Poiché la linea è adattata, tensioni e correnti dei modi pari e dispari sono espresse da6:

calcolarci il regime elettrico che si instaura su

) ( )OE j zj zV z V z V z A e e

ββ −−= − = −

1 1OE j zj z

E O


ββ −− = − = −

Trovati questi valori possiamo esprimere la potenza attiva trasportata dalla linea nella forma: 1 1 1 1

(la linea trasporta soltanto potenza attiva perché è adattata e priva di perdite; dunque non ci dà alcun fastidio estrarre la parte reale per calcolare la potenza

*

O Oj z j zP V I A e e e e

β β− − = = + + =

O O O Oj z j z j z j ze e e e e e e e

β β β β− + + − = + + + =

) ) 2Re Re 1 cos cos2 2 2

E OE Oe z P z

β ββ β − = + + + = + + − =

FILO 2

* 2

2 2 2

1 1 1 1Re Re2 2

P V I A e e e e= = − − =

2 1 1 1 1Re

2E E E Ej z j z j z j z

E E O O

Ae e e e e e e e

Z Z Z Z

β β β β− + + − = − − + =

( )2 21 1 1 1 1 1Re Re 1 cos sin

2 2 2E Oj z

E O E O E O

A Ae z P z

Z Z Z Z Z Z

β β+ − = + − + = + − − =

Come era logico attendersi, in ogni sezione trasversale la somma delle potenze trasportate dai due conduttori è costante e pari alla potenza

P = 1 2P P+ = 2 2 2 2cos sin cos sin

2 2 2 2

E O E O E O E OP z P z P z z Pβ β β β β β β β− − − − + = + =

Abbiamo quindi scoperto che la potenza sinusoidale sui due conduttori. Nella sezione z = 0 si ha

2 2

1 2cos 0 sin 0 0

2 2

E O E OP P P P Pβ β β β− − = ⋅ = = ⋅ =

e quindi tutta la potenza è detenuta dal filo 1Dopodiché, al crescere di z, la potenza da

la potenza sarà passata al filo 2, bisogna vedere per quali valori

Questi valori, infatti, rendono pari a filo 2). Si ha quindi che l’ascissa in cui tutta la potenza è detenuta dal filo 2 è:

Oltrepassando questo valore si ha un rovesciamento di tendenza fino al ritorno, insituazione di partenza. Ecco quindi graficato l’andamento della potenza sui due fili in funzione dell’ascissa z:

Tale fenomeno è detto di accoppiamento codirezionale

circuitali nei circuiti integrati a microonde. Nei problemi di trasmissione esso è più noto col nome di diafonia. La lunghezza l gioca un ruolo molto importante nel fenomeno di accoppiamento: essa rappresenta la distanza che bisogna percorrere affinché i due modi subiscano uno sfasamentdifferenziale pari a π .

7 Cosa che ci aspettavamo, vista la situazione circuitale che avevamo disegnato.

( )* 21 1 1 1Re Re2 2

O OE Ej z j zj z j z

E O

P V I A e e e eZ Z

β ββ β− −− − = = − − =

1 1 1 1O O O OE E E Ej z j z j z j zj z j z j z j z

E E O O

e e e e e e e eZ Z Z Z

β β β ββ β β β− + + −− + + − = − − + =

((2 21 1 1 1 1 1Re Re 1 cos sin

2 2 2E O

E O E O E O

A Ae z P z

Z Z Z Z Z Zβ β

= + − + = + − − =

Come era logico attendersi, in ogni sezione trasversale la somma delle potenze trasportate dai due conduttori è costante e pari alla potenza P complessivamente trasportata dalla linea. Infatti:

2 2 2 2cos sin cos sin2 2 2 2

E O E O E O E OP z P z P z z Pβ β β β β β β β − − − − + = + =

Abbiamo quindi scoperto che la potenza P si suddivide in maniera dinamica e

2 2

1 2cos 0 sin 0 0

2 2

E O E OP P P P Pβ β β β− − = ⋅ = = ⋅ =

e quindi tutta la potenza è detenuta dal filo 1(7). la potenza da

1P inizia a passare a

2P . Per capire il punto in cui tutta

la potenza sarà passata al filo 2, bisogna vedere per quali valori

2 2E O z

β β π−=

Questi valori, infatti, rendono pari a 0 il coseno ( potenza filo 1) e pari ad 1 il seno (Si ha quindi che l’ascissa in cui tutta la potenza è detenuta dal filo 2 è:

E O

z lπ

β β= =

−

Oltrepassando questo valore si ha un rovesciamento di tendenza fino al ritorno, insituazione di partenza. Ecco quindi graficato l’andamento della potenza sui due fili in funzione

accoppiamento codirezionale, con particolare riferimento alle applicazioni ti a microonde. Nei problemi di trasmissione esso è più noto col nome

gioca un ruolo molto importante nel fenomeno di accoppiamento: essa rappresenta la distanza che bisogna percorrere affinché i due modi subiscano uno sfasament

Cosa che ci aspettavamo, vista la situazione circuitale che avevamo disegnato.

*

O Oj z j zP V I A e e e e

β β− − = = − − =

O O O Oj z j z j z j ze e e e e e e e

β β β β− + + − = − − + =

) ) 2Re Re 1 cos sin2 2 2

E OE Oe z P z

β ββ β − = + − + = + − − =

Come era logico attendersi, in ogni sezione trasversale la somma delle potenze trasportate dai due complessivamente trasportata dalla linea. Infatti:

2 2 2 2cos sin cos sin2 2 2 2

E O E O E O E OP z P z P z z Pβ β β β β β β β − − − − + = + =

si suddivide in maniera dinamica e con andamento

cos 0 sin 0 0E O E O = ⋅ = = ⋅ =

. Per capire il punto in cui tutta

potenza filo 1) e pari ad 1 il seno ( potenza Si ha quindi che l’ascissa in cui tutta la potenza è detenuta dal filo 2 è:

Oltrepassando questo valore si ha un rovesciamento di tendenza fino al ritorno, in 2l, alla situazione di partenza. Ecco quindi graficato l’andamento della potenza sui due fili in funzione

, con particolare riferimento alle applicazioni

ti a microonde. Nei problemi di trasmissione esso è più noto col nome gioca un ruolo molto importante nel fenomeno di accoppiamento: essa

rappresenta la distanza che bisogna percorrere affinché i due modi subiscano uno sfasamento

È importante inoltre osservare che il fenomeno dell’accoppiamento codirezionale è strettamente condizionato dal fatto che le velocità di fase dei modi pari e dispari siano diverse. Infatti se

E Oβ β= la potenza non si trasferisce affatto, bensì…

( ) ( )2 2 2 2

1 2cos cos 0 sin sin 0 0

2 2

E O E OP P P P P P Pβ β β β− − = = = = = =

… è tutta in mano al conduttore 1! L’accoppiamento codirezionale non ha quindi luogo nelle linee a due fili con dielettrico omogeneo. Questo fenomeno ha grande importanza in molte applicazioni tecniche. In certi casi è voluto e viene utilizzato ad esempio per prelevare potenza da un collegamento in misura prefissata (accoppiatori codirezionali). In altri casi il fenomeno è parassita e dà luogo a una perturbazione del corretto funzionamento dei sistemi in cui si verifica. Il caso più tipico è rappresentato dalla diafonia tra linee parallele in un collegamento telefonico, ma altri casi oggi sempre più importanti si verificano nei moderni circuiti integrati, in cui la densità molto elevata di connessioni può dare luogo ad accoppiamenti indesiderati non trascurabili (ad es. tra diversi bus dati) nonostante i piccoli valori delle lunghezze in gioco.

Linee di trasmissione ordinarie

8.1 – Premessa: la rivincita delle grandezze classiche dell’elettromagnetismo

Studiando le linee di trasmissione abbiamo analizzato strutture elettromagnetiche in grado di

sostituire i circuiti classici alle alte frequenze.

Per descrivere il regime e.m. all’interno delle

linee di trasmissione abbiamo già utilizzato le

formule qui riportate a fianco della figura,

oppure abbiamo ragionato in termini di onda

incidente e di onda riflessa, analizzando i vari modi all’interno delle

strutture cilindriche (e formalizzando il rapporto fra porta fisica e porta

elettrica1). Nella realtà dei fatti, tuttavia, i parametri

circuiti per così dire “classici”), vengono ancora utili

descrivere le realtà più complesse

Vediamo, di seguito, come sia possibile effettuare questo tipo di analisi

nelle linee di trasmissione ordinarie

8.2 – Generalità: teoria assiomatica della linea di

Le linee di trasmissione ad un filo o

m fili già trattate: tuttavia, per la loro importanza, verranno in questo capitolo separatamente

trattate.

In questo caso abbiamo solamente due conduttori: uno

trasmissione ordinaria.

• L (induttanza per unità di lunghezza

(che, in assenza di perdite, sono l’unico contributo

l’accumulo di energia all’interno dello spezzone di linea di trasmissione;

• R (resistenza per unità di lunghezza

hanno una conducibilità mc

1 Tale rapporto è di 1 a 1 nella propagazione monomodale2 In realtà esistono anche linee di trasmissione in cui nessuno dei due conduttori è a potenziale di terra: in genere si tratta

configurazioni simmetriche in cui in ogni sezione trasversale i due conduttori hanno tensioni rispetto a massa opposte in seg

uguali in valore assoluto (linee bilanciate).

CAPITOLO 8

Linee di trasmissione ordinarie e teoria assiomatica

la rivincita delle grandezze classiche dell’elettromagnetismo


circuiti classici alle alte frequenze.

Per descrivere il regime e.m. all’interno delle

linee di trasmissione abbiamo già utilizzato le

formule qui riportate a fianco della figura,

oppure abbiamo ragionato in termini di onda

analizzando i vari modi all’interno delle


). Nella realtà dei fatti, tuttavia, i parametri L, C, G, R (tipici dei

circuiti per così dire “classici”), vengono ancora utilizzati anche per

e, per così dire, sono tornati in auge.


ordinarie.

: teoria assiomatica della linea di trasmissione ordinaria

trasmissione ad un filo o ordinarie costituiscono un caso particolare (

fili già trattate: tuttavia, per la loro importanza, verranno in questo capitolo separatamente

In questo caso abbiamo solamente due conduttori: uno caldo e l’altro freddo

Com’è noto, si può rigorosamente

equivalente della propagazione in una struttura

cilindrica a un filo più massa solo in presenza di un

modo TEM; abbiamo però illustrato come

in realtà farlo anche in presenza di modi quasi

ma solo facendo un’approssimazione (tanto migliore

quanto più bassa è la frequenza).

Vediamo in figura affianco il circuito e

lo studio di un modo TEM (

già detto, anche di un modo quasi

rappresenta uno spezzone infinitesimo d

induttanza per unità di lunghezza) rappresenta sia le proprietà autoinduttive del circuito

assenza di perdite, sono l’unico contributo che genera L) sia, se vi sono perdite,


resistenza per unità di lunghezza) rappresenta le perdite ohmiche: i conduttori, infatti,

mc finita (e non infinita, come nel caso ideale);

propagazione monomodale.

In realtà esistono anche linee di trasmissione in cui nessuno dei due conduttori è a potenziale di terra: in genere si tratta

configurazioni simmetriche in cui in ogni sezione trasversale i due conduttori hanno tensioni rispetto a massa opposte in seg

e teoria assiomatica

la rivincita delle grandezze classiche dell’elettromagnetismo


analizzando i vari modi all’interno delle


(tipici dei

zzati anche per


costituiscono un caso particolare (m = 1) delle linee a

fili già trattate: tuttavia, per la loro importanza, verranno in questo capitolo separatamente

freddo (cioè posto a massa)2.

rigorosamente parlare di circuito

equivalente della propagazione in una struttura

cilindrica a un filo più massa solo in presenza di un

abbiamo però illustrato come possiamo

in realtà farlo anche in presenza di modi quasi-TEM,

ma solo facendo un’approssimazione (tanto migliore

quanto più bassa è la frequenza).

Vediamo in figura affianco il circuito equivalente per

modo TEM (e, per quanto abbiamo

già detto, anche di un modo quasi-TEM): esso

rappresenta uno spezzone infinitesimo dz di linea di

sia le proprietà autoinduttive del circuito

) sia, se vi sono perdite,


rappresenta le perdite ohmiche: i conduttori, infatti,

finita (e non infinita, come nel caso ideale);

In realtà esistono anche linee di trasmissione in cui nessuno dei due conduttori è a potenziale di terra: in genere si tratta di

configurazioni simmetriche in cui in ogni sezione trasversale i due conduttori hanno tensioni rispetto a massa opposte in segno, ma

• G (conduttanza trasversale per unità di lunghezza

dovute alla sua conducibilità

• C (capacità per unità di lunghezza

illustrati nei capitoli precedenti.

Questi quattro parametri (L, R, G, C

pulsazione ω .

Definite tali quantità di base possiamo poi enunciare:

• l’impedenza della linea per unità di lunghezza

• l’ammettenza della linea per unità di lunghezza

Da qui la definizione di un analogo circuito equivalente, in cui sono

presenti

figura a sinistra).

Fatte queste precisazioni, le equazioni dei telegrafisti diventano:

Ai fini della presente trattazione, queste equazioni sostituiscono quelle di Maxwell.

Continuando nella nostra carrellata di parametri, d

Nel caso generico, così si esprime la

( ) ( ) (jγ ω α ω β ω= +

Essa è pari a:

γ α β ω ω= + = ± = ± + +

Se ora eleviamo al quadrato:

2 2 2

parte reale

α β αβ ω ω ω− + = − + +

Eguagliando le parti reali ed immaginarie si ha:

Per quanto riguarda i conduttori,

correnti

Γ = ZY

dove:

• ( )pV z = zV e−Γ

+ è la parte progressiva

3 Le relazioni che legano la costante di fase e di ampiezza alla pulsazione sono non lineari e quindi abbastanza complesse.

conduttanza trasversale per unità di lunghezza), è associata alle

conducibilità mc non nulla (e non pari a zero, come nel caso ideale);

capacità per unità di lunghezza) è dovuta agli accoppiamenti capacitivi e agli effetti già

illustrati nei capitoli precedenti.

L, R, G, C) sono detti parametri primari della linea e dipendono dalla

Definite tali quantità di base possiamo poi enunciare:

per unità di lunghezza: ω= +Z R j L

per unità di lunghezza: Y G j Cω= +


presenti soltanto l’ammettenza in parallelo e l’impedenza in serie (v.

figura a sinistra).


= − = −

d

d

d

d

VZI

z

IYV

z


Continuando nella nostra carrellata di parametri, definiamo poi l’impedenza caratteristica della linea

ωω

+=+

≜cZ R j L

ZY G j C

enerico, così si esprime la costante di propagazione:

)γ ω α ω β ω ( )( )

costante di attenuazione

costante di fase

α ω

β ω

→

→

( )( )γ α β ω ω= + = ± = ± + +j ZY R j L G j C

( )( )2 2 R j L G j Cα β ω ω− = + +

( )2 2 2

parte realeparte immag.parte immaginaria

2j RG LC j RC LGα β αβ ω ω ω− + = − + +

parti reali ed immaginarie si ha:

( )2 2 2

2

RG LC

RG LC

α β ωαβ ω

− = − = +

Per quanto riguarda i conduttori, possiamo scrivere le seguenti relazion

ZY

( )

( ) ( )1

z z

z z

c

V z V e V e

I z V e V eZ

−Γ Γ+ −

−Γ Γ+ −

= + = −

progressiva dell’onda;

Le relazioni che legano la costante di fase e di ampiezza alla pulsazione sono non lineari e quindi abbastanza complesse.

è associata alle perdite nel dielettrico

non nulla (e non pari a zero, come nel caso ideale);

) è dovuta agli accoppiamenti capacitivi e agli effetti già

linea e dipendono dalla


l’ammettenza in parallelo e l’impedenza in serie (v.



impedenza caratteristica della linea:

costante di attenuazione (3)

possiamo scrivere le seguenti relazioni per le tensioni e le

Le relazioni che legano la costante di fase e di ampiezza alla pulsazione sono non lineari e quindi abbastanza complesse.

• ( )rV z = zV eΓ− è la parte regressiva dell’onda.

A partire da queste grandezze se ne definiscono altre due:

( ) ( )1 z z

p L

c c

Va z V z e a e

Z Z

−Γ −Γ+= = = ( ) ( )1 z z

r L

c c

Vb z V z e b e

Z Z

Γ Γ−= = =

Intensità d’onda progressiva Intensità d’onda regressiva

Tra l’altro si ha che: 2

ia P∝ (potenza incidente)

2

rb P∝ (potenza riflessa)

In una qualsiasi sezione possibile introdurre la grandezza

( ) ( )( )

( )( )

r

p

V z b zz

V z a zρ = = (4)

(coefficiente di riflessione all’ascissa z)

Lungo un tronco di linea di lunghezza l l’onda progressiva subisce uno sfasamento temporale in

ritardo (e la regressiva in anticipo) pari a

Tempo di transito (o ritardo di fase) p

l

vτ = pv

ωβ

=

dove pv è la velocità di fase dell’onda. Lo sfasamento angolare nelle stesse condizioni è invece:

Lunghezza elettrica 2l

lβ π ωτλ

= =

ove λ è la lunghezza d’onda.

Nei casi pratici, una linea non si estende da z = −∞ a z = ∞ , ma è caricata, vale a dire interrotta, in

una data sezione (sezione di carico) e quivi connessa ad una rete elettrica monoporta: si studierà il

regime elettrico impostando l’origine del riferimento assiale (z = 0) presso tale sezione di carico.

Si ha, per z = 0:

( )( )0

0

p

r

V V

V V

+

−

=

=

( )

( )

0

0

L

c

L

c

Va a

Z

Vb b

Z

+

−

= = = =

( )0 LL

L

V b

V aρ ρ −

+

= = =

Per cui:

( )

( ) ( )

( )

( )

β ββ β

β β

β β

−+ −−+ −

−+ − −+ −

= + = +

⇒ ⇒ = − = −

11

j z j zj z j z

C

C C

j z j z

j z j zc

C C C

V VV z Z e eV z V e V e

Z Z

I z V e V e V VZ I z e eZ Z Z

4 Esiste un interessante parallelismo fra le relazioni

( ) ( ) ( )V z Z z I z= e ( ) ( ) ( )b z z a zρ=

In particolare, si può ricavare la coppia (a, b) conoscendo (V, I) e viceversa.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

ρ

ρ

+ = = + = +

⇒ ⇒ = − − = = −

0 10 0 0

10 0 0

0 1

L LL C L C LC

L

L L L LLC

LC C

a bV a Z a ZV Z a b

a

I a b a a b aIZ

aZ Z

Per cui:

( )( )

0 1

10L

C L

L

V zZ Z

I z

ρρ

= += =

−= (5)

LZ è detta impedenza di carico; se

C LZ Z= la linea si dice adattata.

8.2 – Linee a basse perdite

Una linea di trasmissione si dice a basse perdite se, a tutte le frequenze di impiego6, i parametri

dissipativi sono piccoli rispetto alle reattanze, cioè:

1R

Lω≪ e 1

G

Cω≪

In questo caso le costanti di attenuazione e di fase possono essere approssimate a:

2 2

R C G L

L Cα

= ± +

(7) LCβ ω= ±

Per l’impedenza caratteristica, invece, abbiamo questa relazione:

12 2

c

L G RZ j

C C Lω ω = + −

(8)

Come si vede, compare un termine correttivo del prim’ordine in quadratura (cioè moltiplicato per

l’unità immaginaria j) col principale. Al denominatore dei termini di tale componente correttiva

compare la pulsazione ω , cosicché tale aggiunta viene trascurata ad alte frequenze, assumendo

direttamente:

c

LZ

C≅

8.3 – Linee prive di perdite

Portando Re Z (ovvero R) e Re Y (ovvero G) verso lo zero, la linea diventa senza perdite e sia il

dielettrico che il conduttore sono perfetti.

Il fatto di poter ignorare le perdite ci perfette di fare comode approssimazioni:

• la grandezza impedenza caratteristica della linea

ωω

+=+

≜cZ R j L

ZY G j C

5 Facendo la formula inversa troviamo un’altra interessante formulazione del coefficiente di riflessione:

L CL

L C

Z Z

Z Zρ −

=+

6 Per inciso, si noti che, data una certa linea, non ha senso affermare che essa è a basse perdite o meno, se non in relazione al campo

di frequenze in cui la si intende utilizzare 7 Come si vede, la costante di attenuazione non dipende dalla pulsazione se non attraverso i parametri primari. 8 Questo parametro è debolmente complesso nel caso di basse perdite.

diventa semplicemente:

(si noti che, in questo caso, tale impedenza è una pura resistenza)

• la costante di attenuazione è

• la costante di fase diventa β ω• l’ampiezza delle onde incidenti e riflesse è costante:

Come si vede le onde, propagandosi, modificano solamente la loro fase;

• il coefficiente di riflessione diventa:

una rotazione in senso orario.

In regime sinusoidale:

• se il carico è passivo si ha

• se il carico è attivo si ha

• se il carico è puramente reattivo

Si noti infine che il coefficiente di riflessione è periodico (non c’è da stupirsi: “percorre” una

circonferenza) con periodo

riflessione.

• l’impedenza della linea alla sezione

9 Nel caso con perdite sarebbe stata una spirale logaritmica10 Pertanto, uno spezzone di linea priva di perdite, di lunghezza qualunque, chiusa su un

sempre al suo ingresso come una pura reattanza.

c

LZ

C=


la costante di attenuazione è 0α = ;

LCβ ω= ± ;

l’ampiezza delle onde incidenti e riflesse è costante:

( )( )

j z

L

j z

L

a z a e

b z b e

β

β

− =

=

( )( )

L

L

a z a

b z b

=

=


il coefficiente di riflessione diventa:

( ) 2j z

Lz e

βρ ρ= ( ) Lzρ ρ=

In particolare, il fatto che il modulo di

sia costante ci informa del fatto che, al

variare di z, il punto rappresentativo

tale parametro

descrive una circonferenza

nell’origine (v. figura)

β > 0, uno spostamento verso il carico

(incremento del valore di

una rotazione in senso antiorario, mentre

uno spostamento verso il generatore ad

una rotazione in senso orario.

se il carico è passivo si ha ( ) Lzρ ρ= 1≤ ;

se il carico è attivo si ha ( ) Lzρ ρ= 1> ;

se il carico è puramente reattivo ( ) Lzρ ρ= = 1 (10).


circonferenza) con periodo 2

λ : molte sezioni condividono perciò lo stesso coefficiente di

l’impedenza della linea alla sezione z diventa:

( ) cos sin

cos sin

L C

C

C L

Z z jZ zZ z Z

Z z jZ z

β ββ β

−=

−

In particolare

linea è cortocircuitata (

( ) C CZ z Z j Z j z= − = −

(impedenza puramente complessa)

spirale logaritmica.

Pertanto, uno spezzone di linea priva di perdite, di lunghezza qualunque, chiusa su un carico puramente reattivo, si presenta

sempre al suo ingresso come una pura reattanza.



In particolare, il fatto che il modulo di ρ

sia costante ci informa del fatto che, al

, il punto rappresentativo di

tale parametro sul piano di Gauss

circonferenza9 avente centro

(v. figura). Poiché si ha che

> 0, uno spostamento verso il carico

(incremento del valore di z) dà luogo ad

una rotazione in senso antiorario, mentre

uno spostamento verso il generatore ad


: molte sezioni condividono perciò lo stesso coefficiente di

In particolare (v. es. in figura), se la

linea è cortocircuitata ( 0L

Z = ), si ha:

sintan

cosC C

zZ z Z j Z j z

z

ββ

β= − = −

(impedenza puramente complessa)

carico puramente reattivo, si presenta

Provando a graficare l’andamento dell’impedenza

cortocircuitata) otteniamo il seguente grafico:

• per 02

z πβ< < la linea si comporta come un’induttanza: infatti si ha

( ) (tan tanC C C S

Z z Z j z Z j z jZ z j LC z j Lz j Lβ β β ω ω ω− = − − = → = = =

Ricordiamo infatti che L

approssimazione è tanto più vera quanto è

• per 2

z πβ = abbiamo un risonatore LC

• per 2

zπ β π< < la linea si comporta come una capacità

• per zβ π= abbiamo un risonatore LC

NOTA IMPORTANTE: queste considerazioni, così come quelle a v

frequenze di lavoro stretta (e per stretta si intende pari circa al

centrobanda, quindi alla fine ci va anche grassa!)

Imponendo la condizione di carico cortocircuitato (

Possiamo perciò ripetere tutti i ragionamenti fatti nel caso di cortocircuito, ricordandoci però che

questa volta ci troviamo nel caso duale

Provando a graficare l’andamento dell’impedenza Z(z) in funzione di zβ (sempre nel caso di linea

otteniamo il seguente grafico:

la linea si comporta come un’induttanza: infatti si ha

2

2 2 4z z z

π π π λβλ

⇒ ⇒≪ ≪ ≪

)

0tan tan

C

z

C C C S

Z

LZ z Z j z Z j z jZ z j LC z j Lz j L

Cβ

β

β β β ω ω ω→− = − − = → = = =

L è l’induttanza per unità di lunghezza della linea. Tale

approssimazione è tanto più vera quanto è corta la linea di trasmissione;

abbiamo un risonatore LC-parallelo;

la linea si comporta come una capacità;

abbiamo un risonatore LC-serie.

NOTA IMPORTANTE: queste considerazioni, così come quelle a venire, valgono in una banda di

(e per stretta si intende pari circa al 5 10%∼

centrobanda, quindi alla fine ci va anche grassa!).

Immaginiamo ora di non chiudere la linea su un

cortocircuito, ma di interrompere la metallizzazione e

di lasciare un aperto. Allora, alla stregua di come

abbiamo definito l’impedenza d’ingresso, possiamo

definire il parametro (duale) ammettenza d’ingresso

( ) cos sin

cos sin

L C

C

C L

Y z jY zY z Y

Y z jY z

β ββ β

−=

Imponendo la condizione di carico cortocircuitato ( 0L

Y = ), si ha:

( ) tanC

Y z jY zβ= −


duale. Ecco graficata l’ammettenza in funzione di

z (sempre nel caso di linea

la linea si comporta come un’induttanza: infatti si ha

S

C C C SL

Z z Z j z Z j z jZ z j LC z j Lz j Lβ β β ω ω ω− = − − = → = = =

è l’induttanza per unità di lunghezza della linea. Tale

corta la linea di trasmissione;

enire, valgono in una banda di

5 10%∼ della frequenza di

Immaginiamo ora di non chiudere la linea su un

cortocircuito, ma di interrompere la metallizzazione e

di lasciare un aperto. Allora, alla stregua di come

abbiamo definito l’impedenza d’ingresso, possiamo

ammettenza d’ingresso:

cos sin

cos sin

L C

C L

Y z jY z

Y z jY z

β ββ β

−−


. Ecco graficata l’ammettenza in funzione di zβ

• per 02

z πβ< < la linea si comporta come una capacità: infatti si ha

( ) (tan tanC C C S

Y z Y j z Y j z jY z j LC z j Cz j Cβ β β ω ω ω− = − − = → = = =

Ricordiamo infatti che C

approssimazione è tanto più vera quanto è

• per 2

z πβ = abbiamo un risonatore LC

• per 2

zπ β π< < la linea si comporta come un’induttanza

• per zβ π= abbiamo un risonatore LC

Dunque, grazie alle linee di trasmissione, possiamo realizzare delle funzioni elettriche uguali a

quelle che realizzeremmo con un circuito a costanti

E che succede se, all’ascissa z = 0, andiamo a mettere un carico generico resistivo (o anche

complesso)?

In tal caso dobbiamo fare i calcoli tenendo presente che:

L CL

L C

Z Z

Z Zρ −

=+

Ricordiamo per l’ennesima volta che il parametro

carico (z = 0): per sapere qual è il coefficiente di riflessione in funzione dell’ascissa

utilizzare la relazione:

( )z eρ ρ

la linea si comporta come una capacità: infatti si ha

2

2 2 4z z z

π π π λβλ

⇒ ⇒≪ ≪ ≪

)

0tan tan

C

z

C C C S

Y

CY z Y j z Y j z jY z j LC z j Cz j C

Lβ

β

β β β ω ω ω→− = − − = → = = =

C è la capacità per unità di lunghezza della linea. Tale

approssimazione è tanto più vera quanto è corta la linea di trasmissione;

abbiamo un risonatore LC-serie;

si comporta come un’induttanza;

abbiamo un risonatore LC-parallelo.


quelle che realizzeremmo con un circuito a costanti concentrate.

= 0, andiamo a mettere un carico generico resistivo (o anche

In tal caso dobbiamo fare i calcoli tenendo presente che:

L C

L C

Z Z

Z Z

−+

cortocircuito 1

circuito aperto 1CC

CA

L

L

ρρ

= − =

sima volta che il parametro L

ρ è il coefficiente di riflessione relativo al

= 0): per sapere qual è il coefficiente di riflessione in funzione dell’ascissa

) 2j z

Lz e

βρ ρ=

(linea senza perdite)

S

C C C SC

Y z Y j z Y j z jY z j LC z j Cz j Cβ β β ω ω ω− = − − = → = = =

per unità di lunghezza della linea. Tale

corta la linea di trasmissione;


= 0, andiamo a mettere un carico generico resistivo (o anche

cortocircuito 1

è il coefficiente di riflessione relativo al

= 0): per sapere qual è il coefficiente di riflessione in funzione dell’ascissa z dobbiamo

Si noti infine che nel progetto della linea (e

• lunghezza della linea ( 04

λ∼

• dimensioni della sezione trasversale

8.4 – Onde stazionarie

Dalle espressioni su tensioni e correnti della linea

( )

( ) (

β β−+ −

−+ −

= + = −

1

j z j z

c

V z V e V e

I z V e V eZ

si ottiene, per 0L

ρ = :

Come si vede, rimane soltanto la componente progressiva (si parla infatti di

progressiva): in tal caso, le ampiezze e le fasi dell’onda risultano essere indipendenti dalla struttura

della sezione traversale.

Inoltre, passando nel dominio dei tempi, si nota che la tensione varia sinusoidalmente e con la

stessa ampiezza in ogni sezione:

Non è dunque difficile convincerci del fatto che

Ripuntualizziamo inoltre

questo parametro è

logicamente il semiperiodo

esempio, se un carico a distanza

comporta come un chiuso, a

carico si comporterà come un aperto

figura a fianco).

della linea (e dello stub) abbiamo diversi gradi di libertà

4

λ∼ ) e carico (+ relativo adattamento);

dimensioni della sezione trasversale (+ relative condizioni al contorno)

Dalle espressioni su tensioni e correnti della linea

)( ) (( ) (

β ββ βρ

β β β β

ρ

ρ

−

+

−= ++ −

− −++ −

= += +

⇒ = − = −

L

j z j zj z j z V

V

j z j z j z j z

c

V z V e eV z V e V e

VI z V e V e I z e e

Z

( )

( )

β

β

−+

−+

=

=

j z

j z

c

V z V e

VI z e

Z

Come si vede, rimane soltanto la componente progressiva (si parla infatti di

: in tal caso, le ampiezze e le fasi dell’onda risultano essere indipendenti dalla struttura


( ) ( ) , Re j tv z t V z e ω=

Non è dunque difficile convincerci del fatto che l'inviluppo dell' onda (cioè il luogo dei massimi e

dei minimi al variare di

individuato da

parallele all' asse

Mostriamo ora che è possibile

scomporre l’espressione della tensione

V(z) in due parti:

• una parte

rendere l’idea, in qualche modo

“avanza” lungo la linea);

• una parte

invece, è come “congelata” e

immobile).

Ripuntualizziamo inoltre che il periodo di

questo parametro è 2

λ (mentre 4

λ è

logicamente il semiperiodo): quindi, ad

esempio, se un carico a distanza 4

λ si

orta come un chiuso, a 2

λ lo stesso

carico si comporterà come un aperto (v.

diversi gradi di libertà:

(+ relative condizioni al contorno).

))

β β

β β

ρ

ρ

j z j z

L

j z j z

L

V z V e e

I z e e

Come si vede, rimane soltanto la componente progressiva (si parla infatti di onda puramente

: in tal caso, le ampiezze e le fasi dell’onda risultano essere indipendenti dalla struttura


l'inviluppo dell' onda (cioè il luogo dei massimi e

dei minimi al variare di z) è

individuato da ±V(z), cioè da due rette

parallele all' asse z (v. figura).

Mostriamo ora che è possibile

scomporre l’espressione della tensione

in due parti:

una parte progressiva (che, per

rendere l’idea, in qualche modo

“avanza” lungo la linea);

una parte stazionaria (che,

invece, è come “congelata” e

Si ha infatti:

( ) 2 2 2

piccolo trucchetto per far tornare i conti

L

L

L L Ljj z j z j z j

L L

j j jzV z V e e e e eV e eeϕβ β β β

ρ

ϕ ϕ ϕ

ρ ρ− − −

+ +

= + = + =

( ) 2

altro trucchetto che non cambia il valore dell'equazione ma che ci to

2 2 2

r

22 2

na mol

1L L L LL L Lj z j z j z j zj j

L L

j z

LV e e V e e eee

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕβ β βϕ

β βρ ρρ

− + + − + +

+ +

− +

= + = + +

−

to utile

=

( )( )

( ) ( )22

parte progressivu

aparte stazio sato Enar ria ule o

2 cos2

1LL

Lj zj

L L p sV e e V z V zz

ϕϕ β ϕρ ρ β

− +

+

+

− + = +

La parte progressiva dà un contributo formalmente pari alla consueta relazione espressa in

termini di onda incidente e riflessa, ma con una riduzione di un fattore (1L

ρ− ).

La parte stazionaria, che abbiamo espresso nel dominio delle frequenze, può essere ricondotta nel

dominio dei tempi:

( ) ( ) ( ) 22 cos , Re2

Lj j tLL S s S

V e z V z v z t V z eϕ

ωϕρ β+

+ = ⇒ = =

( ) ( ) ( )1 22 cos cos arg

2 2L L

LV z t V f z f t

ϕ ϕρ β ω+ +

= + + + =

Come è stato enfatizzato, nel dominio dei tempi la parte stazionaria è formalmente caratterizzata

dal prodotto fra una funzione soltanto dipendente da z e un’altra unicamente dipendente da t.

Pertanto la parte stazionaria ha un andamento periodico (sinusoidale) sia nello spazio che nel

tempo, e in ogni sezione si ha un'oscillazione con ampiezza ( )sV z , diversa da punto a punto.

Calcoliamoci il modulo quadro di tale ampiezza d’oscillazione…

( ) ( ) ( )2*V z V z V z= =

( ) ( )22 2 21 4 cos 2 cos 2 1 cos2 2 2

L L LL L L L

V z z zϕ ϕ ϕρ ρ β ρ β ρ β+

= − + + + + ⋅ − + =

( )22 2 21 4 cos2

LL L

V zϕρ ρ β+

= − + +

4 1

Lρ+ −( ) 2cos

2L

Lz

ϕρ β

+ =

( )22 2 21 4 cos2

LL L

V zϕρ ρ β+

= − + +

… dopodiché estraiamo la radice quadrata per ottenere:

( ) ( )2 2 21 4 cos2

Ls L L

V z V zϕρ ρ β+

= − + +

Ora:

• se 0ρ = si ha ( )sV z V+= onda puramente progressiva;

• se 1ρ = (carico reattivo) si ha ( ) 2 cos2

Ls

V z V zϕβ+

= +

; ciò significa che l’inviluppo della

nostra forma d’onda è sinusoidale e che siamo in presenza di un’onda puramente stazionaria,

(della quale si può vedere un esempio nella figura sottostante):

Come si vede in figura, l’inviluppo della tensione giunge al valore 2 di ampiezza

normalizzata: ciò significa che finiamo per avere una tensione massima 2 volte più grande

di quella di alimentazione; questo fatto si ripropone (con valori di massimo diversi ma

comunque superiori di un fattore 1 2k< < alla tensione d’alimentazione) anche nel caso di

onda puramente stazionaria (v. oltre) ed è preoccupante, visto che può portare ad avere

sopratensioni molto consistenti (soprattutto se la tensione d’alimentazione è dell’ordine dei

1000 V). Il tutto, in alcuni casi, è reso ancora più complicato dal fatto non sappiamo quale

sia l’entità del carico collegato al termine della linea di trasmissione (per esempio, non si sa

a priori quanti utenti saranno collegati ad una certa linea elettrica dell’ENEL);

• per tutti gli altri valori del coefficiente di riflessione compresi fra 0 e 1 si ha un’onda

parzialmente stazionaria (ovvero a tutti gli effetti costituita da una parte stazionaria e una

parte progressiva).

C’è da dire che nella realtà dei fatti è impossibile avere pura progressività; infatti:

• i nostri ragionamenti sono stati fatti con l’ipotesi che la costante di propagazione porti

soltanto un contributo sulla fase, mentre nella realtà ve n’è anche uno sull’ampiezza (è

presente, cioè, una parte reale);

• entrambi questi contributi dipendono dalla frequenza: possiamo cioè, nei limiti del

possibile, riuscire a realizzare una linea perfettamente adattata ad una certa frequenza,

tuttavia i segnali che ci serve inviare apparterranno sicuramente ad uno spettro di

frequenze più o meno ampio. Di conseguenza, andiamo a trasmettere frequenze non

contemplate in sede di progetto (e per le quali, magari, non si ha neppure adattamento).

8.5 – Potenza

Rimaniamo sempre nel caso privo di perdite e

calcoliamo la potenza attraversante una qualsiasi

sezione z della linea di trasmissione. Utilizziamo

la definizione:

( ) ( ) ( ) *1Re

2P z V z I z= =

( ) ( )*

*1Re

2j z j z j z j z

L L

C

VV e e e e

Zβ β β βρ ρ− + −+

+

= + + =

( )( ) ( ) ( )( )2

2 2 211

2 2L L L

C

Vz a z b z

Zρ+= − = −

Come si vede, la potenza che vogliamo calcolare è – in generale – la differenza fra la potenza

progressiva e quella regressiva. Questa considerazione ci è molto utile visto che è fondamentale, per

il progettista, sapere quanta potenza viene riflessa: se essa è troppa, infatti, rischiamo di bruciare il

generatore.

Analizzando la relazione ottenuta scopriamo che la condizione migliore per la trasmissione di

potenza attraverso una certa sezione si ha quando ( ) 0L

zρ = : in tal caso si ha infatti

( ) ( )2

21

2 2 L

C

VP z a z

Z

+= =

e la potenza è utilizzata nella maniera migliore possibile, dato che va a finire tutta quanta nella

propagazione del segnale. Si noti inoltre che il valore di potenza

2

2C

V

Z

+ è ottenibile se il generatore

ha un’impedenza interna uguale a quella caratteristica della linea: solo in questo caso, infatti, il

coefficiente di riflessione è nullo. Infine, siccome quando ( ) 0L

zρ = si ha ( )sV z V+= = costante

(onda puramente progressiva), allora possiamo dire che anche P(z) è costante: la potenza

trasportata, insomma, è sempre quella per ogni sezione.

Se ( ) 1L

zρ = , invece, nulla viene trasmesso

( )P z = 0

coerentemente con il fatto che non c'è onda viaggiante ma solo un regime stazionario.

Queste considerazioni sulla potenza ci permettono di capire come sia possibile ricavare alcune

informazioni sul maggiore o minore adattamento di una certa linea di trasmissione: per farlo si

invia sulla linea una certa onda incidente, si misura la conseguente onda riflessa e si calcola la

potenza attiva presente. Confrontando i valori di quest’ultima con la potenza d’alimentazione

possiamo senza troppi sforzi capire quanto la nostra linea sia adattata.

8.6 – Massimi e minimi

Prendendo l’espressione

( ) ( )2 2 21 4 cos2

Ls L L

V z V zϕρ ρ β+

= − + +

è facile accorgersi che l’ampiezza della tensione è massima quando il termine coseno è pari a uno,

il che si verifica se

2Lz

ϕβ + = 0

cioè quando si ha:

2Lz

ϕβ + = con 0,-1,-2, ...k kπ =

Facendo la formula inversa otteniamo:

2 2 2 2 2L L Lk k

z kϕ ϕ ϕπ π λ

β β π λ β β= − = − = − z ≤ 0

Ciò significa che i punti di massimo sono distanziati di una mezza lunghezza d’onda. Notiamo

inoltre che la posizione dei massimi (e dei minimi) dipende dalla lunghezza d’onda, cioè dalla

frequenza, e dal carico.

Nelle sezioni di massimo si ha il seguente valore di tensione:

( )max1

LV V V Vρ+ + −= + = +

Analogamente, si hanno valori di minimo quando il termine coseno è 1, il che si verifica se

2Lz

ϕβ + = 2

π+ con 0,-1,-2, ...k kπ =

Facendo la formula inversa otteniamo:

( )... 2 14 2

Lz kϕλ

β= = + − z ≤ 0

Nelle sezioni di minimo si ha il seguente valore di tensione:

( )min1

LV V V Vρ+ + −= − = −

Per quanto riguarda la corrente, a causa del meno presente nella qui di seguito riportata

espressione generale,

( )

( ) ( )

β β

β β

−+ −

−+ −

=

−

+

=

1

j z j z

j z j z

c

V z V e V e

I z V e V eZ

si avrà un massimo (minimo) presso i valori di tensione minimi (massimi):

( )max1

LV V V Vρ+ + −= + = + ⇒

min

C

V VI

Z

+ −−=

( )min1

LV V V Vρ+ + −= − = − ⇒

max

C

V VI

Z

+ −+=

8.7 – Rapporto d’onda stazionaria

Il rapporto d’onda stazionaria (ROS, in italiano, o VSWR, Voltage Standing Wave Ratio, in inglese) è

un parametro facilmente misurabile definito come:

max

min

1

1

L

L

V V VS

V V V

ρρ

+ −

+ −

+ += = =

− −

Da questa formula si può ricavare una relazione per il coefficiente di riflessione:

1

1L

S

Sρ −=

+

(si ricordi che in assenza di perdite si ha L

ρ ρ= )

S dà meno informazioni del coefficiente di riflessione, ma spesso è sufficiente per gli scopi pratici.

Si ha:

• per S = 1 regime d’onda puramente progressiva;

• per S tra 1 e ∞ regime d’onda parzialmente stazionaria;

• per S pari ad ∞ regime d’onda puramente stazionaria.

Il rapporto d’onda stazionaria può infine entrare a far parte di una relazione con il massimo e il

minimo dell’impedenza d’ingresso in una certa sezione.

MAX tensione / MIN corrente MIN corrente / MAX tensione

( )max

max

min1i C

C

V VVZ SZ

IV V

Z

+ −

+ −

+= = =

+

( )min

min

max

1

C Ci

V VZ ZV

ZI SV V

+ −

+ −

+= = =

+

(NOTA: in entrambi casi l’impedenza in questione è una pura resistenza)

Campi elettromagnetici LA

Documents

Transcript of Campi elettromagnetici LA